基于蒙特卡洛方法求数值积分与R

统计计算课程设计

题目基于蒙特卡洛方法求数值积分

中文摘要

蒙特卡洛方法，又称随机抽样或统计试验方法，属于计算数学的一个分支，它是在上世纪四十年代中期为了适应当时原子能事业的发展而发展起来的。传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。

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利用随机投点法，平均值法，重要性采样法，分层抽样法，控制变量法，对偶变量法，运

用R软件求

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d x

e x

θ-

=⎰，42d x e x

θ-

=⎰和12

d

1

x

e

x

x

θ

-

=

+

⎰数值积分。计算以上各种估计的方差，

给出精度与样本量的关系，比较各种方法的效率，

关键字蒙特卡洛随机投点法平均值法 R软件

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1 绪论

蒙特卡洛的基本思想是，当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解。

蒙特卡洛方法解题过程的三个主要步骤：

（1）构造或描述概率过程

对于本身就具有随机性质的问题，如粒子输运问题，主要是正确描述和模拟这个概率过程，对于本来不是随机性质的确定性问题，比如计算定积分，就必须事先构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求问题的解。即要将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问题。

（2）实现从已知概率分布抽样

构造了概率模型以后，由于各种概率模型都可以看作是由各种各样的概率分布构成的，因此产生已知概率分布的随机变量（或随机向量），就成为实现蒙特卡洛方法模拟实验的基本手段，这也是蒙特卡洛方法被称为随机抽样的原因。最简单、最基本、最重要的一个概率分布是（0，1）上的均匀分布（或称矩形分布）。随机数就是具有这种均匀分布的随机变量。随机数序列就是具有这种分布的总体的一个简单子样，也就是一个具有这种分布的相互独立的随机变数序列。产生随机数的问题，就是从这个分布的抽样问题。在计算机上，可以用物理方法产生随机数，但价格昂贵，不能重复，使用不便。另一种方法是用数学递推公式产生。这样产生的序列，与真正的随机数序列不同，所以称为伪随机数，或伪随机数序列。不过，经过多种统计检验表明，它与真正的随机数，或随机数序列具有相近的性质，因此可把它作为真正的随机数来使用。由已知分布随机抽样有各种方法，与从(0,1)上均匀分布抽样不同，这些方法都是借助于随机序列来实现的，也就是说，都是以产生随机数为前提的。由此可见，随机数是我们实现蒙特卡洛模拟的基本工具。

（3）建立各种估计量

一般说来，构造了概率模型并能从中抽样后，即实现模拟实验后，我们就要确定一个随机变量，作为所要求的问题的解，我们称它为无偏估计。建立各种估计量，相当于对模拟实验的结果进行考察和登记，从中得到问题的解。

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2方法介绍

随机投点法

随机投点法是进行n 次试验，当n 充分大的时候，以随机变量k/n 作为期望值E(X)的近似估计值，即

n k p X E /)(=≈

其中k 是n 次实验中成功的次数。 若一次投点试验的成功概率为p ，并以

⎩⎨⎧=，表明试验失败

表明试验成功0,1i X

则一次试验成功的均值与方差为

p p p X E i =-⋅+⋅=)1(01)(

)1()1(01)(222p p p p p X Var i -=--⋅+⋅=

若进行n 次试验，其中k 次试验成功，则k 为具有参数为（n,p ）的二项分布，此时，随机变量k 的估计为

n k p /=

显然，随机变量的均值和方差满足

()()p k E n

n k E p E ==⎪⎭⎫ ⎝⎛=1

()()n

p p p Var -=

1dd

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设计算的定积分为()dx x f I b

a

⎰=，其中a,b 为有限数，被积函数f(x)是连续随机

变量ξ的概率密度函数，因此f(x)满足如下条件:

()⎰+∞

∞

=-1)(dx x f x f 非负，且

显然I 是一个概率积分，其积分值等于概率)(b a P <≤ξ。

下面按给定分布f(x)随机投点的办法，给出如下Monte Carlo 近似求积算法：

(1)产生服从给定分布的随机变量值,i=1,2,…,N;

(2)检查i x 是否落入积分区间。如果条件b x a i <≤满足，则记录i x 落入积分区间一次。

假设在N 次实验以后，落入积分区间的总次数为n ，那么用 N

n I = 作为概率积分的近似值，即 N

n I ≈ 平均值法

任取一组相互独立、同分布的随机变量{}i ξ，i ξ在[a,b]内服从分布率p(x),令,则也是一组相互独立、同分布的随机变量，而且

(){}()()()I dx x f dx x p x p p E b

a

b a

i ===⎰⎰**

ξ

由强大数定理

()1*1lim 1=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=∑=∞→N i i N I p N p ξ

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若记 ()I p N i N

i =∑=ξ1

*1,则依概率1收敛到I ，平均值法就是用I 作为I 的近似值。

假如所需计算积分为()dx x f I b

a ⎰=，其中被积函数在[a,b]内可积，任意选择一个

有简单办法可以进行抽样的概率密度函数p(x)，使其满足条件：

● ()()()b x a x f x p <≤≠≠时当0,0

●

1)(=⎰b

a

dx x p

记 ()()()()()⎪⎩

⎪⎨⎧=≠=0,00,*

x p x p x p x f x p 则所求积分为

()()dx x p x p I b

a

⎰=*

因而Monte Carlo 近似求积算法为：

(1) 产生服从分布率p(x)的随机数 N i x i ,...,2,1,=

(2) 计算均值()∑==N

i i p N I 1

*1ξ,即有I I ≈

重要性采样法

从数学角度上看定积分可以看成

()

()()

dx x g x f x g I ⎰=1

0 其中g(x)是某个随机变量X 的密度函数，因此积分值I 可看成随机变量