均匀系统的平衡稳定条件

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雅可比行列式在平衡稳定性条件中的应用

热力学与统计物理理论体系是建立在数理逻辑
上的完备的自洽的公理化体系．在这个体系中利
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其中，Ｙ为一对独立变数，，， “ 为另一对独立变数．要进行变数，Ｙ与变数 “ 之间的转换．，
年月第卷第期四师范大学学报自然科学版雅可比行列式在平衡稳定性条件中的应用穆轶蒡及其它多种表达形式与常规方法相比推证中引入雅可比行列式的优点是思路明确方警舅赛考詈嚣一考塞粉詈雅砒式羰相当于粉揣粉斟肭另粉耥端一黼或粉式中两行的互换而萤尝芳与黉费芳的区别是雅师范大学物理与电子工程学院四川成都摘要应用雅可比行列式根据熵判据和内能判据详细推求了孤立的均匀物质系统的平衡稳定性条件法简洁易于掌握关键词雅可比行列式孤立的均匀物质系统平衡稳定性条件中图分类号文献标识码文章编号热力学与统计物理理论体系是建立在数理逻辑上的完备的自洽的公理化体系引在这个体系中利用不同的数学手段和方法寻找理论推导过程总会得到殊途同归的效果在热力学与统计物理中雅可比行列式是热力学进行导数运算的一个有效工具是循环关系链式关系倒数关系复合函数求导这些方法及它们之间的综合运用的等价形式因此雅可比行列式广泛应用于各种热力学关系式的推导及证明引在我们采用雅可比行列式变换的方法解决大量的热力学关系式证明问题时可以明显感觉到雅可比行列式这一有效工具的运用能大大减化推导步骤更加明确推导思想且易于掌握另一方面在热力学与统计物理的教学过程中孤立系统的平衡稳定性条件既是重点又是难点但只有少数教材和文章对该条件进行了正确的推导剖为帮助初学者更加快捷地掌握并深刻理解平衡稳定性条件的物理含义进一步领悟数学与物理学的完美结合我们将应用雅可比行列式灵活地选取中间参量根据熵判据和内
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热力学与统计物理第三章知识总结

§3.1 热动平衡判据当均匀系统与外界达到平衡时，系统的热力学参量必须满足一定的条件，称为系统的平衡条件。

这些条件可以利用一些热力学函数作为平衡判据而求出。

下面先介绍几种常用的平衡判据。

oisd一、平衡判据1、熵判据熵增加原理，表示当孤立系统达到平衡态时，它的熵增加到极大值，也就是说，如果一个孤立系统达到了熵极大的状态，系统就达到了平衡态。

于是，我们就能利用熵函数的这一性质来判定孤立系统是否处于平衡态，这称为熵判据。

孤立系统是完全隔绝的，与其他物体既没有热量的交换，也没有功的交换。

如果只有体积变化功，孤立系条件相当与体积不变和内能不变。

因此熵判据可以表述如下：一个系统在体积和内能不变的情形下，对于各种可能的虚变动，平衡态的熵最大。

在数学上这相当于在保持体积和内能不变的条件下通过对熵函数求微分而求熵的极大值。

如果将熵函数作泰勒展开，准确到二级有d因此孤立系统处在稳定平衡态的充分必要条件为既围绕某一状态发生的各种可能的虚变动引起的熵变，该状态的熵就具有极大值，是稳定的平衡状态。

如果熵函数有几个可能的极大值，则其中最大的极大相应于稳定平衡，其它较小的极大相应于亚稳平衡。

亚稳平衡是这样一种平衡，对于无穷小的变动是稳定是，对于有限大的变动是不稳定的。

如果对于某些变动，熵函数的数值不变，，这相当于中性平衡了。

熵判据是基本的平衡判据，它虽然只适用于孤立系统，但是要把参与变化的全部物体都包括在系统之内，原则上可以对各种热动平衡问题作出回答。

不过在实际应用上，对于某些经常遇到的物理条件，引入其它判据是方便的，以下将讨论其它判据。

2、自由能判据表示在等温等容条件下，系统的自由能永不增加。

这就是说，处在等温等容条件下的系统，如果达到了自由能为极小的状态，系统就达到了平衡态。

我们可以利用函数的这一性质来判定等温等容系统是否处于平衡态，其判据是：系统在等温等容条件下，对于各种可能的变动，平衡态的自由能最小。

这一判据称为自由能判据。

云南师范大学热力学统计物理期末复习讲解

各章知识点整理和复习第一章热力学的基本定律知识点1、热力学第一定律dU dQ dW =+2、热力学第二定律3、热力学基本方程dU TdS pdV =-4、热力学第二定律的数学表述dU TdS pdV ≤-5、克劳修斯熵BRB A Ad Q S S T-=⎰，玻尔兹曼熵ln S k =Ω 6、熵增加原理。

复习题1、简述热力学第二定律及其统计解释。

参考：热力学第二定律的开尔文表述：热不可能全部转变为功而不引起其他变化。

热力学第二定律的克劳修斯表述：热量不能自动地从低温物体传向高温物体。

或第二类永动机不可能。

热力学第二定律的微观意义是，一切自然过程总是沿着分子热运动的无序性（或混乱度）增大的方向进行,系统对应的微观状态数增大，根据玻尔兹曼熵ln S k =Ω，因此系统的熵值增加，即熵增加原理。

2、简述熵增加原理及其统计解释。

参考：孤立系统中所进行的自然过程总是沿着熵增大的方向进行。

根据玻尔兹曼熵公式ln S k =Ω，可知孤立系统中所进行的自然过程总是向着微观状态数（或混乱度）增大的方向进行。

第二章均匀物质的热力学性质知识点1、基本热力学函数的全微分和麦氏关系的得出。

dU TdS pdV dH TdS Vdp dF SdT pdV dG SdT Vdp=-=+=--=-+ ()()()()()()()()S V S pT V T p T p V ST Vp SS pV T S V p T∂∂=-∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂∂=-∂∂2、麦氏关系的应用。

2、气体的节流过程。

3、特性函数的应用。

4、热辐射（平衡辐射）的热力学结果，斯特方玻尔兹曼定律。

复习题1、写出焦汤系数的数学表达式，简述节流过程的特点；利用焦汤系数分析通过节流产生致冷效应、致温效应和零效应的原理。

（P57）2、证明能态方程T VU p T p V T ∂∂⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭。

参考：选T 、V 作为状态参量时，有V TU U dU dT dV TdS pdV T V ∂∂⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭V TS S dS dT dV T V ∂∂⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 得： V T S S dU T dT T p dV T V ⎡⎤∂∂⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎢⎥∂∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦比较得： T TU S T p V V ∂∂⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 将麦氏关系T V S p V T ∂∂⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭代入，即得T VU p T p V T ∂∂⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭3、证明焓态方程p TH V V T p T ⎛⎫∂∂⎛⎫=-⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭。

工程热力学思考题答案,第一章.

