流体力学chap.5理想不可压缩流体平面无旋运动
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流体力学第七章理想不可压缩流体无旋运动
m y 2 2 2 x y
天津大学力学系 方一红
28
A W ( z) z
Ax 2 2 x y
Ax 2 2 x y
Ay 流线 2 C1 2 x y
c2 c2 x y 2 2
2 2 2
Ax 等势线 2 C3 2 x y
u ,v y x
(M ) (M 0 )
M
M0
vdx udy y
方一红
天津大学力学系
11
流函数的性质
1） 流函数可以差一任意常数，而不影响流体的 运动。 运动 2） 流函数与流线 数 线
x, y C
3） 流函数与体积流量
——流线
0
( div v 0 )
C11 C22 Cnn
天津大学力学系 方一红
2
0 2 p ~ V V f t t 2
t t 0 : v v r , p p r
dW u iv i U dz
W ( z) U z
天津大学力学系
方一红
21
2 点源与点汇
z x iy y re
i
W ( z ) a ln z
W ( z ) i a ln l r ia
天津大学力学系
方一红
22
a ln r , a
方一红
天津大学力学系
7
速度势函数性质
1） 速度势函数可允许相差一任意常数，而不影响 流体运动 流体运动。 2） 速度势的方向导数。
v m vm m
3）等势线。
( x, y ) C
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28
A W ( z) z
Ax 2 2 x y
Ax 2 2 x y
Ay 流线 2 C1 2 x y
c2 c2 x y 2 2
2 2 2
Ax 等势线 2 C3 2 x y
u ,v y x
(M ) (M 0 )
M
M0
vdx udy y
方一红
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11
流函数的性质
1） 流函数可以差一任意常数，而不影响流体的 运动。 运动 2） 流函数与流线 数 线
x, y C
3） 流函数与体积流量
——流线
0
( div v 0 )
C11 C22 Cnn
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2
0 2 p ~ V V f t t 2
t t 0 : v v r , p p r
dW u iv i U dz
W ( z) U z
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21
2 点源与点汇
z x iy y re
i
W ( z ) a ln z
W ( z ) i a ln l r ia
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22
a ln r , a
方一红
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7
速度势函数性质
1） 速度势函数可允许相差一任意常数，而不影响 流体运动 流体运动。 2） 速度势的方向导数。
v m vm m
3）等势线。
( x, y ) C
流体力学 理想流体的平面无旋运动PPT学习教案
第34页/共44页
第 四 节 势 流 的 叠加
r1
x
a2
y2
r2
x
a2
y2
Q 4
ln
x x
第 三 节 基 本 平 面势 流
等势线族和流线族 在流场内处处正交， 且都为平行直线。
d adx bdy ax by
d ady bdx ay bx
特例：
①若
，流动平行于y 轴，则
ux 0
by, bx
②若
，流动平行于x 轴，则
uy 0
ax, ay
第24页/共44页
从以上分析可知，不论是可压缩流体还 是不可 压缩流 体， 也不论是恒定流动还是非恒定流动， 只要满 足无旋 流动条 件， 必然存在速度势函数。
第2页/共44页
第 一 节 无 旋 流 动的 势函数
势函数的性质：
①
势函数在某一方向上的偏导数等于速 度在该 方向的 分量。
x
ux
y
u
y
z
uz
1 2 n
1 2 n
第32页/共44页
第 四 节 势 流 的 叠加
2 源环流动
点源流动与点涡流动叠加。
实例：容器底部小孔旋转出流，旋风 除尘器 、 旋风燃烧室、离心式水泵叶轮内流体 。
1
2
Q
2
ln r
பைடு நூலகம்
2
1
2
Q
2
2
ln r
第33页/共44页
第 四 节 势 流 的 叠加
流线方程为： 等势线方程为：
2 2 2 0
x2 y2 z2
拉普拉斯方程
2 0
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流体力学第7章-理想不可压无旋运动(zhou)
Q
7.7 复位势及复速度
对于平面运动, 不可压无旋时流函数和势函数同时存在.且
u x y , v y x
所以, 和 满足柯西-黎曼条件,可用复变函数求解问题
和 满足柯西-黎曼条件, 则 w i 是复变量
z x i y 的解析函数
任一解析函数的实部和虚部都满足拉氏方程 不可压平面无旋运动
dw i u iv dz x x
解析函数 w(z)
7.7 复位势及复速度
引入复速度
V u iv V ei
V u iv V ei
共轭复速度
复位势 w( z ) i 的性质
W ( z) ln z 2 i
已知原点以外流动为无旋运动，无旋流动速度环量应 为0。在原点附近流动必是有旋流，原点以外无旋的圆周 运动是由于原点附近有旋运动诱导的结果，因此称为点涡 或自由涡。
当原点附近有旋流区为有限大时，则称该旋转核心与 周围无旋流的结合为兰金涡，旋转核心称为涡核。
7.9 基本流动
Vr r V 1 r Vz z
