一题多解求不规则多面体体积——割补法的运用
“割补法”求解不规则几何体体积
“割补法”求解不规则几何体体积我们通常把不是棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台等的几何体，称为不规则几何体．而解决不规则几何体的方法，常用割补法，即通过分割或补形，将它变成规则的几何体．我们可以从不规则几何体的来源上，即它是由何种常见的几何体所截得的来分类．一、来自三棱柱的截体例1 如图1，正四面体A BC D -中，E F G H ，，，分别是棱A B A C B D C D ，，，的中点，求证：平面EFH G 把正四面体分割成的两部分几何体的体积相等．分析：显然正四面体被分割成的两部分都是不规则的几何体，因此我们可使用割补法来推导．那么我们应选择割，还是补呢？如果选择补，那么补成什么样子呢？显然只能是正四面体，这就说明我们应该选择割．证明：连结C E C G A G A H ，，，，左右两个不规则几何体都被分割成了一个四棱锥和一个三棱锥，如图1．易证左右的两个四棱锥的体积相等，两个三棱锥的体积也相等，于是两部分体积相等．当然此题还有其他的分割方法，比如分成一个三棱柱和一个三棱锥等，也同样好证．二、来自正方体的截体例2 如图2，已知多面体ABC D EFG -中，A B A C A D ，，两两互相垂直，平面ABC ∥平面D E F G ，平面BEF ∥平面A D G C ，2AB AD D C ===，1AC EF ==，则该多面体的体积为（ ）Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．8解法一（割）：如图3，过点C 作C H D G ⊥于H ，连结EH ，这样就把多面体分割成一个直三棱柱D EH ABC -和一个斜三棱柱BEF C H G -．于是所求几何体的体积为：DEH BEF V S AD S DE =⨯+⨯△△11212212422⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 解法二（补）：如图4，将多面体补成棱长为2的正方体，那么显然所求的多面体的体积即为该正方体体积的一半． 于是所求几何体的体积为31242V =⨯=．三、来自圆柱的截体例3 如图5，如图5，一圆柱被一平面所截，已知被截后几何体的最长侧面母线长为4，最短侧面母线长为1，且圆柱底面半径长为2，则该几何体的体积等于_______．解法一（割）：如图6，该几何体的体积等于下面的圆柱的体积与上面的圆柱体积的一半之和．下面的圆柱的高就是该几何体的最短侧面母线长1，而上面的圆柱的高为3． 于是所求几何体的体积为221π212310π2V =⨯⨯+⨯⨯⨯=．解法二（补）：如图7，将一个与已知的几何体完全相同的几何体，与已知的几何体拼在一起组成一个高为5的完整圆柱，那么所求几何体的体积就是这个大圆柱体积的一半．于是21π2510π2V =⨯⨯⨯=．例1、已知三棱锥的两个侧面都是边长为 的等边三角形，另一个侧面是等腰直角三角形。
立体几何中的割补法解题技巧
⽴体⼏何中的割补法解题技巧
⽴体⼏何中的割补法解题技巧
※⾼考提⽰
⽴体⼏何中常⽤割补法解题.特别是⾼考中的⽴体⼏何题很多可⽤割补法解,有时解起来还⽐较容易.
[规律⼩结]
割补法是割分形法即割法与补加形法即补法的总称。
补法是把不熟悉的或复杂的⼏何体延伸或补加成熟悉的或简单的⼏何体，把不完整的图形补成完整的图形。
割法是把复杂的或不熟悉的⼏何体，割分为简单的或熟悉的⼏何体。
这样对此解起题来就有好处。
割补法中的割与补是⼀个问题中的相反两个⽅⾯，是对⽴统⼀的⼀对⽭盾。
解决⼀个问题，是割是补？这要看问题的性质，宜补就补，宜割就割，不可割补就不割补，就是宜割补，也要讲究如何割补，不要盲⽬⾏动，否则就会导致⿇烦，使问题复杂化，使得其反，甚⾄问题还不能解决。
⽴体⼏何中需得三棱柱补成平⾏六⾯体，将三棱维补成三棱柱，将三棱柱割分为三棱维等等这些我们很熟悉，其实，割补法不仅仅使⽤于⽴体⼏何，将上述概念中的⼏何体或图形改为代数式，那么在数学的其它⽅⾯使割补法也就很多了，⽐如运算中的添项减项，重新组合另⾏考虑，考虑问题的对⽴⾯等等均可视为割补法，因此，割补法不只是⼀种⽅法，可把它上升为⼀种思想——⼀种数学思想。
关于我们：。
例谈割补法求空间几何体的体积
例谈"割补法"求空间几何体的体积作者：蓝诚来源：《读写算》2012年第21期【摘要】高中教材所学到的几何体，大多都是比较特殊的几何体，比如棱柱、棱锥等体积的求法，主要利用公式法或等体积换底面积法就可以直接解决，但是在我们在平常做练习或高考当中，又经常遇到一些难于直接计算的或是直接求，但过程非常复杂。
如果能利用"割"与"补"的方法来解决，就可以把一些不易直接计算的几何体"分割"成几个几何体或是补形变成我们熟悉的几何体，化难为易，化繁为简，使思路清晰简单，这样就可以达到事半功倍的效果。
本文就通过具体的实例来谈谈如何利用"割补法"解决此类难题。
【关键词】分割法等体积变换底面法补形法高中教材所学到的几何体，大多都是比较特殊的几何体，比如棱柱、棱锥等体积的求法，主要利用公式法或等体积换底面积法，就可以直接解决，但是在我们在平常做练习或高考当中，又经常遇到一些难于直接计算的或是直接求，但过程非常复杂的几何体。
如果能利用"割补法"来解决，把一些不易直接计算的几何体分解成几个几何体或是补形变成我们熟悉的几何体，化难为易，使复杂多变的问题变得思路清晰简单，这样就可以达到事半功倍的效果。
下面就谈谈"割补法"解决难题具体做法。
一、分割法：就是将一个难于直接计算的几何体分割成几个易于计算的几何体，分别求出它们的体积，再将加，便得所求几何体的体积。
例1 如图，在三棱锥A-BCD中，若相对棱AB⊥CD，且AB=4，CD=3，EF是这两条异面直线AB、CD的公垂线，且EF=6，求该三棱锥A-BCD的体积.分析：本题所给的条件，如果直接从正面利用公式直接去求是没有办法的，但是从EF是这两条异面直线AB、CD的公垂线出发，易知AB⊥EF，AB⊥CD，EF∩CD=F，所以知道AB⊥面ECD，这样我们就以⊿DCE为底面，高分别是AE、BE的两个小的三棱锥A-DCE和三棱锥B-DCE来计算就行，于是得下面的解答。
割补法、构造法、特值法应用综述——高中数学解题基本方法系列讲座(9)
=1，
联想
向量的数量积的坐标运算法则， 可以构造向量．设向量軖m=
（cos琢，
sin琢），
n軋=
（
１ a
+
１ b
），
由题意知
cos琢 a
+
sin琢 b
=1.
