I.平衡态统计物理

I. 平衡态统计物理第一章相变与临界现象第一节 平衡判据和平衡条件 对孤立系，判据为002<=S S δδ因为熵增加原理，平衡态的熵应当极大。

假设体系和大热源接触，体系的T 、V 不变total R R S S S S =+为热源的熵U 为体系的内能，Q δ 为体系吸收的热量 由于V 不变，0,0==R dW dW TUTQS R δδδ-=-=∴ ()()F TU S T T TUS S S R δδδδδ11-=-=-=+ ＝0同理 ()0122<-=+F TS S R δδ∴判据为002>=F F δδ由平衡判据可以导出平衡条件 习题： 导出T 、P 不变的平衡判据 （1）热平衡条件 将孤立系分为两部分内能为1U ，2U温度为1T ，2T各部分体积不变 —— 即没有互相做功∵ const U U U =+=21 ∴ 021=+=U U U δδδ ∵ 0021==W W δδ∴ 222111T U S T U S δδδδ==)11(211221121=-=+=+=⇒T T U T U T U S S S δδδδδδ∴ 21T T = 为热平衡条件 —— 第0定律如 21T T ≠ ，将发生热传导设 0112121<->T T T T 即∵ ()熵增加原理0)11(211>-=T T U S δδ ∴ 01<U δ即热量（能量）由高温部分流向低温部分（2）力学平衡条件习题（3）相平衡回顾特征函数 内能()V S U U ,=焓(),H U PV H S P =+=自由能 ()V T F S T U F ,=-=吉布斯函数(),G F PV G T P =+=都是广延量由特征函数可以导出“所有”热力学性质 记忆：从加减的项看替换的变量 对多种粒子体系i iG G =∑化学势,i i T PG N μ⎛⎫∂=⎪∂⎝⎭ i μ 为增加一个粒子带来的能量。

例如，在 T ＝0 时，理想气体费米子 F εμ=i i idU T dS P dV dN μ=-+∑ρ ~ ()∑-+ΩE N i i e μβii idN μ∑是粒子数带来的能量变化。

假设无外力场（如电磁、重力等）， T 、P 不变，但存在两种粒子，处于不同的“相”。

平衡判据为20,0G G δδ=>设 const N N N =+=21， 222111μμN G N G ==∴ ()021121=-=+=μμδδδδN G G G21μμ=⇒如果21μμ≠， 粒子还会从一个相跑到另一个相，非平衡。

选T 、P 为独立变量，相平衡条件为()()P T P T ,,21μμ=这在T－P图上体现为一条曲线，这样的T－P图称之为相图。

例如，冰、水的化学势都与T、P有关，在这曲线上两相共存。

P 冰和水在“冰区域”接触，水会结冰，但记住，这时水处于“冰区域”的T、P之下。

如在“水区域”接触，冰处于“水区域”的T、P，冰会融化。

体系在曲线上会发生相变。

相变是物体宏观状态的一种突然变化，常常可用一个“序参数”的突变描述。

●‘突然变化’必须定量化●‘宏观状态’或説‘序参数’会随着人们对自然界的认识不断改变。

例如，‘序参数’可以是静态结构，统计涨落，也可以是动力学行为。

在相变点，特征热力学函数奇异。

相变的阶用特征热力学函数定义。

例如，自由能F（T，V）为特征函数的体系∞级相变例如：Kosterlitz-Thouless相变自旋玻璃相变，类似于二级，但略有不同结构玻璃相变为什么研究相变？因为它刻划体系的特征。

例如，研究材料学的，关心‘相’的性质，研究相变理论的，关心相变的准确位置尤其是相变点附近的行为特征。

设d 为空间维数Y{}∑∑∑---=i j i iij i S S T k h S S J T k kTNf ee1/Θ∑∑---=∂∂-∴}{.//)(1jS ikT H i kT Nf e S T k e h f kT NM hf=∂∂⇒计算 α、γ 并给出其与 β、δ的关系。

这些关系称为标度关系。

换句话说，自由能的标度变换不变性假设，使得Ising 模型只有两个独立的临界指数。

小结● 在临界点附近，物理量遵从幂次行为，临界指数具有普适性。

● 标度变换不变性可以导出幂次行为，还给出临界指数的标度关系，但是没有回答如何计算临界指数。

问题：* 如何导出标度不变性 * 如何计算临界指数 * 如何解释普适性第四节 实空间重整化群 d 维格点上的Ising 模型差别她们的的选取恰当，越靠近的形式，但如不会严格取c I K S H H λ越小。

