哥尼斯堡七桥难题
七桥问题Seven Bridges Problem
七桥问题Seven Bridges Problem著名古典数学问题之一。
在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图)。
问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点?欧勒于1736年研究并解决了此问题，他把问题归结为如下右图的“一笔画”问题，证明上述走法是不可能的。
有关图论研究的热点问题。
18世纪初普鲁士的柯尼斯堡，普雷格尔河流经此镇，奈发夫岛位于河中，共有7座桥横跨河上，把全镇连接起来。
当地居民热衷于一个难题：是否存在一条路线，可不重复地走遍七座桥。
这就是柯尼斯堡七桥问题。
L.欧拉用点表示岛和陆地，两点之间的连线表示连接它们的桥，将河流、小岛和桥简化为一个网络，把七桥问题化成判断连通网络能否一笔画的问题。
他不仅解决了此问题，且给出了连通网络可一笔画的充要条件是它们是连通的，且奇顶点(通过此点弧的条数是奇数)的个数为0或2。
当Euler在1736年访问Konigsberg, Prussia(now Kaliningrad Russia)时，他发现当地的市民正从事一项非常有趣的消遣活动。
Konigsberg城中有一条名叫Pregel的河流横经其中，这项有趣的消遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥的散步，每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点。
Euler把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示。
后来推论出此种走法是不可能的。
他的论点是这样的，除了起点以外，每一次当一个人由一座桥进入一块陆地（或点）时，他（或她）同时也由另一座桥离开此点。
所以每行经一点时，计算两座桥（或线），从起点离开的线与最后回到始点的线亦计算两座桥，因此每一个陆地与其他陆地连接的桥数必为偶数。
七桥所成之图形中，没有一点含有偶数条数，因此上述的任务无法完成.欧拉的这个考虑非常重要，也非常巧妙，它正表明了数学家处理实际问题的独特之处——把一个实际问题抽象成合适的“数学模型”。
哥尼斯堡七桥问题课件
欧拉注意到每个点都是若干条线的端点，他把图 形上的点分为两类：奇点和偶点。要想不重复地一笔 画出某个图形，除去起始点和终止点外，其余点，如 果画进去一条线，就一定要画出一条线，从而必须是 偶点。
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12
一笔画原理：
一个图如果可以一笔画成，那么这个图中 奇数顶点的个数不是0就是2 。反之亦然。
的事！
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7
问题的魔力，竟然吸引了天才的欧拉。这位年轻的瑞士 数学家，以其独具的慧眼，看出了这个似乎是趣味几何问题 的潜在意义。
欧拉 (L.Euler,1707.4.151783.9.18)著名的数学家。生于 瑞士的巴塞尔，卒于彼得堡。大 部分时间在俄国和德国度过。他 早年在数学天才贝努里赏识下开 始学习数学，17岁获得硕士学位， 毕业后研究数学，是数学史上最高 产的作家。在世发表论文700多篇 ,去世后还留下100多篇待发表。
这是不可能的！这正是哈里发悲剧之所在。
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点A
是 在 内 部 还 是 外 部
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19世纪中叶，法国数学家若尔当提出了一个精妙绝伦的办
法：在图形外找一点，与需要判定的区域内的某个点连成线段，
如果该线段与封闭曲线相交的次数为奇数，则所判定区域为“
内部”;否则为“外部”。 PPT课件
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奇异的莫比乌斯带
事实上，中国民间很早就流传着这种一 笔画的游戏，只是很可惜，长期以来，人们 只把它作为一类有趣的游戏，没有对它引起 重视，也没有数学家对它进行经验总结和研 究，这不能不说是一种遗憾。
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需要 画画成的 个，那么 图形，其
一
含有 笔划画成
哥尼斯堡七桥问题与一笔画课件
在18世纪，人们开始对图论进行 研究，探索图的结构和性质，其 中哥尼斯堡七桥问题成为了图论 研究的重要问题之一。
哥尼斯堡七桥问题的起源
哥尼斯堡七桥问题起源于18世纪初，当时有一位名叫欧拉的 人，他是一位数学家和工程师，对图论进行了深入研究。
欧拉在研究哥尼斯堡的桥梁和河流时，提出了一个问题：是 否存在一条路径，能够遍历哥尼斯堡的所有桥梁，每座桥只 过一次？这就是著名的哥尼斯堡七桥问题。
哥尼斯堡七桥问题对一笔画问题的影响
哥尼斯堡七桥问题的解决推动了数学领域的发展，它证明了不存在一条遍历七座 桥的路径，每座桥只过一次，最后回到开始的地方。
这个问题的解决对于一笔画问题的研究具有重要意义，它揭示了一笔画问题的复 杂性和多样性，也促使数学家们深入研究一笔画问题的性质和规律。
一笔画问题在哥尼斯堡七桥问题中的应用
哥尼斯堡七桥问题是一笔画问题的经典案例，它探讨的是从哥尼斯堡的一个地方开 始，能否遍历城市的七座桥，每座桥只过一次，最后回到开始的地方。
一笔画问题则是一个更广泛的几何问题，研究的是在一个连通图上，是否存在一条 路径能够遍历所有的边，每条边只过一次。
哥尼斯堡七桥问题实际上是几何图形的一笔画问题，它为后续一笔画问题的研究提 供了基础。
哥尼斯堡七桥问题的历史意义
哥尼斯堡七桥问题的解决标志着图论 的诞生，成为图论发展史上的一个里 程碑。
