SAS学习系列22. 一元线性回归
一元线性回归的SPSS做法及结果
步骤：分析——回归——线性——将“不良贷款”放入因变量；“各项贷款余额”放入自变量——确定
如果希望出预测值数据以及其置信区间估计以及预测区间估计的区间，步骤如下：
步骤：分析——回归——线性——将“不良贷款”放入因变量；“各项贷款余额”放入自变量——点击右边的“保存“——选择“预测值”下面的“非标准化”; “预测区间”下面的“均值”、“单值”——点击“继续”回到原来的对话框——确定
预测值以及置信区间估计以及预测区间估计的区间的数据如下：（等同于课本325页内容）
以下内容不做要求，了解即可。
残差分析步骤：步骤：分析——回归——线性——将“不良贷款”放入因变量；“各项贷款余额”放入自变量——点击右边的“保存“——选择“预测值”下面的“非标准化”; “预测区间”下面的“均值”、“单值”；“残差”里面选择“未标准化”和“标准化”——点击“继续”回到原来的对话框——确定
以上为标准化残差图，根据经验法则，约有95%数据落在【-2,2】之间。
标准化残差的分布也近似服从正态分布，关于残差的假定成立，上述回归模型可用。
.。
SAS线性回归
L=Õ
i =1
n
1 é 1 ù ( y i - a - bxi ) 2 ú exp ê 2 s 2p ë 2s û ö é 1 ÷ ÷ exp ê- 2s 2 ë ø
n
æ 1 =ç ç è s 2p
å(y
i =1
n
i
ù - a - bxi ) 2 ú û
（3.4）
（3.4）式 现用极大似然估计法来估计未知参数 a ， b 。对于任意一组观察值 y1 , y 2 , L , y n ， 就是样本的似然函数。显然，要 L 取最大值，只要（3.4）式右端方括弧中的平方和部分为 最小，即只需函数
n
i1
åx åx
i =1
2 i1
n æ n ö = nå x - ç å xi1 ÷ = nå ( xi1 - x ×1 ) 2 ¹ 0 i =1 i =1 è i =1 ø n 2 i1
2
4
故（3.7）式有唯一的一组解。解得 b, a 的极大似然估计为
n æ n öæ n ö nå x i y i - ç å x i ÷ç å y i ÷ è i =1 øè i =1 ø = ˆ = i =1 b 2 n æ n ö 2 nå x i - ç å xi ÷ i =1 è i =1 ø n n ˆ 1 b ˆx ˆ = å y i - å xi = y - b a n i =1 n i =1
å(x
i =1
n
ü - x)( y i - y ) ï ï n ï 2 ï ( xi - x ) å ý i =1 ï ï ï ï þ
i
（3.8）
于是，所求的线性回归方程为
ˆx ˆ=a ˆ+b y ˆ x 代入上式，则线性回归方程变为 ˆ = y -b 若将 a
《一元线性回归》课件
使用评价指标对模型的性能进行评估。
《一元线性回归》PPT课 件
一元线性回归是一种用于探索变量之间关系的统计方法。本课件将介绍一元 线性回归的基本概念、模型、参数估计、模型评估以及Python实现。
一元线性回归-简介
一元线性回归是一种分析两个变量之间线性关系的方法。在这一节中，我们 将介绍一元线性回归的定义、使用场景以及它的重要性。
决定系数
4
方的平均值。
衡量模型对观测值的解释能力，取值范 围从0到1。
一元线性回归-Python实现
导入数据
使用Python的pandas库导入数据集。
划分数据集
将数据集划分为训练集和测试集。
预测结果
使用测试集数据对模型进行预测。
特征工程
选择合适的特征并对其进行处理。
训练模型
使用训练集数据训练线性Байду номын сангаас归模型。
一元线性回归-线性回归模型
1
简单线性回归模型
一个自变量和一个因变量之间的线性关
多元线性回归模型
2
系。
多个自变量和一个因变量之间的线性关
系。
3
线性回归模型的假设
包括线性关系、平均误差为零、误差具 有相同的方差、误差相互独立等。
一元线性回归-模型参数估计
1
最小二乘法
通过最小化观测值和模型预测值之间的平方误差来估计模型参数。
2
矩阵求导
使用矩阵求导的方法来计算模型参数的最优解。
3
梯度下降法
通过迭代的方式逐步优化模型参数，使得模型预测值与观测值之间的差距最小。
一元线性回归-模型评估
1
对模型误差的描述
通过各种指标来描述模型预测值和观测
2.4 SAS做一元线性回归
一元线性回归的SAS程序
例1 物质吸附 某种物质在不同温度下可以吸附另一种物质， 如果温度x(单位：℃)与吸附重量y(单位：mg)的观测值如 下所示：
温度(x) 1.5 1.8 2.4 3.0 3.5 3.9 4.4 4.8 5.0
重量(y) 4.8 5.7 7.0 8.3 10.9 12.4 13.1 13.6 15.3
程序结果的分析
y 16
15
14
13
12
11
10
9 8
7
6
5
4
1
2
3
4
5
x
结论：y与解释变量x之间存在显著的线性关系
Pr>F<0.0001 <<0.05
构成小概率，拒绝原假设H0 : a b 0 接受备择假设H1 : a,b 不全为0
R2=0.9823，拟合优度较高，解释变量对y影响显著
Intercept：常数项或截距
