最新83正态分布曲线汇总

合集下载

正态曲线

正态曲线主要内涵主要内涵在联系自然、社会和思维的实践背景下，我们以正态分布的本质为基础，以正态分布曲线及面积分布图为表征（以后谈及正态分布及正态分布论就要浮现此图）进行抽象与提升，，抓住其中的主要哲学内涵，归纳正态分布论（正态哲学）的主要内涵如下：整体论正态分布启示我们，要用整体的观点来看事物。

“系统的整体观念或总体观念是系统概念的精髓。

” 正态分布曲线及面积分布图由基区、负区、正区三个区组成，各区比重不一样。

用整体来看事物才能看清楚事物的本来面貌，才能得出事物的根本特性。

不能只见树木不见森林，也不能以偏概全。

此外整体大于部分之和，在分析各部分、各层次的基础上，还要从整体看事物，这是因为整体有不同于各部分的特点。

用整体观来看世界，就是要立足在基区，放眼负区和正区。

要看到主要方面，还要看到次要方面，既要看到积极的方面还要看到事物消极的一面，看到事物前进的一面还要看到落后的一面。

片面看事物必然看到的是偏态或者是变态的事物，不是真实的事物本身。

重点论正态分布曲线及面积分布图非常清晰的展示了重点，那就是基区占 68.27%，是主体，要重点抓，此外 95%，99%则展示了正态的全面性。

认识世界和改造世界一定要住住重点，因为重点就是事物的主要矛盾，它对事物的发展起主要的、支配性的作用。

抓住了重点才能一举其纲，万目皆张。

事物和现象纷繁复杂，在千头万绪中不抓住主要矛盾，就会陷入无限琐碎之中。

由于我们时间和精力的相对有限性，出于效率的追求，我们更应该抓住重点。

在正态分布中，基区占了主体和重点。

如果我们结合 20/80 法则，我们更可以大胆的把正区也可以看做是重点。

发展论联系和发展是事物发展变化的基本规律。

任何事物都有其产生、发展和灭亡的历史，如果我们把正态分布看做是任何一个系统或者事物的发展过程的话，我们明显的看到这个过程经历着从负区到基区再到正区的过程。

正态分布讲解(含标准表)

