七年级数学垂线
七年级下册数学垂直知识点
七年级下册数学垂直知识点在数学中，垂直是一种常见的概念，也是我们学习数学必须熟悉的知识点。
在七年级的下册数学中，垂直知识点是一个非常重要的内容。
本文将介绍七年级下册数学中的垂直知识点，让同学们能够更好地理解和掌握这一知识点。
1. 垂线的概念垂线是指从一个点到一条直线或平面的距离最近的线段。
用符号⊥表示。
在图形中，垂线通常用虚线表示。
需要注意的是，一条直线或平面可以有无数条垂线。
2. 平行线和垂直线的关系平行线是指一直线与另外一条直线在同一平面上，但不相交的直线。
而垂直线则是指两条直线或线段之间成90度角的情况。
在平面几何中，当两条直线相交时，它们互为垂线。
因此，平行线和垂直线是互不相容的概念。
3. 垂直平分线垂直平分线是指一个线段的中垂线，它是将这个线段平分并垂直于线段的一条直线。
垂直平分线可以能够将一个线段分成相等的两部分，并且它们互相垂直。
4. 垂线的性质垂线有一些特殊的性质，这些性质对于理解垂线的概念和运用垂线进行计算是非常有帮助的。
- 垂线的长度：垂线的长度等于点到垂线所在的直线或平面的距离。
- 垂线的斜率：垂线的斜率是与被垂线的直线或平面的斜率相反的倒数。
- 垂线的平方：当垂线从一个点到另一个点垂直时，它的平方是两个点之间的距离的平方。
5. 垂线的应用垂线在实际生活中有着广泛的应用。
例如，在建筑设计中，垂线被广泛地用来检查建筑的垂直性和水平性。
在地图制图中，垂线被用来确定两个点之间的最短距离。
在数学中，垂线也是解决几何问题的重要工具。
总之，在七年级下册数学中，垂直知识点是数学学习过程中的一个必备知识点。
通过学习垂直知识点，同学们能够更好地理解和应用数学概念，提高自己的数学成绩。
七年级垂线的知识点
七年级垂线的知识点
在初中数学中，垂线是一个非常重要的概念。
在三角形学习中，垂线的概念更是不可或缺。
本文将介绍七年级垂线的知识点。
1. 垂线的定义
垂线是指从一条线段上的一点向另一条线段垂直地作出的一条
线段。
2. 垂线的性质
(1)一条直线与垂线相交时，交点处的角度为90度。
(2)两条直线互相垂直时，它们的斜率的乘积为-1。
3. 高的概念
在三角形中，垂足到对边所作的垂线段叫做高。
4. 高的性质
(1)三角形的三条高交于一点，它叫做垂心。
(2)垂心是外心、重心和内心之一。
5. 勾股定理与垂线
在直角三角形中，斜边上到直角的垂线即为斜边上的高。
6. 解决问题的步骤
(1)画图，标明已知和所求信息。
(2)根据所求信息和已知条件，尝试通过不同的方法进行解决。
(3)总结解题过程，检查答案的合理性。
7. 例题
已知直角三角形ABC中，AB=5cm，BC=12cm，求垂线AD和三角形的面积。
（其中D为BC上的垂足）
解：首先，我们可以根据勾股定理求出AC的长度为13cm。
然后，根据垂线的性质，可以得出BD=9cm。
最后，根据三角形面积公式，求出三角形ABC的面积为30cm²。
总结
在初中数学中，垂线是一个重要的概念。
掌握垂线的定义、垂线的性质、三角形高的概念和性质以及解决问题的方法，不仅能够帮助我们更好地掌握初中数学的知识体系，也能够在实际问题中起到较好的指导作用。
七年级数学下册 第五章《垂线》精品课件 人教版
B
∴ ∠EOD＝∠EOB+∠BOD
＝90°+75°
D
＝165°
达标测评 3. △ABC中，∠C=90°， △ABC的三条边
AB、BC、CA哪条边最长？为什么？
A
C
B
布置作业
教材8页习题5.1第5、6题．
谢谢观看！
（5）线段AB的长度是点B到AC的距离； （6）线段AB是点B到AC的距离.
其中正确的有（ B ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
达标测评
2.如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB， ∠1=75°,求∠EOD的度数.
解: ∵ AB⊥OE （已知）,
CE
∴ ∠EOB＝90°(垂直的定义).
1(
∵∠BOD＝∠1＝75°(对顶角相等）A O
探究1 取两根木条a、b，将它们钉在一起，固定木条a，
转动木条b． （2）当a与b所成角α为90 º时，其余角的分别为多少？
均为90º
探究1
AB ⊥CD，垂足为O．
或AB ⊥CD于点Ｏ．
符号语言 ∵∠AOC＝900 ∴ AB ⊥CD
∵AB ⊥CD ∴ ∠AOC＝900
垂直概念：两条直线相交所成的四个角中，有
的垂线可以
BD是过点B的直
画几条？
线l 的垂线.
