江西省抚州市临川区第二中学2020届高三七月月考数学(文)试题和答案

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2019-2020学年江西省抚州市临川二中高三（上）第一次月考数学试卷1（9月份）（含答案解析）

2019-2020学年江西省抚州市临川二中高三（上）第一次月考数学试卷1（9月份）（含答案解析）2019-2020学年江西省抚州市临川二中高三（上）第一次月考数学试卷1（9月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.?i(?2?3i)=()A. 3?2iB. 3+2iC. ?3?2iD. ?3+2i2.已知集合A={x|x2+x?6<0}，B=(?2,2)，则?A B=()A. (?3,?2)B. (?3,?2]C. (2,3)D. [2,3)3.下列函数既是奇函数，又在区间[?1,0]上单调递减的是()A. f(x)=?x+1B. f(x)=?x2C. f(x)=?2xD. f(x)=x4.若一个几何体的三视图如图所示，则该集合体的体积为()A. 4B. 5C. 112D. 65.已知sinα+3cosα2cosα?sinα=2，则sin2α+sinαcosα+1等于()A. 115B. 25C. 85D. 756.函数y=sin2x的图象经过变换得到y=sin(2x+π3)的图象，则该变换可以是()A. 所有点向右平移π3个单位 B. 所有点向左平移π3个单位C. 所有点向左平移π6个单位 D. 所有点向右平移π6个单位7.已知直线(a?1)x+y?1=0与直线2x+ay+1=0平行，则实数a=()A. 2或?1B. 2C. ?1D. 238.已知双曲线C的中心为原点，点F(√2,0)是双曲线C的一个焦点，点F到渐近线的距离为1，则C的方程为()A. x2?y2=1B. x2?y22=1 C. x22y23=1 D. x23y23=19.设函数f(x)={log12x(x>0)log12(?x)(x<0)，若f(a)>f(a?1)，则实数a的取值范围是()A. (?∞,12) B. (0,1)C. (?∞,0)∪(0,12) D. ?10.在圆x2+y2=4内任取一点A，则过点A的直线被圆O截得的弦长恒大于2的概率为()A. 34B. √32C. 14D. 1211.已知三棱锥P—ABC满足∠APB=APC=∠BPC=60°，PB=PC=12PA=1，则三棱锥P—PBC 的体积等于()A. √62B. √66C. √22D. √2612.当a>0时，函数f(x)=(x2?ax)e x的图象大致是()A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是______ ．14.设x，y满足约束条件{4x?y?2≤0x?y+1≥0x≥0y≥0，若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)最大值为1，则2a+1b的最小值______ ．15.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B=______．16.已知向量a?，b? 的夹角为60°，|a?|=2，|b? |=1，则|a?+2b? |=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等比数列{a n}的前n项和为S n(n∈N?)，?2S2,S3,4S4成等差数列，且a2+2a3+a4=116(1)求数列{a n}的通项公式；}的前n项和T n<1．(2)若b n=?(n+1)log2|a n|，证明：数列{1b n18.某班主任对全班40名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，得到如下列联表：如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是0.55，抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是0.25．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表作的态度有关？并说明理由参考数据：)(参考公式：K2=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.如图，EB垂直于菱形ABCD所在平面，且EB=BC=2，∠BAD=60°，点G，H分别为边CD，DA的中点，M是线段BE上的动点．(1)求证：GH⊥DM；(2)当三棱锥D?MGH的体积最大时，求点A到面MGH的距离．20.平面内一动圆P(P在y轴右侧)与圆(x?1)2+y2=1外切，且与y 轴相切．(1)求动圆圆心P的轨迹C的方程；(2)已知动直线l过点M(4,0)，交轨迹C于A，B两点，坐标原点O为MN的中点，求证：∠ANM=∠BNM．21.设f(x)=e x?1.当a>ln2?1且x>0时，证明：f(x)>x2?2ax．22.在平面直角坐标系xOy中，已知点P(2+cosα,sinα)(α为参数).以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2．(1)求点P的轨迹C的方程及直线l的直角坐标方程；(2)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．23.设函数f(x)=|x|．(1)设f(x?1)+f(x+2)<4的解集为A，求集合A；(2)已知m为(1)中集合A中的最大整数，且a+b+c=m(其中a，b，c均为正实数)，求证：1?a a ?1?bb1?cc≥8．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：?i(?2?3i)=2i+3i2=?3+2i．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2.答案：B解析：【分析】本题考查集合的补集计算，关键是求出集合A，属于基础题．【解答】解：根据题意，集合A={x|x2+x?6<0}=(?3,2)，又由B=(?2,2)，则?A B=(?3,?2]．故选：B．3.答案：C解析：对于A选项，因为f(?x)=x+1≠?f(x)，不是奇函数，舍去；对于B选项，因为f(?x)=?x2=f(x)，是偶函数，舍去；对于D选项，虽然f(x)=x是奇函数，但是在区间[?1,0]上单调递增，舍去；故选C．4.答案：A解析：【分析】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解，由三视图，得到该几何体是两个相同的直三棱柱的组合体，利用体积公式，即可求解．【解答】解：根据三视图分析知，该几何体的直观图如图所示，O为AB的中点，其中该几何体是两个相同的直三棱柱的组合体，∴该几何体的体积V=2×12×1×2×2=4．故选A．5.答案：D解析：解：∵sinα+3cosα2cosα?sinα=2，∴tanα=13，∴sin2α+sinαcosα+1=sin2α+sinαcosαsin2α+cos2α+1=tan2α+tanαtan2α+1+1=75，故选：D．由已知求得tanα，结合平方关系把sin2α+sinαcosα+1化弦为切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查了同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．6.答案：C解析：解：∵y=sin(2x+π3)=sin[2(x+π6)]，∴函数y=sin2x的图象经过所有点向左平移π6个单位．故选：C．首先，得到y=sin(2x+π3)=sin[2(x+π6)]，然后，根据三角函数图象变换进行求解．本题重点考查了三角函数的图象平移变换等知识，属于中档题．7.答案：B解析：【分析】本题主要考查了直线平行的等价条件与应用问题，属于基础题．根据两直线平行的等价条件即可求出a的值．【解答】解：由题意可知两直线的斜率存在，∵直线(a?1)x+y?1=0与直线2x+ay+1=0平行，∴a?12=1a≠?11，解得a=2，a=?1(舍去)．故选B．8.答案：A解析：【分析】本题主要考查双曲线方程的求法，属于基础题．熟练掌握相关知识点是解决此类问题的关键．【解答】解：因为焦点在x轴上，设双曲线方程为x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)，根据题意得，c=√2，双曲线的渐近线方程为y=±ba x，所以|√2ba|√(ba)2+1=1，解得a2=b2，又因为a2+b2=c2=2，解得b2=1,a2=1，所以双曲线方程为?x2?y2=1，故选A．9.答案：B解析：【分析】本题考查分段函数的应用：解不等式，注意运用分类讨论思想方法，以及函数的单调性，考查运算能力和推理能力，属于中档题．由对数函数的单调性可得x>0，x<0时f(x)递减，结合分段函数和单调性，分类讨论即可求解．【解答】解：当x>0时，f(x)=log12x递减；当x<0时，f(x)=?log12(?x)递减；显然a≠0且a?1≠0，即a≠0且a≠1．当a>1时，a?1>0，若f(a)>f(a?1)，则a<a?1，原不等式解集为?；< p="">当0<a<1时，a?1<0，< p="">由f(a)>f(a?1)可得log12a>?log12(1?a)=log1211?a，即有0<a<1< p="">，解得0<a<1；< p="">1?a当a<0，a?1<?1，若f(a)>f(a?1)，则a<a?1，原不等式的解集为?．< p="">综上可得，原不等式的解集为(0,1)．故选：B．10.答案：A解析：【分析】本题主要考查几何概率的应用，熟悉几何概型的特点是解答本题的关键，是常见的题型，属于基础题．【解答】解：过点A的直线被圆O截得的弦长恒大于2，即过点A的直线被圆O截得的最短弦长为2，又因为圆半径为2，此时，圆心O与A的距离d=√22?1=√3，所以过点A的直线被圆O截得的弦长恒大于2时，点A在以O为圆心，以√3为半径的圆及其内部，所以所求概率为两圆面积之比，则过点A的直线被圆O截得的弦长恒大于2的概率为：，故选：A．11.答案：D解析：【分析】本题主要考查了三棱锥的结构特征以及三棱锥体积的求法，属于中档题．根据题意，过A点作AO⊥平面PBC于点O，再结合角度关系以及几何性质求出AO，然后带入体积公式运算即可求解．【解答】解：如图所示，过点A作AO⊥平面PBC于点O，∵∠APB =∠APC =∠BPC =60°，PB =PC =12PA =1，∴点O 为∠BPC 平分线上的点，联结OP ，则∠OPC =30°，过点O 作OD ⊥PC 于点D ，联结AD ，∵AO ⊥平面BPC ，PC ?平面BPC ，∴AO ⊥PC ，又AO ∩OD =O ，∴PC ⊥平面AOD ，又AD ?平面AOD ，∴AD ⊥PC ，∴在Rt △APD 中，易知PD =12PA =1，AD =√32PA =√3，在Rt △POD 中，易知OD =PDtan∠OPD =√33，在Rt △AOD 中，OA =√AD 2?OD 2=√(√3)2?(√33)2=2√63，∴三棱锥P—ABC 的体积V P?ABC =V A?PBC =13S ΔBPC ·OA =13×12×1×1×√32×2√63=√26．故选D ．12.答案：B解析：【分析】本题主要考查函数图象的识别和判断，充分利用函数的性质，本题使用特殊值法是判断的关键，本题的难度比较大，综合性较强．用函数图象的取值，函数的零点，以及利用导数判断函数的图象．【解答】解：由f(x)=0，解得x2?2ax=0，即x=0或x=2a，∵a>0，∴函数f(x)有两个零点，∴A，C不正确．设a=1，则f(x)=(x2?2x)e x，∴f′(x)=(x2?2)e x，由f′(x)=(x2?2)e x>0，解得x>√2或x<?√2．由f′(x)=(x2?2)e x<0，解得，?√2<x<√2，< p="">即x=?√2是函数的一个极大值点，∴D不成立，排除D．故选B．13.答案：20解析：解：模拟程序的运行，可得S=0，n=1执行循环体，S=3，n=2不满足条件S≥15，执行循环体，S=9，n=3不满足条件S≥15，执行循环体，S=20，n=4满足条件S≥15，退出循环，输出S的值为20．故答案为：20．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是循环结构的程序框图的应用，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．14.答案：8解析：解：由约束条件{4x?y?2≤0x?y+1≥0x≥0y≥0作出可行域如图，联立，解得A(1,2)．化目标函数z=ax+by为y=?ab x+zb，由图可知，当直线y=?ab x+zb过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为a+2b=1．∴2a +1b=(2a+1b)(a+2b)=4+4ba+ab≥4+2√4baab=8．当且仅当a=2b时上式“=”成立．∴2a +1b的最小值为8．故答案为：8．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得a+2b=1，再由基本不等式求最值．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．15.答案：π3解析：【分析】本题考查了正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式，属于基础题，根据正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式计算即可．【解答】解：∵2bcosB=acosC+ccosA，由正弦定理可得，2cosBsinB=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB，∵sinB≠0，∴cosB =12，∵03，故答案为π3．16.答案：2√3解析：【分析】本题主要考查向量的模以及向量的数量积，属于基础题．通过向量的模长公式结合向量的数量积进行求解即可．【解答】解：|a ? +2b ? |=√4+4+4=2√3，故答案为2√3．17.答案：(1)解：设等比数列{a n }的公比为q ，由?2S 2,S 3,4S 4成等差数列知，2S 3=?2S 2+4S 4，所以2a 4=?a 3，即q =?12．又a 2+2a 3+a 4=116，所以a 1q +2a 1q 2+a 1q 3=116，所以a 1=?12，所以等差数列{a n }的通项公式a n =(?12)n．(2)证明：由(1)知b n =n(n +1) ，所以1b n=1n(n+1)=(1n ?1n+1)，所以数列{1b n}的前n 项和：T n =1?1n+1<1．解析：本题考查等差数列、等比数列的综合应用以及数列求和．(1)设等比数列{a n }的公比为q ，由?2S 2,S 3,4S 4成等差数列求出q ，再求出首项即可得到通项公式； (2)由裂项求和求出T n ，即可证明．18.答案：解：(1)积极参加班级工作的学生有40×0.55=22(人)，不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有40×0.25=10(人)；可得2×2列联表：积极参加班级工作不太主动参加班级工作合计学习积极性高12820学习积极性一般101020合计221840 (2)计算观测值K2=40×(12×10?10×8)222×18×20×20≈0.404<2.072，所以没有85%的把握认为学习积极性与对待班级工作的态度有关系．解析：(1)由题意，填写列联表；(2)计算观测值，对照临界值即可得出结论．本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．19.答案：解：(1)证明：连接AC、BD相交于点O．∵BE⊥平面ABCD.而AC?平面ABCD，∴BE⊥AC．又∵四边形ABCD为菱形，∴BD⊥AC．∵BD∩BE=B，∴AC⊥平面BDE．∵G、H分别为DC、AD的中点，∴GH//AC，则GH⊥平面BDE．而DM?平面BDE，∴GH⊥DM；(2)菱形ABCD中，∠BAD=60°，得，∠ADC=120°．∵DG=DH=1，∴S△DGH=12DG?DHsin1200=12×1×1×√32=√34，∵BE⊥平面ABCD，即BM⊥平面ABCD，∴V?D?MGH=V M?DGH=13S△DGH?BM=√312BM．显然，当点M与点E重合时，BM取得最大值2，此时(V D?MGH)max=√312×2=√36．且MG=MH=√7，GH=√3，则S?△MGH=12×√3×52=5√34，∵H是AD中点，所有A到平面MGH的距离d1等于到平面MGH的距离d2，又V D?MGH=V M?DGH，∴√36=13×5√34d2，得d2=25．∴A 到平面MGH 的距离为25．解析：本题考查空间中的线面关系，考查空间想象能力和思维能力，训练了棱锥体积的求法，等体积法求距离，是中档题．(1)连接AC 、BD 相交于点O.由BE ⊥平面ABCD ，得到BE ⊥AC.再由四边形ABCD 为菱形，可得BD ⊥AC.由线面垂直的判定可得AC ⊥平面BDE.进一步得到GH ⊥DM ；(2)在菱形ABCD 中，由∠BAD =60°，得∠ADC =120°.求出三角形DGH 的面积，可得V?D?MGH =V M?DGH =13S △DGH ?BM =√312BM.由图可得当点M 与点E 重合时，BM 取最大值2，由此求得三棱锥D ?MGH 的体积的最大值．V D?MGH =V M?DGH ，∴√36=13×5√34d 2，得A 到平面MGH 的距离为25．20.答案：解：(1)设P(x,y)(x >0)，则√(x ?1)2+y 2=x +1，y 2=4x∴动圆圆心P 的轨迹C 的方程为：y 2=4x(x >0)．(2)证明：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由于O 为MN 的中点，则N(?4,0) 当直线l 垂直于x 轴时，由抛物线的对称性知∠ANM =∠BNM ．当直线l 不垂直于x 轴时，设l ：y =k(x ?4)，由{y =k(x ?4)y 2=4x ，得k 2x 2?4(2k 2+1)x +16k 2=0，∴x 1+x 2=4(2k 2+1)k 2，x 1?x 2=16，∵k AN =y 1x1+4=k(x 1?4)x 1+4，k BN =y 2x2+4=k(x 2?4)x 2+4，∴k AN +k BN =k(2x 1x 2?32)(x1+4)(x 2+4)=0，∴∠ANM =∠BNM ，综上，∠ANM =∠BNM ．解析：(1)设圆心P ，根据动圆P 与圆(x ?1)2+y 2=1外切，且与y 轴相切．建立关系可得轨迹C 的方程(2)设而不求的思想，结合韦达定理即可证明．本题考查了轨迹方程是求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，是中档题．21.答案：证明：欲证f(x)>x 2?2ax ，即e x ?1>x 2?2ax ，即证e x ?x 2+2ax ?1>0．可令u(x)=e x ?x 2+2ax ?1，则u′(x)=e x ?2x +2a ．令?(x)=ex ?2x +2a ，则?′(x)=e x ?2．当x ∈(?∞,ln 2)时，?′(x)<0，函数?(x)在(?∞,ln 2]上单调递减，当x ∈(ln 2，+∞)时，?′(x)>0，函数?(x)在[ln 2，+∞)上单调递增．所以?(x)的最小值为?(ln 2)=e ln2?2ln 2+2a =2?2ln 2+2a ．因为a >ln 2?1，所以?(ln 2)>2?2ln 2+2(ln 2?1)=0，即?(ln 2)>0．所以u′(x)=?(x)>0，即u(x)在R 上为增函数．故u(x)在(0,+∞)上为增函数．所以u(x)>u(0)．而u(0)=0，所以u(x)=e x ?x 2+2ax ?1>0．故当a >ln 2?1且x >0时，f(x)>x 2?2ax ．解析：欲证f(x)>x 2?2ax ，即证e x ?x 2+2ax ?1>0.构造函数u(x)=e x ?x 2+2ax ?1，则u′(x)=e x ?2x +2a.令?(x)=e x ?2x +2a ，则?′(x)=e x ?2.由此利用导数性质能证明当a >ln 2?1且x >0时，f(x)>x 2?2ax ．本题主要考查了利用函数的导数求出函数的单调性以及函数的极值问题，考查学生分析解决问题的能力，利用导数研究函数的单调性的能力，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．是中档题．22.答案：解：(1)设点P(x,y)，所以{x =2+cosαy =sinα,(α为参数)，消去参数，得(x ?2)2+y 2=1，即P 点的轨迹C 的方程为(x ?2)2+y 2=1 直线l ：ρsin(θ+π4)=2√2，展开得：ρcosθ+ρsinθ=4?x +y =4，所以直线l 的直角坐标方程为x +y ?4=0．(2)由(1)，可知P 点的轨迹C 是圆心为(2,0)，半径为1的圆，则圆心C 到直线l 的距离为d =√2=√2>r =1．所以曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为√2+1．解析：(1)利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化． (2)利用点到直线的距离公式求出结果．本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，点到直线的距离公式的应用．23.答案：解：(1)f(x)=|x|，则f(x ?1)+f(x +2)=|x ?1|+|x +2| ={2x +1,x >13,?2≤x ≤1?2x ?1,x <4，可得{2x +1<4x >1或?2≤x ≤1或{?2x ?1<4x <?2，所以?52<x<3< p="">2，所以不等式的解集A={x|?52<x<3< p="">2}；(2)由(1)知m=1，则a+b+c=1，又a，b，c均为正实数，1?a a ·1?bb·1?cc=b+ca·a+cb·a+bc≥2√bca ·2√acb·2√abc=8，当且仅当a=b=a=13时等号成立．所以1?aa ?1?bb1?cc≥8．解析：本题考查了绝对值不等式的解法和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．(1)根据f(x)=|x|，可得f(x?1)+f(x+2)={2x+1,x>13,?2≤x≤12x?1,x<?2，然后由f(x?1)+f(x+2)<4，分别解不等式即可；(2)根据(1)可得a+b+c=m=1，然后利用基本不等式可知1?aa ·1?bb·1?cc≥2√bca·2√acb·2√abc=8，从而证明1?aa ·1?bb·1?cc≥8，注意等号成立的条件．</x<3<></x<3<></x<√2，<></a?1，原不等式的解集为?．<> </a<1；<></a<1<></a<1时，a?1<0，<></a?1，原不等式解集为?；<>。