2．4正态分布复习引入：总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．总体密度曲线b 单位O 频率/组距a它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a ，b )内取值的概率等于总体密度曲线，直线x =a ，x =b 及x 轴所围图形的面积．观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：22()2,1(),(,)2x x e x μσμσϕπσ--=∈-∞+∞ 式中的实数μ、)0(>σσ是参数，分别表示总体的平均数与标准差，,()x μσϕ的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线．讲解新课：一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足,()()b aP a X B x dx μσϕ<≤=⎰, 则称 X 的分布为正态分布（normal distribution ) ．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作),(2σμN ．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为X ～),(2σμN .经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．例如，高尔顿板试验中，小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落，因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标 X 是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布．因此，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中．正态分布在概率和统计中占有重要的地位．说明:1参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去佑计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．2.早在 1733 年，法国数学家棣莫弗就用n ！的近似公式得到了正态分布．之后，德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它，并研究了它的性质，因此，人们也称正态分布为高斯分布．2．正态分布),(2σμN ）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响3．通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称正态曲线的作图，书中没有做要求，教师也不必补上讲课时教师可以应用几何画板，形象、美观地画出三条正态曲线的图形，结合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质4．正态曲线的性质：（1）曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交（2）曲线关于直线x=μ对称（3）当x=μ时，曲线位于最高点（4）当x ＜μ时，曲线上升（增函数）；当x ＞μ时，曲线下降（减函数）并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近（5）μ一定时，曲线的形状由σ确定σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中：五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学5．标准正态曲线:当μ=0、σ=l 时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是2221)(x e x f -=π，（-∞＜x ＜+∞）其相应的曲线称为标准正态曲线标准正态总体N （0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题讲解范例：例1．给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ （１）),(,21)(22+∞-∞∈=-x e x f x π（２）),(,221)(8)1(2+∞-∞∈=--x e x f x π （３）22(1)2(),(,)2x f x e x π-+=∈-∞+∞ 答案：(1)0，1；(2)1，2；(3)-1，0.5例2求标准正态总体在（-1，2）内取值的概率．解：利用等式)()(12x x p Φ-Φ=有)([]}{11)2()1()2(--Φ--Φ=-Φ-Φ=p=1)1()2(-Φ+Φ=0.9772＋0.8413－1=0.8151．1.标准正态总体的概率问题: xy对于标准正态总体N （0，1），)(0x Φ是总体取值小于0x 的概率，即 )()(00x x P x <=Φ，其中00>x ，图中阴影部分的面积表示为概率0()P x x < 只要有标准正态分布表即可查表解决.从图中不难发现:当00<x 时，)(1)(00x x -Φ-=Φ；而当00=x 时，Φ（0）=0.5 2.标准正态分布表标准正态总体)1,0(N 在正态总体的研究中有非常重要的地位，为此专门制作了“标准正态分布表”．在这个表中，对应于0x 的值)(0x Φ是指总体取值小于0x 的概率，即)()(00x x P x <=Φ，)0(0≥x ．若00<x ，则)(1)(00x x -Φ-=Φ．利用标准正态分布表，可以求出标准正态总体在任意区间),(21x x 内取值的概率，即直线1x x =，2x x =与正态曲线、x 轴所围成的曲边梯形的面积1221()()()P x x x x x <<=Φ-Φ． 3．非标准正态总体在某区间内取值的概率:可以通过)()(σμ-Φ=x x F 转化成标准正态总体，然后查标准正态分布表即可在这里重点掌握如何转化首先要掌握正态总体的均值和标准差，然后进行相应的转化4.小概率事件的含义发生概率一般不超过5％的事件，即事件在一次试验中几乎不可能发生假设检验方法的基本思想:首先，假设总体应是或近似为正态总体，然后，依照小概率事件几乎不可能在一次试验中发生的原理对试验结果进行分析假设检验方法的操作程序，即“三步曲”一是提出统计假设，教科书中的统计假设总体是正态总体；二是确定一次试验中的a 值是否落入(μ-3σ，μ+3σ)；三是作出判断讲解范例：例1. 若x ～N (0,1),求(l)P (-2.32<x <1.2)；(2)P (x >2).解：(1)P (-2.32<x <1.2)=Φ(1.2)-Φ(-2.32)=Φ(1.2)-[1-Φ(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747.(2)P (x >2)=1-P (x <2)=1-Φ(2)=l-0.9772=0.0228.例2．利用标准正态分布表，求标准正态总体在下面区间取值的概率：(1)在N(1,4)下，求)3(F（2）在N （μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）；Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）；Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）；Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ）解：（１）)3(F ＝)213(-Φ＝Φ（1）＝0.8413 （２）Ｆ（μ＋σ）＝)(σμσμ-+Φ＝Φ（1）＝0.8413 Ｆ（μ－σ）＝)(σμσμ--Φ＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587 Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.6826Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）＝Ｆ（μ＋1.84σ）－Ｆ（μ－1.84σ）＝0.9342Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）＝Ｆ（μ＋2σ）－Ｆ（μ－2σ）＝0.954Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ）＝Ｆ（μ＋3σ）－Ｆ（μ－3σ）＝0.997对于正态总体),(2σμN 取值的概率：68.3%2σx 95.4%4σx 99.7%6σx在区间（μ-σ，μ+σ）、（μ-2σ，μ+2σ）、（μ-3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.3%、95.4%、99.7% 因此我们时常只在区间（μ-3σ，μ+3σ）内研究正态总体分布情况，而忽略其中很小的一部分例3．某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为π21，求总体落入区间（－1.2，0.2）之间的概率解：正态分布的概率密度函数是),(,21)(222)(+∞-∞∈=--x e x f x σμσπ，它是偶函数，说明μ＝0，)(x f 的最大值为)(μf ＝σπ21，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分布( 1.20.2)(0.2)( 1.2)(0.2)[1(1.2)](0.2)(1.2)1P x -<<=Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ+Φ- 教学反思：1．在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布在上一节课我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布但总体密度曲线的相关知识较为抽象，学生不易理解，因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布 2．正态分布是可以用函数形式来表述的其密度函数可写成：22()21(),(,)2x f x e x μσπσ--=∈-∞+∞，（σ＞0）由此可见，正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的常把它记为),(2σμN 3．从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x 轴，但永不与x 轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x 轴为渐近线的4．通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征。

正态分布课件

在气象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度以及降雨量等，水文中的水位；
总之，正态分布广泛存在于自然界、生产及科学技术的许多领域中。
正态分布在概率和统计中占有重要地位。
4、正态曲线的性质
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.
（μ－σ，μ＋σ]
0.6826
（μ－2σ，μ＋2σ]
0.9544
（μ－3σ，μ＋3σ]
0.9974
（2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.
（4）曲线与x轴之间的面积为1.
（3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点)
（5）若固定, 随值的变化而沿x轴平移, 故称为位置参数
（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定 .σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
5、特殊区间的概率:
m-a
m+a
x=μ
若X~N ,则对于任何实数a>0,概率为如图中的阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减少而变大。这说明越小, 落在区间的概率越大，即X集中在周围概率越大。
4
0.04
[0.5,1)
8
0.08
[1,1.5)
15
0.15
[1.5,2)
22
0.22
[2,2.5)
25
0.25
[2.5,3)
14
0.14
[3,3.5)
6
0.06
[3.5,4)
4
0.04
[4,4.5)
2
0.02
11
高尔顿钉板实验的频率分布直方图
这条曲线具有 “中间高，两头低” 的特征，像这种类型的曲线, 就是（或近似地是）以下函数的图像:

正态分布曲线法(共11张精选PPT)

一批活塞销孔镗孔后孔径尺寸为φ28 mm，从中抽取100件作为样本，测量后得出100个数据，按尺寸从小到大进行分组，组距为，作出频数统计表。
分布曲线法。
精密机械制造基础
一、实际分布曲线
组别k
1 2 3 4 5 6
尺寸范围/㎜
27.992 ～ 27.994 27.994 ～ 27.996 27.996 ～ 27.998 27.998 ～ 28.000 28.000 ～ 28.002 28.002 ～ 28.004
正态分布曲线法
精密机械制造基础
01 实际分布曲线 02 直方图和分布折线图的作法 03 正态分布曲线
精密机械制造基础
曲线呈钟形，中间高，两边低； 32/100 二、直方图和分布折线图的作法 ——工件的平均尺寸，尺寸的分散中心，即；
加工误差的数理统计分析方法是以工如果设法使尺寸分散中心与公差带中心重合，把镗刀伸出量调短，使分布折线左移到理想位置，则可消除常值系统性误差，使全部尺寸都落
进行分组，组距为，作出频数统计表。
一、实际分布曲线
精密机械制造基础
上图为直方图和分布折线图，分析分布折线图可知： 1.尺寸分散范围（），小于公差带宽度（），表示本工序能满足加工精度要求。
2.部分工件超出公差范围（阴影部分）成为废品，究其原因是尺寸分散中心（）与公差带中心（）不重合，存在较大的常值系统性误差（Δ常）。如果设法使尺寸分散中心与公
谢谢！
差带中心重合，把镗刀伸出量调短，使分布折线左移到理想位置，则可消除常值系统性误差，使全部尺寸都落在公差带内。
精密机械制造基础
二、直方图和分布折线图的作法
1
收
集
数
据
2
分
组

数学优秀课件正态分布曲线

六、课堂总结
1.正态曲线：正态变量概率密度曲线的函数表达
式为：(其中μ表示数学期望，σ表示标准差)
p(x)
1
e
(
x )2 2 2
,
x
R
2
2.正态曲线的特点：(性质)
3.正态曲线的应用：(3σ原则)
正态总体在三个特殊区间内取值的概率值：正态变量在(μ-σ,μ+σ)内取值的概率为68.3% 正态变量在(μ-2σ,μ+3σ)内取值的概率为95.4% 正态变量在(μ-3σ,μ+3σ)内取值的概率为99.7%
8.3 正态分布曲线
2021年11月24日星期三
一、复习引入
高尔顿钉板试验
二、提出问题
100个产品尺寸的频率分布直方图
频率组距
25.235 25.295
25.355 25.415
产品尺寸（mm)
25.475 25.535
200个产品尺寸的频率分布直方图
频率组距
产品尺寸（mm) 25.235 25.295 25.355 25.415 25.475 25.535
参数说法正确的有( A)
(1)函数式中的π是圆周率； (2)e是自然对数的底，它是一个无理数； (3)μ是正态分布的均值，相当于离散型随机变量中的数学期望E(X)； (4)σ是正态分布的方差； (5)正态分布一般记为N(μ,σ2)； (6)正态分布在(-∞,+∞)内取值的概率为1。
A.5个
B.4
C.3
（6）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
μ=0
μ=-1
μ=1
σ=0.5
若固定,
随值
的变化而

8.3正态分布曲线

P( x1 X x2 ) 的几何意义：
p ( x) 所对应的曲线、 x x1、x x2、x轴围成的面积。
P( x1 X x2 ) p( x)dx F ( x2 ) F ( x1 )
x1
x2
定义：若随机变量 X 服从正态分布。记作 X ~ N ( , 2 )
考纲要求
利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及正态曲线的意义。
常见考法
考查题型：选择或填空考查方式：数形结合，考查图象的特点及意义。
例题
1.小矩形的面积=频率 2.小矩形面积之和=1 频率分布折线图？
正态分布：直方图为单峰形态，呈左右对称分布
频率组距
正态分布密度曲线
周长
样本容量增大时，频率分布折线趋近于一条光滑的曲线 ——总体密度曲线
x0
注： ( x0）的值可以查表。
练习：当X ~ N(0,1) 时，求P(X 0) P(X -1) P(X 1) P(-1 X 2)
常用的性质
若 X～N(μ ，σ )， (1) P( X x0 ) F ( x0 ) ( (2) ( x0 ) 1 ( x0 )
生活中的正态分布
在生产中，在正常生产条件下各种产品的质量指标；
在测量中，测量结果；
在生物学中，同一群体的某一特征；……；在气象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度以及降雨量等，水文中的水位；
正态分布密度曲线函数
p ( x)
1 e 2 ( x )2 2 2
( x )
8.3 正态分布曲线
莆田十中高二数学备课组
回顾
方差
pi P( xi ), (i 1,2,，n)