该问题的解决为后续的图论研究提供 了基础和指导，推动了数学和图论的 发展。
02 一笔画问题概述
一笔画问题的定义
一笔画问题，也称为欧拉路径问题，是图论中的一个经典 问题。它主要探讨的是在一个给定的图形中，是否存在一 条路径，使得这条路径能够遍历图形的每一条边且只遍历 一次。
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世界级数学难题
世界数学难题——哥尼斯堡七桥问题18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡(今俄罗斯加里宁格勒)，那里的普莱格尔河上有七座桥。
将河中的两个岛和河岸连结，城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？大家都试图找出问题的答案，但是谁也解决不了这个问题。
这就是哥尼斯堡七桥问题，一个著名的图论问题。
1727年在欧拉20岁的时候，被俄国请去在圣彼得堡（原列宁格勒）的科学院做研究。
他的德国朋友告诉了他这个曾经令许多人困惑的问题。
欧拉并没有跑到哥尼斯堡去走走。
他把这个难题化成了这样的问题来看：把二岸和小岛缩成一点，桥化为边，于是“七桥问题”就等价于下图中所画图形的一笔画问题了，这个图如果能够一笔画成的话，对应的“七桥问题”也就解决了。
经过研究，欧拉发现了一笔画的规律。
他认为，能一笔画的图形必须是连通图。
连通图就是指一个图形各部分总是有边相连的，这道题中的图就是连通图。
但是，不是所有的连通图都可以一笔画的。
能否一笔画是由图的奇、偶点的数目来决定的。
那么什么叫奇、偶点呢？与奇数（单数）条边相连的点叫做奇点；与偶数（双数）条边相连的点叫做偶点。
如下图中的①、④为奇点，②、③为偶点。
1．凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。
画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
例如下图都是偶点，画的线路可以是：①→③→⑤→⑦→②→④→⑥→⑦→①2．凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。
画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。
例如下图的线路是：①→②→③→①→④3．其他情况的图都不能一笔画出。
哥尼斯堡七桥问题
经过研究，欧拉发现了一笔画的规律。他认为，能图就是连通图。
帮助学生了解生活中信息的意义，感觉信息的重要性，
例如：传说，鲁班想造一个能出海打鱼的东西，费了许多心思也没有成功。一天，他的妻子去河边洗衣裳，就把脚上穿的一双翻头鞋放在河堤上。一阵风吹来，有一只鞋被吹到河里去了。鲁班的妻子发现后，赶快到河里去捞鞋子，可是鞋已借风势，顺流漂了下去。鲁班看到妻子赤着脚回家，就问这是怎么回事，鲁班的妻子就把发生的事情告诉了鲁班。
著名的“哥尼斯堡七桥”问题
18世纪，东普鲁士的首府哥尼斯堡（今俄罗斯加里宁格勒）是一座景色迷人的城市，普莱格尔河横贯城区，使这座城市锦上添花，显得更加风光旖旋。这条河有两条支流，在城中心汇成大河，在河的中央有一座美丽的小岛。河上有七座各具特色的桥把岛和河岸连接起来。
每到傍晚，许多人都来此散步。人们漫步于这七座桥之间，久而久之，就形成了这样一个问题：能不能既不重复又不遗漏地一次相继走遍这七座桥？这就是闻名遐迩的“哥尼斯堡七桥问题。”每一个到此游玩或散心的人都想试一试，可是，对于这一看似简单的问题，没有一个人能符合要求地从七座桥上走一遍。这个问题后来竟变得神乎其神，说是有一支队伍，奉命要炸毁这七座桥，并且命令要他们按照七桥问题的要求去炸。
七桥问题也困绕着哥尼斯堡大学的学生们，在屡遭失败之后，他们给当时年仅20岁的大数学家欧拉写了一封信，请他帮助解决这个问题。欧拉看完信后，对这个问题也产生了浓厚的兴趣。但他并没有跑到哥尼斯堡去走走。他想，既然岛和半岛是桥梁的连接地点，两岸陆地也是桥梁的连接地点，那就不妨把这四处地方缩小成四个点，并且把这七座桥表示成七条线。这样，原来的七桥问题就抽象概括成了如下的关系图：这显然并没有改变问题的本质特征。于是，七桥问题也就变成了一个一笔画的问题，即：能否笔不离纸，不重复地一笔画完整个图形。
哥尼斯堡七桥问题与图论
1736年29《哥尼斯堡的七座桥》的论文，创了数学的一个新的分支—一、哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡在俄罗斯境内，现称为加里宁格勒.生和培养过许多伟大人物.格尔河，横贯城中，如图1所示.流，一条称为新河，一条主流，的商业中心.区、北区、东区和南区.桥，两支流上.这一别致的桥群，图1早在18世纪，散步中走过每座桥，发点？”走遍这七座桥共有A77=7!=验，谈何容易.那么在这5040而形成了著名的图2欧拉请他帮助解决这个他似乎看到其中.经过一年的研究，29岁的并于1736年向彼得堡科哥尼斯堡的七座桥》的论文.C（岛区）、A（南区）；七座桥看成这四个点、6、7七个数字表示，如图3所示.“一笔画”问题：否能一笔不.布勒格尔河模型蔡思明58遍历的路径称作欧拉路径（一个环或者一条链），如果路径闭合（一个圈），则称为欧拉回路.图论中的欧拉定理（一笔画定理）要分有向图（边有特定方向的图）与无向图（边没有特定方向的图）两种情况进行讨论.1.无向图的情况定理：连通无向图G有欧拉路径的充要条件为：G中奇度顶点（即与其相连的边数目为奇数的顶点）有0个或者2个.证明：必要性.如果图能够被一笔画成，那么对每个顶点，考虑路径中“进入”它的边数与“离开”它的边数（注意前提是无向图，所以我们不能称其为“入边”和“出边”）.很显然这两个值要么相同（说明该顶点度数为偶），要么相差1（说明该顶点度数为奇）.也就是说，如果欧拉路径不是回路，奇度顶点就有2个，即路径的起点和终点；如果是欧拉回路，起点与终点重合，则不存在奇度顶点.