结构化学习题解答8(北大)

根据Bragg方程 2d hkl sin
得：
sin

2d hkl
将立方晶系面间距dhkl、晶胞参数a和衍射指标hkl间的关系式
h2 k 2 l 2 代入，得： sin
d hkl
a
h2 k 2 l 2
2a
154.2 pm 3 2 3 2 3 2 404.9 pm
a3 N 所以，晶胞参数：
1 3 1 3
4 26.98g m ol 4M a 2.70g cm 3 6.022 1023 m ol1 DN
1
面心立方结构中晶胞参 a与原子半径R的关系为a 2 2 R， 数 因此，铝的原子半径为 ： 2 2 143.2 pm R a 404.9 pm 2 2
229.1 pm 2 2 2 sin h k l h k l 2a 2 352.4 pm
2 2 2

0.3251 h 2 k 2 l 2
当h2+k2+l2≥11时，sinθ＞1，这是不允许的。因此，h2+k2+l2 只能 为3，4和8，即只能出现111，200和220衍射。相应的衍射角为
即锡的相对原子质量为118.3 (d) 由题意，白锡的密度为：
DSn (白） 4M / a 2 cN 4 118.3g m ol1 (583.2 1010 cm) 2 (318.1 1010 cm) 6.022 1023 m ol1 7.26g cm 3
a 8 3
3
rSi 8 3
8 3
117pm 540pm
V a ( D (
117pm) 3 1.58 108 pm3 8 28.09g m ol1
8
3 2.37g cm 3
117 1010 cm) 3 6.022 1023 m ol1
1 1 r 3a 3 330 pm 143 pm 4 4
(b) 金属钽的理论密度为：
2M 2 181g m ol1 D 3 3 10 a N 330 10 cm 6.022 1023 m ol1


16.7 g cm 3
(c)（110）点阵面的间距为：
，而在镁晶体中原子的堆积系数为0.7405，故镁晶体的摩尔体 积为： 4 R 3 N 0.7405 3 4 (160pm) 3 6.022 1023 m ol1 0.7405 3 13.95cm 3 m ol1
(d) d002=0.5d001,对于A3型结构，d001=c，故镁晶体002衍射面 的面间距为：
d 002
1 1 1 4 2 d 001 c 6R 6 160 pm 261 .3 pm 2 2 2 3 3
用六方晶系的买内间距公式计算，所得结果相同
[8.18] Ni是面心立方金属，晶胞参数a=352.4pm，用Cr Ka辐射 （λ=229.1pm）拍粉末替，列出可能出现的谱线的衍射 指标及其衍射角（θ）的数值。 [解]：对于点阵型式属于面心立方的机构难题，可能出现的衍 射指标的平方和(h2+k2+l2)为3，4，8，11，12，16，19，20， 24等。但在本题给定的实验条件下
可见，由白锡转变为灰锡，密度减小，即体积膨胀了。
第八章金属的结构和性质
[8.11] 金属铂为A1型结构，立方晶胞参数a为392.3pm，Pt的相 对原子质量为195.0，试求金属铂的密度及原子半径。 [解]：因为金属铂属于A1型构型，所以每个立方晶胞中有4个原 子。因而其密度为：
4M 4 195.0 g m ol1 D 3 a N (392.3 1010 cm) 3 6.022 1023 m ol1 21.45g cm 3 A1型结构中原子在立方晶 胞的面对角线方向上 相互接触，因此晶胞参 数和原子半径R的关系 为a 2 2 R, 所以： R a 2 2 392.3 pm 2 2 138.7 pm
金刚石、硅和灰锡等单质的结构属A4型，这是一种空旷的结构 型式，原子的空间占有率只有34.01%。
[8.13] 已知金属钛为六方最密堆积结构，钛的原子半 径为146pm，试计算理想的六方晶胞参数及晶体密度。
[解]：
a b 2 R 2 146pm 292pm 4 4 c 6R 6 146pm 477pm 3 3 2M D abcsin 1200 N 2 47.87g m ol1 2 3 10 10 292 10 cm 477 10 cm 6.022 1023 m ol1 2 4.51g cm 3
3 3 rSn (灰） a 648.9 pm 140.5 pm 8 8
(c) 设锡的摩尔质量为M，灰锡的密度为DSn(灰)晶胞中的原子 数为Z，则：
M DSn (灰） 3 N / Z a 5.75g cm 3 (648.9 1010 cm) 3 6.022 1023 m ol1 8 118.3g m ol1
[8.21] 灰锡为金刚石型构型，晶胞中包含8个锡原子，晶胞参 数a=648.9pm。 (a)写出晶胞中8个锡原子的分数坐标； (b)计算锡原子的半径； (c)灰锡的密度为5.75g•cm-3，求锡的相对原子质量； (d)白锡属四方晶系，a=583.2pm，c=318.1pm，晶胞中含 4个锡原子，通过计算说明由白锡转变为灰锡，体积是 膨胀了，还是收缩了？ (e)白锡中Sn—Sn间最短距离为302.2pm，试对比灰锡数 据，估计哪种锡的配位数高。 [解]： (a) 晶胞中8个锡原子的分数坐标分别为： 0,0,0;1/2,1/2,0;1/2,0, 1/2 ; 0, 1/2,1/2;3/4,1/4, 1/4; 1/4,3/4,1/4;1/4,1/4, 3/4, , 3/4,3/4. (b) 灰锡的原子半径为：

