人教版高中数学必修4课时作业4同角三角函数的基本关系

一、选择题

1．如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是( ) A ．tan α＝－sin α

cos α B ．cos α＝－1－sin 2 α C ．sin α＝－1－cos 2 α

D ．tan α＝cos α

sin α

【解析】 由商数关系可知A 、D 均不正确，当α为第二象限角时，cos α＜0，sin α＞0，故B 正确．

【答案】 B

2．已知α∈(π2，π)，sin α＝3

5，则cos α等于( ) A.45 B ．－45 C ．－17

D.35

【解析】 ∵α∈(π

2，π)，∴cos α<0，∵sin 2α＋cos 2α＝1.∴cos α＝－1－sin 2α＝－45.

【答案】 B

3．已知α是第四象限角，tan α＝－5

12，则sin α＝( ) A.15 B ．－15 C.513

D ．－513

【解析】 ∵α是第四象限角，∴sin α<0. 由tan α＝－512得sin αcos α＝－5

12， ∴cos α＝－12

5sin α，

由sin 2α＋cos 2α＝1得 sin 2α＋(－12

5sin α)2＝1， ∴16925sin 2α＝1，sin α＝±

513. ∵sin α<0，∴sin α＝－5

13. 【答案】 D

4．已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1

tan α的值为( )

A ．－4

B ．4

C ．－8

D ．8

【解析】 tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos α

sin α ＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝1

sin αcos α.

∵sin α－cos α＝－52，∴1－2sin αcos α＝5

4， ∴sin αcos α＝－18，∴1

sin αcos α＝－8. 【答案】 C 5．若sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m

m ＋5

，则m 的值为( ) A ．0 B ．8 C ．0或8

D ．3＜m ＜9

【解析】 由sin 2 θ＋cos 2 θ＝1得 (m －3m ＋5)2

＋(4－2m m ＋5)2＝1 解得m ＝0或8，故选C. 【答案】 C 二、填空题

6．(2013·长沙高一检测)若α为第三象限角，则cos α1－sin 2 α＋2sin α

1－cos 2 α

的值

为________．

【解析】 ∵α为第三象限角， ∴sin α<0，cos α<0，

∴原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－cos α＋2sin α

－sin α＝－1－2＝－3.

【答案】 －3

7．(2013·唐山高一检测)若

4sin α－2cos α

5cos α＋3sin α

＝10，则tan α的值为________．

【解析】 ∵4sin α－2cos α

5cos α＋3sin α＝10，

∴4sin α－2cos α＝50cos α＋30sin α， ∴26sin α＝－52cos α，即sin α＝－2cos α. ∴tan α＝－2. 【答案】 －2

8．(2013·德州高一检测)在△ABC 中，2sin A ＝3cos A ，则角A ＝________. 【解析】 由题意知cos A ＞0，即A 为锐角． 将2sin A ＝3cos A 两边平方得2sin 2 A ＝3cos A . ∴2cos 2 A ＋3cos A －2＝0，

解得cos A ＝1

2或cos A ＝－2(舍去)， ∴A ＝π3. 【答案】 π

3 三、解答题

9．求证：sin θ(1＋tan θ)＋cos θ·(1＋1tan θ)＝1sin θ＋1

cos θ.

【证明】 左边＝sin θ(1＋sin θcos θ)＋cos θ·(1＋cos θ

sin θ) ＝sin θ＋sin 2θcos θ＋cos θ＋cos 2θsin θ ＝(sin θ＋cos 2θsin θ)＋(cos θ＋sin 2θ

cos θ) ＝(sin 2θ＋cos 2θsin θ)＋(sin 2θ＋cos 2θcos θ)

＝1sin θ＋1

cos θ＝右边． ∴原等式成立． 10．若

3π

2

<α<2π，化简 1－cos α

1＋cos α

＋

1＋cos α

1－cos α

.

【解】 ∵3π

2<α<2π，∴sin α<0. ∴原式＝

(1－cos α)2(1＋cos α)(1－cos α)

＋

(1＋cos α)2(1－cos α)(1＋cos α)

＝

(1－cos α)2

sin 2α＋ (1＋cos α)2

sin 2α

＝|1－cos α||sin α|＋|1＋cos α||sin α|. ∵sin α<0，

∴原式＝－1－cos αsin α－1＋cos α

sin α ＝－2sin α.

11．已知tan α＝3，求下列各式的值： (1)3cos α－sin α3cos α＋sin α； (2)2sin 2α－3sin αcos α；

(3)5sin 3α＋cos α2 cos 3α＋sin 2αcos α

.