Pr>|t|=0.6441 >0.05
不构成小概率，接受原假设H0 : b 0
x：回归系数
Pr>|t|<0.0001 <<0.05
构成小概率，拒绝原假设H0 : a 0
接受备择假设H1 : a 0
回归方程：y =0.25695+2.93028x
注：模型的改进 model y=x;
去掉截距项 model y=x/noint;
SAS软件介绍
之SAS做一元线性回归
引例 一元线性回归的检验 一元线性回归的SAS程序 程序结果的分析
引例
例1 物质吸附 某种物质在不同温度下可以吸附另一种物质， 如果温度x(单位：℃)与吸附重量y(单位：mg)的观测值如 下所示：
SAS系统和数据分析一元线性回归分析
第三十一课一元线性回归分析回归分析是一种统计分析方法，它利用两个或两个以上变量之间的关系，由一个或几个变量来预测另一个变量。
在SAS/STA T中有多个进行回归的过程,如REG、GLM等，REG过程常用于进行一般线性回归模型分析。
一、回归模型1. 基本概念回归模型是一种正规工具，它表示统计关系中两个基本的内容：①用系统的形式表示因变量Y随一个或几个自变量X变化的趋势；②表现观察值围绕统计关系曲线的散布情况。
这两个特点是由下列假设决定的：●在与抽样过程相联系的观察值总体中，对应于每一个X值，存在Y的一个概率分布；这些概率分布的均值以一些系统的方式随X变化。
●图31.1是用透视的方法来显示回归曲线。
Y对给定X具有概率分布这一概念总是与统计关系中的经验分布形式上相对应；同样，描述概率分布的均值与X之间关系的回归曲线，与统计关系中Y系统地随X变化的一般趋势相对应。
图31.1线性回归模型的图示在回归模型中，X称为“自变量”，Y称为“因变量”；这只是传统的称法，并不表明在给定的情况下Y因果地依赖于X，无论统计关系多么密切，回归模型不一定是因果关系，在某些应用中，比如我们由温度表水银柱高度（自变量）来估计温度（因变量）时，自变量实际上依赖于因变量。
此外，回归模型的自变量可以多于一个。
2. 回归模型的构造（1）自变量的选择构造回归模型时必须考虑到易处理性，所以在有关的任何问题中，回归模型只能（或只应该）包括有限个自变量或预测变量。
（2） 回归方程的函数形式选择回归方程函数形式与选择自变量紧密相关。
有时有关理论可能指出适当的函数形式。
然而，通常我们预先并不能知道回归方程的函数形式，要在收集和分析数据后，才能确定函数形式。
我们经常使用线性和二次回归函数来作为未知性质回归方程的最初近似值。
图31.2(a)表示复杂回归函数可以由线性回归函数近似的情况，图31.2(b)表示复杂回归函数可以由两个线性回归函数分段近似的情况。
一元线性回归方程教学课件
Y:人均食品支出
北京市城市居民家庭生活抽样调查图表
10 8 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
x:人均生活费收入
第3页，共28页。
§1.1 模型的建立及其假定条件
一、一元线性回归模型
例如：研究某市可支配收入X对人均消费支出Y 的影响。建立如下理论 回归模型：
总离差平方和 ＝ 回归平方和 ＋ 残差平方和
SST
=
SSR
+
SSE
H0： 1 0 H1： 1 0
F SSR /1 ~ F (1, n 2) SSE /(n 2)
拒绝域 F >Fα (1,n-2)
第21页，共28页。
三、 用样本可决系数检验回归方程的拟合优度
R2 = SSR
SST
R2=0时 表明解释变量X与被解释变量Y之间不存在线性关系； R2=1时 表明样本回归线与样本值重合，这种情况极少发生； 一般情况下，R2越接近1表示拟合程度越好，X对Y的解释能力越强。
Yi = 0 + 1 Xi + εi
其中： Yi——被解释变量；
ε I ——随机误差项；
Xi——解释变量； 0，1—回归系数
随机变量ε i包含：
回归模型中省略的变量; 确定数学模型的误差； 测量误差
第4页，共28页。
假设调查了某社区所有居民，他们的人均可支配 收入和消费支出数据如下：
X 80 100 Y
（ei为εi的估计值）
第9页，共28页。
注意：分清4个式子的关系 （1）理论（真实的）回归模型：
Yi 0 1Xi i
（2）理论（真实的）回归直线：
E( Y | X i ) 0 1X i
SAS编程：回归分析
SAS 统计分析与应用 从入门到精通 三、曲线回归
1、可化为线性的曲线回归
由于曲线回归没有固定的模型和方法，因而很难进行处理和分析。但 是对于一些基本的曲线模型，我们可以通过变换将它们转化为线性模型， 继而利用线性回归的方法进行分析。
SAS 统计分析与应用 从入门到精通 三、曲线回归
2、REG 过程
3、逐步回归
在实际问题中，影响因变量的因素可能很多，其中有些因素的影响 显著，而有些因素的作用可以忽略，如何从大量的因素中挑出对因变量 有显著影响的自变量来，这就涉及到变量的选择问题。 逐步回归是在建立模型的过程中对变量进行逐个筛选的回归方法， 其基本思想是：在建立回归模型时，逐个引入自变量，每次引入的变量 都经过检验对因变量的影响是显著的，同时对已有的变量也进行检验， 将不显著的变量剔除。这样最后得到的回归方程中，所有变量都是显著 的。
SAS 统计分析与应用 从入门到精通
回归分析
