正态总体的参数检验

两样本 X , Y 相互独立, 样本 (X1, X2 ,…, Xn ), ( Y1, Y2 ,…, Ym ) 样本值 ( x1, x2 ,…, xn ), ( y1, y2 ,…, ym )
显著性水平
(1) 关于均值差 1 – 2 的检验 ch8-16
原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布
例3 杜鹃总是把蛋生在别的鸟巢中, 现从两种鸟巢中得到杜鹃蛋24个.其中 9个来自一种鸟巢, 15个来自另一种鸟 巢, 测得杜鹃蛋的长度(mm)如下:
n= 9
21.2 21.6 21.9 22.0 22.0 22.2 22.8 22.9 23.2
19.8 20.0 20.3 20.8 20.9 m = 15 20.9 21.0 21.0 21.0 21.2
拒绝域
1 – 2 = 1 – 2 1 – 2 1 – 2 < 1 – 2 1 – 2 >
U X Y
2 1
2 2
nm
~ N (0,1)
( 12，22 已知)
U z
2
U z
U z
原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布
1 – 2 = 1 – 2 1 – 2 1 – 2 <
选用统计量:
T X ~ T (15)
S / 16
查表得 t0.05(15) = 1.753, 故拒绝域
x 0.8 1.753 x 0.8 1.753 0.32 0.66
s/ n
4
现 x 0.92 0.66
故接受原假设, 即否定厂方断言.
ch8-8
由例1可见: 对问题的提法不 同(把哪个假设作为原假设),统计 检验的结果也会不同.
原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1 H0为真时的分布
拒绝域
2=
2 0
2
2 0
2
2 0
2<
2 0
2
(n
1)S
2 0
2
~ 2 (n 1)
2
2
1
2
(n
1)
或
2
2
(n
1)
2
2
2 1
(n
1)
2
2 0
2>
2 0
( 未知)
2 2 (n 1)
ch8-12
例2
某汽车配件厂在新工艺下
对加工好的25个活塞的直径进行测量,
T X 0 ~ T (n 1)
S n
（ 2未知）
s ( x t ,
2 sn x t )
2n
原假设 备择假设检验统计量及其在
H0
H1 H0为真时的分布
ch8-28
接受域
2=
2 0
2
2 0
2
(n
1)S
2 0
2
~
2(n
1)
(未知)
2 1 2
(n
1)S 2
2 0
2
2
待估参数
2
枢轴量及其分布 置信区间
当样本均值 x 0.1时54,9客户
拒绝购买该批产品；当 x 0.1时54，9
则购买该批产品.
ch8-37
例8 袋装味精由自动生产线包装，每
H1
H0为真时的分布
拒绝域
2 1
=
2 2
2 1
2 2
F
S12 S22
~
F F12 (n 1, m 1)
或 F F (n 1,m 1)
2
2 1
2 2
2 1
<
2 2
F(n 1, m 1)
F F1 (n 1,m 1)
12
22
2 1
>
2 2
1, 2 均未知
F F (n 1,m 1)
ch8-19
现随机抽取16台马达试验, 求得平均 消耗电流为0.92安培, 消耗电流的标准 差为0.32安培.
假设马达所消耗的电流服从正态分
布, 取显著性水平为 = 0.05, 问根据这
个样本, 能否否定厂方的断言?
解 根据题意待检假设可设为
ch8-6
H0 : 0.8 ； H1 : > 0.8 未知, 故选检验统计量:
T X Y
1 n
1S m
w
~ T (n m 2)
ch8-17
拒绝域
T t
2
T t
1 – 2 1 – 2 >
12, 22未知
12
=
2 2
T t
其中
Sw
(n 1)S12 (m 1)S22 nm2
(Fra Baidu bibliotek)
关于方差比
2 1
/
2 2
的检验
ch8-18
原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
需考察改革后活塞直径的方差是否不 大于改革前的方差？故待检验假设可 设为：
H0 : 2 0.00040 ; H1 : 2 > 0.00040.
此时可采用效果相同的单边假设检验
H0 : 2 =0.00040 ；H1 : 2> 0.00040.
取统计量
2 (n 1)S 2 ~ 2(n 1)
样本容量 n 满足 如下公式：
n (z z ) /
单边检验
n (z z ) / 2
双边检验
ch8-33
U 检验法中 的计算公式
右边检验 左边检验 双边检验 其中
( z )
( z )
(z ) ( z ) 1
2
2
0 n
例6 详见教材 P.255 例12
X ~ N (1, 12) , Y ~ N (2, 22)
现从机器 A和 B生产的钢管中各 抽出18 根和13 根, 测得
s12 = 0.34, s22 = 0.29,
ch8-23
设两样本相互独立. 问是否能认
为两台机器生产的钢管内径的稳定程
度相同? ( 取 = 0.1 )
解
设
H0
:
2 1
=
2 2
T X ~ T (15)
S / 16
查表得 t0.05(15) = 1.753, 故拒绝域为
x 0.8 1.753 x 0.8 1.753 0.32 0.94
s/ n
4
现 x 0.92 0.94
故接受原假设, 即不能否定厂方断言.
