第12章环与域讲解
第十二章 环与域
是环, 定义 设<R,+,·>是环 是环 若环中乘法·适合交换律 则称R是交换环。 适合交换律,则称 (1) 若环中乘法 适合交换律 则称 是交换环。 (2) 若环中乘法·存在单位元 则称R是含幺环。 若环中乘法 存在单位元,则称 是含幺环。 存在单位元 则称 则称R是 (3) 若 a,b∈R,ab=0 a=0∨b=0,则称 是无零因子环 ∈ ∨ 则称 （其实称无非零零因子环更准确)又称为消去环。 其实称无非零零因子环更准确)又称为消去环。 无非零零因子环更准确 (4) 若R既是交换环、含幺环 也是无零因子环 则称 既是交换环、 也是无零因子环,则称 既是交换环 含幺环,也是无零因子环 则称R 是整环（整区）。 整环（整区）
一、环的定义
是代数系统， 是代数系统 和 ”是二元运算， 定义 设<R,+,*>是代数系统，“+”和“*”是二元运算， 它们具有下述三个性质。 它们具有下述三个性质。 是可交换群； 是半群； （1）<R,+>是可交换群；（2）<R,*>是半群； ） 是可交换群 ） 是半群 可分配， （3）乘法“*”对加法“+”可分配，即对任意 ）乘法“ ”对加法“ 可分配 即对任意a,b,c∈R， ∈ ， a*(b+c) = a*b+a*c, (b+c)*a = b*a+ c*a。 。 则我们称<R,+,*>是一个环（Ring）。 是一个环（ 则我们称 是一个环 ） 请举出例子 ？
有理数环Q,实数环 复数环C都是交换环 例 1、整数环 有理数环 实数环 复数环 都是交换环、 、整数环Z,有理数环 实数环R,复数环 都是交换环、 含幺环、无零因子环和整环。 含幺环、无零因子环和整环。 2、令2Z={2z|z∈Z},则2Z关于普通的加法和乘法构成 、 ∈ 则 关于普通的加法和乘法构成 交换环和无零因子环。但不是含幺环和整环，因为1 交换环和无零因子环。但不是含幺环和整环，因为 ∉ 2Z. 3、 Z6关于模 加法和乘法构成环 它是交换环 含幺环 、 关于模6加法和乘法构成环 它是交换环,含幺环 加法和乘法构成环,它是交换环 含幺环, 但不是无零因子环和环。 但不是无零因子环和环。 .<Zk, ⊕ k, ⊗ k>当k为什么值时为整环 为什么值时为整环? 当 为什么值时为整环 4、 .<Zk, ⊕ k, ⊗ k> 是整环当且仅当 是素数 、 是整环当且仅当k是素数
数学的环与域
环与域的研究方向
同调代数：研究 环与模的同调性 质及其在几何、 拓扑中的应用
代数几何：将代 数与几何相结合， 研究环与域在几 何对象上的表示 和性质
代数编码：研究 环与域在编码理 论中的应用，如 纠错码和密码学 等
算术代数几何： 研究环与域在数 论和代数几何中 的交叉应用，如 Diophantine方 程和代数曲线等
THANK YOU
汇报人：XX
环和域的应用领域
代数方程求 解
线性代数
矩阵计算
微分方程求 解
环与域的实例
整数环
定义：整数环是由整数构成的环，满足加法和乘法的封闭性 例子：如加法群Z，乘法群Z等 性质：整数环具有加法和乘法的可交换性、可结合性和有单位元等性质 应用：整数环在代数、数论等领域有广泛的应用
域的扩张
定义域的扩张为在某个数集中增加一些元素，使得该数集在某种运算下封闭。 域扩张的方法包括有限扩张、代数扩张和超越扩张。 有限扩张是最简单的域扩张，可以通过有限次添加有限个元素实现。 代数扩张是从一个多项式出发，通过添加其根元素实现域扩张。
代数几何中的环与域
代数几何中，环与域是基本的数学概念，用于描述代数对象的集合和代数对象的运算规 则。
