用向量法求空间距离

用向量法求空间距离

湖南省冷水江市七中(417500) 李继龙

在高中立体几何中引入空间向量，为解决立体几何问题提供了一种新的解题方法，有时也能降低解题难度.下面通过例题介绍用向量法求空间距离的方法. 一、 求两点之间的距离

用向量求两点间的距离，可以先求出以这两点为始点和终点的向量，然后求出该向量的模，则模就是两点之间的距离.

例1 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 是AD 1的中点，Q 是BD 上一点，

DQ=4

1

DB ，求P 、Q 两点间的距离.

解 如图1，以1DD DC DA 、、所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则

0)4

141(Q )21021(，，、，，P ， 所以)21

－4141(－，，=.

46=

,即P 、Q 两点的距离为4

6. 二、 求点到直线之间的距离

已知如图2，P 为直线a 外一点，Q 为a 上任意一点，PO ⊥a 于点O ，所以点P 到直线a 的距离为|PO|=d .

则有><⋅=⋅cos ，

所以cos >=

<

故><⋅=∠⋅==QP PQO PQ PO d sin sin

=

⋅==

x

a

图2

例2 在长方体OABC-O 1A 1B 1C 1中，OA=2，AB=3，AA 1=2.求点O 1到直线AC 的距离. 解 建立如图3所示的空间直角坐标系，连结AO 1，则A(2，0，0)，C(0，3，0)，O 1(0，0，2).

所以0)32－(AC 2)02－(AO 1，，，，，==. 故

d =

13

286

213168=-

= 所以点O 1到直线AC 的距离为13

286

2. 三、 求点到平面的距离

如图4设A 是平面α外一点，AB 是平面α的一条斜线，交平面α于点B ，而是平面α的法向量，那么向量

在方向上的射影长就是点A 到平面α的距离d

，所以

d ==><⋅=cos .

例3 如图5，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M 是线段EF 的中点，N 为AC 与BD 的交点，求点B 到平面CMN 的距离. 解 如图5，以CE CB CD 、、所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系C-xyz.

因为AB=2，AF=1，所以

)12222(CM ，，=，)02

222(CN ，，=

)02(0CB ，，=

设平面CMN 的法向量为)(x z y ，，=，则有

图

4

y

x

x

⎪⎩⎪⎨

⎧=⋅=⋅0

n CM 即⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=+=++02

222022

22y x z y x 令x=1,得y=-1，z=0，所以)01(1，，-=.

所以点B 到平面CMN

的距离1==d .

四、 求异面直线间的距离

如图6，假设a 、b 是异面直线，平移直线a 至a ′且交b 于点A ，那么直线a ′和b 确定平面α，且直线a ∥α，设n ⊥a ,n ⊥b ，即n 为异面直线a 、b 的公垂线的方向向量.所以异面直线a 的b 的距离等于直线a 上任意一点至平面α的距离.若F ∈a ，E ∈b ，则异面直线a 、b

之间的距离

d =⋅

=><⋅=cos ，即为异面直线a 、b 之间的距离.

例4 在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求异面直线A 1C 1与B 1C 的距离. 解 如图7所示，以1DD DC DA 、、所在直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则有1)01－(C B 0)11－(C A 111－，，，，，==.

设B C A 111与的公垂线的方向向量为

)(x z y ，，=，则

⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0

B 0

111C n C A n 即⎩⎨

⎧=--=+-00z x y x 令x=1,得y=1，z=-1，所以)11(1-=，，

又)010(11，，=B A ，

x

所以A 1C 1与B 1C

的距离3

33

1=

=

=

d . 五、 求直线与它平行平面及求两个平行平面之间的距离

求直线与它平行平面及两个平行平面之间的距离可以转化为求点到平面

的距离，即运用d =

求它们之间的距离.

例5 如图8，设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 、N 、E 、F 分别是A 1B 1、A 1D 1、B 1C 1 C 1D 1的中点.求平行平面AMN 与平面EFDB 的距离. 解 以1CC 、、所在直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系C-xyz ，则

0)0(1)12

1(0)1021(，，，，，，，，=-=-=.

设平面EFDB 的法向量为)(x n z y ，，=，则有

⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0

即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-021021z y z x 取1=z ,则2==y x ，所以)12(2，，=，

所以平行平面AMN 与平面EFDB

的距离3

2

=

=

d .

x