姨 由
軖m·n軋≤│軖m││n軋│，可得
1=
cos琢 a
+
sin琢 b
≤
１ a2
+
１ b2
．又
可自然快速得到答案 D.
点评： 平面向量进入高中教材后， 其主要的功能就好应
G
E
F
（2）
G
面 体 ABC -DEFG 中 ，
AB， AC， AD 两两互相垂直， 平面 ABC∥平面 DEFG， 平面
BEF∥平面 ADGC， AB=AD=DC=2， AC=EF=1， 则该多面体的
体积为 （ ）
Ａ． 2
Ｂ． 4
Ｃ． 6
Ｄ． 8
分析： 这个几何体即可以看作两个三棱柱拼合而成的，
也可以看作是从一个正方体割下来的．
那么显然所求的多面体的体积即为该正方体体积的一半． 于是
所求几何体的体积为 V= １ ×2３＝４． ２
点评： 割补法是我们解决不规则空间几何体体积的最主
要的技巧， 其基本思想是利用割补将其转化为规则空间几何
体加以解决．
2． 构造法: 在解题时， 我们常常会采用这样的方法， 通过
对条件和结论的分析， 构造辅助元素， 它可以是一个图形、
其外接球的表面积是
．
分析： 将其补成一个正方体．
解析： 这样的三棱锥实际上是正方体被一个平面所截下
割补法解立体几何中的技巧
解 题 技巧 与 方 法
・ 篇黑
・
舞
静静黼
●
●
剑排瀛解寞 挑俩
◎王 东 （ 甘 肃酒泉工 贸中等 专业 学校 ， 甘 肃 酒泉
援
２ ７ ４ ０ ０ ０ ）
【 摘要】 割补法是计算平面几何图形面积的推导方法，
也是 一种 思考方 法． 在几 何 图形教 学 中， 有着 广泛 的应用．
为 ， 故选 Ｂ ．
面体 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ的外接球 的表 面积．
分析
由图 ８ 得 四面体 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ如 图 ９所示 ， 欲求其外接
球 的表 面积 ， 先要找 出其 外接球心 所在的 位置 ， 将 图 ９补 成
数 学学习与研究
２ ０ １ ７ ． ２ ２
● ●
・
・
●
如图ｌ ０所示的长方 体 ， 易 知其外接 球心是 长方 体对 角线 的 中点 ， 问题便 可以解决．
例４ 已知曲线Ｙ ：， ／ １ 一 与 轴的交点为Ａ ， ， 分别
由Ａ 。 Ｂ两 点 向直 线 Ｙ ＝ √ ３ 作 垂线 ， 垂 足分别 为 Ｃ ， Ｄ ， 沿直
线 Ｙ： 将平 面 Ａ Ｃ Ｄ 折起 ， 使平 面 Ａ Ｃ Ｄ上平 面 Ｂ Ｃ Ｄ， 求四
等腰直角三角形 ， 利用体积 相等 ， 立即可求 得原 三棱锥 的高
证明 ： 平面 Ｇ 。 Ａ Ｂ上平 面 Ｇ ｌ Ａ Ｄ ．
Ａ ． ÷
Ｂ ． ４
Ｄ． ４
图５
图 ６
国
图 １
图 ２
分析
求点到面 的距 离通 常是 过点 作 面 的垂线 ， 而由
图７
于该 图的局 限性 不太好 作垂线 ， 考 虑 ０为 Ａ ， ｃ ， 的中点 ， 故 将要求 的距 离与 ／ Ｉ ， 到面 Ａ Ｃ ， Ｄ， 的距离挂 钩 ， 从 而与棱锥知
割补法在立体几何解题中的应用
例
.
2
〔19 93 年 理 工 农 医 类 高 考 题 ( 26 )〕
IA BI C I 一 A B C 是 直 三梭 柱 , 过 点 A , 、 B 、 C l 的平 面 和 平面 A B C 的 交 线记 为 L 。 ( 1) 判定直 线 IA C I 和 L 的
BC 位 里 关 系 , 并加 以 证 明 ; (2 ) 若 A A : = 1 , A B ~ 4 ,
. 中学 理科 教 学
割补法在立体几何解题中的应用
白银 公 司一 中 赵 保 铎
几何 体彼此之 间有着密切 的联 系 , 解题 时只要
细 心 观 察 , 广泛 联 想 , 不 难发 现 其 转 化 契 机 . 所 谓 割
补 法 , 即 补 体法和 分割 法 的合 称 , 就 是 实 现 几 何 体 之
~ 3 , 匕 A B C ~ 90 。 , 求 顶 点 A l 到 直线 L 的距 离 。
分析 : 解 此题 , 作出 平
面 A I EC ; 和 平 面 A B C 的 交线 L 是 关键 . 如 图 (3 ) , 补作 一 个 直 三 棱 柱 人B r 卜一 A I B , D , , 使 其 成 为 一 个 直 四 棱 柱 A C B I) 一
粤 公 垂 线 E D 一 h , 求 证 三 棱 锥 的 体 积 v 一 LZ h 。
一 一 ~ 一一
一 一 -
~ ` 一
~ 一, J ”
’、
’
6 一 一’
分 析 : 与现 行立 几 教
材 分割三 棱 柱 的情 况 相
反 , 也可 以 把 一个三 棱 锥 补成一 个体积 是其三倍 的 三棱柱 。 如图 ( 4 ) ,连 B E 、
用割补法求几何体的体积
用割补法求几何体的体积――培养学生的空间想象能力内容提要：本文用图形割补的方法来求一些不规则的几何体体积，通过求几何体体积的过程，来培养和提高学生对空间图形的想象能力，进而得出培养和提高学生空间想象能力的途径。
关键字：割补法空间想象能力在高中立体几何的学习中，学生最大的困难在于缺乏良好的空间想象能力，由于目前我们只能在二维平面上通过空间图形的平面直观图来研究空间元素的位置关系和数量关系，这就造成学生难以摆脱在平面几何学习中培养起来的对平面图形的认知经验，具体表现在遇到立几问题时，不会识图，有些学生甚至看不出空间元素的前后位置关系，也不会合理作图。
特别是求几何体体积问题，对于不同的几何体或不规则的几何体，我们可联想熟悉的几何体去计算其体积，这就对学生的空间想象能力有很高的要求。
那么什么是空间想象能力呢？中学数学中的空间想象能力主要是指，学生对客观事物的空间形式进行观察、分析、抽象思考和创新的能力。
空间想象能力的提高必定AB要经过实际的训练，途径也有很多种。
本文就借助于求几何体的体积来提高学生的空间想象能力。
由于几何体的形状多种多样，所以体积的求法也各不相同。
