江苏省南京市秦淮中学2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题美术班含解析

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选修2-1学霸必刷题空间向量与立体几何(选择题、填空题)

空间向量与立体几何（选择题、填空题）一、单项选择题1．（江西省赣州市赣县第三中学2020-2021学年高二8月入学考试）已知点(,1,2)A x 和点(2,3,4)B ，且AB =x 的值是（）A ．6或2-B ．6或2C ．3或4-D ．3-或4【答案】A【解析】AB ==()2216x -=，解得：2x =-或6x =．故选A2．（2020江西省新余期末质量检测）在空间直角坐标系中，已知P(－1，0，3)，Q(2，4，3)，则线段PQ 的长度为( )A B ．5C D 【答案】B【解析】由题得2(3,4,0),35PQ PQ =∴=+=，所以线段PQ 的长度为5．故答案为B3．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知空间向量()3,1,3m =，()1,,1n λ=--，且//m n ，则实数λ=（）A ．13- B ．-3 C ．13D ．6【答案】A【解析】因为//m n ，所以,m n R μμ=∈，即：()3,1,3m ==(),,n μλμμμ--=，所以3,1μλμ=-=，解得13λ=-．故选A ．4．（江西省新余一中、宜春一中2021届高二联考）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是1D D 的中点，N 是11A B 的中点，则直线NO ，AM 的位置关系是（）A ．平行B ．相交C ．异面垂直D ．异面不垂直【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，写出NO 与AM 的坐标，即可判断位置关系．【解析】建立空间直角坐标系，如图所示．设正方体的棱长为2，则(2,0,0)A ，(0,0,1)M ，(1,1,0)O ，(2,1,2)N ，∴(1,0,2)NO =--，(2,0,1)AM =-．∵0NO AM ⋅=，∴直线NO ，AM 的位置关系是异面垂直．故选: C5．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点,E F 分别是,BC AD 的中点，则AE AF ⋅的值为（） A ．2aB ．212aC ．214a D 2 【答案】C【分析】由题意可得11()22AB AC AE AF AD ⋅=+⋅，再利用两个向量的数量积的定义求得结果．【解析】11()22AB AC AE AF AD ⋅=+⋅1()4AB AD AC AD =⋅+⋅ ()22211cos60cos6044a a a ︒︒=+=，故选C. 6．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知M ，N 分别是四面体OABC 的棱OA ，BC 的中点，点P 在线段MN 上，且2MP PN =，设向量OA a =，OBb =，OC c =则OP =（）A ．111666a b c ++B ．111333a b c ++C ．111633a b c ++D ．111366a b c ++【答案】C【解析】如图所示，连接ON ，∵OP ON NP =+，1()2ON OB OC =+，所以13NP NM =，NM OM ON =-，12OM OA =，∴13OP ON NP ON NM =+=+121()333ON OM ON ON OM =+-=+21()32OB OC =⨯+1132OA +⨯111633OA OB OC =++111633a b c =++．故选C ． 7．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）若两条不重合直线1l 和2l 的方向向量分别为()11,0,1ν=-，()22,0,2ν=-，则1l 和2l 的位置关系是（） A ．平行 B ．相交 C ．垂直D ．不确定【答案】A【解析】因为两条不重合直线1l 和2l 的方向向量分别为()11,0,1ν=-，()22,0,2ν=-，所以212v ν=-，即2ν与1v 共线，所以两条不重合直线1l 和2l 的位置关系是平行，故选A8．（山东省滕州市第一中学2020-2021学年高二9月开学收心考试）设,x y R ∈，向量()()(),1,1,1,,1,2,4,2,a x b y c ===-且,//a c b c ⊥，则a b +=（）A ．BC ．3D ．4【答案】C【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示求得参数,x y ，再求向量模长即可．【解析】()//,241,2,1,21b c y y b ∴=-⨯∴=-∴=-，，(),1210,1a b a b x x ⊥∴⋅=+⋅-+=∴=，()()1,112,1,2a a b ∴=∴+=-，，(2213a b ∴+=+-=，故选C ．9．（江西省宜春市2016-2017学年高二上学期期末统考理）如图所示，在空间四边形OABC 中，OA a OB b OC c ==＝，，，点M 在OA 上，且2,OM MA N =为BC 中点，则MN =（）A ．121232a b c -+B ．211322a b c -++ C ．111222a b c +-D ．221b 332a c -+-【答案】B【解析】由向量的加法和减法运算：12211()23322MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++．故选B10．（陕西省商洛市商丹高新学校2019-2020学年高二下学期4月学情质量检测数学（理））如图，已知正方体ABCD A B C D ''''-，点E 是A C ''的中点，点F 是AE 的三等分点，且12AF EF =，则AF =（）A ．1122AA AB AD '++ B ．111222AA AB AD '++ C ．111266AA AB AD '++D ．111366AA AB AD '++【答案】D【解析】∵点E 是A C ''的中点，点F 是AE 的三等分点，且12AF EF =， ∴111111()333236AF AE AA A E AA A C AA A C ⎛⎫''''''''==+=+=+ ⎪⎝⎭ 11()36AA A B A D '''''=++111366AA AB AD '=++，故选D ． 11．（安徽省六安市舒城中学2020-2021学年高二上学期开学考试数学（文）试题）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，()1,2,,8i P i =是上底面上其余的八个点，则()1,2,,8i AB AP i ⋅=⋅⋅⋅的不同值的个数为（）A ．8B ．4C ．2D ．1【答案】D【解析】()2i i i AB AP AB AB BP AB AB BP ⋅=⋅+=+⋅，AB ⊥平面286BP P P ，i AB BP ∴⊥，i AB BP ∴⋅=，21i AB AP AB ∴⋅==，则()1,2,,8i AB AP i ⋅=⋅⋅⋅的不同值的个数为1个，故选D .12．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）点P (1，2，3）关于xOy 平面的对称点的坐标为（） A ．(－1，2，3) B ．(1，－2，－3) C ．(－1，－2，－3) D ．(1，2，－3)【答案】D【分析】关于xOy 平面对称的点的,x y 坐标不变，只有z 坐标相反．【解析】点P (1，2，3）关于xOy 平面的对称点的坐标为(1,2,)3-．故选D ．13．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）若向量(2,0,1)a =-，向量(0,1,2)b =-，则2a b -=（）A ．(4,1,0)-B ．(4,1,4)--C ．(4,1,0)-D ．(4,1,4)--【答案】C【分析】根据题意求出2(4,0,2)a=-，再根据向量的减法坐标运算，由此即可求出结果．【解析】因为向量(2,0,1)a =-，向量(0,1,2)b =-，则2(4,0,2)a =-，则2(4,0,2)(0,1,2)(4,1,0)a b -=---=-，故选C ．14．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知正方体1111ABCD A B C D -，点E 是上底面11A C 的中心，若1AE AA xAB yAD =++，则x y +等于（） A ．13B ．12C ．1D ．2【答案】C【解析】如图，()111111112AE AA A E AA A B A D =+=++ ()11111222AA AB AD AA AB AD =++=++，所以12x y ==，所以1x y +=．故选C15．（江苏省南京市秦淮区2019-2020学年高一下学期期末）空间直角坐标系O xyz -中，已知两点()11,2,1P -，()22,1,3P -，则这两点间的距离为（）A BC ．D ．18【答案】B【解析】根据题意，两点()11,2,1P -，()22,1,3P -，则12||PP =B ．16．（湖北省恩施高中2020届高三下学期四月决战新高考名校交流卷（B ））已知向量()1,2a =，()3,b x =，()1,1c y =--，且//a b ，b c ⊥，则x y ⋅的值为（）A ．6B ．32 C ．9D ．132-【答案】C【解析】∵//a b ，∴60x -=，6x =，∴向量()3,6b =， ∵b c ⊥，∴()3610y -+-=，∴32y =，∴9x y ⋅=．故选C ． 17．（四川省绵阳市2019-2020学年高二下学期期末教学质量测试数学（理）试题）在空间直角坐标系中，若()1,1,0A ，()13,0,12AB =，则点B 的坐标为（） A ．()5,1,2-- B ．()7,1,2- C ．()3,0,1 D ．()7,1,2【答案】D【分析】首先设出点(,,)B x y z ，利用向量坐标公式以及向量相等的条件得到等量关系式，求得结果．【解析】设(,,)B x y z ，所以(1,1,)2(3,0,1)(6,0,2)AB x y z =--==，所以16102x y z -=⎧⎪-=⎨⎪=⎩，所以712x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以点B 的坐标为(7,1,2)，故选D ．18．（广东省云浮市2019-2020学年高二上学期期末）如图，在三棱锥P ABC -中，点D ，E ，F 分别是AB ，PA ，CD 的中点，设PA a =，PB b =，PC c =，则EF =（）A ．111442a b c --B ．111442a b c -+ C ．111442a b c +-D ．111442a b c -++【答案】D 【解析】点D ，E ，F 分别是AB ，PA ，CD 的中点，且PA a =，PB b =，PC c =，∴()11112224EF EP PC CF PA PC CD PA PC CA CB =++=-++=-+++()1111124442PA PC PA PC PB PC PA PB PC =-++-+-=-++111442a b c =-++．故选D ．19．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）一个向量p 在基底{},,a b c 下的坐标为()1,2,3，则p 在基底{},,a b a b c +-下的坐标为（）A ．31322⎛⎫- ⎪⎝⎭，，B ．31322⎛⎫- ⎪⎝⎭，， C ．13322⎛⎫- ⎪⎝⎭，，D ．13322⎛⎫- ⎪⎝⎭，，【答案】B【解析】因为向量p 在基底{},,a b c 下的坐标为()1,2,3，所以23p a b c =++，设p 在基底{},,a b a b c +-下的坐标为(),,x y z ，所以()()()()p x a b y a b zc x y a x y b zc =++-+⇒++-+，有13223x y x y x z +=⎧⎪-=⇒=⎨⎪=⎩，12y，3z =，p 在基底{},,a b a b c +-下的坐标为31,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选B ．20．（湖北省武汉襄阳荆门宜昌四地六校考试联盟2020-2021学年高三上学期起点联考）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，12AA AB ==，60BAD ∠=︒，M 是1BB 的中点，则异面直线1A M 与1B C所成角的余弦值为（）A． B ．15- C ．15D．5【答案】D【分析】用向量1,,AB BC BB 分别表示11,AM BC ，利用向量的夹角公式即可求解．【解析】由题意可得221111111111,5,2A M AB B M AB BB A M A B B M=+=-=+=221111,2BC BC BB B C BC BB =-=+=，()211111111111cos ,AB BB BC BB AB BC BB A M B C A M B C A M B C⎛⎫-⋅-⋅+ ⎪⋅⎝〈〉===0122cos604⨯⨯+⨯==故选D21．（河北省石家庄市第二中学2020-2021学年高二上学期8月线上考试（二））长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AB AD AA E ===为棱1AA 的中点，则直线1C E 与平面11CB D 所成角的余弦值为（） A．9 B．9CD ．23【答案】A【解析】根据题意，建立如图所示直角坐标系：则1C E (1,1,1)=--，设平面11B D C 的法向量为n (,,)x y z =，则100n B D n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得：020x y x z --=⎧⎨--=⎩，取n (2,2,1)=--，则1,cos n C E =11n C E nC E⋅9==，设直线1C E 与平面11B D C 的夹角为θ，则9sin θ=，9cos θ==．故选A ． 22．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知点()1,1,A t t t --，()2,,B tt ，则A ，B 两点的距离的最小值为A．10 B．5C．5D ．35【答案】C【分析】由两点之间的距离公式求得AB 之间的距离用t 表示出来，建立关于t 的函数，转化为求函数的最小值．【解析】因为点()1,1,A t t t --，()2,,B t t ，所以22222(1)(21)()522AB t t t t t t =++-+-=-+，有二次函数易知，当15t =时，取得最小值为95，AB ∴，故选C ．23．（湖南省邵阳市邵东县第十中学2020届高三下学期模拟考试数学（文）试题）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是棱AB ，1BB 的中点，点P 在对角线1CA 上运动．当△PMN 的面积取得最小值时，点P 的位置是（）A ．线段1CA 的三等分点，且靠近点1AB ．线段1CA 的中点C ．线段1CA 的三等分点，且靠近点CD ．线段1CA 的四等分点，且靠近点C【答案】B【解析】设正方体的棱长为1，以A 为原点，1,,AB AD AA 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则1(,0,0)2M ，1(1,0,)2N ，MN 的中点31(,0,)44Q ，1(0,0,1)A ，(1,1,0)C ，则1(1,1,1)AC =-，设(,,)P t t z ，(1,1,)PC t t z =---，由1AC 与PC 共线，可得11111t t z---==-，所以1t z =-，所以(1,1,)P z z z --，其中01z ≤≤，因为||(1PM ==||(11)(1PN z =--+=所以||||PM PN =，所以PQ MN ⊥，即||PQ 是动点P 到直线MN 的距离，由空间两点间的距离公式可得||PQ ===12c =时，||PQ 取得最小值4，此时P 为线段1CA 的中点，由于||4MN =为定值，所以当△PMN 的面积取得最小值时，P 为线段1CA 的中点．故选B24．（云南省梁河县第一中学2019-2020学年高二7月月考数学（理）试题）长方体1111ABCD A B C D -中，12AB AA ==，1AD =，E 为1CC 的中点，则异面直线1BC 与AE 所成角的余弦值为（）A BCD ．【答案】B【分析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线1BC 与AE 所成角的余弦值．【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A 、()2,0,0B 、()12,1,2C 、()2,1,1E ，()2,1,1AE =，()10,1,2BC =，111cos ,6AE BC AE BC AEBC ⋅<>===⋅．因此，异面直线1BC 与AE ．故选B ． 25．（广西桂林市2019-2020学年高二下学期期末质量检测数学（理））在正方体ABCD --A 1B 1C1D 1中，E 是C 1C 的中点，则直线BE 与平面B 1BD 所成角的正弦值为( ) A．5-B．5C ．D 【答案】B【分析】以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DC 为y 轴，以1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BE 与平面1B BD 所成角的正弦值．【解析】以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DC 为y 轴，以1DD 为z 轴，建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则()000D ，，，()220B ，，，()1222B ，，，()021E ，，， ∴() 220BD =--，，，()1 002BB =，，，() 201BE =-，，，设平面1B BD 的法向量为() ,,x n y z =，∵ n BD ⊥，1n BB ⊥， ∴22020x y z --=⎧⎨=⎩，令y 1=，则() 110n =-，，，∴10cos ,n BE n BE n BE ⋅==⋅，设直线BE 与平面1B BD 所成角为θ，则10sin cos ,5n BE θ==，故选B ．