不可压连续方程
2
V 0
u v w 0 x y z
2 2 2 2 2 2 0 x y z
在理想、不可压缩、重力场、无旋运动时，运动方程为
7.1 引言、方程组
物体C上
无穷远 处
dw V dz
属于复变函数中求解析函数的范畴
7.9 基本流动
复变函数方法 解析函数
奇点法
保角映射方法 平面不可压无旋流动
解决实际不可压平面势流问题时：根据经验选用2个或 更多简单解析函数进行叠加。只要结果与给定的边界 条件相符，即为所求解
第六章 不可压缩理想流体平面无旋流动
ϕ = xV∞ cos α + yV∞ sin α + c1 ∂ψ ∂ψ dψ = dx + dy = −V∞ sin α dx + V∞ cos α dy
∂x ∂y
ψ = − xV∞ sin α + yV∞ cos α + c2
令通过原点的流函数及势函数及势函数的值为零，则 c1 = c2 = 0 ，最后得到均匀场速度势与流函数为
V×V = 0
将V = ∇ϕ 及 V = ∇ψ × k 代入，得
V × V = ∇ϕ × (∇ψ × k ) = (∇ϕ ⋅ k )∇ψ − (∇ϕ ⋅ ∇ψ )k = −(∇ϕ ⋅ ∇ψ )k = 0
∇ϕ ⋅ ∇ψ = 0
所以
§ 9-4 不可压理想流体平面无旋流动的 复势与复速度
一.复势与复速度
2 2
1 d[(x − x0 ) +(y − y0 ) ] 2 2 σ 1 2 d ln σ 2
Γ φ = ∫ dφ + const = − ln σ + const 2π Γ ln σ φ= − 2π y − y0 Γ arctg ϕ= 2π x − x0 Γ ' ϕ= ε 2π
Γ ' ⎛ Γ ⎞ χ = ϕ + iφ = ε + i ⎜ − ln σ ⎟ 2π ⎝ 2π ⎠ iΓ ⎡ iε ⎤ =− ln σ + ln e ⎥ ⎣ ⎦ 2π ⎢ iΓ iε =− ln σ e 2π iΓ =− ( z-z0 ) 2π iΓ χ ( z ) = − ( z-z0 ) 2π
一、流函数的定义
∂ρ + ∇i( ρV ) = 0 ∂t ∇iV = 0 ∇i( ρV ) = 0 ∂ = 0 ,Vz = 0 ∂z 1 ⎛ ∂h2 ρV1 ∂h1ρV2 ⎞ ∇iV = + ⎜ ⎟=0 h1h2 ⎝ ∂q1 ∂q2 ⎠
理想不可压缩流体的平面势流及旋涡运动
同心圆。当 ，
故源点是奇点，
不讨论。
流函数ψ
由
0
积分
ψ＝const 为流线，即θ=const，流线是 半射线。等φ线与等ψ线正交。
3.点源的压力分布 在源上任取一点与无穷远处写能量方程
将 ， 代入
p
有
P与r成抛物线正比。r
p;r p
r r0
三、点涡
点涡：无限长的直 线涡束所形成的平 面流动。除涡线本 身有旋外涡线外的 流体绕涡线做等速 圆周运动且无旋。
α
L
将矢量 、 分别 表示：
故对封闭周线 L的环量为：
环量是一个标量，它的正负取决 于速度方与线积分的方向。
当速度方向与线积分方向同向时取正， 反向时取负。若是封闭周线，逆时针 为正，顺时针为负。
例：不可压缩流体平面流动的
速度分布为
，
求绕圆
的速度环量。
解：
积分路径在圆上，有
四、斯托克斯定理 斯托克斯定理：任意面积A上的旋
由高数知识可知，柯西—黎曼条件是使 成为某一个函数
全微分的充要条件，即
而当 t 为参变量，
的全微分为
比较两 式有：
柱坐标
把
称为速度势函数简称势函数
无论流体是否可压缩，是否定常 流只要满足无旋条件 ，总有势函数存 在。故理想流体无旋流也称势流。
用势函数表示速度矢量：
2、势函数的性质
1）流线与等势面垂直
3）流函数ψ与势函数φ的关系：
对不可压平面势流，流函数和势函数同时 存在，它们之间关系是
a:
b: 等φ线与等ψ线垂直
前已证明，流线与等势面垂直，
而
的线是流线故等φ
线与等ψ线垂直。
第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动
第三节 理想流体的旋涡运动
本节主要讲述理想流体有旋运动的理论基础，重点是速度环 量及其表征环量和旋涡强度间关系的斯托克斯定理。
一、涡线、涡管、涡束和旋涡强度
涡量用来描述流体微团的旋转运动。涡量的定义为：
2 V 也称为旋度
涡量是点的坐标和时间的函数。它在直角坐标系中的投影为：
x
根据流体微团在流动中是否旋转，可将流体的流动分为两类：
有旋流动和无旋流动。
当
1
V
0
2
无旋流动
当
1
V
0
2
有旋流动
通常以
V
是否等于零作为判别流动是否有旋或无旋的
判别条件。
在笛卡儿坐标系中：
V
vz y
v y z
i
vx z
Байду номын сангаас
w x
2020/1/30 第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动
（4）旋转运动 dα dβ 且符号相反
则流体微团只发生旋转，不发生角变形 大多数情况下，流体微团在发生角变形的同时，还 要发生旋转运动。
2020/1/30 第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动
旋转角速度： dα v dt
还是无旋流动。
【解】：由于
x
1 2
vz y
v y z
0
y
1 vx 2 z
x
vz
x
0
z
1 2
v y x
流体力学chap.5理想不可压缩流体平面无旋运动
x
2
， （7）势函数与流函数满足： x y y x
y
2
0
势流叠加原理
称之为Chauchy-Riemann条件
7
3）流速势函数的计算
由势函数可确定流速
u ，= 或ux , u y u x y
微分
由流速可确定势函数 u
(x , y , z ) 0 ，或 2 0
•无旋运动 (Irrotational Flow）
判断流体运动在该点是否有旋必须看流体微团是不是在自转,而不是看它 有没有绕中心作圆周运动,这就是局部和整体性的差别.