一元线性回归
多元线性回归
曲线回归
非线性回归 Logistic回归
SAS 统计分析与应用 从入门到精通 一、一元线性回归
1、基本模型
SAS 统计分析与应用 从入门到精通 一、一元线性回归
1、基本模型
SAS 统计分析与应用 从入门到精通 一、一元线性回归
2、模型的检验
SAS 统计分析与应用 从入门到精通 一、一元线性回归
2、模型的检验
SAS 统计分析与应用 从入门到精通 一、一元线性回归
3、利用回归方程进行预测
SAS 统计分析与应用 从入门到精通 一、一元线性回归
4、REG过程
REG过程是SAS系统中提供的用于一般线性回归的过程，通过此 过程可以实现一元回归分析，包括模型的建立和检验等。REG过程中 有很多的语句和选项，其中用于一元回归的基本语句格式为： PROC REG DATA=数据集名 <选项>; MODEL 因变量名=自变量名 </选项>; PLOT 纵轴变量名*横轴变量名 <=符号> </选项>; BY 分组变量名; RUN; 其中，PROC语句和MODEL语句是必须的，其他语句可以根据用 户需要进行选用。
第五章一元线性回归
这三个准则也称作估计量的小样本性质。
拥有这类性质的估计量称为最佳线性无偏估计 量（best liner unbiased estimator, BLUE）。 当不满足小样本性质时，需进一步考察估计量的 大样本或渐近性质： （4）渐近无偏性，即样本容量趋于无穷大时，是 否它的均值序列趋于总体真值； （5）一致性，即样本容量趋于无穷大时，它是否 依概率收敛于总体的真值； （6）渐近有效性，即样本容量趋于无穷大时，是 否它在所有的一致估计量中具有最小的渐近方差。
i
X )
1 n
ei
可得
ˆ ˆ yi 1xi
Hale Waihona Puke (**)（**）式也称为样本回归函数的离差形式。
三、参数估计的最大或然法(ML)
最大或然法(Maximum Likelihood,简称ML)， 也称最大似然法，是不同于最小二乘法的另一种 参数估计方法，是从最大或然原理出发发展起来 的其它估计方法的基础。 基本原理： 对于最大或然法，当从模型总体随机抽取n组 样本观测值后，最合理的参数估计量应该使得从 模型中抽取该n组样本观测值的概率最大。
ˆ ˆ 0 Y 0 X 1567
0 . 777 2150
103 . 172
因此，由该样本估计的回归方程为：
ˆ Y i 103 . 172 0 . 777 X
i
四、最小二乘估计量的性质
当模型参数估计出后，需考虑参数估计值的 精度，即是否能代表总体参数的真值，或者说需 考察参数估计量的统计性质。 一个用于考察总体的估计量，可从如下几个方 面考察其优劣性： （1）线性性，即它是否是另一随机变量的线性 函数； （2）无偏性，即它的均值或期望值是否等于总 体的真实值； （3）有效性，即它是否在所有线性无偏估计量 中具有最小方差。
《一元线性回归》ppt课件
E (Y|Xi)01Xi2 E (Y|Xi)01 2Xi
三、总体回归模型与随机干扰项 〔 population regression model，PRM & stochastic disturbance/error〕
• 描画总体中解释变量X和被解释变量Y的个体值Yi之间的变 化规律：Yi＝f〔Xi〕＋μi
称为线性总体回归函数。其中，0，1是未知参数，称为回归系 数〔regression coefficients〕。
A1：“线性〞的含义
• 对变量为线性——解释变量以一次方的方式出现 • ○ 从几何上看，此时总体回归线是一条直线
• 对参数为线性——回归系数以一次方的方式出现 • ○ 从几何上看，此时总体回归线并不一定是直线
四、样本回归函数 〔sample regression function，SRF〕
•描画样本中解释变量X和被解释变量Y的之间的平均变化规 律：Y^i＝f〔Xi〕
1、样本回归函数〔SRF〕
• 总体的信息往往无法掌握，因此PRF实践上未知 • 现实的情况只能是在一次观测中得到总体的一个样本，经过样本的信息来 估计总体回归函数。
1969 1991 2046 2068 2101
968 1045 1243 1474 1672 1881 1078 1254 1496 1683 1925
2189 2233
1122 1298 1496 1716 1969 1155 1331 1562 1749 2013
2244 2299
1188 1364 1573 1771 2035 1210 1408 1606 1804 2101
问题：能否从样本估计总体回归函数？
例2.2：从例2.1的总体中获得如下一个样本：
SAS学习系列22.一元线性回归
22. 一元线性回归回归分析是研究一个或多个变量（因变量）与另一些变量（自变量）之间关系的统计方法。
主要思想是用最小二乘法原理拟合因变量与自变量间的最佳回归模型（得到确定的表达式关系）。
其作用是对因变量做解释、控制、或预测。
回归与拟合的区别：拟合侧重于调整曲线的参数，使得与数据相符；而回归重在研究两个变量或多个变量之间的关系。
它可以用拟合的手法来研究两个变量的关系，以及出现的误差。