正态分布曲线

卡方检验
总结词
卡方检验是一种非参数检验方法，用于检验正态分布曲线的假设。
详细描述
卡方检验通过比较实际观测频数与理论频数，计算卡方统计量，以检验数据是否符合正态分布。如果样本数据符合正态分布，则卡方统计量将接近于期望值。卡方检验的优点是不需要假设数据符合特定的分布形式，因此适用于更广泛的数据类型。
考试分数分布
分数集中
考试分数通常呈现正态分布，即大部分考生成绩集中在平均分附近，高分和低分成绩占少数。
标准差
考试分数的标准差可以反映成绩分布的离散程度，标准差越小，成绩越集中。
及格率
考试及格分数线通常设定在正态分布的60分左右，以确保大部分考生能够通过。
股票价格波动
波动幅度
股票价格的波动幅度通常呈现正态分布，即大部分时间股票价格波动较小，极端波动的情况较少。
特征
集中性
正态分布曲线下的面积大部分集中在均值附近，离均值越远概率越小。
对称性
正态分布曲线关于y轴对称，即概率密度函数是偶函数。
均匀递增性
在均值左侧，曲线从负无穷增加到0；在均值右侧，曲线从0增加到正无穷。
概率密度函数
01
正态分布的概率密度函数为高斯函数，也称为钟形曲线。
02
概率密度函数表示随机变量取某个值的概率密度，即单位区间
详细描述
Z检验基于正态分布的性质，通过计算样本数据的均值和标准差，与理论值进行比较，以检验数据是否符合正态分布。如果样本数据符合正态分布，则Z检验统计量将接近于标准正态分布种常用的假设检验方法，用于检验正态分布曲线的假设。
详细描述
t检验基于样本数据的均值和标准差，通过计算t统计量，与临界值进行比较，以检验数据是否符合正态分布。如果样本数据符合正态分布，则t检验统计量将接近于标准正态分布的临界值。

《正态分布曲线》课件

data = np.random.normal(mu, sigma, 1000)
使用Python绘制正态分布曲线
count, bins, ignored = plt.hist(data, 30, density=True)
plt.plot(bins, (1/(sigma * np.sqrt(2 * np.pi))) * np.exp(- (bins - mu)2 / (2 * sigma2)), linewidth=2, color='r')
密度等。正态分布曲线可以用来描述这些物理量的分布情况。
03
社会调查
在社会调查中，许多调查数据呈现正态分布特征，例如民意调查、市场
调查等。正态分布曲线可以用来描述这些调查数据的分布情况。
CHAPTER 05
正态分布曲线的扩展知识
正态分布的假设检验
假设检验基本原理
假设检验是统计学中用于判断样本数据是否符合某种假设的一种方法。在正态分布的情境下，通常假设数据符合正态分布，然后通过检验统计量进行判断。
THANKS
[ 感谢观看 ]
置信区间的应用
置信区间在统计学中有着广泛的应用，如回归分析、方差分析、实验设计等。在正态分布的情境下，我们可以通过计算置信区间来评估样本数据的可靠性和稳定性。
正态分布与其他分布的比较
01 02 03
正态分布的优势
正态分布是一种非常重要的概率分布，其概率密度函数具有许多优良的性质，如对称性、可加性等。此外，许多自然现象和随机变量都呈现出近似正态分布的特性，因此正态分布在统计学中具有广泛的应用。
《正态分布曲线》ppt 课件
CONTENTS 目录
• 正态分布曲线的定义 • 正态分布曲线的性质 • 正态分布曲线的绘制 • 正态分布曲线的应用 • 正态分布曲线的扩展知识

83正态分布曲线

8.3正态分布曲线教学目标：知识与技能：掌握正态分布在实际生活中的意义和作用。

过程与方法：结合正态曲线，加深对正态密度函数的理理。

情感、态度与价值观：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质。

教学重点：正态分布曲线的性质、标准正态曲线N(0，1) 。

教学难点：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质。

教具准备：多媒体、实物投影仪。

教学设想：在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口，正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布。