2020届江西省临川二中、临川二中实验学校高三上学期第三次月考数学(文)试题(解析版)

2020届江西省临川二中、临川二中实验学校高三上学期第三次月考数学（文）试题一、单选题1．设i 是虚数单位，复数()()i 12i a ++为纯虚数，则实数a 为( ). A ．-2 B ．2C ．12-D ．12【答案】B【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数()()i 12i a ++，再由实部为0且虚部不为0列式求得a 值. 【详解】()()()()i 12i 221i z a a a =++=-++为纯虚数， 20210a a -=⎧∴⎨+≠⎩，解得2a =，故选B.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 2．设全集为，集合2{|90},{|15}A x x B x x =-<=-<≤，则（）A ．(3,0)-B ．(3,1]--C ．(3,1)--D ．(3,3)-【答案】B【解析】试题分析：由题首先计算集合B 的补集然后与集合A 取交集即可．由题A=（-3,3）,{1R C B x =≤-或5}x >，(]3,1R A C B ⋂=-，故选B ．【考点】集合的运算32sin 375+的值为（）A ．B ．12C ．D ．12-【答案】A【解析】【详解】2223cos375sin375cos15sin15cos(4515)cos3022222+=+=-==．选A ．4．已知数列{}n a 为各项均为正数的等比数列，n S 是它的前n 项和，若174a a =，且47522a a +=，则5S =（） A ．32 B ．31C ．30D ．29【答案】B【解析】根据已知求出4712,4a a ==，再求出公比和首项，最后求5S . 【详解】因为174a a =，所以2444,0,2n a a a =>∴=.因为47522a a +=，所以714a =. 所以3111,16.82q q a =∴==，，所以55116[1()]2=31112S -=-. 故选：B 【点睛】本题主要考查等比数列的通项的基本量的计算，考查等比中项的应用，考查等比数列的前n 项和的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 5．已知{}n a 为等差数列，135156a a a ++=，246147a a a ++=，{}n a 的前n 项和为n S ，则使得n S 达到最大值时n 是（） A ．19 B ．20C ．39D ．40【答案】B【解析】用246147a a a ++=减去135156a a a ++=即可得公差d ,再求得{}n a 的通项公式,再分析n S 的最值即可. 【详解】设公差为d ,则246147a a a ++=减去135156a a a ++=可得39,3d d =-=-, 又246443147,49a a a a a ++∴===,故4(4)49312613n a a n d n n =+-=-+=-, 当n S 达到最大值时有10613058610613(1)033n n a n n a n +≥-≥⎧⎧⇒⇒≤≤⎨⎨≤-+≤⎩⎩,故20n =.故选：B 【点睛】本题主要考查等差数列的基本性质以及通项公式的求解,同时也考查了首项为正公差为负的等差数列的前n 项和n S 的最值问题,属于中等题型.6．已知双曲线22:1(0)1x y C m m m-=>+的左焦点F 在圆2226150x y x y +---=上，则双曲线C 的离心率为（） A ．32B ．94C ．95D【答案】D【解析】求出双曲线焦点坐标，代入圆的方程，求出m ，从而得到,a c 的值，求得离心率. 【详解】由双曲线方程知：21a m =+，2b m =c ⇒=()F ⇒21150m ∴++= 4m ⇒=a ⇒=3c =c e a ∴===本题正确选项：D 【点睛】本题考查双曲线的简单性质，关键是利用,,a b c 的关系，求出焦点坐标，属于基础题. 7．在边长为2的等边ABC ∆中，D 是BC 的中点，点P 是线段AD 上一动点，则AP CP ⋅的取值范围是（） A ．3[,)4-+∞B ．3[,0]4-C ．[1,0]-D ．[1,1]-【答案】B【解析】以D 为原点建立平面直角坐标系，设出P 点的坐标，代入AP CP ⋅，化简后求得取值范围. 【详解】画出图像如下图所示，以,DC DA 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系，故((),1,0A C 设()0,P t ()t ⎡∈⎣，所以(()20,1,AP CP t t t ⋅=⋅-=，根据二次函数的性质可知，对称轴t =故当0t =或t =0，当2t =时取得最小值为23224⎛-=- ⎝⎭，故AP CP ⋅的取值范围是3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选B.【点睛】本小题主要考查利用坐标法，求向量数量积的取值范围，考查二次函数求最值的方法，属于中档题.8．已知定义在R 上的奇函数21()2x x f x a-=+，则不等式()2(2)40f x f x -+-<的解集为（） A ．（-1，6） B ．（-6，1）C ．（-2，3）D ．（-3，2）【答案】D【解析】利用函数的奇偶性定义求出1a =，结合函数的单调性，对所求不等式化简，即可求解. 【详解】函数21()2x x f x a-=+是定义在R 上的奇函数所以212122x x x xa a----=-++，化简得1a = 即212()12121x x xf x -==-++且()f x 在R 上单调递增 ()()22(2)404(2)f x f x f x f x -+-<⇒-<-242x x ∴-<-，解得：32x -<<故选：D 【点睛】本题主要考查了函数的基本性质，函数的奇偶性的应用，关键是利用函数的单调性来解抽象不等式.9．AOB 中，OA a OB b ==，，满足||2a b a b ⋅=-=，则AOB ∆的面积的最大值为（） AB ．2C．D．【答案】A【解析】利用数量积公式以及平方关系计算得到sin AOB ∠，利用模长公式以及基本不等式得到||||4a b ≤，结合三角形面积公式化简即可求解. 【详解】||||cos 2a b a b AOB ⋅=∠=,即2cos ||||AOB a b ∠=2(||||)4sin |||||||a b AOB a b a b -∴∠==⎪⎭22||||2||2a b a a b b -=-⋅+= ，即228||||2||||a b a b =+≥所以||||4a b ≤ 所以22(||||)41111||||sin ||||=(||||)4164=3222|||AOBa b S a b AOB a b a b a b ∆-=∠=-≤-故选：A 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积公式以及模长公式的应用，属于中档题. 10．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足0x >时，2()ln ln2f x x x ππ=-+，则函数()()sin g x f x x =-（e 为自然对数的底数）的零点个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．5【答案】C【解析】利用导数求得函数()f x 在0x >时的最小值，得到()g x 的一个零点，根据函数为奇函数()00f =得到()g x 的另一个零点，根据函数()f x 为奇函数，图像的对称性，得到()g x 的第三个零点，由此得出正确选项. 【详解】当0x >时，()'21πfx x =-，故函数在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上递减，π,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增，在π2x =处有最小值为π12f ⎛⎫=⎪⎝⎭，此时πππsin 110222g f ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据()f x 的单调性和sin 1x ≤可知，当0x >时，π2x =是()g x 的唯一零点.由于()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f =，故()()00sin00g f =-=，所以0x =是函数()g x 的零点.由于()f x 和sin x 都是奇函数，故πππ1,sin 1222f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且根据奇函数图像的对称性可知，()f x 在π,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上递增，在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减，π2x =-时，()f x 取得在(),0-∞上的最大值，故π2x =-是()g x 在区间(),0-∞上的唯一零点.综上所述，()g x 零点个数有3个，故选C.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查函数的奇偶性，综合性较强，属于中档题.11．已知函数22()2sin cos ()sin (0)24x f x x x ωπωωω=-->在区间25[,]36ππ-上是增函数，且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值，则ω的范围是（） A ．3(0,]5B ．13[,]25C ．13[,]24D ．15[,)22【答案】B【解析】先化简()f x ，再根据正弦函数性质列方程与不等式，解得结果. 【详解】222()2sin cos ()sin sin (1cos())sin 422x f x x x x x x ωππωωωωω=--=+-- 2sin (1sin )sin sin x x x x ωωωω=+-=因为()f x 在区间25[,]36ππ-上是增函数，且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值，所以255,,236222ππωπωπππωπ-≤-≤≤<，即13[,]25ω∈故选：B 【点睛】本题考查二倍角余弦公式、辅助角公式以及正弦函数性质，考查综合分析与求解能力，属中档题.12．设一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的两个根分别为1x ，2x ，则方程可写成12()()0a x x x x --=，即21212()0ax a x x x ax x -++=．容易发现：12bx x a+=-，12cx x a=．设一元三次方程320(0)ax bx cx d a +++=≠的三个非零实根分别为1x ，2x ，3x ，以下正确命题的序号是（）①123b x x x a ++=-；②122313c x x x x x x a ++=；③123111c x x x d ++=；④123dx x x a=-．A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④【答案】B【解析】由一元三次方程320(0)ax bx cx d a +++=≠的三个非零实根分别为1x ,2x ,3x ,可设32123()()()ax bx cx d a x x x x x x +++=---,再展开123()()()a x x x x x x ---对应32ax bx cx d +++的系数即可.【详解】设32212312123()()()()()ax bx cx d a x x x x x x a x x x x x x x x x +++=---=--+- 32123121323123()()ax a x x x x a x x x x x x x ax x x =-+++++-,故123()b a x x x =-++,121323()c a x x x x x x =++,123d ax x x =-.即123b x x x a ++=-,121323c x x x x x x a++=,123dx x x a =-,121323123123111x x x x x x c x x x x x x d ++++==-.故①②④正确. 故选：B 【点睛】本题主要考查二次函数迁移到三次函数的性质问题,属于中等题型.二、填空题13．已知实数x ，y 满足约束条件30,20,2,x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪⎩………则3z x y =+的最小值为___________. 【答案】5-【解析】先作出不等式组表示的平面区域，再结合目标函数所对应的直线，观察直线所在的位置求目标函数的最小值即可. 