2020年重庆市南岸区春招数学试卷 (解析版)
重庆市南岸区2020年中考数学春招试卷(含解析)
重庆市南岸区2020年中考数学春招试卷一、选择题1．下列四个数中，是无理数的是（）A．B．0 C．D．2．据统计，近日前往重庆“龙门皓月”景点参观的人数达到了26000人，将26000用科学记数法表示为（）A．0.26×105B．2.6×104C．26×103D．260×1023．不等式﹣x+1＞x的解集是（）A．x＞﹣2 B．x＜2 C．x＞﹣D．x＜4．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．如图，在平行四边形ABCD中，点E在对角线AC上，且BE⊥AB，若∠ACD＝20°，则∠CEB的度数是（）A．95°B．100°C．110°D．115°6．下列式子计算正确的是（）A．m3•m2＝m6B．（﹣m）﹣2＝﹣C．m2+m2＝2m2D．（m+n）2＝m2+n27．如图，点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，且△ABO的面积为8，若双曲线y＝（k ≠0）经过边AB的中点C，则k的值为（）A．4 B．6 C．8 D．128．如图，△ABC与△A1B1C1是以O为位似中心的位似图形，若OA＝3AA1，S△ABC＝36，则S ＝（）A．64 B．68 C．81 D．929．如图，小张坐在某体育馆的观众席的C处目测（从他的眼睛D处看）得体育馆中心O处的俯角为18°，若CD＝1.4米，BC＝1.5米，BC平行于地面OA，台阶AB的坡度为i＝3：4，坡长AB＝15米，则观众席的底端A处与体育馆中心O处的距离约为（）（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）A．20米B．19米C．18米D．17米10．甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步200米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒，在跑步过程中，若甲、乙两人之间的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，则下列结论中正确的是（）A．乙的速度为5米/秒B．乙出发10秒钟将甲追上C．当乙到终点时，甲距离终点还有20米D．m＝3811．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝1，若2＜c＜3，则下列结论中错误的是（）A．abc＜0 B．4a+c＞0 C．﹣1＜a＜﹣D．4a+2b+c＞0 12．如图，在菱形ABCD中，∠D＝120°，AB＝2，点E在边BC上，若BE＝2EC，则点B到AE的距离是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．15题图13．不等式组的解集是．14．据了解，重庆市为确保2020年完成3万个5G基站建设目标的顺利完成，3月1日已经建设开通5G基站数超过10100个．请把数10100用科学记数法表示为．15．在如图所示的电路图中，当随机闭合开关K1，K2，K3中的两个时，能够让灯泡发光的概率为．16．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2．分别以点B，A为圆心，以BC长为半径画弧，交AB于点D，E，交AC于点F，则图中的阴影部分的面积为．（用含π的代数式表示）17．在一段长为1000m的笔直道路AB上，甲、乙两名运动员分别从A，B两地出发进行往返跑训练．已知甲比乙先出发30秒钟，甲距A点的距离y/m与其出发的时间x/分钟的函数图象如图所示．乙的速度是200m/分钟，当乙到达A点后立即按原速返回B点．当两人第二次相遇时，乙跑的总路程是m．18．滴滴快车是一种便捷的出行工具，某地的计价规则如表：计费项目里程费时长费远途费单价2元/公里0.3元/分钟1元/公里注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收1元．小李与小张分别从不同地点，各自同时乘坐滴滴快车，到同一地点相见，已知到达约定地点时他们的实际行车里程分别为7公里与9公里，两人付给滴滴快车的乘车费相同．其中一人先到达约定地点，他等候另一人的时间等于他自己实际乘车时间，且恰好是另一人实际乘车时间的一半，则小李的乘车费为元．三、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡对应的位置上．19．计算：（1）（2x+y）（x+y）+（x﹣y）2；（2）（a﹣）÷．20．如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E，AF平分∠BAD，交BC于点F，交CD的延长线于点G．（1）若∠G＝29°，求∠ADC的度数；（2）若点F是BC的中点，求证：AB＝AD+CD．21．经历疫情复学后，学校开展了多种形式的防疫知识讲座，并举行了全员参加的“防疫”知识竞赛，试卷题目共10题，每题10分．现分别从七年级1，2，3班中各随机抽取10名同学的成绩（单位：分）．收集整理数据如下：分析数据：平均数中位数众数1班83 a802班83 b c3班d80 80 根据以上信息回答下列问题：（1）请直接写出表格中a，b，c，d的值；（2）比较这三组样本数据的平均数、中位数和众数，你认为哪个班的成绩比较好？请说明理由（一条理由即可）；（3）为了让学生重视安全知识的学习，学校将给竞赛成绩满分的同学颁发奖状，该校七年级学生共120人，试估计需要准备多少张奖状？22．已知函数y＝k|x+2|+b的图象经过点（﹣2，4）和（﹣6，﹣2），完成下面问题：（1）求函数y＝k|x+2|+b的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，请用适当的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；（3）已知函数y＝x+1的图象如图所示，结合你所画出y＝k|x+2|+b的图象，直接写出k|x+2|+b＞x+1的解集．23．在疫情期间，某地推出线上名师公益大课堂，为广大师生、其他社会人士提供线上专业知识学习、心理健康疏导．参与学习第一批公益课的人数达到2万人，因该公益课社会反响良好，参与学习第三批公益课的人数达到2.42万人．参与学习第二批、第三批公益课的人数的增长率相同．（1）求这个增长率；（2）据大数据统计，参与学习第三批公益课的人数中，师生人数在参与学习第二批公益课的师生人数的基础上增加了80%；但因为已经部分复工，其他社会人士的人数在参与学习第二批公益课的其他社会人士人数的基础上减少了60%．求参与学习第三批公益课的师生人数．24．对于任意一个四位数，我们可以记为，即＝1000a+100b+10c+d．若规定：对四位正整数进行F运算，得到整数F（）＝a4+b3+c2+d1．例如，F（1249）＝14+23+42+91＝34；F（2020）＝24+03+22+01＝20．（1）计算：F（2137）；（2）当c＝e+2时，证明：F（）﹣F（）的结果一定是4的倍数；（3）求出满足F（）＝98的所有四位数．25．如图，在平面直角坐标系内，点A，B的坐标分别为（1，0），（0，2），AC⊥AB，且AB＝AC，直线BC交x轴于点D，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A，B，D．（1）求直线BC和抛物线y＝ax2+bx+2的函数表达式；（2）点P是直线BD下方的抛物线上一点，求△PCD面积的最大值，以及△PCD面积取得最大值时，点P的坐标；（3）若点P的坐标为（2）小题中，△PCD的面积取得最大值时对应的坐标．平面内存在直线l，使点B，D，P到该直线的距离都相等，请直接写出所有满足条件的直线l的函数表达式．四、解答题（本大题1个小题，共8分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．26．如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，连接AE，过点E作EM⊥AE，交对角线AC于点M，过点M作MN⊥AB，垂足为N，连接NE．（1）求证：AE＝NE+ME；（2）如图2，延长EM至点F，使EF＝EA，连接AF，过点F作FH⊥DC，垂足为H．猜想CH与FH存在的数量关系，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，若点G是AF的中点，连接GH．当GH＝CH时，直接写出GH与AC之间存在的数量关系．参考答案一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1．下列四个数中，是无理数的是（）A．B．0 C．D．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此解答即可．解：A、是分数，是有理数，此选项不符合题意；B、0是整数，是有理数，此选项不符合题意；C、是无理数，此选项符合题意；D、＝3是整数，是有理数，此选项不符合题意．故选：C．2．据统计，近日前往重庆“龙门皓月”景点参观的人数达到了26000人，将26000用科学记数法表示为（）A．0.26×105B．2.6×104C．26×103D．260×102【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：26 000用科学记数法表示是2.6×104．故选：B．3．不等式﹣x+1＞x的解集是（）A．x＞﹣2 B．x＜2 C．x＞﹣D．x＜【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．解：移项，得：﹣x﹣x＞﹣1，合并，得：﹣2x＞﹣1，系数化为1，得：x＜，故选：D．4．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断．解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形．故选：D．5．如图，在平行四边形ABCD中，点E在对角线AC上，且BE⊥AB，若∠ACD＝20°，则∠CEB的度数是（）A．95°B．100°C．110°D．115°【分析】根据平行四边形的性质得出∠CAB＝20°，利用互余和互补解答即可．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∵∠ACD＝20°，∴∠CAB＝20°，∵BE⊥AB，∴∠AEB＝90°﹣20°＝70°，∴∠CEB＝180°﹣70°＝110°，故选：C．6．下列式子计算正确的是（）A．m3•m2＝m6B．（﹣m）﹣2＝﹣C．m2+m2＝2m2D．（m+n）2＝m2+n2【分析】分别按照同底数幂的乘法运算法则、负整数指数幂的运算法则、合并同类项的运算法则和完全平方公式进行判断即可．解：A、m3•m2＝m5，故A错误；B、（﹣m）﹣2＝，故B错误；C、按照合并同类项的运算法则，该运算正确．D、（m+n）2＝m2+2mn+n2，故D错误．故选：C．7．如图，点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，且△ABO的面积为8，若双曲线y＝（k ≠0）经过边AB的中点C，则k的值为（）A．4 B．6 C．8 D．12【分析】设点A（a，0），点B（0，b），由三角形面积公式可求ab＝16，由中点坐标公式可求点C（，），代入解析式可求k的值．解：设点A（a，0），点B（0，b），∴OA＝a，OB＝b，∵△ABO的面积为8，∴ab＝8，∴ab＝16，∵点C是AB中点，∴点C（，），∵点C在双曲线y＝（k≠0）上，∴k＝×＝4，故选：A．8．如图，△ABC与△A1B1C1是以O为位似中心的位似图形，若OA＝3AA1，S△ABC＝36，则S ＝（）A．64 B．68 C．81 D．92【分析】根据位似变换的概念得到△ABC∽△A1B1C1，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方列式计算，得到答案．解：∵△ABC与△A1B1C1是以O为位似中心的位似图形，∴△ABC∽△A1B1C1，∵OA＝3AA1，∴△ABC与△A1B1C1的相似比为：＝，∴△ABC与△A1B1C1的面积比为：（）2＝，∵S△ABC＝36，∴S＝36÷＝81，故选：C．9．如图，小张坐在某体育馆的观众席的C处目测（从他的眼睛D处看）得体育馆中心O处的俯角为18°，若CD＝1.4米，BC＝1.5米，BC平行于地面OA，台阶AB的坡度为i＝3：4，坡长AB＝15米，则观众席的底端A处与体育馆中心O处的距离约为（）（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）A．20米B．19米C．18米D．17米【分析】延长DC交OA延长线于点F，根据题意可得DF⊥OA，过点B作BG⊥OA于点G，可得四边形BCFG是矩形，根据AB的坡度为i＝3：4，坡长AB＝15，可得BG＝9，AG＝12，再根据锐角三角函数即可求出OA的长．解：如图，延长DC交OA延长线于点F，根据题意可知：DF⊥OA，过点B作BG⊥OA于点G，则四边形BCFG是矩形，∴CF＝BG，FG＝BC＝1.5，∵AB的坡度为i＝3：4，坡长AB＝15，∴BG＝9，AG＝12，∴在Rt△ODF中，∠DOF＝18°，OF＝OA+AG+GF＝OA+12+1.5＝13.5+OA，DF＝DC+CF＝1.4+9＝10.4，∴DF＝OF•tan18°，即10.4≈（13.5+OA）×0.32，解得OA≈19（米）．所以观众席的底端A处与体育馆中心O处的距离约为19米．故选：B．10．甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步200米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒，在跑步过程中，若甲、乙两人之间的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，则下列结论中正确的是（）A．乙的速度为5米/秒B．乙出发10秒钟将甲追上C．当乙到终点时，甲距离终点还有20米D．m＝38【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断出各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．解：由图象可得，乙的速度为：200÷32＝6.25（米/秒），故选项A不合题意；甲的速度为：10÷2＝5（米/秒），设乙出发x秒将追上甲，6.25x＝10+5x，得x＝8，故选项B不合题意；当乙到终点时，甲距离终点还有：200﹣（32+2）×5＝30（米），故选项C不合题意；a＝200÷5﹣2＝38，故选项D符合题意．故选：D．11．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝1，若2＜c＜3，则下列结论中错误的是（）A．abc＜0 B．4a+c＞0 C．﹣1＜a＜﹣D．4a+2b+c＞0 【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．解：A．抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，正确，不符合题意；B．函数的对称轴为直线x＝﹣＝1，则b＝﹣2a，∵从图象看，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝3a+c＝0，而a＜0，故4a+c＜0，故B错误，符合题意；C．④∵﹣＝1，故b＝﹣2a，∵x＝﹣1，y＝0，故a﹣b+c＝0，∴c＝﹣3a，∵2＜c＜3，∴2＜﹣3a＜3，∴﹣1＜a＜﹣，故C正确，不符合题意；D．从图象看，当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故D正确，不符合题意；故选：B．12．如图，在菱形ABCD中，∠D＝120°，AB＝2，点E在边BC上，若BE＝2EC，则点B到AE的距离是（）A．B．C．D．【分析】过点B作BH⊥AE于点H，过点E作EF⊥AB交AB的延长线于点F，求出BF＝BE ＝，EF＝，可求出AE，由S△ABE＝AB•EF可求出BH，则答案可求出．解：过点B作BH⊥AE于点H，过点E作EF⊥AB交AB的延长线于点F，∵菱形ABCD中，AB＝2，∴BC＝2，∵BE＝2EC，∴BE＝，CE＝，∵∠D＝120°，∴∠ABE＝120°，∴∠EBF＝60°，∴BF＝BE＝，EF＝，∴AF＝AB+BF＝2+＝，∴AE＝＝＝，∵S△ABE＝AB•EF，∴BH＝＝＝．故选：A．二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．15题图13．不等式组的解集是1＜x≤5 ．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．解：解不等式x﹣2≤3，得：x≤5，又x＞1，∴1＜x≤5，故答案为：1＜x≤5．14．据了解，重庆市为确保2020年完成3万个5G基站建设目标的顺利完成，3月1日已经建设开通5G基站数超过10100个．请把数10100用科学记数法表示为 1.01×104．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：将10100用科学记数法表示为：1.01×104．故答案为：1.01×104．15．在如图所示的电路图中，当随机闭合开关K1，K2，K3中的两个时，能够让灯泡发光的概率为．【分析】根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能够让灯泡发光的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，能够让灯泡发光的是闭合（K1，K3），（K1，K2），（K3，K1），（K2，K1），∴能够让灯泡发光的概率为：＝，故答案为：．16．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2．分别以点B，A为圆心，以BC长为半径画弧，交AB于点D，E，交AC于点F，则图中的阴影部分的面积为4﹣π．（用含π的代数式表示）【分析】先利用扇形的面积公式计算S扇形EAF+S△DBC＝＝π，然后利用图中的阴影部分的面积＝S△ABC﹣（S扇形EAF+S△DBC）计算计算．解：∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴S扇形EAF+S△DBC＝＝π，∴图中的阴影部分的面积＝S△ABC﹣（S扇形EAF+S△DBC）＝×4×2﹣π＝4﹣π．故答案为4﹣π．17．在一段长为1000m的笔直道路AB上，甲、乙两名运动员分别从A，B两地出发进行往返跑训练．已知甲比乙先出发30秒钟，甲距A点的距离y/m与其出发的时间x/分钟的函数图象如图所示．乙的速度是200m/分钟，当乙到达A点后立即按原速返回B点．当两人第二次相遇时，乙跑的总路程是m．【分析】据函数图象中的数据求出甲的速度，进而求出两人第二次相遇时甲出发的时间，从而得出当两人第二次相遇时，乙跑的总路程．解：甲的速度为：1000÷4＝250（米/分钟），两人第一次相遇时处于两人都未跑完一个1000m时，由图象可知时间处于4分钟以内；∵甲比乙先出发30秒钟，∴当x＝5分钟时，乙跑了4.5分钟，此时乙跑了200×4.5＝900＜1000（m）；设甲出发x分钟后两人第二次相遇时，根据题意得：（250+200）（x﹣5）＝（1000﹣900+1000），解得：x＝，当两人第二次相遇时，乙跑的总路程是200×（﹣）＝（m）．故答案为：．18．滴滴快车是一种便捷的出行工具，某地的计价规则如表：计费项目里程费时长费远途费单价2元/公里0.3元/分钟1元/公里注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收1元．小李与小张分别从不同地点，各自同时乘坐滴滴快车，到同一地点相见，已知到达约定地点时他们的实际行车里程分别为7公里与9公里，两人付给滴滴快车的乘车费相同．其中一人先到达约定地点，他等候另一人的时间等于他自己实际乘车时间，且恰好是另一人实际乘车时间的一半，则小李的乘车费为26 元．【分析】设先到达约定地点的实际乘车时间为x分钟，则后到达约定地点的实际乘车时间为2x分钟，根据两人的乘车费用相同，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其代入（2×7+0.3×2x）中即可求出结论．解：设先到达约定地点的实际乘车时间为x分钟，则后到达约定地点的实际乘车时间为2x分钟，依题意，得：2×7+0.3×2x＝2×9+0.3x+1×（9﹣7），解得：x＝20，∴2×7+0.3×2x＝26．故答案为：26．三、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡对应的位置上．19．计算：（1）（2x+y）（x+y）+（x﹣y）2；（2）（a﹣）÷．【分析】（1）根据分多项式乘多项式和完全平方公式可以解答本题；（2）根据分式的减法和除法可以解答本题．解：（1）（2x+y）（x+y）+（x﹣y）2＝2x2+2xy+xy+y2+x2﹣2xy+y2＝3x2+xy+2y2；（2）（a﹣）÷＝＝＝＝．20．如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E，AF平分∠BAD，交BC于点F，交CD的延长线于点G．（1）若∠G＝29°，求∠ADC的度数；（2）若点F是BC的中点，求证：AB＝AD+CD．【分析】（1）根据平等线的性质得∠BAG＝∠G，∠BAD＝∠ADC．进而证由角平分线的性质得∠ADC＝∠BAD＝2∠G．便可求得结果；（2）先由角平分线条件证明AD＝DG，再证明△ABF≌△GCF，便可得结论．【解答】证明：（1）∵AB∥CD，∴∠BAG＝∠G，∠BAD＝∠ADC．∵AF平分∠BAD，∴∠BAD＝2∠BAG＝2∠G．∴∠ADC＝∠BAD＝2∠G．∵∠G＝29°，∴∠ADC＝58°；（2）∵AF平分∠BAD，∴∠BAG＝∠DAG．∵∠BAG＝∠G，∴∠DAG＝∠G．∴AD＝GD．∵点F是BC的中点，∴BF＝CF．在△ABF和△GCF中，∵∴△ABF≌△GCF（AAS），∴AB＝GC．∴AB＝GD+CD＝AD+CD．21．经历疫情复学后，学校开展了多种形式的防疫知识讲座，并举行了全员参加的“防疫”知识竞赛，试卷题目共10题，每题10分．现分别从七年级1，2，3班中各随机抽取10名同学的成绩（单位：分）．收集整理数据如下：分析数据：平均数中位数众数1班83 a802班83 b c3班d80 80 根据以上信息回答下列问题：（1）请直接写出表格中a，b，c，d的值；（2）比较这三组样本数据的平均数、中位数和众数，你认为哪个班的成绩比较好？请说明理由（一条理由即可）；（3）为了让学生重视安全知识的学习，学校将给竞赛成绩满分的同学颁发奖状，该校七年级学生共120人，试估计需要准备多少张奖状？【分析】（1）利用折线统计图得到一班和二班的成绩，然后利用中位数的定义确定a、b值，利用众数的定义确定c的值；利用平均数的计算方法确定d的值；（2）利用中位数和众数的意义进行判断；（3）求出样本中满分的同学所占的百分比，然后120乘以这个百分比可估计该校七年级学生的满分人数．解：（1）一班10个数据的中第5、第6个数据都是80分，所以a＝80；二班10个数据的中第5、第6个数据分部是80分、90分，所以b＝85；二班10个数据的中90分出现的次数最短，所以c＝90；三班的平均数d＝（60+70+80×4+90×2+100×2）＝83；（2）我认为七年级2班的成绩比较好，随机抽取的样本中，三个班样本成绩的平均数都为83，2班成绩的中位数为85，大于1班和3班成绩的中位数80；2班成绩的众数90大于1班和3班成绩的众数80；（3）因为所抽取的样本中，样本总量是30，而其中满分人数是1+1+2＝4．所以×120＝16答：估计需要准备的奖状是16张．22．已知函数y＝k|x+2|+b的图象经过点（﹣2，4）和（﹣6，﹣2），完成下面问题：（1）求函数y＝k|x+2|+b的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，请用适当的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；（3）已知函数y＝x+1的图象如图所示，结合你所画出y＝k|x+2|+b的图象，直接写出k|x+2|+b＞x+1的解集．【分析】（1）根据待定系数法求得即可；（2）画出函数的图象，根据图象得出性质；（3）根据图象求得即可．解：（1）根据题意，得，解方程组，得，所求函数表达式为；（2）函数的图象如图所示，性质为：①当x＜﹣2时，y随x增大而增大；当x＞﹣2时，y随x增大而减少．②当x＝﹣2时，该函数取得最大值，函数的最大值为4．（3）由图象可知：k|x+2|+b＞x+1的解集为：﹣6＜x＜0．23．在疫情期间，某地推出线上名师公益大课堂，为广大师生、其他社会人士提供线上专业知识学习、心理健康疏导．参与学习第一批公益课的人数达到2万人，因该公益课社会反响良好，参与学习第三批公益课的人数达到2.42万人．参与学习第二批、第三批公益课的人数的增长率相同．（1）求这个增长率；（2）据大数据统计，参与学习第三批公益课的人数中，师生人数在参与学习第二批公益课的师生人数的基础上增加了80%；但因为已经部分复工，其他社会人士的人数在参与学习第二批公益课的其他社会人士人数的基础上减少了60%．求参与学习第三批公益课的师生人数．【分析】（1）设参与学习第二批、第三批公益课的人数的增长率为x，根据“第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次”可列方程求解．（2）设参与学习第二批公益课的人数中，师生有a万人，其他人士有b万人．根据“第三批公益课的人数＝第二批公益课的师生人数×（1+80%）”、“其他社会人士的人数在参与学习第二批公益课的其他社会人士人数的基础上减少了60%”列出方程组并解答．解：（1）设参与学习第二批、第三批公益课的人数的增长率为x，根据题意，得2（1+x）2＝2.42，解得x1＝﹣2.1（舍去），x2＝0.1＝10%．答：参与学习第二批、第三批公益课的人数的增长率为10%．（2）设参与学习第二批公益课的人数中，师生有a万人，其他人士有b万人．根据题意，得．解方程组，得a×（1+80%）＝1.1×1.8＝1.98．答：参与第三批公益课的师生人数为1.98万人．24．对于任意一个四位数，我们可以记为，即＝1000a+100b+10c+d．若规定：对四位正整数进行F运算，得到整数F（）＝a4+b3+c2+d1．例如，F（1249）＝14+23+42+91＝34；F（2020）＝24+03+22+01＝20．（1）计算：F（2137）；（2）当c＝e+2时，证明：F（）﹣F（）的结果一定是4的倍数；（3）求出满足F（）＝98的所有四位数．【分析】（1）根据F（）＝a4+b3+c2+d1代入数据计算即可求解；（2）根据F（）＝a4+b3+c2+d1得到＝c2﹣e2，再根据已知条件c＝e+2，可得原式＝4（e+1），依此即可求解；（3）首先得到x2+y＝9，再根据整数的性质确定0≤x≤3，且x为整数，可求对应的y 值，从而求解．解：（1）F（2137）＝24+13+32+71＝16+1+9+7＝33；（2）∴＝（a4+b3+c2+d）﹣（a4+b3+e2+d）＝c2﹣e2，∵c＝e+2，原式＝（e+2）2﹣e2＝4e+4＝4（e+1）．∵e≥0，且e是整数，∴4（e+1）是4的倍数．所以，当c＝e+2时，的结果一定是4的倍数．（3）∵，∴34+23+x2+y＝98，即x2+y＝9．∵0≤y≤9，∴0≤x2≤9．∴0≤x≤3，且x为整数．∴或或或．