必要性得证.证明：充分性.如果图中没有奇度顶点，那么在G中随机取一个顶点v0出发，尝试构造一条回路c0.如果c0就是原路，则结束；如果不是，那么由于图是连通的，c0和图的剩余部分必然存在某公共顶点v1，从v2出发重复尝试构造回路，最终可将整张图分割为多个回路.由于两条相连的回路可以视为一条回路，所以该图必存在欧拉回路.如果图中有2个奇度顶点u和v，那么若是加一条边将u和v连接起来的话，就得到一个没有奇度顶点的连通图，由上文可知该图必存在欧拉回路，去掉这条新加的边，就是一条以u和v为起终点的欧拉路径.充分性得证.可知，哥尼斯堡七桥问题中的图有4个奇度顶点（1个度数为5，3个度数为3），所以不存在欧拉路径.2.有向图的情况定理：底图连通的有向图G有欧拉路径的充要条件为：G的所有顶点入度和出度都相等；或者只有两个顶点的入度和出度不相等，且其中一个顶点的出度与入度之差为1，另一个顶点的入度与出度之差为1.显然，可以通过与无向图情况相似的思路来证明，过程略.当时的数学界起初并未对欧拉解决七桥问题的意义有足够的认识，甚至有些人仅仅当其为一个数学游戏.图论这一数学分支诞生后并未得到很好的发展，直到200年后的1936年，匈牙利数学家科尼希出版了《有限图与无限图理论》，此为图论的第一部专著，其总结了进200年来有关图论的成果，这是图论发展的第一座里程碑.此后，图论进入发展与突破的阶段，又经过了半个多世纪的发展，现已成为数学科学的一个独立的重要分支.图论原是组合数学中的一个重要课题.我们用点表示事物，用连接点的边表示事物间的联系，便可得到图论中的图.图论为研究任何一类离散事物的关系结构提供了一种框架.图论中的理论已应用于经济学、心理学、社会学、遗传学、运筹学、逻辑学、语言学计算机科学等诸多领域.由于现代科学尤其是大型计算机的迅猛发展，使得图论大有用武之地，无论是数学、物理、化学、地理、生物等基础科学，还是信息、交通、战争、经济乃至社会科学的众多问题，都可以运用图论方法予以解决.当然，图论也是计算机科学的基础学科之一.值得一提的是，欧拉对七桥问题的研究，后演变成多面体理论，得到了著名的欧拉公式V+F=E+2，欧拉公式是拓扑学的第一个定理.哥尼斯堡的七座桥如今只剩下三座，一条新的跨河大桥已经建成，它完全跨过河心岛——内福夫岛，导游们仍向游客讲述哥尼斯堡桥的故事，有的导游甚至仍称“七桥问题”没有被解决，留给游客以遐想.虽然七座哥尼斯堡桥成了历史，但是“七桥问题”留下的“遗产”不像这些桥那样容易破坏，欧拉卓越的解答方式被永载史册.60。
哥尼斯堡七桥问题[欧拉图]
![哥尼斯堡七桥问题[欧拉图]](https://img.taocdn.com/s3/m/bc5c022cbdd126fff705cc1755270722192e59b0.png)
哥尼斯堡七桥问题[欧拉图]⼀、历史背景1736年，年仅29岁的数学家欧拉来到普鲁⼠的古城哥尼斯堡（哲学家康德的故乡，今俄罗斯加⾥宁格勒）。
普瑞格尔河正好从市中⼼流过，河中⼼有两座⼩岛，岛和两岸之间建筑有七座古桥。
欧拉发现当地居民有⼀项消遣活动，就是试图每座桥恰好⾛过⼀遍并回到原出发点，但从来没⼈成功过。
欧拉证明了这种⾛法是不可能的。
现在看来，欧拉的证明过程⾮常简单，但他对七桥问题的抽象和论证思想，开创了⼀个新的学科：图论(Graph)。
如今，⽆论是数学、物理、化学、天⽂、地理、⽣物等基础科学，还是信息、交通、经济乃⾄社会科学的众多问题，都可以应⽤图论⽅法予以解决。
图论还是计算机科学的数据结构和算法中最重要的框架（没有之⼀）。
⾸先能想到的证明⽅法是把⾛七座桥的⾛法都列出来，⼀个⼀个的试验，但七座桥的所有⾛法共⽤7\！=5040种，逐⼀试验将是很⼤的⼯作量。
欧拉作为数学家，当然没那样想。
欧拉把两座岛和河两岸抽象成顶点，每⼀座桥抽象成连接顶点的⼀条边，那么哥尼斯堡的七座桥就抽象成下⾯的图：Processing math: 100%假设每座桥都恰好⾛过⼀次，那么对于A、B、C、D四个顶点中的每⼀个顶点，需要从某条边进⼊，同时从另⼀条边离开。
进⼊和离开顶点的次数是相同的，即每个顶点有多少条进⼊的边，就有多少条出去的边，也就是说，每个顶点相连的边是成对出现的，即每个顶点的相连边的数量必须是偶数。
⽽上图中A、C、D四个顶点的相连边都是3，顶点B的相连边为5，都为奇数。
因此，这个图⽆法从⼀个顶点出发，遍历每条边各⼀次。
欧拉的证明与其说是数学证明，还不如看作是⼀个逻辑证明。
⼀个曾难住那么多⼈的问题，竟然是这样⼀个简单的出⼈意料的推理，还开创了⼀个新的学科。
欧拉⾮常巧妙的把⼀个实际问题抽象成⼀个合适的数学模型，这种研究⽅法就是我们应该掌握的数学模型⽅法。
这并不需要运⽤多么深奥的理论，但能想到这⼀点，却是解决问题的关键。
图论经典问题
图 论哥尼斯堡七桥问题：图论发源于18世纪普鲁士的哥尼斯堡。
普雷格河流经这个城市，河中有两个小岛，河上有七座桥，连接两岛及两岸。
如图所示，当时城里居民热衷于讨论这样一个问题：一个人能否走过这七座桥，且每座桥只经过一次，最后仍回到出发点。
将上面问题中的两座小岛以及两岸用点表示，七座桥用线（称为边）表示，得到下图：于是，上述问题也可叙述为：寻找从图中的任意一个点出发，经过所有的边一次且仅一次并回到出发点的路线。
注意：在上面的图中，我们只关心点之间是否有边相连，而不关心点的具体位置，边的形状以及长度。
一、基本概念：图：由若干个点和连接这些点中的某些“点对”的连线所组成的图形。
顶点：上图中的A ，Ｂ，Ｃ，D ．常用表示。
n 21 v , , v , v 边：两点间的连线。
记为（Ａ，Ｂ），（Ｂ，Ｃ）．常用表示。
m 21e , , e , e次：一个点所连的边数。
定点ｖ的次记为d(v)．图的常用记号：Ｇ＝（Ｖ，Ｅ），其中，}{v V i =，}{e E i =子图：图Ｇ的部分点和部分边构成的图，成为其子图。
路：图Ｇ中的点边交错序列，若每条边都是其前后两点的关联边，则称该点边序列为图Ｇ的一条链。
圈（回路）：一条路中所含边点均不相同，且起点和终点是同一点，则称该路为圈（回路）。
