篱笆问题

A
D
学校要利用40米的篱笆围成一个矩形花圃，
x
如图所示，设AB=x， （设出自变量）
20-x
B
C
（1）用含x的代数式表示BC. 40 2x 20 x （表示出边长）
2
（2）用含X的代数式表示花圃的面积y. y x20 x x2 20x
（列出面积的表达式）
（3）花圃的面积有最大值吗？如果有请求出来，没有请说明理由.
在变式1的条件下，如图，在两侧各留一个2米
宽的门，在中间也留下了一个1米宽的门，
求：当AB为何值时，花圃的面积最大？
思考：
（1）如果设AB=x,BC=_____4_5_-_3_x________;
（2）如果设BC=x,AB=_____4_5__- _x________. 3
E
A
D
B
C
F
40米的篱笆以及3个门， 相当于除墙外所有边长和 为40+2+2+1=45
一、课前热身
已知抛物线y 2x2 4x 3
(1)当0 x 2时，求y的最大值.
当x

b 2a


4 4
1时，ymax

2
43

5
(2)当 3 x 0时,求y的最大值. 当x 0时，ymax 3
x 1
(3)当3 x 6时,求y的最大值. 当x 3时，ymax 3
BE 1 AE x
2
2
AB 3 x 2
怎样表示EB的长？ 你可以由面积之间的关 系转化成边长之间的关 系吗？
三、链接中考
学校要利用60米长的篱笆围成一个矩形花圃，
A
N
D
需要将花圃围成面积相等的三部分，如图所示，
3x 2
x
E
x
M
x
F
AE等于多少时才能使花圃的面积最大？
B
60 4x
二次函数求最值时应考虑顶点是 否在自变量的取值范围内.
篱笆中的最值问题
——李媛媛
二、引例
A
D
学校要利用40米的篱笆围成一个矩形花圃，
x
如图所示，设AB=x，
B
C
（1）用含x的代数式表示BC.
（2）用含X的代数式表示花圃的面积y.
（3）花圃的面积有最大值吗？如果有，请求出，没有请说明理由.
二、引例
4
3
x

a时，ymax


1 2
a2
50a
三、链接中考
学校要利用60米长的篱笆围成一个矩形花圃，
A
N
D
xx
x
需要将花圃围成面积相等的三部分，如图所示，
E
M
F
AE等于多少时才能使花圃的面积最大？
B
C
解：设AE x,花圃面积为y
S矩AEMN S矩NMFD S矩EBCF S矩AEFD 2S矩EBCF AE EF 2BE EF
C
解：设AE x,花圃面积为y
S矩AEFD 2S矩EBCF AE EF 2BE EF
3
x＞0
60 - 3x 3
＞0解得0＜x＜20
BE 1 AE x ,即AB 3 x
2
2
2
y 3 x 60 4x 2x2 30x 23
x 30 15 , AE 7.5时面积最大 4 2
M
a
N
M
a
N
x
当x a时, y x (50 1 x) 1 x2 50x
2
2
x b 50,0＜x a 50, y随x的增大而增大，
2a
x

Hale Waihona Puke Baidu
a时，ymax


1 2
a2
50a
作差法比大小：
1 a 252 1 a2 50a 3a 100 2＞0
4
2
4
综上所述，当0＜a 100 时，长和宽均为 1 a 25米的矩形;
3
4

当100 ＜a 50时，一边为a米,另一边为50 - 1 a 米的矩形.
3
2
x
当x a时，y x 100 a 2x x2 50 1 a x
x＞0 0＜42

2x

18
解得12

x＜21
你还有其他方法 表示出BC吗？
x b 42 21 2a 4 2
当12 x＜21, y随x的增大而减小
x 12时，y取得最大值.
40米的篱笆以及一扇2米宽的门， 相当于三边长为42，则BC=42-2x
变式训练2
2
2
x a 0＜100 x b
- 2x a ＜50解得a x＜
2
50

1 2
a

1
a

25
a 2

50
2a
2
4
a 1 a 25＜ a 25解得0＜a 100
4
2
3
x

1 4
a

25,
ymax


1 4
a

2
25
a 1 a 25, 解得100 a＜50
四、归纳总结：
知识与内容：
①y ax2 bx c(a 0)
当x b 时，y取得最值 4ac b2
2a
4a
②求最值时应注意判断顶点是否 在x的取值范围内.
方法与技巧：
建立函数模型解决最值问题
一、设出自变量 二、写出表达式 三、求出自变量取值范围 四、根据性质求出最值
五、拓展应用
在足够大的空地上有一段长为a米（0＜a≤50）的旧墙MN，李老师想利用这面旧墙 和总长为100米的篱笆围成一个矩形菜地ABCD，请你合理利用这面旧墙及篱笆，帮 助李老师设计一个方案，使得围成的矩形菜地的面积最大，并求面积的最大值.
M
a
N
M
a
N
希望同学们，能够在若干个类似问题中， 归纳出解决同类问题的方式方法，更高效的学习！
A
D
X
X
B
EF
C
变式训练1
如图，在上述条件下，为出入方便要在BC边上留下一个
A
D
2米宽的门，设AB=x,
X
X
（1）用含x的代数式表示BC . 40 2x 2 42 2x
B
EF
C
（2）用含X的代数式表示花圃的面积y . y x (42 2x) 2x2 42x
（3）求AB为何值时，花圃的面积最大？
2x＞ 0 0x＞0解得0＜x＜20
（求出自变量取值范围）
当x

20 2
10时，ymax
100
（根据性质求出最值）
例1
如图，利用一面18米长的墙和40米长的篱笆
A
D
围成矩形花圃，（AD≤墙长）求出花圃面积的最大值.
B
C
变式训练1
如图，在上述条件下，为出入方便，在BC边上留下一个 2米宽的门，设AB=x, （1）用含x的代数式表示BC . （2）用含X的代数式表示花圃的面积y . （3）求AB为何值时，花圃的面积最大？