回归分析的步骤：（1）获取自变量和因变量的观测值；（2）绘制散点图，并对异常数据做修正；（3）写出带未知参数的回归方程；（4）确定回归方程中参数值；（5）假设检验，判断回归方程的拟合优度；（6）进行解释、控制、或预测。
一、一元线性回归模型为Y=0+1X+ε其中X是自变量，Y是因变量，0,1是待求的未知参数，0也称为截距；ε是随机误差项，也称为残差，通常要求ε满足：① ε的均值为0； ② ε的方差为 2；③ 协方差COV(εi , εj )=0，当i≠j 时。
即对所有的i≠j, εi 与εj 互不相关。
二、用最小二乘法原理，得到最佳拟合效果的01ˆˆ,ββ值： 1121()()ˆ()niii n ii x x yy x x β==--=-∑∑， 01ˆˆy x ββ=- 三、假设检验1. 拟合优度检验 总偏差平方和及其自由度：回归平方和及其自由度：残差平方和及其自由度：TSS=RSS+ESS21RSS ESSR TSS TSS==-通常可以认为当R 2大于0.9时，所得到的回归直线拟合得较好，而当R 2小于0.5时，所得到的回归直线很难说明变量之间的依赖关系。
2. 回归方程参数的检验回归方程反应了因变量Y 随自变量X 变化而变化的规律，若 1=0，则Y 不随X 变化，此时回归方程无意义。
所以，要做如下假设检验：H 0: 1=0, H 1: 1≠0； （1） F 检验若 1=0为真，则回归平方和RSS 与残差平方和ESS/(N-2)都是 2的无偏估计，因而采用F 统计量：来检验原假设β=0是否为真。
一元线性回归模型PPT课件
b1、b2
Yi B1 B2 Xi ui
ei
第18页/共67页
3.3 参数的最小二乘估计
• 参数估计：普通最小二乘法（OLS）
• 普通最小二乘法就是要选择参数 ，使得残差平方和（residual sum of squares, RSS） 最小。
•即
b1、b2
ei2
Q ei2
Yi Yˆi 2
Xi 也称 自变量（independent variable）
称为 参数（parameter）
B , B 1 称2为 随机扰动项（random error term）
ui
第13页/共67页
3.2 随机扰动项的来源
• 上式如何解释？
• 可以认为，在给定家庭收入水平 上，第i个学生的数学分数可以表达为两部分之和：
第14页/共67页
3.2 随机扰动项的来源
•
第15页/共67页
3.2 随机扰动项的来源
• 性质1：扰动项代表了未纳入模型变量的影响。例如个人健康状况、居住区域等等。 • 性质2：反映了人类行为的内在随机性。即使模型中包括了决定数学分数的所有变量，其内在随机性也
不可避免，这是做任何努力都无法解释的。 • 性质3：还代表了度量误差，例如收入的数据可能不等于真实值。 • 性质4：“奥卡姆剃刀原则”——即描述应该尽可能简单，只要不遗漏重要的信息，此时可以把影响Y
第8页/共67页
3.1 回归的涵义
• 样本回归函数（sample regression function, SRF） • 可用样本回归函数（SRF）表示样本回归线：
其中， 总体条件均值
的估计量；
Yˆi b1 b2 Xi
Yˆ E Y X • 并非所有样本数据都准确地i落在样本回归线上，因此建立随机i 样本回归函数：
SAS统计之第五章-线性回归分析报告
( y y)2 ( y yˆ)2 2( y yˆ)( yˆ y) ( yˆ y)2
对数据资料所有点的求和得：
(y y)2 (y yˆ)2 2(y yˆ)( yˆ y) (yˆ y)2
利用下图说明F检验法的基本原理。
当自变量为 x ，对应的
y
因变量的实测值为 y，
yˆ
y y
y yˆ 因变量的预测值为 yˆ 。 yˆ y 于是 y的离均差 y y
y
可分解为两个部分：
y y ( y yˆ) ( yˆ y)
xx
离均差 随机误差 回归引起的偏差
第三节 回归关系的显著性检验
三个平方和的计算公式:
总平方和: T SSy (y y)2 y2 ( y)2 / n 回归平方和: U SSr (yˆ y)2
a y bx, yˆ a bx, yˆ y bx bx, yˆ y b(x x), （yˆ y）2 b2 (x x)2 ,
第三节 回归关系的显著性检验
对所有点求和得：
(y
yˆ)( yˆ
y)
b[SPxy
SPxy SS x
SSx ]
0
于是：y 的总平方和便分解为两个部分：
(y y)2 (y yˆ)2 (yˆ y)2
y 的总平方和 误差平方和 回归平方和
T SSy
Q SSe U SSr
第三节 回归关系的显著性检验
第五章 线性回归分析
一、一元线性回归 二、一元线性回归方程 三、回归关系的显著性检验 四、置信区间 五、多元线性回归 六、回归诊断
第一节 一元线性回归
生产实践中，常常能找到一个变量与另外一
一元线性回归
y X
E ( ) 0 G M 条件 2 Var ( ) In
其中 I n 为 n 阶单位阵。
ˆ , ˆ 更好的性质，我们对 给出进一 为了得到 0 1
步的假设（强假设） 设 1 , 2 , , n 相 互 独 立 ， 且 i ~ N (0, ) ，
ˆ y ˆxy ˆ ˆ x 说明 ( x , y ) 在 由 0 1 0 1
回归直线上，此点也称为 n 个样本点的重心。
例 1：一个大企业雇用的员工非常多，为了探讨 员工的年资 x （年）对员工月薪 y （百元）的影响， 随 机 抽 访 了 25 名 员 工 ， 得