有向图：，其中(,)G N A =12{,,,}k N n n n = 称为的顶点集合，A a 称为G 的弧集合。
G {(,)ij i j }n n ==若，则称为的前驱， 为n 的后继。
(,)ij i j a n n =i n j n j n i 赋权图（网络）：设是一个图，若对G 的每一条边（弧）都赋予一个实数，称为边的权，。
记为。
G (,,)G N E W =两个结论：１、图中所有顶点度数之和等于边数的二倍； ２、图中奇点个数必为偶数。
二、图的计算机存储：1. 关联矩阵简单图：，对应(,)G N E =N E ×阶矩阵()ik B b =10ik i k b ⎧=⎨⎩点与边关联否则简单有向图：，对应(,)G N A =N A ×阶矩阵()ik B b =110ik ik ik a i b a i ⎧⎪=−⎨⎪⎩弧以点为尾弧以点为头否则2. 邻接矩阵简单图：，对应(,)G N E =N N ×阶矩阵()ij A a =10ij i j a ⎧=⎨⎩点与点邻接否则简单有向图：，对应(,)G N A =N N ×阶矩阵()ij A a =10ij i ja ⎧=⎨⎩有弧从连向否则5v 34v01010110100101011110101000110111101065432166654321⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=×v v v v v v A v v v v v v3. 权矩阵：简单图：，对应(,)G N E =N N ×阶矩阵()ij A a =ij ij i j a ω⎧=⎨∞⎩点与点邻接否则123456781234567802130654.5061002907250473080 v v v v v v v v v v v v v v v v 48∞∞∞∞⎡⎤⎢⎥∞∞∞∞∞⎢⎥⎢⎥∞∞∞∞∞⎢⎥∞∞∞∞∞⎢⎥⎢⎥∞∞∞∞⎢⎥∞∞∞∞⎢⎥⎢⎥∞∞∞∞⎢⎥∞∞∞∞∞∞⎢⎥⎣⎦三、图的应用：例：如图，用点代表7个村庄，边上的权代表村庄之间的路长，现在要在这7个村庄中布电话线，如何布线，使材料最省？分析：需要将图中的边进行删减，使得最终留下的图仍然连通，并且使总的权值最小。
哥尼斯堡七桥问题
现在已发展成为研究连续性现象的数学分支。
拓扑学应用实例
前面所提的哥尼斯堡七桥问题、四色问题？ 左手套能否在空间掉转位置后变成右手套？ 一条车胎能否从里朝外的把他翻转过来？ 一只有把的茶杯与救生圈更相似，还是与花瓶更相
互相衔接的两两不同的一串“弧”称为“路”。路中弧的端 点称为路的“顶点”。如果起点与终点相同称为“闭路”。 如果闭路的顶点又不相同，称为“圈”。如下所示：
路
闭路
圈
网络与一笔画问题
于是我们可以给出一笔画的理论叙述。
“一笔画”问题相当于给定一个网络。问： “有没有可能把所有的弧排成一条路”。
如果一个网络的全部弧可以排成一条路，那 么我们称这个网络为一个一笔画。
纸圈，然后只允许用一种颜色，在纸圈上的一面涂抹，最后 把整个纸圈全部抹成一种颜色，不留下任何空白。 这个纸圈应该怎样粘？ 如果是纸条的首尾相粘做成的纸圈有两个面，势必要涂完一 个面再重新涂另一个面，不符合涂抹的要求。 能不能做成只有一个面、一条封闭曲线做边界的纸圈？
莫比乌斯带的发现
对于这样一个看来十分简单的问题，数百年间，曾有许多科 学家进行了认真研究，结果都没有成功。后来，德国的数学 家莫比乌斯对此发生了浓厚兴趣，他长时间专心思索、试验， 也毫无结果。
当地的市民正从事一项非常有趣的消遣活动。这项有趣的消 遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥的散步，每座桥只 能经过一次而多人对此很感兴趣，纷纷进行试验，但在相 当长的时间里，始终未能解决。
而利用普通数学知识，每座桥均走一次，那这七座桥所有的 走法一共有5040种，而这么多情况，要一一试验，这将会是 很大的工作量。
哥尼斯堡七桥问题(高级课件)
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欧拉在数学、物理、天文、建筑以至音乐、哲 学方面都取得了辉煌的成就。在数学的各个领 域，常常见到以欧来命名的公式、定理、和重 要常数。课本上常见的如π、i、e、sin、cos、 tg、△x、Σ、f(x)等，都是他创立并推广的。 欧拉还首先完成了月球绕地球运动的精确理论， 创立了分析力学、刚体力学等力学学科，深化 了望远镜、显微镜的设计计算理论。
居民便热衷于
以下有趣的问题：能不能设计一次散步，使得七
座桥中的每一座都走过一次，而且只走过一次?
这便是著名的哥尼斯堡七桥问题。
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这个问题后来变得有点惊心动魄：说是有
一队工兵，因战略上的需要，奉命要炸掉这七座
桥。命令要求当载着炸药的卡车驶过某座桥时，
就得炸毁这座桥，不许遗漏一座！
理论上需要解决的问题是：找到“一个图形可以 一笔画”的充要条件。
欧拉注意到每个点都是若干条线的端点，他把图
形上的点分为两类：奇点和偶点。要想不重复地一笔 画出某个图形，除去起始点和终止点外，其余点，如 果画进去一条线，就一定要画出一条线，从而必须是 偶点。
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一笔画原理：
一个图如果可以一笔画成，那么这个图中 奇数顶点的个数不是0就是2。反之亦然。
当图形中有两个顶点时，以其中一个为起始点， 另一个为终止点，就能一笔画；当图形中没有奇点时， 从任何一个起始点都可以完成一笔画。
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想不到轰动一时的哥尼斯堡七桥问题， 竟然与孩子们的游戏，想用一笔画画出“串 "字和“田”字这类问题一样，而后者并不 比前者更为简单!