针对一些不规则的几何体，直接运用体积公式可能比较困难，我们常对原几何体进行割补，转化为几个我们熟悉的几何体，其解法也会呈现一定的规律性:① 几何体的“分割”几何体的分割即将已给的几何体，按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之。
② 几何体的“补形”与分割一样，有时为了计算方便，可将已给的几何体补成易求体积的几何体，如长方体，正方体等等。
一、用割补法求锥体的体积例题一：已知三棱锥ABC P -，其中4=PA ,2==PC PB ,ο60=∠=∠=∠BPC APC APB 求：三棱锥ABC P -的体积。
【思路一】作BC 的中点D ，连接PD 、过P 作AD PH ⊥，垂足H易证PH 即为三棱锥ABC P -的高， 由棱锥体积公式 PH S V ABC ABC P ⋅=∆-31即得 三棱锥ABC P -的体积。
割补法在解题中的应用
巧用割补，化难为易顾介远割补法就是把图形切开，把切下来的那部分移动到其他位置，使题目便于解答；割补法是立体几何解题中的常用技巧，巧妙地对几何体进行分割与拼补，能够简化解题过程。
例如：已知正四面体的棱长为2，求其内切球和外接球的表面积与体积。
分析：本题的解题关键是求出正四面体的内切球和外接球的半径，用何种方法，怎样思维就成了解决本题的关键。
由几何图形我们不难看出球和正四面体都是对称的几何体，所以正四面体的外接球、内切球的球心与正四面体的几何中心重合。
将球心与正四面体的四个顶点连线，就可将这个正四面体分割成四个正四棱锥，这四个正四棱锥的底面分别是正四面体的侧面和底面，高是该正四面体的内切球的半径，侧棱为正四面体的外接球的半径，因此它们的体积相等且这四个正四棱锥的体积的和为正四面体的体积，从而我们可以得出结论：正四面体的外接球的半径是它的内切球的半径的3倍，它们的和等于该正四面的高。
令正四面体的高为h ，则h 2=SA 2-(32AE)2 =(2)2-(233)2,所以h=332；故该正四面体的外接球的半径R=43h=23，其表面积为S=3π；其体积为V=23π。
该正四面体的内切球半径r=41h=63，其表面积为s=31π，其体积v=183π。
如果把思维放开，这个正四面体可以看作是一个棱长为1的正方体ABCD-A /B /C /D /，“切去”四个“角”所对应的三棱锥得到正四面体C /-A /BD ，则该四面体与正方体具有公共的外接球，此时外接球的直径等于该正方体的体对角线的长，即2R=3，所以R=23，再根据R ：r=3：1的关系，该四面体的内切球半径r 就很容易求得了。
高中数学学习的本质是提高学习者的思维品质，快快进行“头脑体操”的锻炼吧，它给你带来快乐和成就感一定会超过鸟叔的《江南style 》！。
割补法在高中立体几何解题中的应用_方清
锥．故只 要 求 出 其 中 一 个 三 棱 锥 的 体 积 即 可．由
图 可 知 ，ＶＡ′－ＢＥＤ′ ＝ＶＤ′－Ａ′ＢＥ ＝ １３·ＳΔＡ′ＢＥ·Ａ′Ｄ′＝
１ ３
·１２·ａ２·ａ·ａ＝１１２ａ３
．故ＶＡ′－ＥＢＦＤ′
＝２ＶＡ′－ＢＥＤ′
＝
１ａ３． ６
以上各例 说 明，在 解 决 某 些 几 何 问 题 时，若
利用部分与整体的关系来解题．
例６ 已知三棱锥 Ｐ－ＡＢＣ，其中 ＰＡ ＝４， ＰＢ ＝ ＰＣ ＝２，
∠ＡＰＢ ＝ ∠ＡＰＣ ＝ ∠ＢＰＣ ＝６０°求：
三棱锥 Ｐ－ＡＢＣ 的
体积．
分析１ 作 ＢＣ
分析 如图４，将一个完全相同的几何体与 已知的几何体拼在一起组成一个高为５的圆柱，
那么所 求 几 何 体 的 体 积 就 是 这 个 圆 柱 体 积 的
例８ 如图 １０，已
知正方体 ＡＢＣＤ － Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′ 的 棱 长 为ａ，
Ｅ、Ｆ 分 别 是 棱 ＡＡ′ 和
ＣＣ′ 的 中 点，求 四 棱 锥
Ａ′－ＥＢＦＤ′ 的体积．
分析 本题要想直接求出四棱锥的高还是 比较困难的．但 是 四 棱 锥 的 底 面 是 菱 形，所 以 连
结对角线把四棱Leabharlann 分割成体积相等的两个三棱Ａ．３π Ｂ．４π Ｃ．３ 槡３π Ｄ．６π
分析１ 设ΔＡＣＤ 的重心 为 Ｅ，则球心在线段 ＢＥ 上，可 在直角 三 角 形 中 求 解，但 计 算 较麻烦．
分 析 ２ 将 正 四 面 体 ＡＢＣＤ 补成正方体，则 正 四 面 体、正 方 体 的 外 接
球为同一 个 球．因 为 正 四 面 体 的 棱 长 为槡２，所 以
（收 稿 日 期 ：２０１３－０８－１６）
割补法在立体几何中的应用
WS自动填充功能快速填写重复内容自动填充功能是工作表软件（WS）中一个高效的工具，它可以帮助用户快速填写重复内容。
通过利用这一功能，用户可以大大提高数据录入的效率，节省时间和精力。
本文将介绍WS自动填充功能的使用方法和一些注意事项。
一、使用方法使用WS自动填充功能十分简便。
以下是具体操作步骤：1. 创建一个新的工作表或打开一个已有的工作表。
2. 在需要填写重复内容的单元格中输入第一个数值或文本。
3. 鼠标选中填写内容的单元格，使其被选中。
4. 在选中的单元格的右下角会出现一个小黑色方块，将鼠标放置在该方块上，鼠标指针会变成一个加号（+）。
5. 按住鼠标左键，拖动该小黑色方块至需要填充的单元格区域，可以是横向、纵向或是一个矩形区域。
6. 松开鼠标左键，重复内容会被自动填充至选中的单元格区域。
二、应用场景WS自动填充功能在很多场景下都非常实用。
以下是几个常见的应用场景：1. 数字序列的填充：有时候我们需要填写一列连续的数字，如1、2、3等。
使用WS自动填充功能，只需输入前几个数字，然后拖动填充方块即可快速生成整个序列。
2. 日期序列的填充：在某些情况下，我们需要填写一系列连续的日期，如每月的第一天或每周的某一天。
借助自动填充功能，我们只需输入一个日期，然后拖动填充方块即可轻松生成整个日期序列。
3. 文本的填充：有时候需要在表格中填写一些重复的文本，如产品名称或客户姓名。
使用自动填充功能，只需输入第一个文本，然后拖动填充方块即可快速将文本填充至其他单元格。