内容分析：1．在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布在上一节课我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布但总体密度曲线的相关知识较为抽象，学生不易理解，因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布2．正态分布是可以用函数形式来表述的其密度函数可写成：22()2(),(,)xf x xμσ--=∈-∞+∞，（σ＞0）由此可见，正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的),(2σμN 3．从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x 轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的4．通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征5．由于正态分布是由其平均数μ和标准差σ唯一决定的，因此从某种意义上说，正态分布就有好多好多，这给我们深入研究带来一定的困难但我们也发现，许多正态分布中，重点研究N（0，1），其他的正态分布都可以通过)()(σμ-Φ=xxF转化为N（0，1），我们把N （0，1）称为标准正态分布，其密度函数为22121)(xexF-=π，x∈（-∞，+∞），从而使正态分布的研究得以简化6．结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质做要求，授课时可以借助几何画板作图，学生只要了解大致的情形就行了，关键是能通过正态曲线，引导学生归纳其性质教学过程：学生探究过程：复习引入：总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a ，b )内取值的概率等于总体密度曲线，直线x =a ，x =b 及x 轴所围图形的面积．观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：22()2,(),(,)x x x μσμσϕ--=∈-∞+∞式中的实数μ、)0(>σσ是参数，分别表示总体的平均数与标准差，,()x μσϕ的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线．讲解新课：一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足,()()b aP a X B x dx μσϕ<≤=⎰,则称 X 的分布为正态分布（normal distribution ) ．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作),(2σμN ．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为X ～),(2σμN . 经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．例如，高尔顿板试验中，小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落，因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标 X 是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布．因此，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中．正态分布在概率和统计中占有重要的地位．说明:1参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去佑计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．2.早在 1733 年，法国数学家棣莫弗就用n ！的近似公式得到了正态分布．之后，德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它，并研究了它的性质，因此，人们也称正态分布为高斯分布．2．正态分布),(2σμN ）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响3．通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称正态曲线的作图，书中没有做要求，教师也不必补上讲课时教师可以应用几何画板，形象、美观地画出三条正态曲线的图形，结合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质4．正态曲线的性质：（1）曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交（2）曲线关于直线x=μ对称（3）当x=μ时，曲线位于最高点（4）当x ＜μ时，曲线上升（增函数）；当x ＞μ时，曲线下降（减函数）线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近（5）μ一定时，曲线的形状由σ确定 σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中：五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学5．标准正态曲线:当μ=0、σ=l 时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是2221)(xex f -=π，（-∞＜x ＜+∞）其相应的曲线称为标准正态曲线标准正态总体N （0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题讲解范例：例1．给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ（１）),(,21)(22+∞-∞∈=-x ex f xπ（２）),(,221)(8)1(2+∞-∞∈=--x ex f x π（３）22(1)(),(,)x f x x -+=∈-∞+∞答案：(1)0，1；(2)1，2；(3)-1，0.5例2求标准正态总体在（-1，2）内取值的概率．解：利用等式)()(12x x p Φ-Φ=有 )([]}{11)2()1()2(--Φ--Φ=-Φ-Φ=p=1)1()2(-Φ+Φ=0.9772＋0.8413－1=0.8151．1.标准正态总体的概率问题:对于标准正态总体N （0，1），)(0x Φ是总体取值小于0x 的概率，即 )()(00x x P x <=Φ，其中00>x ，图中阴影部分的面积表示为概率0()P x x < 只要有标准正态分布表即可查表解决.从图中不难发现:当00<x 时，)(1)(00x x -Φ-=Φ；而当00=x 时，Φ（0）=0.52.标准正态分布表标准正态总体)1,0(N 在正态总体的研究中有非常重要的地位，为此专门制作了“标准正态分布表”．在这个表中，对应于0x 的值)(0x Φ是指总体取值小于0x 的概率，即 )()(00x x P x <=Φ，)0(0≥x ．若00<x ，则)(1)(00x x -Φ-=Φ．利用标准正态分布表，可以求出标准正态总体在任意区间),(21x x 内取值的概率，即直线1x x =，2x x =与正态曲线、x 轴所围成的曲边梯形的面积1221()()()P x x x x x <<=Φ-Φ．3．非标准正态总体在某区间内取值的概率:可以通过)()(σμ-Φ=x x F 转化成标准正态总体，然后查标准正态分布表即可在这里重点掌握如何转化首先要掌握正态总体的均值和标准差，然后进行相应的转化4.小概率事件的含义发生概率一般不超过5％的事件，即事件在一次试验中几乎不可能发生假设检验方法的基本思想:首先，假设总体应是或近似为正态总体，然后，依照小概率事件几乎不可能在一次试验中发生的原理对试验结果进行分析假设检验方法的操作程序，即“三步曲”一是提出统计假设，教科书中的统计假设总体是正态总体；二是确定一次试验中的a 值是否落入(μ-3σ，μ+3σ)；三是作出判断讲解范例：例1. 若x ～N (0,1),求(l)P (-2.32<x <1.2)；(2)P (x >2). 解：(1)P (-2.32<x <1.2)=Φ(1.2)-Φ(-2.32)=Φ(1.2)-[1-Φ(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747. (2)P (x >2)=1-P (x <2)=1-Φ(2)=l-0.9772=0.0228.例2．利用标准正态分布表，求标准正态总体在下面区间取值的概率： (1)在N(1,4)下，求)3(F（2）在N （μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）；Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）；Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）；Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ）解：（１）)3(F ＝)213(-Φ＝Φ（1）＝0.8413（２）Ｆ（μ＋σ）＝)(σμσμ-+Φ＝Φ（1）＝0.8413Ｆ（μ－σ）＝)(σμσμ--Φ＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.6826Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）＝Ｆ（μ＋1.84σ）－Ｆ（μ－1.84σ）＝0.9342 Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）＝Ｆ（μ＋2σ）－Ｆ（μ－2σ）＝0.954 Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ）＝Ｆ（μ＋3σ）－Ｆ（μ－3σ）＝0.997 对于正态总体),(2σμN 取值的概率：在区间（μ-σ，μ+σ）、（μ-2σ，μ+2σ）、（μ-3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.3%、95.4%、99.7% 因此我们时常只在区间（μ-3σ，μ+3σ）内研究正态总体分布情况，而忽略其中很小的一部分例3．某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为π21，求总体落入区间（－1.2，0.2）之间的概率解：正态分布的概率密度函数是),(,21)(222)(+∞-∞∈=--x e x f x σμσπ，它是偶函数，说明μ＝0，)(x f 的最大值为)(μf ＝σπ21，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分布( 1.20.2)(0.2)( 1.2)(0.2)[1(1.2)](0.2)(1.2)1P x -<<=Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ+Φ-巩固练习：书本第74页 1,2,3课后作业：书本第75页习题2. 4 A 组 1 , 2 B 组1 , 2 教学反思：1．在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布在上一节课我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布但总体密度曲线的相关知识较为抽象，学生不易理解，因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布2．正态分布是可以用函数形式来表述的其密度函数可写成：22()21(),(,)x f x x μσ--=∈-∞+∞，（σ＞0）由此可见，正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的 ),(2σμN3．从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x 轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x 轴为渐近线的4．通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征。