令,0=h 那么 ()K R K λλ=λR 应该．．具有如下性质 封闭性如果1λR 、也是标度变换是标度变换，则212λλλR R而且 2121λλλλR R R =λλλR I R R I ==但是,不存在逆元素 IR R R =--11λλλ使∴ λR 的集合是“半群”。

不动点*K()设**K R K K λλ==边缘参量较复杂。

近不动点。

在标度变换下越来越靠时，当无关参量不重要，因为点临界点一般来说是不动点不动点一般来说是临界至少有一个相关参量的不动点不一定是临界点不动边缘参量称如越来越靠近增大，随着称无关参量如越来越远离增大，随着称相关参量如***,,00i i i i i i i i i i i i i K K K K y K K K y K K K y ≈=<>λλλλλλ第五节一维Ising model{}1 ,J JiHk TSeλσσδ-∏∑sh也不是0,=∞=**h K 也不是∞==**h K K c,只有 才是临界点0,==**h K K c习题： 计算 21,0,y y h K C的指数=*累积展开(){}(){}{}(){}{},,/,,,/,i i IIII HK h kTHK h S kT S Z K h ee σσαα--==∑∑∑这里{}Iα表示给定I S ，在自旋块I 内所有可能的自由度。

1+=I S321σσσ=I 1α+ + +=I 2α + + - + - +- + +2σ3σ1-=I S=I 1α“－” ↔ “＋”如果{}(){}{}()01,,/,,,/II I IW H K h S kT H K h S kTk Teeλλλαα--=∑则可实现重整化群变换{}(){}∑-⋅=I I S S h K H Tk W eeZ ,,1λλλ令 ∑∑∑=∈==-31,001N I I j i IIj i H K H T k σσ∑∑∑∑≠∈∈∈+=-J I Jj I i I Ii ij i h K V T k σσσ1则 ()V H Tk H T k +-=-0110H 部分可以准确计算，然后对V 作微扰计算。

这里介绍累积展开方法。

{}{}{}∑--∑--∑-⋅==IIIkTH kTV kTV kT H kTH eeeeααα/////00{}{}kTV kTH kTH kTV e eeeII////001其中-∑-∑--⋅=αα0H 部分可以准确计算{}{}=∑-∑=-∑-==31/31//000N I kT H N I kTH kTH II I I Ie e eααα()()30N K Z =()K K kTH e e eK Z II -∑-+==33/00α注意：这里的计算是对给定的I S 而言，所以Iα只含4个态，无论（IS ＝+1或－1，对K kT H II 3/,01=-α，对10,/I I i H kT K α>-= 假设V 很小，对kTV e/-作累积展开()()Λ+-+-+=-2//!21/1kT V kT V e kT V ()()()()Λ+⎪⎭⎫ ⎝⎛---+-=-⇔22///!21/ln kT V kT V kT V ekTV说明： ()Λ-+-=+321ln 32x x x x()()()()()()()()()//23///22ln ln 1111111231/(//)2!V kT V kT V kTV kT V kTe e e e e V kT V kT V kT -----=+-=---+-=-+---+∴L重新对V 的幂次编号＝平均值＋平均值的涨落＋……若只保留展开的领头项，计算较简单{}∑-=II kTHI Ie Z ασσ/10101K KKK I e e e e S --++=333σ3σ对1=I S ，种状态4，131=Iσ种，111-=I σ种对1-=IS ，种状态4，131-=Iσ种，111+=I σ种I I I 132σσσ==∵ 0H 不含不同自旋块的相互作用J I ≠∴对JI J I 2121σσσσ=J I J I 3131σσσσ==∑∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-----∴I I K K K K J I J I K K K K S e e e e h S S e e e e K V T k 3332133233 J 2σJ 3σ23323K K KK e e K K e e λ--⎛⎫+= ⎪+⎝⎭∴I 2σI 3σ()330033ln 3K K KK e e h h e e NW Z K λ--⎛⎫+= ⎪+⎝⎭=在分立格点上i ，1±=i S连续模型(分立变量的理论常常比连续变量的难,如数论最难)习题：考察 )(2)2(q u 中的 )2(2 n q C n n 项在高斯不动点附近的行为 （相关性和无关性等）。

（这里*L 是已经对角化的。

）。