哥尼斯堡七桥问题
A
B
问题转化为：左图 中是否存在通过每 边一次且仅一次的 封闭路线。
S
欧拉的结论 欧拉证明：一个图中存在通过每边一次且仅一次回 到出发点的路线的充要条件是： 1)图是连通的，即任意两点可由图中的一些边连接 起来； 2)与图中每一顶点相连的边必须是偶数。 由此得出结论：七桥问题无解。 欧拉由七桥问题所引发的研究论文《有关位置的几 何问题的解法”》 （于1736年发表）是图论的 开篇之作，因此称欧拉为图论之父。
18世纪东普鲁士哥尼斯堡被普列戈尔河分为四块, 它们通过七座桥相互连接,如下图.当时该城的市民 热衷于这样一个游戏:“一个散步者怎样才能从某块 陆地出发，经每座桥一次且仅一次回到出发点？”
哥尼斯堡七桥问题
பைடு நூலகம்
七桥问题的分析
七桥问题看起来不难，很多人都想试一试，但没有 人找到答案 .后来有人写信告诉了当时的著名数学家 欧拉.千百人的失败使欧拉猜想,也许那样的走法根本 不可能.1836年,他证明了自己的猜想。 Euler把南北两岸和两个岛抽象成四个点,将连接这 些陆地的桥用连接相应两点的一条线来表示，这样哥 尼斯堡的七桥就转化为如下一个简图：
第二章 第二节 哥尼斯堡七桥问题
第二节哥尼斯堡七桥问题教学目标1.了解哥尼斯堡七桥问题的由来2.理解欧拉解决哥尼斯堡七桥问题的方法3.掌握一笔画问题的步骤教学重点掌握一笔画问题的技巧教学过程一、导入哥尼斯堡七桥问题的由来哥尼斯堡曾是东普鲁士的首府，现称加里宁格勒，在俄罗斯境内。
在第二次是世界大战时，的军警哲理入侵波兰。
后来，苏军也是从此地打进德国的。
所以哥尼斯堡是一座历史名城。
同时，在这里诞生和培养过许多伟大人物。
如著名唯心主义哲学家康德，终生没有离开此城。
在哥尼斯堡城中有一条布勒格尔河，横贯城中。
河有两条支流，一条称新河，一条叫旧河，在城中心汇合成一条主流，在合流的地方中间有一座河心岛，这是城中繁华的商业中心。
由于布勒格尔河的流过，使全城分成为四个地区：岛区、北区、东区和南区。
在布勒格尔河上，架了七座桥，其中五座将河岛与河岸连接起来，另有两座架在二支流上。
这一别致的桥群，吸引了众多的哥尼斯堡居民和游人来此河边散步或去岛上买东西。
早在18世纪，就有人提出这样的问题：“能否在一次散步中每座桥都走一次，而且只能走一次，最后又回到原来的出发点？”这个问题吸引了不少人去思考实验。
事实上，要走遍这七座桥的所有走法共有7！=5040种，要想一一验过，谈何容易。
是否在这5040中走法中存在着一条走遍七座桥而又不重复的路线呢？谁也回答不了。
因而形成了著名的“哥尼斯堡七桥问题”。
二、新授哥尼斯堡七桥问题的解决1735年，有几名大学生写信给当时正在俄国彼得堡科学院任职的天才数学家欧拉，请他帮忙解决。
欧拉并未轻视生活小题，他似乎看到其中隐藏着某种新的数学方法。
经过一年的研究，29岁的欧拉于1736年向彼得堡科学院递交了一份题为《哥尼斯堡的七座桥》的论文，圆满地解决了这一问题，同时开创了数学的一个新分支——图论。
问题的抽象——数学化欧拉是如何将这生活的趣味问题转化为数学问题的呢？又是如何证明要想一次走过这七座桥是不可能的呢？欧拉的方法十分巧妙：他用点A、B、C、D表示哥尼斯堡城的四个地区B（岛区）、C（北区）、A（东区）、D（南区）；七座桥看成这四个点的连线，用f，d，a，c，b，e，g七个数字表示,如图3-1。
高中数学知识点精讲精析 哥尼斯堡七桥问题
2 哥尼斯堡七桥问题十八世纪东普鲁士哥尼斯堡城（今俄罗斯加里宁格勒）的普莱格尔河，它有两个支流，在城市中心汇成大河，中间是岛区，河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图1所示。
由于岛上有古老的哥尼斯堡大学，有教堂，还有哲学家康德的墓地和塑像，因此城中的居民，尤其是大学生们经常沿河过桥散步。
渐渐地，爱动脑筋的人们提出了一个问题：一个散步者能否一次走遍7座桥，而且每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。
这就是七桥问题，一个著名的图论问题。
图1这个问题看起来似乎很简单，然而许多人作过尝试始终没有能找到答案。
因此，一群大学生就写信给当时年仅20岁的大数学家欧拉。
欧拉从千百人次的失败，以深邃的洞察力猜想，也许根本不可能不重复地一次走遍这七座桥，并很快证明了这样的猜想是正确的。
欧拉是这样解决问题的：既然陆地是桥梁的连接地点，不妨把图中被河隔开的陆地看成4个点，7座桥表示成7条连接这4个点的线，如图2所示。
图2 图3于是“七桥问题”就等价于图3中所画图形的一笔画问题了。
欧拉注意到，如果一个图能一笔画成，那么一定有一个起点开始画，也有一个终点。
图上其它的点是“过路点”——画的时候要经过它。
现在看“过路点”具有什么性质。
它应该是“有进有出”的点，有一条边进这点，那么就要有一条边出这点，不可能是有进无出，如果有进无出，它就是终点，也不可能有出无进，如果有出无进，它就是起点。
因此，在“过路点”进出的边总数应该是偶数，即“过路点”是偶点。
如果起点和终点是同一点，那么它也是属于“有进有出”的点，因此必须是偶点，这样图上全体点都是偶点。
如果起点和终点不是同一点，那么它们必须是奇点，因此这个图最多只能有二个奇点。
现在对照七桥问题的图，所有的顶点都是奇点，共有四个，所以这个图肯定不能一笔画成。
欧拉对“七桥问题”的研究是图论研究的开始，同时也为拓扑学的研究提供了一个初等的例子。
事实上，中国民间很早就流传着这种一笔画的游戏，从长期实践的经验，人们知道如果图的点全部是偶点，可以任意选择一个点做起点，一笔画成。
七桥问题
哥尼斯堡七桥哥尼斯堡七桥问题也叫做欧拉七桥问题，曾经悬而未解，后得以被数学家欧拉证明。
欧拉曲线也是从七桥问题开始的。
相传在哥尼斯堡这座古老的城市有一个传说，有两条河流在这里交汇，将这座城市分成了四个部分，居民于是在城里造了七座桥将这四个部分连接起来，便利了这里的交通。
但也由此产生了一个疑问，城市里有没有一种路线能一次走完所有的桥，并且每座桥都只走一次。
这个问题难倒了当时所有的市民，同时也引来的欧拉的观注。
欧拉作为一个数学家，以他独有的方式将桥梁跟陆地看成是由点和线连起来的一个图，能不能一次走完七座桥就变成了能不能一笔画完这个图的问题。