所以，满足条件的四位数有3209，3218，3225，3230．25．如图，在平面直角坐标系内，点A，B的坐标分别为（1，0），（0，2），AC⊥AB，且AB＝AC，直线BC交x轴于点D，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A，B，D．（1）求直线BC和抛物线y＝ax2+bx+2的函数表达式；（2）点P是直线BD下方的抛物线上一点，求△PCD面积的最大值，以及△PCD面积取得最大值时，点P的坐标；（3）若点P的坐标为（2）小题中，△PCD的面积取得最大值时对应的坐标．平面内存在直线l，使点B，D，P到该直线的距离都相等，请直接写出所有满足条件的直线l的函数表达式．【分析】（1）证明△ABO≌△CAE（AAS），求出点C的坐标，进而求解；（2）利用，即可求解；（3）满足条件的直线有三条，是△PDB三条中位线所在的直线，即可求解．解：（1）过点C作CE⊥x轴，垂足为E．∵AB＝AC，∠AOB＝∠CEA＝90°，∠ABO＝∠CAE，∴△ABO≌△CAE（AAS）．∴AO＝CE，BO＝AE．∵A（1，0），B（0，2），∴CE＝AO＝1，AE＝BO＝2．∴C（3，1）．设直线BC的函数表达式为y＝kx+s（k≠0）．把点B（0，2），C（3，1）代入，得，解得，所以，直线BC的函数表达式为．令y＝0，得x＝6，则D（6，0）．∵抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（1，0），D（6，0），则．解得，∴抛物线的函数表达式为．（2）过点P作x轴的垂线，垂足为H，交BD于点F．令P的横坐标为t．∵点P在BD直线下方的抛物线上移动，∴PF＝．过点C作CG⊥PF，垂足为G．∴，即．所以，当t＝3时，△PCD的面积取得最大值，最大值为．此时点P坐标为（3，﹣2）．（3）满足条件的直线有三条，是△PDB三条中位线所在的直线．由点P、D、B的坐标可得，PD、BD、PB的中点分别为：（，﹣1）、（3，1）、（，0），设过（，﹣1）、（3，1）的直线表达式为y＝mx+n，则，解得，故直线的表达式为：y＝﹣x+5，同理其它两条直线的表达式为：或．三条直线的函数表达式分别为，，．四、解答题（本大题1个小题，共8分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．26．如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，连接AE，过点E作EM⊥AE，交对角线AC于点M，过点M作MN⊥AB，垂足为N，连接NE．（1）求证：AE＝NE+ME；（2）如图2，延长EM至点F，使EF＝EA，连接AF，过点F作FH⊥DC，垂足为H．猜想CH与FH存在的数量关系，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，若点G是AF的中点，连接GH．当GH＝CH时，直接写出GH与AC之间存在的数量关系．【分析】（1）证明△ANK≌△MNE（ASA）．得出AK＝ME，NK＝NE．则结论得证；（2）得出∠P＝∠PCH＝∠CHF＝90°．则四边形PCHF是矩形．证明△ABE≌△EPF（AAS）．得出BE＝PF，AB＝EP．可证得CP＝BE＝PF．得出矩形PCHF是正方形，则结论得证；（3）延长FH交AC于点Q，由中位线定理可得出AQ＝2GH，由等腰直角三角形的性质可得出CQ＝GH，则可得出结论．【解答】（1）证明：如图1，过点N作NK⊥NE，交AE于点K．∴∠KNE＝90°．∵MN⊥AB，∴∠MNA＝90°．∴∠ANK＝∠MNE．∵ME⊥AE，∴∠AEM＝∠ANM＝90°．∴∠NAK＝∠NME．∵四边形ABCD是正方形，∠ANM＝90°．∴∠MAN＝∠NMA＝45°．∴AN＝MN．在△ANK和△MNE中，∵，∴△ANK≌△MNE（ASA）．∴AK＝ME，NK＝NE．∴KE＝NE．∴AE＝AK+KE＝ME+NE．（2）解：CH＝FH．如图2，过点F作FP⊥BC，交BC的延长线于点P．∴∠P＝90°．∵∠BAE+∠AEB＝∠FEP+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠FEP．∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠BCD＝∠PCD＝90°，AB＝BC．∵FH⊥CD，∴∠FHC＝90°．∴∠P＝∠PCH＝∠CHF＝90°．∴四边形PCHF是矩形．在△ABE和△EPF中，∵，∴△ABE≌△EPF（AAS）．∴BE＝PF，AB＝EP．∵AB＝BC，∴EP＝BC．∴CP＝BE＝PF．∴矩形PCHF是正方形．∴FH＝CH．（3）AC＝GH．如图3，延长FH交AC于点Q，在正方形ABCD中，∠ACD＝45°，∵∠FHC＝90°，∴∠HQC＝∠HCQ＝45°，∴CH＝HQ，CQ＝CH，∵CH＝FH，∴HQ＝FH，∵G是AF的中点，∴GH＝AQ，又∵GH＝CH，∴CQ＝GH，∴AC＝AQ+CQ＝2GH+GH＝（2+）GH．。
重庆名校联盟2020届春季联考全科试题及答案--数学试题
高2020级【文科数学试题】·第1页（共2页）1 是=2x y =x +2y x 秘密★启用前重庆市名校联盟2019～2020学年度第二次联合考试文科数学试题（高2020级）【命题：永川中学 赵永正 审题 永川中学 盘如春】（本试卷共2页，总分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、座位号及科类名称。
2．请将准考证条形码粘贴在右侧的[考生条形码粘贴处]的方框内。
3．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整、笔迹清楚。
4．请按题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。
5．保持答题卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。
第Ⅰ卷（选择题60分） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合},1,0,1,3{},2,1,0,1,2{--=--=B A 则A B =IA.}2,1,0,1,2,3{---B.}1,0,1{-C.}2,1,0,1{-D.}23|{≤≤-x x 2.复数=+ii 1A.i -1B.i +1C.i --1D.i +-1 3.已知132211log 3,,log ,23a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭则c b a ,,的大小关系为 A.c b a >> B.c a b >> C.b c a >> D.a c b >> 4.利用系统抽样法从编号分别为1,2,3,..,80的80件不同产品中抽出一个容量为16的样本，如果抽出的产品中有一件产品的编号为13，则抽出的产品的最大编号为 A.73 B.76 C.78 D.77 5. 函数)1()(2-=x x x f 的大致图象为A B C D6. 已知1cos 0,22παα=-<<，则cos 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是 A.21 B.32 C.21- D.1 7. 若,,2||,1||b a c b a ρρρρρ+===且,a c ρρ⊥则向量a ρ与b ρ的夹角为 A.30o B.60o C.120o D.150o 8. 若执行右侧的程序框图，当输入的x 的值为4时，输出 的y 的值为2，则空白判断框中的条件可能为 A ．3x > B ．4x > C ．4x ≤ D ．5x ≤ 9. 设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴 垂直，l 与C 交于点B A ,两点，||AB 为C 的实轴长的2倍， 则C 的离心率为 A.2 B.3 C.2 D.310. 在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，,21cos =B且,2=+c a 则边长b 的最小值为 A.4 B.3 C.2 D.1 11. 已知函数)(x f 的定义域为.R 当0<x 时，;1)(3-=x x f 当11≤≤-x 时，);()(x f x f -=- 当21>x 时，11.22f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则=)6(fA.-2B.2C.0D.-1 12. 过点)0,2(-M 的直线m 与椭圆1222=+y x 交于,,21P P 线段21P P 的中点为,P 设直线m 的斜率为),0(11≠k k 直线OP 的斜率为,2k 则21k k 的值为A.2B.2-C.21D.21-第Ⅱ卷（非选择题90分）二、填空题（每小题5分，4个小题共20分）13. 曲线x x y 22+=在点（1,3）处的切线的斜率为____.14. 设n S 为等比数列}{n a 的前n 项和，且,0852=+a a 则.___23=S S15. 若函数,21cos sin sin )(2-+=x x x x f 则)(x f 的最大值为_____.16. 已知三棱锥ABC P -的所有棱长都相等，现沿PC PB PA ,,三条侧棱剪开，将其表面展 成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为,62则三棱锥ABC P -的内切球的表面 积为_____.高2020级【文科数学试题】·第2页（共2页）2 DB 1A 1CBAC 1三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（12分）为了解人们对于国家颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调年龄 [5,15) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65） 频数 5 10 15 10 5 5 支持“生二胎” 4 5 12 8 2 1(Ⅰ)由以上统计数据填下面22⨯列联表，并问是否有的把握认为以45岁为分界点对 年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 合计 支持 不支持 合计二胎放开”的概率是多少？参考数据及公式:.))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=（其中d c b a n +++=） .001.0)828.10(,010.0)635.6(,050.0)841.3(222=≥=≥=≥K P K P K P18. (12分)已知单调递增数列}{n a 为等差数列，且2a 与4a 是方程045142=+-x x 的两个根.（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；(Ⅱ)若记,2n n n a b +=求数列}{n b 的前n 项和n S .19. (12分)如图所示几何体，111C B A ABC -为三棱柱，且⊥1AA 平面ABC ,,1AC AA =四边形ABCD 为平行四边形，.60,20=∠=ADC CD AD(Ⅰ)求证：⊥AB 平面;11A ACC(Ⅱ)若,2=CD 求四棱锥CD B A C 111-的体积.20. (12分)已知函数.2ln )(2xx x f -= (Ⅰ)求函数)(x f 的单调区间；(Ⅱ)若mx x f x g 2)()(-=在区间),1(+∞上有零点，求实数m 的取值范围.21.（12分）已知抛物线px y C 2:2=过点).1,1(P 过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭作直线l 与抛物线C 交于不同的两点,,N M 过点M 作x 轴的垂线分别与直线ON OP ,交于点,,B A 其中O 为坐标原点. (Ⅰ)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (Ⅱ)求证:A 为线段BM 的中点.选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做则按所做的第题计分.22. [选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为t t y t x (sin 2cos 1⎩⎨⎧+=+-=αα为参数），其中).(,2Z k k ∈+≠ππα以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为.04sin 4cos 22=+--θρθρρ （Ⅰ）求曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点)2,1(-P ,曲线1C 与曲线2C 交于B A ,两点，求||||PB PA +的取值范围．23. [选修4-5：不等式选讲]已知函数.||||)(b x a x x f -++=(Ⅰ)当1,1==b a 时，求不等式()4≤x f 的解集；(Ⅱ)若,0,0>>b a )(x f 的最小值为2，求ba 21+的最小值。
2022年重庆市南岸区春招数学试卷及答案解析
2022年重庆市南岸区春招数学试卷一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.1．（4分）有理数﹣1，0，1，3四个数中，最小的是（）A．﹣1B．0C．1D．32．（4分）计算2a3÷a2结果正确的是（）A．2a B．2a2C．a D．a23．（4分）不等式x＞1的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．4．（4分）如图，在⊙O中，∠BOC＝80°，则∠A等于（）A．50°B．20°C．30°D．40°5．（4分）化简3xy2﹣xy2结果正确的是（）A．2xy B．2xy2C．2x2y D．2y26．（4分）计算+结果正确的是（）A．B．3C．3D．57．（4分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC与菱形ODEF位似，位似中心是坐标原点O．若点A（5，0），点D（10，0），则菱形OABC与菱形ODEF的周长比是（）A．2：1B．1：2C．3：1D．1：38．（4分）解一元一次方程（x+15）＝1﹣（x﹣7）的过程如下．解：去分母，得3（x+15）＝15﹣5（x﹣7）．①去括号，得3x+45＝15﹣5x+7．②移项、合并同类项，得8x＝﹣23．③化未知数系数为1，得x＝﹣④以上步骤中，开始出错的一步是（）A．①B．②C．③D．④9．（4分）如图，点F，E在AC上，AD＝CB，∠D＝∠B．添加一个条件，不一定能证明△ADE≌△CBF的是（）A．AD∥BC B．DE∥FB C．DE＝BF D．AE＝CF10．（4分）如图，在平面直角坐标系中，线段AB是一辆小轿车加满油后油箱剩余油量y1（L）与行驶路程x（km）的函数图象，线段CD是一辆客车加满油后油箱剩余油量y2（L）与行驶路程x（km）的函数图象．当两车油箱加满油后，下列描述错误的是（）A．当用完油箱的油，小轿车比客车多行驶100kmB．小轿车和客车耗油量分别是0.1L/km和0.2L/kmC．若两车行驶的路程差为10km，两车油箱剩余油量都为18LD．当两车行驶的路程为300km时，两车油箱剩余油量相同11．（4分）关于x的一元一次不等式组有解，且使关于y的分式方程＝2﹣的解为整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．8B．5C．3D．212．（4分）如图，在矩形纸片ABCD中，E是BC边上的中点，连接AE，把矩形纸片沿AE 对折，点B恰好落在矩形纸片ABCD的对角线BD上的点F处，连接CF．①CF∥AE；②AD＝AB；③CF＝CD；④∠ABD＝60°；⑤S矩形ABCD＝4S△AEF•以上五个结论，正确的个数是（）A．2B．3C．4D．5二、填空题（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.13．（4分）计算：|﹣3|+（﹣1）2022＝．14．（4分）现有四张背面完全相同、正面分别写着数字﹣1，0，4，5的不透明卡片．把卡片背面朝上洗匀，随机抽取一张，记下数字后放回．再次背面朝上洗匀，随机抽取一张．将两次抽取的数字分别记为m和n，则的值为整数的概率是．15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BC是半圆的直径，图中阴影部分的面积为4，则半圆的面积是．16．（4分）为保障疫情比较严重的A市居民的日常生活，B市某蔬菜基地准备为A市捐赠一批新鲜蔬菜．现有甲、乙、丙三家运输公司可供选择．已知乙的运输速度为50km/h，甲的运输速度比乙的运输速度快10km/h，丙的运输速度是乙的运输速度的两倍．丙每千米的运输费为10元，甲每千米的运输费比乙每千米的运输费少2元，甲每千米的运输费与丙每千米的运输费之和是乙每千米的运输费的两倍．甲的装卸时间为4小时，乙的装卸时间比甲的装卸时间快2小时，丙的装卸时间比乙的装卸时间慢1小时．甲、乙、丙三家运输公司的装卸费分别为1500元，900元，700元．现从甲、乙、丙三家运输公司中选择其中一家运输蔬菜，已知A、B两市距离为900km，这批蔬菜在装卸、运输过程中的损耗为300元/h．要使蔬菜基地支付的总费用（装卸费、运输费及损耗三项的和）最少，则最少费用是元．三、解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.17．（8分）计算：（1）（x﹣3）2+2x（x+3）；（2）÷（x﹣1﹣）．18．（8分）如图，已知△ABC，点D是BA边上一点．（1）在BC上截取BE＝BD，连接DE．以点D为顶点，以DA为一边，在∠ABC内作∠ADF＝∠ABC；（2）根据你的作图，证明DE平分∠BDF．四、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上. 19．（10分）国家规定，中小学生每天在校体育活动时间不低于1h．为此，某中学校就“你每天在校体育活动时间是多少”的问题对本校七、八年级随机抽取各50名学生进行调查．根据调查结果绘制成的统计图表如图所示，其中A组为t＜0.5h，B组为0.5h≤t＜1h，C组为lh≤t＜1.5h，D组为t≥1.5h．抽取七年级数据中C组从小到大排列后，前10个数据（单位：h）：1.0，1.0，1.0，1.1，1.1，1.1，1.1，1.2，1.3，1.3．七、八年级抽取的学生每天在校体育活动时间统计表平均数中位数众数七年级 1.1a0.9八年级 1.10.9 1.0根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出a，m的值；（2）估计该校八年级900名学生中达到国家标准的学生有多少人？（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级，哪个年级对国家政策落实情况更好？并说明理由．20．（10分）某住宅小区，计划在1号楼顶部D和小区大门的上方A之间挂一些彩灯．经测量，得到大门的高度AB＝4.8m，大门与1号楼的距离BC＝30m．在大门处测得1号楼顶部的仰角为30°，而当时测倾器离地面的距离EB＝1.48m．求：（1）小区1号楼CD的高度（参考数据：≈1.414，≈1.732）；（2）估算大门顶部A与1号楼顶部D的距离．（结果保留一位小数）21．（10分）北京冬奥会期间，某商店购进600个纪念品，每个纪念品的进价为6元，第一周以每个10元的价格售出200个．第二周商店为了适当增加销售量，决定降价销售．根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个（售价不得低于进价）．第三周商店把每个纪念品的售价再在第二周售价的基础上降低20%，剩余纪念品全部售完．注：销售利润＝销售量×（售价﹣进价）（1）若第二周每个纪念品降价m元，用含m的代数式表示这批纪念品第二周的销售利润；（2）若前两周商店销售这批纪念品的利润为1400元，求第二周每个纪念品的售价；（3）若这批纪念品共获得销售利润1730元，求这批纪念品第三周的销售数量．22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝ax（a≠0）的图象与反比例函数y＝（34﹣a≠0）的图象有一个交点A的横坐标为4．（1）求y＝ax与y＝的函数表达式；（2）直接写出使一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围；（3）过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点P在线段AB上，且AP＝OP，点Q为x轴上一点．当△OP A与△OPQ的面积相等时，求点Q的坐标．23．（10分）阅读理解材料一：若p，q，m为整数，且三次方程x3+px2+qx+m＝0有整数解t，则将t代入方程得t3+pt2+qt+m＝0，移项得m＝﹣t3﹣pt2﹣qt，即有m＝t（﹣t2﹣pt﹣q），由于﹣t2﹣pt ﹣q与t及m都为整数，因此t是m的因数．所以，对整数系数方程x3+px2+qx+m＝0的整数解只可能是m的因数．材料二：类比多位数的竖式除法，可以利用竖式除法进行多项式的除法．例解方程x3﹣x2﹣2x+2＝0．解：∵2的因数有±1，±2，将它们分别代入原方程，当x＝﹣2时，x3﹣x2﹣2x+2＝（﹣2）3﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+2≠0；当x＝﹣1时，x3﹣x2﹣2x+2＝（﹣1）3﹣（﹣1）2﹣2×（﹣1）+2≠0；当x＝1时，x3﹣x2﹣2x+2＝13﹣12﹣2×1+2＝0；当x＝2时，x3﹣x2﹣2x+2＝23﹣22﹣2×2+2≠0．∴x＝1是方程x3﹣x2﹣2x+2＝0的整数解．∴x3﹣x2﹣2x+2有因式x﹣1．利用竖式除法，可得：∴x3﹣x2﹣2x+2＝（x﹣1）（x2﹣2）．∴原方程化为（x﹣1）（x2﹣2）＝0．∴x﹣1＝0或x2﹣2＝0．∴原方程的解为x1＝1，x2＝，x3＝﹣．根据以上的阅读材料，解答下列问题：（1）方程x3﹣2x2﹣4x+3＝0的整数解可能有哪些？并求出它的整数解；（2）把多项式x3﹣2x2﹣4x+3在有理数范围内因式分解；（3）解方程x3﹣x2﹣7x﹣2＝0．24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣x2向上平移4个单位，向右平移1个单位得新抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0），新抛物线交x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于点C．（1）求a，b，c的值；（2）如图1，点P为直线BC上方新抛物线上一动点，过点P作PQ∥x轴交直线BC于点Q．当PQ取最大值时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，PQ取最大值时，PQ交新抛物线的对称轴于点M，直线BC交新抛物线的对称轴于点N．把Rt△MNQ绕点N逆时针旋转α（0°＜α＜180°）得到Rt △M′NQ′．在旋转过程中，当Rt△M′NQ′的直角边与直线AC平行时，求直角顶点M′的坐标．25．（10分）在△ABC中，AC＝2BC，D，E分别是AB，AC的中点，连接BE并延长至F，且使EF＝BE，连接DF交AC于点G．（1）如图1，连接AF，求证：DF＝DB；（2）如图2，若H是CE的中点，连接BH．求证：DF＝BH；（3）在（2）的条件下，连接FH，改变∠ABC的大小，当四边形BDFH是正方形时，直接写出的值．2022年重庆市南岸区春招数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.1．【分析】利用有理数的大小比较来选择即可．【解答】解：有理数﹣1，0，1，3四个数中，最小的是﹣1，故选：A．【点评】本题考查了有理数的大小比较，做题关键是掌握有理数的大小比较．2．【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．【解答】解：2a3÷a2＝2a．故选：A．【点评】此题主要考查了整式的除法，正确掌握相关运算法则是解题关键．3．【分析】根据在数轴上表示的不等式的解集的方法得出答案即可．【解答】解：不等式x＞1的解集在数轴上表示为：故选：A．【点评】本题考查在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式的解集在数轴上的表示方法是正确判断的前提．4．【分析】根据圆周角定理即可解决问题；【解答】解：∵∠A＝∠BOC，∠BOC＝80°∴∠A＝40°．故选：D．【点评】此题目考查了圆周角定理，属于中考基础题．5．【分析】根据合并同类项的法则，进行计算即可解答．【解答】解：3xy2﹣xy2＝2xy2，故选：B．【点评】本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项的法则是解题的关键．6．【分析】根据二次根式的加法法则，先化简，再合并同类二次根式．【解答】解：+＝．故选：C．【点评】本题主要考查二次根式的加法，熟练掌握二次根式的性质与加法法则是解决本题的关键．7．【分析】根据“菱形OABC与菱形ODEF的周长比等于它们的相似比”解答．【解答】解：∵点A（5，0），点D（10，0），∴OA：OD＝1：2．∵菱形OABC与菱形ODEF位似，位似中心是坐标原点O，∴菱形OABC∽菱形ODEF．∴菱形OABC周长：菱形ODEF的周长＝OA：OD＝1：2．故选：B．【点评】此题考查了位似变换的性质与菱形的性质，注意理解位似变换与相似比的定义是解此题的关键．8．【分析】观察解一元一次方程的步骤，找出开始出错的步骤即可．【解答】解：去分母，得3（x+15）＝15﹣5（x﹣7）．①去括号，得3x+45＝15﹣5x+35．②移项、合并同类项，得8x＝5．③化未知数系数为1，得x＝．④则开始出错的一步是②．故选：B．【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解本题的关键．9．【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠A＝∠C，又AD＝CB，∠D＝∠B，∴△ADE≌△CBF（ASA），故A不符合题意；∵DE∥FB，∴∠AED＝∠CFB，又AD＝CB，∠D＝∠B，∴△ADE≌△CBF（AAS），故B不符合题意；∵DE＝BF，又AD＝CB，∠D＝∠B，∴△ADE≌△CBF（SAS），故C不符合题意；∵AE＝CF，又AD＝CB，∠D＝∠B，不能判定△ADE≌△CBF，故D符合题意，故选：D．【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．10．【分析】由图可直接判断A正确，不符合题意；用油量除以可行驶的路程可判断B正确，不符合题意；用待定系数法可得y2＝﹣0.2x+80，y1＝﹣0.1x+50，令y2＝18＝y1，解得x 可判断C错误，符合题意；当x＝300时，求出y1，y2可判断D正确，不符合题意．【解答】解：由图可知，当用完油箱的油，小轿车比客车多行驶500﹣400＝100（km），故A正确，不符合题意；小轿车耗油量为＝0.1（L/km），客车耗油量是＝0.2（L/km），故B正确，不符合题意；由（0，80），（400，0）可得客车油箱剩余油量y2（L）与行驶路程x（km）的函数关系式为y2＝﹣0.2x+80，由（0，50），（500，0）可得小轿车油箱剩余油量y1（L）与行驶路程x（km）的函数关系式为y1＝﹣0.1x+50，当y2＝18时，﹣0.2x+80＝18，解得x＝310，当y1＝18时，﹣0.1x+50＝18，解得x＝320，∴当小轿车比客车多行驶10km时，两车油箱剩余油量都为18L，故C错误，符合题意；当x＝300时，y1＝﹣0.1x+50＝﹣0.1×300+50＝20，y2＝﹣0.2x+80＝﹣0.2×300+80＝20，∴两车油箱剩余油量相同，故D正确，不符合题意．