数学(选修2-3)课件8.3正态分布曲线

A．0.477
B．0.628
C．0.954
D．0.977
解析：方法一 P(ξ＞2)＝1－P(ξ≤2)＝1－F(2)＝1－Φ2σ＝0.023， ∴Φ2σ＝1－0.023＝0.977. ∴P(－2≤ξ≤2)＝F(2)－F(－2)＝Φ2σ－Φ－2σ＝2Φ2σ－1 ＝0.954.
方法二因为随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，所以正态曲线关于直线x＝0对称．又P(ξ＞2)＝0.023，所以P(ξ＜－2)＝ 0.023.所以P(－2≤ξ≤2)＝1－P(ξ＞2)－P(ξ＜－2)＝1－2×0.023 ＝0.954.
答案：A
【点评】准确理解正态分布的概念和性质是解题关键，尤其应注意正态分布中参数μ，σ的意义以及它们在正态曲线中的作用．正态分布由μ和σ这两个参数决定，参数μ是反映随机变量的平均水平的特征数，参数σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，σ越小，曲线越尖陡，σ越大，曲线越扁平．
1．设 X～N(μ1，σ21)，Y～N(μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是( )
(2)∵μ－3σ＝20－3×2＝14，μ＋3σ＝20＋3×2＝26， μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24， ∴零件尺寸 X 在区间(14,26)mm 的百分比大约是 99.7%，而零件尺寸 X 在区间(16,24)mm 的百分比大约是 95.4%. ∴ 零件尺寸在区间 (24,26)mm 的百分比大约是 99.7%－2 95.4%＝2.15%.因此尺寸在区间(24,26)mm 的大约有 5 000×2.15%≈108(个)．
正态分布下的概率问题
设随机变量X～N(3,1)，P(X＞4) ＝p.求P(2＜X＜4)．
解：由X～N(3,1)，得μ＝3. ∵P(X＞4)＝p， ∴由对称性可得P(X＞4)＝P(X＜2)＝p. ∴P(2＜X＜4)＝1－P(X＞4)－P(X＜2)＝1－2p.