探究2
垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条 直线与已知直线垂直．
练习3
过点Ｐ画出射线AB或线段AB的垂线．
AP B
P B A
探究3
在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖
掘能使渠道最短？ 你能把这个
问题转化为数学
问题吗？画图试
七年级下册数学垂线的画法知识点
七年级下册数学垂线的画法知识点在数学学习中，垂线是一个十分重要的概念。
垂线的作用不仅包括求解图形性质和计算各种长度，还可以帮助我们提高思维能力，培养专注和细致的态度。
在这篇文章中，我们将重点讨论七年级下册数学中垂线的画法知识点。
一、垂线和垂线段的定义垂线是指从一个点到直线上的一条线段，这条线段与直线垂直。
垂线段则是指从一个点垂直于一条线段的线段，它在线段上的垂足上。
二、垂线的画法1. 从一点画垂线假设有一点P和一条直线AB，现在我们需要从点P画一条垂线。
这个问题的解决方法有很多，最常见的就是使用圆规和直尺。
具体步骤如下：（1）用直尺把线段PA和PB连接起来，得到线段AB；（2）圆规的脚尖放在点P上，圆规的长度稍大于AB这条线段的长度；（3）在圆规上取一个点Q，使得圆规上的距离等于AB这条线段的长度；（4）以点Q为圆心，以AB的长度为半径作圆；（5）这个圆与直线AB的交点C和D即为P点作垂线所在的两个点。
2. 从一条线段上画垂线如果我们需要从一条线段上作垂线，我们同样可以使用圆规和直尺。
具体步骤如下：（1）先画出这条线段；（2）圆规的脚尖放在线段的一个端点上，圆规的长度稍大于线段的长度；（3）在圆规上取一个点Q，使得圆规上的距离等于这条线段的长度；（4）以另一个端点为圆心，以刚刚取出的Q点为半径作圆；（5）这个圆与线段的交点即为线段上作垂线所在的点。
三、垂线的性质1.相交垂线的交点是这两条直线的垂心垂线与直线相交时，如果从垂足所在的点沿着直线画出一条水平线，则直线被分为了两部分。
两条相交的垂线和水平线形成了一个直角三角形，其中的交点就是直线的垂心。
2. 垂线上的点到直线的距离相等在线段上作一个垂线，垂足即是垂线与直线的交点。
这个垂足与直线的距离被称为垂线长，它所代表的距离就是从垂足到直线的距离，同时，这个距离与直线上任意一点到直线的距离相等。
四、垂线的应用1. 求解三角形通过画出三角形的垂心和垂线，我们可以求解三角形的重心、外心、内心等相关性质。
人教版七年级数学下册《垂线》课件ppt
＝180°－40°＝140°， ∠MOC＝∠BON＝40°. ∵AO⊥BC， ∴∠AOC＝90°， ∴∠AOM＝∠AOC－∠MOC＝90°－40°＝50°， ∴∠NOC＝140°，∠AOM＝50°.
垂线的画法及基本事实
如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为O.
符号语言：
①判定：∵∠AOD=90°,（已知） ∴AB⊥CD.（垂直的定义）
A
D
反之，若直线AB与CD垂直,垂足为O，则∠AOD=90°.
O
符号语言：
C
B
②性质：∵ AB⊥CD ,（已知）
∴ ∠AOD=90° .（垂直的定义） (∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°)
A.4
B.3
C. 2
D. 1
(1)如图1，若直线m、n相交于点O,∠1＝90°,则m⊥n；
(2)若直线AB、CD相交于点O，且AB⊥CD，则∠BOD =___9_0_°_； (3)如图2，BO⊥AO，∠BOC与∠BOA的度数之比为1∶5，那么∠COA＝_7_2_°_, ∠BOC的补角为 162°.
条? 一条
B
l
垂线的性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
注意： 1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外； 2.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性.
点到直线的距离
如图，从A点向已知直线 l 画一条垂直的线段和几条不垂直的线段.
下面四种判定两条直线的垂直的方法，正确的有（ A ）个
人教版数学七年级下册5.1.2垂线 课件
感悟新知
例 1 如图5.1-11，直线AB，CD 相交于点O，OE ⊥ AB 于 点O，且∠ COE=40°，求∠ BOD 的度数. 解题秘方：利用垂直的定 义及对顶角的性质，将要 求的角向已知角转化.
感悟新知
解：因为OE ⊥ AB， 所以∠ AOE=90°. 又因为∠ AOE= ∠ AOC+ ∠ COE，∠ COE=40°， 所以∠ AOC=90°－40°=50°. 所以∠ BOD= ∠ AOC=50°
所以AC·BC=AB·CD，进而可得CD=2.4 cm.
感悟新知
(2)点P 为直线m 外一点，点A，B，C 为直线m 上的三点，
PA=4 cm，PB=5 cm，PC=2 cm，则点P 到直线m 的距
离( D )
A. 等于4 cm
B. 等于2 cm
C. 小于2 cm
D. 不大于2 cm
感悟新知
解题秘方：根据点到直线的距离的定义，找出垂线段. 解：点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的 长度，而垂线段是该点与直线上各点的连线中最短 的. 从条件看，PC是三条线段中最短的，但不一定 是所有连线中最短的，所以点P 到直线m 的距离应 该是不大于2 cm.
感悟新知
1-1. [中考·河南] 如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥ CD，垂足为O，若∠ 1=54°，则∠ 2 的度数为( B ) A. 26° B. 36° C. 44° D.54°
感悟新知
例2 将一张长方形纸片按如图5.1-12 所示方式折叠，EF， EG 为折痕，判断EF 与EG 的位置关系. 解题秘方：利用折叠的性 质求出两线的夹角，根据 夹角是90°判断两条直线 的位置关系.