26．（陕西省商洛市商丹高新学校2020届高三下学期考前适应性训练理科）如图在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱12AA =且1160A AD A AB ∠=∠=︒，则1AC =（）A ． BC ．D 【答案】B【解析】因为底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱12AA =且1160A AD A AB ∠=∠=︒，则2=1AB ，2=1AD ，21=4AA ，0AB AD ⋅=，111cos 1AB AA AB AA A AB ⋅=⋅⋅∠=，111cos 1AD AA AD AA A AD ⋅=⋅⋅∠=，则1AC 1AB AD AA =++()1222111222AB AD AA AB AA AB AD AD AA =+++⋅+⋅+⋅==，故选B ．27．（2020届上海市七宝中学高三高考押题卷）已知MN 是正方体内切球的一条直径，点P 在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则PM PN →→⋅的取值范围为（） A ．[]0,4 B ．[]0,2 C ．[]1,4D ．[]1,2【答案】B【分析】利用向量的线性运算和数量积运算律可将所求数量积化为21PO →-，根据正方体的特点可确定PO →的最大值和最小值，代入即可得到所求范围．【解析】设正方体内切球的球心为O ，则1OM ON ==，2PM PN PO OM PO ON PO PO OM ON OM ON →→→→→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，MN 为球O 的直径，0OM ON →→∴+=，1OM ON →→⋅=-，21PM PN PO →→→∴⋅=-，又P 在正方体表面上移动，∴当P 为正方体顶点时，PO →P 为内切球与正方体的切点时，PO →最小，最小值为1，[]210,2PO →∴-∈，即PM PN →→⋅的取值范围为[]0,2．故选B ．【点睛】本题考查向量数量积的取值范围的求解问题，关键是能够通过向量的线性运算将问题转化为向量模长的取值范围的求解问题．28．（湖北省荆门市2019-2020学年高二下学期期末）在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，若2AC x AB y BC z CC →→→→''=++，则x y z ++=（）A ．52B ．2C ．32D ．116【答案】A【解析】由空间向量的线性运算，得AB BC AC AC CC CC →→→→→→⎛⎫=+=++ ⎪⎭'''⎝，由题可知，2AC x AB y BC z CC →→→→''=++，则1,1,21x y z ===，所以11,2y z ==， 151122x y z ∴++=++=．故选A ．29．（安徽省六校教育研究会2020-2021学年高三上学期第一次素质测试理科）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知90ABC ∠=︒，P 为侧棱1CC 上任意一点，Q 为棱AB 上任意一点，PQ 与AB 所成角为α，PQ 与平面ABC 所成的角为β，则α与β的大小关系为（）A ．αβ=B ．αβ<C ．αβ>D ．不能确定【答案】C【分析】建立空间直角坐标系设()()(),0,,0,,00,0,0P x z Q y x y z >≥≥，利用空间向量法分别求得cos ,cos αβ，然后根据(0,],0,22ππαβ⎡⎤∈∈⎢⎥⎣⎦，利用余弦函数的单调性求解．【解析】建立如图所示空间直角坐标系：设()()(),0,,0,,00,0,0P x z Q y x y z >≥≥，则()(),,,0,,0QP x y z QB y =-=-，所以2222,,QP QB y QP x y z QB y ⋅==++=，所以2cos QP QB QP QBx zα⋅==⋅+又(0,],0,22ππαβ⎡⎤∈∈⎢⎥⎣⎦，sin QP CP QPβ⋅==所以cos β=cos cos βα>，因为cos y x = 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上递减，所以αβ>，故选C 30．（江西省赣州市赣县第三中学2019-2020学年高二6月份考试数学（理）试题）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，3AB =，14AA =，P 是侧面11BCC B 内的动点，且1AP BD ⊥，记AP 与平面11BCC B 所成的角为θ，则tan θ的最大值为（）A ．43B ．53 C ．2D ．259【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线面角的正切值的最大值．【解析】以1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设(,3,)P x z ，则1(3,3,),(3,3,4)AP x z BD =-=--，11,0AP BD AP BD ⊥∴⋅=，33(3)3340,4x z z x ∴---⨯+=∴=，||BP ∴==9255=， ||5tan ||3AB BP θ∴=，tan θ∴的最大值为53．故选B ．31．（江西省赣州市赣县第三中学2019-2020学年高二6月份考试数学（理）试题）如图，在棱长都相等的正三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱1CC 的中点，E 是棱1AA 上的动点．设AE x =，随着x 增大，平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角的平面角是（）A ．增大B ．先增大再减小C ．减小D ．先减小再增大【答案】D【解析】设正三棱柱111ABC A B C -棱长为2，,02AE x x =≤≤，设平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角为α，以A 为坐标原点，过点A 在底面ABC 内与AC 垂直的直线为x 轴，1,AC AA 所在的直线分别为,y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,2,1),(0,0,),(3,1,1),(0,2,1)B D E x BD ED x =-=-，设平面BDE 的法向量(,,)m s t k =，则m BD m ED⎧⊥⎨⊥⎩，即02(1)0t k t x k ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩，令k =33,1t x s x =-=+，所以平面BDE的一个法向量(m x=+-，底面ABC的一个法向量为(0,0,1)n =，cos|cos,|m nα=<>==当1(0,)2x∈，cosα随着x增大而增大，则α随着x的增大而减小，当1(,2)2x∈，cosα随着x增大而减小，则α随着x的增大而增大．故选D．32．（山东省滕州市第一中学2020-2021学年高二9月开学收心考试）已知空间直角坐标系O xyz-中，()1,2,3OA =，()2,1,2OB =，()1,1,2OP =，点Q在直线OP上运动，则当QA QB⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（）A．131,,243⎛⎫⎪⎝⎭B．133,,224⎛⎫⎪⎝⎭C．448,,333⎛⎫⎪⎝⎭D．447,,333⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【分析】设(,,)Q x y z，根据点Q在直线OP上，求得(,,2)Qλλλ，再结合向量的数量积和二次函数的性质，求得43λ=时，QA QB⋅取得最小值，即可求解．【解析】设(,,)Q x y z，由点Q在直线OP上，可得存在实数λ使得OQ OPλ=，即(,,)(1,1,2)x y zλ=，可得(,,2)Qλλλ，所以(1,2,32),(2,1,22)QA QB λλλλλλ=---=---，则2(1)(2)(2)(1)(32)(22)2(385)QA QB λλλλλλλλ⋅=--+--+--=-+，根据二次函数的性质，可得当43λ=时，取得最小值23-，此时448(,,)333Q ．故选C ．【点睛】本题主要考查了空间向量的共线定理，空间向量的数量积的运算，其中解答中根据向量的数量积的运算公式，得关于λ的二次函数是解答的关键，着重考查运算与求解能力．33．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC ＝4，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为半圆弧的中点，若异面直线BD 和AB 1所成角的余弦值为23，则该几何体的体积为（）A ．16+8πB ．32+16πC ．32+8πD ．16+16π【答案】A【解析】设D 在底面半圆上的射影为1D ，连接1AD 交BC 于O ，设1111A D B C O ⋂=．依题意半圆柱体底面直径4,,90BC AB AC BAC ==∠=︒，D 为半圆弧的中点，所以1111,AD BC A D B C ⊥⊥且1,O O 分别是下底面、上底面半圆的圆心．连接1OO ，则1OO 与上下底面垂直，所以11,,OO OB OO OA OA OB ⊥⊥⊥，以1,,OB OA OO 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设几何体的高为()0h h >，则()()()()12,0,0,0,2,,0,2,0,2,0,B D h A B h -，所以()()12,2,,2,2,BD h AB h =--=-，由于异面直线BD 和1AB 所成的角的余弦值为23，所以11238BD AB BD AB ⋅==⋅，即2222,16,483h h h h ===+．所以几何体的体积为2112442416822ππ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+．故选A.34．（安徽省阜阳市太和第一中学2020-2021学年高二（平行班）上学期开学考试）在正方体1111ABCD A B C D -中，直线1BC 与平面1A BD 所成角的余弦值为（）A ．24B ．23 C ．3 D ．3 【答案】C【分析】分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量后可得所求线面角的余弦值．【解析】分别以1,,DA DC DD 为,,x y z轴建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，可得()()()()110,0,0,1,1,0,0,1,1,1,0,1D B C A ∴()()()111,0,1,1,0,1,1,1,0BC A D BD =-=--=--，设(),,n x y z =是平面1A BD 的一个法向量，∴100n A D n BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00x z x y +=⎧⎨+=⎩，取1x =，得1y z ==-，∴平面1A BD 的一个法向量为()1,1,1n =--，设直线1BC 与平面1A BD 所成角为θ， ∴11126sin cos ,323BC nBC n BC nθ⋅-=〈〉===⨯， ∴23cos 1sin θθ=-1BC 与平面1A BD 所成角的余弦值是33，故选C.【点睛】用向量法求二面角大小的两种方法：（1）分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小即为二面角的大小；（2）分别求出二面角的两个半平面的法向量，然后通过两个法向量的夹角得到二面角大小，解题时要注意结合图形判断出所求的二面角是锐角还是钝角．35．（2020届重庆市第一中学高三下学期6月模拟数学（理）试题）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是底面1111D C B A 内（含边界）的一点，且//AP 平面1DBC ，则异面直线1A P 与BD 所成角的取值范围为（）A ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】过A 作平面α平面1DBC ，点P 是底面1111D C B A 内（含边界）的一点，且//AP 平面1DBC ，则P ∈平面α，即P 在α与平面1111D C B A 的交线上，连接111,,AB AD B D ，11DD BB =，则四边形11BDD B 是平行四边形，11B D BD ∴，11B D ∴平面1DBC ，同理可证1AB ∥平面1DBC ，∴平面11AB D ∥平面1DBC ，则平面11AB D 即为α，点P 在线段11B D 上，以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 建立如图坐标系，设正方体棱长为1，则()0,0,0D ，()1,1,0B ，()1,0,0A ，设(),,1P λλ，[]0,1λ∈， ()1,1,0DB ∴=，()1,,1AP λλ=-，21DB AP λ∴⋅=-，2DB =，2AP λ=，设1A P 与BD 所成角为θ，则cos 2DB APDB APθ⋅===⋅ ==12λ=时，cos θ取得最小值为0，当0λ=或1时，cos θ取得最大值为12，10cos 2θ∴≤≤，则32ππθ≤≤．故选C ． 36．（重庆市第八中学2020届高三下学期第五次月考数学（理）试题）如图，矩形ABCD 中，2AB AD ==E 为边AB 的中点，将ADE 沿直线DE 翻折成1A DE △．在翻折过程中，直线1A C 与平面ABCD 所成角的正弦值最大为（）A．4B ．6C．14D【答案】A【解析】分别取DE ，DC 的中点O ，F ，则点A 的轨迹是以AF 为直径的圆，以,OA OE 为,x y 轴，过O 与平面AOE 垂直的直线为z 轴建立坐标系，则()2,1,0C -，平面ABCD 的其中一个法向量为n = (0，0．1)，由11A O =，设()1cos ,0,sin A αα，则()1cos 2,1,sin CA αα=+-，记直线1A C 与平面ABCD 所成角为θ，则11sin 4cos ||CA nCAn θ⋅===⋅设315cos ,,sin 222t αθ⎡⎤=+∈=≤=⎢⎥⎣⎦ 所以直线1A C 与平面ABCD ，故选A ．二、多项选择题37．（江苏省南京市秦淮中学2019-2020学年高二（美术班）上学期期末）对于任意非零向量()111,,a x y z =，()222,,b x y z =，以下说法错误的有( )A ．若a b ⊥，则1212120x x y y z z ++=B ．若//a b ，则111222x y z x y z == C ．cos ,a b =><D ．若1111===x y z ，则a为单位向量【答案】BD【解析】对于A 选项，因为a b ⊥，则1212120a b x x y y z z ⋅=++=，A 选项正确；对于B 选项，若20x =，且20y ≠，20z ≠，若//a b ，但分式12x x 无意义，B 选项错误；对于C 选项，由空间向量数量积的坐标运算可知cos ,a b =><，C 选项正确；对于D 选项，若1111===x y z，则211a =+=，此时，a 不是单位向量，D 选项错误．故选BD ．38．（2020届百师联盟高三开学摸底大联考山东卷）下面四个结论正确的是（） A ．向量(),0,0a b a b ≠≠，若a b ⊥，则0a b ⋅=．B ．若空间四个点P ，A ，B ，C ，1344PC PA PB =+，则A ，B ，C 三点共线． C ．已知向量()1,1,a x =，()3,,9b x =-，若310x <，则,a b 为钝角．D ．任意向量a ，b ，c 满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅．【答案】AB【解析】由向量垂直的充要条件可得A 正确；1344PC PA PB =+，∴11334444PC PA PB PC -=-即3AC CB =，∴A ，B ，C 三点共线，故B 正确；当3x =-时，两个向量共线，夹角为π，故C 错误；由于向量的数量积运算不满足结合律，故D 错误．故选AB.39．（广东省中山市2019-2020学年高一下学期期末）在空间直角坐标系中，下列结论正确的是（） A ．点()2,1,4-关于x 轴对称的点的坐标为()2,1,4 B ．到()1,0,0的距离小于1的点的集合是()(){}222,,11x y z x y z -++<C ．点()1,2,3与点()3,2,1的中点坐标是()2,2,2D ．点()1,2,0关于平面yOz 对称的点的坐标为()1,2,0- 【答案】BCD【解析】对于选项A ：点()2,1,4-关于x 轴对称的点的坐标为()2,1,4---，所以A 不正确；对于选项B ：点(),,x y z到()1,0,0的距离小于11<，所以B 正确；对于选项C ：点()1,2,3与点()3,2,1的中点坐标是()132231,,2222,2,2⎛⎫=⎪⎝⎭+++，所以C 正确；对于选项D ：由点(),,x y z 关于平面yOz 对称的点的坐标为(),,x y z -，所以D 正确．故选B C D ．40．（山东省威海市文登区2019-2020学年高二上学期期末）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则下列结论正确的是（）A ．211AB AC a ⋅=- B ．212BD BD a ⋅= C ．21AC BA a⋅=- D ．212AB AC a ⋅=【答案】BC【解析】如下图所示：对于A 选项，()2211AB AC AB AC AB AB AD AB a ⋅=⋅=⋅+==，A 选项错误；对于B ，()()()()2221112BD BD AD AB BD DD AD AB AD AB AA AD AB a ⋅=-+=--+=+=，B 选项正确；对于C 选项，()()2211AC BA AB AD AA AB AB a ⋅=+⋅-=-=-，C 选项正确；对于D 选项，()2211AB AC AB AB AD AA AB a ⋅=⋅++==，D 选项错误．故选BC ．41．（福建省泉州市普通高中2019-2020学年毕业班第一次质量检查（理））如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是1DD 的中点，则（）A ．直线1//BC 平面1A BD B ．11B C BD ⊥C ．三棱锥11C B CE -的体积为13D ．