A B
D C A B D C 点涡运动速度场为
13
5.2.2 平面势流的叠加初步 势流叠加原理：将基本流动叠加可得到较复杂的流动 基本的含义： 简单，奇点（数学上是Laplace方程的基本解）
③流函数满足Poisson方程
2 2 2 2 x y
⑤ （4－27）
与 +c 代表同一流场
5
2）流速势函数
1 u y u x )0 无旋 z ( 2 x y u y x u x y
d u x dx u y dy 为某一函数φ的全微分
Ψ+dΨ
d
d = u y dx ux dy
ux y u y x
y
dq=dΨ
ds
dx
ψ
dy - u ydx x
u xdy
4
流函数
具有如下性质：
const
y
l uy
u
ux
s
①同一流线
②流函数沿l方向的方向导数为l 顺时针时针旋转900方向的流速， 特别是当l为与流线垂直时明显有：
2
， （7）势函数与流函数满足： x y y x
y
2
0
势流叠加原理
称之为Chauchy-Riemann条件
7
3）流速势函数的计算
由势函数可确定流速
u ，= 或ux , u y u x y
微分
由流速可确定势函数 u
(x , y , z ) 0 ，或 2 0
•无旋运动 (Irrotational Flow）
判断流体运动在该点是否有旋必须看流体微团是不是在自转,而不是看它 有没有绕中心作圆周运动,这就是局部和整体性的差别.
A B
D C A B D C 点涡运动速度场为
13
5.2.2 平面势流的叠加初步 势流叠加原理：将基本流动叠加可得到较复杂的流动 基本的含义： 简单，奇点（数学上是Laplace方程的基本解）
③流函数满足Poisson方程
2 2 2 2 x y
⑤ （4－27）
与 +c 代表同一流场
5
2）流速势函数
1 u y u x )0 无旋 z ( 2 x y u y x u x y
d u x dx u y dy 为某一函数φ的全微分
Ψ+dΨ
d
d = u y dx ux dy
ux y u y x
y
dq=dΨ
ds
dx
ψ
dy - u ydx x
u xdy
4
流函数
具有如下性质：
const
y
l uy
u
ux
s
①同一流线
②流函数沿l方向的方向导数为l 顺时针时针旋转900方向的流速， 特别是当l为与流线垂直时明显有：
《高等流体力学》第6章 不可压理想流体平面无旋流动
两者平行
ψ = const ，上式变为一个泊松方程，即沿 沿流线， 流线有 Ω =const ，沿流线的涡量为常数。 三、不可压理想流体平面无旋流动的流函数方程 2 Ω = −∇ ψ= 0 无旋时： 0 对定常与非定常都适用 故流函数方程： ∇ 2ψ =
四、流函数的物面边界条件 对应流函数方程，物面边界 条件也应以流函数的形式表 示出来。 物面上：
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
2、等流函数线就是流线。 v × dr = 0 流线方程：
∇ψ × k × dr = v × dr = ( dr ⋅∇ψ ) ⋅ k − dr ⋅ k ⋅∇ψ = dψ k
故沿流线方向 dψ = 0 ，即 ψ = const 3、两点的流函数值之差等于过此两点连线的流量。
( )
(
)
这就是理想的不可压流体（或正压流体）质量力有 势条件下平面流动的流函数方程。
二、不可压理想流体定常平面流动的流函数方程
∂ 2 ∇ ψ ) k + ∇ ( ∇ 2ψ ) × ∇ψ = 0 ( ∂t
∇ ( ∇ 2ψ ) = − f ′ (ψ ) ∇ψ = −∇ 令： f (ψ ) 则： ∇ 2ψ = − f (ψ ) + const 无意义，可取0
x
4、流函数可以是多值函数。 过内边界L0的总流量不为零（如 水下爆炸、水下气泡运动等） = dl ×1 L域内无源无汇，视 dA 0 则沿封闭曲线积分： ∫ L ( n ⋅V ) dl =
L1
L0 P0
P
n ⋅ V dl = mQ0 于是： ∫ L1 n ⋅V dl = ∫ L0 P P 故 ψ P −ψ P0 = ∫ n ⋅V dl + ∫ n ⋅V dl = mQ0 + ∫ n ⋅V dl
第七章 理想不可压缩流体无旋运动PPT课件
液体，通常情况下。 气体，低速绕流运动（流速<< 声速），
例如飞机速度<100m/s时。 3）无旋运动：在以上近似下，有势体力场中流体涡旋运动性质