第一章基本概念与定义1.闭口系与外界无物质交换，系统内质量保持恒定，那么系统内质量保持恒定的热力系一定是闭口系统吗？答：不一定。

稳定流动开口系统内质量也可以保持恒定。

2.有人认为，开口系统中系统与外界有物质交换，而物质又与能量不可分割，所以开口系统不可能是绝热系。

对不对，为什么？答：这种说法是不对的。

工质在越过边界时，其热力学能也越过了边界。

但热力学能不是热量，只要系统和外界没有热量地交换就是绝热系。

3.平衡状态与稳定状态有何区别和联系，平衡状态与均匀状态有何区别和联系？答：只有在没有外界影响的条件下，工质的状态不随时间变化，这种状态称之为平衡状态。

稳定状态只要其工质的状态不随时间变化，就称之为稳定状态，不考虑是否在外界的影响下，这是他们的本质区别。

平衡状态并非稳定状态之必要条件。

物系内部各处的性质均匀一致的状态为均匀状态。

平衡状态不一定为均匀状态，均匀并非系统处于平衡状态之必要条件。

4.倘使容器中气体的压力没有改变，试问安装在该容器上的压力表的读数会改变吗？绝对压力计算公式b e p p p =+()e p p >， b e p p p =-()e p p <中，当地大气压是否必定是环境大气压？答：压力表的读数可能会改变，根据压力仪表所处的环境压力的改变而改变。

当地大气压不一定是环境大气压。

环境大气压是指压力仪表所处的环境的压力。

5.温度计测温的基本原理是什么？答：选作温度计的感应元件的物体应具备某种物理性质随物体的冷热程度不同有显著的变化。

有两个系统分别和第三个系统处于热平衡，则两个系统彼此必然处于热平衡。

6.经验温标的缺点是什么？为什么？答：任何一种经验温标不能作为度量温度的标准。

由于经验温标依赖于测温物质的性质，当选用不同测温物质的温度计、采用不同的物理量作为温度的标志来测量温度时，除选定为基准点的温度，其他温度的测定值可能有微小的差异。

7.促使系统状态变化的原因是什么？举例说明答：系统内部各部分之间的传热和位移或系统与外界之间的热量的交换与功的交换都是促使系统状态变。

热力学与统计物理期末题库

热力学与统计物理期末习题一、简答题1.什么是孤立系？什么是热力学平衡态？2.请写出熵增加原理？并写出熵增加原理的数学表达式？3.说明在S ，V 不变的情形下，平衡态的U 最小。

4.试解释关系式 ∑∑+=l l l l l l da d a dU εε 的物理意义？5.什么是玻色－爱因斯坦凝聚，理想玻色气体出现凝聚体的条件是什么？6.什么是热力学系统的强度量？什么是广延量？7.什么是热动平衡的熵判据？什么是等概率原理？请写出单元复相系的平衡条件。

8.写出吉布斯相律，并判断盐的水溶液的最大自由度数。

9.写出玻耳兹曼关系，并说明熵的统计意义。

10.请分别写出正则分布的量子表达式和经典表达式？11.简述卡诺定理及其推论。

12.什么是特性函数？若自由能F为特性函数，其自然变量是什么？13.说明一般情况下，不考虑电子对气体热容量贡献的原因。

14.写出热力学第二定律的数学表述，并简述其物理意义。

15.试讨论分布与微观状态之间的关系？16.请写出麦克斯韦关系。

17.什么是统计系综？18.利用能量均分定理，写出N个CO分子理想气体的内能与热容量（不考虑振动），并简要说明在常温范围，振动自由度对热容量贡献接近于零的原因。

19.简述经典统计理论在理想气体中遇到的困难。

20.理想玻色气体出现凝聚体的条件是什么？凝聚体有哪些性质？21.试给出热力学第一定律的语言描述和数学描述。

22.试给出热力学第二定律的语言描述和数学描述。

二、填空题1.均匀系统中与系统的质量或物质的量成正比的热力学量，称为。

2.在等温等容过程中，系统的自由能永不。

(填增加、减少或不变)3.体在节流过程前后，气体的不变；理想气体经一节流过程，其焦汤系数=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂Hp T 。

