线面面面平行的判定(习题)
线面平行、面面平行的判定及性质练习
直线与平面、平面与平面平行的判定及其性质练习一、选择题：1．下列命题中为真命题的是（）A．平行于同一条直线的两个平面平行B．垂直于同一条直线的两个平面平行C．若—个平面内至少有三个不共线的点到另—个平面的距离相等，则这两个平面平行．D．若三直线a、b、c两两平行，则在过直线a的平面中，有且只有—个平面与b，c均平行． 2．平面α∥平面β，直线aα，P∈β，则过点P的直线中（）A．不存在与α平行的直线 B．不一定存在与α平行的直线C．有且只有—条直线与a平行 D．有无数条与a平行的直线3．下列命题中，正确的是个数是( )①若两个不同平面不相交，那么它们平行。
②空间的两个相等的角所在的平面也平行。
③若一个平面内无数条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行A．0个 B．1个 C．2个 D．3个4．若夹在两个平面间的三条平行线段相等，则这两个平面位置关系是( )A.平行 B．相交 C．相交或平行 D．以上答案都不对∈，那么过点P且平行于α的直线（）5.已知直线a∥平面α，PαA.只有一条，不在平面α内 B．有无数条，不一定在α内C．只有一条，且在平面α内 D．有无数条，一定在α内6．若夹在两个平面间的三条平行线段相等，则这两个平面位置关系是 ( )A．平行 B．相交 C．相交或平行 D．以上答案都不对 7．下列结论中正确的是 ( )①α∥β，β∥γ，则α∥γ；②过平面外一条直线有且只有一个平面与已知平面平行；③平面外的两条平行线中，如果有一条和平面平行，那么另一条也和这个平面平行；④如果一条直线与两个平行平面中一个相交，那么它与另一个必相交。
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④8．a，b是两条异面直线，A是不在a，b上的点，则下列结论成立的是（）A．过A且平行于a和b的平面可能不存在B．过A有且只有一个平面平行于a和bC ．过A 至少有一个平面平行于a 和bD ．过A 有无数个平面平行于a 和b 9.下列四个命题中，正确的是（ ）①夹在两条平行线间的平行线段相等；②夹在两条平行线间的相等线段平行； ③如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的平行线段相等； ④如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的相等线段平行 A ．①③B ．①②C ．②③D ．③④10．a ，b 是两条异面直线，A 是不在a ，b 上的点，则下列结论成立的是 A ．过A 有且只有一个平面平行于a ，b B ．过A 至少有一个平面平行于a ，b C ．过A 有无数个平面平行于a ，bD ．过A 且平行a ，b 的平面可能不存在 二、填空题：11．一条直线和一个平面平行，过此直线和这个平面平行的平面有________个。
线面、面面平行的判定及其性质
线面、面面平行的判定及其性质(1)1. 下列命题中，正确命题的是 .①若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α;②若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行；③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；④若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点.2. 下列条件中，不能判断两个平面平行的是 （填序号）.①一个平面内的一条直线平行于另一个平面 ②一个平面内的两条直线平行于另一个平面③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 ④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面3. 对于平面α和共面的直线m 、n ，下列命题中假命题是 （填序号）.①若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α ②若m ∥α，n ∥α，则m ∥n③若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n ④若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n4. 已知直线a ,b ,平面α，则以下三个命题：其中真命题的个数是 .①若a ∥b ,b ⊂α,则a ∥α;②若a ∥b ,a ∥α,则b ∥α;③若a ∥α,b ∥α,则a ∥b .5. 能保证直线a 与平面α平行的条件是（ ）A.b a b a //，，αα⊂⊄B.b a b //，α⊂C.c a b a c b //////，，，αα⊂D.b D b C a B a A b ∈∈∈∈⊂，，，，α且BDAC =6. 如果直线a 平行于平面α,则A.平面α内有且只有一直线与a 平行B.平面α内无数条直线与a 平行C.平面α内不存在与a 平行的直线D.平面α内的任意直线与直线a 都平行7. 如果两直线a ∥b ,且a ∥平面α,则b 与α的位置关系A.相交B.α//bC.α⊂b D .α//b 或α⊂b8. 下列命题正确的个数是（1）若直线l 上有无数个点不在平面α内,则l ∥α（2）若直线l 与平面α平行,则l 与平面α内的任意一直线平行（3）两条平行线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行（4）若一直线a 和平面α内一直线b 平行,则a ∥αA .0个 B.1个 C.2个 D.3个9. 已知两条相交直线a 、b ，a ∥平面α，则b 与α的位置关系 （ ）A.b ∥αB.b 与α相交C.b ⊂α D .b ∥α或b 与α相交(一).三角形中位线 （或转化成面面平行） 平面平行的性质6.如图所示,在三棱柱ABC —111A B C 中,D 点为棱AB 的 中点. 求证:1AC ∥平面1CDB .(二).平行四边形的性质，平行线的传递性10.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是BC、CC1、C1D1、A1A的中点.求证：（1）BF∥HD1；（2）EG∥平面BB1D1D；（3）平面BDF∥平面B1D1H.(三).平行四边形的性质11.如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，M、N分别是BC和A1B1的中点.求证：MN∥平面AA1C1.(四).平行线分线段成比例12.如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，且B1E=C1F.求证：EF∥平面ABCD.(五).面面平行的判定13.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？(六).直线与平面平行的性质定理14.如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形.（1）求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH.线面、面面平行的判定及其性质（2）1．下列条件中,能判断两个平面平行的是( )A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面2．E，F，G分别是四面体ABCD的棱BC，CD，DA的中点，则此四面体中与过E，F，G的截面平行的棱的条数是（） A．0 B．1 C．2 D．31A 3． 直线,a b c ，及平面αβ，，使//a b 成立的条件是（ ）A ．//,a b αα⊂B ．//,//a b ααC ．//,//a c b cD ．//,a b ααβ=4．若直线m 不平行于平面α，且m ⊄α，则下列结论成立的是（ ）A ．α内的所有直线与m 异面B ．α内不存在与m 平行的直线C ．α内存在唯一的直线与m 平行D ．α内的直线与m 都相交5．下列命题中，假命题的个数是（ ）① 一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面内的任何直线不相交；② 过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行；③ 过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；④ 平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行；⑤ a 和b 异面，则经过b 存在唯一一个平面与a 平行A ．4B ．3C ．2D ．16．在四面体ABCD 中，M ，N 分别是面△ACD ，△BCD 的重心，则四面体四个面中与MN 平行的是_______.7.如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长是2，侧棱长是3，D 是AC 的中点.求证：//1C B 平面BD A 1.。