环是由满足特定代数性质的代数对象的集合构成的代数结构，而域是特殊的环，其中加 法和乘法都是可交换的。
在代数几何中，环和域的概念被广泛应用于研究代数曲线、代数曲面以及更高维度的代 数对象。
通过环与域的理论，代数几何学家可以深入理解代数对象的几何性质和代数性质，进一 步推动数学的发展。
环与域的研究方法
代数方法
定义：环与域的代数性质和结构
证明：环与域的证明方法和技巧
添加标题
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环与域知识点
环和域是抽象代数中的重要概念。
它们是代数结构的特殊类型，具有一些特定的性质和规则。
以下是关于环和域的一些知识点：
1.环：环是一个集合，配合两个二元运算（通常用加法和乘法表示），满足一些特定的性质。
一个环必须满足以下条件：
加法运算形成一个阿贝尔群（交换、结合、零元素和逆元素）。
乘法运算满足结合律。
乘法满足分配律（左分配律和右分配律）。
环中的乘法不一定要满足交换律。
2.域）：域是一个更严格的代数结构，它是一个满足特定条件的环。
一个域必须满足以下条件：
加法运算形成一个阿贝尔群。
乘法运算形成一个阿贝尔群（不包括零元素）。
乘法满足分配律。
域中的乘法满足交换律。
3.子环和子域：如果一个环或域的一个子集满足环或域的定义和性质，那么它就是该环或域的子环或子域。
4.单位元素：环和域中的加法和乘法都有一个单位元素（零元素和一元素）。
加法的单位元素通常表示为0，乘法的单位元素通常表示为1。
5.零因子和整环：环中的非零元素a和b称为零因子，如果ab=0。
零因子的存在可能导致环中不存在乘法逆元素。
6.有限环和无限环：环和域可以是有限的（元素个数有限）或无限的（元素个数无限）。
7.特殊环和域：例如，交换环（乘法满足交换律）和整数环（满足整数加法和乘法规则的环）是一些特殊类型的环。
而有理数域和实数域是一些常见的域。
以上是环和域的一些基本知识点。
在抽象代数中，环和域是广泛应用的代数结构，在许多数学和科学领域中都有重要的应用。
信息安全数学基础环和域基础知识
在通常的加法和乘法运算下，Q, R 和 C 都是域。
域的例子（2）
令p是一个素数，在模p加法和模p乘法 运算下，Zp是一个域. 也记为Fp或者GF (p).
注意： 整数环Z不是域； 当n是合数时，Zn不是域。 有限群、子群、商群和群的阶的概念可 以直接推广到环和域中。
域的特征
F是域，其特征char(F)定义为单位元1的加法阶, 即使得 的最小自然数n，如果不存在这样的自然数，则记char(F) =∞.
性质：如果char(F)有限，则一定是素数.
域的例子（3）
构造方法
域上的多项式环 不可约多项式
定理
令F为含有p个元素的域，f(x)是F上的n次不可约多项式，则域F[x]/f(x)中元素的个数是pn. F[x]/f(x)是F[x]中所有次数小于deg(f)=n、系数取遍F中所有p个元素的多项式全体构成的集合. 共有pn个这样的多项式.
注意：在此定理中，并没有假设p是素数，事实上，F可以是任意域，称F[x]/f(x)为由基域F通过域扩张得到的扩域.
1）置换密码 2）单表代换密码 3）多表代换密码 4）Vernam密码 5）Playfair密码 6）Hill密码 7）公钥密码 8）私钥密码
教学资料
资料仅供参考
定义: F[x]是域F上的多项式环, f,g,r∈F[x], g≠0, 满足f = gq + r, deg(r)<deg(g), 称r为f除以g的余式, 记为r≡f (mod g). 考虑F[x]中所有多项式模g(x)的余式, 将这些集合称为F[x]模g(x)的多项式, 记为F[x]/g(x).