具有保持性，即初始无旋则永远无旋。在流体从静止开始的运 动中和无穷远均匀来流绕流物体的运动等，流动均无旋。此模 型是对一类广泛存在的流动问题的理想近似。
3
1) 流函数可允许相差一任意常数，而不影响流体的运动；
2) (x, y)常数是流线，它的切线方向和速度矢量的方向重合：
根据定义，流线方程为：
dx dy uv
vdxudy0
v u
x
y
dxdy0
x y
d 0
(x, y)常数是流线
18
第二节 理想不可压缩流体平面无旋运动
3) 通过曲线NN0的流量等于这两点处流函数的差值：
数学表达
1) 流体运动只在与Oxy平面平行的平面内进行，w=0；
2) 在与Oz轴平行的直线上所有物理量不变，即：
0
z
8
绕无限翼展的流动(平面流动)
9
绕有限翼展的流动(三维流动)
10
第二节 理想不可压缩流体平面无旋运动
二、速度势函数
对平面运动：w=0 0 z
i jk
rotv
x y z uv0
二、基本方程组
第一节 引言
V 0
dV dt
F
p
t
0,
V
V
r ,
p
p r
B oundary condition s
方程组求解的困难: (1) 惯性项非线性；(2) 速度v与压力p相互关 联，需要联立求解
4
若运动无旋，则： rotv0
例如飞机速度<100m/s时。 3）无旋运动：在以上近似下，有势体力场中流体涡旋运动性质
具有保持性，即初始无旋则永远无旋。在流体从静止开始的运 动中和无穷远均匀来流绕流物体的运动等，流动均无旋。此模 型是对一类广泛存在的流动问题的理想近似。
3
1) 流函数可允许相差一任意常数，而不影响流体的运动；
2) (x, y)常数是流线，它的切线方向和速度矢量的方向重合：
根据定义，流线方程为：
dx dy uv
vdxudy0
v u
x
y
dxdy0
x y
d 0
(x, y)常数是流线
18
第二节 理想不可压缩流体平面无旋运动
3) 通过曲线NN0的流量等于这两点处流函数的差值：
数学表达
1) 流体运动只在与Oxy平面平行的平面内进行，w=0；
2) 在与Oz轴平行的直线上所有物理量不变，即：
0
z
8
绕无限翼展的流动(平面流动)
9
绕有限翼展的流动(三维流动)
10
第二节 理想不可压缩流体平面无旋运动
二、速度势函数
对平面运动：w=0 0 z
i jk
rotv
x y z uv0
二、基本方程组
第一节 引言
V 0
dV dt
F
p
t
0,
V
V
r ,
p
p r
B oundary condition s
方程组求解的困难: (1) 惯性项非线性；(2) 速度v与压力p相互关 联，需要联立求解
4
若运动无旋，则： rotv0
高等流体力学—理想不可压缩流体无旋运动
N N N N0 N0 N0
N与N0分别为流场中任意两点
20
第二节 理想不可压缩流体平面无旋运动
3) 通过曲线MM0的流量等于这两点处流函数的差值：
Q vn ds u cos(n, x) v cos(n, y)ds
N N N0 N0
cos(n, x)ds dy cos(n, y)ds dx
ui vj i j x y u v x y
13
第二节 理想不可压缩流体平面无旋运动
若平面无旋运动速度分布v已知，则势函数为：
M
(M ) (M 0 ) udx vdy
M0
M与M0分别为流场中任意两点 速度势函数 满足下列性质： 1) 速度势函数可允许相关一任意常数，而不影响流体的运动；
u iv
i V u iv V e 定义复速度：
V 是复速度的模， 是复速度的幅角
dw 其共轭复速度u iv V V e i dz
25
四、复位势与复速度
当已知共轭复速度，可求得复函数：
w( z) w( z0 ) V dz
z0
z
复位势的性质 1) 复函数可允许相差一任意常数，而不影响流体的运动；
M与M0分别为流 场中任意两点
dx dy M 0 x y
M
M0
vdx udy
M0
M
18
流函数 满足下列性质： 1) 流函数可允许相差一任意常数，而不影响流体的运动；
2) ( x, y) 常数是流线，它的切线方向和速度矢量的方向重合： 根据定义，流线方程为：
v(r, t0 ) v1 (r )
p(r, t0 ) p1 (r )
N与N0分别为流场中任意两点
20
第二节 理想不可压缩流体平面无旋运动
3) 通过曲线MM0的流量等于这两点处流函数的差值：