【详解】解：由实数x ，y 满足约束条件30,20,2,x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪⎩………，作出可行域如图所示，联立2030x y x y +=⎧⎨-+=⎩，解得(2,1)A -，由简单的线性规划问题可得，当目标函数所对应的直线过点(2,1)A -时，目标函数取最小值，即当2,1x y =-=时，目标函数z 取最小值3(2)15⨯-+=-，故答案为：5-.【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题. 14．已知数列{}n a 满足递推关系：11n n n a a a +=+，112a =，则2020a =_______．【答案】12021【解析】根据11n n n a a a +=+,两边取倒数得出1n a 的通项公式再代入算2020a 即可.【详解】由11n n n a a a +=+有11111n n n n a a a a ++==+,故1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以112a =为首项,公差为1的等差数列. 故1211n n n a =+-=+,故11n a n =+,所以202012021a = 故答案为：12021【点睛】本题主要考查倒数型构造数列求通项公式的问题,属于中等题型. 15．已知函数()sin cos 2()f x x x x R =⋅∈，则()f x 的最小值为____．【答案】-1【解析】令t=sinx []1,1∈-,转为关于t 的函数，求导，判断单调性，由函数单调性求最值即可. 【详解】函数()2sin cos2(12sin f x x x sinx x =⋅=-)=sinx-23sin x ,令t=sinx []1,1,∈-则h(t)=t-23t ,h’(t)=1-62t =0,则t=±可知函数在1666⎛⎛--- ⎝⎭⎝⎭，上单调递减，在，上单调递增，在16⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，所以函数的最小值是h()6-或h(1),h(1)=-1<h(3?26669⎛-=---=- ⎝⎭, 故函数的最小值为-1，故答案为：-1 【点睛】本题考查余弦的二倍角公式，考查换元法并利用导数求函数最值问题，考查计算能力. 16．在中，内角所对的边分别为，是的中点，若且，则面积的最大值是___【答案】【解析】由题意及正弦定理得到，于是可得，；然后在和中分别由余弦定理及可得．在此基础上可得，再由基本不等式得到，于是可得三角形面积的最大值．【详解】如图，设，则,在和中，分别由余弦定理可得，两式相加，整理得，∴．①由及正弦定理得，整理得，② 由余弦定理的推论可得，所以．把①代入②整理得，又，当且仅当时等号成立，所以，故得．所以．即面积的最大值是．故答案为．【点睛】本题考查解三角形在平面几何中的应用，解题时注意几何图形性质的合理利用．对于三角形中的最值问题，求解时一般要用到基本不定式，运用时不要忽视等号成立的条件．本题综合性较强，考查运用知识解决问题的能力和计算能力．三、解答题17．设数列{}n a 满足()*1141,4n na a n N a +==∈- （1）求证：数列12n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；（2）设221nn n a b a -=，求数列{}n b 的前n 项和为n T .【答案】（1）详见解析；（2）21n nT n n =++. 【解析】（1）由144n n a a +=-可得21242n n a a -=--为常数，从而可得结果；（2）由（1）知2,1n na n =+则()()222142121n n n a n b a n n -==-+ ()()111111212122121n n n n ⎛⎫=+=+- ⎪-+-+⎝⎭，利用分组求和法与裂项相消法求和即可.【详解】（1）11411,42n n n n a a a a ++=∴--- 114224n na a =----4211242242n n n n n a a a a a --=-==----为常数又1111,1,2a a =∴=-∴-数列12n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1-为首项12-为公差的等差数列. （2）由（1）知()11111,222n n n a +⎛⎫=-+--=- ⎪-⎝⎭ 222,11n na n n ∴=-=++ ()()()2221442122121212n n n na n nb n a n n n-+∴===--+ ()()111111212122121n n n n ⎛⎫=+=+- ⎪-+-+⎝⎭1231111111112335572121n n T b b b b n n n ⎛⎫∴=++++=+-+-+-++- ⎪-+⎝⎭11122121n n n n n ⎛⎫=+-=+ ⎪++⎝⎭ 所以，数列{}n b 的前n 项和为21n nT n n =++. 【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k=；（3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误. 18．已知函数2π()2sin()cos()23f x a x x π=--，且π()13f =.（1）求a 的值及()f x 的最小正周期；（2）若1()3f α=-，(0,)2πα∈，求sin2α．【答案】（1）2a =，π；（2【解析】（1）由π()13f =得到a 的值，再对()f x 进行整理化简，得到()π2sin(2)16f x x =--，从而得到()f x 的最小正周期；（2）由1()3f α=-得到π1sin(2)63α-=，判断出26πα-的范围，得到πcos(2)6α-=sin 2α转化为ππsin 266α⎡⎤⎛⎫-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用公式展开，从而得到答案. 【详解】（1）由已知π()13f =，得112122a ⨯⨯=，解得2a =.所以1()4cos cos )2f x x x x =-2cos 2cos x x x =-2cos21x x =--π2sin(2)16x =--.所以π()2sin(2)16f x x =--的最小正周期为π.（2）1()3f α=-，π12sin(2)163α--=-，π1sin(2)63α-=，因为(0,)2πα∈，所以π52(,)666αππ-∈-，又π11sin(2)632α-=<，所以π2(0,)66απ-∈.所以πcos(2)63α-==，则ππsin 2=sin[(2)]66αα-+ππππsin(2)cos cos(2)sin 6666αα=-+-1132==【点睛】本题考查利用三角函数公式进行化简求正弦型函数解析式，求正弦型函数的周期性，三角函数给值求值题型，利用两角和的正弦公式求值，属于简单题.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 的边长是2的正方形，PA PD =，PA PD ⊥，F 为PB 上的点，且AF ⊥平面PBD .（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）求直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）6. 【解析】(1)先证明AB ⊥平面PAD ,即证明AB 垂直平面PAD 中的两条直线,AD PD 即可.(2)取AD 的中点H ,证明直线PB 与平面ABCD 所成角为PBH ∠,再求解,PH PB 的长度求PBH ∠的正弦值即可. 【详解】证明：（1）∵AF ⊥平面PBD ,PB ⊂平面PBD ,∴PD AF ⊥,∵PA PD ⊥ PA AF A ⋂=,∴PD ⊥平面PAB , ∵AB Ì平面PAB ∴PD AB ⊥.∵ABCD 是正方形,∴AB AD ⊥, ∵PD AB ⊥,AD PD D =I ,∴AB ⊥平面PAD , ∵AB Ì平面ABCD ,∴平面PAD ⊥平面ABCD .（2）取AD 的中点H ,连接PH ,BH ,∵PA PD =,∴PH AD ⊥, ∵平面PAD ⊥平面ABCD ,PH ⊂平面PAD , 平面PAD平面ABCD AD =,∴PH ⊥平面ABCD ,∴BH 是PB 在平面ABCD 内的射影. ∴PBH ∠就是PB 与平面ABCD 所成的角,在等腰Rt PAD ∆中,∵2AD =,H 是AD 的中点,∴1PH =, 在Rt BAH ∆中,∵1AH =,2AB =,∴BH =∴PB =∴sin6PH PBH PB ∠===. 【点睛】本题主要考查了线面垂直与线线垂直的运用以及性质等,同时也考查了线面角的计算方法等,属于中等题型.20．已知椭圆221222:1(0),x y E a b F F a b+=>>、为其左右焦点，12B B 、为其上下顶点，四边形1122F B F B 的面积为2.点P 为椭圆E 上任意一点，以P 为圆心的圆（记为圆P ）总经过坐标原点O .（1）求椭圆E 的长轴12A A 的最小值，并确定此时椭圆E 的方程；（2）对于（1）中确定的椭圆E ，若给定圆()221:13F x y ++=，则圆P 和圆1F 的公共弦MN 的长是否为定值？如果是，求MN 的值；如果不是，请说明理由.【答案】（1）长轴12A A 的最小值为，此时椭圆E 的方程为2212x y +=；（2）2.【解析】（1）利用四边形1122F B F B 的面积求得22bc =，利用基本不等式求得12A A 的最小值，同时求得椭圆的方程.（2）设出P 点坐标，代入椭圆方程，得到P 点两个坐标的关系式.求得圆P 的方程和圆1F 的方程，两者作差求得公共弦所在直线方程，求得圆心到公共弦的距离，由此求得弦长MN 为定值. 【详解】解：（1）依题意四边形1122F B F B 的面积为2,22,bc bc ∴=因为长轴122A A a ==≥=当且仅当1b c ==时取“=”此时a =故长轴12A A 的最小值为E 的方程为22 1.2x y +=（2）设点()00,P x y 为椭圆E 上任意一点，则222200001122x x y y +=⇒=-. 圆P 的方程为：()()22220000x x y y x y -+-=+ 2200220x y x x y y ⇒+--=，圆1F 的方程为：()2213x y ++=⇒ 22220x y x ++-=，两式作差得公共弦方程为：()00110x x y y ++-=，所以弦心距d ====则弦长2MN ==，所以圆1F 和动圆P 的公共弦长为定值2. 【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查基本不等式，考查圆与圆相交所得弦长的求法，考查化归与转化的数学思想方法，运算量较大，属于中档题. 21．已知函数2()ln 2a f x x x x x =--()a R ∈．（1）若曲线()y f x =在e x =处切线的斜率为1-，求此切线方程；（2）若()f x 有两个极值点12,x x ，求a 的取值范围，并证明：1212x x x x >+．【答案】（1）0x y +=；（2）10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,证明见解析.【解析】（1）()y f x =在x e =处切线的斜率为1-，即()'1f e =-，得出2a e=，计算f(e)，即可出结论（2）①()f x 有两个极值点12,x x ，得()'ln f x x ax =-=0有两个不同的根，即ln xa x= 有两个不同的根，令()ln xg x x=，利用导数求其范围，则实数a 的范围可求； ()f x 有两个极值点12,x x ，1122ln x -ax =0ln x -ax =0⎧⎨⎩利用()g x 在(e,+∞)递减，()122122ln x +x ln x x +x x <a =()1212ln x x x +x =，即可证明【详解】（1）∵()'ln f x x ax =-，∴()'1f e =-，解得2a e=， ∴，故切点为，所以曲线在处的切线方程为．（2）()'ln f x x ax =-，令()'ln f x x ax =-=0，得ln xa x=．令()ln x g x x=，则()21ln 'xg x x -=，且当时，；当时，；时，．令，得，且当时，；当时，．故在递增，在递减，所以．所以当时，有一个极值点；时，有两个极值点；当时，没有极值点．综上，的取值范围是．（方法不同，酌情给分）因为是的两个极值点，所以1122ln x -ax =0ln x -ax =0⎧⎨⎩即1122ln x =ax ln x =ax ⎧⎨⎩…① 不妨设，则，，因为在递减，且，所以()122122ln x +x ln x x +x x <，即()1212ln x +x x +x a <…②．由①可得()()1212ln x x x +x a =，即()1212ln x x x +x a =，由①，②得()()12121212ln x +x ln x x x +x x +x <，所以1212x x x +x >．【点睛】本题主要考察导数在切线，极值方向的应用，主要理清导数的几何意义，导数和极值之间的关系进行转化，在做题的过程中，适当选取参变分离有时候能简化分类讨论的必要。

2020届江西省抚州市临川第二中学高三上学期第一次月考数学(理)试题(解析版)