(完整版)线线、线面、面面平行练习题(含答案)
直线、平面平行的判断及其性质测试题A一、选择题1．以下条件中 ,能判断两个平面平行的是 ( )A ．一个平面内的一条直线平行于另一个平面 ;B ．一个平面内的两条直线平行于另一个平面C ．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D ．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面2． E ，F ， G 分别是四周体 ABCD 的棱 BC ， CD ， DA 的中点，则此四周体中与过E ，F ，G 的截面平行的棱的条数是A ．0B ．1C ． 2D ． 3 3． 直线 a ， b, c 及平面，，使 a // b 建立的条件是（）A ． a // , bB ． a // , b //C ． a // c ,b // cD ． a // , Ib4．若直线 m 不平行于平面，且 m ，则以下结论建立的是（）A ． 内的全部直线与 m 异面B ． 内不存在与 m 平行的直线C ． 内存在独一的直线与m 平行D ．内的直线与 m 都订交5．以下命题中，假命题的个数是（ ）① 一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面内的任何直线不订交；② 过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行； ③ 过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；④平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行；⑤a 和 b异面，则经过 b 存在独一一个平面与平行A ． 4B ． 3C ． 2D ． 16．已知空间四边形 ABCD中， M, N 分别是 AB,CD 的中点，则以下判断正确的选项是（ ）A ．MN1 AC BD B ． MN 1 AC BD22C ．MN1 AC BDD．MN1ACBD22二、填空题7．在四周体 ABCD 中， M ， N 分别是面 △ ACD ，△ BCD 的重心，则 四周体的四个面中与 MN 平行的是 ________.8．以以下图所示，四个正方体中， A ，B 为正方体的两个极点，M ，N ，P分别为其所在棱的中点，能获得 AB// 面 MNP 的图形的序号的是①② ③ ④9．正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 中，E 为 DD 1 中点，则 BD 1 和平面 ACE 地点关系是 ．三、解答题10.如图，正三棱柱 ABCA 1B 1C 1 的底面边长是 2，侧棱长是3，D 是 AC 的中点 .求证： B 1C // 平面 A 1 BD .C 1A 1B 1CDAB11.如图，在平行六面体 ABCD -A B C D中， E ，M ，N ，G 分别是 AA ， CD ， CB ，1 11 11CC 的中点，求证：（ 1）MN//B D1；（ 2）AC //平面 EB D 1；（3）平面 EB D //平面11111 1BDG .1B一、选择题1．，β是两个不重合的平面，a，b 是两条不一样直线，在以下条件下，可判断∥β的是（）A ．，β都平行于直线a， bB ．内有三个不共线点到β的距离相等C． a， b 是内两条直线，且a∥ β， b∥ βD ． a， b 是两条异面直线且a∥，b∥，a∥ β，b∥β2．两条直线a， b 知足 a∥ b， b，则a与平面的关系是（）A ． a∥B． a 与订交C． a 与不订交D． a3．设a, b表示直线，,表示平面，P是空间一点，下边命题中正确的选项是（）A ．a，则a //B． a // ， b，则 a // bC ．// , a, b，则 a // bD ．P a, P, a // , // ，则 a4．一条直线若同时平行于两个订交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的地点关系是（）A. 异面B. 订交C.平行D. 不可以确立5.以下四个命题中，正确的选项是（）①夹在两条平行线间的平行线段相等；②夹在两条平行线间的相等线段平行；③假如一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的平行线段相等；④假如一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的相等线段平行A ．①③B．①②C．②③ D ．③④6． a，b 是两条异面直线， A 是不在 a， b 上的点，则以下结论建立的是A ．过 A 有且只有一个平面平行于a， bB ．过 A 起码有一个平面平行于a， bC．过A有无数个平面平行于a，bD．过A 且平行，的平面可能不存在a b二、填空题7． a，b，ｃ为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：①a∥c a ∥ b;②a∥∥c∥ ;a ∥ b; ③b∥ c b∥∥ c④∥ ca∥ ;⑤∥∥a ∥∥∥ ⑥a∥ c a∥此中正确的命题是 ________________.（将正确的序号都填上）8．设平面∥ β，A，C∈， B， D ∈β，直线 AB 与 CD 交于 S，若 AS=18 ， BS=9 ，CD=34 ，则 CS=_____________.9．如图，正四棱柱 ABCD-A B C D中， E，F， G，H 分1111别是棱 CC1，C1D 1，DD 1，DC 中点， N 是 BC 中点，点 M在四边形 EFGH 及其内部运动，则M 知足时，有 MN∥平面 B1BD D 1．三、解答题10.如图，在正四棱锥P ABCD 中， PA AB a ,点E在棱 PC 上．问点 E 在哪处时，PA //平面EBD，并加以证明 .PED CA B11.以以下图，设P 为长方形ABCD 所在平面外一点，M， N 分别为 AB， PD 上的点，且AM=DN，求证：直线 MN ∥平面 PBC.MB NP2参照答案A一、选择题1． D【提示】当l 时，内有无数多条直线与交线l 平行，同时这些直线也与平面平行 . 故 A ， B ， C 均是错误的2． C【提示】棱 AC ，BD 与平面 EFG 平行，共 2 条 .3． C【提示】 a // , b, 则 a // b 或 a, b 异面；所以 A 错误；a // , b // , 则 a // b 或 a,b异面或 a,b 订交，所以 B 错误； a //, Ib, 则 a // b 或 a, b 异面，所以 D 错误；a // c,b //c ，则 a // b ，这是公义 4，所以 C 正确 .4． B【提示】若直线 m 不平行于平面 ，且 m，则直线 m 于平面订交，内不存在与 m 平行的直线 .5． B【提示】②③④错误 .②过平面外一点有且只有一个平面和这个平面平行，有无数多条直线与它平行 .③过直线外一点有无数个平面和这条直线平行④平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行或此中一条在平面上 .6. D【提示】此题可利用空间中的平行关系，结构三角形的两边之和大于第三边 .二、填空题7．平面 ABC ，平面 ABD【提示】连结 AM 并延伸，交 CD 于 E ，连结 BN 并延伸交 CD 于 F ，由重心性质可知， E 、 F 重合为一点，且该点为 CD 的中点 E ，由EM =EN = 1得 MN ∥AB.所以，MA NB 2MN ∥平面 ABC 且 MN ∥平面 ABD .8. ①③【提示】关于①，面 MNP// 面 AB, 故 AB// 面 MNP.关于③， MP//AB, 故 AB// 面 MNP, 关于②④，过 AB 找一个平面与平面 MNP 订交， AB 与交线明显不平行，故②④不可以推证 AB// 面 MNP.9．平行【提示】连结 BD 交 AC 于 O ，连 OE ，∴ OE ∥ B D 1 ，OEC 平面 ACE ，∴ B D 1 ∥平面 ACE.三、解答题10.证明 ：设 AB 1 与 A 1B 订交于点 P ，连结 PD ，则 P 为 AB 1 中点，D 为 AC 中点，PD// B 1C .又PD平面 A 1B D ， B 1C //平面 A 1B D11.证明 ：（ 1） M 、N 分别是 CD 、 CB 的中点，MN//BD又 BB 1 // DD 1, 四边形 BB 1D 1D 是平行四边形 .所以 BD//B 1D 1 .