Q vn ds u cos(n, x) v cos(n, y)ds
N N N0 N0
cos(n, x)ds dy cos(n, y)ds dx
ui vj i j x y u v x y
13
第二节 理想不可压缩流体平面无旋运动
若平面无旋运动速度分布v已知，则势函数为：
M
(M ) (M 0 ) udx vdy
M0
M与M0分别为流场中任意两点 速度势函数 满足下列性质： 1) 速度势函数可允许相关一任意常数，而不影响流体的运动；
u iv
i V u iv V e 定义复速度：
V 是复速度的模， 是复速度的幅角
dw 其共轭复速度u iv V V e i dz
25
四、复位势与复速度
当已知共轭复速度，可求得复函数：
w( z) w( z0 ) V dz
z0
z
复位势的性质 1) 复函数可允许相差一任意常数，而不影响流体的运动；
M与M0分别为流 场中任意两点
dx dy M 0 x y
M
M0
vdx udy
M0
M
18
流函数 满足下列性质： 1) 流函数可允许相差一任意常数，而不影响流体的运动；
2) ( x, y) 常数是流线，它的切线方向和速度矢量的方向重合： 根据定义，流线方程为：
v(r, t0 ) v1 (r )
p(r, t0 ) p1 (r )
理想不可压缩流体无旋运动
Chapter 7 理想不可压缩流体无旋运动I 引言I-1不可压缩理想流体无旋运动模型 1）理想：粘性力惯性力的区域<<例如绕流问题中边界层以外区域的流动。
不脱体绕流流动在研究压力场和速度场时可不计边界层，近似看成理想流体绕流固体的流动。
2）不可压缩：液体，通常情况下。
气体，低速绕流运动（流速<<声速），例如飞机速度<100m/s 时。
3）无旋运动：在以上近似下，有势体力场中流体涡旋运动性质具有保持性，即初始无旋则永远无旋。
在流体从静止开始的运动中（如浸没在静止流体中的小球膨胀引起的运动）和无穷远均匀来流绕流物体的运动等，流动均无旋。
此模型是对一类广泛存在的流动问题的理想近似。
I-2基本方程组()()00, , sV dV p F dt t V V r p p r Boundary condition ρ⎧∇⋅=⎪∇⎪=−⎪⎨⎪===⎪⎪⎩KKK K K K K 一般情况下要求解非线性方程组。
或()()()220 Laplace : 2 0 ,0, ,V V p Bernoulli V c t p t n p p p V p p t V V r p p r φφφφρφφφ∞∞⎧∇=⇒⇒=∇⎪∂⎪+++=⇒⎪∂⎪∂⎧⎪=⎪⎪∂⎨⎪⎪=⎨⎪⎪⎪∇==⎪⎪⎩⎪===⎪⎩φKK K K K K 方程和满足的边界条件该流动的方程压力场静止固壁关于及的边界条件自由表面无穷远初始条件： 关于速度场的求解化为求解满足一定边界条件的Laplace 方程问题，是否线性问题取决于边界条件。
在线性边界条件下此方法已将原本非线性的求速度场的问题化为线性问题。
若速度势满足的边界条件是线性的，在φ满足迭加原理，可由基本解迭加求得。
例如若1φ和2φ均为无穷远均匀来流绕流某一固壁边界C 的流动，即211110C 0n V φφφ∞⎧∇=⎪∂⎪=⎨∂⎪⎪∇=⎩K静止固壁上无穷远， 22222C 0n V φφφ∞⎧∇=⎪∂⎪=⎨∂⎪⎪∇=⎩K静止固壁上无穷远则均匀来流绕流该固壁边界的流动其速度势为1V V ∞∞+K K2213φφφ+=。
流体力学第五章(理想不可压缩流体的平面势流)
流体力学——理想不可压缩流体的平面势流内容¾基本方程组，初始条件及边界条件¾速度势函数及无旋运动的性质¾平面流动及其流函¾不可压缩流体平面无旋流动的复变函数表示¾基本的平面有势流动¾有势流动叠加P=Pa , Pa为大气压强。
在直角坐标系中有一个线性的二阶偏微分方程(拉普拉斯方程线性方程的一个优点是解的可叠加性对于定常流：则由伯努利方程得到理想不可压缩无旋流的基本方程为：边界条件静止固壁上自由面上：P = Pa 无穷远处：速度势函数及无旋运动的性质在无旋流中有若已知函数，则可求出若已知速度矢量V，则可由积分求出势函数上式中为任意常数，因此的值相对于不同的Mo点可以差一个，为某一常数，但并不影响流动的实质，因为当求流动的特征量ui, P时，常数的差别便消失不见了，所谓的结果完全一样φ涉及到单值和多值问题在单连通区域 与积分路线无关，而只与起点M0及终点M的位置 有关。