2020届江西省抚州市临川第二中学高三上学期第一次月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2230,A x x x =+-≤{}2B xx =<，则A B =IA ．{}31x x -≤≤B ．{}01x x ≤≤ C ．{}31x x -≤< D ．{}10x x -≤≤【答案】B【解析】先化简集合A,B ，再求得解.【详解】{}{}31,04A x x B x x =-≤≤=≤<,所以A B =I {}01x x ≤≤. 故选B 【点睛】本题主要考查集合的化简和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 2．设复数z ＝213ii-+，则|z |＝（） A ．13B ．23C ．12D ．22【答案】D【解析】先用复数的除法运算将复数z 化简，然后用模长公式求z 模长. 【详解】解：z ＝213i i -+＝(2)(13)(13)(13)i i i i --+-＝1710i --＝﹣110﹣710i ,则|z |22171010⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭501001222. 故选：D . 【点睛】3．在等差数列{a n }中，若a 3＝5，S 4＝24，则a 9＝（） A ．﹣5 B ．﹣7 C ．﹣9 D ．﹣11【答案】B【解析】由a 3＝5，S 4＝24用通项公式和前n 项和公式列出关于1a ,d 的方程，得到{}n a 的通项公式，从而求出答案. 【详解】数列{a n }为等差数列，设首项为a 1，公差为d ， ∵a 3＝5，S 4＝24， ∴a 1+2d ＝5，4a 1+432⨯d ＝24，联立解得a 1＝9，d ＝﹣2，则a 9＝9﹣2×8＝﹣7．故选：B . 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式的应用，属于基础题.4．已知幂函数()f x ＝x α的图象经过点（3，5），且a ＝（1e）α，b c ＝log α14，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．c ＜a ＜b B ．a ＜c ＜bC ．a ＜b ＜cD ．c ＜b ＜a【答案】A【解析】先由条件求出幂函数f （x ）＝x α中的α的值，再结合指数、对数函数的单调性比较,,a b c 的大小即可. 【详解】解：∵幂函数f （x ）＝x α的图象经过点（3，5）， ∴3α＝5，∴α＝log 35∈（1，2），∴0＜a ＝1ae ⎛⎫ ⎪⎝⎭＜1，b 1，c ＝log α14＜log α1＝0， ∴c ＜a ＜b ．故选：A.本题主要考查应用指数函数、对数函数的单调性比较大小,属于基础题.5．为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复．若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（）A ．该市总有 15000 户低收入家庭B ．在该市从业人员中，低收入家庭共有1800户C ．在该市无业人员中，低收入家庭有4350户D ．在该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有 800 户【答案】D【解析】根据给出的统计图表，对选项进行逐一判断，即可得到正确答案. 【详解】解：由题意知，该市老年低收入家庭共有900户，所占比例为6%，则该市总有低收入家庭900÷6%＝15000（户），A 正确，该市从业人员中，低收入家庭共有15000×12%＝1800（户），B 正确，该市无业人员中，低收入家庭有15000×29%%＝4350（户），C 正确，该市大于18 岁在读学生中，低收入家庭有15000×4%＝600（户），D 错误．故选：D . 【点睛】本题主要考查对统计图表的认识和分析，这类题要认真分析图表的内容，读懂图表反映出的信息是解题的关键,属于基础题.6．平面内不共线的三点O ，A ，B ，满足OA u u u r ＝1，OB u u u r＝2，点C 为线段AB 的中点，若OC u u u r3AOB ＝（）A ．3π B ．2π C ．23π D ．56π 【答案】C【解析】点C 为线段AB 的中点,在OAB V 中，则OA OBOC +=u u u r u u u r u u u r , 将两边平方结合向量数积的定义得到答案. 【详解】解：点C 为线段AB 的中点,在OAB V 中，则2OA OBOC +=u u u r u u u r u u u r ,两边平方得： 22224OA OA OB OB OC +⋅+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , 由OA u u u r ＝1，OB u u u r ＝2，OC u u u r 3OA u u u r ，OB uuu r 的夹角为AOB ∠即31+4+212cos =44AOB ⨯⨯⨯∠，解得：1cos 2AOB ∠=-.又,[0]AOB π∠∈，，所以2=3AOB π∠. 故选：C ．【点睛】本题考查向量的数量积的定义及运算，本题还可以用余弦定理求解,属于中档题.7．8122y x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中x 2y 2项的系数是（） A ．420 B ．﹣420C ．1680D ．﹣1680【答案】A【解析】由题意根据乘方的意义，组合数的计算公式，求得展开式中x 2y 2项的系数. 【详解】解：8122y x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭表示8个因式1+22y x -的乘积，要得到展开式中含x 2y 2的项，则故其中有2个因式取2x ，有2个因式取﹣y 2，其余的4个因式都取1，可得含x 2y 2的项．故展开式中x 2y 2项的系数是28C •22•26C •212⎛⎫- ⎪⎝⎭•44C ＝420，本题主要考查乘方的意义，组合数的计算公式，属于基础题.8．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为（）A ．1003B ．1043C ．27D ．18【答案】B【解析】由题得几何体为正四棱台，再利用棱台的体积公式求解. 【详解】由题意几何体原图为正四棱台，底面的边长分别为2和6，高为2，所以几何体体积1104(436436)233V =++⨯⨯=. 故选B 【点睛】本题主要考查三视图还原几何体原图，考查棱台体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 9．函数2|sin |2()61x f x x=-+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】用偶函数的图象关于y 轴对称排除C ,用()0f π<排除B ,用()42f π>排除D .因为22|sin()||sin|22()66()1()1x xf x f xx x--=-=-=+-+,所以函数()f x为偶函数,图象关于y轴对称,故可以排除C;因为2|sin|242()61111fπππππ=-=-++11101122<-=-=+,故排除B,因为2|sin|22()2()621()2fππππ=-=+426164ππ-+42616444>-+46662425=->-=-=由图象知,排除D.故选:A【点睛】本题考查了根据函数的性质,辨析函数的图像,排除法,属于中档题.10．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗⋯⋯，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为()()()2222224,1111x yA x y x y x yx⎧⎫⎧+≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪=+-≤++≥⎨⎨⎬⎪⎪⎪≤⎪⎪⎪⎩⎩⎭或，设点(,)∈x y A，则2z x y=+的取值范围是()A．[25-5] B．[25-25]C．[5-25] D．[4-，25]【答案】C【解析】结合图形，平移直线2z x y=+，当直线与阴影部分在上方相切时取得最大值．如图，作直线20x y +=，当直线上移与圆22(1)1y x +-=相切时，2z x y =+取最大值，此时，圆心(0,1)到直线2z x y =+的距离等于1，即15=，解得z 的最大值为：25+，当下移与圆224x y +=相切时，2x y +取最小值，同理25=，即z 的最小值为：25-，所以[25,25]z ∈-+．故选：C ．【点睛】本题考查线性规划的数据应用，考查转化思想以及计算能力；考查分析问题解决问题的能力．11．关于函数()f x ＝|cosx |+cos |2x |有下列四个结论：①()f x 是偶函数；②π是()f x 的最小正周期；③()f x 在[34π，54π]上单调递增；④()f x 的值域为[﹣2，2]．上述结论中，正确的个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】由二倍角的余弦公式和余弦函数的性质，化简()f x ，由()()f x f x =-，可判断①；可令|cos |t x =，可得2()21g t t t =+-，由函数的周期性可判断②；由|cos |y x =的单调性，结合复合函数的单调性可判断③；由二次函数的单调性可判断④．【详解】解：f （x ）＝|cosx |+cos |2x |＝|cosx |+2cos 2|x |﹣1，由cos |x |＝cosx ，可得()f x ＝|cosx |+2cos 2x ﹣1＝2|cosx |2+|cosx |﹣1，由(-)f x ＝22|cos()||cos()|1()x x f x -+--=，则()f x 为偶函数，故①正确；可令t ＝|cosx |，可得2g()21t t t =+-，由y ＝|cosx |的最小正周期π，可得()f x 的最小正周期为π，故②正确；由y ＝cosx 在[﹣2π，0]递增，在[0，2π]递减，可得f （x ）在[34π，π]递增，在[π，54π]递减，故③错误；由t ∈[0，1]，219g()2()48t t =+-，可得g()t 在[0，1]递增，则g()t 的值域为[﹣1，2]，故④错误．故选：B ．【点睛】本题考查余弦函数的图象和性质，考查函数的周期性和奇偶性、值域的求法，考查化简变形能力和运算能力，属于中档题．12．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是02，接下来的两项是02，12，再接下来的三项是02，12，22，依此类推，若该数列前n 项和N 满足：①80N >②N 是2的整数次幂，则满足条件的最小的n 为A ．21B ．91C ．95D ．10【答案】C【解析】构造数列{}m b ()m N *∈，使得：012b =，0122+2b =，01232+2+2b =，...，01212+2+2...2m m b -=++，求出数列{}m b 的前m 项和，根据题意可表示出原数列n 与m 的关系，以及原数列前n 和与数列{}m b 的前m 项和的关系，讨论出满足条件的n 的最小值即可。

2020届江西省临川二中、临川二中实验学校高三上学期第三次月考数学(理)试题(解析版)

2020届江西省临川二中、临川二中实验学校高三上学期第三次月考数学（理）试题一、单选题1．已知i 为虚数单位,复数z 满足：()z 12i i +=-，则在复平面上复数z 对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】先求出z 并化简，从而确定复数z 对应的点的坐标为13(,)22-，进而判断其位于第四象限. 【详解】因为2(2)(1)131312222i i i i z i i ----====-+，所以复平面上复数z 对应的点为13(,)22-，位于第四象限，故选D . 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何意义，属于基础题. 2．已知全集，集合，,那么集合（） A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】解析：因或，故，所以，应选答案D 。

3．已知向量(2,1),(,1)a b m ==-，且()a a b ⊥-，则m 的值为（） A ．1 B ．3C ．1或3D ．4【答案】B【解析】先求出a b -，再利用向量垂直的坐标表示得到关于m 的方程，从而求出m . 【详解】因为(2,1),(,1)a b m ==-，所以(2,2)a b m -=-，因为()a a b ⊥-，则()2(2)20a a b m ⋅-=-+=，解得3m = 所以答案选B. 【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标运算，以及向量垂直的坐标表示，属于基础题. 4．下列判断正确的是（） A ．“若sin cos ,x x =则4x π=”的逆否命题为真命题B ．0x ∀>，总有1sin x e x >+C ．二次函数2()1f x x ax =-+在R 上恒大于0的充要条件是2a <D ．已知扇形的弧长为1，半径为1，则该扇形的面积为1 【答案】B【解析】根据逆否命题同真假，构造函数求导，二次函数判别式，弧长公式即可逐项判断【详解】对A, 若sin cos ,x x =则,4x k k Z ππ=+∈,故原命题为假命题，则逆否命题为假命题，错误；对B, 设()()()'sin 10,cos 0xx f x e x x fx e x =-->∴=->，则()sin 1,x f x e x =--单调递增，则()()sin 101x f x e x f =-->=，正确；对C, 二次函数2()1f x x ax =-+在R 上恒大于0的充要条件是2=4022a a ∆-<∴-<< ,错误对D, 已知扇形的弧长为1，半径为1，则该扇形的圆心角为1，则面积为12，错误故选B 【点睛】本题以命题的真假关系的判断为载体，主要考查了充分必要条件的判断，逆否命题及利用导数证明不等式等知识的综合应用，属于中档题． 5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-，则67a a +=（）A ．4-B ．4C ．1-D ．8【答案】A【解析】可设等差数列{a n }的公差为d ，从而据题意得出a 1＝9，利用前n 项和求出d 即可求解【详解】设等差数列{a n }的公差为d ，9553954249595S S a ad -=-∴-==-解得d ＝-2； ∴671211a a a d +=+=4- 故选A ．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，是基本题型．6．已知锐角α的终边与单位圆221x y +=交于点01(,)3P x ，则2sin α=（） A．9B．9-C．9D ．49【答案】C【解析】根据三角函数的定义，求出相应的三角函数值，利用二倍角的正弦公式，即可求出sin2α的值；【详解】锐角α的终边上点P 的纵坐标为13则sin 1α3=，cos α3=，则sin2α＝2sinαcosα=9故选C 【点睛】本题主要考查三角函数的定义及二倍角公式，考查学生的计算能力．7．若,x y 满足30230x y x y y m +-≤⎧⎪--≥⎨⎪≥⎩，，，且2z x y =+的最小值为1，则实数m 的值为（）A ．5-B ．1-C ．1D ．5【答案】B【解析】首先画出满足条件的平面区域，然后根据目标函数2z x y =+取最小值找出最优解，把最优解点代入目标函数即可求出m 的值。