故选：C．【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能列出函数关系式．11．【分析】根据一元一次不等式组有解可以得出a＜4，由分式方程的解为整数以及增根的意义可求出a＝3或a＝﹣1或5，最后计算所有满足条件的整数a的和即可．【解答】解：∵不等式组中，不等式①的解集为x≤﹣1，不等式②的解集为x＞a﹣5，而不等式组有解，∴a＜4，又∵关于y的分式方程＝2﹣的解是y＝，为整数，∴2﹣a＝±1或2﹣a＝±3，解得a＝1或a＝3或a＝﹣1或a＝5，而当a＝1时，分式方程有增根y＝3，∴a≠1，因此a＝3或a＝﹣1，所以所有满足条件的整数a的值之和为3+（﹣1）＝2，故选：D．【点评】本题考查分式方程的解以及解一元一次不等式组，理解分式方程的增根的定义以及一元一次不等式组的解法是正确解答的前提．12．【分析】由翻折的性质证明∠FEA＝∠EFC，可得CF∥AE，进而可以判断①正确；设GE＝x，证明△ABG∽△BEG，可得＝，所以BG＝x，然后利用勾股定理，即可判断②；证得CF＝CD，可以判断③错误；证明AB＝BG≠2BG，可以判断④；证明S矩形ABCD＝AB•BC＝x•2x＝6x2，4S△AEF＝6x2，可以判断⑤，进而可以解决问题．【解答】解：由翻折可知：BE＝EF，AE⊥BF，∵E为BC的中点，∴BE＝CE，∴EF＝CE，∴∠EFC＝∠ECF，∵∠BEA＝∠FEA，∵∠BEF＝∠EFC+∠ECF，∴∠BEF＝2∠EFC＝2∠FEA，∴∠FEA＝∠EFC，∴CF∥AE，故①正确；∵四边形ABCD为矩形，∴S△ABD＝S△BCD，由①得，CF⊥BD，∴S△ABD＝BD•AG＝S△BCD＝BD•CF，∴AG＝CF，设GE＝x，由①中结论可知，GE为△BCF的中位线，∴CF＝AG＝2GE＝2x，∵∠BGA＝∠EGB＝90°，∠ABG+∠EBG＝90°，∠EBG+∠BEG＝90°，∴∠ABG＝∠BEG，∴△ABG∽△BEG，∴＝，∴BG2＝AG•GE＝2x•x＝2x2，∴BG＝x，∴AB＝＝＝x，BE＝＝＝x，∴BC＝2BE＝2x＝AD，∴AD＝AB，故②正确；∵CF＝2x，CD＝AB＝x，∴CF＝CD，故③错误；∵∠AGB＝90°，BG＝x，AB＝x，∴AB＝BG≠2BG∴∠BAG≠30°，∴∠ABD≠60°，故④错误；∵S矩形ABCD＝AB•BC＝x•2x＝6x2，S△AEF＝×AG•FG＝•（AG+GE）•FG＝（2x+x）•x＝x2，∴4S△AEF＝6x2，∴S矩形ABCD＝4S△AEF，故⑤正确．∴正确的结论是①②⑤，共3个，故选：B．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质．二、填空题（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.13．【分析】先算绝对值和乘方，再算加法．【解答】解：|﹣3|+（﹣1）2022＝3+1＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．14．【分析】随机抽取一张，记下数字后放回．再次背面朝上洗匀，随机抽取一张，总共有4×4＝16种结果，再求出满足的值为整数的结果数，即可求出答案．【解答】解：∵随机抽取一张，记下数字后放回．再次背面朝上洗匀，随机抽取一张，∴总共有4×4＝16种结果，满足的值为整数的有m＝﹣1，n＝5；m＝﹣1，n＝﹣1；m＝0，n＝0；m＝4，n＝4；m＝5，n＝5；m＝5，n＝﹣1共6种结果，∴的值为整数的概率是＝．故答案为：．【点评】本题考查了概率公式，正确求出总的事件的个数和符合条件的事件的个数是关键．15．【分析】根据扇形面积即三角形面积的计算方法进行解答即可．【解答】解：如图，连接OD，DC，由对称性可知弓形①与弓形②的面积相等，由阴影部分的面积为4，即S△BCD＝4，设半径为x，则OB＝OC＝OD＝x，所以BC•OD＝4，即x2＝4，所以半圆的面积为πx2＝π×4＝2π，故答案为：2π．【点评】本题考查扇形面积的计算，掌握等腰直角三角形的性质，扇形面积的计算方法是正确解答的前提．16．【分析】根据题意，分别确定甲，乙，丙三家运输公司的运输速度、运输费用，装卸时间等信息，根据“总费用＝装修费+运输费+损耗”分别计算三家公司运输这批蔬菜的费用，比较后即可得出答案．【解答】解：设乙的运输费用为x元/千米，根据题意，运输速度为：甲＝50+10＝60；乙＝50；丙＝50×2＝100；运输费用为：甲＝（x﹣2）元/千米，乙＝x元/千米；丙＝10元/千米；装卸时间为：甲＝4小时；乙＝4﹣2＝2小时；丙＝2+1＝3小时；装卸费用为：甲＝1500元；乙＝900元；丙＝700元；∵甲每千米的运输费用与丙每千米的运输费用之和是乙每千米的运输费用的两倍，∴（x﹣2）+10＝2x，解得：x＝8，∴x﹣2＝6，甲公司运输这批蔬菜的费用为：900×6+1500+（+4）×300＝12600（元）；乙公司运输这批蔬菜的费用为：900×8+900+（+2）×300＝13500（元）；丙公司运输这批蔬菜的费用为：900×10+700+（+3）×300＝13300（元）；∵12600＜13300＜13500，∴运输这批蔬菜的最少费用是12600元．故答案为：12600【点评】此题考查利用方程解决问题，关键是根据题意得出方程解答．三、解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上. 17．【分析】（1）先去括号，再合并同类项，即可解答；（2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．【解答】解：（1）（x﹣3）2+2x（x+3）＝x2﹣6x+9+2x2+6x＝3x2+9；（2）÷（x﹣1﹣）＝÷＝÷＝•＝．【点评】本题考查了分式的混合运算，单项式乘多项式，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．18．【分析】（1）先以点B为圆心，BD长为半径画弧，交BC于点E，连接DE，再根据作一个角等于已知角的作图步骤作∠ADF＝∠ABC即可．（2）根据平行线的性质和等腰三角形的性质求得∠EDF＝∠BDE，即得出答案．【解答】（1）解：如图所示．（2）证明：∵∠ADF＝∠ABC，∴DF∥BC，∴∠BED＝∠EDF，∵BE＝BD，∴∠BED＝∠BDE，∴∠EDF＝∠BDE，∴DE平分∠BDF．【点评】本题考查尺规作图、平行线的性质，熟练掌握作一个角等于已知角的作图步骤以及平行线的性质是解答本题的关键．四、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上. 19．【分析】（1）根据中位数的定义可得m的值，根据各部分所占百分比之和等于1可得m 的值；（2）利用样本估计总体思想求解可得；（3）根据平均数、中位数和众数解答即可．【解答】解：（1）由题意可知，七年级数据中排在中间的两个数分均为1.1，故中位数a ＝＝1.1，m%＝1﹣42%﹣38%﹣10%＝10%，故m＝10；（2）900×（10%+38%）＝432（名）．答：估计该校八年级900名学生中达到国家标准的学生有432人；（3）八年级对国家政策落实情况更好，理由如下：两个年级的平均数相同，但八年级的中位数和众数均高于七年级，所以八年级对国家政策落实情况更好．【点评】本题考查中位数、众数、平均数的意义和计算方法，理解各个概念的内涵和计算方法，是解题的关键．20．【分析】（1）过点E作EF⊥DC，垂足为F，则FC＝BE＝1.48米，EF＝BC＝30米，然后在Rt△DFE中，利用锐角三角函数的定义求出DF的长，进行计算即可解答；（2）过点A作AH⊥DC，垂足为H，则AH＝BC＝30米，CH＝AB＝4.8米，从而求出DH＝14米，然后在Rt△DHA中，利用勾股定理进行计算即可解答．【解答】解：（1）过点E作EF⊥DC，垂足为F，则FC＝BE＝1.48米，EF＝BC＝30米，在Rt△DFE中，∠DEF＝30°，∴DF＝EF•tan30°＝30×＝10（米），∴DC＝DF+CF＝10+1.48≈18.8（米），∴小区1号楼CD的高度约为18.8米；（2）过点A作AH⊥DC，垂足为H，则AH＝BC＝30米，CH＝AB＝4.8米，∵DC＝18.8米，∴DH＝DC﹣CH＝18.8﹣4.8＝14（米），在Rt△DHA中，DA＝＝≈33.1（米），∴大门顶部A与1号楼顶部D的距离约为33.1米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．21．【分析】（1）利用第二周每个纪念品的销售利润＝售价﹣进价，即可用含m的代数式表示出第二周每个纪念品的销售利润，利用销售量＝200+50×每个纪念品降价的钱数，即可用含m的代数式表示出销售量，再利用这批纪念品第二周的销售利润＝第二周每个纪念品的销售利润×销售量，即可用含m的代数式表示这批纪念品第二周的销售利润；（2）根据前两周商店销售这批纪念品的利润为1400元，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，将其正值代入（10﹣m）中即可求出结论；（3）利用总利润＝每个的销售利润×销售数量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再将其正值代入600﹣200﹣（200+50m）中即可求出结论．【解答】解：（1）依题意得：第二周每个纪念品的销售利润为（10﹣m﹣6）＝（4﹣m）元，销售量为（200+50m）个，∴这批纪念品第二周的销售利润为（4﹣m）（200+50m）元．（2）依题意得：（10﹣6）×200+（4﹣m）（200+50m）＝1400，整理得：m2﹣4＝0，解得：m1＝2，m2＝﹣2（不符合题意，舍去），∴10﹣m＝10﹣2＝8．答：第二周每个纪念品的售价为8元．（3）依题意得：（10﹣6）×200+（4﹣m）（200+50m）+[（10﹣m）×（1﹣20%）﹣6][600﹣200﹣（200+50m）]＝1730，整理得：m2+26m﹣27＝0，解得：m1＝1，m2＝﹣27（不符合题意，舍去），∴600﹣200﹣（200+50m）＝600﹣200﹣（200+50×1）＝150．答：这批纪念品第三周的销售数量为150个．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含m的代数式表示出各数量；（2）（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．22．【分析】（1）把x＝4代入y＝ax与y＝得，可得4a＝，得出a的值，可得答案；（2）首先求出直线与双曲线的交点坐标，再根据图象可得答案；（3）设点P（4，t）则BP＝t，OP＝8﹣t，在Rt△OBP中，利用勾股定理可得t的值，设点Q（m，0），则OQ＝|m|，再根据面积相等可得m的方程，从而得出答案．【解答】解：（1）把x＝4代入y＝ax与y＝得，4a＝，解得a＝2，∴正比例函数的表达式为y＝2x，反比例函数的表达式为y＝，（2）由正比例函数的表达式为y＝2x，反比例函数的表达式为y＝，两函数图象相交时可得2x＝，解得x＝4或﹣4，经检验x＝4或﹣4是该方程的解，将x＝4代入y＝2x中，得y＝8，将x＝﹣4代入y＝2x中，得y＝﹣8，即两个交点的坐标分别为（4，8），（﹣4，﹣8），当直线在双曲线上方时，x的取值范围为：﹣4＜x＜0或x＞4；（3）∵A（4，8），∴AB＝8，∵AP＝OP，∴OP+PB＝8，设点P（4，t）则BP＝t，OP＝8﹣t，在Rt△OBP中，由勾股定理得：（8﹣t）2＝t2+42，解得t＝3，则8﹣t＝5，∴P（4，3），AP＝OP＝5，∴S，设点Q（m，0），则OQ＝|m|，∵S△OPQ＝S△OP A＝10，∴，解得m＝，∴Q（﹣）或（）．【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，函数与不等式的关系，三角形的面积，坐标与图形的性质等知识，运用勾股定理求出点P 的坐标是解题的关键．23．【分析】（1）模仿阅读材料的方法解题即可；（2）由（1）可得x3﹣2x2﹣4x+3＝（x﹣3）（x2+x﹣1）；（3）根据（1）（2）的方法，先确定方程的整数解为x＝﹣2，再用因式分解的方法解方程即可．【解答】解：（1）∵3的因数有±1，±3，将它们分别代入原方程，当x＝﹣3时，x3﹣2x2﹣4x+3＝（﹣3）3﹣2×（﹣3）2﹣4×（﹣3）+3≠0；当x＝﹣1时，x3﹣2x2﹣4x+3＝（﹣1）3﹣2×（﹣1）2﹣4×（﹣1）+3≠0；当x＝1时，x3﹣2x2﹣4x+3＝13﹣2×12﹣4×（﹣1）+3≠0；当x＝3时，x3﹣2x2﹣4x+3＝33﹣2×32﹣4×3+3＝0；∴x＝3是方程x3﹣2x2﹣4x+3＝0的整数解，∴x3﹣2x2﹣4x+3有因式x﹣3，∴x3﹣2x2﹣4x+3＝（x﹣3）（x2+x﹣1）＝0，∴方程的整数解为x＝3；（2）由（1）知，x3﹣2x2﹣4x+3＝（x﹣3）（x2+x﹣1）；（3）x3﹣x2﹣7x﹣2＝（x+2）（x2﹣3x﹣1）＝0，∴x＝﹣2或x2﹣3x﹣1＝0，解得x＝﹣2或x＝或x＝．【点评】本题考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法，弄清题中的方法，利用因式分解解高次方程是解题的关键．24．【分析】（1）由平移可得y1＝﹣（x﹣1）2+4，再求解即可；（2）求出直线BC的解析式，设P（t，﹣t2+2t+3），则Q（t2﹣2t，﹣t2+2t+3），可得PQ ＝﹣（t﹣）2+，当t＝时，PQ有最大值；（3）分两种情况讨论：①当AC∥M'Q'时，设M'Q'与y轴交于F，过点M'作M'H⊥MN 交于H，可得到∠HM'N＝∠ACO，再由tan∠ACO＝tan∠HM'N＝，得到M'H＝3HN，在Rt△HNM'中，利用勾股定理求出HN＝，M'H＝，即可求M'（1﹣，2+）；②当AC∥NM'时，设M'N与x轴交于D，对称轴与x轴交于G，过点M'作M'K⊥MN交于K，可得到∠M'NK＝∠ACO，同理得到M'K＝，NK＝，即可求M'（1﹣，2﹣）．【解答】解：（1）由平移得，y1＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，∴a＝﹣1，b＝2，c＝3；（2）令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，解得x＝3或x＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（3，0），令x＝0，则y＝3，∴C（0，3），设直线BC的解析式为y＝mx+n，∴，解得，∴y＝﹣x+3，设P（t，﹣t2+2t+3），则Q（t2﹣2t，﹣t2+2t+3）∴PQ＝t﹣t2+2t＝﹣t2+3t＝﹣（t﹣）2+，∴当t＝时，PQ有最大值；（3）由（2）知，P（，），Q（﹣，），∵平移后的抛物线的对称轴为x＝1，∴M（1，），N（1，2），①当AC∥M'Q' 时，设M'Q'与y轴交于F，过点M'作M'H⊥MN交于H，∵M'H∥OA，CA∥M'Q'，∴∠FM'H＝∠CAO，∵∠Q'M'N＝90°，∠FM'C+∠M'FO＝90°，∠CAO+∠ACO＝90°，∴∠HM'N＝∠ACO，∵OA＝1，CO＝3，∴tan∠ACO＝，∴tan∠HM'N＝＝，∴M'H＝3HN，∵M'N＝MN＝，∴（）2＝（3HN）2+（HN）2，解得HN＝，∴M'H＝，∴M'（1﹣，2+）；②当AC∥NM'时，设M'N与x轴交于D，对称轴与x轴交于G，过点M'作M'K⊥MN交于K，∴∠CAO＝∠NDG，∵M'K∥DG，∴∠NM'K＝∠NDG，∴∠M'NK＝∠ACO，∵tan∠ACO＝，∴tan∠M'NK＝＝，∴NK＝3M'K，∵M'N＝MN＝，∴（）2＝（3M'K）2+（M'K）2，解得M'K＝，∴NK＝，∴M'（1﹣，2﹣）；综上所述：M'点坐标为（1﹣，2+）或（1﹣，2﹣）．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数平移的性质，平行线的性质，直角三角形勾股定理，图形旋转的性质是解题的关键．25．【分析】（1）取BE中点M，连接CM，利用SAS证明△AEF≌△CEM，得出∠AFE＝∠CME，根据等腰三角形的性质推出∠AFE＝∠CME＝90°，根据直角三角形的性质求解即可；（2）延长CB到P，使BP＝CB，连接EP，利用SAS证明△ACB≌△PCE，根据全等三角形的性质得到AB＝PE，根据三角形中位线定理推出BH＝PE，结合（1）即可得解；（3）连接AF、FH，根据题意推出△FHE∽△BAE，根据相似三角形的性质推出FH∥AB，FH＝AB，进而得到四边形BDFH是平行四边形，当四边形BDFH是正方形时，FD⊥AB，根据正方形的性质及勾股定理求解即可．【解答】（1）证明：取BE中点M，连接CM，∵M为BE的中点，∴ME＝BE，∵EF＝BE，∴EF＝ME，∵E为AC的中点，∴AC＝2AE＝2CE，在△AEF和△CEM中，，∴△AEF≌△CEM（SAS），∴∠AFE＝∠CME，∵AC＝2BC，∴BC＝CE，∵M为BE的中点，∴CM⊥BE，∴∠CME＝90°，∴∠AFE＝90°，∵D是AB的中点，∴DF＝AB，DB＝AB，∴DF＝DB；（2）证明：延长CB到P，使BP＝CB，连接EP，∴CP＝2BC，∵AC＝2BC，∴AC＝CP，在△ACB和△PCE中，，∴△ACB≌△PCE（SAS），∴AB＝PE，∵BP＝CB，H是CE的中点，∴BH∥PE，BH＝PE，由（1）知，DF＝AB，∴DF＝BH；（3）解：如图，连接AF、FH，∵HE＝AE，EF＝BE，∴＝＝，∵∠HEF＝∠AEB，∴△FHE∽△BAE，∴∠FHE＝∠BAE，＝＝，∴FH∥AB，FH＝AB，∵BD＝AB，∴FH＝BD，∴四边形BDFH是平行四边形，当四边形BDFH是正方形时，FD⊥AB，∴∠ABH＝90°，HB＝FD，∵∠AFE＝90°，AD＝BD，∴DF＝AB，∴HB＝FD＝AB，∵AH＝AE+EH＝AC+AC＝AC＝BC，AB2+HB2＝AH2，∴AB2+＝，∴＝＝，∴＝．【点评】此题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、正方形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、正方形的性质、相似三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．。
2020年重庆市南岸区春招数学试卷和参考答案
概率为
．
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16．在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2．分别以点 B，A 为圆心，以 BC 长为
半径画弧，交 AB 于点 D，E，交 AC 于点 F，则图中的阴影部分的面积为
．（用
含 π 的代数式表示）
17．在一段长为 1000m 的笔直道路 AB 上，甲、乙两名运动员分别从 A，B 两地出发进行往
2．计算（2x）3 的结果是（ ）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A．8x3
B．8x
C．6x3
D．2x3
3．下列命题是真命题的是（ ）
A．等边三角形是中心对称图形 B．等腰三角形是轴对称图形
C．等腰直角三角形是中心对称图形 D．直角三角形是轴对称图形
4．如图，小树 AB 在路灯 O 的照射下形成投影 BC．若树高 AB＝2m，树影 BC＝3m，树与
算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡对应的位置上．
19．计算：
（1）（2x+y）（x+y）+（x﹣y）2；（2）（a﹣
）÷
．
20．如图，AB∥CD，AD 与 BC 相交于点 E，AF 平分∠BAD，交 BC 于点 F，交 CD 的延长 线于点 G． （1）若∠G＝29°，求∠ADC 的度数； （2）若点 F 是 BC 的中点，求证：AB＝AD+CD．
C．16.9m
D．18.1m
11．如图，把△ABC 纸片沿 DE，EF，DG 折叠后，A，B，C 三点都与 BC 边上的点 M 重
合，得到矩形 DEFG，连接 DF，若△DGM 和△DMF 均是等腰三角形，DG＝1，则△
ABC 的周长为（ ）
2020年重庆市南岸区春招数学试卷
2020年重庆市南岸区春招数学试卷一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1．（4分）在下列各数中，比﹣1小的数是（）A．0B．1C．2D．﹣22．（4分）计算（2x）3的结果是（）A．8x3B．8x C．6x3D．2x33．（4分）下列命题是真命题的是（）A．等边三角形是中心对称图形B．等腰三角形是轴对称图形C．等腰直角三角形是中心对称图形D．直角三角形是轴对称图形4．（4分）如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离BP＝4.5m．则路灯的高度OP为（）A．3m B．4m C．4.5m D．5m5．（4分）下列整数中，与9﹣最接近的是（）A．4B．5C．6D．76．（4分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB与⊙C相切于点D，若AB＝6，则CD的长为（）A．B．C．3D．37．（4分）按照如图所示的流程，若输出的M＝3，则输入的m为（）A．﹣1B．0C．1D．38．（4分）2020年5月以来，各地根据疫情防控工作需要，对重点人群进行核酸检测．为尽快完成检测任务，某地组织甲、乙两支医疗队，分别开展检测工作，甲队比乙队每小时多检测15人，甲队检测600人比乙队检测500人所用的时间少10%．若设甲队每小时检测x人，根据题意，可列方程为（）A．＝×（1﹣10%）B．×（1﹣10%）＝C．＝×（1﹣10%）D．×（1﹣10%）＝9．（4分）在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．使∠ADC＝2∠B，则符合要求的作图痕迹是（）A．B．C．D．10．（4分）如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，斜坡与教学楼剖面在同一平面内，已知斜坡CD的长为6m，坡度i＝1：0.75，教学楼底部到斜坡底部的水平距离AC＝8m，在教学楼顶部B点测得斜坡顶部D点的俯角为46°，则教学楼的高度约为（）（参考数据：sin46°≈0.72，cos46°≈0.69，tan46°≈1.04）A．12.1m B．13.3m C．16.9m D．18.1m11．（4分）如图，把△ABC纸片沿DE，EF，DG折叠后，A，B，C三点都与BC边上的点M重合，得到矩形DEFG，连接DF，若△DGM和△DMF均是等腰三角形，DG＝1，则△ABC的周长为（）A．4+2+2B．2+4+2C．2+2+4D．4+212．（4分）如图，点A与点B关于原点对称，点C在第四象限，∠ACB＝90°．点D是x 轴正半轴上一点，AC平分∠BAD，E是AD的中点，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点A，E．若△ACE的面积为6，则k的值为（）A．4B．6C．8D．12二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．15题图13．（4分）不等式组的解集是．14．（4分）据了解，重庆市为确保2020年完成3万个5G基站建设目标的顺利完成，3月1日已经建设开通5G基站数超过10100个．请把数10100用科学记数法表示为．15．（4分）在如图所示的电路图中，当随机闭合开关K1，K2，K3中的两个时，能够让灯泡发光的概率为．16．（4分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2．分别以点B，A为圆心，以BC长为半径画弧，交AB于点D，E，交AC于点F，则图中的阴影部分的面积为．（用含π的代数式表示）17．（4分）在一段长为1000m的笔直道路AB上，甲、乙两名运动员分别从A，B两地出发进行往返跑训练．已知甲比乙先出发30秒钟，甲距A点的距离y/m与其出发的时间x/分钟的函数图象如图所示．乙的速度是200m/分钟，当乙到达A点后立即按原速返回B 点．当两人第二次相遇时，乙跑的总路程是m．18．（4分）滴滴快车是一种便捷的出行工具，某地的计价规则如表：计费项目里程费时长费远途费单价2元/公里0.3元/分钟1元/公里注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收1元．小李与小张分别从不同地点，各自同时乘坐滴滴快车，到同一地点相见，已知到达约定地点时他们的实际行车里程分别为7公里与9公里，两人付给滴滴快车的乘车费相同．其中一人先到达约定地点，他等候另一人的时间等于他自己实际乘车时间，且恰好是另一人实际乘车时间的一半，则小李的乘车费为元．三、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡对应的位置上．19．（10分）计算：（1）（2x+y）（x+y）+（x﹣y）2；（2）（a﹣）÷．20．（10分）如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E，AF平分∠BAD，交BC于点F，交CD的延长线于点G．（1）若∠G＝29°，求∠ADC的度数；（2）若点F是BC的中点，求证：AB＝AD+CD．21．（10分）经历疫情复学后，学校开展了多种形式的防疫知识讲座，并举行了全员参加的“防疫”知识竞赛，试卷题目共10题，每题10分．现分别从七年级1，2，3班中各随机抽取10名同学的成绩（单位：分）．收集整理数据如下：分析数据：平均数中位数众数1班83a802班83b c3班d8080根据以上信息回答下列问题：（1）请直接写出表格中a，b，c，d的值；（2）比较这三组样本数据的平均数、中位数和众数，你认为哪个班的成绩比较好？请说明理由（一条理由即可）；（3）为了让学生重视安全知识的学习，学校将给竞赛成绩满分的同学颁发奖状，该校七年级学生共120人，试估计需要准备多少张奖状？22．（10分）已知函数y＝k|x+2|+b的图象经过点（﹣2，4）和（﹣6，﹣2），完成下面问题：（1）求函数y＝k|x+2|+b的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，请用适当的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；（3）已知函数y＝x+1的图象如图所示，结合你所画出y＝k|x+2|+b的图象，直接写出k|x+2|+b＞x+1的解集．23．（10分）在疫情期间，某地推出线上名师公益大课堂，为广大师生、其他社会人士提供线上专业知识学习、心理健康疏导．参与学习第一批公益课的人数达到2万人，因该公益课社会反响良好，参与学习第三批公益课的人数达到2.42万人．参与学习第二批、第三批公益课的人数的增长率相同．（1）求这个增长率；（2）据大数据统计，参与学习第三批公益课的人数中，师生人数在参与学习第二批公益课的师生人数的基础上增加了80%；但因为已经部分复工，其他社会人士的人数在参与学习第二批公益课的其他社会人士人数的基础上减少了60%．求参与学习第三批公益课的师生人数．24．（10分）对于任意一个四位数，我们可以记为，即＝1000a+100b+10c+d．若规定：对四位正整数进行F运算，得到整数F（）＝a4+b3+c2+d1．例如，F （1249）＝14+23+42+91＝34；F（2020）＝24+03+22+01＝20．（1）计算：F（2137）；（2）当c＝e+2时，证明：F（）﹣F（）的结果一定是4的倍数；（3）求出满足F（）＝98的所有四位数．25．（10分）如图，在平面直角坐标系内，点A，B的坐标分别为（1，0），（0，2），AC⊥AB，且AB＝AC，直线BC交x轴于点D，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A，B，D．（1）求直线BC和抛物线y＝ax2+bx+2的函数表达式；（2）点P是直线BD下方的抛物线上一点，求△PCD面积的最大值，以及△PCD面积取得最大值时，点P的坐标；（3）若点P的坐标为（2）小题中，△PCD的面积取得最大值时对应的坐标．平面内存在直线l，使点B，D，P到该直线的距离都相等，请直接写出所有满足条件的直线l的函数表达式．四、解答题（本大题1个小题，共8分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．26．（8分）如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，连接AE，过点E作EM⊥AE，交对角线AC于点M，过点M作MN⊥AB，垂足为N，连接NE．（1）求证：AE＝NE+ME；（2）如图2，延长EM至点F，使EF＝EA，连接AF，过点F作FH⊥DC，垂足为H．猜想CH与FH存在的数量关系，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，若点G是AF的中点，连接GH．当GH＝CH时，直接写出GH 与AC之间存在的数量关系．。