三、注意事项在使用WS自动填充功能时，需要注意以下几点：1. 填充方块大小的调整：在拖动填充方块之前，可以根据需要调整其大小。
只需将鼠标放置在填充方块的右下角，鼠标指针会变成双向箭头，然后按住鼠标左键拖动即可调整填充方块的大小。
2. 自动填充的规律：WS自动填充功能会根据已有的数据规律进行填充。
对于数字序列和日期序列，可以根据需要选择自增、自减或是使用特定的间隔。
割补法求多面体体积
D A
问：四面体ABCD中，三组对棱分别 D 相等，且分别为BD=AC=2 5, AD=BC = 13 ,AB=CD=5,求三棱锥B-ADC的体积。
A
C1 B1
C B
B C
例3.如图所示ABCD为边长为3的正方形，EF到面ABCD的距离 h为2，面EAD⊥面ABCD且EF//AB，EF=3/2，求此多面体体积。
解：将该四棱柱补上一个三棱柱 VACDN和四棱锥VA-BCNB1 得多面体VABCD-MNB1的体积 刚好为正方体体积一半 又VA-CDN=1/3*S△NCD=1/12a3 VA-BCNB1=1/3*a*S△NCBB1 =1/4a3 故 VA- MB1ND =1/2a3-1/4a3-1/12a3 =1/6a3
E
F
H
D
C
A
G
B
例3.如图所示ABCD为边长为3的正方形，EF到面ABCD的距离 h为2，面EAD⊥面ABCD且EF//AB，EF=3/2，求此多面体体积。
E
F
G
D
C
A
B
问：EF作如图水平移动时，此多面体的体积如何变化？
（三）小结 1、有关的计算公式无法直接运用 2、条件中的已知元素彼此离散 通
则平行六面体ABB1A1-CDD1C1的 体积为aS
所以三棱柱VABC-A1B1C1=
1 aS
2
例1．已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的一个侧面ABB1A1面积 为S，它与所对棱CC1的距离为a,求这个三棱柱的体积。
A B
A1 B1
C C1
解： 连CA1,CB1,
则VC-A1B1C1=
1 3
VABC-A1B1C1,
D1
a 故
割补法在立体几何中的运用
割补法在立体几何中的运用通过将某一图形分割或补充为比较简单的图形或特殊的图形来研究的方法称为割补法。
在高中立体几何的棱柱的侧面积公式的证明，棱锥的体积公式的推证中，已经接触过这—解题的思想方法，它是解决空间问题常用的方法。
对于某些较复杂的问题或拟柱体问题，如果割补法运用得当，可以把复杂问题转化为较简单的问题，从而可以简化运算及论证过程。
下面结合例子谈谈割补法在解题中的应用。
一、利用割补法求两异面直线所成的角例1，已知直线L上有两定点A、B，AC L，BD L，若AB=AC=BD= ，且AC、BD所成的角为120°，求AB、CD所成的角。
分析：根据条件所得的图形不够直观，难以得出交角，故把它补成—个直三棱柱，如图1：由CF||AB可得：DCF就是两异面直线AB、CD所成的角。
通过解三角形即可求得AB、CD 所成的角。
注：此题通过把原图补成—个直三棱柱，相当于把AB平移到CF，则两异面直线所成的角就明显了。
例2，已知长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别是非a、b、c、d（a>b），求AC与BD所成的角的余弦。
分析：在长方体ABCD-A1B1C1D1的相邻处补上一个全等的长方体，如图2：连结C1B2，AB2，则B2C1//BD，可得：AClB2就是ACl与BD所成的角。
在AB2C1中AB2= C1B2=Cl A=cos AClB2=注：在原幾何体中亭吐一只类似的几何体，就能起到线段的平移作用。
二、利用割补法求体积例3，如图3 在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长3的正方形，EF//AB，EF= ，EF与平面AC的距离为2，则该多面体的体积为（）（A）（B）5 （C）6 （D）法一，分析：多面体ABCDEF是属于拟柱体类的几何体，把它补成—个三棱柱，则V多面体ABCDEF=VBCF-AGD-VE-AG= ×3×2×3- × ×3×2× =正确答案为D法二，分析：如图4，连结BE，CE，则平面BEC把这一多面体分割为四棱锥E-ABCD和三棱锥E-BCF，V多面体ABCDEF=VE-ABCD+VE-BCF由于VE-ABCD= ×9×2=6V多面体ABCDEF>6从而确定正确答案为D。
2023届高考数学二轮复习提升微专题几何篇第34讲割补法与等积法含解析
第34讲 割补法与等积法一、知识与方法1 割补法割补法包括分割法和补体法,求一个几何体的体积可以将这个几何体分割成几个柱体,锥体,分别求出雉体和柱体的体积, 从而得出几何体的体积,这种方法称为分割法. 用于直接解题较困难,分割后化繁为简,使问题较易获得解快,但有时候,所给的几何体并不复杂,却很难直接计算求解,这类几何体实际上是一个常规几何体的一部分. 通过添补适当的几何体,将其扩展为新的、其特征为我们比较熟悉的几何体,以便于从整体上宏观把握,处理局部问题的一种方法称为补体法,体现了拓展空间, 从更广阁的范围内处理局部问题的整体思想.分割法与补体法合在一起称为割袳法. 2 等积法(又称等积变换法)（1）利用三棱锥的“等积性”,即体积计算时可以任一个面作为三棱雉的底面. (1)求体积时,可选择“容易计算”的方式来计算; (2)利用“等积法”可求“点到面的吟离”,关键是在面中选取 3 个点,与已知点构成三棱锥.(2) 等积变换法充分体现了转化的数学思想,在运用过程中要充分注意距离之间的等价转换.