类似的有环同态基本定理
概念的类比
群
环
正规子群
第六章-环与域
整环、除环、域
整环：有单位元无零因子的交换环是整环
例：对于剩余环<Z n
,
n
,
n
，若n为素数，则Zn必为整环
除环：设R是一个含1的环，R=R-{0} ,如果R是一个群，则
为除环，可交换的除环为域
例 设S为下列集合,+和.为普通加法和乘法. (1)S＝{x｜x＝2n∧n∈Z}. (2)S＝{x｜x＝2n+1∧n∈Z}. (3)S＝{x｜x∈Z∧x≥0}＝N, (4)S＝{x｜x＝a+b 2 ,a,b∈Q}. 问S和+,·能否构成整环？能否构成域？为
＝a·(－b)。同理可证－(a·b)＝(－a)·b。
(3) (－a)·(－b)＝－(a·(－b))＝－(－(a·b))＝a·b
（4)a·(b－c)＝a·(b＋(－c))＝a·b＋a·(－c)＝a·b－a·c。
(b－c)·a＝(b＋(－c))·a＝b·a ＋(－c)·a ＝b·a－c·a。
定义: 给定环<S，＋，·>，则 (1)若<S，·>是可交换半群，称<S，＋，·>是可交换环。 (2)若<S，·>是独异点，称<S，＋，·>是含幺环。 (3)若<S，·>满足幂等律，称<S，＋，·>是布尔环。
练习
1.证明在特征为p的有限域F中，映射：a a p , a F,是F的自同构
定理: 设<S，＋，·>是环，则对于任意的a、b、c∈S，有
1.a0 0a 1
2.(a)b a(b) (ab)
3.(a)(b) ab
4.a(b c) ab ac, (b c)a ba ca
人教版初中数学第十二章知识点总结
第十二章全等三角形12.1全等三角形1.全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。
2.全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
重合的顶点叫做对应点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角。
3.全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。
△ABC与△DEF全等，记作：△ABC≌△DEF注意：表示两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
4.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。
5.平移、翻折、旋转前后的两个图形全等。
6.找全等三角形对应边、对应角的规律：（1）有公共边的两个三角形全等，公共边一定是对应边；有公共角的两个三角形全等，公共角一定是对应角；有对顶角的两个三角形全等，对顶角一定是对应角；（2）在全等三角形中，最大边与最大边是对应边，最大角与最大角是对应角。
（3）在全等三角形中，对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边。
12.2全等形的判定1.已知：如图△ABC求作：△A´B´C´,使B´C´=BC、B´A´=BAC´A´=CA。
作法：（1）作线段B´C´=BC；（2）分别以点B´、C´为圆心，线段AB、AC长为半径画弧，两弧交于A´；（3）连接´A´B´、A´C´；则△A´B´C´为所求。
2.判定方法1：三边分别相等的两个三角形全等。
（可以简写成“边边边”或“SSS”）。
3.尺规作图2：作一个角等于已知角已知：∠AOB求作;∠A´O´B´,使∠A´O´B´=∠AOB作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA,OB于点C，D；(2)画一条射线O´A´，以点O´为圆心OC长为半径画弧，交O´A´于点C´;(3)以C´为圆心，CD长为半径画弧与第2步中所画的弧相交于点D´；（4）过点D´画射线O´B´,则∠A´O´B´=∠AOB。
群环和域
第2部分 代数系统
定理10.2.2 设<G,*>是群，对于a, bG，必存在惟一的 xG，使得a∗x=b。 定理10.2.3 设<G,*>是群，对于任意的a,b,cG，如果有 a∗b=a∗c或者b∗a=c∗a，则必 a –1∗b，则 a∗x=a∗(a –1∗b)=(a∗a –1)∗b=e∗b=b 若另有一解x1，满足a∗x1=b，则a –1∗(a∗x1)=a –1∗b 即x1=a –1∗b=x。
第2部分 代数系统
10.1半群和独异点
10.1.1广群和半群 代数系统<S,*>又称为广群。 定义10.1.1 设<S,*>是代数系统，*是S上的二元运算， 如果*满足结合律，则称代数系统<S,*>为半群。 例如，代数系统<I,＋>、R,·、<P(a),∪>、<P(a),∩>、 <Nk,＋k>和<Nk,×k>都是半群。 半群是一个非空集合和一个定义在其上的可结合二元运 算组成的代数系统。设<S,*>是半群，如果运算*又满足交换 律，则称半群<S,*>为可换半群。若S为有限集合，则半群 <S,*>称为有限半群。 定理10.1.1 设<S,*>是半群，*是S上的二元运算，BS， 如果*在B上是封闭的，则B,*也是半群。
第2部分 代数系统