2020-2021重庆南岸区数学模拟试卷(含答案)
2020-2021重庆南岸区数学模拟试卷（含答案）第Ⅰ卷 选择题（共30分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1. 某地区某天的最高气温是8℃，最低气温是－2℃，则该地区这一天的温差是（ ）A. －10℃B. －6℃C. 6℃D. 10℃2、下列各式正确的是（ ）A ．358-=--B ．6)2(3=-C ．34)32(2=- D ．()572=---3、若a 是最小的自然数，b 是最大的负整数，c 是绝对值最小的有理数。
则 a + b + c=( )A. —1B. 0C. 1D. 不存在5．2014年5月21日，中国石油天然气集团公司与俄罗斯天然气工业股份公司在上海签署了《中俄东线供气购销合同》，这份有效期为30年的合同规定，从2018年开始供气，每年的天然气供应量为380亿立方米，380亿立方米用科学记数法表示为（ ）A ．3.8×1010m 3B ．38×109m 3C ．380×108m 3D ．3.8×1011m 35．给出四个数：－1，1/3，0.5, 1/7，其中为无理数的是（ ）A ．－1B ．1/3C ．0.5D ．1/76.在△ABC 中，已知AB=AC=4cm ，BC=6cm ，D 是BC 的中点，以D 为圆心作一个半径为3cm 的圆，则下列说法正确的是…………………………………………………………（ ）A. 点A 在⊙D 外B. 点B 在⊙D 内C. 点C 在⊙D 上D. 无法确定7．已知2是关于x 的方程3x +a =0的解．那么a 的值是( )A ．-6B ．-3C ．-4D ．-58．一个长方形的周长为20，其中它的长为a ，那么该长方形的面积是…………（ ）A ．20aB ．a (20－a )C ．10aD ．a (10－a )9．一家商店一月份把某种商品按进货价提高60%出售，到三月份再声称以8折（80%）大拍卖，那么该商品三月份的价格比进货价（ ）A．高12.8% B．低12.8% C．高40% D．高28%10．下列各组算式中，其值最小的是（）A．﹣（﹣3﹣2）2B．（﹣3）×（﹣2）C．（﹣3）2×（﹣2） D．（﹣3）2÷（﹣2）第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11. -1/7的相反数是_______；-8/9的倒数是.12、定义“＊”是一种运算符号，规定a﹡b=5a+4b+2013,则(-4)﹡5的值为。
2020年重庆市南岸区中考数学一诊试卷 (含答案解析)
2020年重庆市南岸区中考数学一诊试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.下列各数中，比0小的数是()A. −1B. 1C. √2D. π2.计算(−12a2b)3的结果正确的是()A. 14a4b2 B. 18a6b3 C. −18a6b3 D. −18a5b33.点M(1−m,3−m)在x轴上，则点M坐标为()A. (0,−4)B. (4,0)C. (−2,0)D. (0,−2)4.下列命题是假命题的是()A. 平行四边形的对角线互相平分B. 矩形的对角线互相垂直C. 菱形的对角线互相垂直平分D. 正方形的对角线互相垂直平分且相等5.如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为4，BC=6，则PA的长为()A. 4B. 2√3C. 3D. 2.56.估计√9×√13+√12的运算结果应在哪两个连续自然数之间()A. 5和6B. 6和7C. 7和8D. 8和97.中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有四人共车，一车空；二人共车，八人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每4人乘一车，最终剩余1辆车，若每2人共乘一车，最终剩余8个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有x辆车，则可列方程()A. 4(x−1)=2x+8B. 4(x+1)=2x−8C. x4+1=x+82D. x4−1=x−828.按如图所示的运算程序运算，能使输出的结果为7的一组x，y的值是()A. x=1，y=2B. x=−2，y=1C. x=2，y=1D. x=−3，y=19.如图，已知△ABC(AC<BC)，用尺规在BC上确定一点P，使PA+PC=BC.则下列四种不同方法的作图中准确的是()A. B.C. D.10.为加快5G网络建设，某移动通信公司在一个坡度为2：1的山腰上建了一座5G信号通信塔AB，在距山脚C处水平距离39米的点D处测得通信塔底B处的仰角是35°，测得通信塔顶A处的仰角是49°，(参考数据：sin35°≈0.57，tan35°≈0.70，sin49°≈0.75，tan49°≈1.15)，则通信塔AB的高度约为()A. 27米B. 31米C. 48米D. 52米11.如图，在平面直角坐标系中，正方形AOBC与反比例函数y=kx(k>0,x>0)交于点A，点C坐标为(5,−1)，则k的值为()A. 5B. −5C. 6D. −612.如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，沿CE折叠△CDE，点D恰好落在AC的中点F处，若CD=√3，则△ACE的面积为()A. 1B. √3C. 2D. 2√3二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）13.计算：−1−2+(π−2018)0=____．14.新型冠状病毒蔓延全球，截至北京时间2020年6月20日，全球新冠肺炎累计确诊病例超过8500000例，数字8500000用科学记数法表示为______．15.一个不透明的布袋内装有除颜色外，其余完全相同的3个红球，2个白球，1个黄球，搅匀后，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率为____．16.如图，在矩形ABCD中，CD=4，以点C为圆心，CD长为半径画弧，交AB边于点E，且E为AB中点，则图中阴影部分的面积为______．17.A、B两地之间的路程为2380米，甲、乙两人分别从A、B两地出发，相向而行，已知甲先出发5分钟后，乙才出发，他们两人在A、B之间的C地相遇，相遇后，甲立即返回A地，乙继续向A地前行.甲到达A地时停止行走，乙到达A地时也停止行走，在整个行走过程中，甲、乙两人均保持各自的速度匀速行走，甲、乙两人相距的路程y(米)与甲出发的时间x(分钟)之间的关系如图所示，则乙到达A地时，甲与A地相距的路程是________米．18.有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需315元；若购甲4件，乙10件，丙1件，共需420元.问购甲、乙、丙各5件共需____________元。
重庆市南岸区2020年中考数学模拟试卷解析版
中考数学模拟试卷
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 12 小题，共 48.0 分）
1. 比 大 5 的数是（）
A.
B.
C. 2
D. 8
2. 如图所示的几何体是由 6 个大小相同的小立方块搭成，它的左视图是（ ）
A.
B.
C.
D.
3. 2019 年 4 月 10 日，人类首张黑洞照片面世，该黑洞位于室女座一个巨椭圆星系 M87 的中心，距离地球约 5500 万光年．将数据 5500 万用科学记数法表示为（ ）
18. 如图，在边长为 1 的菱形 ABCD 中，∠ABC=60°，将 △ABD 沿射线 BD 的方向平移得到△A'B'D'，分别连接 A'C ，A'D，B'C，则 A'C+B'C 的最小值为______．
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三、解答题（本大题共 8 小题，共 78.0 分） 19. （1）计算：（π-2）0-2cos30°- +|1- |．
C. 60°
D. 72°
10. 一天，小战和同学们一起到操场测量学校旗杆高度，他们首先在斜坡底部 C 地测得
2024年重庆市南岸区春招数学试卷
2024年重庆市南岸区春招数学试卷一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧1．（4分）﹣5的绝对值是（）A．B．5C．﹣5D．﹣2．（4分）下列图案是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．（4分）反比例函数的图象一定经过的点是（）A．（3，﹣2）B．（﹣2，﹣3）C．（﹣6，﹣1）D．（1，6）4．（4分）若两个相似三角形面积的比为1：9，则这两个三角形对应边的比是（）A．1：2B．1：3C．1：6D．1：95．（4分）用火柴棒拼成如图所示的图案，其中第①个图案是由12根火柴棒组成的，第②个图案是由18根火柴棒组成的，第③个图案是由24根火柴棒组成的，若按此规律拼下去，则第10个图案需要火柴棒的根数是（）A．54B．60C．66D．726．（4分）如图，AB∥CD，FG平分∠BFE，已知∠FEG＝50°，则∠BFG的度数是（）A．55°B．60°C．65°D．75°7．（4分）估计的值应在（）A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间8．（4分）如图，AB是半径为1的⊙O的切线，C为切点，连接OA，OB，OA＝OB，若AB＝4，则sin∠OAC的值为（）A．B．C．D．9．（4分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝5，E是AB边的中点，连接DE，F是BC边上一点，连接DF，将矩形纸片ABCD沿着DF翻折，使得点C落在DE上（如图中的点G），则FG的长为（）A．3B．C．D．10．（4分）用三个不等式xy＞0，，x+y＞0中的一个不等式与x＞y作为条件，余下的其中一个不等式作为结论组成一个命题，其中能组成真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答11．（4分）计算：＝．12．（4分）在一个不透明的袋子里装有除标号外完全相同的三个小球，小球上分别标有数字﹣1，0，1，从袋子中随机抽取一个小球并记下数字后放回，将袋子摇匀，再随机抽取一个小球记下数字，两次记下的数字和为0的概率为．13．（4分）如图，正五边形ABCDE中，M，N分别是CD，DE的中点，连接AM，BN相交于点O，那么∠AOB的度数为.14．（4分）如图，点A，B，C，D在同一直线上，AC＝DE，BD＝CF，点C，F分别是BD，BE的中点，若EF＝2，则AF的长为.15．（4分）已知m为方程x2+x﹣3＝0的一个根，则代数式m3+2m2﹣2m+6的值为．16．（4分）如图，在正方形OABC中，对角线OB与扇形OAC的交于点D，DE，DF分别与AO，CO 垂直．若AB＝4，则图中阴影部分的面积为．17．（4分）若关于x的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之积是．18．（4分）若一个正整数M能分解成p2+q，其中p与q都是两位数，且p与q的个位数字相同，十位数字相加等于10，则称M为“方加数”，并把M分解成p2+q的过程，称为“方加分解”．例如：因为262＝132+93，13与93的个位数字相同，十位数字相加等于10，所以262是“方加数”，则最小的“方加数”是；把一个四位“方加数”M进行方加分解，即M＝p2+q中，将p放在q的左边组成一个新的四位数N，若N能被7整除，且N的各个数位上的数字之和能被3整除，则满足条件的M的最大值为．三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书19．（8分）计算：（1）x（3﹣x）+（x﹣1）2；（2）．20．（10分）为丰富学生课余生活，培养学生生活实践能力，某校在4月初举办了研学活动，全体七八年级学生参与了此次活动．活动结束后学校随机从七八年级各抽取了20名学生对研学活动进行满意度调查．（满意度得分用x表示，共分为四组：非常满意85≤x≤100，满意70≤x＜85，基本满意60≤x＜70，不满意x＜60）七年级的满意度得分数据：58，86，67，77，90，86，77，90，78，100，85，77，63，88，67，89，88，80，91，83．八年级包含“满意”的所有得分数据：72，78，75，73，78，84，80，78，84．年级平均数中位数众数“非常满意”所占的百分比七年级8184a50%八年级81b78m%（1）a＝，b＝，m＝；（2）根据以上数据，你认为哪个年级学生对本次研学活动更加满意？请说明理由；（写出一条理由即可）（3）已知七八年级共有学生1200人，请估计七八年级对本次研学活动“非常满意”的学生人数大约是多少？21．（10分）学习了三角形全等后，我们知道“两边及第三边上的中线分别相等的两个三角形全等”．小李进行了拓展性研究：有两边以及第三边上的高分别相等，这两个三角形是否全等呢？他的解决思路是：作直线MN，在直线MN上任取一点D，过点D作DE⊥MN，在DE上截取DC＝h；在直线MN上找点A，作线段CA＝b；再在直线MN上找点B，作线段CB＝a．请根据他的思路用尺规完成以下作图并填空：已知：线段h，a，b．求作：△ABC，使得CA＝b，CB＝a，AB边上的高CD＝h．（只保留作图痕迹）结论：通过作图，发现△ABC的形状和大小唯一的；（填“是”或“不是”）因此，有两边以及第三边上的高分别相等，这两个三角形全等．（填“一定”或“不一定”）22．（10分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．D为AB的中点，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿A→C→B方向运动到点B停止．连接PD，设点P的运动时间为x秒，△ADP 的面积为y．（1）请求出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围；（要写解答过程）（2）在给定的平面直角坐标系中，如图2，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；（3）结合函数图象，请直接写出△ADP的面积为6时x的值．23．（10分）为落实劳动教育，实施五育并举，某校合理利用空地，开垦校园农场，培养学生的劳动能力．农场去年春季种植蔬菜和水果共收获130kg．由于同学们劳动技能提高，今年春季蔬菜产量比去年增加10%，水果产量比去年增加20%，蔬菜和水果的总产量比去年增加18kg．（1）去年春季蔬菜和水果的产量各多少千克？（2）今年4月，收获劳动成果时，学校利用劳动课，安排两组同学分别采摘水果和收割蔬菜．每小时收割蔬菜的质量是采摘水果的质量的1.2倍，两组同学同时开始劳动，结果水果采摘小组比蔬菜收割小组提前20分钟完成任务．问水果采摘小组每小时采摘水果多少千克？24．（10分）重庆东站位于重庆南岸茶园新区，是全国在建的最大城景融合的高铁枢纽站之一，目前正处于紧密锣鼓施工中．从设计图纸中，发现从广场A到B，受地形的影响，不能直接到达．施工设计图设计了两条线路，如图2所示：线路①A→C→B，线路②A→D→E→B．经勘测，C位于广场A的东北方向且到AB的距离为200m，D位于广场A南偏东30°方向，也在F的正南方，AF＝75m．E在D的正东方向300m处，也在B的南偏西60°方向．（参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.2，结果保留整数）（1）求AD的长度；（2）为缩短施工时间，决定从线路①和线路②中选择一条较短线路先进行施工，应该选择哪一条线路先施工？25．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4（a，b是常数，a≠0），与x轴交于点A（﹣6，0）和点B（2，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图，连接AC，点P为直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为E，交直线AC于点F，过点P作PD⊥AC，垂足为D．求△PDF周长的最大值以及此时点P的坐标；（3）将抛物线y＝ax2+bx+4（a，b是常数，a≠0），沿射线CB方向平移个单位长度得到新抛物线y′，点Q是新抛物线上一点，连接CQ，当∠ACQ＝∠CBA﹣∠CAB时，请求出点Q的坐标．26．（10分）在△ABC中，AB＝AC，D是平面内一点，连接AD．将AD绕点A逆时针旋转一定角度α（0°＜α＜180°），得到AE，且满足α+∠BAC＝180°，连接BE，CE．（1）如图1，∠BAC＝90°，D是BC边上一点，求∠BCE的度数；（2）如图2，D是平面内一点，F是BE的中点，连接AF．猜想AF与CD存在怎样的数量关系？写出你的结论，并证明；（3）在（2）的条件下，若α＝120°，在直线CE上存在一点M，使以点A，E，F，M为顶点的四边形是锐角为60°的菱形，请直接写出的值．。
重庆市南岸区、渝中区、九龙坡区等主城区2020届高考4月份二诊 数学(文科)试卷(解析版)
2020年高考数学二诊试卷（文科）（4月份）一、选择题（共12小题）1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|log2x＞1}，则A∪B＝（）A．（2，+∞）B．（2，3]C．[﹣1，3]D．[﹣1，+∞）2．欧拉公式e ix＝cos x+i sin x（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．在停课不停学期间，某学校组织高三年级学生参加网络数学测试，测试成绩的频率分布直方图如图，测试成绩的分组为[10，30），[30，50），[50，70），[70，90），[90，110），[110，130），[130，150]，若低于70分的人数是175人，则该校高三年级的学生人数是（）A．350B．500C．600D．10004．已知点在幂函数f（x）＝x n的图象上，设，b＝f（lnπ），，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b5．已知点落在角θ的终边上，且θ∈（0，2π），则θ的值为（）A．B．C．D．6．已知p：x≥k，，若p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]D．（﹣∞，﹣1）7．某街道招募了志愿者5人，其中1人来自社区A，2人来自社区B，2人来自社区C．现从中随机选取2个志愿者参加抗击新型冠状病毒活动，则这2人来自不同社区的概率为（）A．B．C．D．8．已知函数，f（x1）＝2，f（x2）＝﹣2，且|x1﹣x2|最小值为，若将y＝f（x）的图象沿x轴向左平移φ（φ＞0）个单位，所得图象关于原点对称，则实数φ的最小值为（）A．B．C．D．9．设实数x、y满足，则的最大值为（）A．B．﹣2C．D．210．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，直线PF与抛物线C交于M，N两点，若，则|MN|＝（）A．B．3C．D．911．已知对任意x1，x2∈（﹣∞，+∞）且x1≠x2，都有，那么实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（0，1）C．D．12．两球O1和O2在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内部，且互相外切，若球O1与过点A的正方体的三个面相切，球O2与过点C1的正方体的三个面相切，则球O1和O2的表面积之和的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡相应的位置上．13．设非零向量满足，且，则向量与的夹角为．14．在高台跳水运动中，某运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系式h＝﹣4.9t2+6.5t+10，则该运动员在t＝2时的瞬时速度是（m/s）．15．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a cos B sin C+b cos A sin C＝c2，则△ABC外接圆的面积是．16．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，一条渐近线为l，过点F2且与l平行的直线交双曲线C于点M，若|MF1|＝2|MF2|，则双曲线C的离心率为．三、解答题：共70分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．并答在答题卡相应的位置上．第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．一奶茶店制作了一款新奶茶，为了进行合理定价先进行试销售，其单价x（元）与销量y（杯）的相关数据如表：单价x（元）8.599.51010.5销量y（杯）120110907060（Ⅰ）已知销量y与单价x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；（Ⅱ）若该款新奶茶每杯的成本为7.7元，试销售结束后，请利用（Ⅰ）所求的线性回归方程确定单价定为多少元时，销售的利润最大？（结果保留到整数）参考公式：线性回归方程y中斜率和截距最小二乘法估计计算公式：，．，参考数据：4195，453.75．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n+1＝2S n+1．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝log3（a n•a n+1），数列{b n}的前n项和为T n，求证：．19．如图，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD为矩形，ADEF为直角梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF＝2EF＝2DE＝2．（Ⅰ）求证：FD⊥平面ABCD；（Ⅱ）若三棱锥B﹣ADF的体积为，求点A到面BDF的距离．20．已知函数f（x）＝e x+ax（a∈R），g（x）＝e x lnx（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）设曲线y＝f（x）在x＝1处的切线为l，点（1，0）到直线l的距离为，求a的值；（Ⅱ）若对于任意实数x≥0，f（x）＞0恒成立，试确定实数a的取值范围；（Ⅲ）当a＝﹣1时，函数M（x）＝g（x）﹣f（x）在[1，e]上是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，请说明理由．21．已知圆C：（x+2）2+y2＝24与定点M（2，0），动圆I过M点且与圆C相切，记动圆圆心I的轨迹为曲线E．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）斜率为k的直线l过点M，且与曲线E交于A，B两点，P为直线x＝3上的一点，若△ABP为等边三角形，求直线l的方程．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝8cosθ．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点M的直角坐标为（2，0），直线l和曲线C交于A、B两点，求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|2x+a2|．（Ⅰ）当a＝2时，求不等式f（x）+|x﹣1|≥5的解集；（Ⅱ）若对于任意实数x，不等式|2x+3|﹣f（x）＜2a成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案的代号填涂在答题卡相应的位置上.1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|log2x＞1}，则A∪B＝（）A．（2，+∞）B．（2，3]C．[﹣1，3]D．[﹣1，+∞）【分析】求出A，B中不等式的解集确定出A，B，找出A与B的并集即可．解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≤0，解得：﹣1≤x≤3，即A＝[﹣1，3]，∵B＝{x|log2x＞1}＝[2，+∞），∴A∪B＝[﹣1，+∞），故选：D．【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2．欧拉公式e ix＝cos x+i sin x（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据欧拉公式、三角函数值的符号即可得出．解：cos i sin cos i sin．∵﹣cos0，﹣sin0．∴表示的复数位于复平面中的第三象限．故选：C．【点评】本题考查了欧拉公式、三角函数值的符号，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．在停课不停学期间，某学校组织高三年级学生参加网络数学测试，测试成绩的频率分布直方图如图，测试成绩的分组为[10，30），[30，50），[50，70），[70，90），[90，110），[110，130），[130，150]，若低于70分的人数是175人，则该校高三年级的学生人数是（）A．350B．500C．600D．1000【分析】由频率分布直方图求出低于70分的频率，再由低于70分的人数，能求出该校高三年级的学生人数．解：由频率分布直方图得：低于70分的频率为：（0.005+0.005+0.0075）×20＝0.35，∵低于70分的人数是175人，∴该校高三年级的学生人数为：500．故选：B．【点评】本题考查样本单元数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．