如果这个图能够一笔画完，一定存在一个终点和起点，而除去终点和起点，只看中间将会经过的点，欧拉的认为，每通过一条线进入一个点，必定还有一条线能离开这个点，这样进入的线与出去的线肯定相等，也就是说，连接这些点的线必将是偶数。
而在欧拉设想的这个图中，每个点的相邻的线都是奇数，所以不可能一笔画完这个图，一次走完七座桥的路线也就不存在。
欧拉将对此问题的研究化为了一个几何问题，这种几何区别于以前的几何主要是交点的位置、线段的长短甚至它们的面积都不重要，重要的是点、线之间的相关关系，这就是数学上图论的先河。
可见，对数学问题的研究，甚至大到数学学科的开创，也是从生活实践中得来的，生活中何尝又不存在真理呢？反观欧拉曲线，其中每次所画的线都符合上述欧拉的观点，不同的是，曲线不一定是闭合的，甚至就是一条直线也有可能，终点和起点也不一定是同一个点。
事实上，如果能一笔画完一条曲线，那么这条曲线包含奇数条边的点的数目不是0就是2，如果点连接的边都是偶数的话终点与起点肯定在同一个点上，并且可以任选一个点作为终点和起点一笔画完，而如果有两个点连接的边是奇数，那么终点跟起点就在这两个点上，要一笔画完这条曲线，必定是从其中一个奇数点开始，终止于另一个奇数点。
欧拉曲线，你会玩了吗？。
哥尼斯堡七桥问题
一、哥尼斯堡七桥问题18世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒)的普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图1所示。
城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。
这就是七桥问题，一个著名的图论问题。
图1这个问题看起来似乎不难，但人们始终没有能找到答案，最后问题提到了大数学家欧拉那里。
欧拉以深邃的洞察力很快证明了这样的走法不存在。
欧拉是这样解决问题的：既然陆地是桥梁的连接地点，不妨把图中被河隔开的陆地看成A、B、C、D4个点，7座桥表示成7条连接这4个点的线，如图2所示。
图2 图3于是“七桥问题”就等价于图3中所画图形的一笔画问题了。
欧拉注意到，每个点如果有进去的边就必须有出来的边，从而每个点连接的边数必须有偶数个才能完成一笔画。
图3的每个点都连接着奇数条边，因此不可能一笔画出，这就说明不存在一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次的走法。
欧拉对“七桥问题”的研究是图论研究的开始，同时也为拓扑学的研究提供了一个初等的例子.二、四色猜想近代三大数学难题之一。
四色猜想的提出来自英国。
1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。
”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。
兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。
1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德.摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。
哈密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。
但直到1865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。
哥尼斯堡七桥问题答案
哥尼斯堡七桥问题答案问题简介哥尼斯堡七桥问题是数学史上的一个著名问题，它由瑞士数学家欧拉在18世纪提出。
问题描述如下：哥尼斯堡的一座岛屿被普雷格尔河和纳勒曼河所环绕，而岛上有七座桥连接了岛与河岸的各个区域。
欧拉的问题是能否找到一条路线，使得每座桥都只经过一次，且最终回到起点。
欧拉图的引入为了解决这一问题，欧拉引入了欧拉图的概念。
欧拉图是指一个图中存在一条路径，经过图中每条边一次且仅一次，且最终回到起点。
欧拉图的概念为解决哥尼斯堡七桥问题提供了思路。
哥尼斯堡七桥问题的解答欧拉图的性质在欧拉引入的欧拉图概念中，他提出了以下性质：1.如果一个图是欧拉图，那么它的度数为奇数的顶点个数一定是0个或2个。
2.如果一个图是欧拉图，那么它的每个顶点都是偶数度数。
欧拉图的性质为解决哥尼斯堡七桥问题提供了重要的线索。
哥尼斯堡七桥问题的解答根据欧拉图的性质，我们可以进行如下步骤来解决哥尼斯堡七桥问题：1.对于给定的一组桥和岛屿，首先统计每个岛屿的度数（与之相连的桥的数量）。
如果某个岛屿的度数为奇数，则将其记为M。
2.如果M为0，则存在一条路径，经过所有的桥且每座桥只经过一次，最终可以回到起点，问题得到解答。
3.如果M为2，则存在两条路径，经过所有的桥且每座桥只经过一次，最终可以从一条路径回到另一条路径，问题得到解答。
4.如果M大于2，则不存在满足条件的路径，问题无解。
示例以下是一个具体的示例来解答哥尼斯堡七桥问题：给定的桥和岛屿如下图所示：A---B---C/ \\ / \\ / \\D---E---F---G根据图中的连接关系，我们可以统计每个岛屿的度数： - A的度数为2 - B的度数为3 - C的度数为2 - D的度数为3 - E的度数为4 - F的度数为4 - G的度数为2从统计结果可知，B、D、E、F的度数为奇数，即M=4。
根据步骤3的解答方法，我们可以得出结论：不存在满足条件的路径，问题无解。
结论哥尼斯堡七桥问题既是数学史上的著名问题，也是欧拉图理论的起点之一。
七桥问题
七桥问题目录七桥问题故事背景推断方法最终成果展开编辑本段七桥问题1736年29岁的欧拉向圣彼得堡科学院递交了《哥尼斯堡的七座桥》的论文，在解答问题的同时，开创了数学的一个新的分支-----图论与几何拓扑。
也由此展开了数学史上的新进程。
问题提出后，很多人对此很感兴趣，纷纷进行试验，但在相当长的时间里，始终未能解决。
七桥问题和欧拉定理。
欧拉通过对七桥问题的研究，不仅圆满地回答了哥尼斯堡居民提出的问题，而且得到并证明了更为广泛的有关一笔画的三条结论，人们通常称之为“欧拉定理”。