这样以来，可以将6.2节中关于xn的定义推广为： x0 =e x1 =x xn+1=xn *x n为正整数。 x–n＝(x–1)n n为正整数。 定义 10.2.2 设 <G,*> 是群，如果它的子代数 <H,*> 也是 群，则称<H,*>是<G,*>的子群。 定义 10.2.3 设 <G,*> 是群，如果 G 是有限集，则 <G,*> 称为有限群，如果 G 是无限集，则 <G,*> 称为无限群。基数 |G|称为群<G,*>的阶数，简称群G的阶。 定理10.2.1 群中不可能有零元。 证明：当群的阶为1时，惟一元素为幺元。设|G|＞1且群<G,*> 有零元θ。那么对群中任何元素xG，都有 x∗θ=θ∗x=θ≠e， 所以，零元θ就不存在逆元，这与<G,*>是群相矛盾
离散数学PPT教学环与域
2.有限群<G,*>中的任何元素a的阶可整除|G|
证:若aG的阶是r,则{e,a a2, a3 , …,ar-1}是G的子群
3.质数阶的群,一定是循环群
证:设<G,*>为质数阶群
aG,ae
由推论2知:
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a的阶数可整除|G|,但是|G|为质数,所以a的阶数等于群的 阶数, {a,a2,,ar}=G
例2.1)<I,+,>是整环
2)<N4,+4,4>不是整环
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域
二.域
1.域的定义
若代数系统<F,+,>具有 1)|F|>1，
2)<F,+>,<F-{0},>均是阿贝尔群，3)乘法对加法可 分配，则称它是域
2.域的举例
1)I为整数集，<I,+,>不是域，
2)<Q,+,>是一个域,其中Q为有理数集合
证:e e a b c
e eabc
e eabc
e eabc
a abce
a aecb
b ceab
b bcea
c ceab
c cbae
生成元为a
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由拉格朗日定理知：a，b，c的阶只能为2
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四.同态与同余关系
同1.同态余关与系 同余关系
定义:<A,>是一个代数系统,R是A上的等价关系,若<a,b>R, <c,d>R<ac , bd>R，称R是A上的同余关系，此同余关系将A 划分的等价类称为同余类
环、域及其扩张的定义及应用
环、域及其扩张的定义及应用数学中环和域是两种常见的代数结构，它们在各种领域中有着广泛的应用。
在本文中，我们将对环、域及其扩张的定义及应用进行深入探讨。
一、环的定义环是一个满足以下四条性质的代数结构：1.加法交换律：对于任意的a、b∈R，有a+b=b+a。
2.加法结合律：对于任意的a、b、c∈R，有(a+b)+c=a+(b+c)。
3.零元存在：存在一个元素0∈R，使得对于任意的a∈R，有a+0=0+a=a。
4.加法逆元存在：对于任意的a∈R，存在一个元素-b∈R，使得a+b=b+a=0。
其中，R表示环的集合，+表示环内的加法。
二、域的定义域是一个满足以下四条性质的代数结构：1.加法交换律：对于任意的a、b∈F，有a+b=b+a。
2.加法结合律：对于任意的a、b、c∈F，有(a+b)+c=a+(b+c)。
3.零元存在：存在一个元素0∈F，使得对于任意的a∈F，有a+0=0+a=a。
4.加法逆元存在：对于任意的a∈F，存在一个元素-b∈F，使得a+b=b+a=0。
另外还需要满足以下两个性质：5.乘法交换律：对于任意的a、b∈F，有ab=ba。
6.乘法可逆性：对于任意的a∈F且a≠0，存在一个元素a-1∈F，使得aa-1=a-1a=1。
其中，F表示域的集合，加法和乘法分别用+和*表示。
三、环和域的应用环和域是代数学中最基本的概念之一，它们在生活中和各个学科中都有着广泛的应用。
在计算机科学中，环和域与计算机安全和编码有着密切的联系。
例如，加密算法中的密钥就采用了有限域的概念，而在编码理论中，环和域是研究编码和纠错技术的基础。
在物理学中，环和域的概念也有着广泛的应用。
例如，在量子力学中，对于一个系统的可观测量，其取值范围可以用一个域来描述。
在经济学中，环和域也有着广泛的应用。
例如，在金融领域中，利用有限域可以实现数字签名和身份认证等安全技术。
总之，环和域作为代数学领域的基本概念，在各个学科中都有着广泛的应用。
近世代数课件--3.3. 除环、域
( a1 ， 2 是 实 数 ） a
这个环叫做四元数除环
i,
0 i , 0 o ,
i
i,
0 0, 1 0, 1 i , 0
定义 一个交换除环叫做一个域。 例3 R=｛所以复数对（ , ）｝。这里 1 , 1 2 , 2 ，当而且只当 1 2 , 1 2 的时候。R的加法和乘法是
这里 表示的是共轭数：
1 , 1 2 , 2 1 2 , 1 2 1 , 1 2 , 2 1 2 1 2 , 1 2 , 1 2
这个环叫做四元数除环
§3. 除环和域
3.1 除环与域的定义 3.2 例子 3.3 四元除环(Quaternions)
3.1 除环与域的定义 例1 全体有理数作成的集合对于普通加法和乘法 来说显 然是一个环。这个环的一个任意元非 零元a可逆.除环和域就是刻画这一类代数系统. 例2 R只包括一个元a，加法和乘法是： a+a=a, aa=a R显然是一个环。这个环R的唯一的元有一个逆 元，就是的本身。除环和域的定义要排除这一 种极端情况.
