大学物理第六章习题解答和分析

6-1频率为、•. =1.25 104H Z的平面简谐纵波沿细长的金属棒传播，棒的弹性模量E =1.90 10N/m2，棒的密度匸=7.6 103Kg/m3.求该纵波的波长.

分析纵波在固体中传播，波速由弹性模量与密度决定。

解：波速u = . E /「，波长，=u / ：. ' - . E / '；、•：= 0.4m

6-2 一横波在沿绳子传播时的波方程为：y = 0.04COS（2.5二t _「:x）（SI）

（1）求波的振幅、波速、频率及波长；

（2）求绳上的质点振动时的最大速度；

⑶分别画出t=1s和t=2s的波形，并指出波峰和波谷•画出x=1.0m处的质点的振动曲线并

讨论其与波形图的不同•

分析与标准方程比较即可确定其特征参量。

2兀

解：（1）用比较法，由y =0.04COS（2.5二t - 二x）= Acosjt x）得

A=0.04m 、=，/2二-2.5二/2二-1.25H Z

2 ■: ,，=2.0m u = =2.5m/s

（2）、m = A = 0.314m/s

题图6-2

（3）t=1（s）时波形方程为：％ = 0.04COS（2.5二-二x）

t=2（s）时波形方程为：y2=0.04COS®.-x）

x=1（m）处的振动方程为：y = 0.04COS（2.5二t - 二）

6-3 一简谐波沿x轴正方向传播，t=T/4时的波形图如题图6- 3所示虚线，若各点的振

动以余弦函数表示，且各点的振动初相取值区间为（-n , n ].求各点的初相.

o

9j

o

分析 由t=T/4时的波形图（图中虚线）和波的传播方向，作出t=0时的波形图。依旋转矢量 法可求t=0时的各点的相位。

解：由t=T/4时的波形图（图中虚线）和波的传播方向，作出 t=0时的波形图（图中实线）,依旋转矢量法可知

质点1的初相为n ； 质点2的初相为n 12; 质点3的初相为0； 质点4的初相为-n /2.

题图6-3

6-4有一平面谐波在空间传播，如题图6-4所示.已知A 点的振动规律为

讨=A cos （ 1

），就图中给出的四种坐标，分别写出它们波的表达式•并说明这四个表达

式中在描写距A 点为b 处的质点的振动规律是否一样 ？

分析无论何种情况，只需求出任意点

x 与已知点的相位差，同时结合相对坐标的传播方

向（只考虑相对于坐标方向的正负关系）即可求解波的表达。只要把各种情况中 b 的坐标

值分别代入相应的波动方程就可求得

b 点的振动规律。

解：设其波长为入，选o 点处为坐标原点，由方程y = A cos （・t 川：：「） 可得取图中a 所示的坐标，则x 处质点的振动比 A 点滞后△ 2二，故

点,波的表达式在形式上有所不同 但b 点的振动方程却不变.即

x

a. y = Acos （. 2窪：：；；「）

同理可得

x

小

b. y = Acos （ t 2：，：；'：） k

c. y=Acos （ t _ ~~ 2 ‘ 亠「）

x - |

d. y = Acos （ t 2 ■亠 '■'）

k

要求距A 为b 的点的振动规律,只要 把各种情况中b 的坐标值分别代入相 应的波动方程就可求得•从结果可知 取不

\y

—A U

X

o A b

题图6-4 i v

y = Acos(，t - * 2 ‘ 亠「)

6-5 一平面简谐波沿x轴正向传播，其振幅为A,频率为、..，波速为u.设t =t'时刻的波形曲线如题图6- 5所示.求

(1)x=0处质点振动方程；

⑵该波的波方程.

分析由于图中是t'时刻波形图，因此，对x=0处质点，由图得出的相位也为t'时刻的相位。再由旋转矢量推算出t=0时刻的初相位。进而写出波动方程。

解：(1)设x =0处质点的振动方程为

y 二Acos[2「. (t -t')订

由图可知, t 二t'时y 二A cos =0 , \ = -A，si n」：；：0

x =0处的振动方程为：

1

y = Acos[2略：(t -t') ]

2

(2)该波的表达式为:

y 二Acos[2> (t -t'-x/u)丄二]

2

6-6 一平面简谐波沿x轴正向传播，波的振幅A = 10cm，波的角频率■ ■ = 7-rad /s，当t

=1.0s时，x=10cm处的a质点正通过其平衡位置向y轴负方向运动，而x=20cm处

的b质点正通过y =5.0cm点向y轴正方向运动.设该波波长■ 10cm，求该平面波的波方程.

分析通过旋转矢量图法，结合x =10cm点和x =20cm点，在t =1.0s的运动状态，可得到波长和初相。

解：设平面简谐波的波长为■，坐标原点处质点振动初相为，则该列平面简谐波的表达

式可写成y =0.1cos(7 二t-2二x/■J(SI)

t =1.0s 时x=10cm 处y =0.1cos[7二-2二(0.1/■ ) ] =0

因此时a质点向y轴负方向运动，故

1

7二-2二(0.1/ ' ) (1)

2

而此时,b质点正通过y =0.05m处，有

y =0.1COS[7H -2二(0.2/ J亠門二0.05，且质点b向y轴正方向运动，故

1

7 二-2二(0.2 / •) (2)

由⑴、(2)两式联立得■ = 0.24m , = -17门./ 3

所以，该平面简谐波的表达式为：y =0.1COS[7二t X 17二](SI)

0.12 3

6-7已知一平面简谐波的波方程为y =0.25cos(125t-0.37X)(SI)

(1) 分别求x1=10m,x2=25m两点处质点的振动方程；

⑵求X1、X2两点间的振动相位差；

⑶求X1点在t=4s时的振动位移.

分析波方程中如果已知某点的位置即转化为某点的振动方程。直接求解两点的振动相位差和某时刻的振动位移。

解：⑴X1 =10m、X2 =25m的振动方程分别为：

y x却=0.25cos(125t—3.7)(SI),

y|X=25 =0.25cos(125t -9.25)(SI)

(2) X2与X1两点间相位差丄'■ = 2 - \ = -5.55rad

⑶兀点在t=4s时的振动位移y =0.25cos(125 4 -3.7) = 0.249m

6-8如题图6-8所示，一平面波在介质中以波速u=20m/s沿X轴负方向传播，已知

的振动方程为y =3 10’cos4二t(SI).

(1)以A点为坐标原点写出波方程；

⑵以距A点5m处的B点为坐标原点，写出波方程分析由波相对坐标轴的传播方向和已知点的振

动方程直接写出波方程。

解：(1)坐标为X处质点的振动相位为

t ：= 4 二[t (x/u)] =4 二[t (X/20)]

⑵以B点为坐标原点，则坐标为x点的振动相位为B A 题图6-8

波的表达式为y = 3 10絃cos4二[t (X/20)](SI)