1. 垂线段：
特别解读 垂线、垂直与垂线段之间的区别与联系： 1. 区别：垂线是一条与已知直线垂直的直线；垂
人教版七年级数学下《垂线》知识全解
《垂线》知识全解课标要求1．理解垂线、垂线段等概念，能用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线；2．理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离；3．识别同位角、内错角、同旁内角．知识结构内容解析1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中有一个角是90°时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线．2．垂线的性质一：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．3．点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．注意：垂线是一条直线，而垂线段是一条线段．4．垂线的性质二：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．（垂线段最短）5．同位角、内错角、同旁内角（1）同位角：①位于两条被截直线AB、CD的同方；②在第三条直线EF的同侧．（2）内错角：①位于两条被截直线AB、CD的内部；②在第三条直线EF的两侧．（3）同旁内角：①位于两条被截直线AB、CD的内部；②在第三条直线EF的同侧．注意：（1）同位角、内错角、同旁内角都是成对出现的．（2）两条直线被第三条直线所截中共有4对同位角、2对内错角、2对同旁内角．重点难点本节的重点是：两条直线互相垂直的概念、性质和画法；点到直线的距离的概念及其简单应用．理解同位角，内错角，同旁内角的概念是本节的重点本节的难点是：对点到直线的距离的概念的理解．在“三线八角”中，学生不易分清角的类别，所以正确识别同位角，内错角，同旁内角是本节的难点教法导引在本节的教学中过程中要借助模型、实物、图形及计算机等学习手段使学生得到直观的感性认识，进而在感知的基础上进行抽象知识的学习，这样才能有助于培养逻辑思维的能力，同时应鼓励学生多观察、多动手、勤思考增强学生学习几何知识的兴趣．在本节的概念和相关结论的教学中，应结合图形去讲解并通过画图、度量等实践活动，让学生理解知识．教学中应继续渗透数形结合、转化、分类等数学思想方法．教学中要注意与以前学生学习过的相关知识进行衔接，比如在垂线段最短的教学中可以把上学期所学的“两点之间线段最短”的知识进行对比．教学中让学生把所学知识用准确、精炼的几何语言表述出来，同时还要注意培养学生的识图能力．学法建议学习中应结合具体实例深刻掌握垂线、点到直线的距离、同位角、内错角、同旁内角的概念，深刻理解垂线的两个性质，并且能够运用垂线的性质来解释生活中的具体实例，例如如何开挖沟渠能使输水管道最短的问题．本节的易错点是混淆垂线和垂线段，大家只要记住垂线是一条直线，垂线段是一条线段就能把他们区别了．本节的一个难点是“三线八角”中判断两个角的关系．解答此类问题把握以下两个方面即可：（1）要弄清楚每对角与哪三条直线有关，第三条直线就是这两个角的公共边所在的直线，另两条直线是角的另两边；（2）当图形比较复杂时，把这两个角有关的三条线画出来，注意图形的结构特点．。
七年级数学垂线知识点
七年级数学垂线知识点数学中的垂线是指与另一条直线或平面相交且所交的角度为90度的线段。
在七年级数学中，垂线是一个重要的知识点，应该掌握其定义、性质、应用以及解题方法等方面的知识。
一、垂线的定义和性质定义：垂线是指从点到一条直线或平面所引下的线段，且该线段与直线或平面相交的角度为90度。
性质：（1）垂线是最短的线段；（2）两条互相垂直的线段的乘积相等；（3）垂线可以将一个角分成两个互相垂直的角。
二、垂线的应用在日常生活中，垂线可以被广泛地应用到各个领域。
例如，建筑学中的垂线是指对于一条直线，相对于该直线且垂直于地面的线段；医学中的垂线可以用于测量身体各部分之间的距离；在制图学中，垂线可以用于测量任意两条线之间的距离。
在数学中，垂线常被用于解决各种几何问题。
例如，在求解三角形的中位线、高线、中心线时，常常需要利用垂线的性质进行计算。
三、垂线的解题方法1. 在求解垂线的长度时，可以使用勾股定理计算。
例如，在三角形中，点P在边AB上，PA垂直于BC，求PA的长度。
解：根据勾股定理得到$PA^2 = AB^2 - BP^2$又因为BP = PC，所以$PA^2 = AB^2 - \frac{BC^2}{4}$2. 在求解垂线所在的直线的方程时，可以使用点斜式或一般式。
例如，已知直线L经过点P(2,3)且与$x$轴垂直，求直线L的方程。
解：由于L与$x$轴垂直，所以L的斜率$k$为0。
又因为直线经过点$P(2,3)$，所以L可以由点斜式表示为$y - 3 = 0(x - 2)$化简得到$y = 3$所以直线L的方程为$y = 3$。
以上是七年级数学垂线知识点的介绍，希望同学们掌握垂线的定义、性质、应用和解题方法，能够在解决各种几何问题时灵活运用垂线知识点，取得更好的学习成绩。
垂线PPT课件(数学人教版七年级下册)
授课教师：XX 日期：XX年XX月XX日
数学初中
α）
）
α
当∠α = 95°时 ， 我们说a与b互相 垂直，记作a ⊥ b
a
o
α
探索新知：在相交线的模型中,固定木条a, 转动木条b, 当b的位置变化时,a、b所成的∠α 也会发生变化.b
数学初中
A
B
C
D
o
1
探索新知：
一、垂线定义：当两条直线相交所成的四个角中，有 一个角是直角时，就说这两条直线互相垂 直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线， 它们的交点叫做垂足．符号语言：∵∠1=90°（已知）∴AB⊥CD于O （垂线定义）反之，∵ AB⊥CD于O （已知）∴∠ 1=90°（垂线定义）
B
数学初中
学以致用：1.已知：如图，AB⊥CD，垂足为O，EF为过点O的
一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是( )
A.相等 B.互余 C.互补 D.互为对顶角
B
)
2.如图，点C到线段AB的距离是指(线段 AC 的长度线段 CD 的长度线段BC 的长度线段BD 的长度
B
数学初中
数学初中
探索新知：已知一条直线，你能画出它的垂线吗？能画几条？ 结论：一条直线的垂线有无数条.