25 25 25
一 一元线性回归模型的数字形式
一元线性回归模型的一般形式
y 0 1 x
一元线性回归方程为： E ( y ) 0 1 x
当对Y与X进行n次独立观测后,可取得n对观测值
( xi , yi ), i 1, 2,
名称 性质
yi 0 1 xi i
2
（ i 1, , n ） ，由此可得： y1 , y 2 , , y n 相互独立， 且 y i ~ N ( 0 1 xi , ) ， （ i 1, , n ）
2
二、参数0，1的估计
普通最小二乘估计(OLSE)
定义离差平方和
Q( 0 , 1 ) ( yi E ( yi )) ( yi 0 1 xi ) 2
回归参数 未知 非随机 自变量 已知 随机误差项 未知
, n, 则有
因变量 已知 随机
非随机 随机
回归分析的主要任务是通过 n 组样本观测值
一元线性回归
2020/2/1
中山学院经济与管理系
4
2.1 模型的建立及其假定条件
2 回归分析的概念 回归分析研究一个变量关于另一个（些）变量的
具体依赖关系的计算方法和理论。
其用意：在于通过后者的已知或设定值，去估计 （或）预测前者的（总体）均值。
2020/2/1
中山学院经济与管理系
5
2.1 模型的建立及其假定条件
一般来说，回归模型的随机误差项中可能包 括如下几项内容。
（1）未在模型中列出的影响y变化的非重要
解释变量。如消费模型中家庭人口数、消 费习惯、物价水平差异等因素的影响都包 括在随机误差项中。
（2）人的随机行为。经济活动都是人参与 的。人的经济行为的变化也会对随机误差 项产生影响。
2020/2/1
中山学院经济与管理系
squares estimators）。
2020/2/1
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24
2.2 一元线性回归模型的参数估计
3 最小二乘直线的性质
（1）残n 差ei的均值等于0
因为 ei 0 ，所以 e
n
ei
i1
0
i 1
n
（2）残差ei与解释变量xi不相关
n
即
ei xi 0
（3）i1样本回归直线经过点（ x, y ）
y＝33.73＋0.516 x 这一方程表明：父母平均身高每增减一个单位时，其年 子女的身高仅平增减0.516个单位
2020/2/1
中山学院经济与管理系
6
这项研究结果表明，虽然高个子父辈有生高个子儿子
的趋势，矮个子的父辈有生矮个子儿子的趋势，但父辈
身高增减一个单位，儿子身高仅增减半个单位左右。通
SAS线性回归分析案例
1■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ «»■■■■■■■.■■■■■■■■■■■■■■■■■■■Z 貫44 豎呦88£1?600Z线性回归分为一元线性回归和多元线性回归。
一元线性回归的模型为Y=/?O+0】X+£,这里X是自变量，Y是因变量，£是随机误差项。
通常假设随机谋差的均值为0,方差为（，＞0）,，与X的值无关。
若进一步假设随机谋差服从正态分布，就叫做正态线性模型。
一般情况，设有k个自变量和一个因变量，因变量的值可以分解为两部分：一部分是山于自变量的影响，即表示为自变量的函数，其中函数形式已知，但含有一些未知参数：另一部分是由于其他未被考虑的因素和随机性的影响，即随机误差。
当函数形式为未知参数的线性函数时，称为线性回归分析模型。
如果存在多个因变量,则回归模型为：Y = 00+ 81X1 +02X2 +…+ "iXi + £。
「h于直线模型中含有随机课差项，所以回归模型反映的-直线是不确立的。
回归分析的主要冃的是要从这些不确定的克线中找出一条最能拟合原始数据信息的直线，并将其作为回归模型來描述因变量和自变量之间的关系，这条直线被称为回归方程。
通常在曰归分析中，刘£有以下最为常用的经典假设。
1、£的期望值为0.2、£对于所有的X而言具有同方差性。
3、£是服从正态分布且相互独立的随机变量。
对线性回归的讲解，本文以例题为依托展开。
在下面的例题中既有一元回归分析，乂有二元回归分析。
例题（《数据据分析方法》习题2. 4_page79）某公司管理人员为了解某化妆品在一个城市的月销量Y （单位：箱）与该城市中适合使用该化妆品的人数& （单位：千人）以及他们人均月收入屁（单位：元）之间的关系，在某个月中对15个城市作了调査，得到上述乞量的观测值如表2. 12所示。
spss操作一元线性回归分析PPT课件
2020/1/13
16
1
例 某实验室用大白鼠做实验，研究一种代 乳粉的营养价值。
进食量和体重增加量表
动物编号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
进食量X（g ） 820 780 720 860 690 787 934 679 639 820
体重增加Y（g ）165 158 130 180 134 167 186 145 120 158
12
6.正态性检验图
13
7. 回 归 直 线 与 散 点 图
14
一元线性回归分析在医学上的应用:
1. 确定两个变量间是否存在线性关系，如存在,则 用回归方程表示它们之间的数量关系.