异面直线1B C 与BD 所成的角为60︒【答案】ABD【解析】如图建立空间直角坐标系，()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,1,0D ，()10,0,1A ，()11,0,1B ，()11,1,1C ，()10,1,1D ，10,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭E ，()1B C 0,1,1=-，()11,1,1BD =-，()1,1,0BD =-，()11,0,1BA =-，所以()111011110B C BD =-⨯+⨯+-⨯=，即11BC BD ⊥，所以11B C BD ⊥，故B 正确；()11011101B C BD =-⨯+⨯+-⨯=，12B C =，2BD =，设异面直线1B C 与BD 所成的角为θ，则111cos 2B C BD B C BDθ==，又0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以3πθ=，故D 正确；设平面1A BD 的法向量为(),,n x y z =，则1·0·0n BA n BD ⎧=⎨=⎩，即0x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，取()1,1,1n =，则()10111110n B C =⨯+⨯+⨯-=，即1C n B ⊥，又直线1B C ⊄平面1A BD ，所以直线1//B C 平面1A BD ，故A 正确；111111111111113326C B CE B C CE C CE V B C S V -∆-===⨯⨯⨯⨯=⋅，故C 错误；故选ABD.42．（海南省海南中学2019-2020学年高三第四次月考）如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，并且总是保持1AP BD ⊥，则以下四个结论正确的是（）A ．113P AA D V -=B ．点P 必在线段1BC 上C ．1AP BC ⊥D ．//AP 平面11AC D【答案】BD 【解析】对于A ，P 在平面11BCC B 上，平面11//BCC B 平面1AA D ，P ∴到平面1AA D 即为C 到平面1AA D 的距离，即为正方体棱长，1111111113326P AA D AA D V S CD -∴=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，A 错误；对于B ，以D 为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：则()1,0,0A ，(),1,P x z ，()1,1,0B ，()10,0,1D ，()11,1,1B ，()0,1,0C()1,1,AP x z →∴=-，()11,1,1BD →=--，()11,0,1B C →=--，1AP BD ⊥，1110AP BD x z →→∴⋅=--+=，x z ∴=，即(),1,P x x ，(),0,CP x x →∴=，1CP x B C →→∴=-，即1,,B P C 三点共线，P ∴必在线段1B C 上，B 正确；对于C ，()1,1,AP x x →=-，()11,0,1BC →=-，111AP BC x x →→∴⋅=-+=，AP ∴与1BC 不垂直，C 错误；对于D ，()11,0,1A ，()10,1,1C ，()0,0,0D ，()11,0,1DA →∴=，()10,1,1DC →=，设平面11AC D 的法向量(),,n x y z →=，1100n DA x z n DC y z ⎧⋅=+=⎪∴⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，则1z =-，1y =，()1,1,1n →∴=-， 110AP n x x →→∴⋅=-+-=，即AP n →→⊥，//AP ∴平面11ACD ，D 正确．故选BD ． 43．（福建省宁德市2019-2020学年高二上学期期末考试）如图所示，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D-中，P 为线段1A B 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（）A ．平面11D A P ⊥平面1A APB ．1AP DC ⋅不是定值 C ．三棱锥11BD PC -的体积为定值 D ．11DC D P ⊥【答案】ACD【解析】A ．因为是正方体，所以11D A ⊥平面1A AP ，11D A ⊂平面11D A P ，所以平面11D A P ⊥平面1A AP ，所以A 正确；B ．11111111()AP DC AA A P DC AA DC A P DC ⋅=+⋅=⋅+⋅ 11112cos 45cos901212AA DC A P DC =+=⨯⨯=，故11AP DC ⋅=，故B 不正确； C ．1111B D PC P B D C V V --=，11B D C 的面积是定值，1//A B 平面11B D C ，点P 在线段1A B 上的动点，所以点P 到平面11B D C 的距离是定值，所以1111B D PC P B D C V V --=是定值，故C 正确； D ．111DC A D ⊥，11DC A B ⊥，1111A D A B A =，所以1DC ⊥平面11A D P ，1D P ⊂平面11A D P ，所以11DC D P ⊥，故D 正确．故选ACD44．（山东省济南莱芜市第一中学2019-2020学年高二下学期第一次质量检测）关于空间向量，以下说法正确的是（）A ．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B ．若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ，C 四点共面 C ．设{},,a b c 是空间中的一组基底，则{},,a b b c c a +++也是空间的一组基底 D ．若0a b ⋅<，则,a b 是钝角【答案】ABC【解析】对于A 中，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以是正确的；对于B 中，若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，根据空间向量的基本定理，可得,,,P A B C 四点一定共面，所以是正确的；对于C 中，由{},,a b c 是空间中的一组基底，则向量,,a b c 不共面，可得向量,a b b c ++，c a +也不共面，所以{},,a b b c c a +++也是空间的一组基底，所以是正确的；对于D 中，若0a b ⋅<，又由,[0,]a b π∈，所以,(,]2a b ππ∈，所以不正确．故选ABC ．45．（河北省沧州市盐山中学2019-2020学年高一下学期期末）若长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，高为4，E 是1DD 的中点，则（）A ．11B E A B ⊥B ．平面1//B CE 平面1A BDC ．三棱锥11C B CE -的体积为83D ．三棱锥111C B CD -的外接球的表面积为24π【答案】CD【解析】以1{,,}AB AD AA 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则 (0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，1(0,0,4)A ，1(2,0,4)B ，(0,2,2)E ，所以1(2,2,2)B E =--，1(2,0,4)A B =-，因为1140840B E A B ⋅=-++=≠，所以1B E 与1A B 不垂直，故A 错误； 1(0,2,4)CB =-，(2,0,2)CE =-，设平面1B CE 的一个法向量为111(,,)n x y z =，则由100n CB n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得1111240220y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，所以11112y z x z =⎧⎨=⎩，不妨取11z =，则11x =，12y =，所以(1,2,1)n =，同理可得设平面1A BD 的一个法向量为(2,2,1)m =，故不存在实数λ使得n λm =，故平面1B CE 与平面1A BD 不平行，故B 错误；在长方体1111ABCD A B C D -中，11B C ⊥平面11CDD C ，故11B C 是三棱锥11B CEC -的高，所以111111111184223323三棱锥三棱锥CEC C B CE CEC B V V S B C --==⋅=⨯⨯⨯⨯=△，故C 正确；三棱锥111C B CD -的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，故外接球的半径2R ==所以三棱锥111C B CD -的外接球的表面积2424S R ππ==，故D 正确．故选CD ．46．（山东省济南市2019-2020学年高二下学期末考试）如图，棱长为的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（）A ．直线1D P 与AC 所成的角可能是6π B ．平面11D A P ⊥平面1A AP C ．三棱锥1D CDP -的体积为定值D ．平面1APD 截正方体所得的截面可能是直角三角形【答案】BC【解析】对于A ，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，()()()10,0,1,1,0,0,0,1,0D A C ，设()()1,,01,01P a b a b <<<< ()()11,,1,1,1,0D P a b AC =-=-，(111cos ,01D P AC D P AC D P ACa b ⋅==<++-1301,01,,24a b D P AC ππ<<<<∴<<∴直线D 1P 与AC 所成的角为,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭，故A 错误；对于B ，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，A 1D 1⊥AA 1，A 1D 1⊥AB ， ∵AA 1AB ＝A ，∴A 1D 1⊥平面A 1AP ，∵A 1D 1⊥平面D 1A 1P ，∴平面D 1A 1P ⊥平面A 1AP ，故B 正确；对于C ，1111122CDD S=⨯⨯=，P 到平面CDD 1的距离BC ＝1， ∴三棱锥D 1﹣CDP 的体积：111111326D CDP P CDD V V --==⨯⨯=为定值，故C 正确；对于D ，平面APD 1截正方体所得的截面不可能是直角三角形，故D 错误；故选BC ．47．（江苏省苏州中学园区校2020-2021学年高三上学期8月期初调研）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且12EF =，则下列结论中正确的是（）A ．线段11B D 上存在点F ，使得AC AF ⊥ B ．//EF 平面ABCD C ．AEF 的面积与BEF 的面积相等 D ．三棱锥A BEF -的体积为定值【答案】BD【解析】如图，以C 为坐标原点建系CD ，CB ，1CC 为x ，y ，z 轴，()1,1,0A ，()0,0,0C ，()1,1,0AC =--，1B F B λ=11D ，即()()0,1,11,1,0x y z λ---=-,∴x λ=，1y λ=-，1z =，∴(),1,1F λλ-，()1,,1AF λλ=--,()()11010AC AF λλ⋅=--++=≠， ∴AC 与AF 不垂直，A 错误．E ，F 都在B ，D 上，又11//BD B D ，∴//EF BD ，BD ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ，∴//EF 平面ABCD ，B 正确AB 与EF 不平行，则1A B 与EF 的距离相等，∴AEF BEF S S ≠△△，∴C 错误A 到BEF 的距离就是A 到平面11BDDB 的距离，A 到11BDD B 的距离为22AC =1111224BEF S =⨯⨯=△，∴1134224A BEF V -=⨯⨯=是定值，D 正确．故选BD ．48．（江苏省扬州市宝应中学2020-2021学年高三上学期开学测试）在正三棱柱ABC A B C '''-中，所有棱长为1，又BC '与B C '交于点O ，则（）A ．AO =111222AB AC AA '++ B ．AO B C '⊥C ．三棱锥A BB O '-D ．AO 与平面BB ′C ′C 所成的角为π6【答案】AC【解析】由题意，画出正三棱柱ABC A B C '''-如图所示，向量()()111222AO AB BO AB BC BB AB AC AB AA ''=+=++=+-+ 111222AB AC AA '=++，故选项A 正确；在AOC △中，1AC =，22OC，1OA ==， 222OA OC AC +≠，所以AO 和B C '不垂直，故选项B 错误；在三棱锥A BB O '-中，14BB O S '=，点A 到平面BB O '的距离即ABC 中BC 边上的高，所以h =以111334A BB O BB O V S h ''-==⨯=C 正确；设BC 中点为D ，所以AD BC ⊥，又三棱柱是正三棱柱，所以AD ⊥平面BB C C ''，所以AOD ∠即AO 与平面BB ′C ′C 所成的角，112cos 12OD AOD OA ∠===，所以3AOD π∠=，故选项D 错误．故选AC49．（山东省泰安肥城市2020届高三适应性训练（一））如图四棱锥P ABCD -，平面PAD ⊥平面ABCD ，侧面PAD 是边长为ABCD 为矩形，CD =Q 是PD 的中点，则下列结论正确的是（）A ．CQ ⊥平面PADB ．PC 与平面AQC所成角的余弦值为3C ．三棱锥B ACQ -的体积为D ．四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的表面积为【答案】BD【解析】取AD 的中点O ，BC 的中点E ，连接,OE OP ，因为三角形PAD 为等边三角形，所以OP AD ⊥，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以OP ⊥平面 ABCD ，因为AD OE ⊥，所以,,OD OE OP 两两垂直，所以，如下图，以O 为坐标原点，分别以,,OD OE OP 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(O D A ，(P C B ，因为点Q 是PD 的中点，所以Q ，平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)m =，6(QC =，显然 m 与QC 不共线，所以CQ 与平面PAD 不垂直，所以A 不正确；3632(6,23,32),(,0,),(26,PC AQ AC =-==，设平面AQC 的法向量为(,,)n x y z =，则3602260n AQ x zn AC ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅=+=⎩，令=1x ，则y z ==(1,2,3)n =--，设PC 与平面AQC 所成角为θ，则21sin 36n PC n PCθ⋅===，所以22cos 3θ=，所以B 正确；三棱锥B ACQ -的体积为1132B ACQ Q ABC ABCV V S OP --==⋅ 1116322=⨯⨯⨯=，所以C 不正确；设四棱锥Q ABCD -外接球的球心为)M a ，则MQ MD =，所以22222222a a ⎛⎫⎛++-=++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得0a =，即M 为矩形ABCD 对角线的交点，所以四棱锥Q ABCD -外接球的半径为3，设四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的棱长为x ，将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面的对角线，故正方体的棱长为2x ，所以2236⎫=⎪⎪⎝⎭，得224x =，所以正四面体的表面积为244x ⨯=，所以D 正确．故选BD.50．（山东省滕州市第一中学2020-2021学年高二9月开学收心考试）在四面体P ABC -中，以上说法正确的有（）A ．若1233AD AC AB =+，则可知3BC BD = B ．若Q 为△ABC 的重心，则111333PQ PA PB PC =++C ．若0PA BC =，0PC AB =，则0PB AC =D ．若四面体P ABC -各棱长都为2，M N ，分别为,PA BC 的中点，则1MN = 【答案】ABC 【解析】对于A ，1233AD AC AB =+，32AD AC AB ∴=+， 22AD AB AC AD ∴-=- ， 2BD DC ∴=，3BD BD DC BC ∴=+=即3BD BC ∴=，故A 正确；对于B ，Q 为△ABC 的重心，则0QA QB QC ++=，33PQ QA QB QC PQ∴+++=()()()3PQ QA PQ QB PQ QC PQ ∴+++++=，3PA PB PC PQ ∴++=，即111333PQ PA PB PC ∴=++，故B 正确；对于C ，若0PA BC =，0PC AB =，则0PA BC PC AB +=，()0PA BC PC AC CB ∴++=，0PA BC PC AC PC CB ∴++=0PA BC PC AC PC BC ∴+-=，()0PA PC BC PC AC ∴-+= 0CA BC PC AC ∴+=，0AC CB PC AC ∴+=()0AC PC CB ∴+=，0AC PB ∴=，故C 正确；对于D ，111()()222MN PN PM PB PC PA PB PC PA ∴=-=+-=+- 1122MN PB PC PA PA PB PC ∴=+-=-- 222222PA PB PC PA PB PC PA PB PA PC PC PB --=++--+==2MN ∴=D 错误．故选ABC.三、填空题51．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且3148OP OA OB tOC =++，若P ，A ，B ，C 四点共面，则实数t ＝_________．。

