化工流体流动与传热

位置随 时 间变化 相对的位率置随 时间变化率
线性形变速率
结论 体积形变速率 = 线性形变速率之和 体积形变速率 = 速度向量的散度
二、连续性方程的分析
2. 稳态流动的连续性方程
(ux ) (u y ) (uz ) 0
x
y
z
0(稳态)
(ux ) (u y ) (uz ) 0
x
y
z
在流体运动的空间中选一质量固定的流体微元， 该流体微元随流体一起运动，对此流体微元依据守 恒定律作相应的衡算，以得到相应的微分衡算方程。
流
质量固定
体
流体 微元
位置变化
微 元
u
体积随密度变化
二、物理量的时间导数
1. 时间导数的测定方法 示例 测定大气温度随时间的变化。
设大气的温度场 t t(x, y, z, )
随体导数 定义式
dt t
t
t
t
d ux x u y y uz z
随体导数
随波逐流导数
第一章 流体流动
1.6 流体流动的微分方程 1.6.1 概述 1.6.2 连续性方程
一、连续性方程的推导
采用欧拉方法推导
边长 dx、dy、dz
流体 微元
体积 dxdydz
质量 dxdydz
点（x, y, z）处的速度
作业题: 20、21
方法1
偏导数表示观察者位置固定，此时测得的温度
随时间的变化率。 （2）全导数 dt
d
方法2
全导数表示观察者与流体各以任意的速度运动，
此时测得的温度随时间的变化率。
二、物理量的时间导数
由 t t(x, y, z, )
全微分得
dt t d t dx t dy t dz
x y z
除以d 得
全导数 定义式
第一章 流体流动
1.1 流Biblioteka Baidu的物理性质 1.2 流体静力学基本方程 1.3 流体流动的基本概念 1.4 流体流动的基本方程 1.5 动量传递与流动阻力导论 1.6 流体流动的微分方程 1.6.1 概述
一、微分衡算方程与微分衡算方法
1. 微分衡算方程
连续性
对微单分组质分量流衡体算进方行程√微分质量衡方算程
微分 衡算 方程
微 对分流体动进量行衡算微分方动程√量衡算
传热微分方程 对流体进行微分能量衡算
运动 方程
能量 方程
传质微分方程
对流扩 散方程
对多组分流体进行微分质量衡算
一、微分衡算方程与微分衡算方法
2. 微分衡算方法
选择衡 算范围
依据守 恒定律
进行微 分衡算
流体 微元
微分衡 算方程
选择流 体微元
欧拉方法 拉格朗日方法
z
)
dxdydz
流体微元质量速率差
(输出)-(输入) ( (ux ) (u y ) (uz ) )dxdydz
x
y
z
一、连续性方程的推导
流体微元内累积的质量速率
M (dxdydz) dxdydz
代入衡算方程得
(ux ) (u y ) (uz ) 0
散度 x
y
z
(u)
0
通用的连 续性方程
1 Dv 1 D 0 v D D 1 Dv ( ux u y uz ) 0
v D x y z
以随体导数表示 的连续性方程
二、连续性方程的分析
由
1 Dv ( ux u y uz ) 0
v D x y z
1
Dv
u
v D
体积随 时 间变化 相对的体积随率 时间变化率
体积形变速率
稳态流动的 连续性方程
(u) 0
二、连续性方程的分析
3. 不可压缩流体的连续性方程
(ux ) (u y ) (uz ) 0
x
y
z
0(不可压缩流体)
ux u y uz 0 x y z
u 0
不可压缩流体 的连续性方程
三、柱坐标与球坐标的连续性方程
1. 柱坐标的连续性方程 柱坐标系的坐标分量
一、运动方程的推导
1.以应力表示的运动方程
y
（1）动量守恒定律表达式 采用拉格朗日方法推导
dy u
流体 微元
边长 dx、dy、dz
dx dz
体积 dxdydz
x
质量 dxdydz z 微分动量衡算
由动量守恒定律
F
Ma
M
du
d
一、运动方程的推导
应用于流体微元
作用在流体微元上的合外力
dF
dxdydz
f ( , r,, z)
时间 径向 坐标
方位角 坐标
轴向 坐标
直角坐标与柱坐标的关系
三、柱坐标与球坐标的连续性方程
柱坐标的连续性方程为