编辑本段故事背景七桥问题七桥问题Seven Bridges Problem18世纪著名古典数学问题之一。
在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图)。
问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点?欧拉于1736年研究并解决了此问题，他把问题归结为如下右图的“一笔画”问题，证明上述走法是不可能的。
有关图论研究的热点问题。
18世纪初普鲁士的哥尼斯堡，有一条河穿过，河上有两个小岛，有七座桥把两个岛与河岸联系起来(如左图上)。
有个人提出一个问题：一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完七座桥，最后回到出发点后来大数学家欧拉把它转化成一个几何问题(如左图下)——一笔画问题。
他不仅解决了此问题，且给出了连通图可以一笔画的重要条件是它们是连通的，且奇顶点(通过此点弧的条数是奇数)的个数为0或2.编辑本段推断方法当Euler在1736年访问Konigsberg, Prussia(now Kaliningrad Russia)时，他发现当地的市民正从事一项非常有趣的消遣活动。
Konigsberg城中有一条名叫Pregel的河流横经其中，这项有趣的消遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥的散步，每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点。
Euler把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示。
数学史上著名的哥尼斯堡七桥问题
数学史上著名的哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡七桥问题是数学史上一道著名的问题，引起了许多数学家的关注和研究。
这个问题的发现者是瑞士数学家欧拉，他在1736年提出了这个问题并给出了解决方法，从而开创了图论的研究领域。
哥尼斯堡七桥问题的描述是：哥尼斯堡城市由一座岛屿和两岸的陆地组成，岛屿上有七座桥连接着不同的地方，问题是是否能够从一个地方出发，经过每座桥仅一次，返回出发地点。
这个问题看似简单，但却涉及到了许多复杂的数学概念和原理。
为了解决这个问题，欧拉引入了图论的概念。
他将岛屿、桥梁和地点抽象成为图的节点和边，通过分析节点和边的关系，他成功地解决了这个问题。
欧拉的解决方法是基于一个重要的原则：如果一个图中有多于两个奇数度的节点，那么无法找到一条路径经过每条边仅一次。
在哥尼斯堡的情况下，岛屿上的每个地点都是奇数度的，因此无法找到这样一条路径。
这一解决方法成为了图论的基础，也为后来的数学研究提供了重要的思路和方法。
哥尼斯堡七桥问题的解决不仅是一个具体问题的解决，更是对图论的奠基。
图论是一门研究图及其性质的学科，它广泛应用于计算机科学、网络科学、运筹学等领域。
图论的发展也推动了数学的发展，为许多实际问题的解决提供了重要的工具和方法。
除了在数学领域有重要的应用，哥尼斯堡七桥问题也在其他领域产生了广泛的影响。
例如，在城市规划中，人们借鉴了哥尼斯堡七桥问题的解决方法，避免了在设计桥梁和交通规划时出现无解的情况。
此外，在计算机科学中，图论的应用也得到了广泛的关注，例如在网络路由、图像处理和社交网络分析等方面。
总的来说，哥尼斯堡七桥问题是一个具有重要历史意义的问题，在数学史和学科发展史上都占有重要的地位。
它的解决不仅推动了图论的发展，也为其他领域的问题解决提供了重要的思路和方法。
哥尼斯堡七桥问题的解决不仅是一项数学成就，更是对人类思维能力的一种挑战和突破。
通过对这个问题的研究，我们能够更好地理解数学的力量和应用，同时也能够培养我们的逻辑思维和问题解决能力。
2.哥尼斯堡七桥问题-湘教版选修4-8统筹法与图论初步教案
哥尼斯堡七桥问题-湘教版选修4-8统筹法与图论初步教案什么是哥尼斯堡七桥问题？哥尼斯堡七桥问题，又称为哥尼斯堡桥问题，是欧拉于1736年提出的一道经典问题。
该问题的问题陈述是：有一座河流将一个岛分为了两个部分，部分之间由七座桥连接。
那么，能否从该岛的一个点出发，经过每座桥恰好一次，回到出发点？这道问题是图论的一个经典问题，具有重要的理论意义和实际应用价值。
哥尼斯堡七桥问题的解法为了解决哥尼斯堡七桥问题，我们首先需要用图论的语言来描述这个问题。
在图论中，我们可以将河流和岛上的部分看成图中的点（vertex），而河上的桥则看成两个点之间的边（edge）。
这样，我们就可以将哥尼斯堡桥问题转化为在图中寻找一条路径，使得恰好经过所有边一次，并回到起点。
显然，这个问题与欧拉定理有直接关系：一个无向连通图存在欧拉回路（Eulerian circuit），当且仅当该图的每个点的度数均为偶数。
在哥尼斯堡七桥问题中，每个岛上的点的度数均为奇数，而每座桥连接的两个点的度数均为偶数。
因此，该问题无解。
为了更好地理解这个结果，我们可以继续探索欧拉定理的证明。
欧拉在证明欧拉定理时，使用了一个类似哥尼斯堡桥问题的图，即著名的“Königsberg Bridge Problem”。
在这个问题中，哥尼斯堡的四座岛上分别建有七座桥，我们可以用一个类似如下的图来描述这个问题：(2)------(1)/ | \\ / | \\(3) | (0) | \\\\ | / \\ | \\(4)------(5)---(6)在这个图中，点代表岛，边代表桥，我们需要找到一条路径，使得经过每座桥恰好一次，最终回到起点。
为了解决这个问题，我们可以使用欧拉定理的证明方法，即通过构造欧拉回路，证明该图必然存在一条符合要求的路径。
观察这个图，我们可以发现，该图无法通过欧拉回路回到起点，因为其中有两个点（0和5）的度数为奇数。
相反地，我们可以找到一条路径，使得经过每座桥恰好一次，并在终点处止步，如下图所示：(2)------(1)/ | \\ / | \\(3) | (0) | \\\\ | / \\ | \\(4) (5)---(6)这样，我们证明了哥尼斯堡桥问题无解，因为该图的每个点的度数均为奇数，不符合欧拉定理的条件。