4.一级相变的特点是。

5.在满足经典极限条件1>>αe 时，玻色系统、费米系统以及玻耳兹曼系统的微观状态数满足关系。

6.玻尔兹曼分布的热力学系统的内能U 的统计表达式是。

热力学与统计物理

第一章热力学的基本规律1.热力学的平衡状态⑴热力学的研究对象是由大量微观粒子组成的有限宏观系统.与系统发生相互作用的其他物体称为外界.按照系统与外界的相互作用状态,可将系统分为以下三种： ①孤立系：与外界既不发生质量交换,也不发生能量交换的系统； ②闭系：可与外界发生能量交换,而不发生质量交换的系统； ③开系：可与外界发生能量、质量交换的系统.⑵热力学平衡态：当一个孤立系经过足够长的时间,将会达到这样一种状态,在这种状态下,系统的各种宏观性质在长时间内部发生变化,称之为热力学平衡态.⑶状态参量：在热力学平衡态下,系统的各种宏观性质不再变化而拥有固定值,用这些固定值就可以确定系统的宏观状态.一般情况下,描述一个系统的状态参量有：热学参量温度T 、几何参量体积V 、力学参量压强p 和电磁参量D 、H .2.物态方程⑴描述系统的状态参量之间关系的方程称为物态方程,以简单的固液气系统为例,其物态方程可表示为：另外,定义几个与物态方程有关的物理量： ①等压膨胀系数：pT V V ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=1α； ②等容压力系数：VT p p ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=1β； ③等温压缩系数：Tp V V k ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=1τ. 根据物态方程,可得关系式：1-=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂p V T V T T p p V ;故可得三个系数之间的关系为：p k βατ=.⑵气体的物态方程①理想气体状态方程：T Nk pV B =. ②实际气体的范德瓦尔斯方程：()nRT nb V V an p =-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+22, 其中22Van 为压强修正项,nb 是体积修正项;⑶简单固体与液体的物态方程对于简单固体和液体,可通过实验测得体胀系数α和等温压缩系数τk ,它们的特点如下： ①固体和液体的膨胀系数是温度的函数,与压强近似无关;②α和τk 的数值都很小,在一定的温度范围内可以近似看成常量; 由此可得,物态方程为： ()()()()[]000001,,p p k T T p T V p T V ---+=τα;⑷顺磁性固体将顺磁性固体置于磁场中,顺磁性固体会被磁化;磁化强度M ,磁场强度H 与温度T 的关系： ()0,,=T H M f ;①实验测得一些顺磁性固体的磁物态方程为：H TCM =； ②另一些顺磁性固体的磁物态方程为：H T CMθ-=, 其中,C 和θ是常量,其数值因不同的物质而异; 3.功⑴气体准静态过程的体积功：pdV W -=δ;⑵液体表面张力做功：dA W σδ=,σ为单位长度的表面张力;⑶电介质准静态过程中电位移改变dD 时外界所作的功为：VEdD W =δ; 磁介质准静态过程中磁感应强度改变dB 时外界所作的功：VHdB W =δ; 4.热力学第一定律若系统经历一个无穷小的过程,则系统内能的增量与外界做功和外界传热的关系为：W Q dU δδ+=; 热力学第一定律表明,做功与热量传递在改变系统内能上是等效的; 5.热容与焓⑴热容：一个系统温度升高K 1所吸收的热量,即TQC T ∆∆=→∆0lim,热容是一个广延量,用m c 表示mol 1物质的热容,成为摩尔热容;⑵系统在等容过程的热容用符号V C 表示：VV T V T U T U C ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆=→∆0lim ;⑵系统在等压过程中的热容用符号p C 表示：pp p T p T p p T U T pdV U C ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+∆=→∆0lim ；引入状态函数焓：pV U H +=,则有pp T H C ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=;6.气体的内能⑴从微观角度看,在没有外场的情形下,气体无规则运动的能量包括分子的动能、分子之间相互作用的势能以及分子内部运动的能量;⑵根据焦耳的自由膨胀实验,理想气体的内能只是温度的函数,与体积无关,即从微观上看,理想气体的内能只是分子的动能;于是可得：①dT dU C V=；dTdHC p =； ②⎰+=dT C U U V 0；⎰+=dT C H H p 0;根据焓的定义：nRT U pV U H +=+=,可得nR C C V p +=,再设V p C =γ,得：1-=γnR C V ,nR C p 1-=γγ迈耶公式; 7.理想气体的准静态过程 ⑴等温过程：const pV =； ⑵等容过程：const Tp=；⑶等压过程：const T V=； ⑷绝热过程：const pV =γ;注：系数γ可通过测定空气中的声速获得;声音在空间中传播时,介质空间会发生周期性的压缩与膨胀,自然导致压强的变化;由于气体的导热系数很小,因此在声音传播过程中,热量传导很难发生,故可认为是绝热过程,因此根据牛顿的声速公式ρd dpa =可得其中ρ为气体密度,ρυ1=为单位质量气体的体积;8.热力学第二定律⑴克劳修斯表述：不可能把热量从低温物体传到高温物体而不引起其它变化;⑵开尔文表述：不可能从单一热源吸收热量使之完全变成有用的功而不引起其它变化;热力学第二定律的开尔文表述表明,第二类永动机不可能造成;所谓第二类永动机是指能够从单一热源吸热,使之完全变成有用功而不引起其它影响的机器; 9.卡诺循环与卡诺定理 ⑴卡诺循环：卡诺循环过程以理想气体为研究对象研究热功转化的效率问题,由两个等温过程和两个绝热过程组成;在整个循环中,气体从高温热源吸收热量,对外做功,其效率为：1212111T T Q Q Q W -=-==η; ⑵卡诺定理：所有工作于两个一定温度之间的热机,以可逆机的效率为最高;推论：所有工作于两个一定温度之间的可逆热机的效率相等;⑶根据卡诺定理,工作于两个一定温度之间的热机的效率不可能大于可逆热机的效率,即由此可得克劳修斯不等式：02211≤+T Q T Q ,等号只适用于可逆循环过程其中1Q 为热机从高温热源吸收的热量,2Q 也定义为热机从低温热源吸收的热量数值为负数; 将克劳修斯不等式推广到n 个热源的情形,可得：0≤∑i iiT Q , 对于更普遍的循环过程,应将求和号换成积分号,即0≤⎰TQδ;10.熵与热力学基本方程⑴根据克劳修斯不等式,考虑系统从初态A 经可逆过程R 到达终态B ,又从状态B 经另一可逆过程'R 回到状态A ;在上述循环过程中,有可见,在可逆循环过程中,⎰T dQ与路径无关,由此定义状态函数熵S ,从状态A 到状态B 的熵变定义为：注：仅对可逆过程,⎰T dQ才与路径无关;对不可逆过程,B 和A 两态的熵变仍沿从A 态到B 态的可逆过程的积分来定义;在这种情形下,可逆过程与不可逆过程所引起的系统状态变化相同,但外界的变化是不同的;对前面熵变等式取微分：TQdSδ=,表示无穷小的可逆过程中的熵变;⑵根据热力学第二定律,可得可逆过程中TdS Q =δ,结合热力学第一定律可得热力学的基本微分方程：若系统与外界之间除了体积功,还有其他形式的功,可将上式表示为 ⑶热力学第二定律的数学表示：pdV TdS dU -≤,注：根据克劳修斯不等式和熵的定义,可知在任意无穷小过程中,Q TdS δ≥;⑷熵增加原理：系统在绝热条件下,熵永不减少,即0≥-A B S S 等号只适用于可逆过程;11.