江苏省南京市秦淮中学2019_2020学年高二数学下学期期中试题含解析

故选:BC
【点睛】本题给出函数的导数图象,要我们找出符合函数性质的选项，着重考查了对函数图象的理解和函数单调性与导数的关系等知识,属于中档题．
12.已知函数，则下列结论正确的是（)
A。函数存在两个不同的零点
B。函数既存在极大值又存在极小值
C. 当时，方程有且只有两个实根
D. 若时，，则最小值为
二、多项选择题：共4小题,每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分,请将正确选项填涂在答题卡相应位置上．
9.下列各式中，等于的是（ )
A. B. C。 D。
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据题意，由阶乘的定义结合排列数、组合数公式，依次分析选项，综合即可得答案．
故答案选AD
【点睛】本题考查二项式定理，关键在于合理利用通项公式进行综合分析，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题．
11.已知是定义域为的函数的导函数,如图是函数的图象，则下列关于函数性质说法正确的是( ）
A。单调递增区间是 , B。单调递减区间是，
C。是极小值D. 是极小值
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据函数的图象，得原函数在上是增函数，在区间和上为减函数，因此函数的极大值为，极小值为．由此对照各个选项,即可得到本题的答案．
【详解】解：由的图象可得当时，时，故函数在上是增函数，在区间和上为减函数，
所以函数在处取得极小值,在处取得极大值，故正确的有BC;
【详解】解:分四种情况：
（1）安排甲到一所学校有种方法，安排乙到第二所学校有种方法，余下三人一起

2019-2020学年江苏省淮安市高二上学期期末数学试题(解析版)