又 MN//BD ，进而 MN//B 1D 1（ 2）（法 1）连 A 1C 1，A 1C 1 交 B 1D 1 与 O 点四边形 A 1B 1C 1D 1 为平行四边形，则O 点是 A 1C 1 的中点E 是AA1 的中点，EO 是 AA C 的中位线， EO//AC .111AC 1 面 EB 1D 1 ， EO 面 EB 1D 1，所以 AC 1//面 EB 1D 1（法 2）作 BB 1 中点为 H 点，连结 AH 、 C 1H ，E 、 H 点为 AA 1 、BB 1 中点，所以 EH //C1D 1，则四边形 EHC 1D 1 是平行四边形，所以ED 1//HC 1又因为 EA // B 1H ，则四边形 EAHB 1 是平行四边形，所以EB 1//AHAHHC =H ， 面 AHC //面 EB D 1.而 AC1面 AHC1，所以 AC //面 EB D111111 （ 3）因为 EA // B 1H ，则四边形 EAHB 1 是平行四边形，所以 EB 1//AH因为 AD // HG ，则四边形 ADGH 是平行四边形，所以 DG//AH ，所以 EB 1//DG又 BB 1// DD 1, 四边形 BB 1D 1D 是平行四边形 .所以 BD//B 1D 1.3BD DG=G，面EB1D1//面BDGB一、选择题1． D【提示】 A 错，若 a∥ b，则不可以判定∥ β；B错，若A，B，C三点不在β的同一如图（ 2），由∥ β知AC∥BD，∴ SA=SC=SC，即18=SC.SB SD CD SC934 SC ∴SC=68.39．M HF侧，则不可以判定∥ β； C 错，若 a∥ b，则不可以判定∥ β；D正确.2． C【提示】若直线a， b 知足 a∥ b， b，则a∥或a3． D【提示】依据面面平行的性质定理可推证之.4． C【提示】设∩β=l，a∥，a∥β，过直线a作与α、β都订交的平面γ，记∩γ=b，β∩γ=c，则 a∥b 且 a∥ c，∴ b∥ c.又 b，∩β=l，∴ b∥ l.∴ a∥l .5． A 【提示】易证平面 NHF ∥平面 BD D 1 B1， M 为两平面的公共点，应在交线三、解答题10．解：当 E 为 PC 中点时， PA // 平面 EBD ．证明：连结 AC，且AC I BD O，因为四边形ABCD 为正方形，FD∴ O 为 AC 的中点，又 E 为中点，∴ OE 为△ ACP 的中位线，∴ PA// EO ，又PA平面 EBD ，∴PA //平面EBD .A11．证法一：过 N 作 NR∥DC 交 PC 于点 R，连结 RB，依题HF 上.PECOB【提示】6． D【提示】过点 A 可作直线a′∥ a，b′∥b，则 a′∩b′=A，∴ a′，b′可确立一个平面，记为.假如 a，b，则a∥，b∥.因为平面可能过直线a、b 之一，所以，过 A 且平行于a、 b 的平面可能不存在.二、填空题7. ①④⑤⑥688.68 或3【提示】如图（1），由∥ β可知BD∥AC，∴ SB=SD，即9=SC34，∴SC=68.SA SC18SCSD BB DSAAC C(1)(2)意得 DC NR=DN= AM=AB MB=DC MB NR=MB .∵NR∥ DC∥ AB，∴NR NP MB MB MB四边形 MNRB 是平行四边形 .∴ MN ∥RB.又∵ RB平面PBC，∴直线MN∥平面PBC.证法二：过 N 作 NQ∥ AD 交 PA 于点 Q，连结 QM，∵AM=DN=AQ，∴ QM∥PB.MB NP QP 又 NQ∥AD ∥BC，∴平面MQN ∥平面 PBC.∴直线 MN ∥平面 PBC.4。
线面、面面平行的判定与性质习题课课件
β 分别交于 A、B，线段 HF 与 α、β 分别交于 F、E，线 段 GD 与 α、β 分别交于 C、D，且 GA＝9，AB＝12，BH ＝16，S△ACF＝72.求△BDE 的面积．
解析：因为 α∥β，所以 AC∥BD，AF∥BE.所以∠ FAC 与∠EBD 相等或互补．因为 AC∥BD，故△GAC∽
应用二面平行的判定定理时，两条相交直线的“相 交”二字决不可忽视．
4．要注意符合某条件的图形是否惟一，有无其它情 形．
一、转化的思想 解决空间线面、面面平行关系的问题关键是作好下 列转化
二、解题技巧 要能够灵活作出辅助线、面来解题，作辅助线、面 一定要以某一定理为理论依据．
线面平行的判定 [例 1] (文)如下图所示，矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直，BE∥CF，求证：AE∥平面 DCF.
(文)(2011·济南调研)已知 m，n 是两条不同的直线， α，β，γ 是三个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A．若 α⊥γ，α⊥β，则 γ∥β B．若 m∥n，m⊂α，n⊂β，则 α∥β C．若 α⊥β，m⊥β，则 m∥α D．若 m∥n，m⊥α，n⊥β，则 α∥β
解析：
由正方体交于同一顶点的三个面知 A 错；如上图
重点难点 重点：线面、面面平行的判定定理与性质定理及应 用 难点：定理的灵活运用
知识归纳
一、直线与平面平行
1．判定方法 (1)用定义：直线与平面无公共点．
(2)判定定理：
a⊄α
b⊂α⇒a∥α
a∥b
(3)其它方法： αa⊂∥ββ⇒a∥α
2．性质定理：
a∥α
a⊂β ⇒a∥b
线面平行判定练习(总结较全)
线面平行判定练习（总结较全）第1题. 已知a αβ=，m βγ=，b γα=，且m α//，求证：a b //．答案：证明：m m m a a b a m b βγααβ=⎫⎫⎪⎪⇒⇒⎬⎬⎪⎪=⇒⎭⎭同理////////．第2题. 已知：b αβ=，a α//，a β//，则a 与b 的位置关系是（ ）Ａ．a b // Ｂ．a b ⊥ Ｃ．a ，b 相交但不垂直 Ｄ．a ，b 异面答案：Ａ．第3题. 如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是PA ，BD 上的点且PE EA BF FD =∶∶，求证：EF //平面PBC ．答案：证明：连结AF 并延长交BC 于M ．连结PM ，AD BC ∵//，BF MF FD FA =∴，又由已知PE BF EA FD =，PE MFEA FA=∴． 由平面几何知识可得EF //PM ，又EF PBC ⊄，PM ⊂平面PBC ， ∴EF //平面PBC ．第4题. 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，11E F 是平面11A C 上的线段，求证：11E F //平面AC ．答案：证明：如图，分别在AB 和CD 上截取11AE A E =，11DF D F =，连接1EE ，1FF ，EF ．∵长方体1AC 的各个面为矩形，11A E ∴平行且等于AE ，11D F 平行且等于DF ，故四边形11AEE A ，11DFF D 为平行四边形．1EE ∴平行且等于1AA ，1FF 平行且等于1DD ． 1AA ∵平行且等于1DD ，1EE ∴平行且等于1FF ，四边形11EFF E 为平行四边形，11E F EF //．EF ⊂∵平面ABCD ，11E F ⊄平面ABCD ，∴11E F //平面ABCD ．第5题. 如图，在正方形ABCD 中，BD 的圆心是A ，半径为AB ，BD 是正方形ABCD 的对角线，正方形以AB 所在直线为轴旋转一周．则图中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三部分旋转所得几何体的体积之比为 ．答案：111∶∶第6题. 如图，正方形ABCD 的边长为13，平面ABCD 外一点P 到正方形各顶点的距离都是13，M ，N 分别是PA ，DB 上的点，且58PM MA BN ND ==∶∶∶． （１） 求证：直线MN //平面PBC ； （２） 求线段MN 的长．（１） 答案：证明：连接AN 并延长交BC 于E ，连接PE ，则由AD BC //，得BN NEND AN=． BN PM ND MA =∵，NE PMAN MA=∴． MN PE ∴//，又PE ⊂平面PBC ，MN ⊄平面PBC ， ∴MN //平面PBC ．（２） 解：由13PB BC PC ===，得60PBC ∠=； 由58BE BN AD ND ==，知5651388BE =⨯=， 由余弦定理可得918PE =，8713MN PE ==∴．第7题. 如图，已知P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 为PB 的中点， 求证：PD //平面MAC ．答案：证明：连接AC 、BD 交点为O ，连接MO ，则MO 为BDP △的中位线，∴PD MO //．PD ⊄∵平面MAC ，MO ⊂平面MAC ，∴PD //平面MAC ．第8题. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱BC ，11C D 的中点，求证：EF //平面11BB D D ．