江西省抚州市临川第二中学2020届高三数学上学期第一次月考试题文

江西省抚州市临川第二中学2020届高三数学上学期第一次月考试题文第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A.B.C. D.2.已知集合，，则A. B. C. D.3.下列函数中，即是单调函数又是奇函数的是（）A ．3log y x =B ．3xy = C ．12y x = D ．13y x =4.如图，某组合体的主视图、侧视图均是正方形及其中位线，俯视图为正方形及其对角线，则此几何体的体积为A. 8B.C. 4D. 65.已知，其中为三角形内角，则( )A.B.C.D.6.将y =2cos (63π+x )的图象通过平移变换，得到一个奇函数的图像，则这个变换可以是( ).A ．左移3π个单位B ．右移3π个单位C ．左移π个单位D ．右移π个单位 7.若直线与直线平行，则A. B. C. 或2 D.或8.已知中心在原点的双曲线渐近线方程为，左焦点为，则双曲线的方程为( )A.B.C.D.9.设函数f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧><-0,log 0),(log 221x x x x 若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0，1)B ．(－∞，－1)∪(1，+∞)C ．(－1，0)∪(0，1)D ．(－1，0)∪(1，+∞)10.在半径为2的圆内随机取一点M ，则过点M 的所有弦的长度都大于2的概率为( )A.B.C.D.11.半径为2的球的内接三棱锥，，，则三棱锥的高为A.B.C. D. 312.若函数只有一个极值点，则k 的取值范围为A.B.C.D.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．右面程序框图中，已知0()xf x xe =，则输出的结果是 .14．设,x y 满足约束条件220,840,0,0,x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩若目标函数,(0,0)z abx y a b =+>>的最大值为8，则a b +的最小值为 .15.的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，则______ 16.已知向量，的夹角为，，且对于任意的，都有，则______三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

2020届江西省抚州市临川区第二中学高三七月月考数学(理)试题(word版)

2020届江西省抚州市临川区第二中学高三七月月考数学（理）试题第I 卷选择题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 复数Z 满足i Z i 4)1(-=+，则Z =（）A. 2+2iB. 1+2iC. 1-2iD. 2-2i2. 已知集合{}50|<<=x x M ，{}6|<<=x m x N ，若{}n x x N M <<=⋂3|，则n m +等于（）A. 9B. 8C. 7D. 6 3. 命题0001lg ),,0(x x x n=+∞∈∃的否定是（） A ．x x x 1lg ),,0(=+∞∉∀ B ．x x x 1lg ),,0(≠+∞∈∀ C ．0001lg ),,0(x x x ≠+∞∈∃ D ．0001lg ),,0(x x x =+∞∉∃ 4. 若1479a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，1597b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，27log 9c =，则（）A ．b a c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a << 5. 已知命题1,0:+>>∀x e x p x，命题x x x q ≥+∞∈∃ln ),,0(:，则下列命题正确的是（）A. q p ∧B. q p ∧⌝）（C. ）（q p ⌝∧D. ）（）（q p ⌝∧⌝ 6. 已知)(x f 是定义在[]b b -1,2上的偶函数，且在[]0,2b 上为增函数，则)2()1(x f x f ≤-的解集为（）A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,1 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,1 C. []1,1- D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,317. 函数xex x f 2)(2-=的图象大致是（）A.B.C. D.8. 对于函数)(x f y =部分x 与y 的对应关系如下表：数列{}n x 满足：11=x ，且对于任意*N n ∈点),(1+n n x x 都在函数)(x f y =图象上，则=+⋅⋅⋅++921x x x （）A ．31B ．30C ．45D ．46 9. 已知)(x f '为)(x f 的导函数，若2ln)(x x f =且⎰-+'=b b a f dx x b 13121)(21则b a +的最小值为（）A ．24B ．22C ．29D ．2229+ 10. 已知函数⎩⎨⎧>≤++-=-3,23,13)2()(2x a x a x a x f x ，）且（10≠>a a ，若)(x f 有最小值，则实数a 的取值范围（）A. ⎥⎦⎤ ⎝⎛65,0B. ⎥⎦⎤ ⎝⎛45,1C. ⎥⎦⎤ ⎝⎛65,0⎥⎦⎤ ⎝⎛⋃45,1D.()1,0⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⋃,4511. 设x x f ln )(=，若函数ax x f x g -=)()(在区间(]3,0上有三个零点，则实数a 的取值范围是（） A ．)1,0(eB ．),33ln (e C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛33ln ,0 D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡e 1,33ln 12. 定义：如果函数)(x f 在[]b a ,上存在)(,2121b x x a x x <<<满足ab a f b f x f --=')()()(1，ab a f b f x f --=')()()(2，则称函数)(x f 是[]b a ,上的“双中值函数”.已知函数a x x x f +-=23)(是[]a ，0上的“双中值函数”，则实数a 的取值范围（）A. ⎪⎭⎫⎝⎛21,31 B. ⎪⎭⎫⎝⎛3,23 C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛1,31 第II 卷非选择题二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上． 13. 函数)23(log 22x x y --=的定义域为． 14. 已知函数22,0()log ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，则3(())2f f -= ．15. 定义在R 上的函数)2()(x f x f -=及)()-(x f x f -=且在[]1,0上有2)(x x f =，则)212019(f = ．16. 若x xx x f x f 2log 23)1(3)(-+=+，对),0(+∞∈x 恒成立，且存在[]4,20∈x ，使得m x f >)(0成立，则m 的取值范围为．三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知集合{}{}131,052-≤≤+=<-=m x m x B x x x A （1）当2=m 时，求)(B A C U ⋂；（2）如果A B A =U ，求实数m 的取值范围.18. 已知函数)33(2)(,2)(2≤≤-+==x ax x x g x f x（1）若)(x g 在[]3,3-上是单调函数，求a 的取值范围；（2）当1-=a 时，函数[])(x g f y =的值域.19. 如图在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，E ，F 分别为A 1C 1,BC 的中点，AB=BC=2,C 1F ⊥AB （1）求证：平面AB E ⊥平面B 1BCC 1；（2）若直线C 1F 和平面ACC 1A 1所成角的正弦值等于1010，求二面角A-BE-C 的平面角的正弦值.20. 已知函数)(1ln )(R a x axx x f ∈+-= （1）讨论)(x f 的单调性（2）若函数)(x f 有两个极值点21,x x ，证明2)()()2(2121x f x f x x f +<+21．顺次连接椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的四个顶点恰好构成了一个边长为3且面积为22的菱形.（1）求椭圆C 的方程；（2）A,B 是椭圆C 上的两个不同点，若直线OA ，OB 的斜率之积为21-（O 为坐标原点），线段OA 上有一点M 满足32=OAOM ，连接BM 并延长交椭圆C 于N ，求BNBM 的值.（二）选考题：共10分。

2020届江西省抚州市临川第二中学高三上学期第一次月考数学(文)试题(解析版)

2020届江西省抚州市临川第二中学高三上学期第一次月考数学（文）试题一、单选题 1．22ii +-＝（） A ．3455i + B ．3455i -- C ．413i --D ．413i +【答案】B【解析】根据复数的乘法运算法则计算即可. 【详解】解：()()(2)2234342(2)2555i i i i i i i i +⋅+++===----⋅+-. 故答案选：B. 【点睛】本题考查复数的乘法运算，属于基础题.2．已知集合{}2|4A x x =≤，{|12}B x x =≤≤，则A C B =()A ．{|2}x x ≤-B ．{2,1,0}--C ．{|21}x x -≤<D ．{|02}x x <<【答案】C【解析】先求出集合A ，然后根据补集的定义求出A C B . 【详解】解：{}{}2|4|22A x x x x =≤=-≤≤，所以{}|21A C B x x =-≤<，故答案为：C. 【点睛】本题考查集合补集的运算，属于基础题.3．下列函数中，既是单调函数又是奇函数的是（） A ．3log y x = B ．3xy =C ．12y x =D ．13y x =【答案】D【解析】根据对数函数的图象知y =log 3x 是非奇非偶函数；||3x y =是偶函数；12y x =是非奇非偶函数；y =x 3是奇函数，且在定义域R 上是奇函数，所以D正确。

本题选择D 选项.4．如图，某组合体的主视图、侧视图均是正方形及其中位线，俯视图为正方形及其对角线，则此几何体的体积为()A ．8B ．83C ．4D ．6【答案】D【解析】由三视图还原几何体，该几何体为组合体，是两个直三棱柱，直三棱柱的底面为等腰直角三角形，直角边长为2，高分别为1和2，再由棱柱体积公式求解．【详解】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，是两个直三棱柱，直三棱柱的底面为等腰直角三角形，直角边长为2，高分别为1和2，则此几何体的体积为V ＝122(12)62⨯⨯⨯+=．故选：D ．【点睛】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原几何体，是中档题．5．已知tan 2α=-，其中α为三角形内角，则cos α=（） A．5-BCD．【答案】A【解析】由tan 2α=-，可得sin 2cos αα=-，再结合22sin cos 1αα+=，联立方程可以求解cos α. 【详解】解：因为tan 2α=-，所以sin 2cos αα=-，又因为22sin cos 1αα+=，所以解得：sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因为α为三角形内角，所以sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 故答案为:A. 【点睛】本题考查同角三角函数基本关系，同时考查了学生的计算能力，属于基础题. 6．将的图象通过平移变换，得到一个奇函数的图像，则这个变换可以是( ).A ．左移个单位B ．右移个单位C ．左移个单位D ．右移个单位【答案】C【解析】分析：将函数的对称中心平移至原点即可得函数为奇函数. 详解：由，令.解得.即对称中心为.只需将左移个单位可得一个奇函数的图像，故选C.点睛：本题主要考查了三角函数的中心对称性和函数的左右平移，属于中档题，难度不大.7．若直线2y x =与直线()210a a x y a --++=平行，则a =（）A ．1a =-B ．2a =C ．1a =-或2D ．1a =或2-【答案】B【解析】因为两直线平行，所以斜率相等，从而求出a 的取值，再根据取值情况，检验是否重合. 【详解】解：因为直线2y x =与直线()210a a x y a --++=平行，所以22a a -=，解得：2a =或1a =-，检验：当1a =-时，两直线重合，不成立，所以2a =.故答案为：B. 【点睛】本题考查直线平行的条件，解题的关键是检验重合的情况，属于基础题. 8．已知中心在原点的双曲线渐近线方程为43y x =±，左焦点为（-10，0），则双曲线的方程为()A ．221916x y -=B ．2213664x y -=C ．221169x y -= D ．2216436x y -=【答案】B【解析】根据题意，分析双曲线的焦点在x 轴上，又可知c ＝10，渐近线方程为43y x =±，所以可得b a ＝43，进而可求得a 、b 的值，从而求出结果. 【详解】解：根据题意，要求双曲线的焦点为（﹣10，0），则其焦点在x 轴上，且c ＝10，设双曲线的方程为22x a﹣22y b ＝1，则有a 2+b 2＝c 2＝100，又由双曲线渐近线方程为y ＝±43x ，则有b a ＝43，解可得：a ＝6，b ＝8，则要求双曲线的方程为：236x ﹣264y ＝1；故选：B ．【点睛】本题考查由双曲线渐近线方程求双曲线方程，属于基础题．9．设函数若f(a)＞f(－a)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0，1)B ．(－∞，－1)∪(1，+∞)C ．(－1，0)∪(0，1)D ．(－1，0)∪(1，+∞) 【答案】D【解析】分析：由分段函数的表达式知，需要对a 的正负进行分类讨论．详解：由题意或⇒或 ⇒或.故选D.点睛：本题主要考查的是解分段函数不等式，做此类题根据变量的不同取值范围进行讨论，代入相应的解析式求解.10．在半径为2的圆内随机取一点M ，则过点M 的所有弦的长度都大于2的概率为()A ．34B ．4C ．14D ．44【答案】A【解析】由勾股定理及几何概型中的面积型可得：点M 在以O 为半径的圆的内部，所以过点M 的所有弦的长度都大于2的概率为：222ππ⋅＝34，得解．【详解】解：如图，要使过点M 的所有弦都大于2，|OM所以点M 在以O所以过点M 的所有弦的长度都大于2的概率为：222ππ⋅＝34，故选：A ．【点睛】本题考查了几何概型中的面积型，属中档题．11．半径为2的球的内接三棱锥,P ABC PA PB PC AB AC BC -=====，则三棱锥的高为()A ．B ．2C ．D ．3【答案】D【解析】在三棱锥P ﹣ABC 中，过点p 作PM ⊥平面ABC 的垂足为M ，则球心O 在PM 所在直线上，在三角形PBO 中利用余弦定理可得∠BPM ，然后求出∠PBM ＝60°，进一步算出PM ．【详解】解：三棱锥P ﹣ABC 中，P A ＝PB ＝PC ＝AB ＝AC ＝BC ，如图，过点p 作PM ⊥平面ABC 的垂足为M ，则球O 的内接三棱锥P ﹣ABC 的球心O 在PM 所在直线上， ∵球O 的半径为2，∴OB ＝OP ＝2，∴由余弦定理得cos ∠BPM ＝222PB OP OB 2PB OP +-⋅∴∠BPM ＝30°，∴在Rt △PMB 中，∠PBM ＝60°，∴PM ＝PB sin ∠PBM ＝3．故选：D ．【点睛】本题考查了球的内接三棱锥问题，考查了空间想象能力与逻辑思维能力，属基础题．12．若函数321()(3)3x f x e x kx kx =--+只有一个极值点，则k 的取值范围为()A ．(,)e -∞B ．(0,]eC ．(,2)-∞D ．(0,2]【答案】B【解析】利用函数求导函数 f ′（x ）＝e x （x ﹣2）﹣kx 2+2kx ＝（x ﹣2）（e x ﹣kx ），只有一个极值点时f ′（x ）＝0只有一个实数解，有e x ﹣kx ≥0，设新函数设u （x ）＝e x，v （x ）＝kx ，等价转化数形结合法即可得出结论，【详解】解：函数f （x ）＝e x（x ﹣3）﹣13kx 3+kx 2只有一个极值点， f ′（x ）＝e x （x ﹣2）﹣kx 2+2kx ＝（x ﹣2）（e x﹣kx ），若函数f （x ）＝e x（x ﹣3）﹣13kx 3+kx 2只有一个极值点，f ′（x ）＝0只有一个实数解，则：e x﹣kx ≥0，从而得到：e x≥kx ，当k ＝0 时，成立．当k ≠0时，设u （x ）＝e x，v （x ）＝kx如图：当两函数相切时，k＝e，此时得到k的最大值，但k＜0时不成立．故k的取值范围为：（0，e]综上：k的取值范围为：[0，e]故选：B．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值点、考查了不等式问题的等价转化方法，数形结合法，考查了推理能力，属于中档题．二、填空题13．下面程序框图中，已知0()xf x xe，则输出的结果是____________.【答案】2014e【解析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的是什么．【详解】解：模拟程序框图的运行过程，如下；输入f0（x）＝x•e x，i＝0，i＝1，f1（x）＝f'（x）＝（1+x）e x；i≤2012，是，i＝2，f2（x）＝1f'（x）＝（2+x）e x；i≤2012，是，i＝3，f3（x）＝2f'（x）＝（3+x）e x；…；i≤2012，是，i＝2011，f2011（x）＝2010f'（x）＝（2011+x）e x；i≤2012，是，i＝2012，f2012（x）＝2011f'（x）＝（2012+x）e x；i≤2012，是，i＝2013，f2013（x）＝2012f'（x）＝（2013+x）e x；i≤2012，否，x=1，输出f2013（x）＝2014e.故选：2014e.【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，通过归纳得出该程序运行后输出的结论，是基础题．14．设,x y满足约束条件2208400,0x yx yx y-+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()0,0z abx y a b=+>>的最大值为8，则+a b的最小值为________.【答案】4【解析】【详解】画出可行域（如图），因为，，所以，平移直线=0，经过点A（1，4）时，取得最大值,由=8得，=4，由均值定理得a+b =4.【考点】单线性规划的应用，均值定理的应用.15．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(2)cos cos 0a c B b A ++=，则B =______ 【答案】23π 【解析】直接利用正弦定理进行边角的互换，然后利用三角函数辅助角公式化简，可求出B 的值．【详解】解：（1）已知（a +2c ）cos B +b cos A ＝0．则：（sin A +2sin C ）cos B +sin B cos A ＝0，整理得：sin A cos B +cos A sin B +2sin C cos B ＝0，即：sin C +2sin C cos B ＝0，因为C 为三角形的内角，所以sin C ≠0，解得：cos B ＝﹣12，由于：0＜B ＜π，所以：B ＝23π．【点睛】本题考查正弦定理的应用，三角函数关系式的恒等变换，属于基础题. 16．已知向量,a b 的夹角为,||24b π=，且对于任意的x ∈R ，都有||||b xa b a +≥-，则||a =_____【解析】对|b +x a |≥|b ﹣a |两边同时平方，然后化简为关于|a |的不等式，根据条件进一步得到|a |．【详解】解：∵向量a ，b 的夹角为4π，|b |＝2，|b +x a |≥|b ﹣a |， ∴2||b xa +≥2||b a -，∴22222||22||0a x a x a a ++-…，由于其对任意的x ∈R 都成立，∴△＝()2228|a |4|a |22|a ||a |0--…，∴|a|2=．．【点睛】本题考查了平面向量的数量积及其运算，考查了计算能，属基础题．三、解答题17．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，a 1=2，1a ，2a ，4a 成等比数列。