数学初中
o
贴靠移画
结论：过直线上一点有 且只有一条直线与已知直 线垂直.
过已知直线上一点能画这条直线的垂线吗？能画几条？
数学初中
o
1. 贴
靠移画结论：过直线外一点有 且只有一条直线与已知直线 垂直.
过已知直线外一点能画这条直线的垂线吗？能画几条？
数学初中
探索新知：二、垂线的性质：垂线的性质1：经过一点（已知直线上或直线外）， 能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线，即：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与 已知直线垂直.
七年级数学下册《-垂线》课件
1放、 2靠、 3画线、
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
孝感市文昌中学学生专用尺
Cm
1.垂线的画法：
如图，已知直线 l 和l上的一点A ,过点Ａ作l
的垂线.
B
问题：这样的垂
线能画几条？
A
则所画直线AB 是过点A的直线l的 垂线.
l
1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合;
0 2靠1 :靠2 三3 角板4 ,把5 三6 角7板的8 一9直角10 边11 靠在直尺上;
B
∴AB⊥CD（垂直的定义）
反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O，那么， ∠AOD=90°。
书写形式：∵ AB⊥CD （已知） ∴ ∠AOD=90° （垂直的定义）
应用垂直的定义：∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°
垂直定义练习:
C
E
填空
⑴已知：AB⊥CD,∠1=∠2
求证：EF⊥AB 证明：∵CD⊥AB
与射线、线段、射线与直线垂直， 特指它们所在的直线互相垂直.
请你画图，
并用尺量一下，
看看哪一条线
段最短？
P
此问题就是“直线外一点与已知直线上 各点所连的线段中,有没有最短的线段?”
垂线段的概念：
由直线外一点向直线引
P
垂线，这点与垂足间的线段
叫做垂线段。
l
A
例如：如图，PA⊥l于点A ，线 段PA叫做点P到直线l的垂线段.
在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,
当b的位置变化时,直线a、b
bb b
所成的∠α也会发生变化.
当∠α =90°时,
七年级垂直线的知识点
七年级垂直线的知识点垂直线是初中数学中基础概念之一，也是各种几何图形中必不可少的要素之一。
在七年级学习阶段，学生需要掌握垂直线的定义、性质、作图方法等知识点。
以下将详细论述七年级垂直线的相关知识。
一、垂直线的定义垂直线又叫直角线，是指两条线段或直线互相垂直的情况。
以立体图形为例，垂直线可以垂直地穿过某一平面或某一面上的某个点。
在平面几何中，垂直线的定义是：若两条直线在某一点相交，并且互相垂直，则这两条直线互为垂直线。
二、垂直线的性质1. 垂直线的夹角为直角，即90度。
2. 垂直线上的直角三角形两直角边的长度成反比例关系。
3. 相交于同一直线的两垂直线互相平分。
4. 长度相等的垂直线叫做对称轴。
5. 过一个点，作垂线所在的直线，叫做这个点的垂线，垂线上的任意两个相邻角互为补角。
三、垂直线的作图方法1. 作点线垂直线已知一点和一条直线，在这个点上作一条与这条直线相垂直的直线。
作图步骤：(1) 以给定点为圆心，作一条较长的弧，与直线相交于两点；(2) 以其中一交点为圆心，以另一交点为半径作一条圆弧；(3) 以另一交点为圆心，以刚才所画的圆弧上的点为半径作一条圆弧；(4) 连接两圆弧的交点与给定点，则连接线即为所求垂直线。
2. 作平面垂直线已知一平面和一条直线，在平面内作一条垂直于该直线的直线。
作图步骤：(1) 作一条与已知直线不在同一平面的直线；(2) 在这条直线上任取一点作高垂线段，使其相交于已知直线上一点；(3) 连接这个点和平面上任一点，垂直于已知直线的线段即为所求。
四、垂直线的应用1. 解决几何形体问题：如在解决长方形、正方形、柱体、圆柱等形体的测量问题等时，都离不开垂直线相关的知识。
2. 解决坡度问题：坡度可以用垂直线相关的知识来解决，比如公路坡度、房屋的坡度等问题。
3. 解决正负方向问题：在物理学中，正负方向常常用垂直线相关的知识来解决，比如力、速度、加速度等方向问题。
以上就是七年级学生需要掌握的垂直线相关知识点及作图方法。
七年级下册数学知识点垂线
七年级下册数学知识点垂线垂线作为一种基本的图形要素，在数学中应用广泛。
在七年级下册数学学习中，垂线是必须要掌握的重要知识点。