答案：证明：如图，取11D B 的中点O ，连接OF ，OB ，OF ∵ 平行且等于1112B C ，BE 平行且等于1112B C ，OF ∴ 平行且等于BE ，则OFEB 为平行四边形， EF ∴//BO ．EF ⊄∵平面11BB D D ，BO ⊂平面11BB D D ，∴EF //平面11BB D D ．第9题. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，试作出过AC 且与直线1D B 平行的截面，并说明理由．答案：解：如图，连接DB 交AC 于点O ，取1D D 的中点M ，连接MA ，MC ，则截面MAC 即为所求作的截面．MO ∵为1D DB △的中位线，1D B MO ∴//．1D B ⊄∵平面MAC ，MO ⊂平面MAC ，1D B ∴//平面MAC ，则截面MAC 为过AC 且与直线1D B 平行的截面．第10题. 设a ，b 是异面直线，a ⊂平面α，则过b 与α平行的平面（ ） Ａ．不存在 Ｂ．有1个 Ｃ．可能不存在也可能有1个 Ｄ．有2个以上答案：Ｃ．第11题. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，求证：平面1A BD //平面11CD B ．答案：证明：111111B B A A B B D D A A D D ⎧⎪⇒⎨⎪⎩∥ ∥ ∥ ⇒ 四边形11BB D D 是平行四边形⇒ 111111D B DBDB A BD D B A BD⎧⎪⊂⎨⎪⊄⎩平面平面//⇒111111111D B A BDB C A BD D B B C B⎧⎪⎨⎪=⎩平面同理平面//// ⇒111B CD A BD 平面平面//．第12题. 如图，M 、N 、P 分别为空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD 上的点，且AM MB CN NB CP PD ==∶∶∶．求证：（１）AC //平面MNP ，BD //平面MNP ； （２）平面MNP 与平面ACD 的交线AC //．答案：证明：（１）AM CN MN AC MB NBAC MNP AC MNP MN MNP⎫=⇒⎪⎪⊄⇒⎬⎪⊂⎪⎭//平面//平面平面．CN CP PN BD NB PDBD MNP BD MNP PN MNP⎫=⇒⎪⎪⊄⎬⎪⊂⎪⎭//平面//平面平面．（２）MNP ACD PE AC ACD PE AC AC MNP =⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭设平面平面平面//，//平面 MNP ACD AC 即平面与平面的交线//．第13题. 如图，线段AB ，CD 所在直线是异面直线，E ，F ，G ，H 分别是线段AC ，CB ，BD ，DA 的中点．（１） 求证：EFGH 共面且AB ∥面EFGH ，CD ∥面EFGH ； （２） 设P ，Q 分别是AB 和CD 上任意一点，求证：PQ 被平面EFGH 平分．答案：证明：（１）∵E ，F ，G ，H 分别是AC ，CB ，BD ，DA 的中点．，EH CD ∴//，FG CD //，EH FG ∴//．因此，E ，F ，G ，H 共面． CD EH ∵//，CD ⊄平面EFGH ，EH ⊂平面EFGH ， CD ∴//平面EFGH ．同理AB //平面EFGH ．（２）设PQ平面EFGH ＝N ，连接PC ，设PCEF M =．PCQ △所在平面平面EFGH ＝MN ，CQ ∵//平面EFGH ，CQ ⊂平面PCQ ，CQ MN ∴//．EF ∵ 是ABC △是的中位线，M ∴是PC 的中点，则N 是PQ 的中点，即PQ 被平面EFGH 平分．第14题. 过平面α外的直线l ，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a ，b ，c ，…，则这些交线的位置关系为（ ） Ａ．都平行Ｂ．都相交且一定交于同一点 Ｃ．都相交但不一定交于同一点 Ｄ．都平行或都交于同一点答案：Ｄ．第15题. a ，b 是两条异面直线，A 是不在a ，b 上的点，则下列结论成立的是（ ） Ａ．过A 且平行于a 和b 的平面可能不存在 Ｂ．过A 有且只有一个平面平行于a 和b Ｃ．过A 至少有一个平面平行于a 和b Ｄ．过A 有无数个平面平行于a 和b答案：Ａ．第16题. 若空间四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 的长分别是8，12，过AB 的中点E 且平行于BD 、AC 的截面四边形的周长为 ． 答案：20．第17题. 在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 上的一点，且EFGH 为菱形，若AC //平面EFGH ，BD //平面EFGH ，AC m =，BD n =，则AE BE =： ．答案：m n ∶．第18题. 如图，空间四边形ABCD 的对棱AD 、BC 成60的角，且AD BC a ==，平行于AD 与BC 的截面分别交AB 、AC 、CD 、BD 于E 、F 、G 、H ． （１）求证：四边形EGFH 为平行四边形；（２）E 在AB 的何处时截面EGFH 的面积最大？最大面积是多少？答案：（１）证明：BC ∵//平面EFGH ，BC ⊂平面ABC ， 平面ABC 平面EFGH EF =，BC EF ∴//．同理BC GH //， EF GH ∴//，同理EH FG //， ∴四边形EGFH 为平行四边形． （２）解：∵AD 与BC 成60角，∴60HGF ∠=或120，设:AE AB x =，∵EF AEx BC AB==， BC a =，∴EF ax =，由1EH BEx AD AB==-， 得(1)EH a x =-．∴sin 60EFGH S EF EH =⨯⨯四边形(1)2ax a x =⨯-⨯22()2a x x =-+2211()24x ⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦． 当12x =时，28S a =最大值， 即当E 为AB的中点时，截面的面积最大，最大面积为28a ．第19题. P 为ABC △所在平面外一点，平面α//平面ABC ，α交线段PA ，PB ，PC 于ABC '''，23PA AA =∶∶''，则AB C ABC S S =△△∶''' ．答案：425∶第20题. 如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 是平行四边形，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．求证：MN //平面PAD ．答案：证明：如图，取CD 的中点E ，连接NE ，ME ∵M ，N 分别是AB ，PC 的中点，NE PD ∴//，ME AD //，可证明NE //平面PAD ，ME //平面PAD ． 又NE ME E =，∴平面MNE //平面PAD ，又MN ⊂平面MNE ，∴MN //平面PAD ．第21题. 已知平面α//平面β，AB ，CD 是夹在两平行平面间的两条线段，A ，C 在α内，B ，C 在β内，点E ，F 分别在AB ，CD 上，且AE EB CF FDm n ==∶∶∶． 求证：EF //平面α．答案：证明：分AB ，CD 是异面、共面两种情况讨论． （１） 当AB ，CD 共面时，如图（a ）αβ∵//，AC BD ∴//，连接E ，F ．AE EB CF FD =∶∶∵，EF AC BD ∴////且EF α⊄，AC α⊂，∴EF //平面α．（２） 当AB ，CD 异面时，如图（b ），过点A 作AH CD // 交β于点H ．在H 上取点G ，使AG GH m n =∶∶，连接EF ，由（１）证明可得GF HD //，又AG GH AE EB =∶∶得EG BH //．∴平面EFG //平面β//平面α．又EF ⊂面EFG ，∴EF //平面α．第22题. 已知a αβ=，m βγ=，b γα=，且m α//，求证：a b //．答案：证明：m m m a a b a m b βαααβ=⎫⎫⎪⎪⇒⇒⎬⎬⎪⎪=⇒⎭⎭同理////////．第23题. 三棱锥A BCD -中，AB CD a ==，截面MNPQ 与AB 、CD 都平行，则截面MNPQ 的周长是（ ）．Ａ．4a Ｂ．2aＣ．32aＤ．周长与截面的位置有关答案：Ｂ．第24题. 已知：b αβ=，a α//，a β//，则a 与b 的位置关系是（ ）． Ａ．a b // Ｂ．a b ⊥Ｃ．a 、b 相交但不垂直 Ｄ．a 、b 异面答案：Ａ．第25题. 如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，E 、F 分别是PA 、BD 上的点且:PE EA BF =答案：证明：连结AF 并延长交BC 于M ． 