3.1 除环与域的定义 定义 1 一个环R叫做一个除环，假如 1. R至少包含一个不等于零的元； 2. R有一个单位元； 3. R的每一个不等于零的元有一个逆元。 注: 这个定义的起点是环,如果以集合为起点呢? 定义 1’ 一个至少含两个元素的集合R叫做一 个除环，假如:R上有加法和乘法两种运算,且 1. R是一个加法群； 2. R*=R/{0}是乘法群； 3. 两个分配律成立。
18.环与域
得证
2.设Z[i]={a+bi | a,b∈Z,i= --1^(1/2)},证明Z[i]关于复数的加法和乘法构成一个环（
高斯整数环）
证明：对于 任意 a1,b1,a2,b2,a2,b3∈Z
证明
1) R1XR2关于 *和o运算构成一个环
2) 若R1和R2是交换环（或含幺环），则R1XR2也是交换环（或者含幺环）
3) 若R1XR2都是整环，R1XR2也是整环吗？证明你的结论
证明：
1) 证明 <R1XR2,*>是交换群，显然 (如果你觉得不显然，你可要加油呀！)
<R1XR2,o>是半群 ，显然
元，则u^-1uv1=u^-1=v1, u^-1uv2=u^-1=v2,得 v1=v2,矛盾，所以u不是可逆的
接着证明(2)=>(3)
设v是u的右逆元，即uv=1自然有u≠0,v≠0,有u不可逆，故vu≠1，于是 u(vu-1)=(uv)u-
u=u-u=0,然而，u≠0,vu-1≠0,故u是左零因子
右零化子，比有 ex-x=0 => ex=x,从而 e是又是R的左单位元,得证e是单位元
方法2.
对于任意x∈R,考虑 ex-x+e,对于任意 y∈R,y(ex-x+e)=yex-yx+ye=yx-yx+y=y,即ex-x+e
也是R的一个右单位元，由右单位元的唯一性，得 ex-x+e=e=>ex=x,得证 e又是的左 单
是零影子，故d=0,说明，c不是左零因子，同理可证明c也不是右零因子
高等代数域、环、群的定义与简单性质
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
域的定义
定义 设 F 是至少包含两个元的集合，在 F 中有一个代数运算，称作加 法；这就是说，对 F 中任意两个元 a, b，有 F 中唯一一个元 c 与之 对应，称为 a 与 b 的和，并记作 c = a + b. 在 F 中还有另一个代数 运算叫做乘法，即对 F 中任意两个元 a, b，在 F 中都有唯一的一个 元 d 与之对应，称为 a 与 b 的积，并记为 d = ab. 如果 F 的这两 个运算还满足
. .. . . ..
域的定义
定义 设 F 是至少包含两个元的集合，在 F 中有一个代数运算，称作加 法；这就是说，对 F 中任意两个元 a, b，有 F 中唯一一个元 c 与之 对应，称为 a 与 b 的和，并记作 c = a + b. 在 F 中还有另一个代数 运算叫做乘法，即对 F 中任意两个元 a, b，在 F 中都有唯一的一个 元 d 与之对应，称为 a 与 b 的积，并记为 d = ab. 如果 F 的这两 个运算还满足
I 加法交换律 a + b = b + a，∀a, b ∈ R. II 加法结合律 (a + b) + c = a + (b + c)，∀a, b, c ∈ R.