本文将就垂线的概念、性质和应用等方面进行介绍，以便给七年级下学生提供有用的帮助。
一、垂线的概念垂线是从一点到一条给定直线的线段，且这个线段与给定直线垂直。
可简单理解为一条竖直的线段。
在学习垂线的时候，我们需要了解一下两个相关概念：垂线段和垂足。
垂线段指垂线与原直线的交点所连接的线段，而垂足指垂线与原直线的交点。
这两个概念在后续的学习中会经常出现。
二、垂线的性质1.垂线的长度是不变的不论你在给定的直线上选择哪个点来作垂线，它的长度都是相同的，因为所有的垂线都是垂直于给定直线的。
这需要我们在实际计算中注意。
2.相交直线的垂线是垂直的对于两条相交的直线，它们的垂线必定相互垂直。
因为垂直的定义就是两线段夹角为90度，而垂线恰好和直线垂直，它们的夹角自然为90度。
3.垂足在线段的中点在同一直线上作一条垂线，那么垂足一定在该线段的中点。
这是因为垂线恰好垂直于该线段，而在该线段的中点悬空之处其实并不存在具体的角度，所以是垂足的理想位置。
三、垂线的应用垂线在数学中是一个十分重要的概念，常常用在解决几何问题中。
1.垂线的应用于求解三角形的面积我们可以通过连接三角形的一个顶点和对边的垂线，将原三角形分为两个小三角形和一个矩形，从而求解三角形的面积。
2.垂线的应用于求解两个直线之间的距离我们可以通过向两个直线各作一条垂线，并连接这两条垂线的垂线段，从而求解出这两条直线之间的距离。
3.垂线的应用于解决线段间的垂直问题对于不在同一直线上的两条线段，我们可以通过连接它们的垂线来判断它们是否互相垂直。
如果垂线互相垂直，则两条线段也互相垂直。
四、总结垂线是七年级下册数学学习中重要的知识点，它可以被应用于各种不同的几何问题。
在学习垂线的过程中，需要掌握垂线的概念和性质，并能够灵活运用垂线来解决实际问题。
希望通过本文的介绍，能够对七年级下学生深入理解垂线有所帮助。
七年级垂线知识点
七年级垂线知识点在中学数学中，垂线是一个重要的概念。
垂线是指从一个点到一个平面或直线上的垂直线。
在本文中，我们将介绍一些关于垂线的基本知识和应用。
一、垂线的定义与性质定义：垂线是一个点到直线或平面的垂直线。
性质：1. 垂线所在的直线或平面上的所有点到直线或平面的距离相等。
2. 垂线所在的直线或平面与另一个线段或平面的垂线相交，相交角为90度。
3. 如果两条直线相交，它们的垂线相交于同一点。
二、垂线的作用垂线在几何中具有广泛的应用，特别是在三角形的研究中。
以下是一些垂线的应用：1. 三角形的垂心：三角形的三条垂线交于同一点，称为垂心。
2. 斜线段分成两部分：斜线段上的垂线可以将斜线段分成两部分。
3. 两线段之间的距离：两条不相交的线段之间的距离可以通过将它们分别延伸成垂线并测量垂线之间的距离来计算。
三、垂线的构造在几何中，可以使用直尺和圆规等工具来构造垂线。
以下是一些常用的构造方法：1. 已知一条直线和一点，可以使用圆规和直尺构造垂线。
2. 已知一个角度，可以使用圆规和直尺构造垂线。
3. 已知两条平行线，可以使用圆规和直尺构造垂线。
四、垂线的实例垂线是几何学中的一个基本概念，它在现实生活中也具有广泛的应用。
以下是一些垂线的实例：1. 电信杆：电信杆上的天线和垂直于地面的支柱之间的线段是垂线。
2. 照明杆：路灯杆上的灯和垂直于地面的支柱之间的线段也是垂线。
3. 射击训练：射击训练中的靶心上的垂线可以帮助射手确定枪口的位置。
结论垂线是一个重要的几何概念，在许多不同的几何问题中都有应用。
了解垂线的定义、性质和应用可以帮助学生进一步理解和掌握几何知识。
华师大版数学七年级上册5.垂线课件
教学目标
1.理解垂线概念，知道互相垂直的两条直线夹角是 90°.2.知道过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 会过一点画一条直线的垂线.3.从不同角度寻求垂线的画 法，获得成功体验.
教学重难点
教学重点：如何确定点到直线的距离以及垂直 的公理.教学难点：垂线的判断和性质的理解运
用及垂线的画法.
如图表示为：AB⊥CD,垂足为O.用几何语言 表示为：∵∠AOC=90°（ ∠BOC=∠AOD=∠BOD=90°） ∴AB⊥CD
例1（1）如图1，若直线m、n相交于点O，∠1＝90°，
则m n；（2）如图2，若直线AB、CD相交于点O，
且AB⊥CD，那么∠BOD =
；
1. m 1. O 1. n
引入新课
思考：1.什么样的两个角互为邻补角？什么样的两个 角互为对顶角？对顶角有什么性质？2.如图所示，直线 AB、CD交于点O如果∠1=40°，则其他三个角各为多少 度？如果∠1=90°，则其他三个角各为多少度？
D
3
A
2
1O
B
4
C
今天我们进一步研究两条直线相交的特殊情况：垂直.