已知点在幂函数f（x）＝x n的图象上，设，b＝f（lnπ），，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b【分析】把点坐标代入幂函数解析式，求出n的值，再利用幂函数的单调性即可解题．解：∵点在幂函数f（x）＝x n的图象上，∴，∴n＝﹣3，∴幂函数f（x）＝x﹣3，在（0，+∞）上单调递减，又∵，∴，即a＞c＞b，故选：C．【点评】本题主要考查了幂函数的定义和幂函数的单调性，是基础题．5．已知点落在角θ的终边上，且θ∈（0，2π），则θ的值为（）A．B．C．D．【分析】利用任意角的三角函数的定义求出sinθ和cosθ的值，再结合θ的范围，即可得到θ的值．解：∵点落在角θ的终边上，∴sinθcos，cosθsin，又∵θ∈（0，2π），∴θ，故选：D．【点评】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，是基础题．6．已知p：x≥k，，若p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]D．（﹣∞，﹣1）【分析】，化为：（x+1）（x﹣1）＞0，解得x范围．根据p是q的充分不必要条件，可得实数k的取值范围．解：，化为：0，即（x+1）（x﹣1）＞0，解得x＞1，或x＜﹣1．∵p是q的充分不必要条件，∴k＞1．则实数k的取值范围是（1，+∞）．故选：B．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．某街道招募了志愿者5人，其中1人来自社区A，2人来自社区B，2人来自社区C．现从中随机选取2个志愿者参加抗击新型冠状病毒活动，则这2人来自不同社区的概率为（）A．B．C．D．【分析】基本事件总数n，这2人来自不同社区包含的基本事件个数m8，由此能求出这2人来自不同社区的概率．解：某街道招募了志愿者5人，其中1人来自社区A，2人来自社区B，2人来自社区C．现从中随机选取2个志愿者参加抗击新型冠状病毒活动，基本事件总数n，这2人来自不同社区包含的基本事件个数m8，则这2人来自不同社区的概率为p．故选：D．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．已知函数，f（x1）＝2，f（x2）＝﹣2，且|x1﹣x2|最小值为，若将y＝f（x）的图象沿x轴向左平移φ（φ＞0）个单位，所得图象关于原点对称，则实数φ的最小值为（）A．B．C．D．【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果．解：函数2sin（ωx），由于函数满足f（x1）＝2，f（x2）＝﹣2，且|x1﹣x2|最小值为，所以T＝π，解得ω＝2．故f（x）＝2sin（2x）．将y＝f（x）的图象沿x轴向左平移φ（φ＞0）个单位，所得函数g（x）＝2sin（2x+2φ）图象，由于函数g（x）关于原点对称，所以2φkπ（k∈Z），解得φ（k∈Z），当k＝0时，φ，即实数φ的最小值为．故选：A．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9．设实数x、y满足，则的最大值为（）A．B．﹣2C．D．2【分析】先根据条件求得（x，y）以（﹣1，0）为圆心，为半径的圆的下半圆；再根据圆心到直线的距离即可求得结论．解：∵实数x、y满足，∴（x+1）2+y2＝5；表示以（﹣1，0）为圆心，为半径的圆的下半圆；令k⇒kx﹣y﹣4k﹣5＝0；因为圆与直线有公共点；∴d⇒﹣2≤k；故的最大值为．（此时切于下半圆上）故选：A．【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，以及数形结合思想，属于基础题目．10．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，直线PF与抛物线C交于M，N两点，若，则|MN|＝（）A．B．3C．D．9【分析】由可知，再结合抛物线的定义、锐角三角函数可得直线MN的斜率，从而得到直线MN的方程，将其与抛物线的方程联立，解出x的值，也就是M、N两点的横坐标，最后利用抛物线的定义可得焦点弦|MN|的长度．解：由题可知，点F的坐标为（1，0），∵，∴，如图所示，过点M作MQ⊥直线l于点Q，则|MF|＝|MQ|，∴在Rt△PQM中，cos∠PMQ，∴tan∠PMQ，∴直线MN的方程为，联立，得2x2﹣5x+2＝0，解得，由抛物线的定义可知，|MN|．故选：C．【点评】本题考查抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、平面向量的线性运算，熟练运用抛物线的定义是解题的关键，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．11．已知对任意x1，x2∈（﹣∞，+∞）且x1≠x2，都有，那么实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（0，1）C．D．【分析】根据题意，由函数单调性的定义分析可得函数f（x）在R上是增函数，结合函数的解析式可得，解可得a的取值范围，即可得答案．解：根据题意，f（x）满足对任意x1，x2∈（﹣∞，+∞）且x1≠x2，都有，则函数f（x）在R上是增函数，又由，则有，解可得：a＜4，即a的取值范围为（，4）．故选：D．【点评】本题考查分段函数的单调性，注意函数单调性的定义，属于基础题．12．两球O1和O2在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内部，且互相外切，若球O1与过点A的正方体的三个面相切，球O2与过点C1的正方体的三个面相切，则球O1和O2的表面积之和的最小值为（）A．B．C．D．【分析】设出球O1与球O2的半径，求出面积之和，利用相切关系得到半径与正方体的对角线的关系，通过基本不等式，从而得出面积的最小值．解：截面如图所示：设球O1与球O2的半径分别为r1，r2，∴r1+r2（r1+r2）＝2．r1+r23，r1+r2≥2，球O1与球O2的面积之和为：S＝4π（r12+r22）＝4π（r1+r2）2﹣8πr1r2≥4π（r1+r2）2﹣2π（r1+r2）2＝2π（3）2＝24﹣1212（2）π，当且仅当r1＝r2时取等号，其面积最小值为12（2）π，故选：D．【点评】本题是中档题，考查球与正方体相切关系的应用，考查基本不等式求解最值问题，考查计算能力，空间想象能力．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡相应的位置上．13．设非零向量满足，且，则向量与的夹角为．【分析】根据题意，设向量与的夹角为θ，设||＝t，则||＝2t，由向量垂直与数量积的关系可得•（）2•t2﹣2t2cosθ＝0，变形可得cosθ的值，结合θ的范围分析可得答案．解：根据题意，设向量与的夹角为θ，又由，设||＝t≠0，则||＝2t，又由，则•（）2•t2﹣2t2cosθ＝0，变形可得：cosθ；又由0≤θ≤π，则θ；故答案为：．【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量垂直的性质以及应用，属于基础题．14．在高台跳水运动中，某运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系式h＝﹣4.9t2+6.5t+10，则该运动员在t＝2时的瞬时速度是﹣13.1（m/s）．【分析】根据导数的物理意义，运动员在t＝2时的瞬时速度即为在此处的导数值．解：h′（t）＝﹣9.8t+6.5，所以h′（2）＝﹣13.1（m/s）．故答案为：﹣13.1．【点评】本题考查导数的物理意义和导数的运算，属于基础题．15．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a cos B sin C+b cos A sin C＝c2，则△ABC外接圆的面积是．【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式化简已知等式，结合sin C≠0，可得sin C＝c，设△ABC外接圆的半径为R，则由正弦定理可求R 的值，进而可求△ABC外接圆的面积．解：∵a cos B sin C+b cos A sin C＝c2，∴由正弦定理可得：sin A cos B sin C+sin B cos A sin C＝c sin C，∵sin C≠0，∴sin A cos B+sin B cos A＝c，即sin（A+B）＝sin C＝c，∴设△ABC外接圆的半径为R，则2R1，可得R，∴△ABC外接圆的面积S＝πR2．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．16．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，一条渐近线为l，过点F2且与l平行的直线交双曲线C于点M，若|MF1|＝2|MF2|，则双曲线C的离心率为．【分析】利用已知条件，结合双曲线定义，通过余弦定理以及渐近线的斜率，列出关系式求解双曲线的离心率即可．解：由题意可知|MF1|﹣|MF2|＝2a，所以|MF2|＝2a，|MF1|＝4a，所以16a2＝4a2+4c2﹣2×2a×2c cos∠MF2F1，tan∠MF2F1，所以cos∠MF2F1，所以：16a2＝4a2+4c2﹣2×2a×2c，可得5a2＝4c2．所以双曲线的离心率为：e．故选：C．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．三、解答题：共70分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．并答在答题卡相应的位置上．第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．一奶茶店制作了一款新奶茶，为了进行合理定价先进行试销售，其单价x（元）与销量y（杯）的相关数据如表：单价x（元）8.599.51010.5销量y（杯）120110907060（Ⅰ）已知销量y与单价x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；（Ⅱ）若该款新奶茶每杯的成本为7.7元，试销售结束后，请利用（Ⅰ）所求的线性回归方程确定单价定为多少元时，销售的利润最大？（结果保留到整数）参考公式：线性回归方程y中斜率和截距最小二乘法估计计算公式：，．，参考数据：4195，453.75．【分析】（Ⅰ）求出样本中心的坐标，求出回归直线方程的斜率，然后求y关于x的线性回归方程；（Ⅱ）设定价为x元，则利润函数为y＝（﹣32x+394）（x﹣7.7），其中x≥7.7，利用回归直线方程转化求解即可．解：（Ⅰ）由表中数据，计算（8.5+9+9.5+10+10.5）＝9.5，，则，，所以y关于x的线性相关方程为．（Ⅱ）设定价为x元，则利润函数为y＝（﹣32x+394）（x﹣7.7），其中x≥7.7，则y＝﹣32x2+640.4x﹣3033.8，所以（元），为使得销售的利润最大，确定单价应该定为10元．【点评】本题考查线性回归方程的运用，解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点，这是线性回归方程中最常考的知识点．属于基础题．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n+1＝2S n+1．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝log3（a n•a n+1），数列{b n}的前n项和为T n，求证：．【分析】本题第（Ⅰ）题根据题干a n+1＝2S n+1，可得当n≥2时有a n＝2S n﹣1+1成立，两式相减后再运用公式a n＝S n﹣S n﹣1（n≥2），进一步转化计算可判断出数列{a n}是以1为首项，以3为公比的等比数列，即可得到数列{a n}的通项公式；第（Ⅱ）题先由第（Ⅰ）题的结果计算出数列{b n}的通项公式并判别出数列{b n}是以1为首项，2为公差的等差数列，再通过等差数列的求和公式可计算出T n的表达式，再代入进行计算时运用（n≥2）进行放缩即可证明不等式成立．【解答】（Ⅰ）解：依题意，由a n+1＝2S n+1，可得当n≥2时，a n＝2S n﹣1+1，两式相减，得a n+1﹣a n＝2S n+1﹣2S n﹣1﹣1＝3a n（n≥2），又∵a1＝1，a2＝2S1+1＝2×1+1＝3，∴a2＝3a1符合上式，∴数列{a n}是以1为首项，以3为公比的等比数列，故，n∈N*．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，b n＝log3（a n•a n+1）＝log3（3n﹣1•3n）＝log332n﹣1＝2n﹣1，则b n＝2n﹣1＝1+（n﹣1）•2，故数列{b n}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴，∴＜1＝1+1＝2＜2，∴不等式2成立．【点评】本题主要考查数列求通项公式，数列求和与不等式的综合问题．考查了转化与化归思想，放缩法，定义法，指、对数的运算，以及逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．19．如图，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD为矩形，ADEF为直角梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF＝2EF＝2DE＝2．（Ⅰ）求证：FD⊥平面ABCD；（Ⅱ）若三棱锥B﹣ADF的体积为，求点A到面BDF的距离．【分析】（Ⅰ）作DH⊥AF于H，由已知可得HF＝DH＝1，得∠HDF＝45°，∠ADH ＝45°，即∠ADF＝90°，则DF⊥AD，再由面面垂直的可得FD⊥面ABCD；（Ⅱ）由平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，得AB⊥平面ADEF，设点A到面BDF 的距离为h，由V B﹣ADF＝V A﹣BDF，即可求得点A到面BDF的距离．【解答】（Ⅰ）证明：作DH⊥AF于H，∵AF⊥FE，AF＝2EF＝2DE＝2，∴HF＝DH＝1，得∠HDF＝45°，∵AF＝2，∴AH＝1，则∠ADH＝45°，∴∠ADF＝90°，即DF⊥AD，∵平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF＝AD，∴FD⊥面ABCD；（Ⅱ）解：∵平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，∴AB⊥平面ADEF，．由，得|AB|＝1，又，∴BD，则，设点A到面BDF的距离为h，由V B﹣ADF＝V A﹣BDF，得，即．∴点A到面BDF的距离为．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求空间中点到平面的距离，是中档题．20．已知函数f（x）＝e x+ax（a∈一、选择题），g（x）＝e x lnx（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）设曲线y＝f（x）在x＝1处的切线为l，点（1，0）到直线l的距离为，求a的值；（Ⅱ）若对于任意实数x≥0，f（x）＞0恒成立，试确定实数a的取值范围；（Ⅲ）当a＝﹣1时，函数M（x）＝g（x）﹣f（x）在[1，e]上是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）由导函数求出曲线y＝f（x）在x＝1处的切线l的方程，再由点（1，0）到直线l的距离为列式求解a的值；（Ⅱ）当x＝0时，对任意实数a，f（x）＝e x＞0恒成立；当x＞0时，由f（x）＞0恒成立，分离参数a，然后构造辅助函数，由导数求其最大值，则a的范围可求；（Ⅲ）把f（x）和g（x）的解析式代入M（x）＝g（x）﹣f（x），整理后求其导函数，由其导函数恒大于0得到M（x）是定义域内的增函数，从而说明函数M（x）＝g（x）﹣f（x）在[1，e]上不存在极值．解：（Ⅰ）∵f（x）＝e x+ax，∴f′（x）＝e x+a，f（1）＝e+a，y＝f（x）在x＝1处的切线斜率为f′（1）＝e+a，∴切线l的方程为y﹣（e+a）＝（e+a）（x﹣1），即（e+a）x﹣y＝0．又切线l与点（1，0）距离为，∴，解之得，a＝﹣e+1，或a＝﹣e﹣1；（Ⅱ）∵对于任意实数x≥0，f（x）＞0恒成立，∴若x＝0，则a为任意实数时，f（x）＝e x＞0恒成立；若x＞0，f（x）＝e x+ax＞0恒成立，即在x＞0上恒成立，设，则，当x∈（0，1）时，Q′（x）＞0，则Q（x）在（0，1）上单调递增．当x∈（1，+∞）时，Q′（x）＜0，则Q（x）在（1，+∞）上单调递减．∴当x＝1时，Q（x）取得最大值，Q（x）max＝Q（1）＝﹣e，∴a的取值范围为（﹣e，+∞）．综上，对于任意实数x≥0，f（x）＞0恒成立的实数a的取值范围为（﹣e，+∞）；（Ⅲ）依题意，M（x）＝e x lnx﹣e x+x，∴，设，则，当x∈[1，e]，h′（x）≥0，故h（x）在[1，e]上单调增函数，因此h（x）在[1，e]上的最小值为h（1）＝0，即，又e x＞0，∴在[1，e]上，，即M（x）＝g（x）﹣f（x）在[1，e]上不存在极值．【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查了函数恒成立问题，训练了利用构造函数法求解字母的范围，解答的关键是熟练掌握基本初等函数的导函数，属高考试卷中的压轴题．21．已知圆C：（x+2）2+y2＝24与定点M（2，0），动圆I过M点且与圆C相切，记动圆圆心I的轨迹为曲线E．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）斜率为k的直线l过点M，且与曲线E交于A，B两点，P为直线x＝3上的一点，若△ABP为等边三角形，求直线l的方程．【分析】（Ⅰ）设圆I的半径为r，由题意可得|IC|+|IM|＝24为定值，由椭圆的定义可得E的轨迹为椭圆，且可知a，c的值，再由a，b，c之间的关系求出椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，求出AB的中点D的坐标，进而求出弦长|AB|，可得直线PQ的斜率，再由P在直线x＝3上，可得|PQ|的长，由△ABP为等边三角形时，|PQ||AB|，进而求出k的值．解：（Ⅰ）设圆I的半径为r，题意可知，点I满足：|IC|＝2r，|IM|＝r，所以，|IC|+|IM|＝2，由椭圆定义知点I的轨迹是以C，M为焦点的椭圆，所以a，c＝2，b，故轨迹E方程为：1；（Ⅱ）直线l的方程为y＝k（x﹣2），联消去y得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6＝0．直线y＝k（x﹣2）恒过定点（2，0），在椭圆内部，所以△＞0恒成立，设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1+x2，x1x2，所以|AB||x1﹣x2|，设AB的中点为Q（x0，y0），则x0，y0，直线PQ的斜率为（由题意知k≠0），又P为直线x＝3上的一点，所以x P＝3，|PQ||x0﹣x P|，当△ABP为等边三角形时，|PQ||AB|，即，解得k＝±1，即直线l的方程为x﹣y﹣2＝0，或x+y﹣2＝0．【点评】本题考查求轨迹方程和直线与椭圆的综合，及等边三角形的性质，属于中档题．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝8cosθ．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点M的直角坐标为（2，0），直线l和曲线C交于A、B两点，求的值．【分析】（Ⅰ）直接将直线的参数方程中的参数t消去，可得直线的普通方程，利用极坐标方程与直角坐标方程的互化公式可得曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，化为关于t的一元二次方程，由根与系数的关系结合此时t的几何意义求解．解：（Ⅰ）将中参数t消去得x﹣y﹣2＝0，将代入ρsin2θ＝8cosθ，得y2＝8x，∴直线l和曲线C的直角坐标方程分别为x﹣y﹣2＝0和y2＝8x；（Ⅱ）将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，得，设A、B两点对应的参数为t1，t2，则|MA|＝|t1|，|MB|＝|t2|，且，t1t2＝﹣32，∴16，∴．【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，关键是直线参数方程中此时t的几何意义的应用，是中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|2x+a2|．（Ⅰ）当a＝2时，求不等式f（x）+|x﹣1|≥5的解集；（Ⅱ）若对于任意实数x，不等式|2x+3|﹣f（x）＜2a成立，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）由题意可得|2x+4|+|x﹣1|≥5，由零点分区间法，绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，即可得到所求解集；（Ⅱ）由题意可得|2x+3|﹣|2x+a2|＜2a恒成立，运用绝对值不等式的性质可得该不等式左边的最大值，再由绝对值的解法和二次不等式的解法可得所求范围．解：（Ⅰ）当a＝2时，f（x）+|x﹣1|＝|2x+4|+|x﹣1|≥5，则或或，解得x或0≤x≤1或x＞1，所以原不等式的解集为（﹣∞，]∪[0，+∞）；（Ⅱ）对于任意实数x，不等式|2x+3|﹣f（x）＜2a成立，即|2x+3|﹣|2x+a2|＜2a恒成立，又因为|2x+3|﹣|2x+a2|≤|2x+3﹣2x﹣a2|＝|a2﹣3|，要使原不等式恒成立，则只需|a2﹣3|＜2a，由﹣2a＜a2﹣3＜2a，即，即为，可得1＜a＜3，所以实数a的取值范围是（1，3）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式恒成立问题解法，注意运用绝对值不等式的性质，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。
2020年重庆市南岸区春招数学试卷
2020年重庆市南岸区春招数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.在下列各数中，比−1小的数是()A. 0B. 1C. 2D. −22.计算(2x)3的结果是()A. 8x3B. 8xC. 6x3D. 2x33.下列命题是真命题的是()A. 等边三角形是中心对称图形B. 等腰三角形是轴对称图形C. 等腰直角三角形是中心对称图形D. 直角三角形是轴对称图形4.如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC.若树高AB=2m，树影BC=3m，树与路灯的水平距离BP=4.5m.则路灯的高度OP为()A. 3mB. 4mC. 4.5mD. 5m5.下列整数中，与9−√17最接近的是()A. 4B. 5C. 6D. 76.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB与⊙C相切于点D，若AB=6，则CD的长为()A. 32B. 3√32C. 3D. 3√37.按照如图所示的流程，若输出的M=3，则输入的m为()A. −1B. 0C. 1D. 38.2020年5月以来，各地根据疫情防控工作需要，对重点人群进行核酸检测．为尽快完成检测任务，某地组织甲、乙两支医疗队，分别开展检测工作，甲队比乙队每小时多检测15人，甲队检测600人比乙队检测500人所用的时间少10%.若设甲队每小时检测x人，根据题意，可列方程为()A. 600x =500x−15×(1−10%) B. 600x×(1−10%)=500x−15C. 600x−15=500x×(1−10%) D. 600x−15×(1−10%)=500x9.在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D.使∠ADC=2∠B，则符合要求的作图痕迹是()A. B.C. D.10. 如图，某校教学楼AB 后方有一斜坡，斜坡与教学楼剖面在同一平面内，已知斜坡CD 的长为6m ，坡度i =1：0.75，教学楼底部到斜坡底部的水平距离AC =8m ，在教学楼顶部B 点测得斜坡顶部D 点的俯角为46°，则教学楼的高度约为( )(参考数据：sin46°≈0.72，cos46°≈0.69，tan46°≈1.04)A. 12.1mB. 13.3mC. 16.9mD. 18.1m11. 如图，把△ABC 纸片沿DE ，EF ，DG 折叠后，A ，B ，C 三点都与BC 边上的点M 重合，得到矩形DEFG ，连接DF ，若△DGM 和△DMF 均是等腰三角形，DG =1，则△ABC 的周长为( )A. 4+2√2+2√3B. 2+4√2+2√3C. 2+2√2+4√3D. 4+2√2 12. 如图，点A 与点B 关于原点对称，点C 在第四象限，∠ACB =90°.点D 是x 轴正半轴上一点，AC 平分∠BAD ，E 是AD 的中点，反比例函数y =kx (k >0)的图象经过点A ，E.若△ACE 的面积为6，则k 的值为( )A. 4B. 6C. 8D. 12二、填空题（本大题共6小题，共24.0分） 13. 不等式组{x >1x −2≤3的解集是______．14. 据了解，重庆市为确保2020年完成3万个5G 基站建设目标的顺利完成，3月1日已经建设开通5G 基站数超过10100个．请把数10100用科学记数法表示为______． 15. 在如图所示的电路图中，当随机闭合开关K 1，K 2，K 3中的两个时，能够让灯泡发光的概率为______．16. 在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =4，BC =2.分别以点B ，A 为圆心，以BC 长为半径画弧，交AB于点D ，E ，交AC 于点F ，则图中的阴影部分的面积为______.(用含π的代数式表示)17. 在一段长为1000m 的笔直道路AB 上，甲、乙两名运动员分别从A ，B 两地出发进行往返跑训练．已知甲比乙先出发30秒钟，甲距A 点的距离y/m 与其出发的时间x/分钟的函数图象如图所示．乙的速度是200m/分钟，当乙到达A 点后立即按原速返回B 点．当两人第二次相遇时，乙跑的总路程是______m.18. 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价2元/公里0.3元/分钟1元/公里注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内(含7公里)不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收1元．小李与小张分别从不同地点，各自同时乘坐滴滴快车，到同一地点相见，已知到达约定地点时他们的实际行车里程分别为7公里与9公里，两人付给滴滴快车的乘车费相同．其中一人先到达约定地点，他等候另一人的时间等于他自己实际乘车时间，且恰好是另一人实际乘车时间的一半，则小李的乘车费为______元． 三、解答题（本大题共8小题，共78.0分） 19. 计算：(1)(2x +y)(x +y)+(x −y)2；(2)(a −3a−4a−1)÷a 2−4a−1．20. 如图，AB//CD ，AD 与BC 相交于点E ，AF 平分∠BAD ，交BC 于点F ，交CD 的延长线于点G ．