连结PM ，AD BC ∵//，BF MFFD FA=∴， 又由已知PE BF EAFD =，PE MFEA FA=∴． 由平面几何知识可得EF //PM ， 又EF PBC ⊄，PM ⊂平面PBC ， ∴EF //平面PBC ．第26题. 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，平面ABCD ．答案：证明：如图，分别在AB 和CD 上截得11AE A E =，11DF D F =，连接1EE ，1FF ，EF ．∵长方体1AC 的各个面为矩形，1EE ∴平行且等于1AA ，1FF 平行且等于1DD ． 1AA ∵平行且等于1DD ，1EE ∴平行且等于1FF ，四边形11EFF E 为平行四边形，11E F EF //．EF ⊂∵平面ABCD ，11E F ⊄平面ABCD ，∴11E F //平面ABCD ．第27题. 已知正方体1111ABCD A B C D -， 求证：平面11AB D //平面1C BD ．答案：证明：因为1111ABCD A B C D -为正方体， 所以1111D C A B //，1111D C A B =． 又11AB A B //，11AB A B =， 所以11D C AB //，11D C AB =， 所以11D C BA 为平行四边形．所以11D A C B //．由直线与平面平行的判定定理得1D A //平面1C BD ．同理11D B //平面1C BD ，又1111D A D B D =，所以，平面11AB D //平面1C BD ．第28题. 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面．如图，已知直线a ，b 平面α，且a b //，a α//，a ，b 都在α外． 求证：b α//．答案：证明：过a 作平面β，使它与平面α相交，交线为c ． 因为a α//，a β⊂，c αβ=，所以a c //．因为a b //， 所以b c //．又因为c α⊂，b α⊄， 所以b α//．第29题. 如图，直线AA '，BB '，CC '相交于O ，AO AO ='，BO B O ='，CO C O ='． 求证：ABC //平面ABC '''．答案：提示：容易证明AB AB //''，AC AC //''． 进而可证平面ABC //平面ABC '''．第30题. 直线a 与平面α平行的充要条件是（ ） Ａ．直线a 与平面α内的一条直线平行 Ｂ．直线a 与平面α内两条直线不相交Ｃ．直线a 与平面α内的任一条直线都不相交 Ｄ．直线a 与平面α内的无数条直线平行答案：Ｃ．。
直线、平面平行的判定与性质(习题课)
例4：如图 13－4－9(1)，在直角梯形 ABCP 中，BC∥AP， AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD＝2，E、F、G 分别是线段 PC、PD、BC 的中点．现将△PDC 折起，使平面 PDC⊥平面 ABCD，如图 13－4－9(2)．在图 13－4－9(2)中，
图 13－4－9 (1)求证：AP∥平面 EFG； (2)求二面角 G－EF－D 的大小．
1．下列命题中，正确命题的个数是( A ) ①若直线 l 上有无数个点不在平面α内，则 l∥α； ②若直线 l 与平面α平行，则 l 与平面α内的任意一条直线都 平行； ③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么 另一条直线也与这个平面平行； ④若直线 l 与平面α平行，则 l 与平面α内的任意一条直线都 没有公共点． A．1 B．2 C．3 D．4
2．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与 这两个平面的交线的位置关系是( C ) A．异面 B．相交 C．平行 D．不能确定 3．如图 13－4－1，过平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 任意两 条棱的中点作直线，其中与平面 DBB1D1 平行的直线共有( D )
图 13－4－1 A．4 条 B．6 条 C．8 条 D．12 条
(1)证明：连接 BM、BN、BG 并延长交 AC、AD、CD 分别 于 P、F、H. ∵M、N、G 分别为△ABC、△ABD、△ACD 的重心，
BM BN BG 则有：MP＝NF＝GH＝2.
连接 PF、FH、PH，有 MN∥PF. 又 PF⊂平面 ACD，MN平面 ACD，∴MN∥平面 ACD. 同理，MG∥平面 ACD， 又 MG∩MN＝M, ∴平面 MNG∥平面 ACD.
【互动探究】 3．设 m、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面， 给出下列四个命题：
线面平行的判定定理与性质定理练习
高中数学必修二学案(034)班级_________姓名_________组别_____ 编写人 朱永 审核人 赵春梅线面平行的判定定理与性质定理练习1．下列命题正确的是 ( ) A 一直线与平面平行，则它与平面内任一直线平行B 一直线与平面平行，则平面内有且只有一个直线与已知直线平行C 一直线与平面平行，则平面内有无数直线与已知直线平行，它们在平面内彼此平行D 一直线与平面平行，则平面内任意直线都与已知直线异面2．若直线l 与平面α的一条平行线平行，则l 和α的位置关系是( ) A α⊂l B α//l C αα//l l 或⊂ D 相交和αl3．若直线a 在平面α内，直线a,b 是异面直线，则直线b 和α平面的位置关系是 ( ) A ．相交 B 。
平行 C 。
相交或平行 D 。
相交且垂直 4．下列各命题：（1） 经过两条平行直线中一条直线的平面必平行于另一条直线； （2） 若一条直线平行于两相交平面，则这条直线和交线平行；（3） 空间四边形中三条边的中点所确定平面和这个空间四边形的两条对角线都平行。
其中假命题的个数为 ( ) A 0 B 1 C 2 D 35．E 、F 、G 分别是四面体ABCD 的棱BC 、CD 、DA 的中点，则此四面体中与过E 、F 、G 的截面平行的棱的条数是( ) A ．0 B 1 C 2 D36．直线与平面平行的充要条件是 ( ) A ．直线与平面内的一条直线平行 B 。
直线与平面内的两条直线不相交C ．直线与平面内的任一直线都不相交D 。
直线与平行内的无数条直线平行7．若直线上有两点P 、Q 到平面α的距离相等，则直线l 与平面α的位置关系是 ( ) A 平行 B 相交 C 平行或相交 D 或平行、或相交、或在内 8．a,b 为两异面直线，下列结论正确的是 ( ) A 过不在a,b 上的任何一点，可作一个平面与a,b 都平行 B 过不在a,b 上的任一点，可作一直线与a,b 都相交 C 过不在a,b 上任一点，可作一直线与a,b 都平行 D 过a 可以并且只可以作一个平面与b 平行 9．判断下列命题是否正确：(1)过平面外一点可作无数条直线与这个平面平行 ( ) (2)若直线α⊄l ，则l 不可能与α内无数条直线相交 ( ) (3)若直线l 与平面α不平行，则l 与α内任一直线都不平行 ( )(4)经过两条平行线中一条直线的平面平行于另一条直线 ( ) (5)若平面α内有一条直线和直线l 异面，则α⊄l ( )【本课小结】从知识上学到________________________________________从方法上学到________________________________________还有哪些疑惑________________________________________下节目标解读____________________________________________包铁一中引导行三线教学法高中数学必修一配餐(034)班级_____ 姓名_________组别_____ 编写人朱永审核人赵春梅10. 三棱柱ABC—A1B1C1中，若D为BB1上一点，M为AB的中点，N为BC的中点.求证：MN∥平面A1C1D；11. 平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，那么另一条直线也平行于这个平面．已知：直线ba//，//a平面α，α⊄b．求证：α//b．12、如图，在底面为平行四边形的四棱锥 P—ABCD 中，点 E 是 PD 的中点.求证：PB//平面 AEC；13. 如图，求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．已知：l=βα ，α//a，β//a，求证：la//．【总结与反思】____________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ 【老师批语】______________________________________________________________________包铁一中引导行三线教学法。