这时称 R 为一个环.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
九年级上册第12章知识点
九年级上册第12章知识点在九年级上册的第12章中，我们学习了一些重要的知识点，包括数学、语文、英语、历史和地理等方面。
下面将逐一介绍这些知识点。
一、数学知识点1. 几何形状：本章学习了平行四边形、三角形、梯形等几何形状的性质和计算方法。
2. 空间图形：我们探索了立体图形的种类、面积、体积等相关知识，如正方体、长方体等。
3. 方程与方程组：学习了一次方程、一元一次方程组和二元一次方程组的解法，以及应用问题的解题方法。
4. 数据的收集和整理：了解了如何进行数据的收集、整理、统计和展示等基本的数据处理方法。
二、语文知识点1. 阅读理解：学习了如何通过阅读理解来获取文本信息，分析、推理和解决问题等技巧。
2. 作文写作：掌握了写作的基本要素，包括选题、构思、组织语言和运用修辞等技巧。
三、英语知识点1. 语法知识：学习了定语从句、状语从句、主谓一致等语法知识的规则和用法。
2. 阅读技巧：提高了阅读理解能力，包括快速阅读、细节理解和推理判断等技巧。
四、历史知识点1. 古代中国历史：学习了中国古代的历史事件、代表性人物和重要思想，如夏朝、商朝、周朝、孔子等。
2. 世界古代史：介绍了古希腊、古罗马等古代文明的发展历程和特点。
五、地理知识点1. 自然地理：了解了地球的自然地理特征，包括大陆、海洋、河流、山脉和气候等。
2. 人文地理：学习了人类活动与自然环境的关系，以及人口、城市、交通和产业等相关知识。
总结起来，九年级上册第12章的知识点涵盖了数学、语文、英语、历史和地理等多个学科的内容。
通过学习这些知识点，我们可以提高自己的学科能力和综合素质，为进一步的学习打下坚实的基础。
以上是九年级上册第12章知识点的简要介绍，希望对你的学习有所帮助。
祝你学习进步，取得好成绩！。
如何解决数学中的环域与线性空间问题
如何解决数学中的环域与线性空间问题在数学中，环域与线性空间是两个重要的概念和问题。
本文将介绍解决数学中环域与线性空间问题的方法和技巧。
1. 环域问题环域是数学中一个重要的代数结构，它是一个非空集合，配上两个二元运算，分别是加法和乘法，并满足一定的性质。
解决环域问题的方法主要有以下几个步骤：（1）了解环域的定义和性质：首先，需要了解环域的基本定义和性质，包括环的乘法幺元、加法逆元、乘法逆元等。
（2）研究环的结构与性质：在了解环域的基本定义和性质后，可以通过研究环的结构与性质来解决一些具体的环域问题，比如证明一个环是交换环或是整环等。
（3）使用定理和命题：数学中有很多关于环域的定理和命题，可以通过运用这些定理和命题来解决环域问题。
比如，可以使用环的理想和商环的概念来解决一些环域问题。
2. 线性空间问题线性空间是数学中另一个重要的概念，它是一个非空集合，配上两个运算，分别是加法和数乘，并满足一定的性质。
解决线性空间问题的方法主要有以下几个步骤：（1）了解线性空间的定义和性质：首先，需要了解线性空间的基本定义和性质，包括线性空间的零向量、线性相关与线性无关、线性组合等。
（2）研究线性空间的结构与性质：在了解线性空间的基本定义和性质后，可以通过研究线性空间的结构与性质来解决一些具体的线性空间问题，比如证明一个集合是一个线性子空间或是一个线性闭包等。
（3）使用定理和命题：数学中有很多关于线性空间的定理和命题，可以通过运用这些定理和命题来解决线性空间问题。
比如，可以使用线性空间的基和维数的概念来解决一些线性空间问题。
综上所述，解决数学中的环域与线性空间问题需要通过了解定义、性质、结构和定理等方面的知识，并运用这些知识来进行具体问题的分析和求解。
希望本文所介绍的方法和技巧能够对读者在解决数学中的环域与线性空间问题时有所帮助。
通过不断学习和实践，相信读者能够在数学领域取得更好的成绩和突破。
整环除环域优质课件专业知识讲座
本最文后档所，提我供们的信来息看仅当供一之参个处考非，之请用可联，换系不除本能人作环或为（网科从站学删依而除据。，不请是勿模域仿）。的文档例如子有不 例4．哈密顿四元数除环 （实四元数除环），
Def 2：有单位元的可换环（ A,+,?）叫做整环，若 |A|≥2,且A无零因子 。
注：整环满足如下的三个条件： ①乘法适合 交换律：ab= ba; ②有单位元 ：1?a=a; ③无零因子 ：ab=0 ? a=0或b=0.