(1)若∠G =29°，求∠ADC 的度数；(2)若点F 是BC 的中点，求证：AB =AD +CD ．21.经历疫情复学后，学校开展了多种形式的防疫知识讲座，并举行了全员参加的“防疫”知识竞赛，试卷题目共10题，每题10分．现分别从七年级1，2，3班中各随机抽取10名同学的成绩(单位：分)．收集整理数据如下：分析数据：平均数中位数众数1班83a802班83b c3班d8080根据以上信息回答下列问题：(1)请直接写出表格中a，b，c，d的值；(2)比较这三组样本数据的平均数、中位数和众数，你认为哪个班的成绩比较好？请说明理由(一条理由即可)；(3)为了让学生重视安全知识的学习，学校将给竞赛成绩满分的同学颁发奖状，该校七年级学生共120人，试估计需要准备多少张奖状？22.已知函数y=k|x+2|+b的图象经过点(−2,4)和(−6,−2)，完成下面问题：(1)求函数y=k|x+2|+b的表达式；(2)在给出的平面直角坐标系中，请用适当的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；x+1的图象如图所示，结合你所画出y=k|x+2|+b的图象，(3)已知函数y=12x+1的解集．直接写出k|x+2|+b>1223. 在疫情期间，某地推出线上名师公益大课堂，为广大师生、其他社会人士提供线上专业知识学习、心理健康疏导．参与学习第一批公益课的人数达到2万人，因该公益课社会反响良好，参与学习第三批公益课的人数达到2.42万人．参与学习第二批、第三批公益课的人数的增长率相同． (1)求这个增长率；(2)据大数据统计，参与学习第三批公益课的人数中，师生人数在参与学习第二批公益课的师生人数的基础上增加了80%；但因为已经部分复工，其他社会人士的人数在参与学习第二批公益课的其他社会人士人数的基础上减少了60%.求参与学习第三批公益课的师生人数． 24. 对于任意一个四位数，我们可以记为abcd −，即abcd −=1000a +100b +10c +d.若规定：对四位正整数abcd −进行F 运算，得到整数F(abcd −)=a 4+b 3+c 2+d 1.例如，F(1249)=14+23+42+91=34；F(2020)=24+03+22+01=20． (1)计算：F(2137)；(2)当c =e +2时，证明：F(abcd −)−F(abed −)的结果一定是4的倍数； (3)求出满足F(32xy −)=98的所有四位数．25.如图，在平面直角坐标系内，点A，B的坐标分别为(1,0)，(0,2)，AC⊥AB，且AB=AC，直线BC交x轴于点D，抛物线y=ax2+bx+2经过点A，B，D．(1)求直线BC和抛物线y=ax2+bx+2的函数表达式；(2)点P是直线BD下方的抛物线上一点，求△PCD面积的最大值，以及△PCD面积取得最大值时，点P的坐标；(3)若点P的坐标为(2)小题中，△PCD的面积取得最大值时对应的坐标．平面内存在直线l，使点B，D，P到该直线的距离都相等，请直接写出所有满足条件的直线l的函数表达式．26.如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，连接AE，过点E作EM⊥AE，交对角线AC于点M，过点M作MN⊥AB，垂足为N，连接NE．(1)求证：AE=√2NE+ME；(2)如图2，延长EM至点F，使EF=EA，连接AF，过点F作FH⊥DC，垂足为H．猜想CH与FH存在的数量关系，并证明你的结论；(3)在(2)的条件下，若点G是AF的中点，连接GH.当GH=CH时，直接写出GH与AC之间存在的数量关系．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、0>−1，故本选项不符合题意；B、1>−1，故本选项不符合题意；C、2>−1，故本选项不符合题意；D、−2<−1，故本选项符合题意；故选：D．根据有理数的大小比较法则逐个判断即可．本题考查了有理数的大小比较，能熟记有理数的大小比较的内容是解此题的关键，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．2.【答案】A【解析】解：(2x)3=23⋅x3=8x3．故选：A．根据积的乘方运算法则计算即可，积的乘方，等于每个因式乘方的积．本题主要考查了积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．3.【答案】B【解析】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，原命题是假命题；B、等腰三角形是轴对称图形，是真命题；C、等腰直角三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，原命题是假命题；D、直角三角形不是轴对称图形，原命题是假命题；故选：B．根据中心对称图形和轴对称图形判断即可．本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．4.【答案】D【解析】解：∵AB//OP，∴△CAB∽△COP，∴CBCP =ABOP，∴37.5=2OP，∴OP=5(m)，故选：D．利用相似三角形的性质求解即可．本题考查中心投影，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5.【答案】B【解析】解：∵16<17<25，∴4<√17<5，∴√17最接近的整数为4，∴9−√17最接近的整数为5．故选：B．利用16<17<25可判断√17最接近的整数为4，从而得到9−√17最接近的整数．本题考查了估算无理数：利用完全平方数去估算无理数大小．6.【答案】B【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，∴AC=12AB=3，∠A=60°，∵AB与⊙C相切，∴CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∴CD=AC⋅sinA=3×√32=3√32，故选：B．根据直角三角形的性质得到AC=12AB=3，根据切线的性质得到∠ADC=90°，解直角三角形得到答案．本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．7.【答案】D【解析】解：当m2−2m≥0时，6m−1=3，解得m=3，经检验，m=3是原方程的解，并且满足m2−2m≥0；当m2−2m<0时，m−3=3，解得m=6，不满足m2−2m<0，舍去．故输入的m为3．故选：D．根据题目中的程序，利用分类讨论的方法可以分别求得m的值，从而可以解答本题．本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．8.【答案】A【解析】解：由题意可得，600 x =500x−15×(1−10%)，故选：A．根据题意，可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题．本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的分式方程．9.【答案】C【解析】解：∵∠ADC=∠B+∠BCD，∠ADC=2∠B，∴∠B=∠BCD，∴DB=DC，∴点D为BC的垂直平分线与AB的交点．故选：C．利用三角形外角性质得到∠B=∠BCD，利用等腰三角形的判定得到DB=DC，然后根据线段垂直平分线的作法对各选项进行判断．本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．10.【答案】C【解析】解：如图，过点D作DE⊥AC，DF⊥AB于点E，F，根据题意可知：BA⊥AC，∴四边形FAED是矩形，∴FA=DE，DF=AE，∵斜坡CD的长为6m，坡度i=DE：CE=1：0.75，∴DE=4.8，CE=3.6，∴DF=AE=AC+CE=11.6，在Rt△BFD中，∠BDF=46°，∴BF=DF⋅tan46°≈11.6×1.04≈12.064，∴BA=BF+FA=12.064+4.8≈16.9(m)．所以教学楼的高度约为16.9米．故选：C．过点D作DE⊥AC，DF⊥AB于点E，F，根据题意可得，四边形FAED是矩形，再根据锐角三角函数即可求出教学楼的高度．本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题、坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角和坡度坡角定义．11.【答案】B【解析】解：∵四边形DEFG是矩形，∴DG=EF=1，∠DGM=90°=∠EFM，∵△DGM是等腰三角形，DG=1，∴DG=EF=1=GM，∴DM=√2DG=√2，∵△DMF均是等腰三角形，∴DM=FM=√2，∴ME=√MF2+EF2=√2+1=√3，∵把△ABC纸片沿DE，EF，DG折叠后，A，B，C三点都与BC边上的点M重合，∴BG=GM=1，AD=DM=DB=√2，AE=ME=EC=√3，MF=FC=√2，∴△ABC的周长=AB+AC+BC=AD+BD+AE+EC+BG+GM+MF+FC=4√2+2+2√3，故选：B．由矩形的性质可得DG=EF=1，∠DGM=90°=∠EFM，由等腰三角形的性质和勾股定理可求DM=FM=√2，ME=√3，由折叠的性质可得BG=GM=1，AD=DM= DB=√2，AE=ME=EC=√3，MF=FC=√2，即可求解．本题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，矩形的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．12.【答案】C【解析】解：连接OC，在Rt△ABC中，点O是AB的中点，∴OC=12AB=OA，∴∠OAC=∠OCA，∵AC是∠BAD的角平分线，∴∠OAC=∠EAC，∴∠OCA=∠EAC，∴AE//OC∴S△AEC=S△AOE，过A作AM⊥x轴于M，过E作EN⊥x轴于N，∵A、E都在反比例函数y=kx的图象上，∴S△AOM=S△EON，∴S梯形AMNE=S△AOE，∵AM//EN，∴△DAM∽△DEN，∵AE=DE，S梯形AMNE=S△AOE=S△AEC=6，∴S△AOD=12，延长DA交y轴于P，易得△DAM∽△DPO，设EN=a，则AM=2a，∴ON=ka ，OM=k2a，∴MN=k2a ，DN=k2a，∴DM：OM=2：1，∴S△DAM：S△AOM=2：1，∴S△AOM=4，∴k=8．故选：C．连接OC，在Rt△ABC中，点O是AB的中点，得到OC=12AB=OA，根据角平分线的定义得到∠OAC=∠EAC，得到∠OCA=∠EAC，过A作AM⊥x轴于M，过D作DN⊥x轴于N，易得S梯形AMNC=S△AOC，△DAM∽△DEN，得到S梯形AMNC=S△AOC=S△AEC=6，求得S△AOD=9，延长DA交y轴于P，易得△DAM∽△DPO，设EN=a，则AM=2a，推出S△DAM：S△AOM=2：1，于是得到结论．本题考查反比例函数k的意义；借助直角三角形和角平分线，将△ACE的面积转化为△AOC的面积是解题的关键．13.【答案】1<x≤5【解析】解：解不等式x−2≤3，得：x≤5，又x>1，∴1<x≤5，故答案为：1<x≤5．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．14.【答案】1.01×104【解析】解：将10100用科学记数法表示为：1.01×104．故答案为：1.01×104．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．15.【答案】23【解析】解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，能够让灯泡发光的是闭合(K1,K3)，(K1,K2)，(K3,K1)，(K2,K1)，∴能够让灯泡发光的概率为：46=23，故答案为：23．根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能够让灯泡发光的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．此题考查了列表法与树状图法求概率的知识．注意概率=所求情况数与总情况数之比．16.【答案】4−π【解析】解：∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴S扇形EAF +S△DBC=90×π×22360=π，∴图中的阴影部分的面积=S△ABC−(S扇形EAF+S△DBC)=12×4×2−π=4−π．故答案为4−π．先利用扇形的面积公式计算S扇形EAF +S△DBC=90×π×22360=π，然后利用图中的阴影部分的面积=S△ABC−(S扇形EAF+S△DBC)计算计算．本题考查了扇形面积的计算：扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形=n360πR2或S扇形=12lR(其中l为扇形的弧长).求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．17.【答案】125009【解析】解：甲的速度为：1000÷4=250(米/分钟)，两人第一次相遇时处于两人都未跑完一个1000m时，由图象可知时间处于4分钟以内；∵甲比乙先出发30秒钟，∴当x=5分钟时，乙跑了4.5分钟，此时乙跑了200×4.5=900<1000(m)；设甲出发x分钟后两人第二次相遇时，根据题意得：(250+200)(x−5)=(1000−900+1000)，解得：x=679，当两人第二次相遇时，乙跑的总路程是200×(679−12)=125009(m)．故答案为：125009．据函数图象中的数据求出甲的速度，进而求出两人第二次相遇时甲出发的时间，从而得出当两人第二次相遇时，乙跑的总路程．本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．18.【答案】26【解析】解：设先到达约定地点的实际乘车时间为x分钟，则后到达约定地点的实际乘车时间为2x分钟，依题意，得：2×7+0.3×2x=2×9+0.3x+1×(9−7)，解得：x=20，∴2×7+0.3×2x=26．故答案为：26．设先到达约定地点的实际乘车时间为x分钟，则后到达约定地点的实际乘车时间为2x 分钟，根据两人的乘车费用相同，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其代入(2×7+0.3×2x)中即可求出结论．本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．19.【答案】解：(1)(2x+y)(x+y)+(x−y)2=2x2+2xy+xy+y2+x2−2xy+y2=3x2+xy+2y2；(2)(a−3a−4a−1)÷a2−4a−1=a(a−1)−(3a−4)a−1⋅a−1(a+2)(a−2)=a2−a−3a+4 (a+2)(a−2)=(a−2)2 (a+2)(a−2)=a−2a+2．【解析】(1)根据分多项式乘多项式和完全平方公式可以解答本题；(2)根据分式的减法和除法可以解答本题．本题考查分式的混合运算、多项式乘多项式和完全平方公式，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．20.【答案】证明：(1)∵AB//CD，∴∠BAG=∠G，∠BAD=∠ADC．∵AF平分∠BAD，∴∠BAD=2∠BAG=2∠G．∴∠ADC=∠BAD=2∠G．∵∠G=29°，∴∠ADC=58°；(2)∵AF平分∠BAD，∴∠BAG=∠DAG．∵∠BAG=∠G，∴∠DAG=∠G．∴AD=GD．∵点F是BC的中点，∴BF=CF．在△ABF和△GCF中，∵{∠BAF=∠G,∠AFB=∠GFC, FB=FC.∴△ABF≌△GCF(AAS)，∴AB=GC．∴AB=GD+CD=AD+CD．【解析】(1)根据平等线的性质得∠BAG=∠G，∠BAD=∠ADC.进而证由角平分线的性质得∠ADC=∠BAD=2∠G.便可求得结果；(2)先由角平分线条件证明AD=DG，再证明△ABF≌△GCF，便可得结论．本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，等腰三角形的性质与判定，关键是证明三角形全等．21.【答案】解：(1)一班10个数据的中第5、第6个数据都是80分，所以a=80；二班10个数据的中第5、第6个数据分部是80分、90分，所以b=85；二班10个数据的中90分出现的次数最短，所以c=90；三班的平均数d =110(60+70+80×4+90×2+100×2)=83；(2)我认为七年级2班的成绩比较好，随机抽取的样本中，三个班样本成绩的平均数都为83，2班成绩的中位数为85，大于1班和3班成绩的中位数80； 2班成绩的众数90大于1班和3班成绩的众数80；(3)因为所抽取的样本中，样本总量是30，而其中满分人数是1+1+2=4． 所以430×120=16答：估计需要准备的奖状是16张．【解析】(1)利用折线统计图得到一班和二班的成绩，然后利用中位数的定义确定a 、b 值，利用众数的定义确定c 的值；利用平均数的计算方法确定d 的值； (2)利用中位数和众数的意义进行判断；(3)求出样本中满分的同学所占的百分比，然后120乘以这个百分比可估计该校七年级学生的满分人数．本题考查了折线统计图：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．也考查了中位数、众数和平均数．22.【答案】解：(1)根据题意，得{b =4k ⋅|−6+2|+b =−2，解方程组，得{k =−32b =4，所求函数表达式为y =−32|x +2|+4； (2)函数的图象如图所示，性质为：①当x <−2时，y 随x 增大而增大；当x >−2时，y 随x 增大而减少． ②当x =−2时，该函数取得最大值，函数的最大值为4． (3)由图象可知：k|x +2|+b >12x +1的解集为：−6<x <0．【解析】(1)根据待定系数法求得即可； (2)画出函数的图象，根据图象得出性质； (3)根据图象求得即可．本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，待定系数法求一次函数的解析式，数形结合是解题的关键．23.【答案】解：(1)设参与学习第二批、第三批公益课的人数的增长率为x ，根据题意，得2(1+x)2=2.42，解得x 1=−2.1(舍去)，x 2=0.1=10%．答：参与学习第二批、第三批公益课的人数的增长率为10%．(2)设参与学习第二批公益课的人数中，师生有a 万人，其他人士有b 万人． 根据题意，得{a +b =2×(1+10%)a ×(1+80%)+b ×(1−60%)=2.42． 解方程组，得{a =1.1b =1.1a ×(1+80%)=1.1×1.8=1.98．答：参与第三批公益课的师生人数为1.98万人．【解析】(1)设参与学习第二批、第三批公益课的人数的增长率为x ，根据“第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次”可列方程求解．(2)设参与学习第二批公益课的人数中，师生有a 万人，其他人士有b 万人．根据“第三批公益课的人数=第二批公益课的师生人数×(1+80%)”、“其他社会人士的人数在参与学习第二批公益课的其他社会人士人数的基础上减少了60%”列出方程组并解答． 本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．24.【答案】解：(1)F(2137)=24+13+32+71=16+1+9+7=33； (2)∴F(abcd −)−F(abed −)=(a 4+b 3+c 2+d)−(a 4+b 3+e 2+d)=c 2−e 2， ∵c =e +2，原式=(e +2)2−e 2=4e +4=4(e +1)． ∵e ≥0，且e 是整数， ∴4(e +1)是4的倍数．所以，当c =e +2时，F(abcd −)−F(abed −)的结果一定是4的倍数． (3)∵F(32xy −)=34+23+x 2+y ， ∴34+23+x 2+y =98，即x 2+y =9． ∵0≤y ≤9， ∴0≤x 2≤9．∴0≤x ≤3，且x 为整数．∴{x =0y =9或{x =1y =8或{x =2y =5或{x =3y =0． 所以，满足条件的四位数有3209，3218，3225，3230．【解析】(1)根据F(abcd −)=a 4+b 3+c 2+d 1代入数据计算即可求解；(2)根据F(abcd −)=a 4+b 3+c 2+d 1得到F(abcd −)−F(abed −)=c 2−e 2，再根据已知条件c =e +2，可得原式=4(e +1)，依此即可求解；(3)首先得到x 2+y =9，再根据整数的性质确定0≤x ≤3，且x 为整数，可求对应的y 值，从而求解．考查了数的十进制，因式分解的应用，理解题意，从题目中获取信息，由数的特点求解是解题的关键．25.【答案】解：(1)过点C 作CE ⊥x 轴，垂足为E ．∵AB =AC ，∠AOB =∠CEA =90°，∠ABO =∠CAE ， ∴△ABO ≌△CAE(AAS)． ∴AO =CE ，BO =AE ． ∵A(1,0)，B(0,2)，∴CE =AO =1，AE =BO =2． ∴C(3,1)．设直线BC 的函数表达式为y =kx +s(k ≠0)．把点B(0,2)，C(3,1)代入，得{s =23k +s =1，解得{k =−13s =2， 所以，直线BC 的函数表达式为y =−13x +2． 令y =0，得x =6，则D(6,0)．∵抛物线y =ax 2+bx +2经过点A(1,0)，D (6,0)，则{a +b +c =036a +6b +2=0.解得{a =13b =−73， ∴抛物线的函数表达式为y =13x 2−73x +2．(2)过点P 作x 轴的垂线，垂足为H ，交BD 于点F.令P 的横坐标为t ．∵点P 在BD 直线下方的抛物线上移动， ∴PF =−13t +2−(13t 2−73t +2)=−13t 2+2t ．过点C 作CG ⊥PF ，垂足为G ．∴S △PCD =S △PCF +S △PDF =12PF ⋅CG +12PF ⋅DH =12PF(CG +DH)， 即S △PCD =12×(−13t 2+2t)[(6−t)+(t −3)]=−12(t −3)2+92． 所以，当t =3时，△PCD 的面积取得最大值，最大值为92． 此时点P 坐标为(3,−2)．(3)满足条件的直线有三条，是△PDB 三条中位线所在的直线．由点P 、D 、B 的坐标可得，PD 、BD 、PB 的中点分别为：(92,−1)、(3,1)、(32,0)，设过(92,−1)、(3,1)的直线表达式为y=mx+n，则{3m+n=192m+n=−1，解得{m=−43n=5，故直线的表达式为：y=−43x+5，同理其它两条直线的表达式为：y=−13x+12或y=23x−1．三条直线的函数表达式分别为y=−13x+12，y=−43x+5，y=23x−1．【解析】(1)证明△ABO≌△CAE(AAS)，求出点C的坐标，进而求解；(2)利用S△PCD=S△PCF+S△PDF=12PF⋅CG+12PF⋅DH=12PF(CG+DH)，即可求解；(3)满足条件的直线有三条，是△PDB三条中位线所在的直线，即可求解．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形全等、三角形中位线的性质、面积的计算等，综合性强，有一定的难度．26.【答案】(1)证明：如图1，过点N作NK⊥NE，交AE于点K．∴∠KNE=90°．∵MN⊥AB，∴∠MNA=90°．∴∠ANK=∠MNE．∵ME⊥AE，∴∠AEM=∠ANM=90°．∴∠NAK=∠NME．∵四边形ABCD是正方形，∠ANM=90°．∴∠MAN=∠NMA=45°．∴AN=MN．在△ANK和△MNE中，∵{∠NAK=∠NME AN=MN∠ANK=∠MNE，∴△ANK≌△MNE(ASA)．∴AK=ME，NK=NE．∴KE=√2NE．∴AE=AK+KE=ME+√2NE．(2)解：CH=FH．如图2，过点F作FP⊥BC，交BC的延长线于点P．∴∠P=90°．∵∠BAE+∠AEB=∠FEP+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠FEP．∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠BCD=∠PCD=90°，AB=BC．∵FH⊥CD，∴∠FHC=90°．∴∠P=∠PCH=∠CHF=90°．∴四边形PCHF是矩形．在△ABE和△EPF中，∵{∠B=∠P∠BAE=∠PEF AE=EF，∴△ABE≌△EPF(AAS)．∴BE=PF，AB=EP．∵AB=BC，∴EP=BC．∴CP=BE=PF．∴矩形PCHF是正方形．∴FH=CH．(3)AC=(2+√2)GH．如图3，延长FH交AC于点Q，在正方形ABCD中，∠ACD=45°，∵∠FHC=90°，∴∠HQC=∠HCQ=45°，∴CH=HQ，CQ=√2CH，∵CH=FH，∴HQ=FH，∵G是AF的中点，AQ，∴GH=12又∵GH=CH，∴CQ=√2GH，∴AC=AQ+CQ=2GH+√2GH=(2+√2)GH．【解析】(1)证明△ANK≌△MNE(ASA).得出AK=ME，NK=NE.则结论得证；(2)得出∠P=∠PCH=∠CHF=90°.则四边形PCHF是矩形．证明△ABE≌△EPF(AAS).得出BE=PF，AB=EP.可证得CP=BE=PF.得出矩形PCHF是正方形，则结论得证；(3)延长FH交AC于点Q，由中位线定理可得出AQ=2GH，由等腰直角三角形的性质可得出CQ=√2GH，则可得出结论．本题是四边形综合题，考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，中位线定理等知识，解答时运用等腰直角三角形的性质和证明三角形的全等是关键．。
2020年重庆南岸区茶园新城中学高三数学文联考试卷含解析