新知探究
在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,当b的 位置变化时,a、b所成的角α也会产生变化.它们会出 现四个角相等的情况吗？每个角多少度？
课堂检测
1．点到直线的距离是指（ C ） A．从直线外一点到这条直线的垂线 B．从直线外一点到这条直线的垂线段 C．从直线外一点到这条直线的垂线段的长 D．从直线外一点到这条直线的垂线的长
2．下列图形中，线段AD的长表示点A到 直线BC距离的是（ D ）
A
B
D C
3.如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，那 么点B到AC的距离是线段 BC 的长度，点A到 BC的距离是线段 AC 的长度，点C到AB的距离 是线段 CD 的长度，点A与点C的距离是 线段 AC 的长度。
初一数学下册：垂线(含知识点、练习和答案)
初一数学下册：垂线（含知识点、练习和答案）知识点总结一、定义1、垂直：两条直线相交所成的四个角中，如果如果有一个角为90度，那么这两条直线互相垂直。
2、垂线：垂直是相交的一种特殊情形，如果两条直线垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。
3、垂足：两条垂线的交点叫垂足。
4、垂直三要素：垂直关系，垂直记号，垂足。
5、垂线特点：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
二、三角形的高1、做直角三角形的高：两条直角边即是钝角三角形的高，只要做出斜边上的高即可。
2、做钝角三角形的高：最长的边上的高只要向最长边引垂线即可，另外两条边上的高过边所对的顶点向该边的延长线做垂线。
三、垂直公理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
四、垂线段最短；点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。
五、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离。
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
同步练习1、如图，OA⊥OB，若∠1=55°，则∠2的度数是( )A、35°B、40°C、45°D、60°2、如图,直线AB与直线CD相交于点O,已知OE⊥AB,∠BOD=45°,则∠COE的度数是( )A、125°B、135°C、145°D、155°3、过线段外一点,画这条线段的垂线,垂足在( )A、这条线段上B、这条线段的端点4、在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为( )A、1个B、2个C、3个D、4个5、下列说法正确的有( )①在平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线;②在平面内，过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线;③在平面内，可以过任意一点画一条直线垂直于已知直线;④在平面内，有且只有一条直线垂直于已知直线。
七年级数学垂线的知识点
七年级数学垂线的知识点数学是我们日常生活中不可或缺的一部分，而垂线是数学中一个重要的概念。
在七年级的数学学习中，垂线也是重要的知识点之一。
那么，我们应该如何理解和掌握垂线的概念呢？接下来，我们将从以下几个方面进行探讨。
一、垂线的定义和性质垂线是指从一条线段的一个端点引出的，与这条线段垂直相交的线段。
垂线的性质包括以下几点：1. 垂线和被垂直的直线之间的夹角为90度。
2. 如果线段AB和CD在一个平面内，且AB和CD不平行，则它们至少有一条公共垂线。
3. 如果两条垂线在同一个点相交，那么这两条垂线所在的直线垂直。
二、垂线的作用垂线在数学中有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用场景：1. 求两条直线的垂直关系。
如果两条直线相交且相互垂直，那么它们可以构成一个直角。
2. 在平面几何中，垂线可以用来构造各种图形，如三角形、梯形、正方形等。
3. 在计算机科学中，垂线可以用来计算向量和向量之间的夹角，从而实现计算机图形的旋转和变形。
三、垂线的求解在实际问题中，我们常常需要求解垂线的长度和坐标。
以下是几个求解垂线的方法：1. 使用勾股定理和垂线的性质。
如果我们知道线段的两个端点的坐标，那么我们可以通过勾股定理和垂线的性质求出垂线的长度和坐标。
2. 利用向量的知识。
如果我们知道两个向量的坐标，那么我们可以通过向量的点积和长度求解垂线。
3. 利用函数的知识。
如果我们知道函数的方程和点的坐标，那么我们可以通过函数的导数求解垂线。
总之，垂线是数学中一个重要的概念。
掌握垂线的定义、性质和使用方法，对我们的数学学习和应用都有很大的帮助。
人教版七年级数学下册《垂线》教学课件
探究
你知道在体育课上老师是怎样测量跳远成绩的吗？
你能说说其中的道理吗？
垂
直
性
质
的
实
际 应
P
用
垂线段最短
O
做一做
2、如图：在铁路旁边有一张庄，现在要建一火车站，为了使张庄
人乘火车最方便（即距离最近），请你在铁路上选一点来建火车站 ，并说明理由。
拓展延伸
2、如图，AC垂直BC于点C，CD垂直AB于点D，DE垂直BC于点E， 试比较四条线段AC,DC,DE和AB的大小。
解：∵AC⊥BC，(已知) ∴AC＜AB，（垂线的性质二） ∵CD⊥AB，（已知） ∴DC＜AC，（垂线的性质二） ∵DE⊥BC，（已知） ∴DE＜DC，（垂线的性质二） ∴DC＜DC＜AC＜AB．
4.如图， BO ⊥AO， ∠BOC与∠BOA的度数之 比为1：5，那么∠COA7=2° 。 ∠BOC的补角为 （16）2 度。
探究新知
活动二：探究垂线的画法
工具：直尺、三角板
如图，已知直线 l,作l的垂线.
