初等数论 第二章 不定方程

的充分必要条件是存在整数t，使得(x1, x2, , xn, t)
是方程组
a1 x1 a 2 x 2 a n 1 x n 1 d n 1t (5) d n 1t a n x n b
的解。
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证明
若有整数t，使得(x1, x2, , xn, t)是方程组
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推论
单位圆周上座标都是有理数的点（称为有理 点），可以写成
(
2ab a b
2 2
,
a2 b2 a b
2 2
) 或 (
a2 b2 a b
2 2
,
2ab a b
2 2
)
的形式，其中a与b是不全为零的整数。
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例3
若(x, y, z)是方程(1)的满足条件(2)的解，则下 面的结论成立： (ⅰ) x与y有不同的奇偶性； (ⅱ) x与y中有且仅有一个数被3整除； (ⅲ) x，y，z中有且仅有一个数被5整除。
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因此，存在tZ，使得 a1x1 a2x2 an 1xn 1 = dn 1t， 再由式(6)，得到 dn 1t anxn = b， 即(x1, x2, , xn, t)满足方程组(5)。证毕。 (7)
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方程x2 y2 = z2
本节讨论二次方程 x2 y2 = z2 (1) 容易看出，(x, y, z) = (0, 0, 0)，(0, a, a)以及 (a, 0, a)都是方程(1)的解。若(x, y, z)是方程 (1)的解，则对于任何整数k，(kx, ky, kz)也是 方程(1)的解。此外，若(x, y) = k，则kz， (x, y, z) = k。因此，我们只需研究方程(1)的满 足下述条件的解,称为本原解： x > 0，y > 0，z >0，(x, y) = 1。 (2)
由此，以及 ( a , b ) 1
(a, b) (a, b)
得到
b x x ，因此存在整数t，使得 | 0 ( a, b ) b a x x0 t， y y 0 t ( a, b ) ( a, b )
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方程(3)的步骤：
(ⅰ) 判断方程是否有解，即(a, b)c是否成立； (ⅱ) 利用辗转相除法求出x0，y0，使得 ax0 by0 = (a, b)； (ⅲ) 写出方程(3)的解
(5)的解，则显然(x1, x2, , xn)满足方程(1).
设(x1, x2, , xn)是方程(1)的解，则
a1x1 a2x2 an 1xn 1 anxn = b. (6) 令a1x1 a2x2 an 1xn 1 = b， 则由定理1 dn 1 = (a1, a2, , an 1)b.
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Baidu Nhomakorabea
定理2
方程(1)的满足式(2)和2x的一切正整数解具有下面 的形式： x = 2ab，y = a2 b2，z = a2 b2， (3) 其中a > b > 0，(a, b) = 1，a与b 一奇一偶。 证明 (ⅰ) 若x，y，z由式(3)确定，容易验证它们满 足方程(1)，并且2x . 设d 是 x, y的任一个公因数，则由式(1)得到d2z2, 故 dz，于是，利用最大公约数的性质，有 da2 b2，da2 b2 d2(a2, b2) = 2. 所以d = 1或2. 由于2 y，所以d = 1，所以式(2)满足. |
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定理3说明了求解n元一次不定方程的方法：先解方程组(5)中 的第二个方程，再解方程组(5)中的第一个方程，于是，解n 元一次不定方程就化为解n 1元一次不定方程。重复这个过 程，最终归结为求解二元一次不定方程。由第一章定理，记 (a1, a2) = d2，(d2, a3) = d3，，(dn 2, an 1) = dn 1， (dn 1，an) = dn， 逐个地解方程 dn 1tn 1 anxn = b， dn 2tn 2 an 1xn 1 = dn 1tn 1， d2t2 a3x3 = d3t3， a1x1 a2x2 = d2t2， 并且消去中间变量t2, t3, , tn 1，就可以得到方程(1)的解。
x x 0 c1 b1t ， Z ， t y y 0 c1 a1t a b 其中(a, b)c1 c，a1 ，b1 。 ( a, b) ( a, b)
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定理3
设a1, a2, , an, b是整数，设 (a1, a2, , an 1) = dn-1， (a1, a2, , an) = dn，则(x1, x2, , xn)是方程(1)的解
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证明: 容易验证，由式(4)确定的x与y满足方程(3).
下面证明，方程(3)的解都可写成式(4)中的形式. 设(x, y)是方程(3)的解，则由 ax0 by0 = ax by = c
得到a(x x0) = b(y y0)，
a b ( x x0 ) ( y y0 ) ( a, b ) ( a , b)
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定理1
方程(1)有解的充要条件是 (a1, a2, , ak)c (2)
证明：记d = (a1, a2, , ak)，若方程(1)有解，设为
(x1, x2, , xk).则由dai（1 ≤ i ≤ n）及整除的性质
容易知道式(2)成立。必要性得证。
另一方面，由第一章，存在整数y1, y2, , yk使得 a1y1 a2y2 akyk = (a1, a2, , ak) = d. 因此，若式(2)成立，c=dc1,则y1c1, y2c1, , ykc1就是 方程(1)的解，充分性得证。
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引理
不定方程xy = z2的满足条件 xy = z2，x > 0，y > 0，z > 0，(x, y) = 1 的一切正整数解，可以写成下面的形式 x = a2，y = b2，z = ab，(a, b) = 1，a > 0, b > 0 证明:这是第一章第五节定理的特殊情形。
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所以dy, dz, 于是d(y, z) = 1，d = 1. 因此，由引理
yz yz x ab， a 2， b 2， a 0，b 0，a, b) 1 ( 2 2 2
从而 x = 2ab，y = a2 b2，z = a2 b2.
由y > 0，可知a > b；由于x与y有不同的奇偶性，所 以2 y，因此，a与b有不同的奇偶性。证毕。 |
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定理2
设a，b，c是整数，方程 ax by = c (3)
若有解(x0, y0)，则它的一切解具有
x x 0 b1t y y 0 a1t
的形式，其中
tZ
(4)
a b a1 ，b1 ( a, b) (a, b)
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初等数论
第二章 不定方程 §1 一次不定方程
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设整数k ≥2，a1, a2, , ak是非零整数，c是整
数，称关于未知数x1, x2, , xk的方程
a1x1 a2x2 akxk = c
是k元一次不定方程。
(1)
若存在整数x1,0, x2,0, , xk,0满足方程(1)，称 (x1,0, x2,0, , xk,0)是方程(1)的解，或说x1 =x1,0， x2 = x2,0，，xn = xn,0是方程(1)的解。
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(ⅱ) 若x，y，z是方程(1)的满足式(2)以及2x的解， 则2 y，2 | z，并且 | yz yz x 2 ( ) ( )( ) (4)
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记d = ( y z , y z )，则有d | y z ，d | y z ，
2 2 2 2