因而势函数为单值函数。
在多连通区域 ， 是封闭曲线L绕某一点的圈数， 称为环量 势函数 为多值函数。
速度势函数及无旋运动的性质(已作介绍)内容 ¾ 基本方程组，初始条件及边界条件 ¾ 速度势函数及无旋运动的性质¾ ¾平面流动及其流函数 不可压缩流体平面无旋流动的复变函数表示 基本的平面有势流动 有势流动叠加¾ ¾平面流动及其流函数 平面问题是指 流动在平面内进行，即 u z = 0 ; 垂直平面的垂线上个物理量相 等即适用范围 无限长柱体，它的一个方向的尺寸比其它两个方向的尺寸大得 多，在长方向的速度分量很小，其它物理量的变化也很小。
如：低速机翼表面的压力分布问题的理论计算等，无限长的柱 体平板的绕流等研究平面无旋运动，在平面运动中，涡旋矢量Ω的三个分量为只有 而无旋，可推出存在着速度势函数 使得：速度势函数的性质我们已经讨论过了流函数的意义 如果能够找到某一函数Ψ，满足流动的可能判据 —— 连续性 方程，则称这一函数Ψ为流函数 在平面运动时，不可压缩流体的连续性方程为：若有一函数Ψ（x,y,t）并令 则连续性方程为称为流函数知道了流函数 •若与流速ux ，uy 之间的关系之后 求出流速场已知，可由• 若 ux ，uy 已知，可用积分速度势与流函数 平面流动垂直与z轴的每个平面流动 都相同，称平面流动速度势函数 速度势函数存在的条件∂w ∂v − = 0 ∂y ∂z ∂u ∂w − = 0 ∂z ∂x ∂v ∂u − = 0 ∂x ∂y此条件称 柯西—黎曼条件由高数知识可知，柯西—黎曼条件是使udx + vdy + wdz全微分的充要条件，即成为某一个函数ϕ(x ,y ,z ,t )d ϕ = udx + vdy + wdz而当 t 为参变量， ϕ(x ,y ,z ) 的全微分为∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ dϕ = dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z比较两式有∂ϕ u = ∂x ∂ϕ v = ∂y ∂ϕ w = ∂z∂ϕ 柱坐标 V r = ∂r 1 ∂ϕ Vθ = r ∂θ ∂ϕ Vz = ∂z把ϕ(x ,y ,z ) 称为速度势函数简称势函数无论流体是否可压缩，是否定常流只要满足无旋条件 ，总有 势函数存在。
高等流体力学》 不可压理想流体平面无旋流动
∂ϕ=
∂r
V=r
1 ∂ψ= r ∂θ
1 −
a2 r2
cosθ
∂ϕ ∂θ
=rVθ
=−r ∂ψ
∂r
=−
r
+
a2 r
sin θ
= ∴ϕ
∫
∂ϕ
∂r
dr
+
∂ϕ ∂θ
dθ
+
const
∫ =
1−
a2 r2
cosθ
dr
−
r
+
a2 r
sin θ
dθ
+
const
∫=d
r
+
a2 r
∫∴
z =a
a2 z2
dz
=
2π
i
Res
(0)
a2 z2
=
0
∴Γ += iQ
0 ⇔=Γ
0= , Q
0
（3）无穷远处的来流速度V∞ 的复速度为：
V∞e−iα =
lim d χ =
z →∞ dz
lim
z →∞
1
−
a2 z2
=
1
用α代表无穷远处来流的夹角（攻角）：
V=∞ 1;=α 0 ⇔ V= ∞ i
dz ∂x ∂x 共轭复速度
= V u2 + v2
α
=
arctan
v u
二、解的可叠加性
任意两个或两个以上的解析函数的线性组合仍然
是解析函数。（ϕ 和ψ 都是解析的，故W(z)也解析。
奇点叠加法：利用简单的复势进行线性组合来获
得解的方法。（因为简单复势往往带有奇点）
例：不可压平面无旋流动的流函数：
第六章 理想不可压缩流体平面势流和旋涡运动.ppt
20121sinrvrr????????????平行流绕圆柱体无环流的流动20121cosrvrr???????????2maxp2min1232abcdpppvppppv?????????????????????minv0abvv???maxv2cdvvv????其中?环流22?????2ln2?r????流体对圆柱体的无环量绕流?叠加的结果201221cos2?rvrr??????????????????201221sinln2?rvrrr?????????????????则可得2021cosrrvvrr??????????????20211sin2?rrv?vrr??????????????????流场如图所示