江西省抚州市临川区第二中学2020届高三数学七月月考试题文

江西省抚州市临川区第二中学2020届高三数学七月月考试题文第I 卷选择题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{|1}M x x =≥，1{|21}x N x -=<，则M N =（）A ．{|1}x x ≤-B ．{|1}x x ≤C ．{|11}x x -≤≤D ．{|1}x x <2. 设i 为虚数单位，若复数z 满足2(1)1i z i-=+，则z =（）A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i -- 3. 在等差数列{}n a 中，21=a ，1053=+a a ，则7a =( )A ．5B ．8C ．10D ．14 4. 命题0001lg ),,0(x x x n=+∞∈∃的否定是（） A ．x x x 1lg ),,0(=+∞∉∀ B ．x x x 1lg ),,0(≠+∞∈∀ C ．0001lg ),,0(x x x ≠+∞∈∃ D ．0001lg ),,0(x x x =+∞∉∃ 5. 若1479a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，1597b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，27log 9c =，则（）A ．b a c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a << 6. 已知)(x f 是定义在[]b b -1,2上的偶函数，且在[]0,2b 上为增函数，则)2()1(x f x f ≤-的解集为（）A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,1 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,1 C. []1,1- D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,317. 设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时3()log (1)f x x =+，则[(8)]f f -= （）A.2-B.1-C.1D.2 8. 已知a ，b ，c ，d 都是常数，d c b a >>,.若))((2019)(b x a x x f --+=的零点为c ，d ，则下列不等式正确的是（）A. b d c a >>>B. b c d a >>>C. b a d c >>>D.d b a c >>>9. 已知函数2()(1)x f x e x =-+（e 为自然对数的底），则()f x 的大致图象是（）A B C D10. 已知函数⎩⎨⎧>≤++-=-3,23,13)2()(2x a x a x a x f x ，）且（10≠>a a ，若)(x f 有最小值，则实数a 的取值范围（）A. ⎥⎦⎤ ⎝⎛65,0 B. ⎥⎦⎤ ⎝⎛45,1 C. ⎥⎦⎤ ⎝⎛65,0⎥⎦⎤ ⎝⎛⋃45,1 D.()1,0⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⋃,4511. 已知函数)(x f 的导函数)(x f '满足)()()ln (x f x f x x x <'+对⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈,1e x 恒成立，则下列不等式中一定成立的是（）A. )()1(2e f f >B. )()1(2e f f e > C. )()1(2e f f < D.)()1(e f ef <12. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤->-+-+=0,120,3211)2()(2x a x a x a x x f x）且（1,0≠>a a在R 上单调递增，且函数)(x f y =与2+=x y 的图象恰有两个不同的交点，则实数a 的取值范围为（）A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,25 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,37C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋃⎭⎬⎫⎩⎨⎧4,2537D.⎥⎦⎤ ⎝⎛⋃⎭⎬⎫⎩⎨⎧4,2537第II 卷非选择题二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．13．若点(2,4)P 在幂函数()y f x =的图象上，则(3)f = .14．已知25≥x ，则4254)(2-+-=x x x x f 的最小值为 .15．若x xx x f x f 2log 23)1(3)(-+=+对),0(+∞∈x 恒成立，且存在[]4,20∈x ，使得m x f >)(0成立，则实数m 的取值范围为 .16．定义：如果函数)(x f 在[]b a ,上存在)(,2121b x x a x x <<<满足a b a f b f x f --=')()()(1，ab a f b f x f --=')()()(2，则称函数)(x f 是[]b a ,上的“双中值函数”.已知函数a x x x f +-=23)(是[]a ，0上的“双中值函数”，则实数a 的取值范围 .三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知0>a 且1≠a ，设:p 函数)3(log +=x y a 在），（∞+0上是减少的，:q 函数 1)32(2+-+=x a x y 的图像与x 轴交于不同的两点，如果p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围.18．已知函数)33(2)(,2)(2≤≤-+==x ax x x g x f x（1）若)(x g 在[]3,3-上是单调函数，求a 的取值范围；（2）当1-=a 时，函数[])(x g f y =的值域.19．如图，在四棱锥P ABCD ‐中，底面ABCD 为平行四边形，2,1,60,AB AD DAB PD BD ==∠==o ，且PD ABCD ⊥平面.（1）证明：PBC PBD ⊥平面平面；（2）若Q 为PC 的中点，求三棱锥D PBQ ‐的体积.20．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>过点(2,0)，且其中一个焦点的坐标为()1,0.（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线l ：1()x my m R =+∈与椭圆交于两点,A B ，在x 轴上是否存在点M ，使得MA MB ⋅为定值？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知函数1ln )(+-=x x a x f （其中R a ∈）（1）讨论函数)(x f 的极值；（2）对任意)1(21)(,02-≤>a x f x 恒成立，求实数a 的取值范围．（二）选考题：共10分。

江西省临川第二中学2020-2021学年高一下学期第一次月考文科数学试题 Word版含答案

临川二中2020-2021学年度下学期第一次月考高一文科数学试卷满分：150分时间：120分钟本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内，每小题5分，共60分）.1．的值是（）A ．21-B ．21C ．23-D ．232. 已知数列2，5，22，11，…，则24是这个数列中的第（）项.A. 6B. 7 C ．9 D ．113. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若43-=n n a S 则=2a （）A. 4B.3 C ．2 D ．14. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12+=n S n ，则下列结论正确的是（）A.n a =21n -B.n a =21n +C.n a = 2 (=1)2 1 (>1)n n n ⎧⎨-⎩D.n a = 2 (=1)2 1 (>1)n n n ⎧⎨+⎩5. 在锐角ABC ∆中，角B A 、所对的边分别为,b a 、若b B a 2sin 2=，则角A 等于( ) A.6πB.4π C.3π D.4π或π43 6. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若a a 101100+=，且C B A ,,三点共线（该直线不过原点O )，则200S ＝（）A. 100B. 101 C ．200 D ．201 7．数列{}n a 满足,1,311nn n a a a a -==+则（） A ．21B. 3C ．21-D ．32 8．在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别是,c b a 、、若,cos cos sin CcB b A a ==则ABC ∆的形状是（）A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．直角非等腰三角形D ．等腰非直角三角形=2020a9. 数列{}n a 为等差数列, 其前n 项和n S 有最小值，且187-<a a ，则满足0<n S 的最大正整数n 的值为（） A ．11 B ．12 C ．13 D ．1410. 庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以,,,,A B C D E 为顶点的多边形为正五边形，且51PT AP -=，则（） A ．353522CT CA CE --=+ B ．515122CT CA CE --=+ C ．515122CT CA CE --=+ D ．355142CT CA CE --=+ 11．已知点,,A B C 是函数π2sin(),03y x ωω=+>的图象和)6sin(2πω-=x y ,0>ω图象的连续三个交点，若ABC ∆是锐角三角形，则ω的取值范围为（）A ．π(,)2+∞B ．π(,)4+∞C ．π(0,)2D ． π(0,)412. 在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别是,c b a 、、是的中点，，则的面积最大值为（）A ．233 B ．33 C ．239 D ．36第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应位上）. 13. 若等比数列{}n a 满足2031=+a a ，4042=+a a ，则公比q = 14. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足π2515=S ，则8tan a 的值是15. 北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为106米（如下图所示），则旗杆的高度为米 16. 下面有5个命题：D BC①在ABC ∆中，若,sin sin B A >则B A >； ②若满足条件a BC AB C ==︒=,3,60的ABC ∆有两个，则32<<a ；③若cos cos a Ab B ，则ABC ∆为等腰三角形；④若O 为ABC ∆的外心， 221()2AO BC b c ⋅=-； ⑤若等比数列{}n a 中2a 和10a 是方程016152=++x x 的两根，则,22522108422=++a a a a 且.46±=a其中正确的命题序号有 (把你认为正确的命题序号填在横线上).三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. （本题满分10分）（1）在等差数列{}n a 中，若7532019,2017a a a ，求==;（2）已知{}n a 为递增的等比数列，5,2423=+=a a a ，求{}n a 的通项公式.18. （本小题满分12分）在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别是,c b a 、、（1）求角A 的大小；（2）如果36cos =B ，2cos cos =+A c C a ，求ABC ∆的面积.19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 前n 项和为22n n nS +=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 中有连续的三项是三角形ABC ∆的三边，且最大角是最小角的2倍，试bc a c b -=+222求这三角形ABC ∆的三边长.20.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别是,c b a 、、且41=a ，2sin 5sin 2B Cb a B +=．（1）求sin A ；（2）如图，M 为边AC 上一点，且2MC MB =，2ABM π∠=，求b 的值．21.（本小题满分12分）抚州高新产业园一经济作物示范园的平面图如图，半圆O 的直径2AB =，点C 在AB 的延长线上，1BC =，点P 为半圆上异于,A B 两点的一个动点，以点P 为直角顶点作等腰直角，且点D 与圆心O 分布在PC 的两侧，设PAC θ∠=. （1）把线段,PA PC 的长表示为θ的函数；（2）现要在APC △和内分别种植甲､乙两种经济作物. 这两种作物单位面积的收益比为4:3，求θ为何值时，收益最大？22. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为122,3,111-+==++n n n n a a a S )(+∈N n .(1)证明数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n n a 21为等差数列,并由此求出通项公式n a ；(2)若数列{}n b 满足1211--=-n n n a b ，记14332211111+++++=n n n b b b b b b b b T ,求满足40412020>n T 成立最小自然数n 的值.注：已知等差数列{}n a 的公差0≠d ，0≠n a ，则)11(1111++-=n n n n a a d a a临川二中2020-2021学年度下学期第一次月考高一文科数学参考答案1-5.DDBCB 6-10.ABBDA 11-12.AC 13.2 14.15.30 16.①④17.（1）由1220172019235=-=-=a a d ……………2分 2021257=+=∴d a a …………5分（2）23=a 5)1(2)1(342=+=+=+∴q qq q a a a ……………7分又1>q 2=∴q ……………8分2333222---=⋅==∴n n n n q a a ……………10分18.解：（1）因为bc a c b -=+222，所以212cos 222-=-+=bc a c b A ，………………3分又因为()π,0∈A ，所以32π=A ………………………………………………5分（2）因为36cos =B ，()π,0∈B ，所以33cos 1sin 2=-=B B …………6分由射影定理知:2cos cos =+=C a A c b …………7分由正弦定理B b A a sin sin =，得3sin sin ==BAb a ……………………………………8分因为bc a c b -=+222，所以0522=-+c c ……………………………………9分解得61±-=c ，因为0>c ，所以16-=c ……………………………………10分故△ABC 的面积2323sin 21-==A bc S …………………………………………12分19.（1）因为22n n n S +=，故当2n ≥时，()()21112n n n S --+-=，……………2分两式相减得()2n a n n =≥，……………3分又由题设可得2111112a S +===，……………4分从而{}n a 的通项公式为：n a n =；……………5分（2）设ABC ∆三边c b a ,,依次为1,,1+-m m m （3≥m ）……………6分由题设知：A C 2=，A A A C cos sin 22sin sin ==,……………7分bca cb ac A 22cos 222-+==∴……………8分代入数据得：)1(2)1()1()1(21222+--++=-+m m m m m m m ，……………10分解得：5=m ……………11分所以三边为6,5,4……………12分20.（1）∵2sin sin 2B Cb B +=，∴2sinsin 2Ab B π-=，利用正弦定理边化角，∴2sin cossin 2AB A B =，…………2分∵(0,)B π∈，∴sin 0B ≠，∴2cos25sin cos 222A A A=，…………3分又(0,)22A π∈，∴cos 02A≠， ∴5sin 2A =，∴25cos 2A =， (4)分∴4sin 2sincos 225A A A ==．…………6分（2）由（1）可得：4cos cos sin 25BMC A A π⎛⎫∠=+=-=- ⎪⎝⎭， ∴3sin 5BMC ∠=，…………7分在BMC △中，2222cos BC MB MC MB MC BMC =+-⋅⋅∠即2224414142255MB MB MB MB MB ⎛⎫=+-⋅⋅-= ⎪⎝⎭，…………8分∴5MB =，………10分∵4sin 5A =，AM AM MB A 554sin ===∴455=∴AM …………11分 45132=+=+=∴MB AM MC AM b …………12分 21.（1）依题设易知APB △为以APB ∠为直角的直角三角形，又已知，2,AB PAB θ=∠=，所以2cos PA θ=.…………1分在PAC △中3,AC PAC θ=∠=，由余弦定理得，2222222cos 4cos 912cos 98cos PC PA AC PA AC θθθθ=+-⋅=+-=-.…………3分所以298cos PC θ=-，…………4分定义域为π02θθ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.………5分（2）113sin 2cos 3sin sin 2222APCSAP AC θθθθ=⋅⋅=⋅⋅⋅=……6分 22115(98cos )2cos 2222PCDSPC θθ==-=-…………7分设甲､乙单位面积的收益分别为4k ，3k ，总收益为y 那么15156sin 26cos 262sin(2)242k ky k k k πθθθ=-+=-+(02πθ<<)…………10分所以，当38πθ=时，总收益最大.…………12分 22.（1）由12211-+=++n n n a a 可得.1212111=---++n n n n a a …………………………4分故1-=λ时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧+nn a 2λ成等差数列，且首项为1211=-a ，公差为1=d . （注：由前3项列方程求出1-=λ后，没有证明的扣1分）n a nn =-∴21即12+⋅=nn n a . …………………………………5分（2）由（1）知：12-=n b n ………6分 )121121(21)12)(12(111+--=+-=+k k k k b b k k ………8分∴ 14332211111+++++=n n n b b b b b b b b T)1211215131311(21+--++-+-=n n ………9分)1211(21+-=n ………10分40412020)1211(21>+-∴n2020>∴n ………11分2021min =∴n ………12分。