A
问题1：这样画l的垂线
可以画几条？
O
无数条
1、靠 2、移 3、画线
l
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探究新知 如图，已知直线 l和l上的一点A ,作l的垂线.
D
∴∠AOD=90°（垂直的定义）
判断两条直线互相垂直的关键： 只要找到两条直线相交时四个交角中一个角是直角.
牛刀小试
1、如图,∠ACB=90°,D是AB上一点，且∠ADC=∠BDC,请写出
图中互相垂直的线段，并简要说明理由.
解：图中互相垂直的线段有
七年级垂线的知识点归纳
七年级垂线的知识点归纳垂线是初中数学中一个基础而重要的概念，也是许多几何问题的基础。
在七年级的数学学习中，垂线的知识点也是必须掌握和理解的。
本文将对七年级垂线的知识点进行归纳，帮助学生更好地掌握该知识点。
一、垂线的定义垂线是指从一个点到线段所在直线的垂直线段。
它与线段的两端点连线的夹角为90度。
二、垂线的性质1.相交于一点：一条垂线一定与所在的直线相交于一个点。
2.垂线段最短：如果从一个点到直线只能沿着该直线或沿着它的垂线段到达时，垂线段是最短的。
3.构成的两个角互补：垂线所构成的两个角为90度和一个角度，两个角互补。
三、垂线的作用1.判断是否垂直：找到两条线段之间的垂线可以判断它们是否垂直。
2.求垂足：线段上的任意一点都可以通过线段的垂线构造出它到线段的垂足。
3.解决几何问题：垂线在许多几何问题中都起着重要的作用，例如在求解三角形的中线、高线等问题中。
四、垂线的实例应用1.求互相垂直的直线：两条直线互相垂直，意味着它们形成的角度为90度。
为判断两条直线是否垂直，可以通过找到它们的交点和垂线的方法。
2.求线段上的垂足：当需要通过一点到达直线时，可以通过垂线的方法，在直线上找到垂足。
3.求解几何问题：许多几何问题可以通过垂线的构造找到答案，例如求三角形的中线或高线、判断一个点是否在三角形内部等。
以上是七年级垂线的知识点归纳。
希望这些知识点可以帮助学生更好地掌握和理解垂线的概念和作用。
同时，在学习中还需多多联系，提高自己的应用能力，达到真正的掌握和灵活运用。
七年级上册垂线知识点总结
七年级上册垂线知识点总结垂线作为初中数学中的重要概念，出现在了七年级上册数学课本中。
掌握垂线的基本概念，理解垂线的性质和应用，对于学习初中数学以及今后的学习都具有重要的意义。
本文将从以下几个方面总结七年级上册垂线知识点。
1. 垂线的基本概念垂线是指从一点到一条直线，垂直于这条直线的线段。
可以说，垂线是直线的一种特殊情况。
在何时求一个点到一条直线的垂线时，需要先找到这个点到直线的距离，然后找到这个距离的中垂线即可。
我们称垂线所在的点为“垂足”。
2. 垂线的性质垂线与直线的交点是这条直线上距离垂足最近的点；两条互相垂直的直线交点，一定是由一个垂足到两条直线的垂线所组成的；垂线所在的位置是最短距离，也就是最短路径。
3. 垂线的应用(1) 垂线的求解在几何问题中，有很多情况需要求出垂线的位置和垂足的坐标。
这时，需要根据题目所给条件，利用垂线的性质，解方程求解。
例如：已知三角形ABC中，点D是BC边上的一点，且AD垂直于BC，若AB=3，AC=4，AD=5，求BC的长度。
解法：首先可以用勾股定理求出三角形ABC中AB、AC两边的长度，然后设BC长度为x，用垂线外心定理求出AD、BD、DC的长度，列出方程，再解出x。
(2) 垂线的应用在实际生活中，垂线也有很多应用，在建筑、工程、地质等领域都有广泛的应用。
比如，在建筑领域中，垂线常常被用来测量屋顶和地面之间的距离；在工程领域中，垂线能够帮助我们确定棱柱体的体积和表面积；在地质领域中，垂线被用来确定山谷、峡谷的深度和高度。
综上所述，垂线是初中数学中的一个重要概念，涵盖了垂线的基本概念、垂线的性质和垂线的应用。
学生们在学习垂线的过程中需要加强练习，逐渐掌握垂线的性质和垂线的应用，从而为更高水平的数学学习打下基础。
【数学】垂线第1课时垂线的定义、画法课件-2023-2024学年人教版数学七年级下册
二移：沿直线移动三角板，使其另一条直 角边经过所给的点；
三画：沿此直角边画直线，则这条直线就是 已知直线的垂线。
三、探究垂线的画法
A
垂线的性质： 在 平面 内，过一点 与已知直线垂直。
C
B
O
D
有且只有一条 直线
三、探究垂线的画法
C
A
（3）垂直是相交的一种特殊情况，垂直属于相交，但 又不同于一般的相交，只有两条直线相交成直角时，它 们的位置关系才能称作互相垂直.