2019-2020学年江苏省淮安市高二上学期期末数学试题一、单选题1．命题“x R ∃∈，2230x x -+<”的否定是( ) A ．x R ∃∈，2230x x -+≥ B ．x R ∀∈，2230x x -+< C ．x R ∃∉，2230x x -+< D ．x R ∀∈，2230x x -+≥【答案】D【解析】根据含一个量词的命题的否定方法：修改量词，否定结论，直接得到结果. 【详解】因为x R ∃∈的否定为x R ∀∈，2230x x -+<的否定为2230x x -+≥，所以命题的否定为：x R ∀∈，2230x x -+≥. 故选：D. 【点睛】本题考查特称命题的否定，难度较易.注意特称命题的否定为全称命题，全称命题的否定为特称命题.2．“2x <”是“220x x -<”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据2x <与220x x -<的互相推出情况，确定出2x <是220x x -<的何种条件. 【详解】当220x x -<时，02x <<，所以2x <不能推出220x x -<，220x x -<能推出2x <，所以“2x <”是“220x x -<”的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，难度较易.注意一个基本事实：小范围能推出大范围，大范围不能推出小范围.3．准线方程为1y =的抛物线的标准方程为( ) A ．24x y =- B ．24y x =- C ．22x y =- D ．24x y =【答案】A【解析】先根据准线方程确定出抛物线方程的基本形式，然后求解出p 的值即可得到抛物线的标准方程. 【详解】因为准线方程为1y =，所以设抛物线方程为()220x py p =->，又因为准线方程12py ==，所以2p =，所以抛物线标准方程为：24x y =-. 故选：A. 【点睛】本题考查根据抛物线的准线方程求解抛物线的标准方程，难度较易.解答此类问题的思路：根据焦点或准线设出标准方程，求解出方程中p 的值即可得到标准方程.4．若直线l 的方向向量,1)2(,m x -=u r ，平面α的法向量2,2(),4n -=-r，且直线l ⊥平面α，则实数x 的值是( ) A ．1 B ．5C ．﹣1D ．﹣5【答案】C【解析】根据直线与平面垂直时直线的方向量与平面的法向量共线，利用共线时对应的坐标关系即可计算出x 的值. 【详解】因为直线l ⊥平面α，所以//m n u r r，所以12224x -==--，所以1x =-. 故选：C. 【点睛】本题考查根据直线与平面的位置关系求解参数，其中涉及到空间向量的共线计算，难度一般.已知直线l 的方向向量为a r ，平面α的法向量为b r ，若//l α则有a b ⊥r r，若l α⊥则有//a b r r.5．函数22(1)1y x x x =+>-的最小值是( ) A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】C 【解析】将221x x +-变形为()22121x x -++-，然后根据基本不等式求解出y 的最小值即可. 【详解】因为22(1)1y x x x =+>-，所以()2222122611y x x x x =+=-++≥=--，取等号时()2211x x -=-，即2x =，所以min 6y =. 故选：C. 【点睛】本题考查利用配凑法以及基本不等式求解最小值，难度较易.利用基本不等式求解最值时注意说明取等号的条件.6．已知数列{}n a 是等比数列，20144a =，202016a =，则2017a =( )A ．B ．±C ．8D ．±8【答案】D【解析】根据等比数列下标和的性质，得到2017a 是2014a 、2020a 的等比中项，从而可计算出2017a 的值. 【详解】因为{}n a 是等比数列，且2014202022017+=⨯，所以220172014202064a a a =⋅=，所以20178a =±.故选：D. 【点睛】本题考查等比数列的性质运用，难度较易.在等比数列{}n a 中，已知()*2,,,,m n p q c m n p q c N +=+=∈，则有2m n p q c a a a a a ==.7．如图，已知12,F F 分别为双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线与双曲线C 相交于A ，B 两点，若1F AB V 为等边三角形，则该双曲线的离心率是( )A 3B 3C 2D 5【答案】A【解析】根据等边三角形的特点，用c 表示出12,AF AF ，再结合122AF AF a -=即可计算出双曲线的离心率. 【详解】因为122F F c =且1F AB V 是等边三角形，所以12143cos30F F AF ==︒，21223tan 30AF F F =︒=，由双曲线的定义可知：12232AF AF a -==，所以3==ce a故选：A. 【点睛】本题考查根据几何图形的性质求解双曲线离心率，难度一般.求解椭圆或者双曲线的离心率时，若出现了特殊几何图形，可借助几何图形的性质（边、角等）求解离心率. 8．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共4升，下面3节的容积共6升，则第5节的容积是( ) A ．211B ．811C ．1611D ．1811【答案】C【解析】将问题转化为等差数列问题，根据已知条件列出方程组求解出数列的首项和公差，然后即可求解出5a 的值. 【详解】将等差数列记为{}n a ，其中第n 节的容积为()*19,n a n n N≤≤∈，因为478946S a a a =⎧⎨++=⎩，所以1146472a d a d +=⎧⎨+=⎩，所以1811211a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以5116411a a d =+=，所以第5节的容积为1611. 故选：C. 【点睛】本题考查等差数列及其前n 项和的简单综合应用，难度较易.已知关于等差数列的两个等式求解等差数列通项的常用方法：（1）构造关于首项和公差的方程组，求解出首项和公差即可求解出通项公式；（2）利用等差数列的性质求解通项公式.二、多选题9．已知函数2()43f x x x =-+，则()0f x ≥的充分不必要条件是( )A ．[1,3]B ．{1,3}C ．1[3)+(]-∞⋃∞，， D ．(3,4) 【答案】BD【解析】先求解出()0f x ≥的解集A ，则充分不必要条件B 应是A 的真子集，由此作出判断即可. 【详解】因为()0f x ≥即2430x x -+≥的解集为：{|3x x ≥或}1x ≤，所以()0f x ≥的充分不必要条件应是{|3x x ≥或}1x ≤的真子集，所以{}()1,3,3,4满足条件.故选：BD. 【点睛】本题考查命题成立的充分不必要条件的判断，难度较易.判断命题成立的充分不必要条件或必要不充分条件，可从命题成立的对象所构成集合的真子集关系考虑.10．与直线0x y +=仅有一个公共点的曲线是( ) A ．221x y += B ．2212x y +=C ．221x y -=D ．2y x =【答案】AC【解析】A ．根据圆心到直线的距离进行判断；B ．联立直线与椭圆方程利用∆进行判断；C ．根据双曲线的渐近线与直线的位置关系进行判断；D ．联立直线与抛物线方程利用∆进行判断. 【详解】A．圆心到直线的距离1d r ===，所以直线和圆相切，所以仅有一个公共点，符合；B．因为22012x y x y ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩，所以2320x -+=，所以322480∆=-=>，所以直线与椭圆有两个交点，不符；C ．因为221x y -=的渐近线方程为y x =±，所以0x y +-=平行于渐近线且不与渐近线重合，所以0x y +=与双曲线仅有一个公共点，符合；D．因为20x y y x⎧+=⎪⎨=⎪⎩，所以20y y +-=，所以10∆=+>，所以直线与抛物线有两个交点，不符. 故选：AC. 【点睛】本题考查直线与曲线的位置关系，难度一般.（1）判断直线与圆的交点个数可通过圆心到直线的距离和半径作比较得到结果；（2）判断直线与双曲线的交点个数，可先判断直线与双曲线的渐近线是否平行，若不平行可考虑通过联立方程利用∆进行判断. 11．已知数列{}n a 是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是( ) A ．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．{}2log n aC ．{}1n n a a +⋅D ．{}12n n n a a a ++++【答案】ACD【解析】先假设等比数列的通项公式，然后利用等比数列的通项公式逐项判断即可. 【详解】设11n n a a q -=，A ．11111111n n n a a q a q --⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭，此时1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项为11a ，公比为1q 的等比数列；B ．因为()()()12212121log log log1log 0,0n n a a qa n q a q -==+->>，此时{}2log n a 是首项为21log a ，公差为2log q 的等差数列；C ．因为()()()()112212211111n n n n n n a q a q q a a q a a q --+-=⋅==⋅⋅，所以{}1n n a a +是首项为21a q ，公比为2q 的等比数列；D ．因为()()122221111n n n n n n n n a a q a q q q a a q q q a a a +-+++⎡⎤=++=++=++⋅⎣⎦，所以{}12n n n a a a ++++是首项为()211a q q ++，公比为q 的等比数列.故选：ACD. 【点睛】本题考查等比数列的判断，对学生的分析证明能力要求较高，难度一般.常用的判断等比数列的方法：通项公式法、定义法、等比中项法.12．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，下列各式中运算的结果为1AC uuu r的有( )A ．AB BC CD ++u u u r u u u r u u u rB ．11111AA BC DC ++u u u r u u u u r u u u u rC ．111AB C C BC -+u u u r u u u u r u u u u rD ．111AA DC B C ++u u u r u u u r u u u u r 【答案】BCD【解析】利用向量加法、减法以及向量的可平移性逐项进行化简计算即可得到结果. 【详解】A ．1A AB BC CD AD C ++=≠u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r，故错误；B ．11111111111AA BC DC AA A D DC AC ++=++=u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ，故正确； C ．1111111111AB C C BC AB CC BC AB BB BC AC -+=++=++=u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u u r ，故正确； D ．111111111AA DC BC AA A B BC AC ++=++=u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ，故正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查空间向量的化简运算，难度较易. 注意利用向量的可平移性进行化简运算.三、填空题13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(),n n S 在函数2()f x x x =-的图象上，则3a =________.【答案】4【解析】将点的坐标代入到()f x 中，求解出n S 的表达式，根据()12n n n a S S n -=-≥求解出n a ，即可求解出3a 的值. 【详解】因为(),n n S 在()f x 的图象上，所以2n S n n =-，所以()()()22111222n n n a S S n n n n n n -⎡⎤=-=-----=-≥⎣⎦，所以32324a =⨯-=.故答案为：4. 【点睛】本题考查根据n a 与n S 的关系求解{}n a 的通项公式，难度一般.根据1n n n a S S -=-求解数列通项公式时，注意*2,n n N ≥∈.14．在空间直角坐标系中，1(1)A t -,,，()20B t ,,，2(1,),C t -，若AB BC ⊥u u u r u u u r，则实数t 的值为________. 【答案】12【解析】先根据点的坐标得到,AB BC u u u r u u u r的坐标表示，再根据向量垂直对应的数量积为零计算出t 的值即可. 【详解】因为()()1,1,,1,0,2AB t t BC =+-=--u u u r u u u r ，且AB BC ⊥u u u r u u u r ，所以0AB BC ⋅=u u u r u u u r，所以120t -+=，所以12t =. 故答案为：12. 【点睛】本题考查根据空间向量的垂直关系求解参数，难度较易.已知()()111222,,,,,a x y z b x y z ==r r ，若a b ⊥r r，则有1212120x x y y z z ++=.15．若关于x 的一元二次不等式220ax bx a -+<的解集为(,1)m m + ，则实数ba的值为________. 【答案】±3 【解析】根据一元二次不等式解集的特点，计算出m 的值，然后将m 和1m +的值代入到对应的一元二次方程中即可得到,a b 的关系，从而可求ba的值. 