2020届江西省临川二中、临川二中实验学校高三上学期期中考试数学(文)试题(PDF版)

三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17—21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。
17．（本小题满分 12 分）已知等差数列an 的前 n 项和为 Sn ，若 S2 4, S5 25
A．1
B． 2
C．2
D．4
9．某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生，现从中任选 2 名学生去参加活动，则恰好选中 2 名女生的概率为（）
A． 1
B． 1
10
5
10．函数 y x cos x 的大致图象是(
C． 3 10
)
D． 2 5
A．
B．
C．
D．
9．在△ABC 中， A5, 0 ， B 5, 0 ，点 C 在双曲线 x2 y2 1上，则 sinA sinB （）

t 1

2t
（
t
为参数）．若直线 l 与圆 C 相交于 M ， N 两点，圆 C 的圆心为 C ，求△MNC 的面积．
23．（本小题满分 10 分）[选修 4-5；不等式选讲]
已知函数 f (x) | x 1| m | x 2 | (m R) .
（1）当 m 3 时，求不等式（f x） 1 的解集；
…………10 分
1 3

SASD
h

3 24
，解得 h=
21 7
所以 B 到平面 SAD 的距离为 21 7
…………12 分
20.解（1）当 a 1 时， f (x) 1 cos x ，………..1 分
2
2
由

2020届江西省抚州市临川二中2017级高三上学期第一次月考数学(理)参考答案

则由
PC

n
=
0
，得

3x − 3z = 0 ，
PA n = 0 −3y − 3z = 0
令 z = 1，则 x = 3 ， y = −1，
则 n = ( 3, −1,1) 为平面 PAC 的一个法向量，
故 cos n, DP = 3 = 5 ， 53 5
故二面角 P − AC − D 的平面角的余弦值为 5 ． 5
临川二中 2020 届高三第一次月考
数学（理科）参考答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．
题号பைடு நூலகம்1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
答案 B D B A D C A B A C B C
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13． 1 2
14． 06
15． 4 3 3
16． 9 2
三、解答题：本大题共 6 个题，共 70 分． 17．
18．解：（Ⅰ）因为 AC = 3BC ， AB = 2BC ，所以 AB2 = ( 3BC)2 + BC2 = 4BC2 ，所以 ABC 是直角三角形， AC ⊥ BC ；在 RtABC 中，由 AC = 3BC ， CAB = 30 ，不妨设 BD =1，由 AD = 3BD 得， AD = 3 ， BC = 2 ， AC = 2 3 ，在 ACD 中，由余弦定理得 CD2 = AD2 + AC2 − 2AD AC cos 30 = 3 ，故 CD = 3 ，所以 CD2 + AD2 = AC2 ，所以 CD ⊥ AD ；因为 PD ⊥ 平面 ABC ， CD 平面 ABC ，所以 PD ⊥ CD ，又 PD AD = D ，所以 CD ⊥ 平面 PAB ，又 CD 平面 PCD ，所以平面 PAB ⊥ 平面 PCD ．

江西省临川第二中学2024学年高三第四次统测数学试题试卷

江西省临川第二中学2024学年高三第四次统测数学试题试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则a 的最小值是（）A ．0B ．2-C ．52-D ．3-2．已知,a R b R ∈∈，则“直线210ax y +-=与直线(1)210a x ay +-+=垂直”是“3a =”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点M 满足2B M M C =，则AB AM ⋅等于（） A ．10B ．9C ．8D ．74．已知向量(1,4)a =，(2,)b m =-，若||||a b a b +=-，则m =（） A ．12-B ．12C ．-8D ．85．已知向量(1,2)a =，(4,1)b λ=-，且a b ⊥，则λ=（） A ．12B ．14C ．1D ．26．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（） A ．B ．C ．D ．7．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中错误的是（） A ．若m //α，α//β，则m //β或m β⊂B ．若m //n ，m //α，n α⊄，则n //αC ．若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥D ．若m n ⊥，m α⊥，则n //α8．五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为（）A ．12B ．13C ．14D ．159．我国古代数学名著《九章算术》有一问题：“今有鳖臑(biē naò)，下广五尺，无袤；上袤四尺，无广；高七尺.问积几何？”该几何体的三视图如图所示，则此几何体外接球的表面积为( )A ．90π平方尺B ．180π平方尺C ．360π平方尺D ．13510π平方尺10．已知下列命题：①“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”；②已知,p q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题； ③“2019a >”是“2020a >”的充分不必要条件； ④“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题为真命题. 其中真命题的序号为（） A ．③④B ．①②C ．①③D ．②④11．集合{2,0,1,9}的真子集的个数是（） A ．13B ．14C ．15D ．1612．如图，四边形ABCD 为平行四边形，E 为AB 中点，F 为CD 的三等分点（靠近D ）若AF x AC yDE =+，则y x -的值为（）A ．12-B ．23-C ．13-D ．1-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届江西省临川二中、临川二中实验学校高三上学期期中考试数学试题(理)(解析版)