自由能与吉布斯函数⑴约束在等温条件下的系统,定义状态函数：TS U F -=;根据热力学第二定律可得,等温条件下pdV dF -≤,表明在等温条件下,系统自由能的增加量不大于外界对系统做的功;在等温等容过程中可得：0≤dF ,即等温等容条件下,系统的自由能永不增加,或者表述为在等温等容条件下的不可逆过程朝着使系统自由能减少的方向进行;⑵约束在等压条件下的系统,定义状态函数：pV TS U G +-=;同理可得：等温等压条件下,0≤dG ,即等温等压条件下,系统的吉布斯函数永不增加,或者表述为等温等压条件下的不可逆过程朝着使系统吉布斯函数减少的方向进行;第二章均匀物质的热力学性质1.内能、焓、自由能和吉布斯函数的全微分⑴热力学基本方程即为内能的全微分形式：pdV TdS dU -=, 根据偏导数关系可得：VS S p V T ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂①；内能的确定：dV p T p T dT C dUV V ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=;注：熵的确定：dV T p dT T C dS VV ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+=;⑵焓的全微分形式为：Vdp TdS dH +=,同理可得：p S S V p T ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂②；焓的确定：dp T V T V dT C dH p p ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂++=; 注：熵的确定：dp T V dT T C dS pp ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-=;⑶自由能的全微分形式为：pdV SdT dF --=,同理可得：VT T p V S ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂③;⑷吉布斯函数的全微分形式为：Vdp SdT dG +-=,同理可得：p TT V p S ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂④; 其中,式①②③④称为麦克斯韦关系;2.气体的节流过程和绝热膨胀过程⑴气体从高压处通过多孔塞不断地流到低压处,并达到定常状态,这个过程叫做节流过程;在节流过程中,多孔塞两边的温度发生了明显变化,这个效应称为焦耳-汤姆孙效应; 经分析得,在节流过程中,气体的焓值不断,定义Hp T ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=μ表示焓不变条件下,温度随压强的变化率,则根据1-=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂T p H H p T H p T 可得：上式给出了焦汤系数与物态方程和热容的关系;①对理想气体,T1=α,故0=μ,说明理想气体在节流过程前后温度不变； ②对实际气体,若1>T α,则气体在节流过程前后温度降低,称为制冷区；若1<T α,则气体在节流过程前后温度升高,称为制温区;利用节流过程的降温作用可使气体降温液化节流膨胀制冷效应; ⑵气体的绝热膨胀过程,熵保持不变,则定义Sp T ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂表示绝热过程中温度随压强的变化率,同上可得,上式表明,在绝热条件下,随着气体体积膨胀和压强降低,气体的温度必然下降;气体的绝热膨胀过程可用来使气体降温并液化绝热膨胀制冷效应; 3.热辐射的热力学理论⑴受热的固体会辐射电磁波,称为热辐射;一般情形下,热辐射的强度和强度随频率的分布于辐射体的温度和性质都有关;当辐射体对电磁波的吸收和辐射达到平衡,热辐射的特性将只取决于温度,与辐射体的其他特性无关,称为平衡辐射;⑵考虑一个封闭的空窖,窖壁保持一定的温度T ;窖壁将不断向空窖发射并吸收电磁波,当窖内辐射场与窖壁达到平衡后,二者具有相同的温度,显然空窖内的辐射就是平衡辐射;窖内的平衡辐射包含各种频率和沿着各个方向的电磁波,这些电磁波的振幅和相位是无规的;窖内平衡辐射是空间均匀和各项同性的,它的内能密度和内能密度按频率的分布只取决于温度; ⑶电磁理论中,关于辐射压强与辐射能量密度的关系为：u p 31=；由此根据热力学公式可得窖内平衡辐射的热力学函数为：4aT u =.⑷根据热力学基本方程,可得空窖辐射的熵为：V aT S 334=, 由上式可知,可逆绝热过程中辐射场的熵不变,此时有const V T =3.⑸若在窖壁上开一小孔,定义单位时间通过小孔的单位面积辐射出的能量,称为辐射能量密度u J .描述辐射能量密度u J 与辐射内能密度u 的关系称为斯特藩—玻尔兹曼定律,即444141T caT cu J u σ===,其中σ称为斯特藩常量. ⑹基尔霍夫定律：()ωωαωωωd T u cd e ,4=,其中,ωe 称为物体对频率在ω附近的电磁波的面辐射强度；ωα为物体对频率在ω附近的辐射能量的吸收系数.注：吸收系数为1的物体称为绝对黑体,此时有()ωωωωd T u cd e ,4=.4.磁介质的热力学⑴磁介质中磁场强度和磁化强度发生改变时,外界所做的功为：VHdMH Vd W 02021μμδ+⎪⎭⎫ ⎝⎛=,当热力学系统只包括介质而不包括磁场时,功的表达式只取第二项,即Hdm W 0μδ=, 其中,MV m =是介质的总磁矩.忽略磁介质的体积变化,可得热力学基本方程为,Hdm TdS dU 0μ+=,类比于理想气体,即H p 0μ→-,m V →.⑵绝热去磁制冷：根据吉布斯函数mdH SdT dG 0μ--=,可得：H T C CV H T HS 0μ=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂, 上式说明,在绝热条件下减小磁场,磁介质的温度降低,称为绝热去磁制冷效应.第三章单元系的相变 1.热动平衡判据⑴孤立系统的熵判据：0<∆S或0,02<=S S δδ熵增加原理；⑵等温等容系统的自由能判据：0>∆F 或0,02>=F F δδ等温等容系统自由能永不增加；⑶等温等压系统的吉布斯函数判据：0>∆G 或0,02>=G G δδ等温等压系统的吉布斯函数永不增加.⑷均匀系统的热动平衡条件：00,p p T T ==,即整个系统的温度和压强均匀. ⑸平衡的稳定性条件：0,0<⎪⎭⎫⎝⎛∂∂>TV V p C , 注：考虑系统与子系统简的变化,若子系统的温度由于涨落或外界影响而升高,则子系统通过向系统其他部分传热使温度降低；同样,若子系统的体积增大,则子系统与系统其他部分的压强差会使子系统的体积减小,从而使系统的平衡处于稳定. 2.开系的热力学基本方程⑴单元系是指化学上纯的物质系统,只含有一种化学组分.如果系统不是均匀的,可以分为若干个均匀的部分,该系统称为复相系.例如,冰、水和水蒸气共存构成一个单元三相系. ⑵物质的量发生变化的系统,其吉布斯函数的全微分可表示为：dn Vdp SdT dG μ++-=, 其中右方第三项代表由于物质的量改变dn 引起的吉布斯函数的变化. 定义pT n G ,⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=μ,表示在温度、压强不变的条件下,增加mol 1物质时引起的吉布斯函数的改变,成为化学势.