正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义-高中数学知识点讲解

正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义1．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【知识点的知识】1．正态曲线及性质（1）正态曲线的定义函数φμ，σ（x）=2―(푥―휇)12휎2 ，x∈（﹣∞，+∞），其中实数μ和σ（σ＞0）为参数，我们称φ2휋휎푒μ，σ（x）的图象（如图）为正态分布密度曲线，简称正态曲线．（2）正态曲线的解析式①指数的自变量是x 定义域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．②解析式中含有两个常数：π和e，这是两个无理数．③解析式中含有两个参数：μ和σ，其中μ可取任意实数，σ＞0 这是正态分布的两个特征数．④解析式前面有一个系数为1，后面是一个以e 为底数的指数函数的形式，幂指数为―2휋휎(푥―휇)22휎2．2．正态分布（1）正态分布的定义及表示푏如果对于任何实数a，b（a＜b），随机变量X 满足P（a＜X≤b）= φμ，σ（x）dx，则称X 的分布为正态分布，푎记作N（μ，σ2）．（2）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．3．正态曲线的性质1/ 6正态曲线φμ，σ（x）=2―(푥―휇)12휎2，x∈R 有以下性质：2휋휎푒（1）曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交；（2）曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；（3）曲线在x＝μ处达到峰值1；2휋휎（4）曲线与x 轴围成的图形的面积为 1；（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移；（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．4．三个邻域会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据．【典型例题分析】题型一：概率密度曲线基础考察典例 1：设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f（x）的图象，且f（x）=21―(푥―10)8휋푒8，则这个正态总体的平均数与标准差分别是（）A．10 与 8 B．10 与 2 C．8 与 10 D．2 与 10解析：由21―(푥―10)8휋푒8=2―(푥―휇)12휎2，可知σ＝2，μ＝10．2휋휎푒答案：B．典例 2：已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.8，则P（0＜ξ＜2）等于（）A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.22/ 6解析：由P（ξ＜4）＝0.8 知P（ξ＞4）＝P（ξ＜0）＝0.2，故P（0＜ξ＜2）＝0.3．故选C．典例 3：已知随机变量X 服从正态分布N（3，1），且P（2≤X≤4）＝0.682 6，则P（X＞4）等于（）A．0.158 8 B．0.158 7 C．0.158 6 D．0.158 51解析由正态曲线性质知，其图象关于直线x＝3 对称，∴P（X＞4）＝0.5﹣2P（2≤X≤4）＝0.5 ―12× 0.682 6＝0.1587．故选B．题型二：正态曲线的性质1典例 1：若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为．42휋（1）求该正态分布的概率密度函数的解析式；（2）求正态总体在（﹣4，4]的概率．分析：要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数μ，σ的值，其中μ决定曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形状和最大值有关．解（1）由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y 轴对称，即μ＝0．由12휋휎=1，42휋得σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是φμ，σ（x）=21―푥42휋푒32，x∈（﹣∞，+∞）．（2）P（﹣4＜X≤4）＝P（0﹣4＜X≤0+4）＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．点评：解决此类问题的关键是正确理解函数解析式与正态曲线的关系，掌握函数解析式中参数的取值变化对曲线的影响．3/ 6典例 2：设两个正态分布N（μ1，휎12）（σ1＞0）和N（μ2，휎22）（σ2＞0）的密度函数图象如图所示，则有（）A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ2解析：根据正态分布N（μ，σ2）函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选A．答案：A．题型三：服从正态分布的概率计算典例 1：设X～N（1，22），试求（1）P（﹣1＜X≤3）；（2）P（3＜X≤5）；（3）P（X≥5）．分析：将所求概率转化到（μ﹣σ，μ+σ]．（μ﹣2σ，μ+2σ]或[μ﹣3σ，μ+3σ]上的概率，并利用正态密度曲线的对称性求解．解析：∵X～N（1，22），∴μ＝1，σ＝2．（1）P（﹣1＜X≤3）＝P（1﹣2＜X≤1+2）＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.682 6．（2）∵P（3＜X≤5）＝P（﹣3＜X≤﹣1），∴P（3＜X≤5）=12[P（﹣3＜X≤5）﹣P（﹣1＜X≤3）]4/ 6=12[P（1﹣4＜X≤1+4）﹣P（1﹣2＜X≤1+2）]=12[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）]=12×（0.954 4﹣0.682 6）＝0.1359．（3）∵P（X≥5）＝P（X≤﹣3），∴P（X≥5）=12[1﹣P（﹣3＜X≤5）]=12[1﹣P（1﹣4＜X≤1+4）]=12[1﹣P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）]=12×（1﹣0.954 4）＝0.0228．求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率，只需借助正态曲线的性质，把所求问题转化为已知概率的三个区间上．典例 2：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）＝0.3，则P（ξ＜2）＝．解析：由题意可知，正态分布的图象关于直线x＝1 对称，所以P（ξ＞2）＝P（ξ＜0）＝0.3，P（ξ＜2）＝1﹣0.3＝0.7．答案：0.7．题型 4：正态分布的应用典例 1：2011 年中国汽车销售量达到 1 700 万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了 1 200 名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里 8.0 升，并且汽车的耗油量ξ服从正态分布N（8，σ2），已知耗油量ξ∈[7，9]的概率为 0.7，那么耗油量大于 9 升的汽车大约有辆．解析：由题意可知ξ～N（8，σ2），故正态分布曲线以μ＝8 为对称轴，又因为P（7≤ξ≤9）＝0.7，故P（7≤ξ≤9）＝2P（8≤ξ≤9）＝0.7，所以P（8≤ξ≤9）＝0.35，而P（ξ≥8）＝0.5，所以P（ξ＞9）＝0.15，故耗油量大于 9 升的汽车大约有 1 200×0.15＝180 辆．5/ 6点评：服从正态分布的随机变量在一个区间上的概率就是这个区间上，正态密度曲线和x 轴之间的曲边梯形的面푥1+푥2积，根据正态密度曲线的对称性，当P（ξ＞x1）＝P（ξ＜x2）时必然有2=μ，这是解决正态分布类试题的一个重要结论．1典例 2：工厂制造的某机械零件尺寸X 服从正态分布N（4，），问在一次正常的试验中，取 1 000 个零件时，不9属于区间（3，5]这个尺寸范围的零件大约有多少个？1解∵X～N（4，），∴μ＝4，σ=91 3．∴不属于区间（3，5]的概率为P（X≤3）+P（X＞5）＝1﹣P（3＜X≤5）＝1﹣P（4﹣1＜X≤4+1）＝1﹣P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝1﹣0.9974＝0.0026≈0.003，∴1 000×0.003＝3（个），即不属于区间（3，5]这个尺寸范围的零件大约有 3 个．【解题方法点拨】正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然不是高考的重点，但在近几年新课标高考中多次出现，其中数值计算是考查的一个热点，考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误．对正态分布N（μ，σ2）中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，且注意第二个数值应该为σ2而不是σ，同时，记住正态密度曲线的六条性质．6/ 6。