江西省临川二中、临川二中实验学校2020届高三上学期期中考试数学试题（理）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1.设集合{}|3,xA y y x ==∈R ，{}|B x y x ==∈R ，则A B =（）A. ∅B. ()0,1C. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦『答案』D 『解析』集合{|3x A y y ==，}{|0}x y y ∈=>R ，{|B x y ==1}{|}2x x x∈=R ， 11|00,22AB x x ⎧⎫⎛⎤∴=<≤=⎨⎬ ⎥⎩⎭⎝⎦．故选：D ．2.在复平面内，复数21iz i=+所对应的点位于（） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限『答案』A 『解析』22(1)11(1)(1)i i i z i i i i -===+++-， ∴复数z 所对应的点的坐标为()1,1，位于第一象限．故选：A ．3.已知函数()1,0sin ,0x f x x x π>=≤⎪⎩，则49f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（）A.12B. 12-C.2D. 『答案』D『解析』函数1,0()sin ,0x f x x x π>=⎪⎩，41193f ⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭，41sin sin 9333f f f ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故选：D ．4.下列函数中，既是奇函数又在定义域内递增的是（） A. 3()f x x x =+ B. ()31x f x =- C. 1()f x x=-D. 3()log f x x =『答案』A『解析』对于选项A ，()()f x f x =--恒成立，且'2()310f x x =+>，即函数()f x 为奇函数且为增函数，对于选项B ，()()f x f x ≠--，则函数()f x 不为奇函数，对于选项C ，'21()0f x x=>，函数()f x 的增区间为()(),0,0,-∞+∞，函数在()(),00,-∞⋃+∞不为增函数，对于选项D ，()()f x f x ≠--，则函数()f x 不为奇函数，故选A. 5.已知4cos 5θ=且322πθπ<<，则sin tan θθ+=（） A. 2720-B.2720C. 320-D.320『答案』A 『解析』由4cos 5θ=且322πθπ<<，得3sin 5θ=-，sin 3tan cos 4θθθ∴==-． 3327sin tan 5420θθ∴+=--=-．故选：A ．6.某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．(注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程)在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 A. 6升 B. 8升 C. 10升D. 12升『答案』C『解析』因为第二次加满油箱，加了60升，所以从第一次加油到第二次加油共用油60升，行驶600公里（等于6千米），所以在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为60106=升，所以选C. 7.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c .命题甲：A C B +=，且a c +=，命题乙：ABC ∆是等腰直角三角形，且B 为直角.则命题甲是命题乙的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件『答案』C『解析』由A C B +=，180A B C ++=︒，得90B ∠=︒，222a c b +=，又a c +=，平方得22222a c ac b ++=，222a c ac ∴+=即a c =，ABC ∆∴是等腰直角三角形，即命题甲是命题乙的充要条件．故选：C ．8.设函数()()f x x R ∈满足()(),(2)()f x f x f x f x -=+=，则()y f x =的图像可能是A. B.C. D.『答案』B『解析』根据题意，确定函数()y f x =的性质，再判断哪一个图像具有这些性质．由()()f x f x -=得()y f x =是偶函数，所以函数()y f x =的图象关于y 轴对称，可知B ，D 符合；由(2)()f x f x +=得()y f x =是周期为2的周期函数，选项D 的图像的最小正周期是4，不符合，选项B 的图像的最小正周期是2，符合，故选B ． 9.已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，且()1tan 3αβ+=，则tan β的值为（）A. -7B. 7C. 1D. -1『答案』B 『解析』因为()cos 2cos 2παπα⎛⎫-=+⎪⎝⎭，所以sin 2cos αα=-，即tan 2α，又()1tan 3αβ+=，则tan tan 11tan tan 3αβαβ+=-，解得tan β= 7，故选B.10.已知6log 2a =，0.6log 0.2b =，0.20.6c =，则（） A. a c b <<B. a b c <<C. b c a <<D. c a b <<『答案』A『解析』因为666log 1log 2log <<61log 20,2a ⎛⎫∴=∈ ⎪⎝⎭，0.60.6log 0.2log 0.61b =>=，0.2100.60.60.6<<0.20.6,135c ⎛⎫∴=∈ ⎪⎝⎭．a cb ∴<<．故选：A ．11.已知函数()()03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图像向左平移2πω个单位长度，得到()g x的图像，()g x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为4ωπ个单位长度，则函数()g x 图像的一个对称中心为（） A. ,06π⎛⎫-⎪⎝⎭B. ,03π⎛⎫⎪⎝⎭C. ,03π⎛-⎫⎪⎝⎭D. 2,03π⎛⎫-⎪⎝⎭『答案』C『解析』由已知，函数()()03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则()326g x x x ωππωωπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以函数()g x 的最小正周期为2πω，则224πωπω=⨯，解得2ω=，所以()26g x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，令2()62x k k Z πππ+=+∈，解得()26k x k Z ππ=+∈，所以函数()g x 图象的对称中心为,0()26k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭．显然当1k =-时，()g x 图象的一个对称中心为,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选：C ． 12.对于函数()ln xf x x=，下列结论中正确结论的个数为（） ①()f x 在x e =处取得极大值1e；②()f x 有两个不同的零点； ③()()()23ff f π<<；④若()1f x k x<-在()0,∞+上恒成立，则1k >；⑤0x ∀>，()2ln f x x x e<+恒成立. A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个『答案』B『解析』21(),(0)lnxf x x x -'=>，令()0f x '=，得x e =，当0x e <<时，()0f x '>；当x e >时，()0f x '<，()f x ∴的增区间是(0,)e ，减区间是(,)e +∞， ∴当x e =时，()f x 有极大值f （e ）1e=．所以①正确． 0x →时，()f x →-∞；x →+∞时，()0f x →，()f x ∴只有一个零点．所以②错误．由上知()f x 减区间是(,)e +∞，()()3()4f f f π∴>>，又()()42f f =，()()2()3f f f π∴<<．所以③错误．若1()f x k x<-在(0,)+∞上恒成立，则1lnx k x x >+，令1()lnx G x x x=+， 2()lnxG x x -'=，可得(0,1)x ∈时，()0G x '>，(1,)x ∈+∞时，()0G x '<，()()11max G x G ∴==，1k ∴>．所以④正确．令22()()lnx g x f x xlnx xlnx e x e=--=-- (0)x >， 222211()1(0)lnx lnx x lnx x g x lnx x x x ----'=--=>，令22()1(0)h x lnx x lnx x x =--->，22123()132133()320x x x h x x x x x++++'=---=-=-<， ()h x ∴在(0,)+∞ 单调递减，又()10h =，∴在(0,1)x ∈时，()0h x >，()0g x '>，()g x 递增，在(1,)x ∈+∞时，()0h x <，()0g x '<，()g x 递减，当1x =时，()2()10max g x g e ==-<．0x ∴∀>，()0<g x ，0x ∴∀>，2()f x xlnx e<+恒成立．所以⑤正确．∴正确结论为①④⑤．故选：B ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13.若()12053a x dx -=⎰，则a =______. 『答案』2『解析』若1205()3a x dx -=⎰，则31015|33ax x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1533a -=，所以2a =．故『答案』为：2．14.已知向量()2,3a =，()1,b m =-，且()a ab ⊥+，则实数m 的值为______.『答案』113- 『解析』向量()2,3a =，()1,b m =-，∴(1,3)a b m +=+．()a ab ⊥+，∴()23(3)0a a b m =+++=，解得113m =-，故『答案』为：113-． 15.若曲线()()21x f x ax e -=-在点()()22f ,处的切线过点()3,3，则实数a 的值为______.『答案』1『解析』由2()(1)x f x ax e -=-，得22()(1)x x f x ae ax e --'=+-，∴()22131f a a a '=+-=-，又()221f a =-，∴曲线2()(1)x f x ax e -=-在点()()22f ,处的切线方程为21(31)(2)y a a x -+=--，代入(3,3)，得4231a a -=-，解得1a =．故『答案』为：1．16.ABC ∆中，角,,A B C的对边分别为,,,2a b c c a =+，当C ∠最大时，22ABCS a b ∆=+__________．『答案』320+『解析』22222231cosC 228444a b a b c a b ab ab b a +-+-⎝⎭===⨯+⨯-≥,当且仅当a 3b =，取等号，∴∠C 的最大值为75°，此时sinC=4,，∴22222211absinC 2342ABC b S a b a b b ∆⨯===++⎫+⎪⎝⎭. 故『答案』为320+ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每道试题考试必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.） 17.已知函数()sin cos 6f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，若()12f B =，且5a =，8c =，求b 的值.解：（1）由于1()sin()cos cos cos 62f x x x x x x π=+-+-1cos sin()26x x x π=-=-， ()sin 6f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭令22262k x k πππππ--+，k Z ∈，可得：22233k xk ππππ-++，k Z ∈，可得()f x 的单调递增区间为22,2,33ππk πk πk Z ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦．（2）1()2f B =， ∴可得1sin()62B π-=，(0,)B π∈，5,666B πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 66B ππ∴-=，可得3B π=，5a =，8c =，∴由余弦定理可得7b ==． 18.已知如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，四边形11ABB A 是边长为4的正方形，3AC =，AB AC ⊥，1A C 与1AC 相交于点D .（1）在1AB 上作一点E ，使得//DE 面ABC ，并证明；（2）求直线1B D 与平面BDE 所成角的正弦值.解：（1）连结1A B ，交1AB 于E ，连结DE ，则1AE EB =，E 是1A B 的中点，1A C 与1AC 相交于点D ．D ∴是1A C 中点，//DE BC ∴．AB ⊂平面ABC ，DE ⊂/平面ABC ， //DE ∴面ABC ．（2）以A 为原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系， ()3,0,0C ， ()0,4,0B ， ()10,0,4A ， 3,2,02D ⎛⎫⎪⎝⎭， ()0,2,2E ， ()10,4,4B ，13,2,42B D ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，3,2,02BD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()0,2,2BE =-，设面BDE 的法向量为(),,n x y z =，则3·202·220n BD x y n BE y z ⎧=-=⎪⎨⎪=-+=⎩，取4x =，得(4,3,3)n =， ()()1342343122B D n ∴=⨯+-⨯+-⨯=，243n =+2132B D ⎛⎫== 11112cos ,1513B D n B D n B D n-∴<>==．∴直线1B D 与平面BDE ．19.已知数列{}n a 满足11a =，223a =，()111122,n n n n n a a n n N a a a -++-++=≥∈. （1）证明数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n a 的前n 项和为n T ，112b =，()142,n n n b a a n n N -+=≥∈，求证1n T <. 解：（1）数列{}n a 满足11a =，223a =，11112n n n n n a a a a a -+-++=．整理得11211n n n a a a +-=+，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，211112d a a =-=，所以1111(1)222n n n a =+-=+ 整理得21n a n =+．（2）由于112b =，14n n n b a a -=，所以41144(1)1n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，当2n 时，111n b n n =-+，故当1n =时，112n T =<；当2n 时，11111111122311n T n n n =-+-+⋯+-=-<++．因此1n T <．20.过点()0,2P 的直线l 与抛物线C ：24x y =交于A 、B 两点，以A 、B 两点为切点分别作抛物线C 的切线1l 、2l ，且1l 与2l 相交于点()00,Q x y . （1）求0y 的值；（2）设过点P 、Q 的直线交抛物线C 于M 、N 两点，求四边形AMBN 面积的最小值.解：（1）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，且2114x y =，2224x y =，由24x y =的导数为12y x '=，可得在A 处的切线方程为1111()2y y x x x -=-，①即为211124x y x x =-，同理可得在B 处的切线方程为222124x y x x =-，②由①②可得1202x x x +=，1204x xy =，设直线:2l y kx =+，联立抛物线方程24x y =，可得2480x kx --=，则124x x k +=，128x x =-，可得(2,2)Q k -，即02y =-；（2）由（1）可得2222121212||||1()411632AB x x k x x x x k k =-=++-=++222k =+，③，由(0,2)P ，(2,2)Q k -，可得2:2MN y x k=-+，将③中的k 换为2k -可得2424||k MN +=，设AB 与MN 的夹角为θ，可得22tan 21k k k k k kθ+==+-，由sin tan cos θθθ=，22sin cos 1θθ+=，可得2sin θ=，故四边形AMBN 的面积222221(2)4||||sin 8248242k S AB MNk k k θ⎛⎫+⎫===++⨯= ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭当且仅当k =“=”．则四边形AMBN 面积的最小值为21.已知函数()()ln 1xf x ae x a R =++∈.（1）讨论()f x 零点的个数；（2）若()ln 1f x x x =++有两个解()1212,x x x x <，且121nx x n +>+恒成立，求正整数n 的最大值.解：（1）()10x f x ae lnx =++=， 1(0)xlnx a x e +∴-=> 设1()x lnx g x e +=，11()xlnx x g x e --'=，由11y lnx x =--，210x y x+'=-<，又()10y =，所以(0,1)x ∈，()0g x '>，()g x 递增，(1,)x ∈+∞，()0g x '<，()g x 递减，1()(1)max g x g e==，且当x →+∞，()0>g x ，故：当1a e <-时，()f x 零点的个数为0；当1a e =-时，()f x 零点的个数为1；当10a e-<<时，()f x 零点的个数为2；当0a 时，()f x 零点的个数为1．（2）()1f x x lnx =++，得x xa e=，()1f x x lnx =++有两个解1x 、2x ，相当于y a =与()xxh x e =有两个交点的横坐标1x 、2x ，12x x < 首先证明当1n =时，122x x +>成立，由于()(1)x h x e x -'=-，(0,1)x ∈，()h x 递增，(1,)x ∈+∞，()h x 递减，且x →+∞，()0h x >，所以()h x 的最大值为()11h e=，易知10a e<<，要证122x x +>，即证212x x >-，因为1201x x <<<，101x <<，所以121x ->，因为(1,)x ∈+∞，()h x 递减，只需21()(2)h x h x <-，又12()()a h x h x ==，即证11()(2)h x h x <-，只需(0,1)x ∈，()(2)h x h x <-成立，设22()()(2)x x x xF x h x h x e e--=--=-，2()(1)(3)0x x F x e x e x --'=--->，所以()F x 在(0,1)x ∈上单调递增，又()10F =，所以()0F x <，即()(2)h x h x <-成立，所以122x x +>成立，当2n 时，121nx x n +>+不恒成立，下证2n =时，上式不恒成立；因为1212x x x x e e =，所以2121(1)x x x e t t x -==>，则2211x x x ln x -=，则11lntx t =-，21tlnt x t =-， 122211lnt tlnt x x t t +=+--，设(2)()(1)1lnx x m x x x +=>-，2213()(1)x lnx x m x x +--'=-，213y x lnx x =+--，2223(1)(2)1x x y x x x --'=+-= 故在(1,2)x ∈，()m x 递减，(2,)x ∈+∞，()h x 递增， ()m x 最小值为()2423m ln =<，故不恒成立．综上，1max n =．22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为11x t y =+⎧⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）求直线l普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点()1,1M -，若直线l 与曲线C 相交于P 、Q 两点，求MP MQ ⋅的值.解：（1）直线l 的参数方程为1(1x t t y =+⎧⎪⎨=-⎪⎩为参数），整理得直线l的普通方程为1y -，曲线C 的极坐标方程为)4πρθ=+．cos cos sin sin 44ππρθθ⎫∴=-⎪⎭4cos 4sin ρθθ∴=-24cos 4sin ρρθρθ∴=-整理得曲线C 的直角坐标方程为22440x x y y -++=．（2）把直线l的参数方程为1(1x t t y =+⎧⎪⎨=-⎪⎩为参数），转换为112(1x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数），代入圆的直角坐标方程22440x x y y -++=．整理得211)60(t t t +-=和2t 为P 、Q 对应的参数），所以126t t =-由圆幂定理得12||||||6MP MQ t t ==．23.已知函数()5f x x =-，()523g x x =--.的（1）解不等式()()f x g x <；（2）若存在x ∈R 使不等式()()2f x g x a -≤成立，求实数a 的取值范围. 解：（1）原不等式即5235x x -+-<，∴55235x x x ≥⎧⎨-+-<⎩或3525235x x x ⎧≤<⎪⎨⎪-+-<⎩或325325x x x ⎧<⎪⎨⎪-+-<⎩，所以x 无解或332x ≤<或312x <<，即13x <<∴原不等式的解集为()1,3.（2）若存在x ∈R 使不等式()()2f x g x a -≤成立，则()()2f x g x -的最小值小于或等于a .()()225523f xg x x x -=--+-()2102352102352x x x x =-+--≥----=.当且仅当3,52x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时取等号，∴()()2f x g x -的最小值为2.∴2a ≥.,。

江西省临川二中、临川二中实验学校2020届高三上学期第三次月考数学试题(理)

江西省临川二中、临川二中实验学校2020届高三上学期第三次月考数学试题（理）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

）20.（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，焦点分别为12F F ，，点P 是椭圆C 上的点，12PF F ∆面积的最大值是2．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点D 是椭圆C 上的点，O 是坐标原点，若OM ON OD +=，判定四边形OMDN 的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由.21.（12分）设函数211()ln (1)1()22f x x x ax a x a a R =+-+++∈,()()g x f x '= (1) 若1a =-，求函数()g x 的单调区间；(2) 若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.(请考生在22、23两题中选一题作答.如果多做，则按所做第一个题目计分)22．（10分）『选修4 - 4：坐标系与参数方程』在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为32x t y t=--⎧⎨=+⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,点P 的极坐标54π⎛⎫ ⎪⎝⎭，曲线C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若Q 为曲线C 上的动点,求PQ 中点M 到直线l 的距离最小值．23.（10分）『选修4 - 5：不等式选讲』已知函数()126f x x x =-+-(1)求不等式(1)3f x +≤的解集；(2)若函数()f x 的最小值为c ,且22+m n c =，求m+3n 的取值范围.——★ 参*考*答*案 ★——一．选择题1-12 DDBBA CABBD CC二、填空题14.92π 15.1124 16.72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 三、解答题17.(1)21n n a =- （2）1(23)26n n T n +=-- 18.（1）()sin(2)6f x x π=+ 2T ππω== 函数的增区间为[,]36k k k Z ππππ-+∈（2）a =19.（1）略（2）cos θ=20（1）22142x y +=（2）OMDN S =21.解：（1）函数g(x)的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）（2）a ∈（-2，-1）∪（-1，0）22. 解：（1）l :x +y +1=0 C:（x -1）2+（y+1）2=1（2）min 2d = 23. 解：（1）不等式的解集为72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）3m n ⎡+∈-⎣。