1 r
r
(rur
)
1 r
(u
)
z
( u z
)
0
轴对称
0
r
三、柱坐标与球坐标的连续性方程
2. 球坐标的连续性方程 柱坐标系的坐标分量
f ( , r,, )
Du
D
dFx
dxdydz
Du x
D
dF
dFy
dxdydz Du y D
动量守恒定 律表达式
dFz
dxdydz
Du z
D
一、运动方程的推导
（2）作用在流体微元上的外力 ① 体积力 作用在流体微元整体上的力 只考虑重力场的影响
设 dFg —流体微元所受的重力，N
dFgx Xdxdydz dFg dFgy Ydxdydz
dFgZ Zdxdydz
一、运动方程的推导
设 x 轴与重力加速度
y
方向夹角为
X g cos Y g sin
z
X
x
Z 0
Y
g
一、运动方程的推导
y
若 x、z 轴水平
X 0
x
Y g
z
Z 0
g
由此可知，只要坐标方位确定，dFg 即为已知。
练习题目
思考题 1.进行微分衡算有哪两种方法，二者有何区别？ 2.偏导数、全导数和随体导数各有何物理意义？ 3.连续性方程推导的原则是什么? 4.何为体积形变速率和线性形变速率？ 5.轴对称和球心对称各表示何概念？
在 x 方向
y
输入的质量速率 ux
u x dydz
输出的质量速率
z
[u
x
( u x
x
)
dx]dydz
dx
dy
dz
u x
( u x
x
)
dx
x
质量速率差
（输出-
输入）x
( u x
x
)
dxdydz
一、连续性方程的推导
同理，在 y 和 z 方向
（输出-
输入）y
(u y
y
)
dxdydz
（输出-
输入）z
( u z
方法1：观察者手持测温表，站在空间某固定位置
处，记录不同时刻大气的温度。 方法2：观察者手持测温表，以任意速度 v 在空间
移动，记录不同时刻大气的温度。
方法3：观察者手持测温表，乘坐热气球随大气以 速度 u运动，记录不同时刻大气的温度。
二、物理量的时间导数
2. 时间导数的表示方法
（1）偏导数 t
一、微分衡算方程与微分衡算方法
（1） 欧拉（Euler）方法
在流体运动的空间中选一位置固定、体积固定
的流体微元，对此流体微元依据守恒定律作相应的
衡算，以得到相应的微分衡算方程。
流y
位置固定
体
流体 微元
体积固定
微 元
质量随密度变化
dy
dz
dx
x
z
一、微分衡算方程与微分衡算方法
（2） 拉格朗日（Lagrange）方法
时间 径向 坐标
方位角 坐标
余纬 度坐 标
直角坐标与球坐标的关系
三、柱坐标与球坐标的连续性方程
球坐标的连续性方程为
1 r2
r
(r 2ur )
1
r sin
(u
sin )
1
r sin
(u )
0
r
球心 0
对称
0
第一章 流体流动
1.6 流体流动的微分方程 1.6.1 概述 1.6.2 连续性方程 1.6.3 运动方程
微分质量 衡算方程
二、连续性方程的分析
1. 以随体导数表示的连续性方程
展开得
( ux
x
u y y
u z z
) ux
x
uy
y
uz
z
0
D ( ux uy uz ) 0 以随体导数表示
D x y z
的连续性方程
D
( u )
0
D
二、连续性方程的分析
由 1 v 1
v
比容
Dv v D 0 D D
dt t t dx t dy t dz
d x d y d z d
二、物理量的时间导数
式中
vx
dx
d
vy
dy
d
观察者的速度 v
vz
dz
d
ux 流体的速度 u u y
uz
二、物理量的时间导数
（3）随体导数
Dt
D
方法3
随体导数表示观察者与流体运动速度相等，此
时测得的温度随时间的变化率。
u v
ux u uy
uz
（x, y, z）
y
dy
dz
dx
x z
微分质量衡算
一、连续性方程的推导
点（x, y, z）处的质量通量
ux
u u y
u z
u
(
kg m3
)(
m s
)
kg m2 s
根据质量守恒定律
(输入质量流率)=(输出质量流率)+(累积质量速率)
(输出)-(输入)+(累积)= 0
一、连续性方程的推导