由于吉布斯函数是广延量,可得化学式与摩尔吉布斯函数的关系为：()p T G m ,=μ；对单位物质的量系统的吉布斯函数可以写为：dp V dT S d m m +-=μ.⑶物质的量发生变化的系统的其他特性函数：①关于()n V S ,,的特性函数为内能,其全微分形式为：dn pdV TdS dU μ+-=； ②关于()n p S ,,的特性函数为焓,其全微分形式为：dn Vdp TdS dH μ++=； ③关于()n V T ,,的特性函数是自由能,其全微分形式为：dn pdV SdT dFμ+--=；④关于()μ,,V T 的特性函数是巨热力势,其全微分形式为：μnd pdV SdT dJ ---=.3.单元复相系的平衡热力学条件考虑一个单元两相系,这个单元两相系构成一个孤立系统.用α和β分别表示这两个相,用αααn V U ,,和βββn V U ,,分别表示两个相的内能,体积和物质的量.孤立系的总内能,总体积和总物质的量是恒定的,即设想系统发生一个虚变动,引起两相的熵变为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=ββαααββαααβααβαμμδδδT T dn T p T p dV T TdU S S S 11, ⑴若复相系处于平衡条件下,则熵为极大值,即0=S δ.由此可得复相系的平衡热力学条件为：βαT T =热平衡条件 ββααTp T p =力学平衡条件ββααμμT T =相变平衡条件⑵若复相系平衡条件未能满足,则系统朝着熵增大的方向转变,即0>S δ.4.单元复相系的平衡性质第六章近独立粒子的最概然分布1.粒子运动状态的经典描述设粒子的自由度为r ,则粒子的运动状态可用广义坐标和广义动量来描述,粒子的能量是广义坐标和广义动量的函数,即()r r p p q q ,,;,,11 εε=. 为了描述粒子的运动状态,用()r r p p q q ,,;,,11 这r 2变量构成一个r 2维的空间,称为μ空间,粒子在某一时刻的运动状态就表示为μ空间中的一个点.⑴自由粒子自由粒子不受力的作用而在三维空间中做自由运动,自由度为3,它的能量就是它的动能,即()22221zy x p p p m++=ε. ⑵线性谐振子粒子在线性回复力kx F-=的作用下做简谐运动,振动的圆频率为mk =ω.对自由度为1的线性谐振子,任意时刻的能量与粒子的位置和动量有关,即222212x m m p ωε+=.⑶转子粒子绕原点O 做转动,它的能量就是它的动能,可用球坐标表示,即()222222sin 21ϕθθε r r rm ++=. ①若考虑到粒子到原点的距离不变0=r ,则能量表示为： ()22222sin 21ϕθθε r r m +=； ②引入与ϕθ,共轭的动量：ϕθθϕθ 222sin ,mr p mr p ==,可将转子的能量写为：其中,2mr I =是转子相对于原点的转动惯量.2.粒子运动的量子描述量子力学的观点中,微观粒子满足波粒二象性,有kp ==ωε；波粒二象性的粒子满足不确定关系,即不能同时具有确定的坐标与动量,分别用q ∆和p ∆表示坐标和动量的不确定度,则有h p q ≈∆⋅∆.在量子力学中,微观粒子的运动状态称为量子态,量子态由一组量子数表征,这组量子数的数目等于粒子的自由度数. ⑴线性谐振子圆频率为ω的线性谐振子,能量的可能值为：ωε ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21n n , ,1,0=n ；线性谐振子的自由度为1,n 是表征谐振子运动状态和能量的量子数. ⑵转子量子理论中,转子的能量为：(),1,0212=+=l Il l ，ε量子理论中,转子的角动量是分立的,()221 +=l l L ,对一定的l ,角动量在本征方向的投影z L 只能取分立值：l m m L z ±==,,0, ,转子的运动状态由m l ,两个量子数表征,能量只取决于量子数l ,因此转子的自由度为12+l .⑶自旋角动量基本粒子具有内禀的角动量,称为自旋角动量S,其平方的数值等于()221 +=S S S ,其中S 称为自旋量子数,可以是整数或半整数.自旋角动量的状态由自旋角动量的大小自旋量子数S 及自旋角动量在本征方向的投影确定,其中投影的大小表示为：S m m S S S z ±==,,0, , 因此,自旋角动量的自由度为12+S . ①电子的自旋角动量和自旋磁矩电子的自旋磁矩μ与自旋角动量S 之比为：me S-=μ；电子在外磁场中的能量为：B me B H 2±=⋅-=μ.⑷自由粒子根据“箱归一化”条件,设自由粒子处于边长为L 的正方体容器中,则自由粒子的三个动量分量z y x p p p ,,的可能值为：,1,0,2,1,0,2,1,0,2±==±==±==z z z y y y x x x n n L p n n L p n n L p πππ；其中,z y x n n n ,,为表征自由粒子运动状态的量子数. 自由粒子能量的可能值为：()222222222221Ln n n m p p p m z y x z y x ++=++= πε, 自由粒子的运动状态由量子数z y x n n n ,,表征,能量只取决于222z y x n n n ++.①若粒子处于宏观大小的容器中运动,这时要考虑在体积3L V =内,在动量区间x x dp p +,y y dp p +和z z dp p +内的自由粒子量子态数：()dp p h V dp dp dp V dn dn dn z y x z y x 2332==π, 再根据m p22=ε,可得处于能量区间εεd +中的粒子状态数为：()()εεπεεd m hV d D 2123322=.3.系统微观运动状态的描述系统的微观运动状态就是它的力学运动状态.①全同粒子组成的系统就是由具有完全相同内禀属性相同的质量、电荷、自旋等的同类粒子组成的系统；②近独立粒子组成的系统是指系统中粒子之间相互作用很弱,系统的总能量等于各个粒子的能量之和,即∑==Ni i E 1ε.⑴系统微观运动状态的经典描述设粒子的自由度为r .第i 个粒子的力学运动状态由()r r p p q q ,,;,,11 这r 2个变量表示,考虑由N 个粒子组成的系统,则系统微观运动状态的确定需要Nr 2个变量,即()N i p p q q ir i ir i ,,2,1,,;,,11 =.单个粒子的运动状态可用μ空间中的一个点表示,则对于整个系统在某一时刻的运动状态可用μ空间中N 点表示.如果交换两个代表点在μ空间中的位置,相应的系统的运动状态是不同的. ⑵系统微观运动状态的量子描述①微观粒子的全同性原理：全同粒子是不可分辨的,在含有多个全同粒子的系统中,将任何两个全同粒子加以交换都不改变整个系统的微观运动状态.②假设全同粒子可以分辨,确定由全同近独立粒子组成的系统的微观运动状态归结为确定每个粒子的个体量子态；若全同粒子不可分辨,则归结为确定每个量子态上的粒子数.③自然界中的粒子分为两类：玻色子和费米子,其中自旋量子数是半整数的属于费米子,自旋量子数是整数的属于玻色子.a.由费米子组成的系统称为费米系统,遵从泡利不相容原理,即在含有多个全同近独立费米子的系统中,一个个体量子态最多可容纳一个费米子；b.由玻色子组成的系统称为玻色系统,粒子是不可分辨的,每个个体量子态可容纳的玻色子个数没有限制.4.分布与微观状态数⑴以() ,2,1=l l ε表示粒子的能级,l ω表示能级l ε的简并度,N 个粒子在各能级的分布如下：能级： ,,,,21l εεε简并度： ,,,,21l ωωω经典粒子表示为： ,,,,21r l r r hh h ωωω∆∆∆ 粒子数： ,,,,21l a a a以符号{}l a 表示系统的一个分布,它给出了系统中每个能级上的粒子数,为了确定系统的微观运动状态,还要清楚l a 个粒子如何占据能级l ε的各个简并态的. 