【详解】因为220ax bx a -+<的解集为(),1m m +，所以()21am m a+=，所以2m =-或1m =，当1m =时，204220a b a a b a -+=⎧⎨-+=⎩，所以3b a =，所以3ba =，当2m =-时，422020a b a a b a ++=⎧⎨++=⎩，所以3b a =-，所以3ba =-，所以3ba=±. 故答案为：3±. 【点睛】本题考查根据一元二次不等式的解集求参数关系，难度一般.注意一元二次不等式解集的端点值是对应的一元二次方程的根.16．已知椭圆2222:1x y C a b+=(0a b >>)的焦点为1F ，2F ，如果椭圆C 上存在一点P ，使得120PF PF ⋅=u u u r u u u u r，且12PF F △的面积等于4，则实数b 的值为_______，实数a 的取值范围为_______.【答案】2 )⎡+∞⎣【解析】根据椭圆的定义以及勾股定理、12PF F △面积即可求解出b 的值；再根据120PF PF ⋅=u u u r u u u u r以及椭圆中x 的取值范围即可求解出a 的范围.【详解】因为120PF PF ⋅=u u u r u u u u r ，所以12PF PF ⊥，又因为122PF PF a +=，所以122221224PF PF a PF PF c⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，所以2122PF PF b ⋅=，又因为1212242PF FP S b PF F ⋅===V ，所以2b =；又因为120PF PF ⋅=u u u r u u u u r ，设(),P x y 且22214x y a+=，所以2220x c y -+=，所以2222440x x c a-+-=，所以222244a x c a -=-，所以()2222444a x a a-=--，又因为()2222280,4a a x a a -⎡⎤=∈⎣⎦-且2a >，所以28a ≥，所以)a ⎡∈+∞⎣. 故答案为：2；)⎡+∞⎣. 【点睛】本题考查椭圆的焦点三角形的面积求解以及根据椭圆方程中,x y 的范围求解参数范围，难度一般.其实，椭圆()222210x y a b a b+=>>上任意一点P （非左右顶点）与两焦点围成的焦点三角形的面积等于212tan2F PF b ∠.四、解答题17．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且47a =-，39S =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1()2nn n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =-+；（2）2112n nT n =-+-. 【解析】（1）根据34,S a 求解出等差数列的公差，再根据()n m a a n m d =+-即可求解出{}n a 的通项公式；（2）采用分组求和的方法分别对等差数列和等比数列进行求和，最后将结果相加即可. 【详解】（1）∵n S 是数列{}n a 前n 项和,且39S =- ∴239a =-，23a =- 又∵47a =- ∴427(3)2422a a d ----===-- ∴2(2)n a a n d =+-32(2)n =---21n =-+∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-+. （2）由（1）知2(1)(2)2n n n S n n -=-+-=- 令nS '是数列12n⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭的前n 项和∴11112211212n n nS '⎛⎫- ⎪⎝⎭==-- ∵12nn n b a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其前n 项和为n T ∴2112n n n nT S S n '=+=-+-. 【点睛】本题考查等差、等比数列的综合运用，难度较易.求解形如n n n a b c =+的前n 项和（{}n b 是等差数列，{}n c 是等比数列），注意采用分组求和的方法.18．已知抛物线2:2C y px =(0p >)经过点(1,2)A -，直线l 过抛物线C 焦点F 且与抛物线交于M 、N 两点，抛物线的准线与x 轴交于点B . （1）求实数p 的值；（2）若4BM BN ⋅=u u u u r u u u r，求直线l 的方程.【答案】（1）2；（2）10x y --=或10x y +-=.【解析】（1）直接将点的坐标代入到抛物线方程，即可求解出p 的值；（2）设出直线l 的方程，将直线方程与抛物线方程联立得到对应的韦达定理形式，将4BM BN ⋅=u u u u r u u u r改写成韦达定理形式即可求解出直线l 的方程.【详解】（1）∵抛物线C 过点()1,2- ∴2(2)21p -=⋅⋅∴2p =（2）抛物线C 为24y x =，焦点F 为()1,0，准线为1x =-∵抛物线准线与x 轴交于点B ，∴(1,0)B - ∵过焦点F 的直线l 与抛物线有两个交点.∴直线l 的斜率不为0，故设直线l 为1x my =+，设211,4y M y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，222,4y N y ⎛⎫⎪⎝⎭∴214x my y x=+⎧⎨=⎩，化简得：2440y my --=，∴121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩ ∵4BM BN ⋅=u u u u r u u u r ，∴2212121,1,444y y y y ⎛⎫⎛⎫+⋅+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭变形得：()21121212222()3164y y y y y y y y +-++=即21681434m +-+=，解得1m =±故直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=. 【点睛】本题考查抛物线方程的求解以及根据坐标的韦达定理形式求解直线方程，难度一般.直线与圆锥曲线的综合问题中，若出现向量数量积运算，可优先考虑利用坐标的韦达定理形式解决问题.19．如图，在四棱锥—S ABCD 中，底面ABCD 是矩形，SA ⊥平面ABCD ，2AD SA ==，1AB =，点E 是棱SD 的中点.（1）求异面直线CE 与BS 所成角的余弦值；（2）求二面角E BC D --的大小. 【答案】（1）15；（2）4π.【解析】（1）建立空间直角坐标系，根据两条直线方向向量的夹角的余弦值求解出异面直线所成角的余弦值；（2）利用平面法向量夹角的余弦值结合具体图形，即可计算出二面角E BC D --的大小. 【详解】（1）以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示：则(0,0,2)S ，(0,2,0)D ，点E 为SD 中点，则(0,1,1)E ，(1,2,0)C∴(1,1,1)CE =--u u u r∵(1,0,0)B ，∴(1,0,2)BS =-u u u r设异面直线CE 、BS 所成角为θ∴||cos ||||CE BS CE BS θ⋅===⋅u u u r u u u ru u u r u u u r ∴异面直线CE 与BS所成角的余弦值为5；（2）设平面EBC 的法向量()1111,,n x y z =u r ，(0,2,0)BC =u u u r ，(1,1,1)CE =--u u u r则1111200y x y z =⎧⎨--+=⎩，令11x =，得111101x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴1(1,0,1)n =u r取平面BCD 的一个法向量2n AS =u u r uu r ，求得2(0,0,2)n =u u r∴122121cos ,2n n n n n n ⋅<===⋅>u u r r ru u r u r u r ∴法向量11,n n u r u r的夹角为4π. 即二面角E BC D --的大小为4π. 【点睛】本题考查利用向量法求解异面直线所成角以及二面角，难度一般.（1）向量法求解异面直线所成角时，注意异面直线所成角的余弦值等于直线方向向量所成角余弦值的绝对值；（2）向量法求解二面角的大小时，平面法向量夹角的余弦值不一定等于二面角的余弦值，需要结合具体图形判断.20．随着中国经济的腾飞，互联网的快速发展，网络购物需求量不断增大.某物流公司为扩大经营，今年年初用192万元购进一批小型货车，公司第一年需要付保险费等各种费用共计12万元，从第二年起包括保险费、维修费等在内的所需费用比上一年增加6万元，且该批小型货车每年给公司带来69万元的收入. （1）若该批小型货车购买n 年后盈利，求n 的范围；（2）该批小型货车购买几年后的年平均利润最大，最大值是多少？【答案】（1）()4,16 n *∈N ；（2）该批小型货车购买8年后的年平均利润最大，最大值是12.【解析】（1）列出利润的表达式，盈利则利润大于零，由此求解出n 的取值范围；（2）列出平均利润的表达式，利用基本不等式求解出平均利润的最大值. 【详解】（1）由题意得：(1)6919212602n n n n ----⋅> 化简得：220640n n -+< 解得：416n <<，答：该批小型货车购买n 年后盈利，n 的范围为()4,16,且n *∈N （2）设批小型货车购买n 年后的年平均利润为y则2360192643()6032646012n n y n n n-+-==-++≤-⨯+=当且仅当8n =时取“=”，答：该批小型货车购买8年后的年平均利润最大，最大值是12. 【点睛】本题考查二次函数模型以及基本不等式的实际应用，难度一般.解答问题的关键是能通过题意列出对应的表达式，同时在利用基本不等式求解最值时注意说明取等号的条件.21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的离心率为32，焦距为23.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若M 是椭圆C 上一点，过点O 作OM 的垂线交直线23y =N ，设OM 的斜率为k (0k ≠).求证：2211OM ON +为定值. 【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析. 【解析】（1）根据离心率以及焦距先求解出,a c 的值，然后即可求解出22,a b 的值，从而C 的方程可求；（2）设出直线OM 的方程，根据点到点的距离公式表示出2OM ，再根据斜率的关系亦可表示出2ON ，由此可判断出2211OM ON+为定值. 【详解】（1）∵∴c a =∵椭圆的焦距为∴2c =c =2a =∴2222221b a c =-=-=∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=；（2）∵OM 的斜率为k ，∴设直线OM 为y kx =.2244x y y kx ⎧+=⎨=⎩，求得：22414x k =+∴M OM ==∴()2224114k OM k +=+∵ON OM ⊥，∴1ON k k=-∴3N ON y ==，∴()22413k ON +=∴()()()222222214344141141114k k k k k OM ON ++=+==++++ ∴2211OM ON+为定值1. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解以及椭圆中的定值问题，对学生的的分析和计算能力要求较高，难度一般.求解椭圆方程的两种思路：（1）根据椭圆的定义求解方程；（2）根据,,a b c 的值求解椭圆方程.22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n S a =-(N n *∈). （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若对任意的N n *∈，不等式1()15n n n a a λ+-+≤恒成立，求实数λ的最大值.【答案】（1）2nn a =；（2）278. 【解析】（1）由22n n S a =-写出1n -时对应的等式，两式作差即可证明{}n a 为特殊数列，由此求解出{}n a 的通项公式；（2）将不等式1()15n n n a a λ+-+≤采用分离参数的方法分离出λ，由此得到λ与关于n 的式子的大小关系，通过数列的单调性可分析出关于n 的式子的最值，即可求出λ的范围. 【详解】（1）∵22n n S a =-① ∴1122(2)n n S a n --=-≥② ①-②得122n n n a a a -=-，即12nn a a -= ∴当2n ≥时，数列{}n a 是等比数列 ∵11122S a a =-=，∴12a = ∵221222S a a a =-=+，∴24a = ∴212a a =，即当1n =时，符合等比数列 ∴当*N n ∈时，{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列∴111222n n nn a a q --=⋅=⋅=；（2）要使1()15n n n a a λ+-+„恒成立，则1()2215n nn λ+-⋅+„，参变分离得1min15122n n λ+⎛⎫+- ⎪⎝⎭„ 令115122n n b n +=+-，∴212215215122n n n n n b b ++++--=-= ∴当2n ≥时，10n n b b +->，即1n n b b +> 当1n =时，10n n b b +-<，即21b b <.∴1234n b b b b b ><<<<<L L ∴当2n =时，n b 有最小值为278. ∴278λ…∴实数λ的最大值为278. 【点睛】本题考查根据()12n n n S S a n --=≥求解{}n a 的通项公式以及根据数列单调性求解参数最值，难度一般.（1）数列{}n a 的单调性的证明方法：将1n n a a +-的结果与0比较大小，若大于零，则是递增数列，若小于零，则是递减数列.；（2）数列求通项时若出现了1n -的下标则需要标注2n ≥，要注意验证1n =是否符合条件.。