例1．①（ Z ，+，?）是一个整环， 同理（ Q,+, ?）（ R ,+,?）（C,+, ?）亦然 .
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我们把上面当的之讨处，论请归联结系本为人下或网面站的删命除。题。 命题：（Z/（n），+，·）是域 ? n是素数p.
关于一般的有限环还有以下定理 Th3. 一个非零的 有限的无零因子环是 除环。
证明：设环R≠{0}， |R|=n <∞,则R*≠?
例3． 剩余类当之环处（，请Z /联（系本n）人或，网+站，删?除）。，当 n 不是素数时，
Z/ （n ）中有零因子，因为
n ? n1 n2n, 1 ? 1, n2 ? 1,
则有 n1n? 2 ? 0, 且 n1 ? 0, n2 ? 0,
所以 n1，n 2 是零因子。但是当 n是素数时， Z/（n）
Chapt21 环与域
2016/12/5 离散数学 13
交换环
定义21.1.2：设R是环，若R的乘法也满足交换 律，即 ab = ba，a, b∈R，则称R是个交换环。 显然，对于交换环，还满足第三指数律，即对 a, b∈R，n≥1，有 (ab)n = anbn (第三指数律)。 而且由数学归纳法可证明二项式定理： (a+b)n = an + Cn1an–1b + Cn2an–2b2 + … + bn。 前述的例1和例2中的环都是交换环，但例3即 所有实数n阶方阵作成的集合，对矩阵的加法 和乘法构成的环不是交换环。 .
2016/12/5 离散数学 17
整环
定义21.1.5：含幺且无零因子的交换环称为整 环。 整环是含幺环、交换环和无零因子环的综合， 因此，整环自然就 (1)乘法有单位元； (2)乘法满足交换律； (3)无零因子； (4)乘法满足消去律。 例1中的环都是整环。
离散数学 18
离散数学
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负负得正
证明：因为由分配律得： a(–b)+(–a)(–b) = [a+(–a)](–b) = 0(–b)=0 且a(–b)+ab = a[(–b) + b] = a0 = 0 所以a(–b)+(–a)(–b) = a(–b) + ab。 再由消去律得(–a)(–b)= ab。 这个性质说明在环中，两个元素的乘积 等于它们的负元的乘积，即负负得正。
第二十一章
环与域
2016/12/5 离散数学 1
目录
群是只有一种二元运算的代数系统。本章介绍 具有两种二元运算的代数系统—环与域：
§21.1 §21.2 §21.3 §21.4 §21.5
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针对环中的加法，
– x-y表示x+(-y)。 – nx表示x+x++x(n个x相加)，即x的n次加法幂。
–-xy表示xy的负元。
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环的运算性质
定理12.1 设<R,+,·>是环，则
(1) a∈R，a0＝0a＝0
(2) a,b∈R，(-a)b＝a(-b)＝-ab (3) a,b,c∈R，a(b-c)＝ab-ac，(b-c)a＝ba-ca (4) a1,a2,...,an,b1,b2,...,bm∈R(n,m≥2)
显然R中关于加法的交换律以及乘法对加法的分配律 在S中也是成立的。 因此，S是R的子环。
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例12.3
(1)考虑整数环<Z,+,·>，对于任意给定的自然数n， nZ＝{nz|z∈Z}是Z的非空子集，且nk1,nk2∈nZ有
nk1-nk2＝n(k1-k2)∈nZ
nk1·nk2＝n(k1nk2)∈nZ 根据判定定理,nZ是整数环的子环。 (2)考虑模6整数环<Z6,,>，不难验证 {0},{0,3},{0,2,4},Z6是它的子环。 其中{0}和Z6是平凡的，其余的都是非平凡的真子环。
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例12.2
例12.2 在环中计算(a+b)3，(a-b)2
解答
(a+b)3
＝ (a+b)(a+b)(a+b) ＝ (a2+ba+ab+b2)(a+b) ＝ a3+ba2+aba+b2a+a2b+bab+ab2+b3 (a-b)2
＝ (a-b)(a-b)
＝ a2-ba-ab+b2
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子环
定义12.2 设R是环，S是R的非空子集。若S关于环R的加法和 乘法也构成一个环，则称S为R的子环(subring) 。
i 1
n
ai b j
i 1
n 1
由归纳法命题得证。
9
定理12.1(4)的证明
同理可证，b1,b2,...,bm 有