（2）点汇
流量Q为点汇强度
Q Q
ur
Q
2r
Q ln r 2
Q 2
ψ4
φ1
φ2
ψ3
ψ1
o
ψ2
汇点o是奇点r→0 ur→∞
如果xoy平面是无限大平面，则根据伯努利方程
p ur 2 p
g 2g g
式中，p为在r 处的压强，该处的速度为零。
以上几种简单的平面势流实际中很少应用，但它们是势流的基本单元，若把 几种基本单元叠加在一起，可以形成许多有实际意义的复杂流动。
研究势流叠加原理的意义：将简单的势流叠加起来，得到新的复杂流动的 流函数和势函数，可以用来求解复杂流动。
几个简单有势流动叠加得到的新的有势流动，其速度势函数和流函数分别等 于原有几个有势流动的速度势函数和流函数的代数和，速度分量为原有速度 分量的代数和。
M 2
1 )r cos r2
1 2
M v y 2
x2
（2）点汇
流量Q为点汇强度
Q Q
ur
Q
2r
Q ln r 2
Q 2
ψ4
φ1
φ2
ψ3
ψ1
o
ψ2
汇点o是奇点r→0 ur→∞
如果xoy平面是无限大平面，则根据伯努利方程
p ur 2 p
g 2g g
式中，p为在r 处的压强，该处的速度为零。
以上几种简单的平面势流实际中很少应用，但它们是势流的基本单元，若把 几种基本单元叠加在一起，可以形成许多有实际意义的复杂流动。
研究势流叠加原理的意义：将简单的势流叠加起来，得到新的复杂流动的 流函数和势函数，可以用来求解复杂流动。
几个简单有势流动叠加得到的新的有势流动，其速度势函数和流函数分别等 于原有几个有势流动的速度势函数和流函数的代数和，速度分量为原有速度 分量的代数和。
M 2
1 )r cos r2
1 2
M v y 2
x2
流体力学chap.5理想不可压缩流体平面无旋运动共43页
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
流体力学chap.5理想不可压缩流体平面 无旋运动
56、死去何所道，托体同山阿。 57、春秋多佳日，登高赋新诗。 58、种豆南山下，草盛豆苗稀。晨兴 理荒秽 ，带月 荷锄归 。道狭 草木长 ，夕露 沾我衣 。衣沾 不足惜 ，但使 愿无违 。 59、相见无杂言，但道桑麻长。 60、迢迢新秋夕，亭亭月将圆。
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质点做圆 周运动
A
B
D
C
微团做圆 周运动但 无旋
A
B
D
C
当r 0时, 1 (ru ) 1 ur z =rot (u ) z 0 r r r
ur 0; u
b r
除原点外,处处无旋！
y 剪切流动速度场为:
u x ay;
微团做圆 周运动且 有旋
A B
D u y uz 0 C 处处有旋
解： （1）先计算速度旋度
u y ux z 0 x y
说明流场是无旋的，存在速度势φ(x, y)
kx, 1 kx2 f ( y) x 2
上式中C为常数。速度势函数为:
f ' ( y) ky, f ( y) 1 ky 2 C y 2
（2）
u x u y Q x y [ ( 2 ) ( 2 )] 2 2 x y 2 x x y y x y Q y 2 x2 y 2 x2 [ 2 2 ]0 2 2 2 2 2 ( x y ) ( x y )
d = u y dx u x dy = Q y x [- 2 dx + 2 dy ] 2 x y 2 x y2
无旋，为有势流动
Q d ( x2 y 2 ) Q d d [ln( x 2 y 2 )] 2 2( x 2 y 2 ) 4
ln( x 2 y 2 )
省去 Q ln( x0 2 y0 2 ) 项 4
方法2 Q ( 2 xdx 2 u x dx 2ydy 2 ) 2 x0 x y0 x y y0
③流函数满足Poisson方程
2 2 2 2 x y
⑤ （4－27）
与 +c 代表同一流场
5
2）流速势函数
1 u y u x )0 无旋 z ( 2 x y u y x u x y
d u x dx u y dy 为某一函数φ的全微分
(x , y , z ) 0 ，或 2 0
•无旋运动 (Irrotational Flow）
判断流体运动在该点是否有旋必须看流体微团是不是在自转,而不是看它 有没有绕中心作圆周运动,这就是局部和整体性的差别.