2019—2020年最新苏教版高二数学上学期期末考试学情检测及答案解析.docx

（新课标）2019—2020学年苏教版高中数学必修三高二上学期期末复习检测一．填空题.（每题5分，共70分）1.已知直线032=+-y x l ：则点 P(1,-1)在直线的_________方.（填上、下）2.函数)0(1)(>+=x xx x f 的最小值为___________ 3.若命题“q p ∧”为假命题，“p ⌝”也为假命题，则命题“q p ∨”的真假性为________4.函数ex e x f x -=)(的单调增区间为_______________5.命题p ：x > 1，命题q ：01>-xx 则p 是 q 成立的 __________________条件。

6.若x ≥0，y ≥0，2x+3y ≤100，2x+y ≤60，则z = 6x+4y 的最大值是 ___________7.已知抛物线x y 82=的准线过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则双曲线的方程为___________8.若命题”使“01)1(,2<+-+∈∃x a x R x 是假命题，则实数a 的取值范围是_____________9.已知函数a x x x x f +--=23)(的图像与x 轴仅有一个交点，则a 的取值范围为________ 10. 已知命题:p 函数2lg(21)y ax ax =++的值域是R ，命题:q 2321ax ax a +++的定义域为R ，若p q ∧为真命题，则实数a 的取值集合为11.已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 与双曲线1322=-y x 的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点 A 在抛物线上且 AF AK 2=,则AFK ∆的面积为12.在]2,21[上，函数q px x x f ++=2)(与函数212)(xx x g +=在同一点处取得相同的最小值，那么函数f(x)在]2,21[上最大值是______________13. 若ABC ∆为锐角三角形，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足2sin()4a B c π+=，则s i n s i n B C 的取值范围是 14.若点 P ，Q 分别在函数x e y =和函数x y ln =的图像上，则P 与Q 两点间的距离的最小值是___________二．解答题.(共90分，前3题每题14分，后3题每题16分)15(1)已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，求1x ＋1y的最小值； (2)当x >0时，求f (x )＝2xx 2＋1的最大值．(1)∵x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y ＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2x y 时，取等号．(2)∵x >0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号．16.已知)0(0120208222>≤-+-≤--m m x x q x x p ：，：，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围。

精品解析：江苏省2019-2020学年高二上学期期末数学试题(解析版)

P 使 PA1 2c, PA2 2c 2a ，此时 PF1F2 为等腰三角形，
也且仅有一个点 P 使 PA2 2c, PA1 2c 2a ，此时 PF1F2 为等腰三角形，同理可得第二三四象限每
个象限也有且仅有两个点，一共八个，
所以 C 是真命题；
0
A1PA2 2
F1PF2 2
2
，根据焦点三角形面积的二级结论 SPF1F2
A. PA1 PA2 2a
B.
直线
PA1,
PA2
的斜率之积等于定值
b2 a2
C. 使得 PF1F2 为等腰三角形的点 P 有且仅有 8 个
b2 D. PF1F2 的面积为 tan A1PA2
2
【答案】BC 【解析】【分析】结合双曲线的几何性质和常见二级结论推导即可得解.
【详解】在 A1PA2 中，两边之差小于第三边，即 PA1 PA2 A1A2 2a ，所以 A 不是真命题；
1(a＞b＞0) 的离心率为
3 ，过右焦点 F 且斜率为 k(k＞0) 的直线与 C 相交于 2
A、B 两点．若 AF 3FB ，则 k
A. 1
B. 2
C. 3
D. 2
【答案】B
【解析】
因为 e c a
3 ，所以 c 2
3 2
a ，从而 b2
a2
c2
a2 4
，则椭圆方程为
x2 a2
+
4y2 a2
9.若 a 0,b 0, a b 2 ，则下列不等式,其中正确的有（）
A. ab 1
B. a b 2
C. a2 b2 2
【答案】ACD 【解析】【分析】
D. 1 1 2 ab

江苏省南京市秦淮中学2019-2020学年高二下学期期末模拟（三）数学试题

南京市秦淮中学2019~2020学年第二学期高二数学期末模拟检测试卷（三）试题时间：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

1.已知集合{}{}0,1,2,3,4,2,3,5,A B ==则A ∩B = ( ) A. {}0,2,4 B. {}2,3 C. {}1,3,5 D. {}0,1,2,3,4,52.已知(,)a bi a b +∈R 是11ii-+的共轭复数，则a b += ( ) A.1- B.12- C.12D.13.设向量(1,1)=a ，(1,3)=-b ，(2,1)=c ，且()λ-⊥a b c ，则λ= ( )A.3B.2C.2-D.3-4.101()x x-的展开式中4x 的系数是 ( )A.210-B.120-C.120D.2105．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“一百八十九里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其大意为：“有一个人共行走了189里的路程，第一天健步行走，从第二天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地.”则该人第一天行走的路程为 ( )A ．108里B ．96里C ．64里D ．48里 6．为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站在春节、元宵节、清明节、端午节、中秋节五个中国传统节日中，随机选取两个节日来讲解其文化内涵，那么春节和端午节恰有一个被选中的概率是（） A.310 B. 25 C. 35D.710 7．已知函数f (x )的定义域为R ．当x <0时，3()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=-，则f (6)= ( ) A ．−2 B ．−1C ．0D ．28．设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是( )A ．25B ．246+C ．27+D ．26二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省南京市秦淮中学2019-2020学年高二下学期期末模拟(一)数学试题 Word版含答案

南京市秦淮中学2019~2020学年第二学期高二数学期末模拟检测试卷（一）时间：120分钟满分：150分一、单项选择题：共8小题,每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上. 1.“x <0”是“ln（x ＋1）〈0”的（ )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2。

设函数21y x =-的定义域A ，函数3x y =的值域为B ，则A B =（）A. (0,1)B. (0,1]C. [1,1]-D. (0,)+∞3.某单位为了解用电量y （度）与气温x （℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了统计表:由表中数据得到线性回归方程ˆ260yx =-+，那么表中m 的值为（）气温x （℃） 1813 10 -1 用电量y（度）2434 m 64 A 。

40 B 。

39 C 。

38 D. 374.某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布2(105,)(0)N σσ>，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的15,则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（）A 。

150B 。

200 C. 300 D 。

4005。

函数()e e ||--=x x f x x 的图像大致为（） A 。

B 。

C 。

D 。

6.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且939S S =，则{}n a 的通项公式可能是( ）A 。