哥尼斯堡七桥问题
七桥问题的起源
18世纪初，哥尼斯堡的居民开 始对城市中的七座桥梁产生了 浓厚的兴趣。
当时，人们开始思考是否能够 遍历这七座桥梁，每座桥只过 一次，最后回到起始点。
这个问题引起了广泛的关注和 讨论，成为了著名的哥尼斯堡 七桥问题。
02
问题描述
七座桥与哥尼斯堡城市的关系
哥尼斯堡是位于普鲁士王国的一个城市，拥有七座桥梁连接 城市的各个部分。这些桥梁是该城市的重要交通枢纽，也是 文化和历史遗产。
05
结论
哥尼斯堡七桥问题的历史地位和意义
1 2
开启图论研究先河
哥尼斯堡七桥问题被视为图论和欧拉路径研究的 起点，为后续图论学科的发展奠定了基础。
推动数学发展
该问题的解决推动了数学领域中拓扑学和几何学 的发展，对数学理论产生了深远的影响。
3
Hale Waihona Puke 激发探索精神哥尼斯堡七桥问题激发了人们对数学和图论的兴 趣，促使更多人投身于数学研究，推动数学科学 的进步。
物等，以推动数学和其他学科的共同发展。
THANKS
感谢观看
03
欧拉的研究
欧拉对七桥问题的初步探索
欧拉对七桥问题的初步探索始于对哥尼斯堡城市结构的观察。他注意到城市中的七座桥，并 思考是否可以从哥尼斯堡的一个地方开始，遍历所有的桥，每座桥只过一次，最后回到开始 的地方。
欧拉注意到，尽管哥尼斯堡的居民可能认为这是一个有趣的问题，但并没有实际的数学模型 或理论来支持或解决这个问题。
哥尼斯堡七桥问
• 引言 • 问题描述 • 欧拉的研究 • 七桥问题的扩展和影响 • 结论
01
引言
哥尼斯堡背景介绍
01
哥尼斯堡是普鲁士王国的城市， 位于普鲁士东部的奥得河畔，是 重要的交通枢纽和商业中心。
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从“哥尼斯堡七桥问题”谈到“中国邮递员问题”
古城哥尼斯堡，景致迷人，碧波荡漾的普瑞格尔河横贯其境。
普瑞格尔河的两岸及河中的两个美丽的小岛，由七座桥连接组成了这座秀色怡人的城市（如图）。
古往今来，吸引了无数的游人驻足于此。
早在十八世纪，哥尼斯堡属于德国东普鲁士(今俄罗斯加里宁格勒。
1945年德国战败根据波茨坦会议的决定将哥尼斯堡连同东普鲁士一部分地区割让给苏联，次年为纪念刚逝世的苏联共产党和苏维埃国家领导人米哈伊尔·加里宁，柯尼斯堡更名为加里宁格勒)。
那时候，哥尼斯堡市民生活富足。
市民们喜欢四处散步，于是便产生这样的问题：是否可以设计一种方案，使得人们从自己家里出发，经过每座桥恰好一次，最后回到家里。
这便是著名的“哥尼斯堡七桥问题”。
热衷于这个有趣的问题的人们试图解决它，但一段时间内竟然没有人能给出答案。
后来，问题传到了瑞士著名数学家欧拉那里，居然也激起了他的兴趣。
他从人们寻求路线屡遭失败的教训中敏锐地领悟到，也许这样的方案根本就不存在。
欧拉经过悉心的研究，1736年，年方29岁的欧拉终于解决了这个问题，并向圣彼得堡科学院递交了一份题为《哥尼斯堡的七座桥》的论文。
论文不仅仅是解决了这一难题，而且引发了一门新的数学分支——图论的诞生。
论文的核心就是著名的“一笔画原理”：
对满足下列两个要求的图就可以一笔画出：i.首先是连通图；ii.其次奇点个数为0或2，当且仅当奇点个数为0时，始点和终点重合，形成的一笔画称为欧拉回路，而当奇点个数为2时，形成的一笔画称为欧拉迹。
我们知道，对于可一笔画出的图，首先必须是连通的；其次对于图中的某点，如果不是始点或终点，那么它必有进有出，即交汇于此点的弧线总是成双成对的，此点必定是偶点。
如图，七桥问题的图的奇点的个数为4，这表明它不是欧拉回路，也不是欧拉迹，因而，不论始点和终点是否重合都不可能找到一条经过七座桥且每座桥只走一次的路线！
随着时间的推移，图论不断发展，欧拉回路问题也有所拓广。
就这样到了二十世纪，又出现了一个新的问题。
一个邮递员，每次送信必须从邮局出发，走遍如图示的投递区域内的所有道路，最终回到邮局（图中路旁各数字分别表示对应路段的长度，单位：华里）。
他习惯按路线KHGFEDCBAIABJDEKJIHK投递（图中★为邮局）。
聪明的读者朋友，你知道他的路线是最短的吗？如果不是，请你帮助这位邮递员设计一条最短路线，并说明最短路线比他的路线少几华里？
1959年，我国山东大学管梅谷等一批科研人员把物资调运中的图上作业法与一笔画原理科学地结合起来，解决了这类邮递员投邮路线问题，因此它被数学界称为“中国邮递员问题”。
下面，我们一起来分析这个问题：
由于网络的奇点必定成双，又图中奇点有6个，根据一笔画原理，此图不存在欧拉回路，则必须通过添加弧线，使每个顶点均变成偶点，同时考虑添加的弧线长度总和最短才满足要求。
显然两奇点间可直接添弧一条；奇点与偶点间添弧一条且此偶点还须与另一奇点添
弧一条；两偶点间不必添弧。
添弧时应注意：（1）不能出现重迭添弧。
重迭添弧应成对抹去，这样并不改变每一点的奇偶性；（2）每一个圈上的添弧总长不能超过圈长一半。
否则应将此圈上的原添弧抹去，而在此圈上原没有添弧的路线上加添弧，这样也不改变每一点的奇偶性。
注意了（1）、（2），既保证了不改变每点奇偶性，又保证了添弧总长最短。
现在我们看邮递员的投邮路线，如图1。
添弧后的新图形已是不含奇点的脉胳，根据一笔画原理，这个脉胳的全部弧线可构成一条欧拉回路。
对照（1）、（2）可知，图中添弧总长不是最短，必须调整。
显然在[ABJKHI]圈中，添弧总长超过了该圈长一半。
调整后，如图2。
此时，添弧不重迭并且每一个圈上的添弧总长都不超过本圈长的一半。
另外，每点奇偶性相对于图1没有改变，全是偶点。
全部弧线仍可构成一条欧拉回路，并且这条路线才是最短投邮路线。
因此，邮递员的投邮路线并非最短。
根据以上分析，最短投邮路线可设计为：KHGFEDCBAIHIJBJDEKJK或KJKHGFEDCBAIHIJBJDEK等等。
此时，最短路线比邮递员路线少0.8华里。
中国邮递员问题的巧妙解决，也使它成为数学知识古为今用的典范。
读者朋友，你还记得牛顿的名言吗？“如果我比笛卡尔看得远些，那是因为我站在巨人们的肩上的缘故。
”
今天我们必须继承前人给我们留下来的宝贵知识财富，认真学习科学文化知识，不断创新，发扬光大，继往开来！。