1 2 2

0.9894
81.7 0
[8.15] 金属钠为体心立方结构，a=429pm，计算： (a)钠的原子半径； (b)金属钠的理论密度； (c)（110）面的间距。
[解]：（a） 金属钠为体心立方结构，原子在晶胞体对角线方 向上互相接触，由此推得原子半径r和晶胞参数a的关系为：
[解]：金属锂的立方晶胞参数为：a = d (100) = 350pm 设每个晶胞中锂原子数为Z，则：
0.53g cm 3 (350 1010 cm) 3 Z 6.941g m ol1 (6.022 1023 m ol1 ) 1 1.97 2
立方晶系晶体的点阵式有简单立方、体心立方和面心立方三种， 而对立方晶系的金属晶体，可能的点阵型式只有面心立方和体 心立方两种。若为前者，则一个晶胞中应至少有4个原子。由 此可知，金属锂晶体属于体心立方点阵。
1 r 3a 4 代入数据，得： 3 r 429pm 185.8 pm 4
(b) 每个晶胞中含两个钠原子，因此，金属钠的理论密度为：
2M 2 22.99g m ol1 D 3 3 10 a N 429 10 cm 6.022 1023 m ol1


0.967g cm 3 (c)d 110
[8.17] 金属镁属A3型结构，镁的原子半径为160pm。 (a)指出镁晶体所属的空间点阵型式及微观特征对称元素； (b)写出晶胞中原子的分数坐标； (c)若原子符合硬球堆积规律，计算金属镁的摩尔体积； (d)求d002值。 [解]：(a)镁晶体的空间点阵型式为简单六方。两个镁原子为一结 构基元，或者说一个六方晶胞即为一结构基元。这与铜、钠、 钽等金属晶体中一个原子即为一结构基元的情况不同。这要从 结构基元和点阵的定义来解释。结构基元是晶体结构中作周期 性重复的最基本的单位，它必须满足三个条件，即每个结构基 元的化学组成相同、空间结构相同，若忽略警惕的表面效应， 它们的周围环境也相同。若以每个镁原子作为结构基元抽出一 个点，这些点不满足点阵的定义，即不能按连接任意2个镁原子 的矢量进行平移而使整个结构复原。 镁晶体的微观特征对称元素为 (b)晶胞中原子的分数坐标为： 0，0，0；1/3，2/3，1/2。 (c)一个晶胞的体积为abc sin1200，而1mol晶体相当与N/2个晶胞，
111 arcsin 111 arcsin 0.3251 3 34.26 200 arcsin 200 220 arcsin 220
arcsin0.3251 4 40.55 arcsin0.3521 8 66.82
0
0
0
[8.19] 已知金属Ni为A1型结构，原子间接触距离为249.2pm， 计算： (a)Ni的立方晶胞参数及Ni晶体的密度； (b)画出（100），（110），（111）面上原子的排布方式。 [解]：(a)由于金属Ni为A1型结构，因而原子在立方晶胞的面对 角线方向上相互接触。由此可求得晶胞参数： 晶胞中有4个Ni原子，因而晶体密度为：
4M 4 58.69g m ol1 D 3 8.91g cm 3 3 10 a N 352.4 10 cm 6.022 1023 m ol1


(b)
(100)
(110)
(111)
[8.20] 金属锂晶体属立方晶系，（100）点阵面的面间距为 350pm，晶体密度为0.53g•cm-3，从晶胞中包含的原子 数目判断该晶体属何种点阵型式？（Li的相对原子质 量为6.941）。
故镁晶体的摩尔体积为：
N N 4 3 0 abcsin 120 2 R 2 R 6R 2 2 3 2 4 2 NR 3 4 2 6.022 10 m ol 160 10
23 1

10
cm

3
13.95cm3 m ol1
4 3 也可按下述思路进行计算：1mol镁原子的真实体积为 R N 3
d 110
a
12 12 0 2 233pm
(d) 根据Bragg方程

330pm 2
2dhkl•sinθ=λ
得：
sin 220

2d 220


d 110

1 2 d 110 2 154pm



330pm / 2
0.6598
220 41.30
[8.12] 硅的结构和金刚石相似，Si的共价半径为117pm，求硅 的晶胞参数、晶胞体积和晶体密度。 [解]：硅的立方晶胞中含有8个硅原子，他们的坐标参数与金刚 石立方晶胞中碳原子的坐标参数相同。硅的共价半径和晶胞参 数的关系可通过晶胞体对角线的长度推导出来。设硅的共价半 径为rSi，晶胞参数为a，则根据硅原子的坐标参数可知，体对角 线的长度为8rSi。而体对角线的长度又等于a，因而有 rSi 3a，所以： 3 8
1
a 12 0
2
2 1/ 2


429pm 2
303.4 pm
[8.16] 金属铂为体心立方结构，a=330pm，试求： (a)钽的原子半径； (b)金属钽的理论密度（Ta的相对原子质量为181）； (c)（110）面间距； (d)若用λ=154pm的X射线，衍射指标为220的衍射角θ是 多少度？ [解]：本题的解题思路和方法与8.15题相同。 (a) 钽的原子半径为：



[8.14] 铝为面心立方结构，密度为2.70g•cm-3，试计算它的晶胞 参数和原子半径。用Cu Ka射线摄取衍射凸，333衍射线 的衍射角是多少？ [解]：铝为面心立方结构，因而一个晶胞中有4个原子。由此可 得铝的摩尔质量M、晶胞参数a、晶体密度D及Avogadro常数N 之间的关系为： 4M D