利用定积分求曲线围成的面积

12.9 利用定积分求曲线围成的面积

武汉外国语学校 汪家硕

一．复习回顾：

1.定积分的几何意义：当()0f x ≥时，积分()b

a f x dx ⎰在几何上表示由()y f x =、x a =、x

b =与x 轴所围成的曲边梯形的面积。

当()0f x ≤时，由()y f x =、x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方。

2.牛顿—莱布尼茨公式

定理（微积分基本定理）如果()f x 是区间[,]a b 上的连续函数，并且'

()()F x f x =，则 ()()()b

a f x dx F

b F a =-⎰

二．曲线围成的面积

1.设f 和g 是区间[,]a b 上的连续函数且对任意的[,]x a b ∈有()()f x g x ≥，则直线x a =和直线x b =以及曲线间围成的面积可以表示为：()()()()b b b a a a

f x dx

g x dx f x g x dx -=-⎰

⎰⎰ 例1.求抛物线2y x =和直线2y x =所围成的区域面积。

解：先求出P 点坐标。

解方程组22y x y x

⎧=⎨=⎩ ⇒ 02x x =⎧⎨=⎩ ∴ P 点的坐标是(2,4)。

所求的面积= 2

23220

8424333x x x dx x ⎡⎤-=-=-=⎢⎥⎣⎦⎰ 例1

例2．计算曲线21y x =+和24y x =-，以及直线1x =和1x =-所围成的区域面积。 解：所求面积=

11132221112144(1)32333x x x dx x dx x ---⎡⎤--+=-=-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰

例2

2.前面的例题都是一个曲线总在另外一个曲线的上方，如果它们交叉会是什么结果？

考虑区间112233[,],[,],[,],[,]a c c c c c c b ，阴影部分面积可以表示为：

1

23123()()()()()()()()c c c b

a c c c f x g x dx g x f x dx f x g x dx g x f x dx -+-+-+-⎰⎰⎰⎰ ⎰

b a f (x )dx =⎰

c a f (x )dx +⎰b c f (x )dx 。

例3：求3

()f x x =和()g x x =所围成的封闭区域面积。 解：当()()f x g x =时图像的交点，

即 332

0(1)0x x x x x x =⇒-=⇒-= 01x ∴=±或

例3

例4：求阴影部分的面积。

例4 练习：

1. 求阴影部分面积