2. 根据一个较易测得的变量的值去推测另一个不易 测得的变量的值.
3. 用以进行对今后工作的预测. 4. 用以建立较为精确的正常值范围. 5. 用以修正观测值.
7
1. 描述性统计量
主要结果
2. 相关系数表
8
2020/1/13
9
3. 模型摘要
可决系数 R2 = .883
10
4. 方差分析表
统计量 F = 60.197 , P≈.000<.001,认为进 食量对大白鼠体重增加量的回归效果显著.
11
5. 回归系数表
回归方程: Y 17.357 0.222X
3
2. 程序选项 Analyze → Regression → Linear…
4
引入回归分析的因变量：体重增量 引入回归分析的自变量 ：进食量 在Method：中选Enter（强迫引如法）
5
单击Statistics … （选项如下图）
6
单击Continue→Plos…
一元线性回归PPT课件
第九章 一元线性回归
9.6.2误差项的自相性关检验
误差项具有负自相关性的残差图
图9-11
第九章 一元线性回归
9.6.2误差项的自相性关检验
误差项具有正自相关性的残差图
图9-12
情况二
图9-7
第九章 一元线性回归
9.4.2 样本相关系数
情况三
图9-8
第九章 一元线性回归
9.4.2 样本相关系数
情况四
图9-9
第九章 一元线性回归
9.5 一元线性回归显著性检验
在回归函数E(Y)=β0+β1X中，如果β1=0，则对于X的一切 水平E(Y)=β0，说明Y的变化与X的变化无关，因而，我们不 能通过X去预测Y。所以，对模型Yi=β0+β1Xi+εi 检验β1=0 是否成立，等价于检验Y与X之间是否存在线性关系。
9.2.4 一元线性回归方程
Yi=β0+β1Xi+εi β0和β1均未知
根据样本数据
对β0和β1
进行估计
β0和β1的估计
值为b0和b1
建立一元线性回归方程
Yˆb0 b1X
第九章 一元线性回归
9.2.4 一元线性回归方程
一般而言，所求的b0和b1应能使每个样本观测点(X i,Y i) 与回归直线之间的偏差尽可能小，即使观察值与拟 合值的误差平方和Q达到最小。
Yi=β0+β1Xi+εi (i=1,2,···,n)
其中，(X i,Yj)表示(X,Y)的第i个观测值，β0 , β1为参
数，β0+β1Xi为反映统计关系直线的分量，ε i为 反映在统计关系直线周围散布的随机分量ε i～N
(0,σ 2)。
一元线性回归模型及参数估计
步骤：收集数据、建立模型、 计算参数、评估模型
优点：简单易行，适用于线 性回归模型
最大似然估计法
定义：最大似然 估计法是一种基 于概率的参数估 计方法，通过最 大化样本数据的 似然函数来估计
参数。
原理：利用已知 样本数据和概率 分布函数，计算 出样本数据出现 的概率，然后选 择使得概率最大 的参数值作为估
参数估计的性质
无偏性
定义：参数估计量是 无偏估计时，其期望 值等于参数的真实值。
性质：无偏性是线性 回归模型参数估计的 最基本性质之一，是 评价估计量优劣的重 要标准。
证明：可以通过数学 推导证明无偏性，具 体过程可以参考相关 教材或论文。
应用：在回归分析中， 无偏性可以保证估计 的参数具有最小误差， 从而提高预测的准确 性和可靠性。
计值。
优点：简单易行， 适用于多种分布 类型的数据，具
有一致性。
局限：对样本数 据的要求较高， 当样本数据量较 小或分布不均时， 估计结果可能不
准确。
最小绝对误差准则
定义：最小化预测值与实际值之间的绝对误差
优点：对异常值不敏感，能够更好地处理数据中的噪声和异常值
缺点：可能导致模型过于复杂，过拟合数据 应用场景：适用于预测连续变量，尤其是当因变量和自变量之间的关系是 非线性的情况
行处理。
处理方法：包括 删除不必要的自 变量、合并相关 性较高的自变量、 使用其他模型等
方法。
模型预测与决策应用
预测未来趋势
利用一元线性回 归模型预测未来 趋势
模型参数估计的 方法和步骤
预测结果的解读 与决策应用
模型预测的局限 性及改进方法
制定决策依据
利用回归方程进行 预测
ห้องสมุดไป่ตู้
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22. 一元线性回归回归分析是研究一个或多个变量（因变量）与另一些变量（自变量）之间关系的统计方法。
主要思想是用最小二乘法原理拟合因变量与自变量间的最佳回归模型（得到确定的表达式关系）。
其作用是对因变量做解释、控制、或预测。
回归与拟合的区别：拟合侧重于调整曲线的参数，使得与数据相符；而回归重在研究两个变量或多个变量之间的关系。