2020年重庆南岸区茶园新城中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知数列{}的前n项和=-1（a是不为0的常数），那么数列{} （）A.一定是等差数列B.一定是等比数列C.或者是等差数列或者是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列参考答案：C略2. 以、为焦点的圆锥曲线上一点满足，则曲线的离心率等于A.或B.或C.或D.或参考答案：A略3. 设集合，，则等于A．B．C．D．参考答案：略4. 已知抛物线有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．参考答案：B略5. 设a、b、c为非零实数，且，则（）A. B.C. D.参考答案：C【分析】取，计算知错误，根据不等式性质知正确，得到答案.【详解】，故，，故正确；取，计算知错误；故选：.【点睛】本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用.6. 若圆(x-3)2 +(y+5) 2=r2上有且只有两个点到直线4x-3y-2=0的距离等于1，则r的范围是( )A．(4，6) B．［4，6) C．(6，8) D．［6，8)参考答案：7. （5分）如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，，且，则（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】：向量在几何中的应用；相等向量与相反向量．【专题】：计算题．【分析】：根据相等向量的定义及向量的运算法则：三角形法则求出，利用平面向量基本定理求出x，y的值解：由题意，∵，∴，即，∴，即故选A．【点评】：本题以三角形为载体，考查向量的加法、减法的运算法则；利用运算法则将未知的向量用已知向量表示，是解题的关键．8. 设是定义在R上的奇函数，且,当时，有恒成立，则不等式的解集是（）A. (-2,0) ∪(2,+∞)B. (-2,0) ∪(0,2)C. (-∞,-2)∪(2,+∞)D. (-∞,-2)∪(0,2)参考答案：D略9. 设全集U=｛1，2，3，4，5｝，集合A=｛1，2｝，B=｛2，3｝，则A∩=( ) A． B． C ． D．参考答案：C略10. 已知命题q：?x∈R，x2+1＞0，则?q为（）A．?x∈R，x2+1≤0B．?x∈R，x2+1＜0 C．?x∈R，x2+1≤0D．?x∈R，x2+1＞0 参考答案：C【考点】命题的否定；全称命题．【分析】本题中的命题是一个全称命题，其否定是特称命题，依据全称命题的否定书写形式写出命题的否定即可【解答】解：∵命题q：?x∈R，x2+1＞0，∴命题q的否定是“?x∈R，x2+1≤0”故选C．【点评】本题考查命题的否定，解题的关键是掌握并理解命题否定的书写方法规则，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，书写时注意量词的变化．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 图1是一个质点做直线运动的图象，则质点在前内的位移为 m参考答案：9. 解1：由题图易知∴s===6+3=9.12. 定义：曲线上的点到直线的距离的最小值称为曲线上的点到直线的距离，已知曲线到直线的距离等于曲线到直线的距离，则实数______________.参考答案：【知识点】点到直线的距离；用导数求切线方程 H2 B11【答案解析】解析：曲线到直线的距离为圆心到直线的距离与圆的半径之差，即，由可得，令，则.在曲线上对应的点，所以曲线到直线的距离即为点到直线的距离，故，所以，可得|，当时，曲线与直线相交，两者距离为0，不合题意，故.故答案为：【思路点拨】先根据定义求出曲线到直线的距离，然后根据曲线的切线与直线平行时，该切点到直线的距离最近建立等式关系，解之即可．13. 若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是．参考答案：6【考点】集合的相等．【分析】利用集合的相等关系，结合①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，即可得出结论．【解答】解：由题意，a=2时，b=1，c=4，d=3；b=3，c=1，d=4；a=3时，b=1，c=4，d=2；b=1，c=2，d=4；b=2，c=1，d=4；a=4时，b=1，c=3，d=2；∴符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6个．14. i是虚数单位，复数.参考答案：4–i分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：由复数的运算法则得：.15. 如图伪代码的输出结果为．参考答案：11第一步：S＝1＋1＝2第二步：S＝2＋2＝4第三步：S＝4＋3＝7第四步：S＝7＋4＝1116. 设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N M”的条件参考答案：【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；集合的包含关系判断及应用. A1 A2【答案解析】充分不必要解析：当a=1时，N={1}，M={1，2}，则是“N M”为真命题若N M，则a2=1或a2=2，a=1不一定成立∴a=1是N M的充分不必要条件故答案为：充分不必要条件【思路点拨】当a=1时，N={1}，M={1，2}，则是“N?M”为真命题；若N?M，则a2=1或a2=2，a=1不一定成立，从而可判断17. 以的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为参考答案：∵双曲线的焦点坐标为(0,±4),顶点坐标为(0,±),∴所求椭圆的顶点坐标为(0,±4),焦点坐标为(0,±).∴在椭圆中,a=4,c=.∴b2=4.∴椭圆的方程为.三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2019-2020学年重庆市南岸区高二下学期开学数学试卷 (解析版)
2019-2020学年重庆市南岸区高二第二学期开学数学试卷一、选择题（共12小题）.1．设复数z满足（1﹣i）z＝4i（i是虚数单位），则|z|＝（）A．1B．C．2D．22．函数y＝x2+x在x＝1到x＝1+△x之间的平均变化率为（）A．△x+2B．2△x+（△x）2C．△x+3D．3△x+（△x）2 3．下列求导结果正确的是（）A．（1﹣x2）'＝1﹣2x B．（cos30°）'＝﹣sin30°C．（x2e x）′＝2xe x D．4．在用反证法证明“已知a，b，c∈R，且a+b+c＞3，则a，b，c中至少有一个大于1”时，假设应为（）A．a，b，c中至多有一个大于1B．a，b，c全都小于1C．a，b，c中至少有两个大于1D．a，b，c均不大于15．从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为（）A．24B．18C．12D．66．如图，函数y＝f（x）的图象在点P处的切线方程是y＝﹣x+6，则f（5）+f'（5）＝（）A．4B．3C．D．7．设函数f（x）可导，则等于（）A．﹣f'（1）B．3f'（1）C．D．8．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx﹣a2﹣7a在x＝1处取得极大值10，则的值为（）A．﹣B．﹣2C．﹣2或﹣D．2或﹣9．已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则其导函数y＝f′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．10．高三（一）班学要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（）A．1800B．3600C．4320D．504011．若对于任意的0＜x1＜x2＜a，都有，则a的最大值为（）A．2e B．e C．1D．12．设f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f′（x），若f（x）+f′（x）＜1，f（0）＝11，则不等式f（x）＞（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（10，+∞）B．（﹣∞，0）∪（11，+∞）C．（﹣∞，11）D．（﹣∞，0）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．已知复数（i是虚数单位），则（是z的共轭复数）的虚部为．14．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：2，•……则按照以上规律，若8具有“穿墙术”，则n＝．15．设函数f（x）＝alnx+bx2，若函数f（x）的图象在点（1，1）处的切线与y轴垂直，则实数a+b＝．16．若方程xe﹣x﹣a+1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，其中第17题10.0分，其余各题每题12.0分，共70.0分）17．z＝（m2﹣5m+6）+（m2﹣8m+15）i，i为虚数单位，m为实数．（1）当z为纯虚数时，求m的值；（2）当复数z﹣8i在复平面内对应的点位于第四象限时，求m的取值范围．18．设a、b∈R+且a+b＝3，求证．19．已知函数f（x）＝lnx﹣；（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）证明：当x＞1时．f（x）＜x﹣1．20．设函数f（x）＝lnx+，m∈R（1）当m＝e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的最小值；（2）讨论函数g（x）＝f′（x）﹣零点的个数；（3）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．21．已知函数，a∈R．（1）求曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程；（2）当时，求f（x）的极值点；（3）若f（x）为R上的单调函数，求实数a的取值范围．22．已知函数f（x）＝x2+aln（x+1）．（1）若函数y＝f（x）在区间[1，+∞）内是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若函数y＝f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：．（注：e为自然对数的底数）参考答案一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1．设复数z满足（1﹣i）z＝4i（i是虚数单位），则|z|＝（）A．1B．C．2D．2【分析】利用复数的运算法则、模计算公式即可得出．解：∵（1﹣i）z＝4i（i是虚数单位），∴（1+i）（1﹣i）z＝3i（1+i），则|z|＝＝2．故选：D．2．函数y＝x2+x在x＝1到x＝1+△x之间的平均变化率为（）A．△x+2B．2△x+（△x）2C．△x+3D．3△x+（△x）2【分析】直接代入函数的平均变化率公式进行化简求解．解：△y＝（1+△x）2+1+△x﹣1﹣1＝△x2+3△x，∴＝△x+3，故选：C．3．下列求导结果正确的是（）A．（1﹣x2）'＝1﹣2x B．（cos30°）'＝﹣sin30°C．（x2e x）′＝2xe x D．【分析】根据基本初等函数和积的导数的求导公式对每个选项函数求导数即可得出求导结果正确的选项．解：（1﹣x2）′＝﹣2x，（cos30°）′＝0，（x2e x）′＝2xe x+x2e x，．故选：D．4．在用反证法证明“已知a，b，c∈R，且a+b+c＞3，则a，b，c中至少有一个大于1”时，假设应为（）A．a，b，c中至多有一个大于1B．a，b，c全都小于1C．a，b，c中至少有两个大于1D．a，b，c均不大于1【分析】根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设要证命题的否定成立．根据要证命题的否定，从而得出结论．解：用反证法证明，应先假设要证命题的否定成立．而要证命题的否定为：“a，b，c均不大于1”，故选：D．5．从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为（）A．24B．18C．12D．6【分析】分类讨论：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位；从0、2中选一个数字2，则2排在十位或百位，由此可得结论．解：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位，从1、7、5中选两个数字排在个位与百位，共有＝6种；从4、2中选一个数字2，则2排在十位，从1、3、4中选两个数字排在个位与百位，共有＝6种；故共有3＝18种故选：B．6．如图，函数y＝f（x）的图象在点P处的切线方程是y＝﹣x+6，则f（5）+f'（5）＝（）A．4B．3C．D．【分析】由导数的几何意义，可得f′（5），求得f（5），即可得到所求和．解：函数y＝f（x）的图象在点P处的切线方程是y＝﹣x+6，则f（5）+f'（5）＝6﹣+（﹣）＝4．故选：A．7．设函数f（x）可导，则等于（）A．﹣f'（1）B．3f'（1）C．D．【分析】将原式化简，利用导数的定义，即可求得答案．解：由＝﹣＝﹣f′（5），∴＝﹣f′（1），故选：C．8．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx﹣a2﹣7a在x＝1处取得极大值10，则的值为（）A．﹣B．﹣2C．﹣2或﹣D．2或﹣【分析】求出f′（x）＝3x2+2ax+b，利用函数的极值，f′（1）＝3+2a+b＝0，f（1）＝1+a+b﹣a2﹣7a＝10，于是有b＝﹣3﹣2a，代入f（1）＝10即可求得a，b，从而可得答案．解：∵f（x）＝x3+ax2+bx﹣a2﹣7a，∴f′（x）＝3x2+5ax+b，∴f′（1）＝3+2a+b＝0，f（8）＝1+a+b﹣a2﹣7a＝10，∴a＝﹣2，b＝1或a＝﹣6，b＝9．当＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，当a＝﹣4，b＝9时，f′（x）＝3x2﹣12x+9＝8（x﹣1）（x﹣3）∴f（x）在x＝1处取得极大值，符合题意；故选：A．9．已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则其导函数y＝f′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】观察函数y＝f（x）的图象知，f（x）在（0，+∞）上是减函数，f（x）在（﹣∞，0）从左到右，先增再减最后增；从而确定导数的正负，从而求解．解：观察函数y＝f（x）的图象知，f（x）在（0，+∞）上是减函数，故y＝f′（x）＜0在（0，+∞）恒成立，故排除B，D，故选：A．10．高三（一）班学要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（）A．1800B．3600C．4320D．5040【分析】两个舞蹈节目不连排，可采用插空法．其它五个节目的安排方式有种，5个节目有6个空，从6个空中选择两个安排舞蹈节目即可．解：两个舞蹈节目不连排，则利用插空法进行，先排4个音乐节目和1个曲艺节目，共有，6个节目之间有6个空，则共有＝3600，故选：B．11．若对于任意的0＜x1＜x2＜a，都有，则a的最大值为（）A．2e B．e C．1D．【分析】整理所给的不等式，构造新函数，结合导函数研究函数的单调性即可求得最终结果．解：由题意可得：x2lnx1﹣x1lnx2＜x1﹣x6，∴，其导函数：在（0，a）上恒成立，即实数a的最大值为1．故选：C．12．设f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f′（x），若f（x）+f′（x）＜1，f（0）＝11，则不等式f（x）＞（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（10，+∞）B．（﹣∞，0）∪（11，+∞）C．（﹣∞，11）D．（﹣∞，0）【分析】构造函数g（x）＝e x f（x）﹣e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解．解：设g（x）＝e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）＝e x f（x）+e x f′（x）﹣e x＝e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∴f（x）+f′（x）﹣1＜0，∴y＝g（x）在定义域上单调递减，∴e x f（x）﹣e x＞10，又∵g（4）＝e0f（0）﹣e5＝11﹣1＝10，∴x＜0，故选：D．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．已知复数（i是虚数单位），则（是z的共轭复数）的虚部为．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．解：∵＝，∴，故答案为：．14．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：2，•……则按照以上规律，若8具有“穿墙术”，则n＝63．【分析】通过观察四个等式，发现存在相同性质，从而得出n＝7×8+7＝63即可．解：因为2＝＝，3＝＝，＝＝，故答案为63．15．设函数f（x）＝alnx+bx2，若函数f（x）的图象在点（1，1）处的切线与y轴垂直，则实数a+b＝﹣1．【分析】求出函数的导数，利用函数值以及导函数值，求出a，b即可得到结果．解：函数f（x）＝alnx+bx2，若函数f（x）的图象过（1，1），可得：b＝1，可得a+2＝5，故答案为：﹣1．16．若方程xe﹣x﹣a+1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（1，1+）．【分析】方程xe﹣x﹣a+1＝0有两个不相等的实数根可化为e x＝有两个不相等的实数根，再化为函数y＝e x与y＝的交点个数问题，从而作函数的图象，结合导数求解．解：∵方程xe﹣x﹣a+1＝0有两个不相等的实数根，∴方程xe﹣x＝a﹣1有两个不相等的实数根，故a﹣8≠0；作函数y＝e x与y＝的图象如下，设切点为A（x，e x）；故x＝1；＞e；故答案为：（1，3+）．三、解答题（本大题共6小题，其中第17题10.0分，其余各题每题12.0分，共70.0分）17．z＝（m2﹣5m+6）+（m2﹣8m+15）i，i为虚数单位，m为实数．（1）当z为纯虚数时，求m的值；（2）当复数z﹣8i在复平面内对应的点位于第四象限时，求m的取值范围．【分析】（1）由实部为0且虚部不为0列式求解m值；（2）化简z﹣8i，再由实部大于0且虚部小于0列不等式组求解．解：（1）由z为纯虚数得，解得m＝2；（2）复数z﹣8i＝（m2﹣5m+2）+（m2﹣8m+7）i，∴，解得1＜m＜2或3＜m＜7．故m的取值范围为（8，2）∪（3，7）．18．设a、b∈R+且a+b＝3，求证．【分析】证法一综合法是从已知出发，经过逐步推理，最后导出所要达到的结论；证法二运用分析的解题方法，执果索因、逆向思考问题，在分析过程中去寻觅结论成立的一些条件．分析法执果索因、逆向思考问题，在分析过程中去寻觅结论成立的一些条件，从而使问题得证．【解答】证明：证法一：（综合法）∵证法二：（分析法）∵a、b∈R+且a+b＝8，即证即证即证4（1+a+b+ab）≤25只需证4ab≤6即证∵成立∴成立19．已知函数f（x）＝lnx﹣；（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）证明：当x＞1时．f（x）＜x﹣1．【分析】（1）求函数f（x）的导数，利用导函数大于0，求解不等式得到函数的单调递增区间；（2）构造函数，利用导数判断函数的单调性，然后证明当x＞1时，f（x）＜x﹣1．【解答】（1）解：f′（x）＝﹣x+1＝，x∈（4，+∞）．由f′（x）＞0得，故f（x）的单调递增区间是（0，）．则有F′（x）＝，所以F（x）在[1，+∞）上单调递减，即当x＞1时，f（x）＜x﹣1．20．设函数f（x）＝lnx+，m∈R（1）当m＝e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的最小值；（2）讨论函数g（x）＝f′（x）﹣零点的个数；（3）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．【分析】（1）当m＝e时，，x＞0，由此利用导数性质能求出f（x）的极小值．（2）由g（x）＝＝＝0，得m＝，令h（x）＝x﹣，x＞0，m∈R，则h（1）＝，h′（x）＝1﹣x2＝（1+x）（1﹣x），由此利用导数性质能求出函数g（x）＝f′（x）﹣零点的个数．（3）（理）当b＞a＞0时，f′（x）＜1在（0，+∞）上恒成立，由此能求出m的取值范围．解：（1）当m＝e时，，x＞0，解f′（x）＞0，得x＞e，同理，当0＜x＜e时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，且f（e）＝lne+＝8，（2）∵g（x）＝＝＝8，令h（x）＝x﹣，x＞0，m∈R，令h′（x）＞6，解得0＜x＜1，同理，令h′（x）＜0，解得x＞1，∴当m≤0，或m＝时，g（x）只有一个零点；当m＞时，g（x）没有零点．等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；则h（b）＜h（a）．∵h′（x）＝﹣﹣3≤0在（0，+∞）上恒成立，∴m≥；∴m的取值范围是[，+∞）．21．已知函数，a∈R．（1）求曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程；（2）当时，求f（x）的极值点；（3）若f（x）为R上的单调函数，求实数a的取值范围．【分析】（1）求导．利用导数的几何意义即可求得切线方程；（2）根据导数求得函数的单调性，即可求得极值点；（3）求出函数的导数，a＝0时，符合题意，a≠0时，结合二次函数的性质求出a的范围即可．解：（1）f′（x）＝，则f′（0）＝1，又f（0）＝1，（8）当时，f′（x）＝，由f′（x）＜0，得＜x＜，即函数f（x）的单调递减区间为（，），∴f（x）的极大值点为，极小值点为．当a≠3时，若f（x）为R上的单调函数，故△＝4a2﹣8a≤0，解得0＜a≤1，综上，实数a的取值范围是[0，1]．22．已知函数f（x）＝x2+aln（x+1）．（1）若函数y＝f（x）在区间[1，+∞）内是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若函数y＝f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：．（注：e为自然对数的底数）【分析】（1）根据题意得在区间[1，+∞）上，f′（x）＝2x+≥0，化为：a≥﹣2x2﹣2x，x∈[1，+∞），令g（x）＝﹣2x2﹣2x，只需要a≥g（x）max．（2）根据题意得f′（x）＝在区间（﹣1，+∞）上有两个不相等的实数根，⇒方程2x2+2x+a＝0在区间（﹣1，+∞）上有两个不相等的实数根，记g（x）＝2x2+2x+a，则，解得0＜a＜，由韦达定理得x1+x2，2x22+2x2+a＝0，x2＝∈（﹣，0），所以＝，令h（x）＝，x∈（﹣，0）求导数分析但单调性，最值，进而得出答案．解：（1）因为函数y＝f（x）在区间[1，+∞）上单调递增函数，所以f′（x）＝2x+≥2，化为：a≥﹣2x2﹣2x，x∈[1，+∞）所以a≥﹣4，（6）证明：f′（x）＝在区间（﹣1，+∞）上有两个不相等的实数根，即方程3x2+2x+a＝0在区间（﹣6，+∞）上有两个不相等的实数根，所以x1+x2＝﹣1，2x28+2x2+a＝6，x2＝∈（﹣，0），令h（x）＝，x∈（﹣，0）记p（x）＝，令u（x）＝2x2+6x+2＝2（x+）2﹣在x∈（﹣，0）上单调递增，因此函数p′（x）存在唯一零点x0∈（﹣，0），使得p′（x0）＝0，当x∈（x6，0）时，p′（x）＞0，p（x）单调递增，所以p（x）max＜0，所以函数h（x）在（﹣，0）上单调递减，可得0＜h（x）＜ln2﹣，所以．。
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2020年重庆市南岸区春招数学试卷一、选择题（共12小题）.1．在下列各数中，比﹣1小的数是（）A．0B．1C．2D．﹣22．计算（2x）3的结果是（）A．8x3B．8x C．6x3D．2x33．下列命题是真命题的是（）A．等边三角形是中心对称图形B．等腰三角形是轴对称图形C．等腰直角三角形是中心对称图形D．直角三角形是轴对称图形4．如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离BP＝4.5m．则路灯的高度OP为（）A．3m B．4m C．4.5m D．5m5．下列整数中，与9﹣最接近的是（）A．4B．5C．6D．76．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB与⊙C相切于点D，若AB＝6，则CD 的长为（）A．B．C．3D．37．按照如图所示的流程，若输出的M＝3，则输入的m为（）A．﹣1B．0C．1D．38．2020年5月以来，各地根据疫情防控工作需要，对重点人群进行核酸检测．为尽快完成检测任务，某地组织甲、乙两支医疗队，分别开展检测工作，甲队比乙队每小时多检测15人，甲队检测600人比乙队检测500人所用的时间少10%．若设甲队每小时检测x 人，根据题意，可列方程为（）A．＝×（1﹣10%）B．×（1﹣10%）＝C．＝×（1﹣10%）D．×（1﹣10%）＝9．在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．使∠ADC＝2∠B，则符合要求的作图痕迹是（）A．B．C．D．10．如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，斜坡与教学楼剖面在同一平面内，已知斜坡CD 的长为6m，坡度i＝1：0.75，教学楼底部到斜坡底部的水平距离AC＝8m，在教学楼顶部B点测得斜坡顶部D点的俯角为46°，则教学楼的高度约为（）（参考数据：sin46°≈0.72，cos46°≈0.69，tan46°≈1.04）A．12.1m B．13.3m C．16.9m D．18.1m11．如图，把△ABC纸片沿DE，EF，DG折叠后，A，B，C三点都与BC边上的点M重合，得到矩形DEFG，连接DF，若△DGM和△DMF均是等腰三角形，DG＝1，则△ABC的周长为（）A．4+2+2B．2+4+2C．2+2+4D．4+212．如图，点A与点B关于原点对称，点C在第四象限，∠ACB＝90°．点D是x轴正半轴上一点，AC平分∠BAD，E是AD的中点，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点A，E．若△ACE的面积为6，则k的值为（）A．4B．6C．8D．12二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）13．不等式组的解集是．14．据了解，重庆市为确保2020年完成3万个5G基站建设目标的顺利完成，3月1日已经建设开通5G基站数超过10100个．请把数10100用科学记数法表示为．15．在如图所示的电路图中，当随机闭合开关K1，K2，K3中的两个时，能够让灯泡发光的概率为．16．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2．分别以点B，A为圆心，以BC长为半径画弧，交AB于点D，E，交AC于点F，则图中的阴影部分的面积为．（用含π的代数式表示）17．在一段长为1000m的笔直道路AB上，甲、乙两名运动员分别从A，B两地出发进行往返跑训练．已知甲比乙先出发30秒钟，甲距A点的距离y/m与其出发的时间x/分钟的函数图象如图所示．乙的速度是200m/分钟，当乙到达A点后立即按原速返回B点．当两人第二次相遇时，乙跑的总路程是m．18．滴滴快车是一种便捷的出行工具，某地的计价规则如表：计费项目里程费时长费远途费单价2元/公里0.3元/分钟1元/公里注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收1元．小李与小张分别从不同地点，各自同时乘坐滴滴快车，到同一地点相见，已知到达约定地点时他们的实际行车里程分别为7公里与9公里，两人付给滴滴快车的乘车费相同．其中一人先到达约定地点，他等候另一人的时间等于他自己实际乘车时间，且恰好是另一人实际乘车时间的一半，则小李的乘车费为元．三、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡对应的位置上．19．计算：（1）（2x+y）（x+y）+（x﹣y）2；（2）（a﹣）÷．20．如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E，AF平分∠BAD，交BC于点F，交CD的延长线于点G．（1）若∠G＝29°，求∠ADC的度数；（2）若点F是BC的中点，求证：AB＝AD+CD．