22n a n =+B 。

22n a n =- C. 21n a n =+ D. 21n a n =-7。

已知O 是ABCD 的两条对角线的交点．若DO AB AC λμ=+，其中,λμ∈R ，则:=λμ( ）A. -2B. 2C. 12- D 。

2019—2020年最新苏教版高二数学上学期期末模拟检测试题及答案解析.docx

（新课标）2018-2019学年苏教版高中数学必修二第一学期期末高二数学测试四一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．椭圆221123x y +=的焦距是 .2．以圆x 2 + y 2 = 4上点(1，3)为切点的圆切线方程是 .3.若方程132222=-+-k y k x 表示的图形是双曲线，则k 的取值范围为． 4．已知椭圆192522=+y x 上一点M 到左焦点1F 的距离是2，则M 到右准线的距离为 5．曲线33+-=x x y 在点)3,1(P 处的切线方程为． 6.函数x xe x f =)(的单调增区间为．7．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径之比为1：2，母线长为6cm ，则圆锥的母线长为 cm ． 8．函数x x x f sin 21)(-=在区间[0，π]上的最小值为． 9．已知函数x x mx x f 2ln )(2-+=在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为 10. 已知定义域为R 的函数()f x 满足(1)3f =，且()f x 的导数()21f x x '<+，则不等式2(2)421f x x x <++的解集为 .11.圆2221:4440C x y ax a +++-=和圆2222:210C x y b yb +-+-=相内切，若,a b R ∈，且0ab ≠，则2211a b+的最小值为 _ ________ ． 12.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是DD 1的中点，ABCDD 1A 1B 1C 1M则下列结论正确的是（填序号） ①线段A 1M 与B 1C 所在直线为异面直线； ②对角线BD 1⊥平面AB 1C ； ③平面AMC ⊥平面AB 1C ； ④直线A 1M//平面AB 1C.13.在直角坐标系中，已知()()1,0,1,0A B -，点M 满足2MAMB=，则直线AM 的斜率的取值范围为．14．如图：设椭圆()012222>>=+b a b y a x 的左，右两个焦点分别为21,F F ，短轴的上端点为B ，短轴上的两个三等分点为Q P ,，且Q PF F 21为正方形，若过点B 作此正方形的外接圆的切线在x 轴上的一个截距为423-，则此椭圆方程的方程为．二．解答题（本大题共6小题，共计90分）15．如图，在四面体ABCD 中，CD CB =，BD AD ⊥，点E ，F 分别是AB ，BD 的中点．(1) EF ∥平面ACD(2)求证：平面EFC ⊥平面BCD ；(3)若平面ABD ⊥平面BCD ，且1===BC BD AD ，求三棱锥ADC B -的体积．16．设函数3()65,f x x x x R =-+∈（1）若关于x 的方程()f x a =有三个不同实根，求实数a 的取值范围；（2）已知当(1,)x ∈+∞时，()(1)f x k x ≥-恒成立，求实数k 的取值范围。

精品解析：江苏省2019-2020学年高二上学期期末数学试题(原卷版)

3
19．近年来，某企业每年消耗电费约 24 万元，为了节能减排，决定安装一个可使用 15 年的太阳能供电设
备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费(单位：万元)不太阳能电池板的面积(单位：平方米)
成正比，比例系数约为 0.5．为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在
此模式下，安装后该企业每年消耗的电费 C (单位:万元)不安装的这种太阳能电池板的面积 x (单位:平
A．充分丌必要条件
B．必要丌充分条件
D． 12
C．充要条件
D．既丌充分也丌必要条件
5．已知 x 0 ， y 0 ，z
0
，且
y
4
z
1 x
1
，则
x
y
z
的最小值为(
)
A． 8
B． 9
C． 12
D． 16
6．关于 x 的丌等式 2ax2 ax 3 0 对一切实数 x 都成立，则 a 的取值范围是( ) 8
an
Sn n
2(n
1)(n
N
)
，则数列
S
n
1
3n
的前
10
项的
和是( )
A． 290
B． 9 20
C． 5 11
D． 10 11
二、多选题：(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分，请将答案写在答题卡相应位置上．)
9．若 a 0,b 0, a b 2 ，则下列丌等式，其中正确的有( )
2019—2020 学年第一学期高二期末考试数学模拟试题
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分，请将答案写在答题卡相应位置上．
1．丌等式 x2 2x 3的解集是

江苏省南京市秦淮中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题Word版含解析

应选：C．
【点睛】此题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于根底题．
，且，那么的最小值是
A. B. C. D.
【答案】D
，应用根本不等式求最值.
【详解】∵x＞0，y＞0，且9x+y=1，
∴
当且仅当时成立，即时取等号.
应选D.
【点睛】此题考查了应用根本不等式求最值；关键是注意“1〞的整体代换和几个“=〞必须保证同时成立.
【解析】
【分析】
〔1〕先设等差数列的公差为，根据题中条件列出方程组，求出首项和公差，结合公式即可求出结果；
〔2〕先由〔1〕得到，或，再由错位相减法或常数列求和，即可求出结果.
【详解】〔1〕设等差数列的公差为，因为，且成等比数列，
所以有，即，解得或，
所以，；或， .
〔2〕由〔1〕可得，或的前项和为，
【答案】BCD
【解析】
【分析】
由椭圆的定义和题设条件，求得，再在中，结合三角形的性质，得到，求得离心率的范围，即可求解.
【详解】由椭圆的定义，可得，又由，解得，
又由在中，，可得，所以，
即椭圆的离心率的取值范围是 .
应选：．
【点睛】此题主要考查了椭圆的离心率的求解，其中解答中熟练椭圆的离心率的概念，合理应用椭圆的定义和三角形的性质，得到关于的不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
由椭圆定义有，由双曲线定义有，
那么，
即，
又，那么，
即，
所以，
即 2，
故答案为：2.
【点睛】此题考查了椭圆及双曲线的定义，重点考查了离心率的求法，属中档题.

江苏省南京市秦淮中学2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题美术班含解析

综上所述, 或。
【点睛】本题考查等比数列通项的求解，同时也考查了等差数列求和，第(2）问不要忽略了公差为零的讨论，涉及等差数列和等比数列基本量的应用，考查计算能力，属于基础题。
19.已知关于的一元二次不等式。
(1)若不等式的解集为，求实数的值；
（2）若不等式的解集中恰有三个整数，求实数的取值范围.
【答案】ACD
【解析】
【分析】
利用基本不等式可判断出各选项的正误.
【详解】由于，，，
由基本不等式得，
，
,
，
上述不等式当且仅当时，等号成立。
故选：ACD.
【点睛】本题考查利用基本不等式判断不等式的正误，考查推理能力,属于基础题.
11。对于任意非零向量， ,以下说法错误的有（）
A. 若，则
(2)不等式即为 .
①当时,原不等式的解集为，则解集中的三个整数分别为、、，此时；
②当时，原不等式的解集为，则解集中的三个整数分别为、、 ,此时。
综上所述，实数的取值范围是 .
【点睛】本题考查利用一元二次不等式的解集以及解集中的整数解求参数，考查分类讨论思想的应用，属于中等题。
14.已知数列满足，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】
令求得的值，令，由题干中的等式得出 ,两式相减可得，再对是否满足在时的表达式进行检验，综合可得出数列的通项公式.
【详解】对任意， .
当时，则有；
当时， ,
则 ,
两式相减得，解得 .
满足，因此，对任意的， .
故选：BD。
【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，涉及椭圆定义和性质的应用，求出椭圆离心率的取值范围是解答的关键，考查计算能力，属于中等题。

2019-2020年高二上学期期末考试数学试题(艺术班)

注意事项：1、本试卷共160分。

考试时间120分钟。

2、答题前，考生务必将学校、姓名、准考证号写在答题纸的对应位置。

答案写在答题纸上对应题目的横线上。

考试结束后，请交回答题纸。

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）. 1．经过点M (2,1)-，N (1,3)-的直线的斜率为 ▲ 2．命题“2,0x R x x ∃∈+≤”的否定是 ▲ ．3．经过点（－2，3），且与直线250x y +-=垂直的直线方程为 ▲ ．4. 设1:>x p ，1:≥x q ，则p 是q 的 ▲ 条件. (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) 充分不必要5．若函数3)(x x f =，导函数值3)(0='x f ，则正数0x 的值为 ▲ ． 6．双曲线1222=-y x 的渐近线方程是_▲_7. 函数3323++-=x x y 的单调增区间是 ▲ ．8．以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为 ▲ ．9. 与双曲线11322=-y x 共焦点且过点()3,32的椭圆方程为 ▲ ． 10. 已知m n 、是不重合的直线，αβ、是不重合的平面，有下列命题：①若,//n m n αβ=，则//,//m m αβ；②若,m m αβ⊥⊥，则//αβ；③若//,m m n α⊥，则n α⊥； ④若,m n αα⊥⊂，则.m n ⊥ 其中所有真命题的序号是．11．直线250x y -+=与圆228x y +=相交于A 、B 两点，则AB ∣∣= ▲ ．12．函数)(x f 的定义域为开区间()b a ,，导函数．．．)(x f '在()b a ,内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间()b a ,内的极小值．．．点的个数为 ▲ 个.aobyx)(x f y '=13. 已知圆22x y m +=与圆2268110x y x y ++--=相交，则实数m 的取值范围为_ ▲_ ．14. 椭圆22162x y +=和双曲线2213x y -=的公共焦点为P F F ,,21是两曲线的一个交点, 那么21c o s PF F ∠的值是 ▲ 31-二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）.15．（本小题满分14分）已知直线1l ：(2)(3)50m x m y +++-=和2l ：6(21)5x m y +-=。

南京市秦淮中学2019～2020学年高二下期末测试学生版

（1）求函数 f x 的单调递增区间；
（2）证明：当 x 1时， f x x 1；（3）确定实数 k 的所有可能取值，使得存在 x0 1，当 x (1, x0 ) 时，恒有 f x k x 1 ．
A．函数 f x 存在两个不同的零点
B．函数 f x 既存在极大值又存在极小值
C．当 e k 0 时，方程 f x k 有且只有两个实根
D．若
x t, 时，
f
x
max
5 e2
，则 t
的最小值为 2
12．如图，将边长为 2 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起，得到三棱锥 A1 BCD ，则下列命题中，正确的
，则结论不成立的
A．点 4
,
0
是
y
f (x) 的一个对称中心
B．直线 x 是 y f (x) 的一条对称轴 4
C．函数 y f (x) 的最小正周期是 2
D．函数 y f (x) 的值域是 [0, 2]
10．某城市收集并整理了该市 2019 年1月份至10 月份各月最低气温与最高气温(单位： C )的数据，绘制了下面
an
，求数列
1 bn
的前
n
项和 Tn
.
18．（10 分） ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a, b, c ，已知 a sin A C b sin A ． 2
（1）求 B ；
（2）若 ABC 为锐角三角形，且 c 1，求 ABC 面积的取值范围．
19．（12 分）已知矩形 ABCD ，PA 面 ABCD ，M , N 分别是 AB, PC 的中点，设 AB 6 ，PA BC 4 ．（1）证明： MN AB ；（2）求二面角～2020 学年高二下期末测试

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