它可以用拟合的手法来研究两个变量的关系，以及出现的误差。
回归分析的步骤：（1）获取自变量和因变量的观测值；（2）绘制散点图，并对异常数据做修正；（3）写出带未知参数的回归方程；（4）确定回归方程中参数值；（5）假设检验，判断回归方程的拟合优度；（6）进行解释、控制、或预测。
一、一元线性回归模型为Y=β0+β1X+ε其中X是自变量，Y是因变量，β0,β1是待求的未知参数，β0也称为截距；ε是随机误差项，也称为残差，通常要求ε满足：① ε的均值为0；② ε的方差为σ2；③ 协方差COV(εi , εj )=0，当i≠j 时。
即对所有的i≠j, εi 与εj 互不相关。
二、用最小二乘法原理，得到最佳拟合效果的01ˆˆ,ββ值： 1121()()ˆ()n i i i ni i x x y y x x β==--=-∑∑， 01ˆˆy x ββ=- 三、假设检验1. 拟合优度检验总偏差平方和及其自由度：回归平方和及其自由度：残差平方和及其自由度：TSS=RSS+ESS21RSS ESS R TSS TSS ==- 通常可以认为当R 2大于0.9时，所得到的回归直线拟合得较好，而当R 2小于0.5时，所得到的回归直线很难说明变量之间的依赖关系。
2. 回归方程参数的检验回归方程反应了因变量Y 随自变量X 变化而变化的规律，若β1=0，则Y 不随X 变化，此时回归方程无意义。
所以，要做如下假设检验：H 0: β1=0, H 1: β1≠0；（1） F 检验若β1=0为真，则回归平方和RSS 与残差平方和ESS/(N -2)都是σ2的无偏估计，因而采用F 统计量：来检验原假设β=0是否为真。
（2）T 检验对H 0: β1=0的T 检验与F 检验是等价的（t 2=F ）。
对H 0: β0=0的T 检验，若β0=0为真，t 统计量为：3. 用回归方程做预测得到回归方程01ˆˆˆY X ββ=+后，预测X=x 0处的Y 值0010ˆˆˆy x ββ=+. 0ˆy的预测区间为：其中t α/2的自由度为N -2.SAS 中是用model 语句中的clm 选项来计算预测区间的。
4. 回归诊断（1）残差图分析残差图就是以残差ˆˆy y ε=-为纵坐标，某一个合适的自变量为横坐标的散点图。
回归模型中总是假定误差项是独立的正态分布随机变量，且均值为零和方差相等为σ2. 如果模型适合于观察到的数据，那么残差作为误差的无偏估计，应基本反映误差的假设特征。
即残差图应该在零点附近对称地密布，越远离零点的地方就疏散（在形象上似有正态趋势），则认为模型与数据拟合得很好。
若残差图呈现如图（a ）所示的形式，则认为建立的回归模型正确，更进一步再诊断“学生化残差”是否具有正态性：图（b ）表明数据有异常点，应处理掉它重新做回归分析（在SAS 的REG 回归过程步中用来度量异常点影响大小的统计量是COOKD 统计量）；图（c ）残差随x 的增大而增大，图（d ）残差随x 的增大而先增后减，都属于异方差。
此时应该考虑在回归之前对数据y 或x 进行变换，实现方差稳定后再拟合回归模型。
原则上，当误差方差变化不太快时取变换y ；当误差方差变化较快时取变换log y 或ln y ；当误差方差变化很快时取变换1/y ；还有其他变换，如著名的Box -Cox 幂变换λλ1-y .图（e ）（f ）表示选用回归模型是错误的。
（2）共线性回归分析中很容易发生模型中两个或两个以上的自变量高度相关，从而引起最小二乘估计可能很不精确（称为共线性问题）。
在实际中最常见的问题是一些重要的自变量很可能由于在假设检验中t值不显著而被不恰当地剔除了。
共线性诊断问题就是要找出哪些变量间存在共线性关系。
SAS的REG过程步提供了特征值法、条件指数collin和方差膨胀因子vif.（3）误差的独立性回归分析之前，要检验误差的独立性。
若误差项不独立，那么回归模型的许多处理，包括误差项估计、假设检验等都将没有推导依据。
由于残差是误差的合理估计，因此检验统计量通常是建立在残差的基础上。
检验误差独立性的最常用方法，是对残差的一阶自相关性进行Durbin-Watson检验。
H0: 误差项是相互独立的; H1: 误差项是相关的检验统计量：DW接近于0，表示残差中存在正自相关；如果DW接近于4，表示残差中存在负自相关；如果DW接近于2，表示残差独立性。
在给定显著水平α下，我们可以查Durbin-Watson表得到不能拒绝独立性原假设的区间。
四、PROC REG过程步1. 基本语法前面三种回归分析都可以用PROC REG过程步实现。