正态分布密度曲线(简称正态曲线)

Y
x=μ
用面积去表示概率
μ -a
μ+a
X
O
X落在区间 ( a, a] 为:
P( a X a]
a
a ,
(x)dx
特别地有“3σ原则” 区间
（μ－σ，μ＋σ] （μ－2σ，μ＋2σ] （μ－3σ，μ＋3σ]
取值概率 68.26% 95.44% 99.74%
发生概率一般不超过5％的事件，即在一次试验中几乎不
正态分布密度曲线(简称正态曲线)
, (x)
1
( x )2
e 2 2 , x (,)
2
Y
O
X
想一想
结合 , (x) 的解析式及概率的性质,
你能说说正态曲线的特点吗?
正态分布密度曲线(简称正态曲线)的特点:
, (x)
1
( x )2
e 2 2 , x (,)
2
(1)曲线在x轴上方,与x轴不相交； (2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称； Y
x=μ
1 (3)曲线在x=μ处达到峰值 2 ；
(4)曲线与x轴之间的面积为１；
O
X
(5)当σ一定时,曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
(6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定. σ越小,曲线越“瘦高”,表示总
体的分布越集中，σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分
散。
想若 X ~ N(, 2 ) ,如何用正态曲线求一随机变量X 在一定区间内的概率? 想
可能发生的事件．
小概率事件

正态分布密度曲线简称正态曲线.

则称 X 的分布为正态分布，记为 N ( , 2 ) ，称 X 服从正态分布为 X ~ N ( , 2 )
O
a
b
X
正态分布密度曲线(简称正态曲线)
, ( x)
Y
1 2
e

( x )2 2 2
, x (,)
O
X
想一想
结合 , ( x) 的解析式及概率的性质, 你能说说正态曲线的特点吗?
正态分布密度曲线(简称正态曲线)的特点:
, ( x)
1 2
e

( x )2 2 2
, x (,)
Y
(1)曲线在x轴上方,与x轴不相交； (2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称； (3)曲线在x=μ处达到峰值
x=μ
1 2
；
(4)曲线与x轴之间的面积为１；
(5)当σ一定时,曲线随着μ的变化而沿x轴平移； (6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定. σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中，σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散。
O X
想若 X ~ N (, 2 ) ,如何用正态曲线求一随机变量X 在一定区间内的概率? 想
Y
x=μ 用面积去表示概率
99.74%
发生概率一般不超过5％的事件，即在一次试验中几乎不可能发生的事件．
小概率事件
某镇农民的年平均收入服从正态
分布N(5000,2002),试求该镇农民年平均收入在(4800,5200]范围内的概率.
(5000,5200]
(5000,5400]
(5200,5400] 若该镇农民有5000人,试估计年收入在 (4800,5600]之间的有多少人?