五、课堂小结
（4）垂直与垂线不同，垂直是指两条直线的位置关系，而 垂线是指两条直线互相垂直时，其中的一条叫做另一条的垂 线.两者也有联系，只有在垂直的情况下，才会有垂线.
4
1
32
D
解： B
二、探究垂线的概念
选中中间绿点旋转b, 使角阿尔法变化
a
b
a
O
二、探究垂线的概念
C
如图，两条直线相交，当它们的
A
B 交角有一个角是90°时，叫做这两条直
O
线互相垂直，它是直线相交的一种特
直线AB与直线CD的 D
殊情形，其交点叫垂足。
交点叫做垂足
C
二、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ究垂线的概念
A
B
O
D
垂直的定义：当两条直线相交所成的四个角中有一个角是
直
（）
四、课堂巩固练习 2、画一条线段的垂线，垂足在
（）
A、线段上 C、线段的延长线上
B、线段的端点 D、以上都有可能
四、课堂巩固练习
3、过点P分别画射线、直线、线段的垂线
解：如图所示
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设备管理培训 /
TPM管理的五大要素TPM咨询公司概述：TPM是英文Total Productive Maintenance的缩略语，中文译为全员生产维护或全员生产保全。 是以提高设备综合效率为目标，以全系统的预防维修为过程，全体人员参与为基础的设备保养和维修管理体系。 TPM管理TPM强调五大要素，即：一、TPM致力于设备综合效率最大化的目标；以追求生产系统效率（综合效率）的极限为目标，实现设备的综合管理效率即OEE的持续改进；二、TPM在设备一生建立彻底的预防维修体制；设备的一生包含设备规划、设备设计、设备选型、设备购置、设备制造、设备 最高领导者在TPM管理中扮演决策者，其他员工则作为决策传递者和实施者在TPM管理中发挥作用。 五、TPM通过动机管理，即自主的小组活动来推进。 (PM)通过相互尊重、全员的参与来实现系统的综合性效率。 彻底地排除影响设备效率的7大损失，把设备运行到最佳状态，确保安全、生产计划的完成、质量的稳定和提高、降低成本、遵守纳期的成果。 把企业的发展和每个员工素质的提高作为其目的。 在TPM里，把这种思考和行动转换成为重复小组的展开活动。 1、活动内容有：STEP活动，MY-Machine活动，Sub课题的改善活动，One Point Lesson教育等。 2、在正常工作时间自律地进行，没有另指定活动时间，小组全员推进大清扫，改善作业的实施等。 3、最好是次/月左右的会合及次/周以上的周期的现场活动。 4、实施对次/周以上的（或每天）个人别MY-M/C的活动，并在活动板公告。 5、在定期活动时确认计划对比进行实绩，讨论下次活动计划，在活动中讨论问题点及改善提案。
TPM自主保全之制定清扫、加油标准的要点TPM设备管理培训公司概述：在实施了大量清扫、改善之后，全体小组成员完全可以参与到清扫、润滑、紧固、点检基准的修改与编制工作中来，原来这项工作作是由技术员完成的，生产员工遵照执行，比较被动。 TPM自主保全活动提倡生产员工可以提出意见，与技术人员一同修改基准，这个过程本身也是对基准了解、熟悉的阶段。 TPM自主保全一、自己决定应遵守的项目1、应遵守的方法在现场彻底做到清扫、加油、整理、整顿，常常听到有人说：至今已做了多次努力，但就是执行不了。 其实，这主要是因为管理人员不大去考虑不实施的理由，而只是一味要求必须做到。 如果管理人员认为这是必要的话，那么管理人员本人就会首先考虑怎样对具体操作人员说明努力完善以下条件：（1）明确该遵守的事项和方法；（2）充分理解必须遵守的理由（为什么要遵守，不遵守会怎样）；（3）具备遵守的能力；（4）具备遵守的环境（比如时间）。 要是没有具备干劲、方法、场地三要素，即使有再好的想法也无济于事。 关于TPM自主保全的一切活动，大部分依靠本人的能力和士气，明白了为什么必须这样做，还应该彻底做到，这是大多数管理者的经验。 不彻底的最大原因就是决定制度的人并非是具体去执行的人，因此，执行的人并不完全了解工作的必要性，也不会完全恪守实施时间。 2、自己决定该遵守的事项TPM自主保全提出要使该遵守的事项彻底化，最重要的是由执行人本人来决定具体事项，只有这样才是自我管理的第一步，因此必须做到以下4点：（1）理解应遵守事项的重要性；（2）具备自己应具备的能力；（3）自己编写基准；（4）领导审查及确认。 若不这样，以前辛苦全成泡影，关于基准，有5W1H，要显示基准的样品，告知基本意义，接着应多次召开小组会议，决定基准，这样定出来的基准肯定能实施。 开展TPM自主保全步骤中人与设备的相互关系。 二、力求基准的完善性1、小组成员的作用由小组来决定基准，等于是小组成员决定的作用，各人决定自己的作用，达到尽善尽美，这十分重要，通过这样的决定过程，就能使每个人都能充分理解，这样制定的基准才是最基本的。 2、小组成员编制基准让小组成员自己编制基准，并感受其中的乐趣，这十分有益，由小组确定的清扫、加油基准都十分完善。 但如让每个成员自己来讨