对于具有确定的V E N ,,的系统,分布{}l a 满足约束条件：∑=ll a N ,∑=ll l a E ε⑵对于玻尔兹曼系统,粒子是可分辨的,且每个量子态上可容纳的粒子数没有限制,因此可以得到与分布{}l a 相应的系统的微观状态数为：∏∏=Ωla l ll B M l a N ω!!,, 其中最概然分布为：le a l l βεαω--=,其中βα,由约束条件∑∑----==ll l l ll le E e N βεαβεαεωω,确定.⑶对于玻色系统,粒子是不可分辨的,每个量子态上可容纳的粒子数没有限制,因此可得与分布{}l a 相应的系统微观状态数为：()()∏--+=Ωll l l l E B a a !1!!1,ωω, 其中最概然分布为：1-=+le a ll βεαω.⑷对于费米系统,粒子不可分辨,每个量子态上只能容纳一个粒子,因此可得与分布{}l a 相应的微观运动状态数为：()∏-=Ωll l l l D F a a !!!,ωω,其中最概然分布为：le a llβεαω++=1.注：对于三种系统的最概然分布,若满足条件11<<>>lla e ωα或,则玻色分布和费米分布近似于玻尔兹曼分布,这个条件称为经典极限条件或非简并性条件.⑸考虑个体量子态问题或者平均粒子数问题,设处在能量s ε的量子态s 上的粒子数为s f ,则各种系统的最概然分布可表示为：玻尔兹曼系统：se f s βεα--=玻色系统：11-=+s e f s βεα；费米系统：sef s βεα++=11. 第七章玻尔兹曼统计1.热力学量的统计表达式定域系统和满足经典极限条件的玻色系统和费米系统都满足玻尔兹曼分布. 定义配分函数：∑-=ll l e Z βεω1或积分形式()⎰-⋅=r r p p q q rr r e h dp dp dq dq Z ,;,011111βε则系统的热力学量的统计表达式如下： ⑴内能：由玻尔兹曼分布的内能表达式∑--=lll le U βεαεω,可得：1ln Z NU β∂∂-=. ⑵外界对系统的广义作用力Y 为：1ln Z yN a y Y l ll ∂∂-=∂∂=∑βε. ⑶熵的统计表达式：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=11ln ln Z Z Nk S ββ. 2.理想气体的状态方程①利用统计力学求解热力学问题,首先要找到配分函数. 理想气体的配分函数为：②然后,再利用热力学量的统计表达式,得到相关热力学量： 3.麦克斯韦分布律根据玻尔兹曼分布,可以推导出麦克斯韦分布律气体分子的速度分布律.⑴以理想气体为研究对象,气体分子为自由粒子.在体积为V 的容器中,分布在动量区间z y x dp dp dp 内的微观状态数为：z y x dp dp dp h V3；则分布在z y x dp dp dp 内的分子数为：而气体分子的总数为：因此可得,动量在z y x dp dp dp 范围内的分子数为：以VNn =表示单位体积内的分子数,则在单位体积内,速度在z y x dv dv dv 内的分子数为： ()()z y x v v v kT mz y x z y x dv dv dv ekT m n dv dv dv v v v f z y x 2222232,,++-⎪⎭⎫ ⎝⎛=π, 上式便是麦克斯韦速度分布律,其中()z y x v v v f ,,满足：()n vdv dv v v v f zy xzyx=⎰⎰⎰,,.⑵利用速度空间的球坐标转化,可得速率分布律：()dv v ekT m n dv v f mv kT 22123224-⎪⎭⎫ ⎝⎛=ππ, 分析速率分布律,可得以下特征数： ①最概然速率：mkTv m 2=； ②平均速率：m kTv π8=； ③方均根速率：mkTv v s 32==. ⑶计算单位时间内碰到单位面积器壁上的分子数,称为碰壁数.以dAdt d Γ表示在dt 时间内碰到dA 面积上,速度在z y x dv dv dv 范围内的分子数.这分子数就是位于以dA 为底、以()z y x v v v v ,,为轴线、以dt v x 为高的柱体内,速度在z y x dv dv dv 范围内的分子数.所以有：故可得单位时间内碰到单位面积上的分子数Γ为：mkTndv fv dv dv x x z y π20==Γ⎰⎰⎰∞+∞+∞-∞+∞-, 也可以表示为： 4.能均分定理能均分定理：对于处在温度T 的平衡状态的经典系统,粒子能量中每一个平方项的平均值等于kT 21. ⑴单原子分子只有平动,其能量为()22221zy x p p p m++=ε, 根据能均分定理,温度T 时,单原子分子的平均能量为：kT 23=ε.故单原子分子的内能为：NkT U 23=；定容热容：Nk C V 23=；定压热容：Nk Nk C C V p25=+=. ⑵双原子分子的能量为：如果不考虑相对运动,式中有5个平方项,根据能均分定理,双原子分子的平均能量为：kT 25=ε,双原子分子的内能、等容热容和等压热容分别为：⑶固体中的院子可以在平衡位置附近做微振动,假设各原子的振动是简谐运动,每个原子的能量为：只有两个平方项,而由于每个原子有三个自由度,根据能均分定理,每个原子的平均能量为：kT 3=ε,则固体的内能、等容热容分别为：固体热容之间的关系为：⑷平衡辐射问题考虑一个封闭的空窖,电磁辐射与窖壁达到平衡,称为平衡辐射,二者具有共同的温度空窖的辐射场可以分解为无穷多个单色平面波的叠加,分量可以表示为：其中ω是圆频率,k 是波矢.k的三个分量的可能值为：,1,0,2±==αααπn n L k ()z y x ,,=α.具有一定波矢k和一定偏振的单色平面波可以看做辐射场的一个自由度,它以圆频率ω随时间做简谐变化,因此相当于一个振动自由度.在体积V 内,在ωωωd +→的圆频率范围内,辐射场的振动自由度数为：()ωωπωωd cVd D 232=. 根据能均分定理,每一个振动自由度的平均能量为kT =ε.所以在体积V 内,在ωd 范围内平衡辐射的内能为：此式称为瑞利-金斯公式. 5.理想气体的内能与热容经典统计的能均分定理得到的关于理想气体内能和热容的结论与实验结果大体相同,但有几个问题没有得到合理的解释：原子内的电子对气体的热容为什么没有贡献；双原子分子的振动在常温范围内为什么对热容没有贡献；低温下氢的热容所得结果与实验结果不符. 本节以双原子分子为例,讲述理想气体内能和热容的量子统计理论.⑴暂不考虑原子中电子的运动,在一定近似下双原子分子的能量可以表示为平动能tε、振动能νε和转动能rε之和：r t εεεεν++=,以tω、νω和rω分别表示平动能、振动能和转动能的简并度,则配分函数1Z 可表示为： ①考虑平动对内能和热容的贡献：()2222212z y x t p p p mm p ++==ε,()2322312222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎰++-βπβh m V dp dp dp e h V Z z y x p p p mt z y x ,因此,NkT Z NU t t 23ln 1=∂∂-=β, Nk T U C V tV 23=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=.②考虑振动对内能和热容的贡献：,2,1,0,21=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n ωεν, ()ωβωβωβν--+--==∑ee eZ nn 12211利用等比数列公式, 因此,引入振动特征温度νθ,ωθν =k ,可得。