完整版)线线、线面、面面平行练习题(含答案)
完整版)线线、线面、面面平行练习题(含答案)一、选择题1.B2.C3.B4.B5.A6.A二、填空题7.直线MN与直线BD异面。
三、解答题10.因为D是AC的中点，所以BD平分角ABC，即∠ABD=∠CBD。
又因为AB=AC，所以△ABD≌△CBD，从而BD=BD，即BD//平面ABC。
又因为A1D1//ABC，所以BD//A1D1，即BD//平面A1BD。
因此，BD//平面A1BD，即B1C1//平面A1BD，即B1C1//平面ABD。
11.1) 因为E，M，N，G分别是AA1，CD，CB，CC1的中点，所以MN//CD，MN=CD/2.又因为ABCD是平行六面体，所以BD//AC，从而△BDA≌△CDA1，即BD=AC，BD=2AC/√3.所以MN=CD/2=AC/√3=BD/2√3，即MN//B1D1.2) 因为E，M，N，G分别是AA1，CD，CB，CC1的中点，所以MN=CD/2=AC/√3，EN=CG=AC/2.又因为ABCD是平行六面体，所以BD//AC，从而△BDA≌△CDA1，即BD=AC，BD=2AC/√3.所以AE=BD/2=AC/√3，从而AE=EN，即AEEN是平行四边形，即AE//EN。
又因为XXX，所以AE//MN，即平面AEM//平面MNC。
又因为平面AEM与平面ABC的交线是直线AE，平面MNC与平面ABC的交线是直线MN，所以AE//MN//BD，即B1D1//平面AEM。
因此，AC1//平面AEM//B1D1，即AC1//平面EB1D1.3) 因为E，M，N，G分别是AA1，CD，CB，CC1的中点，所以MN=CD/2=AC/√3，EN=CG=AC/2.又因为ABCD是平行六面体，所以BD//AC，从而△BDA≌△CDA1，即BD=AC，BD=2AC/√3.又因为D1是BD的中点，所以D1C1=BC/2=AC/2√2.所以MN=CD/2=AC/√3=D1C1√2/√3，即MN//D1C1.又因为E，M，N，G分别是AA1，CD，CB，CC1的中点，所以EG=CC1/2=AC/2√2.又因为ABCD是平行六面体，所以AD//BC，从而△ABD≌△CBA1，即AD=BC，AD=2AC/√3.所以EG=CC1/2=AC/2√2=AD/2√2，即EG//AD。
04线面平行与面面平行判定与性质(经典题型+答案)
线面平行、面面平行的判定及性质一、直线与平面平行文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则直线与此平面平行.性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行.二、平面与平面平行文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行性质定理如果两个平行平面时与第三个平面相交，那么它们的交线平行A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面解：由面面平行的定义可知选D.例2：若直线a平行于平面α，则下列结论错误的是()A．a平行于α内的所有直线B．α内有无数条直线与a平行C．直线a上的点到平面α的距离相等D．α内存在无数条直线与a垂直解：A错误，a与α内的直线平行或异面．例3：已知不重合的直线a，b和平面α，①若a∥α，b⊂α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b⊂α，则a∥α；④若a∥b，a∥α，则b∥α或b⊂α，上面命题中正确的是________(填序号)。
解：①中a与b可能异面；②中a与b可能相交、平行或异面；③中a可能在平面α内，④正确。
例4：已知α、β是平面，m 、n 是直线，给出下列命题：①若m ⊥α，m ⊂β，则α⊥β.②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β.③如果m ⊂α，n ⊄α，m 、n 是异面直线，那么n 与α相交．④若α∩β＝m ，n ∥m ，且n ⊄α，n ⊄β，则n ∥α且n ∥β其中正确命题的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解：对于①，由定理“如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直”得知，①正确；对于②，注意到直线m ，n 可能是两条平行直线，此时平面α，β可能是相交平面，因此②不正确；对于③，满足条件的直线n 可能平行于平面α，因此③不正确；对于④，由定理“如果平面外一条直线平行于平面内一条直线，那么这条直线平行于这个平面”得知，④正确．综上所述，其中正确的命题是①④，选B.例5：已知m ，n 表示两条不同直线，α，β，γ表示不同平面，给出下列三个命题：(1)⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n ；(2)⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥αm ⊥n ⇒n ∥α (3)⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥αn ∥α⇒m ⊥n 其中真命题的个数为 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解：若⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n ，即命题(1)正确；若⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α，即命题(2)不正确；若⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥αn ∥α，则m ⊥n ，即命题(3)正确；综上可得，真命题共有2个．选C例6：已知m 、n 、l 1、l 2表示直线，α、β表示平面．若m ⊂α，n ⊂α，l 1⊂β，l 2⊂β，l 1∩l 2＝M ，则以下条件中，能推出α∥β的是 ( )A ．m ∥β且l 1∥αB ．m ∥β且n ∥βC ．m ∥β且n ∥l 2D ．m ∥l 1且n ∥l 2解：由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”可得，由选项D 可推知α∥β.例7：在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（ ）.A. α、β都平行于直线lB. α内存在不共线的三点到β的距离相等C. l 、m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥βD. l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β 解：排除法，Ａ中α、β可以是相交平面；Ｂ中三点可面平面两侧；Ｃ中两直线可以不相交．故选Ｄ，也可直接证明．例8：经过平面外的两点作该平面的平行平面可以作（ ）.A. 0个B. 1个C. 0个或1个D. 1个或2个解：这两点可以是在平面同侧或两侧．选C 。
线面、面面平行练习题(含答案)讲课讲稿
D C
A B
B 1
A 1C 11．下列条件中,能判断两个平面平行的是( )
A ．一个平面内的一条直线平行于另一个平面;
B ．一个平面内的两条直线平行于另一个平面
C ．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面
D ．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面
2．E ，F ，G 分别是四面体ABCD 的棱BC ，CD ，DA 的中点，则此四面体中与过E ，F ，G 的截面平行
的棱的条数是
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
3． 直线,a b c ，及平面αβ，，使//a b 成立的条件是（ ）
A ．//,a b αα⊂
B ．//,//a b αα
C ．//,//a c b c
D ．//,a b ααβ=I
4．若直线m 不平行于平面α，且m ⊄α，则下列结论成立的是（ ）
A ．α内的所有直线与m 异面
B ．α内不存在与m 平行的直线
C ．α内存在唯一的直线与m 平行
D ．α内的直线与m 都相交
8．如下图所示，四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得到AB//面MNP 的图形的序号的是
①②③④ 10.如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长是2，侧棱长是3，D 是
AC 的中点.求证：//1C B 平面BD A 1.