基本语法：PROC REG data = 数据集;MODEL 因变量= 自变量列表</可选项>;说明：MODEL语句用来指定因变量和自变量；常用的输出可选项：STB——输出标准化偏回归系数矩阵CORRB——输出参数估计矩阵COLLINOINT——对自变量进行共线性分析P——输出个体观测值、预测值及残差（R/CLM/CLI包含P）R——输出每个个体观测值、残差及标准误差CLM——输出因变量均值95%的置信界限的上下限CLI——对各预测值输出95%的置信界限的上下限MSE——要求输出随机扰动项方差σ2的估计2ˆ与残差分析有关的可选项VIF——输出变量间相关性的方差膨胀系数，VIF越大，说明由于共线性存在，使方差变大；COLLIN——输出条件数，它表示最大的特征值与每个自变量特征值之比的平方根。
一般情况下，条件数越大越可能存在共线性；TOL——表示共线性水平的容许值，TOL越小说明其可用别的自变量解释的部分多，自然可能与别的自变量存在共线性关系；DW——输出Durbin-Watson统计量；influence——对异常点进行诊断，对每一观测点输出统计量（Cook’s D > 50%, defits/debetas > 2说明该点影响较大）。
2. 绘制回归分析的图形在PROC REG过程步加入绘图选项语句即可。
基本语法：PROC REG data = 数据集PLOTS = (图形类型);可选的绘图类型：FITPLOT——带回归线、置信预测带的散点图；RESIDUALS——自变量的残差图；DIAGNOSTICS——诊断图（包括下面各图）；COOKSD——Cook's D统计量图；OBSERVEDBYPREDICTED——根据预测值的因变量图；QQPLOT ——检验残差正态性的QQ图；RESIDUALBYPREDICTED——根据预测值的残差图；RESIDUALHISTOGRAM——残差的直方图；RFPLOT——残差拟合图；RSTUDENTBYLEVERAGE——杠杆比率的学生化残差图；RSTUDENTBYPREDICTED——预测值的学生化残差图；注：残差图(RESIDUALS)和诊断图(DIAGNOSTICS)是自动生成的，根据模型也有其它默认的图形输出；若只绘制指定的图形需要加上ONLY:PROC REG data = 数据集 PLOTS(ONLY) = (图形类型);例1 （线性回归）30名儿童棒球选手的数据（C:\MyRawData\Baseball.dat），变量包括击球高度、球飞出的距离：读入数据，以球飞出的距离为因变量，击球高度为自变量做线性回归分析。
代码：data hits;infile'c:\MyRawData\Baseball.dat';input Height Distance @@;run;proc reg data= hits PLOTS(ONLY) = (DIAGNOSTICS FITPLOT);model Distance = Height/r clm cli dw;title'Results of Regression Analysis';run;运行结果：结果说明：（1）只有一个自变量的，故其自由度为DF=1，因变量的自由度为N-1=29；误差的自由度为N-1-1=28；（2）离差平方和(TSS)=回归平方和(RSS)+残差平方和(ESS)，即3633.86667= 1365.50831+ 2268.35836离差平方和平均值为MSR=RSS/df=1365.50831/1= 1365.5083，误差项的离差平方和平均值为MSE=ESS/df= 2268.35836/28= 81.01280；（3）假设检验H0：回归系数β=0.F(1,28)=MSR/MSE=1365.5083/81.01280=16.86P值=0.0003<α=0.05，说明斜率β不为0（与后面的t检验结果相同）；（4）均方根误差：Root MSE= MSE开根号= 9.00071；变异系数（或称方差系数）：Coeff Var=均方根误差/因变量均值×100=6.88479；（5）拟合优度R2=0.3758，校正的R2=0.3535；说明线性回归关系并不强，球飞出的距离可能还和选手的年龄、经验有关；（6）参数估计表给出了截距和斜率的估计值，得到回归方程：Distance = -11.00859 + (2.89466 * Height)斜率2.89466的t检验P值=0.0003<α=0.05，说明该结果在显著水平α下有统计学意义；但截距的t检验结果并不显著。
（7）Durbin-Watson D 值=1.569，说明误差基本上是独立的（靠近2说明误差基本上是独立的，小于2说明是正相关）；（8）COOKD统计量大于50%，则认为该观测是异常点。