工程热力学中平衡状态和均匀状态

工程热力学中平衡状态和均匀状态1.引言1.1 概述工程热力学是研究热力系统中能量转移、传递和转化规律的科学。

在工程热力学中，平衡状态和均匀状态是两个非常重要的概念。

平衡状态指的是系统中各个组成部分达到一种无害和相对稳定的状态，不再发生宏观的变化。

均匀状态则表示系统中各个组成部分的性质均匀分布且保持不变。

在工程热力学中，平衡状态的达成需要满足热力学第一定律和第二定律的条件。

热力学第一定律是能量守恒定律，即能量既不能创造也不能消失，只能从一种形式转化为另一种形式。

热力学第二定律则是关于自然界中能量传递方向的定律，即热量会自发地从高温物体传递到低温物体，而不会反向传递。

均匀状态则是指系统中各个组成部分的性质相互接近且保持不变，没有明显的分布差异。

在均匀状态下，系统中的温度、压力、密度等物理量在空间上是均匀分布的。

这种状态的达成需要系统中各个组成部分之间存在一定的热平衡和力学平衡。

平衡状态和均匀状态在工程热力学中具有重要的应用和意义。

只有在平衡状态下，热力学分析才能得到准确的结果，从而为工程设计和运行提供指导。

均匀状态则为热力学的研究和计算提供了便利，简化了分析的复杂度。

总而言之，平衡状态和均匀状态是工程热力学中的两个重要概念，对于热力系统的分析和设计具有重要的意义。

掌握这两个概念的定义和特征，有助于深入理解热力学原理，并在实践中应用于工程问题的解决。

1.2 文章结构文章结构:本文主要讨论工程热力学中的平衡状态和均匀状态。

文章分为三个主要部分：引言、正文和结论。

在引言部分，我们首先概述了工程热力学中平衡状态和均匀状态的重要性，以及它们在工程实践中的应用。

接着，我们介绍了文章的结构以及各部分的内容。

正文部分主要分为两个小节：平衡状态和均匀状态。

在平衡状态的小节中，我们给出了对平衡状态的定义，并详细讨论了平衡状态的特征。

我们将介绍平衡状态的稳定性和热力学平衡条件，并解释了为什么平衡状态在工程系统中是非常重要的。

物体的稳定平衡条件

物体的稳定平衡条件稳定平衡是物体在静止状态下保持平衡的一种状态，而物体的稳定平衡条件则是指物体在静止状态下保持平衡所需满足的条件。

本文将讨论物体的稳定平衡条件以及影响稳定平衡的因素。

一、物体的稳定平衡条件一个物体在静止状态下保持平衡，需要满足以下三个条件：重力力矩为零、合力为零、力矩为零。

1. 重力力矩为零重力力矩是指重力作用在物体上产生的力矩，物体的重心是重力作用的作用点。

对于一个物体处于平衡状态，重力力矩必须为零。

换句话说，物体的重心必须位于支撑点上方的延长线上。

2. 合力为零合力是指作用在物体上的所有力的合力，对于一个物体处于平衡状态，合力必须为零。

如果合力不为零，物体将会发生平移运动。

3. 力矩为零力矩是指力作用在物体上产生的转动效果，物体只有在力矩为零的情况下才能保持平衡。

一般情况下，物体的力矩等于零时，物体就能保持稳定平衡状态。

二、影响物体稳定平衡的因素物体的稳定平衡不仅仅取决于上述的稳定平衡条件，还受到其他因素的影响。

1. 物体形状和分布物体的形状和质量分布对其稳定平衡具有重要影响。

如果一个物体的形状不对称或质量分布不均匀，那么物体的稳定平衡将会受到干扰。

相对来说，形状对称且质量分布均匀的物体更容易实现稳定平衡。

2. 支撑面的摩擦力物体在支撑面上受到的摩擦力也会对其稳定平衡产生影响。

如果支撑面的摩擦力不足够大，物体就很容易滑动或倾倒，从而失去平衡。

3. 外界干扰力外界的干扰力也可能导致物体失去平衡。

例如，当一个物体受到风力或其他外力的作用时，这些干扰力会改变物体的平衡状态。

因此，外界干扰力是一个应考虑的因素。

总结：物体的稳定平衡条件是重力力矩为零、合力为零、力矩为零。

物体的稳定平衡还受到物体形状和分布、支撑面的摩擦力以及外界干扰力等因素的影响。

通过合理地控制这些因素，我们可以实现物体的稳定平衡，并且确保物体在静止状态下保持平衡。

均匀控制系统课件

压力控制系统
总结词
压力控制系统是一种通过调节压力来保持压力稳定和均匀分布的控制系统。
详细描述
压力控制系统通常由压力传感器、控制器和调压阀组成。传感器检测压力，并将信号传输给控制器，控制器根据设定值和实际值的差异，调整调压阀的开度，以保持压力的稳定和均匀分布。
流量控制系统
总结词
流量控制系统是一种通过调节流量来保持流量稳定和均匀分布的控制系统。
04
自适应控制
用于处理未知参数或模型误差的控制方法。
03
均匀控制系统实例
Chapter
温度控制系统
总结词
温度控制系统是一种常见的均匀控制系统，用于保持温度的稳定和均匀分布。
详细描述
温度控制系统通常由温度传感器、控制器和加热器组成。传感器检测温度，并将信号传输给控制器，控制器根据设定值和实际值的差异，调整加热器的功率，以保持温度的稳定和均匀分布。
控制系统中的可穿戴技术与虚拟现实技术
总结词
可穿戴技术和虚拟现实技术的发展为控制系统带来了新的交互方式和体验，使得控制系统的操作更加直观和便捷。
VS
详细描述
可穿戴技术可以通过智能手表、眼镜等设备实现与控制系统的实时交互，而虚拟现实技术则可以通过模拟真实场景，让用户更加直观地了解和控制系统。这些技术的应用将极大地改善控制系统的用户体验，提高其易用性和可操作性。
物联网与控制系统的融合
总结词
物联网技术的快速发展为控制系统带来了新的变革，使得控制系统的范围和功能得到了极大的扩展和提升。
详细描述
通过物联网技术，可以实现远程监控、数据共享和控制，使得控制系统的应用场景更加广泛。同时，物联网技术还可以与其他先进技术如人工智能、云计算等结合，形成更加智能化的控制系统。

第三章_单元系的相变_热力学统计物理

T0

U p0 V
T0
代入平衡条件得到：
1 1 p p S U ( ) V ( 0 ) 0 T T0 T T0

9
上页得到： S U ( ) V (
1 T
1 T0
p T
p0 )0 T0
由于虚变动δU、δV 可任意变化，故上式要求：
UB U A W T
外界所作的功是
SB S A
W p(VB VA )
SB S A
U B U A p (VB V A ) T
G GB GA 0
在等温等压过程中，系统的吉布斯函数永不增加。也就是说，在等温等压条件下，系统中发生的不可逆过程总是朝着吉布斯函数减少的方向进行的。
T T0
p p0
结果表明：达到平衡时整个系统的温度和压强是均匀的！
2、稳定平衡
近似有而
~ S 2 S0 2 S 0 2~ S 2S 0
2
可以证明：
2 S0 2 S
2S 2S 2S 2S (U ) 2 2 UV 2 (V ) 2 0 U 2 UV V

4
二、热平衡的判据（热动平衡条件）
1、基本平衡判据
根据熵增加原理，孤立系统中发生的趋于平衡的过程必朝着熵增加的方向进行。
熵判据：孤立系统平衡态是熵最大的态。相对于平衡态的虚变动后的态的熵变小。孤立系统处在稳定平衡状态的必要充分条件:
1 1 S S 2! S 3! S

U n H n F n
pdV dn

T ,V

18
定义:巨热力势

物质热力学稳定的判断条件

物质热力学稳定的判断条件
1. 热力学平衡，系统内部各部分之间的热、力学和化学平衡达
到稳定状态。

这意味着系统中没有净的热量和物质交换，系统的各
项性质不随时间发生变化。

2. 熵增加原理，根据热力学第二定律，孤立系统的熵不会减少，只会增加或保持不变。

因此，稳定的系统应当表现为熵的增加或保
持不变的趋势。

3. 自由能最小原理，根据吉布斯自由能的概念，稳定平衡状态
对应于系统的吉布斯自由能达到最小值。

这意味着系统在平衡状态
下对外界的影响最小，因而具有稳定性。

4. 热容和热导率，稳定的系统通常具有适当的热容和热导率，
能够对外部热量的输入和输出做出适当的响应，从而保持稳定的温
度和热平衡状态。

总的来说，物质热力学稳定的判断条件涉及到系统内部平衡、
熵增加趋势、自由能最小以及热容和热导率等方面的考量。

这些条
件相互作用，共同决定了系统的稳定性。

在实际应用中，我们可以
通过热力学理论和实验手段来分析和判断物质的稳定性，以便更好地理解和控制系统的热力学行为。

GL.热统-Ch.3-1.热动平衡判据

2. 热动平衡的熵判据
平衡态的熵判据: 孤立系统的平衡态必是熵为最大值的态
GL.热统物理学-Ch.3
由熵增原理易知:历经不可逆过程,孤立系统的熵增大,系统达到
平衡态则不可能再发生任何宏观变化, 则该态的熵也不可能再变化,故平衡态的熵为最大值
3.平衡态的稳定性
• 孤立系的熵为最大值时,系统达平衡态 •平衡分类: 稳定平衡、亚稳平衡、中性平衡 • 可以用热力学系统的过程熵变阐述平衡的稳定性虚变动:系统围绕某态发生的各种理论假设 (不一定真实发生)的可能的变动,该变动满足外加约束条件(如绝热约束、定体约束等)称这类变动为虚变动
TdS đQ dU đW dU pdV dU TdS pdV 在等温/等体(dT 0；dV 0)条件下,上式为：（ d U TS ) 0 dF 0 dF 0 , 显然有 F 0
GL.热力学统计物理-Ch.3 8
GL.热统物理学-Ch.3
对于简单系, 推导ΔH ≤ 0:
TdS đQ dU đW dU pdV dU pdV TdS 在等压绝热(dp 0；dS 0)条件下,上式为 d (U pV ) TdS 0 dH 0 , 显然有 H 0
GL.热力学统计物理-Ch.3 18
TdS đQ dU đW dU đW pdV dU TdS pdV đW 在等温/等压(dT 0；dp 0),đW 0 条件下,上式为（ d U TS pV ) dG đW 0 dG 0 , 显然有 G 0
是内能 U为最小值的态
3.稳定平衡态的 U 判据 • 简单系在等体绝热(dV≡0, dS≡0)条件下, 若围绕某状态该系统发

工程热力学与传热学：1-2 平衡状态及状态参数

（2）热力学第零定律（the zeroth law of Thermodynamics）如果两个物体同时与第三个物体处于热平衡，
则它们彼此也处于热平衡。（3）温标（temperature scale）
温度的数值表示法。
➢ 热力学温标（thermodynamic scale of temperature）
1—2 平衡状态及状态参数
1-2-1 工质的热力学状态
பைடு நூலகம்
1. 工质的热力学状态（thermodynamic state）
工质在热力变化过程中的某一瞬间所呈现的宏观
物理状况。
2. 状态参数（state parameter）
系统的热力学状
描述工质所处状态的宏观物理量。态
说明
➢状态参数是热力系统状态的单值函数
10m H2O
HH g
p
Hg
1.013 105 pa 13.6 103 9.81
760m
m
Hg
（3）绝对压力，表压力和真空度 ➢ 绝对压力（absolute pressure）是以绝对真空为基准计量得到的压力，
是工质的真实压力。
➢ 表压力（gage pressure）
是以大气压为基准测量得到的压力用 Pe 表示
热力学温标基准点：
取水的三相点（triple point）（纯水固、液、气三相
平衡共存的状态点）为基准点，
定义其温度为273.16 K。
１Ｋ= 水的三相点？
➢ 热力学摄氏温标（Celsius）
定义： t = T – 273.15 ℃
✓ 摄氏温度0 ℃ = 热力学温度273.15K ✓ 水的三相点温度 t = 0.01 ℃
2. 压力（pressure）