21．经历疫情复学后，学校开展了多种形式的防疫知识讲座，并举行了全员参加的“防疫”知识竞赛，试卷题目共10题，每题10分．现分别从七年级1，2，3班中各随机抽取10名同学的成绩（单位：分）．收集整理数据如下：分析数据：平均数中位数众数1班83a802班83b c3班d8080根据以上信息回答下列问题：（1）请直接写出表格中a，b，c，d的值；（2）比较这三组样本数据的平均数、中位数和众数，你认为哪个班的成绩比较好？请说明理由（一条理由即可）；（3）为了让学生重视安全知识的学习，学校将给竞赛成绩满分的同学颁发奖状，该校七年级学生共120人，试估计需要准备多少张奖状？22．已知函数y＝k|x+2|+b的图象经过点（﹣2，4）和（﹣6，﹣2），完成下面问题：（1）求函数y＝k|x+2|+b的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，请用适当的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；（3）已知函数y＝x+1的图象如图所示，结合你所画出y＝k|x+2|+b的图象，直接写出k|x+2|+b＞x+1的解集．23．在疫情期间，某地推出线上名师公益大课堂，为广大师生、其他社会人士提供线上专业知识学习、心理健康疏导．参与学习第一批公益课的人数达到2万人，因该公益课社会反响良好，参与学习第三批公益课的人数达到2.42万人．参与学习第二批、第三批公益课的人数的增长率相同．（1）求这个增长率；（2）据大数据统计，参与学习第三批公益课的人数中，师生人数在参与学习第二批公益课的师生人数的基础上增加了80%；但因为已经部分复工，其他社会人士的人数在参与学习第二批公益课的其他社会人士人数的基础上减少了60%．求参与学习第三批公益课的师生人数．24．对于任意一个四位数，我们可以记为，即＝1000a+100b+10c+d．若规定：对四位正整数进行F运算，得到整数F（）＝a4+b3+c2+d1．例如，F（1249）＝14+23+42+91＝34；F（2020）＝24+03+22+01＝20．（1）计算：F（2137）；（2）当c＝e+2时，证明：F（）﹣F（）的结果一定是4的倍数；（3）求出满足F（）＝98的所有四位数．25．如图，在平面直角坐标系内，点A，B的坐标分别为（1，0），（0，2），AC⊥AB，且AB＝AC，直线BC交x轴于点D，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A，B，D．（1）求直线BC和抛物线y＝ax2+bx+2的函数表达式；（2）点P是直线BD下方的抛物线上一点，求△PCD面积的最大值，以及△PCD面积取得最大值时，点P的坐标；（3）若点P的坐标为（2）小题中，△PCD的面积取得最大值时对应的坐标．平面内存在直线l，使点B，D，P到该直线的距离都相等，请直接写出所有满足条件的直线l的函数表达式．四、解答题（本大题1个小题，共8分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．26．如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，连接AE，过点E作EM⊥AE，交对角线AC于点M，过点M作MN⊥AB，垂足为N，连接NE．（1）求证：AE＝NE+ME；（2）如图2，延长EM至点F，使EF＝EA，连接AF，过点F作FH⊥DC，垂足为H．猜想CH与FH存在的数量关系，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，若点G是AF的中点，连接GH．当GH＝CH时，直接写出GH与AC之间存在的数量关系．参考答案一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1．在下列各数中，比﹣1小的数是（）A．0B．1C．2D．﹣2【分析】根据有理数的大小比较法则逐个判断即可．解：A、0＞﹣1，故本选项不符合题意；B、1＞﹣1，故本选项不符合题意；C、2＞﹣1，故本选项不符合题意；D、﹣2＜﹣1，故本选项符合题意；故选：D．2．计算（2x）3的结果是（）A．8x3B．8x C．6x3D．2x3【分析】根据积的乘方运算法则计算即可，积的乘方，等于每个因式乘方的积．解：（2x）3＝23•x3＝8x3．故选：A．3．下列命题是真命题的是（）A．等边三角形是中心对称图形B．等腰三角形是轴对称图形C．等腰直角三角形是中心对称图形D．直角三角形是轴对称图形【分析】根据中心对称图形和轴对称图形判断即可．解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，原命题是假命题；B、等腰三角形是轴对称图形，是真命题；C、等腰直角三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，原命题是假命题；D、直角三角形不是轴对称图形，原命题是假命题；故选：B．4．如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离BP＝4.5m．则路灯的高度OP为（）A．3m B．4m C．4.5m D．5m【分析】利用相似三角形的性质求解即可．解：∵AB∥OP，∴△CAB∽△COP，∴＝，∴＝，∴OP＝5（m），故选：D．5．下列整数中，与9﹣最接近的是（）A．4B．5C．6D．7【分析】利用16＜17＜25可判断最接近的整数为4，从而得到9﹣最接近的整数．解：∵16＜17＜25，∴4＜＜5，∴最接近的整数为4，∴9﹣最接近的整数为5．故选：B．6．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB与⊙C相切于点D，若AB＝6，则CD 的长为（）A．B．C．3D．3【分析】根据直角三角形的性质得到AC＝AB＝3，根据切线的性质得到∠ADC＝90°，解直角三角形得到答案．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴AC＝AB＝3，∠A＝60°，∵AB与⊙C相切，∴CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴CD＝AC•sin A＝3×＝，故选：B．7．按照如图所示的流程，若输出的M＝3，则输入的m为（）A．﹣1B．0C．1D．3【分析】根据题目中的程序，利用分类讨论的方法可以分别求得m的值，从而可以解答本题．解：当m2﹣2m≥0时，＝3，解得m＝3，经检验，m＝3是原方程的解，并且满足m2﹣2m≥0；当m2﹣2m＜0时，m﹣3＝3，解得m＝6，不满足m2﹣2m＜0，舍去．故输入的m为3．故选：D．8．2020年5月以来，各地根据疫情防控工作需要，对重点人群进行核酸检测．为尽快完成检测任务，某地组织甲、乙两支医疗队，分别开展检测工作，甲队比乙队每小时多检测15人，甲队检测600人比乙队检测500人所用的时间少10%．若设甲队每小时检测x 人，根据题意，可列方程为（）A．＝×（1﹣10%）B．×（1﹣10%）＝C．＝×（1﹣10%）D．×（1﹣10%）＝【分析】根据题意，可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题．解：由题意可得，×（1﹣10%），故选：A．9．在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．使∠ADC＝2∠B，则符合要求的作图痕迹是（）A．B．C．D．【分析】利用三角形外角性质得到∠B＝∠BCD，利用等腰三角形的判定得到DB＝DC，然后根据线段垂直平分线的作法对各选项进行判断．解：∵∠ADC＝∠B+∠BCD，∠ADC＝2∠B，∴∠B＝∠BCD，∴DB＝DC，∴点D为BC的垂直平分线与AB的交点．故选：C．10．如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，斜坡与教学楼剖面在同一平面内，已知斜坡CD 的长为6m，坡度i＝1：0.75，教学楼底部到斜坡底部的水平距离AC＝8m，在教学楼顶部B点测得斜坡顶部D点的俯角为46°，则教学楼的高度约为（）（参考数据：sin46°≈0.72，cos46°≈0.69，tan46°≈1.04）A．12.1m B．13.3m C．16.9m D．18.1m【分析】过点D作DE⊥AC，DF⊥AB于点E，F，根据题意可得，四边形FAED是矩形，再根据锐角三角函数即可求出教学楼的高度．解：如图，过点D作DE⊥AC，DF⊥AB于点E，F，根据题意可知：BA⊥AC，∴四边形FAED是矩形，∴FA＝DE，DF＝AE，∵斜坡CD的长为6m，坡度i＝DE：CE＝1：0.75，∴DE＝4.8，CE＝3.6，∴DF＝AE＝AC+CE＝11.6，在Rt△BFD中，∠BDF＝46°，∴BF＝DF•tan46°≈11.6×1.04≈12.064，∴BA＝BF+FA＝12.064+4.8≈16.9（m）．所以教学楼的高度约为16.9米．故选：C．11．如图，把△ABC纸片沿DE，EF，DG折叠后，A，B，C三点都与BC边上的点M重合，得到矩形DEFG，连接DF，若△DGM和△DMF均是等腰三角形，DG＝1，则△ABC的周长为（）A．4+2+2B．2+4+2C．2+2+4D．4+2【分析】由矩形的性质可得DG＝EF＝1，∠DGM＝90°＝∠EFM，由等腰三角形的性质和勾股定理可求DM＝FM＝，ME＝，由折叠的性质可得BG＝GM＝1，AD＝DM＝DB＝，AE＝ME＝EC＝，MF＝FC＝，即可求解．解：∵四边形DEFG是矩形，∴DG＝EF＝1，∠DGM＝90°＝∠EFM，∵△DGM是等腰三角形，DG＝1，∴DG＝EF＝1＝GM，∴DM＝DG＝，∵△DMF均是等腰三角形，∴DM＝FM＝，∴ME＝＝＝，∵把△ABC纸片沿DE，EF，DG折叠后，A，B，C三点都与BC边上的点M重合，∴BG＝GM＝1，AD＝DM＝DB＝，AE＝ME＝EC＝，MF＝FC＝，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝AD+BD+AE+EC+BG+GM+MF+FC＝4+2+2，故选：B．12．如图，点A与点B关于原点对称，点C在第四象限，∠ACB＝90°．点D是x轴正半轴上一点，AC平分∠BAD，E是AD的中点，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点A，E．若△ACE的面积为6，则k的值为（）A．4B．6C．8D．12【分析】连接OC，在Rt△ABC中，点O是AB的中点，得到OC＝AB＝OA，根据角平分线的定义得到∠OAC＝∠EAC，得到∠OCA＝∠EAC，过A作AM⊥x轴于M，过D作DN⊥x轴于N，易得S梯形AMNC＝S△AOC，△DAM∽△DEN，得到S梯形AMNC＝S△AOC ＝S△AEC＝6，求得S△AOD＝9，延长DA交y轴于P，易得△DAM∽△DPO，设EN＝a，则AM＝2a，推出S△DAM：S△AOM＝2：1，于是得到结论．解：连接OC，在Rt△ABC中，点O是AB的中点，∴OC＝AB＝OA，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC是∠BAD的角平分线，∴∠OAC＝∠EAC，∴∠OCA＝∠EAC，∴AE∥OC∴S△AEC＝S△AOE，过A作AM⊥x轴于M，过E作EN⊥x轴于N，∵A、E都在反比例函数y＝的图象上，∴S△AOM＝S△EON，∴S梯形AMNE＝S△AOE，∵AM∥EN，∴△DAM∽△DEN，∵AE＝DE，S梯形AMNE＝S△AOE＝S△AEC＝6，∴S△AOD＝12，延长DA交y轴于P，易得△DAM∽△DPO，设EN＝a，则AM＝2a，∴ON＝，OM＝，∴MN＝，DN＝，∴DM：OM＝2：1，∴S△DAM：S△AOM＝2：1，∴S△AOM＝4，∴k＝8．故选：C．二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．15题图13．不等式组的解集是1＜x≤5．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．解：解不等式x﹣2≤3，得：x≤5，又x＞1，∴1＜x≤5，故答案为：1＜x≤5．14．据了解，重庆市为确保2020年完成3万个5G基站建设目标的顺利完成，3月1日已经建设开通5G基站数超过10100个．请把数10100用科学记数法表示为 1.01×104．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：将10100用科学记数法表示为：1.01×104．故答案为：1.01×104．15．在如图所示的电路图中，当随机闭合开关K1，K2，K3中的两个时，能够让灯泡发光的概率为．【分析】根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能够让灯泡发光的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，能够让灯泡发光的是闭合（K1，K3），（K1，K2），（K3，K1），（K2，K1），∴能够让灯泡发光的概率为：＝，故答案为：．16．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2．分别以点B，A为圆心，以BC长为半径画弧，交AB于点D，E，交AC于点F，则图中的阴影部分的面积为4﹣π．（用含π的代数式表示）【分析】先利用扇形的面积公式计算S扇形EAF+S△DBC＝＝π，然后利用图中的阴影部分的面积＝S△ABC﹣（S扇形EAF+S△DBC）计算计算．解：∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴S扇形EAF+S△DBC＝＝π，∴图中的阴影部分的面积＝S△ABC﹣（S扇形EAF+S△DBC）＝×4×2﹣π＝4﹣π．故答案为4﹣π．17．在一段长为1000m的笔直道路AB上，甲、乙两名运动员分别从A，B两地出发进行往返跑训练．已知甲比乙先出发30秒钟，甲距A点的距离y/m与其出发的时间x/分钟的函数图象如图所示．乙的速度是200m/分钟，当乙到达A点后立即按原速返回B点．当两人第二次相遇时，乙跑的总路程是m．【分析】据函数图象中的数据求出甲的速度，进而求出两人第二次相遇时甲出发的时间，从而得出当两人第二次相遇时，乙跑的总路程．解：甲的速度为：1000÷4＝250（米/分钟），两人第一次相遇时处于两人都未跑完一个1000m时，由图象可知时间处于4分钟以内；∵甲比乙先出发30秒钟，∴当x＝5分钟时，乙跑了4.5分钟，此时乙跑了200×4.5＝900＜1000（m）；设甲出发x分钟后两人第二次相遇时，根据题意得：（250+200）（x﹣5）＝（1000﹣900+1000），解得：x＝，当两人第二次相遇时，乙跑的总路程是200×（﹣）＝（m）．故答案为：．18．滴滴快车是一种便捷的出行工具，某地的计价规则如表：计费项目里程费时长费远途费单价2元/公里0.3元/分钟1元/公里注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收1元．小李与小张分别从不同地点，各自同时乘坐滴滴快车，到同一地点相见，已知到达约定地点时他们的实际行车里程分别为7公里与9公里，两人付给滴滴快车的乘车费相同．其中一人先到达约定地点，他等候另一人的时间等于他自己实际乘车时间，且恰好是另一人实际乘车时间的一半，则小李的乘车费为26元．【分析】设先到达约定地点的实际乘车时间为x分钟，则后到达约定地点的实际乘车时间为2x分钟，根据两人的乘车费用相同，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其代入（2×7+0.3×2x）中即可求出结论．解：设先到达约定地点的实际乘车时间为x分钟，则后到达约定地点的实际乘车时间为2x分钟，依题意，得：2×7+0.3×2x＝2×9+0.3x+1×（9﹣7），解得：x＝20，∴2×7+0.3×2x＝26．故答案为：26．三、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡对应的位置上．19．计算：（1）（2x+y）（x+y）+（x﹣y）2；（2）（a﹣）÷．【分析】（1）根据分多项式乘多项式和完全平方公式可以解答本题；（2）根据分式的减法和除法可以解答本题．解：（1）（2x+y）（x+y）+（x﹣y）2＝2x2+2xy+xy+y2+x2﹣2xy+y2＝3x2+xy+2y2；（2）（a﹣）÷＝＝＝＝．20．如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E，AF平分∠BAD，交BC于点F，交CD的延长线于点G．（1）若∠G＝29°，求∠ADC的度数；（2）若点F是BC的中点，求证：AB＝AD+CD．【分析】（1）根据平等线的性质得∠BAG＝∠G，∠BAD＝∠ADC．进而证由角平分线的性质得∠ADC＝∠BAD＝2∠G．便可求得结果；（2）先由角平分线条件证明AD＝DG，再证明△ABF≌△GCF，便可得结论．【解答】证明：（1）∵AB∥CD，∴∠BAG＝∠G，∠BAD＝∠ADC．∵AF平分∠BAD，∴∠BAD＝2∠BAG＝2∠G．∴∠ADC＝∠BAD＝2∠G．∵∠G＝29°，∴∠ADC＝58°；（2）∵AF平分∠BAD，∴∠BAG＝∠DAG．∵∠BAG＝∠G，∴∠DAG＝∠G．∴AD＝GD．∵点F是BC的中点，∴BF＝CF．在△ABF和△GCF中，∵∴△ABF≌△GCF（AAS），∴AB＝GC．∴AB＝GD+CD＝AD+CD．21．经历疫情复学后，学校开展了多种形式的防疫知识讲座，并举行了全员参加的“防疫”知识竞赛，试卷题目共10题，每题10分．现分别从七年级1，2，3班中各随机抽取10名同学的成绩（单位：分）．收集整理数据如下：分析数据：平均数中位数众数1班83a802班83b c3班d8080根据以上信息回答下列问题：（1）请直接写出表格中a，b，c，d的值；（2）比较这三组样本数据的平均数、中位数和众数，你认为哪个班的成绩比较好？请说明理由（一条理由即可）；（3）为了让学生重视安全知识的学习，学校将给竞赛成绩满分的同学颁发奖状，该校七年级学生共120人，试估计需要准备多少张奖状？【分析】（1）利用折线统计图得到一班和二班的成绩，然后利用中位数的定义确定a、b值，利用众数的定义确定c的值；利用平均数的计算方法确定d的值；（2）利用中位数和众数的意义进行判断；（3）求出样本中满分的同学所占的百分比，然后120乘以这个百分比可估计该校七年级学生的满分人数．解：（1）一班10个数据的中第5、第6个数据都是80分，所以a＝80；二班10个数据的中第5、第6个数据分部是80分、90分，所以b＝85；二班10个数据的中90分出现的次数最短，所以c＝90；三班的平均数d＝（60+70+80×4+90×2+100×2）＝83；（2）我认为七年级2班的成绩比较好，随机抽取的样本中，三个班样本成绩的平均数都为83，2班成绩的中位数为85，大于1班和3班成绩的中位数80；2班成绩的众数90大于1班和3班成绩的众数80；（3）因为所抽取的样本中，样本总量是30，而其中满分人数是1+1+2＝4．所以×120＝16答：估计需要准备的奖状是16张．22．已知函数y＝k|x+2|+b的图象经过点（﹣2，4）和（﹣6，﹣2），完成下面问题：（1）求函数y＝k|x+2|+b的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，请用适当的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；（3）已知函数y＝x+1的图象如图所示，结合你所画出y＝k|x+2|+b的图象，直接写出k|x+2|+b＞x+1的解集．【分析】（1）根据待定系数法求得即可；（2）画出函数的图象，根据图象得出性质；（3）根据图象求得即可．解：（1）根据题意，得，解方程组，得，所求函数表达式为；（2）函数的图象如图所示，性质为：①当x＜﹣2时，y随x增大而增大；当x＞﹣2时，y随x增大而减少．②当x＝﹣2时，该函数取得最大值，函数的最大值为4．（3）由图象可知：k|x+2|+b＞x+1的解集为：﹣6＜x＜0．23．在疫情期间，某地推出线上名师公益大课堂，为广大师生、其他社会人士提供线上专业知识学习、心理健康疏导．参与学习第一批公益课的人数达到2万人，因该公益课社会反响良好，参与学习第三批公益课的人数达到2.42万人．参与学习第二批、第三批公益课的人数的增长率相同．（1）求这个增长率；（2）据大数据统计，参与学习第三批公益课的人数中，师生人数在参与学习第二批公益课的师生人数的基础上增加了80%；但因为已经部分复工，其他社会人士的人数在参与学习第二批公益课的其他社会人士人数的基础上减少了60%．求参与学习第三批公益课的师生人数．【分析】（1）设参与学习第二批、第三批公益课的人数的增长率为x，根据“第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次”可列方程求解．（2）设参与学习第二批公益课的人数中，师生有a万人，其他人士有b万人．根据“第三批公益课的人数＝第二批公益课的师生人数×（1+80%）”、“其他社会人士的人数在参与学习第二批公益课的其他社会人士人数的基础上减少了60%”列出方程组并解答．解：（1）设参与学习第二批、第三批公益课的人数的增长率为x，根据题意，得2（1+x）2＝2.42，解得x1＝﹣2.1（舍去），x2＝0.1＝10%．答：参与学习第二批、第三批公益课的人数的增长率为10%．（2）设参与学习第二批公益课的人数中，师生有a万人，其他人士有b万人．根据题意，得．解方程组，得a×（1+80%）＝1.1×1.8＝1.98．答：参与第三批公益课的师生人数为1.98万人．24．对于任意一个四位数，我们可以记为，即＝1000a+100b+10c+d．若规定：对四位正整数进行F运算，得到整数F（）＝a4+b3+c2+d1．例如，F（1249）＝14+23+42+91＝34；F（2020）＝24+03+22+01＝20．（1）计算：F（2137）；（2）当c＝e+2时，证明：F（）﹣F（）的结果一定是4的倍数；（3）求出满足F（）＝98的所有四位数．【分析】（1）根据F（）＝a4+b3+c2+d1代入数据计算即可求解；（2）根据F（）＝a4+b3+c2+d1得到＝c2﹣e2，再根据已知条件c＝e+2，可得原式＝4（e+1），依此即可求解；（3）首先得到x2+y＝9，再根据整数的性质确定0≤x≤3，且x为整数，可求对应的y 值，从而求解．解：（1）F（2137）＝24+13+32+71＝16+1+9+7＝33；（2）∴＝（a4+b3+c2+d）﹣（a4+b3+e2+d）＝c2﹣e2，∵c＝e+2，原式＝（e+2）2﹣e2＝4e+4＝4（e+1）．∵e≥0，且e是整数，∴4（e+1）是4的倍数．所以，当c＝e+2时，的结果一定是4的倍数．（3）∵，∴34+23+x2+y＝98，即x2+y＝9．∵0≤y≤9，∴0≤x2≤9．∴0≤x≤3，且x为整数．∴或或或．所以，满足条件的四位数有3209，3218，3225，3230．25．如图，在平面直角坐标系内，点A，B的坐标分别为（1，0），（0，2），AC⊥AB，且AB＝AC，直线BC交x轴于点D，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A，B，D．（1）求直线BC和抛物线y＝ax2+bx+2的函数表达式；（2）点P是直线BD下方的抛物线上一点，求△PCD面积的最大值，以及△PCD面积取得最大值时，点P的坐标；（3）若点P的坐标为（2）小题中，△PCD的面积取得最大值时对应的坐标．平面内存在直线l，使点B，D，P到该直线的距离都相等，请直接写出所有满足条件的直线l的函数表达式．【分析】（1）证明△ABO≌△CAE（AAS），求出点C的坐标，进而求解；（2）利用，即可求解；（3）满足条件的直线有三条，是△PDB三条中位线所在的直线，即可求解．解：（1）过点C作CE⊥x轴，垂足为E．∵AB＝AC，∠AOB＝∠CEA＝90°，∠ABO＝∠CAE，∴△ABO≌△CAE（AAS）．∴AO＝CE，BO＝AE．∵A（1，0），B（0，2），∴CE＝AO＝1，AE＝BO＝2．∴C（3，1）．设直线BC的函数表达式为y＝kx+s（k≠0）．把点B（0，2），C（3，1）代入，得，解得，所以，直线BC的函数表达式为．令y＝0，得x＝6，则D（6，0）．∵抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（1，0），D（6，0），则．解得，∴抛物线的函数表达式为．（2）过点P作x轴的垂线，垂足为H，交BD于点F．令P的横坐标为t．∵点P在BD直线下方的抛物线上移动，∴PF＝．过点C作CG⊥PF，垂足为G．∴，即．所以，当t＝3时，△PCD的面积取得最大值，最大值为．此时点P坐标为（3，﹣2）．（3）满足条件的直线有三条，是△PDB三条中位线所在的直线．由点P、D、B的坐标可得，PD、BD、PB的中点分别为：（，﹣1）、（3，1）、（，0），设过（，﹣1）、（3，1）的直线表达式为y＝mx+n，则，解得，故直线的表达式为：y＝﹣x+5，同理其它两条直线的表达式为：或．三条直线的函数表达式分别为，，．四、解答题（本大题1个小题，共8分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．26．如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，连接AE，过点E作EM⊥AE，交对角线AC于点M，过点M作MN⊥AB，垂足为N，连接NE．（1）求证：AE＝NE+ME；（2）如图2，延长EM至点F，使EF＝EA，连接AF，过点F作FH⊥DC，垂足为H．猜想CH与FH存在的数量关系，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，若点G是AF的中点，连接GH．当GH＝CH时，直接写出GH与AC之间存在的数量关系．【分析】（1）证明△ANK≌△MNE（ASA）．得出AK＝ME，NK＝NE．则结论得证；（2）得出∠P＝∠PCH＝∠CHF＝90°．则四边形PCHF是矩形．证明△ABE≌△EPF （AAS）．得出BE＝PF，AB＝EP．可证得CP＝BE＝PF．得出矩形PCHF是正方形，则结论得证；（3）延长FH交AC于点Q，由中位线定理可得出AQ＝2GH，由等腰直角三角形的性质可得出CQ＝GH，则可得出结论．【解答】（1）证明：如图1，过点N作NK⊥NE，交AE于点K．∴∠KNE＝90°．∵MN⊥AB，∴∠MNA＝90°．∴∠ANK＝∠MNE．∵ME⊥AE，∴∠AEM＝∠ANM＝90°．∴∠NAK＝∠NME．∵四边形ABCD是正方形，∠ANM＝90°．∴∠MAN＝∠NMA＝45°．∴AN＝MN．在△ANK和△MNE中，∵，∴△ANK≌△MNE（ASA）．∴AK＝ME，NK＝NE．∴KE＝NE．∴AE＝AK+KE＝ME+NE．（2）解：CH＝FH．如图2，过点F作FP⊥BC，交BC的延长线于点P．∴∠P＝90°．∵∠BAE+∠AEB＝∠FEP+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠FEP．∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠BCD＝∠PCD＝90°，AB＝BC．∵FH⊥CD，∴∠FHC＝90°．∴∠P＝∠PCH＝∠CHF＝90°．∴四边形PCHF是矩形．在△ABE和△EPF中，∵，∴△ABE≌△EPF（AAS）．∴BE＝PF，AB＝EP．∵AB＝BC，∴EP＝BC．∴CP＝BE＝PF．∴矩形PCHF是正方形．∴FH＝CH．（3）AC＝GH．如图3，延长FH交AC于点Q，在正方形ABCD中，∠ACD＝45°，∵∠FHC＝90°，∴∠HQC＝∠HCQ＝45°，∴CH＝HQ，CQ＝CH，∵CH＝FH，∴HQ＝FH，∵G是AF的中点，∴GH＝AQ，又∵GH＝CH，∴CQ＝GH，∴AC＝AQ+CQ＝2GH+GH＝（2+）GH．。