二、典型例题【例1 】(1) 如图384-所示,已知多面体ABC DEFG -中, ,AB AC ,AD 两两互相垂直,平面//ABC 平面DEFG , 平面//BEF 平面,2,1ADGC AB AD DG AC EF =====, 则该多面体的体积为 ( ). A. 2 B. 4C. 6D. 8(2) 如图385-所示,在多面体ABCDEF 中, 已知ABCD 是边长为 1 的正方形, 且,ADE BCF 均为正三角形. //,2EF AB EF =, 则该多面体的体 积为( ).A. 3C.43D.32【分析】本例两小题给出的都是不规则几何体,直接求体积比较困难,可以将这个几何体分割成若干规则的几何体,从而得出几何体的体积(求规则几何体的体积再合成)，也可认运用补体法补成一个规则几何体再求解,如第(1) 问,可把题中给出的几何体分割成两个三棱柱或补成一个正方体;第(2)问,不同的分割可以引发一题多解与发散思维,这种解法体现了割补思想和等积变换思想.【解析】 (1) 【解法一】(割)如图386-所示,过点C 作CH DG ⊥于H , 联结EH ,把多面体分割成一个直三棱柱DEH ABC -和一个斜三 棱柱BEF CHG -. 于是所求几何体的体积为112122122DEHBEF V SAD SDE ⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2 4.=【解法二】(补)如图387-所示. 将多面体补成棱长为 2 的正方 体. 显然所求的多面体的体积为该正方体体积的一半. 于是所求几何体的体积31242V =⨯=.(2) 【解法一】 (分割法一)如图388-所示,分别过,A B 作EF 的垂 线, 垂足分别为点,G H , 联结,DG CH .则原几何体分割为两个三棱雉和一个直三棱柱,锥高12, 柱高 1. AG ==取AD 中点M , 则2MG =111,12224434AGDSV =⨯⨯=∴=+⨯⨯⨯12=【解法二】 (分割法二)如图389-所示,取EF 中点P , 则原几何体分割为两个三棱雉和一个四棱雉,易知三棱雉P AED -和三棱雉P BCF -都是棱长为 1 的正四面体,四棱雉P ABCD -为棱长为 1 的正四棱雉.2111233V =⨯+⨯=【例 2】已知直三棱柱111ABC A B C -中, 222A B C 是用一平面截得的截面,且21AA h =,2223,BB h CC h ==, 若ABC 的面积为.S 求证:介于截面与下底面之间的几何体的体积为()12313V S h h h =++.【分析】由于几何体222A B C ABC -是一个不规则的几何体,为求得其体积不妨采用分割或补体的方法来求解和证明. 【解析】【证法一】 (分割)为了讨论方便, 不妨设123h h h , 可将几何体222ABC A B C -分割成一个小直三棱柱与两个三棱雉. 如图390-所示,过2A 作23//A B AB 交2B B 于3B , 过3B 作33//B C BC 交2C C 于3.C 联结23A C ,23B C , 则几何体222ABC A B C -被分割成直三棱柱233ABC A B C -、三棱雉2233B A B C -、二棱锥2A 232B C C -设,BC x A =到BC 的距离为d , 则12S xd =. 由于 ()23322331211,3ABC A B C B A B C V Sh V S h h --==-,()()223223231311111.3323A B C c B C C V Sd h h x d S h h -=⋅=⋅-⋅⋅=- 故()2222332233223212313ABC A B C ABC A B C B A B C A B C C V V V V S h h h ----=++=++. 【证法二】（补体)将几何体222ABC A B C -以ABC 为底面进行两次等几何体补形,使侧棱的长均为123h h h ++, 这样就将不规则的几何体补形为新的直三棱柱. 而原几何体的体积等于这个新直三棱柱体积的13， 故()222123 1133ABC A B C V V S h h h -==++新直三榬柱.【例 3】如图391-所示,三棱锥A BCD -中, AB ⊥平面BCD ,CD BD ⊥ (1) 求证: CD ⊥平面ABD ;(2) 若1,AB BD CD M ===为AD 中点,求三棱雉A MBC -的体积.【分析】利用三棱锥的“等积法”,即体积计算时,可以任一个面作为三棱锥的底面,利用“等积法”可求“点到面的距离”,关键是在面中选取三个点,与已知,点构成三棱锥.等积变换法充分体现了转化的数学思想,在运用过程中要充分注意距离之间的等价转换.【解析】(1) 证明: :AB ⊥平面,,BCD CD BD CD ⊥⊂平面,ABD BD ⊂平面ABD ,CD ∴⊥平面.ABD(2)【解法一】由AB ⊥平面BCD ,得AB BD ⊥,11,.2ABDAB BD S==∴= M 为AD 中点, ABM11.24ABDSS ∴==由()1知,CD ⊥平面ABD ,∴三棱锥C ABM -的高1h CD ==.因此三棱雉A MBC -的体积B 13A MBC C ABM A MV V S h --==⋅1.12=【解法二】由AB ⊥平面BCD 知,平面ABD ⊥平面BCD .又平面ABD ⋂平面BCD BD =, 过点M 作MN BD ⊥交BD 于点N ,如图392-所示,则MN ⊥平面BCD , 且1122MN AB ==. 又1,1,2BCDCD BD BD CD S ⊥==∴=. ∴三棱倠A MBC -的体积1133A MBC A BCD M BCD BCDV V V AB S MN ---=-=⋅-. 112BCDS=.三、易错警示【例】正方体容器1AC 中盛满水, ,,E F G 分别是1111,,A B BB B C 的中点,若 3 个小孔分别位于,,E F G 三点处,则正方体中的水最多会剩下原体积的( ).A.78B.1112C.56D.2324【错解】剩下的水的最大容积是截面EFG 以下几何体的体积,如 图393-所示,设1CC 的中点为11,M C D 的中点为N ,则截面EFG 在正方体1AC 的截面是EFMN , 设正方体1AC 的棱长为 1, 则三棱柱11B EF C MN -的体积 1111111.2228B EFC MN V =⨯⨯⨯=于是, 正方体的水最多会剩下原体积的17188-=, 故 选 A.