11.如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，M ，N ，G 分别是AA 1，CD ，CB ，CC 1的中点， 求证：（1）MN //B 1D 1 ；（2）AC 1//平面EB 1D 1 ；
（3）平面EB 1D 1//平面BDG .。
立体几何中线面平行的经典方法+经典题(附详细解答)
DB A 1高中立体几何证明平行的专题(基本方法)立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为 线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法： (1)通过“平移”。
(2)利用三角形中位线的性质。
(3)利用平行四边形的性质。
(4)利用对应线段成比例。
(5)利用面面平行，等等。
(1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质1．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分 别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ；分析：取PC 的中点G ，连EG.，FG ，则易证AEGF 是平行四边形2、如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3，过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC. （Ⅰ）求证：BC ⊥面CDE ； （Ⅱ）求证：FG ∥面BCD ；分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形3、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证：（Ⅰ）C 1D ⊥BC ； （Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM. 分析：连EA ，易证C 1EAD 是平行四边形，于是MF//EA（第1题图）4、如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形,,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面;分析:：取PD 的中点F ，连EF,AF 则易证ABEF 是平行四边形(2) 利用三角形中位线的性质5、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。
分析：连MD 交GF 于H ，易证EH 是△AMD 的中位线6、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC 的中点。
线面平行的判定定理的题目
线面平行的判定定理的题目
《线面平行定理》：如果一条直线隔开两个平面，那么这两个平面一
定是相互平行的。
证明：
设有两个平面M和N，其间有一条直线mC，端点分别位于两个平面上，若两个平面不是相互平行，那么线mC一定是它们的一个公共边。
令mC上有一点P，P点一定在两个平面上，若两个平面不是相互平行，那么这两个平面一定有一个法向量，令它们的方向分别为a，b，由于点P
位于两个平面上，那么其到两平面的距离分别为d1、d2，由此可得出d1-
d2=0,即两个平面的法向量的积为0，即a×b=0。
综上所述，可以得出结论：如果一条直线隔开两个平面，那么这两个
平面一定是相互平行的。
高中数学立体几何之线面平行的判定与性质讲义及练习
线面平行的判定与性质练习一、基本内容 1.线面平行的判定2.线面平行的性质二、练习题题型一：概念性习题1．下列命题正确的是 （ ） A 一直线与平面平行，则它与平面内任一直线平行B 一直线与平面平行，则平面内有且只有一个直线与已知直线平行C 一直线与平面平行，则平面内有无数直线与已知直线平行，它们在平面内彼此平行D 一直线与平面平行，则平面内任意直线都与已知直线异面2．若直线l 与平面α的一条平行线平行，则l 和α的位置关系是 ( ) A. α⊂l B.α//l C.αα//l l 或⊂ D.相交和αl3．若直线a 在平面α内，直线a,b 是异面直线，则直线b 和α平面的位置关系是 ( ) A ．相交 B.平行 C.相交或平行 D.相交且垂直4．下列各命题中假命题的个数为 ( )（1） 经过两条平行直线中一条直线的平面必平行于另一条直线； （2） 若一条直线平行于两相交平面，则这条直线和交线平行；（3） 空间四边形中三条边的中点所确定平面和这个空间四边形的两条对角线都平行。
A 0B 1C 2D 35．若直线上有两点P 、Q 到平面α的距离相等，则直线l 与平面α的位置关系是 ( ) A 平行 B 相交 C 平行或相交 D 或平行、或相交、或在内 6．a,b 为两异面直线，下列结论正确的是 ( ) A 过不在a,b 上的任何一点，可作一个平面与a,b 都平行 B 过不在a,b 上的任一点，可作一直线与a,b 都相交 C 过不在a,b 上任一点，可作一直线与a,b 都平行 D 过a 可以并且只可以作一个平面与b 平行 7．判断下列命题是否正确：(1)过平面外一点可作无数条直线与这个平面平行 ( )(2)若直线α⊄l ，则l 不可能与α内无数条直线相交 ( ) (3)若直线l 与平面α不平行，则l 与α内任一直线都不平行 ( ) (4)经过两条平行线中一条直线的平面平行于另一条直线 ( )(5)若平面α内有一条直线和直线l 异面，则α⊄l ( ) 题型二：证明题8．P 为平行四边形ABCD 外一点，E 是PA 的中点，O 是AC 和BD 的交点，求证：OE//平面PBC 。
线面平行判定定理测试题(含答案)
线面平行判定定理测试题1.如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，且PA=AD．（1）求证：AF∥平面PEC；（2）求证：平面PEC⊥平面PCD．2.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（1）求证：AB∥EF；（2）若PA=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，求证：AF⊥平面PCD．3.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD//BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（Ⅰ）证明MN//平面PAB；（Ⅱ）求四面体N-BCM的体积．4.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E，F分别为AD，PB的中点.（Ⅰ）求证：PE⊥BC；（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PCD；（Ⅲ（Ⅱ））求证：EF∥平面PCD.5.如图：ABCD是平行四边形，AP⊥平面ABCD，BE∥AP，AB=AP=2，BE=BC=1，∠CBA=60°（1）求证：EC∥平面PAD；（2）求证：平面PAC⊥平面EBC；（3）求直线PC与平面PABE所成角的正弦值．AD．6.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=12（I）M为PD的中点，试证明：直线CM∥平面PAB；（II）证明：平面PAB⊥平面PBD．7.如图，在直三棱柱ABC-A1B l C1中，AC=BC=√2，∠ACB=90°．AA1=2，D为AB的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥BC1；（Ⅱ）求证：AC1∥平面B1CD：（Ⅲ）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．答案和解析1.【答案】证明：（1）取PC的中点G，连结FG、EG，∴FG为△CDP的中位线，FG∥CD，FG=1CD．2∵四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，∴AE∥CD，CD．AE=12∴FG=AE，FG∥AE，∴四边形AEGF是平行四边形，∴AF∥EG又EG⊂平面PCE，AF⊄平面PCE，∴AF∥平面PCE；（2）∵PA=AD．∴AF⊥PDPA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又因为CD⊥AB，AP∩AB=A，∴CD⊥面APD∴CD⊥AF，且PD∩CD=D，∴AF⊥面PDC由（Ⅰ）得EG∥AF，∴EG⊥面PDC又EG⊂平面PCE，∴平面PEC⊥平面PCD．【解析】本题考查了空间线面平行、面面垂直的判定，属于中档题．（1）取PC的中点G，连结FG、EG，AF∥EG又EG⊂平面PCE，AF⊄平面PCE，AF∥平面PCE；（2）由（Ⅰ）得EG∥AF，只需证明AF⊥面PDC，即可得到平面PEC⊥平面PCD．2.【答案】解：（1）证明：∵底面ABCD是正方形，∴AB∥CD ,又∵AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AB∥平面PCD ,又∵A，B，E，F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，∴AB∥EF ;（2）证明：在正方形ABCD中，CD⊥AD ,又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD,CD⊄平面PAD∴CD⊥平面PAD ,又∵AF⊂平面PAD ,∴CD⊥AF ,由（1）可知，AB∥EF，又∵AB∥CD，C,D,E,F在同一平面内，∴CD∥EF ,∵点E是棱PC中点，∴点F是棱PD中点,在△PAD中，∵PA=AD，∴AF⊥PD ,又∵PD∩CD=D，PD、CD⊂平面PCD,∴AF⊥平面PCD．【解析】（1）证明AB∥平面PCD，即可得AB∥EF；（2）利用平面PAD⊥平面ABCD，证明CD⊥AF，PA=AD，所以AF⊥PD，即可证明AF⊥平面PCD；本题考查线面平行的性质，平面与平面垂直的性质，考查线面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．