一题多解求不规则多面体体积——割补法的运用

一题多解求不规则多面体体积——割补法的运用【摘要】高中教学中所涉及的几何体，大多是规则的，如柱体、锥体、台体、球体，主要采用直接公式法和等体积法直接求解其体积，但在平时的教学练习和高考试题中，经常遇到一些不规则的多面体，不易于直接求解，本文利用分割法与补形法多角度求解一个不规则多面体的体积，从而达到一题多解的目的。

【关键词】不规则多面体；分割法；补形法；一题多解

体积在立体几何教学中中占有一定的地位，对于规则几何体，可以利用直接公式法和等体积转化法进行求解，不规则的几何体如何去求呢？其实，皆可以采用割补法，分割成一些简单的规则的几何体，然后采用公式法和等体积法求解。割补思想，是立体几何的重要思想。通过割补，将复杂的问题简单化。解题时，要注重一题多解，多角度的割与补，以达到方法的灵活运用。以下题为例：

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD底面ABCD，且PD=1，点E，F分别是棱PB，AD的中点.

(II)求多面体PDFEC的体积.

此题来自新课标2014宁夏海南模式高考模拟试题汇编试题3：哈尔滨市高考复习质量检测的第19题。

初看到这道题，多面体PDFEC比较复杂，学生很清楚采用割补

法，但却一时无从下手。我先给出标准答案：

V多面体平PDFEC=VE-PDC+VE-PDF+VE-FCD

沿截面分割成三部分，由于学生的空间想象能力有限，不易想清楚。难道没有更好的方法吗？我鼓励学生大胆尝试，积极探索，但没有想到学生思维敏捷宽阔，交流热烈踊跃，方法丰富多样，竟然又给出四种不同的解法。现将其整理如下：

当这些学生一一阐述完自己的做法，几乎所有的学生都是激动的，对题目的惧怕心理一扫而光，原先“想不清楚的”一个不规则多面体，只要敢想，原来可以有这么多种求法。针对这种现象，我又趁热打铁，设计如下题目：

如图所示的几何体为一简单组合体，其底面ABCD为矩形，PD ⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=2EC.AB=3，AD=2，PD=2，求该简单几何体的体积。

此题与上例同是割补法，但不同的是这题的思路更好找，方法更多，更易于开发学生的思维。

分割法：

1、V=VP-ABCD+VP-BCE

2、V=VP-ABD+VB-PDCE

3、V=V ADF-BCE+VP-ABEF

补形法：

1、V=VP-ABGD-VE-BCG

2、V=VPAD-HBC-VP-BEH

仔细分析一下，无外乎是割补，虽然是简简单单的两个字，但具体操作时可以多角度多层面的。这节课下来，学生完成了求解不规则多面体体积的课程，不仅理解了“割补”方法的内涵，更加能游刃有余的运用。

波利亚说：“教师在课堂上讲什么当然重要，然而学生想什么更是千百倍的重要，思想应该在学生脑海中产生出来，而教师仅仅就起一个助产婆的作用。”数学课堂应该是充满生命活力的，充满着浓厚趣味和挑战的，老师不能一味地讲，学生一味地模仿、接受，我们应该让学生在发现问题时积极探索并有效地解决问题，并为他们提供互相交流的平台，让他们在“做中学，学中做”的过程中不断成长。

由此，我更加深刻的意识到：教学并非是忠实地执行官方课程或者标准答案的过程，而是师生共同决定学习内容、建构知识的过程，是挖掘、拓展教学内容的过程。只有这样才能使师生的主体性与生命力的张扬、发展成为一个统一的过程。

参考文献

［1］申招斌主编《高中数学思维导图》湖南教育出版社2012年8月第4版

［2］冯寅《解决体积问题的三种策略》数理化学习高中版2004年第5期