【评析及正解】上迌解法是否正确,我们可认考查另一种情形.考虑由1,,B E C 确定的截面,如图394-所示.此时,另一个小孔在截面1BEC的上方,此时三棱锥11B BEC -的体积为1113B BEC V -=⨯ 111111.22128⎛⎫⨯⨯⨯=< ⎪⎝⎭于是, 正方体中的水最多会剩下原体 积的11111212-=, 故应选B . 1. 从选项看,还有2324, 那么,会不会是这个结果呢? 我们可以 考虑一般的情形.【正确的解法】如下:【解析】:我们注意到, 当正方体中剩下的水最多时,这时的水平面必定经过其中的两个小孔, 不妨设经过小孔,E G , 如图395-所示,另一个小孔F 在该平面的上方. 设过,E G 的平面与棱1111,,BB CC C D 的交点分别为,,H P Q , 则流出的水的最小体积是台体11B EH C QP -的体积.设正方体1AC 的棱长为 2 , 则11B E =, 设()112B H x x =, 则12C P x =-. 由11B EHC QP , 得12xC Q x-=. 于是, 台体11B EH C QP -的体积为112231(2) 31(2)14 2233121 222,3312B EHC QPx V x x x x x x x ⎡⎤-=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤-⎛⎫=+=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎛⎫⋅==⨯ ⎪ ⎪⎝⎭ 当且仅当4x x =, 即2x =时,台体11B EH C QP -的体积最小, 为正方体体积的112. 此 时,点H 与点B 重合, 即截面为1BEC , 故选 B.四，难题攻略【例】在三棱台111ABC A B C -中, 111,2A B G AB =为1CC 的中点,截面1A BG 将棱台分成上、下两部分,求这两部分体积之比.【分析】由于合成的两部分都是不规则的几何体,故需将其分割成几个锥体（特别是三棱锥)的组合体才便于计算体积之比,需要提醒的是这里有等面积、等高,等体积的运用,使问题的解答别开生面.【解析】如图396-所示, 联结11,BC A C , 则棱台被分割成 4 个三棱锥的组合体, 注意到 3 个三棱锥11111,A BC G A BC B --,1A BCG -都等高, 因而其体积之比为底面面积之比.又在梯形11BCC B 中, 由111112B C A B BC AB ==, 且G 为1C C 的 中点, 有11.BCCBOGBC B SSS ==即111111ΛBCC A BCC A BC B V V V V ---===, 从而111112A BCC A BC B V V V V --=+=上,在三棱雉111B A B C -与三棱雉1A ABC -中, 它们的高相等, 且1114ABCA B C S S=,则1111111444A ABC B A B c A BC B V V V V ---===.从而1155A ABC A BCC V V V V --=+=下, 故t :2:5V V =下为所求.五、强化训练1.如图397-所示,在直三棱柱111ABC A B C -中,12,,2AB BC AA ABC M π∠===是BC 中点.(1)求证:1//A B 平面1AMC ;(2)求直线1CC 与平面AMC 所成角的正弦值;(3)试问在棱11A B 上是否存在点N ,使得AN 与1MC 所成角为?3π若存在,确定点N 位置;若不存在,请说明理由.【解析】（1）如图①所示，联结，设与相交于点，则为中点，联结，则为的中位线，依据线面平行判定定理可得.（2）将图①补体为图②，设直线与平面所成角为，则.由题意，不1A C 1AC O O 1A C OM OM 1A BC 11111AB OM A B AMC A B AMC OM AMC //⎫⎪⊄⇒//⎬⎪⊂⎭平面平面平面1CC 1AMC α11sin C AMC h CC α-=11妨设，依据等体积法可得.（3）假设在棱上存在点，使得与成角，不妨设在棱上取点，使得，易得，如图③所示，故与成角.在中，由余弦定理可得.故在棱上存在点，且为棱的中点，使得与成角.122AB BC AA ===111111133C AMC C AMC AMC C AMC AMCC AMCV V Sh Sh ----=⇒=11122sin 33C AMC C AMC h h CC α--⇒=⇒==11A B N AN 1MC 3π1(02)A N t t =≤≤CD Q CQ t =1AN C Q //1C Q 1MC 3π1MQC 22222211112cos3MQ MC QC MC QC π=+-⇒=+1[0,2]t -=∈11A B N N 11A B AN 1MC 3π1213。
浅析高中立体几何教学中割补法的运用
浅析高中立体几何教学中割补法的运用作者：刘颖欣来源：《中学课程辅导·教育科研》2019年第02期【摘要】 ;割补法是高中立体几何教学中较为常见的方法，可以有效地将抽象的立体几何进行“割补”，辅助学生解决特殊立体几何问题，降低知识的难度，提升解题效率。
本文从割补法在高中立体几何中的应用意义入手，深入进行分析，并通过实际的案例进行探讨，以供参考。
【关键词】 ;高中立体几何教学割补法【中图分类号】 ;G633.6 ; ; ; ; ; ; 【文獻标识码】 ;A ; 【文章编号】 ;1992-7711（2019）02-146-01引言割补法的实质是对几何体进行合理的分割或者补形，进而发现其与已知几何之间存在的关系，呈现出一种全新的构造思想，并利用对立统一的辩证思维帮助学生思考问题，提升其创新意识，形成立体思维，提高学生的数学综合素养水平。
一、割补法在高中立体几何教学中应用的意义受高中立体几何自身的性质影响，具有较强的抽象性，学生在学习相关知识过程中，经常出现难以理解的内容，难以直观的感受知识内涵，影响自身的学习效果，逐渐对立体几何知识失去兴趣。