3.【答案】证明：（Ⅰ）取BC中点E，连结EN，EM，∵N为PC的中点，∴NE是△PBC的中位线∴NE//PB，又∵AD//BC，∴BE//AD，∵AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，∴BE=12BC=AM=2，∴四边形ABEM是平行四边形，∴EM//AB，∴平面NEM//平面PAB，∵MN⊂平面NEM，∴MN//平面PAB．解：（Ⅱ）取AC中点F，连结NF，∵NF是△PAC的中位线，∴NF//PA，NF=12PA=2，又∵PA⊥面ABCD，∴NF⊥面ABCD，如图，延长BC至G，使得CG=AM，连结GM，∵AM=//CG，∴四边形AGCM是平行四边形，∴AC=MG=3，又∵ME=3，EC=CG=2，∴△MEG的高h=√5，∴S△BCM=12×BC×ℎ=12×4×√5=2√5，∴四面体N-BCM的体积V N-BCM=13×S△BCM×NF=13×2√5×2=4√53．【解析】（Ⅰ）取BC中点E，连结EN，EM，得NE是△PBC的中位线，推导出四边形ABEM是平行四边形，由此能证明MN//平面PAB．（Ⅱ）取AC中点F，连结NF，NF是△PAC的中位线，推导出NF⊥面ABCD，延长BC至G，使得CG=AM，连结GM，则四边形AGCM是平行四边形，由此能求出四面体N-BCM的体积．本题考查线面平行的证明，考查四面体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．4.【答案】证明：（Ⅰ）PA=PD，E为AD的中点，可得PE⊥AD，底面ABCD为矩形，可得BC∥AD，则PE⊥BC（Ⅱ）∵底面为矩形，∴.∵平面平面，∴平面PAD.∴.又,∵平面，PD平面PCD∴平面平面.（Ⅲ）如图，取中点，连接.分别为和的中点，∴，且.∵四边形为矩形，且为的中点，∴，∴，且，∴四边形为平行四边形，∴.又平面，平面，∴平面.【解析】（1）由等腰三角形的三线合一性质和矩形的对边平行性质，即可得证；（2）作出平面PAB和平面PCD的交线，注意运用公理4，再由面面垂直的性质和两个平面所成角的定义，即可得证；（3）取PC的中点H，连接DH，FH，运用中位线定理和平行四边形的判断和性质，结合线面平行的判定定理，即可得证．本题考查线面和面面的位置关系，考查线面平行、垂直的判定和性质，以及面面垂直的判断和性质，注意运用转化思想，考查推理能力和空间想象能力，属于中档题．5.【答案】（1）证明：因为BE∥PA，BE⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD，同理BC∥平面PAD，所以平面PAD∥平面EBC，因为EC⊂平面EBC，所以EC∥平面PAD…（4分）（2）证明：因为AB=2，BC=1，∠CBA=60°，由余弦定理得，AC=√3，所以由勾股定理逆定理∠BCA=90°，所以AC⊥BC，又因为BE⊥平面ABCD，所以BE⊥AC，则有AC⊥平面EBC，AC⊂平面PAC所以平面BEC⊥平面PAC．…（8分）（3）解：作CH⊥AB于H，连结PH，又因为CH⊥PA，所以CH⊥平面PABE，所以∠HPC即为线面角，∴sin∠HPC=HCPC =√2114．…（13分）【解析】（1）由已知条件推导出平面PAD∥平面EBC，由此能证明EC∥平面PAD．（2）由余弦定理得AC=，由勾股定理得AC⊥BC，由线面垂直得BE⊥AC，由此能证明平面BEC⊥平面PAC．（3）作CH⊥AB于H，连结PH，由题设知∠HPC即为线面角，由此能求出直线PC与平面PABE所成角的正弦值．本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．6.【答案】证明：（I）M为PD的中点，直线CM∥平面PAB．取AD的中点E，连接CM，ME，CE，则ME∥PA，∵ME⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，∴ME∥平面PAB．∵AD∥BC，BC=AE，∴ABCE是平行四边形，∴CE∥AB．∵CE⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴CE∥平面PAB．∵ME ∩CE =E ，∴平面CME ∥平面PAB ， ∵CM ⊂平面CME ， ∴CM ∥平面PAB ；（II ）∵PA ⊥CD ，∠PAB =90°，AB 与CD 相交， ∴PA ⊥平面ABCD ， ∵BD ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥BD ，由（I ）及BC =CD =12AD ，可得∠BAD =∠BDA =45°， ∴∠ABD =90°，∴BD ⊥AB ， ∵PA ∩AB =A ， ∴BD ⊥平面PAB ， ∵BD ⊂平面PBD ，∴平面PAB ⊥平面PBD ． 【解析】（I ）M 为PD 的中点，直线CM ∥平面PAB ．取AD 的中点E ，连接CM ，ME ，CE ，则ME ∥PA ，证明平面CME ∥平面PAB ，即可证明直线CM ∥平面PAB ； （II ）证明：BD ⊥平面PAB ，即可证明平面PAB ⊥平面PBD ．本题主要考查了直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．7.【答案】解：（I ）证明：∵CC 1⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∠ACB =90°， ∴CC 1⊥AC ，AC ⊥BC ，又BC ∩CC 1=C ，∴AC ⊥平面BCC 1，BC 1⊂平面BCC 1， ∴AC ⊥BC 1．（II ）证明：如图，设CB 1∩C 1B =E ，连接DE ， ∵D 为AB 的中点，E 为C 1B 的中点，∴DE ∥AC 1， ∵DE ⊂平面B 1CD ，AC 1⊄平面B 1CD ， ∴AC 1∥平面B 1CD ．（III ）解：由DE ∥AC 1，∠CED 为AC 1与B 1C 所成的角，在△CDE 中，DE =12AC 1=12√AC 2+CC 12=√62， CE =12B 1C =12√BC 2+BB 12=√62，CD =12AB =12√AC 2+BC 2=1，cos ∠CED =CE 2+DE 2−CD 22×CE×DE=32+32−12×√62×√62=23，∴异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值为23． 【解析】（I ）先证线面垂直，再由线面垂直证明线线垂直即可；（II）作平行线，由线线平行证明线面平行即可；（III）先证明∠CED为异面直线所成的角，再在三角形中利用余弦定理计算即可．本题考查线线垂直的判定、线面平行的判定、异面直线及其所成的角．。
线线、线面、面面平行的判定方法汇总
4种问题 平行问题
4、空间四边形ABCD中E，F，G，
A
H分别是各边中点。则图中与面
EFGH平行的边有 （ B ）条。
E
（A）1 （B）2 （C）0 （D）4
B
F C
H
D G
5、平行于同一平面的二直线的位置关系是 （ D ） （A） 一定平行
（B） 平行或相交 （C） 相交 （D） 平行，相交，异面
3、线面平行的性质定理：如果两个平面相互平行，那么在 一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面
4、如果一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，那么 它也平行于另一个平面。切记直线不在平面内.
5、如果两条平行直线中的一条和一个平面平行，那么另一 条也平行于这个平面。切记直线不在平面内.
三、面面平行的证明方法：
例2:已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边 形.点M,N,Q分别在PA,BD,PD上,且 PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD, 求证:平面MNQ∥平面PBC.
证明:因为PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD, 所以MQ∥AD,NQ∥BP, 而BP⊂平面PBC,NQ⊄平面PBC, 所以NQ∥平面PBC, 又因为四边形ABCD为平行四边形,BC∥AD, 所以MQ∥BC. 而BC⊂平面PBC,MQ⊄平面PBC, 所以MQ∥平面PBC. 又MQ∩NQ=Q,所以平面MNQ∥平面PBC.
6、点A是平面外的一点，过A和 平面平行的直线有 无数 条。
课堂小结：
1.数学知识 两个判定定理，两个性质定理 2.数学思想：转化的思想
3.解题技巧：见中点，取中点。
4.线面平行的性质定理： 如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面和 这个平面相交，则这条直线和交线平行
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学点二 面面平行的判定 如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求证： 平面A1MN∥平面BDFE.
【评析】常用两个平面平行的判定定理 证明两平面平行，实质是通过线线平行 转化为线面平行，先观察平面内已有的 直线是否平行，若不存在，再利用条件 有针对性地作辅助线找出平行直线.
言表示为 判定定理 ,
aβ,b. β,a∩b=P,
用a图∥形α表,b∥示α为 β∥α
学点一 线面平行的证明
已知AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线 段，E，F，G分别是AB,BC,CD的中点.求证: 平面EFG和AC平行,也和BD平行.
C
A
F
E
G
B D
如图所示,正方体ABCD—A1B1C1D1中,E为DD1的中 点,试判断BD1与平面AEC的位置关系,并证明.
线面、面面平行的判定
（习题课）
1.平面外一条直线与此平面内
的一条直线平行，则该直线与
此平面 平行.这个定理叫做
直线与平面平行的 判定定.理
符号语言表示为.用图形表示为
.
a α,b α,且a∥b a∥α
2.一这相两交个直平线
面平行.这个定理叫做平面与
平面平行的 .符号语