云南师范大学热力学统计物理期末复习讲解

各章知识点整理和复习第一章热力学的基本定律知识点1、热力学第一定律dU dQ dW2、热力学第二定律3、热力学基本方程dU TdS pdV4、热力学第二定律的数学表述dU TdS pdV5、克劳修斯熵BRB AAd QS ST，玻尔兹曼熵lnS k6、熵增加原理。

复习题1、简述热力学第二定律及其统计解释。

参考：热力学第二定律的开尔文表述：热不可能全部转变为功而不引起其他变化。

热力学第二定律的克劳修斯表述：热量不能自动地从低温物体传向高温物体。

或第二类永动机不可能。

热力学第二定律的微观意义是，一切自然过程总是沿着分子热运动的无序性（或混乱度）增大的方向进行,系统对应的微观状态数增大，根据玻尔兹曼熵lnS k，因此系统的熵值增加，即熵增加原理。

2、简述熵增加原理及其统计解释。

参考：孤立系统中所进行的自然过程总是沿着熵增大的方向进行。

根据玻尔兹曼熵公式lnS k，可知孤立系统中所进行的自然过程总是向着微观状态数（或混乱度）增大的方向进行。

第二章均匀物质的热力学性质知识点1、基本热力学函数的全微分和麦氏关系的得出。

dU TdS pdV dH TdS Vdp dF SdTpdVdGSdT Vdp()()()()()()()()S VS p T V TpT p V S T Vp S S pV T S VpT2、麦氏关系的应用。

2、气体的节流过程。

3、特性函数的应用。

4、热辐射（平衡辐射）的热力学结果，斯特方玻尔兹曼定律。

复习题1、写出焦汤系数的数学表达式，简述节流过程的特点；利用焦汤系数分析通过节流产生致冷效应、致温效应和零效应的原理。

（P57）2、证明能态方程TVU p Tp VT。

参考：选T 、V 作为状态参量时，有VTU U dU dT dV TdS pdVTVVTS S dSdTdVTV 得：VTS S dU T dT Tp dVTV比较得：TTU S TpV V将麦氏关系TVS p VT代入，即得TVU p TpVT3、证明焓态方程pTH V V TpT 。

均匀导体静电平衡条件

均匀导体静电平衡条件
静电平衡是指导体内部的电荷分布均匀，没有剩余电荷集中在某一区域的状态。

在均匀导体中，电荷有以下特点：导体内任意一点的电势相等，导体内任意一点的电场强度为零。

这些特点决定了均匀导体的静电平衡条件。

首先，均匀导体的内部电势是均匀的。

导体内任意一点的电势都相等，说明电荷在导体内部均匀分布。

这是因为电荷在导体内部会自由运动，通过重新分布来达到静电平衡。

当导体中存在剩余电荷时，这些电荷会相互排斥，使得电荷重新分布，最终导体内部达到均匀分布的电位。

其次，均匀导体的内部电场强度为零。

电场强度是描述电场的物理量，它的存在意味着电荷之间的相互作用。

在均匀导体内部，由于电荷分布均匀，相同大小的正负电荷会相互抵消，使得导体内部的电场强度为零。

这意味着导体内部的电荷处于力的平衡状态，不会发生运动。

静电平衡条件的理解对于电荷分布的控制和利用具有重要意义。

人们可以通过合适的方法和技术，使得导体内部的电荷分布均匀。

例如，当我们进行静电喷涂时，需要保持导体表面的静电平衡，以确保涂料的均匀覆盖和质量。

另外，在高压输电线路中，为了减少电场的影响，通常使用带电导线外包装一层绝缘层，使导线内部的电荷分布均匀。

总结起来，均匀导体的静电平衡条件要求导体内部的电荷分布均匀，导体内任意一点的电势相等，导体内任意一点的电场强度为零。

只有当这些条件满足时，才能保证导体处于静电平衡状态。

理解和应用这些条件对于电荷分布的控制和利用具有重要意义，为人们在静电应用领域提供了指导意义。

热力学统计训练题

一、填空题1.热力学与统计物理的研究任务是。

2.热力学的研究方法是。

3.统计物理认为，热现象是，而实际观测到的宏观热力学量则是。

4.描写热力学系统平衡状态参量按与系统的扩展性关系分有、二大类，而是热力学系统特有的状态参量。

5.对于一个P、V、T系统，其α，β，κT之间存在关系。

6.１摩尔范德瓦耳斯气体的状态方程是，其压强系数为。

7.对于简单系统(,,)0f p V T=,则这三个变量的领导数之间存在一个循环关系是。

8.理想气体的压强系数为, 等温压缩系数κ=。

T9.对于表面张力系数为σ液体表面系统，当表面积增加dA时，外界所做的功为。

10.一对于电介质系统，使其极化，外界所作的功是。

11.般情况下，准静态过程中，外界对系统做功为。

12.一个单间的固体或液体系统，其状态方程可表为。

13.热力学第一定律的数学表达式是其实质是。

14.对于平衡热辐射，斯特藩－玻耳兹曼定律的表达式为。

15.对于一个普遍的循环过程，克芝修斯的等式和不等式为。

16.热力学第二定律的数学表达式是。

17.热力学第二定律的开氏表述为、第二定律的实质是指出。

18.卡诺定理的表述是。

19. 麦氏关系 TS p ⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭ ，S T V ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭ 。

20. 已知系统的特征函数F(T,V),则系统的S ＝，系统的压强p= 。

21. 对于孤立系统，以S ，p 为独立变量，其特征函数的全微分是。

22. 对一个均匀系，选S 、V 作为独立变量时，其特征函数是，选T 、p 作为独立变量时，其特征函数是。

23. 取T 、V 为状态参量，已知系统的状态方程，则()T U V∂=∂ 。

24. T, p 为独立变量，温度不变时焓随压强的变化率与物态方程的关系是TH P ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭ 。

25. 对于简单系统，定压热容量与定容热容量之差与物态方程的关系式是p V C C -＝。

26. 熵增加原理的表述是：。

27. 气体节流膨胀，其焦汤系数μ的定义是，在T 、P 图上μ 的区域是致冷区。

均匀系统的平衡稳定条件

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阴瑞华：均匀系统的平衡稳定条件因则
(
U P )T T ( )V P V T
（11）
P 1 U 1 P ( ) 2 ( )T T ( )T V T T V T V 将（9）、（10）、（11）式代入（8）式，经化简后得 C 1 P ( )T ( V )2 0 2 S V2 ( T ) 2 2T 2T V
第 26 卷第 5 期
唐山师范学院学报
2004 年第 5 期
将（2）、（3）代入（1）并应用 U U 0 0 和 V V0 0 得：
1 P P ) V ( 0 ) 0 T0 T T0 % 因为虚变动中 U 和 V 可以独立地改变， S 0 要求： T＝T0，P=P0 （4）这个结果表明，达到平衡时系统中的任何部分与系统其余部分的温度和压强应该相等，即均匀物质系统达到平衡状态时，子系统与媒质必须满足的平衡条件。 2 均匀物质系统平衡稳定条件的推求 2.1 方法 I 若把熵函数视为内能和体积的函数，即： S S (U ,V ) % S U (
Abstract: This paper provides different methods to show the detailed process of proving the Cv >0 and ( homogeneous system, which was not deduced in widely used teaching material of thermodynamics. Key words: homogeneous mass system; balanced state; steady condition