灵活利用割补法进行教学，可以促使学生形成良好的数学思维，通过割补将抽象的立体几何转换为学生熟悉的知识内容，达到“归化”思想的目的，有效的解决立体几何问题。
与此同时，通过割补法进行分割与补充可以从整体上提升学生的学习兴趣，促使其积极主动进行学习，养成良好的学习习惯，提升自身的数学综合素养，全面发展。
二、高中立体几何教学中割补法的应用分析（一）分割法分割法的实质是将立体几何进行合理的分割，将抽象的几何体分割为学生熟悉的几何体，通过分析各部分之间的关系明确其整体的性质，以达到解题的目的，降低习题的难度。
例如，以习题为例，已知三棱锥P-ABC，其中PA长为4，PB=PC长为2，∠APB=∠APC=∠BPC均为60°求：三棱锥P-ABC的体积，如图1所示。
割补法在解题中的应用
一 ， Ｃ Ｄ ＝ ２ 了，
（ ２
从而 可得Ｂ Ｃ ＋ Ｃ Ｄ： ５ 、 ／ 了 ．
Ｃ
（ ３ ） 把 原 图分 割成Ｒ ｔ ＡＡ Ｄ Ｅ 和Ｒ ｔ ／ ｘ Ｃ Ｆ Ｄ 及矩 形Ｂ Ｃ Ｆ Ｅ ．
在Ｒ ｔ ＡＡＤ Ｅｑ ｂ ， 可 求 出Ａ Ｅ ＝ ４ ， Ｄ Ｅ ＝ ４
Ａ
Ｅ
在Ｒ ｔ ＡＣ Ｆ Ｄ中 ， 易求 ￣Ｃ Ｆ － 、 ／ 了 ， Ｃ Ｄ ＝ ２ 、 ／ 了 ，
， ＇
ＡＥ ： Ｂ— Ｂ Ｅ： ２ Ｘ ／ － ３ － 一 ，
１
（ ２ ）
Ｃ
肋 Ｅ ＇ ｔ ａ ｎ ６ ０ ￣ ＝ Ｖ ｒ ３ － （ ２ 一 吾 ） ＝ ６ 一 — ３ ｘ ／ － Ｙ ．
・
．
．
Ｄ Ｅ － Ｄ 一 ） 一 孚 ２ ．
（ ３ ） 如图 （ ３ ） 若过Ｃ 作Ｃ Ｅ ／ ／ Ａ Ｂ ， Ａ Ｅ ， ／ ／ Ｂ Ｃ ， 把原 图形构造 出矩形Ａ Ｂ Ｃ Ｅ 、
Ｒ ｔ ＡＡ Ｅ 受 Ｒ ｔ ＡＣ Ｄ Ｆ ，
过点ｃ 作Ｃ Ｅ ／ ／ Ｂ Ａ Ｂ 于 过点Ａ 作Ａ Ｅ ／ ／ Ｂ Ｃ ，
则 四边形Ａ Ｂ Ｃ Ｅ 为矩 形 ， 在Ｒ ｔ ＡＡ Ｅ Ｆ ￣Ｒ ｔ ＡＣ ＤＦ 中，
、 ’ ． ‘
Ｅ
／１ ＝ ２ ＝／ ＢＡＤ＝６ ０ 。 ， ＥＦ＝ＣＥ—ｃ 曰一 ＣＤ
ｌ
法 ． ｆ 厶 ＼ ｉ － － ｖ 解题 中的应 用
汀 江苏 吴本环 把不 规则 的几何 图形割补 成特 殊 图形 ，然 后用 这 些特殊 图形 的性 质 和 有关 知识 求解 ， 这 就是 割补 法 ． 其 目的是 为化 不 规则 为规 则 ， 化 繁 为简 ，
计算不规则几何体体积的“法宝”
计算不规则⼏何体体积的“法宝”2019-08-07转化是把未知的问题转化成在已有知识范围内可解的问题的⼀种思想⽅法.前苏联数学家雅诺夫斯卡娅曾说过,“解题――就是意味着把所要解决的问题转化为已经解过的问题”.因此,当我们碰到⼀个感觉难以着⼿的问题时,思维就不应该停留在这个问题上,⽽应考虑将它转化为⽐较熟悉、容易解决的问题.请看下⾯的例题.例在多⾯体ABCDEF中(见图1),已知ABCD是边长为3的正⽅形,EF∥AB,EF=,且EF与⾯ABCD的距离为2,求该多⾯体的体积.分析: 这是⼀个不规则的⼏何体. 在教材中,我们只学过棱柱、棱锥等规则⼏何体的体积计算公式,因此我们思考的核⼼是:如何将不规则的⼏何体转化为熟悉的规则⼏何体,进⽽确定其体积.转化1: 由于题中EF的位置未定,我们不妨让线段EF沿它所在的直线动起来.显然,这个过程并没有改变题设的任何条件,因此不管线段EF运动到哪个位置,运动前后多⾯体的体积都不变.我们不妨让EF运动到⼀个特殊位置:侧⾯BCF底⾯ABCD(如图2所⽰).过E作截⾯EHG底⾯ABCD,则V=VBCF-HGE+VE-ADGH=×3×2×+×3××2=+3=.点评: 转化1通过使线段EF从⼀般位置运动到特殊位置,实现了从⼀般到特殊的转化,再采⽤分割法来计算体积.如果我们直接对图1中的不规则⼏何体进⾏分割,那会如何呢?转化2: 连接EB,EC,则多⾯体被分割成了四棱锥E-ABCD和三棱锥E-BCF(见图3).易知VE-ABCD=×(3×3)×2=6,于是问题就转化为了求三棱锥E-BCF的体积.过点E作EM∥FC(见图4),则M为DC中点,且EM∥平⾯BCF,于是点E与点M到⾯BCF的距离相等. VE-BCF=VM-BCF=VF-BCM=××3××2=, 故V=6+=.点评: 转化2采⽤了“分割+等积变形”的⽅法,实现了从陌⽣⼏何体到熟悉⼏何体的转化.除了分割,我们还可以考虑补形.转化3: 让线段EF运动起来,使侧⾯BCF底⾯ABCD;延长FE到N,连接AN,DN,得到直三棱柱BCF-ADN(如图5所⽰).V=VBCF-ADN-VE-ADN=×3×2×3-××3×2×=.点评: 转化3采⽤先补形后分割的⽅法实现了从陌⽣⼏何体到熟悉⼏何体的转化.补形的⽅法还有:转化4: 令线段EF运动到关于CD的中垂线对称、且⾯EFCD⾯ABCD的位置,再把它补全成为⼀个直三棱柱(见图6). V=VADN-BCM-2VM-BCF=×3×2×3-2××3×2×=.转化5:图1中的⼏何体其实是⼀个拟柱体,如果我们运⽤拟柱体体积公式:V=h(S上+4S中+S下) (其中S上,S中,S下分别为拟柱体上、中、下底⾯的⾯积,h为拟柱体的⾼),则V=×2×9+4×××+0=. 当然,这种⽅法在考试中并不作要求.【⼩结】等积变形、分割、补形是求不规则⼏何体体积常⽤的⽅法. 解答数学问题的实质就是要实现从未知到已知、从陌⽣到熟悉的转化,这是数学解题的法宝.注：本⽂为⽹友上传，不代表本站观点，与本站⽴场⽆关。
第四课 割补法的灵活运用与专题总结 - 副本PPT课件
具体如下：一个几何体的三视图如图所示，求该几何体的 体积.
1
1
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2
2
2 2
专题总结
立体几何中割补思想的运用常见的方法有三种：补形法、分 割法、补形与分割相结合.三种方法共同之处都是将复杂的、不规 则的、不易认识的几何体，通过“分割”或者“补形”转化为简 单的、规则的、易于计算体积的几何体.