A B
D C A B D C 点涡运动速度场为
(x , y , z ) 0 2 0 ，或
u u y i( z ) y z u u j( x z ) z x u y u x k ( ) x y
1 2 x ux
1 u u y i ( z ) 2 y z 1 u u j ( x z) 2 z x 1 u y u x k ( ) 2 x y
流动不可压缩
流线ห้องสมุดไป่ตู้
Q y / x2 1/ x = [dx + dy ] 2 2 2 1 ( y / x) 1 ( y / x) Q 1 xdy ydx Q 1 y [ ] [ d ( )] 2 1 ( y / x) 2 x2 2 1 ( y / x) 2 x
y c x
x cos( x, m) y
y
l uy
u
流 线 s
ux
等势线l
若m为流线s的方向， 则 m um u 为流速矢量的模。 （3）由（2）易知：φ沿流流速方向增大
（4）dφ=0φ=C的曲线叫等势线 （5）等势线与流线正交
等势线l的斜率：(
m
cos( y, m) ux cos( x, m) u y cos( x, m) u m um
按dφ的定义： d
dx dy x y
ux
, uy x y
若存在Φ，就称流动为有势流动，或势流，称为流速势函数 在平面流动的情况下势流即平面势流
1 u y u x ) 0 <=> 2 x y
u x u y 0 x y
z (
Ψ+dΨ
d
d = u y dx ux dy
ux y u y x
y
dq=dΨ
ds
dx
ψ
dy - u ydx x
u xdy
4
流函数
具有如下性质：
const
y
l uy
u
ux
s
①同一流线
②流函数沿l方向的方向导数为l 顺时针时针旋转900方向的流速， 特别是当l为与流线垂直时明显有：
d |n方向 a b dn n u s dn =udn=q ab =dq
u y sin( x, u ) u x cos( x, u ) u sin ( x, u ) u cos 2 ( x, u ) u
2
这说明流函数沿流速方向 逆时针旋转900的方向增大。
=c
固体表面
=0 固体表面
=c
9
例5-1 已知
Q x Q y ux , uy 2 2 2 x y 2 x 2 y 2
求（1）判别流动是否有旋，若无旋 求流速势函数，绘制等势线 （2）流动是否不可压缩，若是求流函数，绘制流线 解 方法1
（1） z (
1 u y u x Q 2 xy 2 xy ) 0 2 2 2 2 x y 2 ( x y ) Q 1 d u x dx u y dy ( xdx ydy ) 2 2 2 x y
k x y C
(b)
x
y
流线方程为xy=常数，在 xy平面上是分 别以 x, y轴为渐近线的双曲线族，如上 图中的实线所示。x, y轴也是流线，称 其为零流线。流线族与等势线族正交。
12
说明该流场是不可压缩平面流动，存在流函数Ψ(x,y)
理想不可压流体恒定平面势流 常用解法
分离变量法（数学物理方程） 奇点分布法 保角变换法（复变函数） 数值解法 （有限元，边界元，有限差分……） 几何（流网）法 实验（如水电比拟等）方法
5.1有旋运动和无旋运动的定义
角速度： (x , y , z )
rot (u ) u
k z uz 1 1 2 2 i j y uy 1 2
判断流体运动是否有旋 的唯一标准是旋度是否 为零。
•有旋运动 (Rotational Flow）：
2
则： =0 + u x dx u y dy
1
1 ( x0 , y0 )
3 ( x, y0 )
x
= ( u xdx u ydy) [ dx] ux
1 1
3
2 y y
+[ 0
u ydy ]
x x （dx=0 ）
8
3
4）流线与固壁的等价原理，与零流线
流线与固壁的等价原理： 根据理想流体固体表面可滑移条件，设想用一刚性薄片按流 线的形状弯成柱面，从垂直于流动平面的方向插入流场，将不 会影响薄片两侧的两部分流场的流动。这就是流线与固壁等价 原理。 零流线： 因 和 +c代表同一流场可唯一指定任一条流线的流函数为 零，此即零流线，有时指定固体边界的流线为零流线是方便的。
13
5.2.2 平面势流的叠加初步 势流叠加原理：将基本流动叠加可得到较复杂的流动 基本的含义： 简单，奇点（数学上是Laplace方程的基本解）
5 理想不可压缩流体平面无旋运动 （Planar Irrotational Flow For ideal incompressible Fluid ）
• 5.1有旋运动和无旋运动的定义 •5.2平面势流理论基础
1
旋度： ( x , y , z )
rot (u ) u i j k x ux y uy z uz
x
cos( x, l ) cos( , l ) y l x y u cos( x, l ) u cos( , l ) y
y x
=0
2 2 2 0 2 x y
（4－28）
④两流线所通过的单宽流量等于该两流线的 流函数值之差。
积分 u y x
u x y
, d = r 0 u
L L
d = ru uxdx u y dy与路径L无关
L L
y
L
2 ( x, y)
2 -1 = u x dx u y dy
1
2
L
L’
2
令2 = , 1 =0
x
2
， （7）势函数与流函数满足： x y y x
y
2
0
势流叠加原理
称之为Chauchy-Riemann条件
7
3）流速势函数的计算
由势函数可确定流速
u ，= 或ux , u y u x y
微分
由流速可确定势函数 u
ux , uy x y
2 2 2 0 2 x y
d u x dx u y dy
即：无旋
<=>
有势 !
无旋必有势，有势必无旋！
6
速度势函数的性质：
（1）流速势函数φ与φ+C代表同一流场
（2）φ沿m方向的方向导数为流动m方向的流速：
streamline
z =rot (u ) z a，
x
3
5.2 平面势流理论基础 平面势流即平面无旋流动（ Planar Irrotational Flow） 5.2.1 平面势流的基本公式 1）流函数