ai ( b j ) ai ai )( b j ) ai ( b j ) ai b j
i 1 j 1 i 1 j 1 i 1 j 1 n m n m n m
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离散数学
第12章 环与域
本章内容
12.1 环的定义与性质 12.2 整环与域 本章总结 作业
2
12.1 环的定义与性质
环的定义 环的运算性质 环的子代数和环同态
3
环的定义
定义12.1 设<R,+,·>是代数系统,+和·是二元运算。
如果满足以下条件：
(1) <R,+>构成交换群。 (2) <R,·>构成半群。 (3) ·运算关于+运算适合分配律。 则称<R,+,·>是一个环(ring)。
( ai )( b j ) ai b j
i 1 j 1 i 1 j 1 n m n m
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定理12.1的证明
(1) a∈R，a0＝0a＝0 a0 ＝ a(0+0) ＝ a0+a0
由环中加法的消去律得 a0＝0。 同理可证 0a＝0。 (2) a,b∈R，(-a)b＝a(-b)＝-ab (-a)b+ab ＝ (-a+a)b ＝ 0b ＝ 0 ab+(-a)b ＝ (a+(-a))b ＝ 0b ＝ 0 因此(-a)b是ab的负元。 由负元的唯一性可知 (-a)b＝-ab。 同理可证 a(-b)＝-ab。 (3) a,b,c∈R，a(b-c)＝ab-ac，(b-c)a＝ba-ca a(b-c) ＝a(b+(-c)) ＝ab+a (-c) ＝ab- ac
则x,y∈Z 有
(x+y)＝(x+y)mod n ＝ (x)mod n (y)mod n ＝ (x) (y) (xy)＝(xy)mod n
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定理12.1(4)的证明
(4) a1,a2,...,an,b1,b2,...,bm∈R(n,m≥2)
( ai )( b j ) ai b j
i 1 j 1 i 1 j 1 n m n m
先证明 a1,a2,...,an 有
( ai )b j ai b j
i 1 i 1
n
n
对n进行归纳。
当n＝2时，由环中乘法对加法的分配律，等式显然成立。
假设 ( ai )b j ai b j ，则有
( ai )b j
i 1 i 1 n 1
n
n
( ai an 1 )b j
i 1
i 1 n
( ai )b j an 1b j
i 1
n
ai b j an 1b j
通常称+运算为环中的加法，· 运算为环中的乘法。
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环的实例
(1)整数集、有理数集、实数集和复数集关于普通的加法 和乘法构成环，分别称为整数环Z，有理数Q，实数环R 和复数环C。 (2)n(n≥2)阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵的加法和乘法 构成环，称为n阶实矩阵环。
(3)集合的幂集P(B)关于集合的对称差运算和交运算构成 环。
若S是R的子环，且SR，则称S是R的真子环。
举例： 整数环Z，有理数环Q都是实数环R的真子环。 {0}和R也是实数环R的子环，称为平凡子环。
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子环判定定理
定理12.2 设R是环，S是R的非空子集，若 (1) a,b∈S，a-b∈S
(2) a,b∈S，ab∈S 则S是R的子环。 证明：由(1)S关于环R中的加法构成群。 由(2)S关于环R中的乘法构成半群。
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环的同态
定义12.3 设R1和R2是环。：R1→R2，若对于任意的x,y∈R1有 (x+y)＝(x)+(y)，(xy)＝(x)(y) 成立，则称是环R1到R2的同态映射，简称环同态。 说明 类似于群同态，可以定义环的单同态，满同态和同构等。
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例12.4
设R1＝<Z,+,·>是整数环，R2＝<Zn,,>是模n的整数环。 令 ：Z→Zn，(x)＝(x)mod n
(4)设Zn＝{0,1,...,n－1}, 和分别表示模n的加法和 乘法，则<Zn, , >构成环,称为模n的整数环。
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环的运算约定
加法的单位元记作0。 乘法的单位元记作1(对于某些环中的乘法不存在单位元)。 对任何环中的元素x，称x的加法逆元为负元，记作-x。 若x存在乘法逆元的话，则将它称为逆元，记作x-1。