补形法中将原图形补成一个新的几何体体现了构造的方法， 需要对常见的几何体模型有深刻的认识.分割法中可以从几何体的 外部或者内部进行分割，再利用部分与整体的关系来解决问题.近 几年的高考中割补法的题目常以三视图的形式呈现，一般要根据 三视图先画出直观图，再利用割补法求解.
立体几何中的割补思想的运用 第四课：割补法的灵活运用
与专题总结
主讲人
王秀彩特级教师工作室
立体几何中运用割补思想在求不规则的几何体的体积 时，有些题目采用“补形法”比较容易；有些题目采用 “分割法”更为恰当；还有些题目既能采用“补形法”解 决，也能采用“分割法”解决；还有些题目既要采用“补 形法”，同时采用“分割法”才易解决.
1 3 SDECA
BF
1 3
1 2
( AD
CE)
DE
BF
12
B
图5-12
所以所求几何体的体积为 V V BDECA ABCDBE 24
小结：本题解法一采取的解题方法为补形法，解法二采取的 解题方法为分割法.两种方法都比较自然，由于题目所给条件， 本题采用解法一较为简捷.
例6 如图5-13，AA 底面ABC，AA//BB//CC//DD , 四边形 ABCD为正方形, AB AA CC 2，
ABC 90
1 V =S ABCDBE ABC AD 2 AB BC AD 12
沪教版(上海)数学高三上册-1割补法求多面体体积课件
又S△MB1N=S△MND 故 VA-MB1N=VA-MND
A
D
所以 VA-MB1ND=2VA-MB1N
又 VA-MB1N=VN-MAB1
BM A1
B1
C N
C1
设N到面AB1的距离为h,则h=a,
a a 故 VN-MAB1= 1 S△MAB1* = 1 3
B
V V V 故 EF-ABCD= D-AFE+ F-ABCD
V V V V =1/2 D-BAF+ F-ABCD=1/2 F-ABD+ F-ABCD
=1/2*1/3*S△ABD*h+1/3*S△ABCD*h
=1.5+6 =7.5
沪教版（上海）数学高三上册-1 割补法求多面体体积课件
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D1
a 故
3
12
VA-MB1ND= 2VA-MB1N=2 VN-MAB1=
1 6
3
a 易得：S△MB1ND=
62 2
故 点A到面MB1ND的距离
6a
6
沪教版（上海）数学高三上册-1 割补法求多面体体积课件
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例4.如图所示的容器中，ABCD为边长为3的正方形，EF到面 ABCD的距离为2，EF//AB，EF=3/2，顶点F、B、C处各有一 小孔，若用此容器盛水，最多可盛多少液体？（容器放置方式 可调节）
达
到 1、未知的转化为已知; 2、陌生的转化为熟悉; 3、复杂的转化为简单; 4、离散的转化为集中;
沪教版（上海）数学高三上册-1 割补法求多面体体积课件
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一题多解求不规则多面体体积——割补法的运用【摘要】高中教学中所涉及的几何体，大多是规则的，如柱体、锥体、台体、球体，主要采用直接公式法和等体积法直接求解其体积，但在平时的教学练习和高考试题中，经常遇到一些不规则的多面体，不易于直接求解，本文利用分割法与补形法多角度求解一个不规则多面体的体积，从而达到一题多解的目的。
【关键词】不规则多面体；分割法；补形法；一题多解
体积在立体几何教学中中占有一定的地位，对于规则几何体，可以利用直接公式法和等体积转化法进行求解，不规则的几何体如何去求呢？其实，皆可以采用割补法，分割成一些简单的规则的几何体，然后采用公式法和等体积法求解。
割补思想，是立体几何的重要思想。
通过割补，将复杂的问题简单化。
解题时，要注重一题多解，多角度的割与补，以达到方法的灵活运用。
以下题为例：
如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD底面ABCD，且PD=1，点E，F分别是棱PB，AD的中点.
(II)求多面体PDFEC的体积.
此题来自新课标2014宁夏海南模式高考模拟试题汇编试题3：哈尔滨市高考复习质量检测的第19题。
初看到这道题，多面体PDFEC比较复杂，学生很清楚采用割补
法，但却一时无从下手。
我先给出标准答案：
V多面体平PDFEC=VE-PDC+VE-PDF+VE-FCD
沿截面分割成三部分，由于学生的空间想象能力有限，不易想清楚。
难道没有更好的方法吗？我鼓励学生大胆尝试，积极探索，但没有想到学生思维敏捷宽阔，交流热烈踊跃，方法丰富多样，竟然又给出四种不同的解法。
现将其整理如下：
当这些学生一一阐述完自己的做法，几乎所有的学生都是激动的，对题目的惧怕心理一扫而光，原先“想不清楚的”一个不规则多面体，只要敢想，原来可以有这么多种求法。
针对这种现象，我又趁热打铁，设计如下题目：
如图所示的几何体为一简单组合体，其底面ABCD为矩形，PD ⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=2EC.AB=3，AD=2，PD=2，求该简单几何体的体积。
此题与上例同是割补法，但不同的是这题的思路更好找，方法更多，更易于开发学生的思维。
分割法：
1、V=VP-ABCD+VP-BCE
2、V=VP-ABD+VB-PDCE
3、V=V ADF-BCE+VP-ABEF
补形法：
1、V=VP-ABGD-VE-BCG
2、V=VPAD-HBC-VP-BEH
仔细分析一下，无外乎是割补，虽然是简简单单的两个字，但具体操作时可以多角度多层面的。
这节课下来，学生完成了求解不规则多面体体积的课程，不仅理解了“割补”方法的内涵，更加能游刃有余的运用。
波利亚说：“教师在课堂上讲什么当然重要，然而学生想什么更是千百倍的重要，思想应该在学生脑海中产生出来，而教师仅仅就起一个助产婆的作用。
”数学课堂应该是充满生命活力的，充满着浓厚趣味和挑战的，老师不能一味地讲，学生一味地模仿、接受，我们应该让学生在发现问题时积极探索并有效地解决问题，并为他们提供互相交流的平台，让他们在“做中学，学中做”的过程中不断成长。
由此，我更加深刻的意识到：教学并非是忠实地执行官方课程或者标准答案的过程，而是师生共同决定学习内容、建构知识的过程，是挖掘、拓展教学内容的过程。
只有这样才能使师生的主体性与生命力的张扬、发展成为一个统一的过程。
参考文献
［1］申招斌主编《高中数学思维导图》湖南教育出版社2012年8月第4版
［2］冯寅《解决体积问题的三种策略》数理化学习高中版2004年第5期。