解二 H0 : 0.8 ； H1 : < 0.8 ch8-7
ch8-34
例7 (产品质量抽检方案)设有一大批
产品其质量指标 X ~ N( ,以, 2小)
者为佳. 对要实行的验收方案 厂方要求: 对高质量的产品 ( 能0)
以高概率 (1为)客户所接受； 客户要求: 对低质量产品 ( 能0 )
以高概率 (1 被) 拒绝.
ch8-35
设 0 0.11, 0.3, 0.09, 0.05. 问应怎样安排抽样方案.
ch8-31
解二 2的单侧置信区间为
(0,
(n 1)S 2
2 1
(n
1)
)
(
0
,
0.0081 ) (0, 3.325
0.0024 )
H0中的
2
2 0
1 900
0.0011
0.0024
则H0 成立, 从而接受原假设 , 即认为
满足设计要求.
ch8-32
样本容量的选取
虽然当样本容量 n 固定时, 我们不能 同时控制犯两类错误的概率, 但可以适当 选取 n 的值, 使犯取伪错误的概率 控制 在预先给定的限度内.
21.5 22.0 22.0 22.1 22.3
x 22.20 s12 0.4225
y 21.12 s22 0.5689
ch8-20
试判别两个样本均值的差异是仅
由随机因素造成的还是与来自不同的
鸟巢有关 ( 0.05 ).
解 H0 : 1 = 2 ； H1 : 1 2
取统计量 T X Y ~ T (n m 2)
；H1
:
2 1
2 2
S
2 1
/
S
2 2
~ F(
17,
12
)
查表得 F0.05( 17, 12 ) = 2.59,
F0.95(
17,
12
)
=
1 F0.05 (12,17)
1 2.38
0.42
ch8-24
拒绝域为:
S12 S22
2.59
或
S12 S22
0.42
由给定值算得:
s12 s22
0.34 1.17 0.29
2
(n
1)S
2 0
2
~
2(n
1)
(未知)
(n 1)s2 (n 1)s2
(
2
2
(n
1)
,
12
2
(n
1)
)
ch8-29
例5 新设计的某种化学天平，其测量 误差服从正态分布, 现要求 99.7% 的测
量误差不超过 0.1mg , 即要求 3 0.1.
现拿它与标准天平相比，得10个误差数 据，其样本方差s2 =0.0009.
上述两种解法的立场不同，因此 得到不同的结论. 第一种假设是不轻易否定厂方的结论；
第二种假设是不轻易相信厂方的结论.
ch8-9
由于假设检验是控制犯第一类错 误的概率, 使得拒绝原假设 H0 的决策 变得比较慎重, 也就是 H0 得到特别的 保护. 因而, 通常把有把握的, 经验的 结论作为原假设, 或者尽量使后果严 重的错误成为第一类错误.
待估参数 枢轴量及其分布
接受域
x 0
n
z
2
置信区间
U
X
0
~
N (0,1)
n
(x z ,x z )
n 2
n 2
（ 2 已知)
原假设 H0
0
备择假设 检验统计量及其在
H1
H0为真时的分布
0
T X 0 ~ T (n 1)
S n
（ 2未知）
ch8-27
接受域
x 0
s
t
2
n
待估参数
枢轴量及其分布 置信区间
1 n
1 m
Sw
ch8-21
拒绝域 0： T t0.025(22) 2.074
Sw
(n
1)S12
(m
1)S
2 2
0.718
nm2
统计量值 T0 3.568 2.074 . 落在0内,
拒绝H0 即蛋的长度与不同鸟巢有关.
ch8-22
例4 假设机器 A 和 B 都生产钢管, 要 检验 A 和 B 生产的钢管内径的稳定 程度. 设它们生产的钢管内径分别 为 X 和 Y , 且都服从正态分布
试问在 = 0.05 的水平上能否认为
满足设计要求？
解一 H0: 1/30 ； H1: 1/30
ch8-30
未知, 故选检验统计量
2
9S 2
2 0
~
2 (9)
拒绝域：
2
9S 2 1/ 900
2 0.05
(9)
16.919
现 2 9S 2 7.29 16.919
1/ 900
故接受原假设, 即认为满足设计要求.
解 在显著性水平 0下.05进行 检U验
H0 : 0 ； H1 : 0
拒绝域为0：
X
0
z
n
由 n (z z ) / 2z0.05 0.3/ 0.09 10.97
ch8-36
取 n 121
X 0 z0.05
0.111.645
n
0.3 0.1549 121
可安排容量为121的一次性抽样.
得样本方差S2=0.00066.已知老工艺生
产的活塞直径的方差为0.00040. 问
进一步改革的方向应如何？ ( P.244 例6 )
解 一般进行工艺改革时, 若指标 的方差显著增大, 则改革需朝相反方 向进行以减少方差；若方差变化不显 著, 则需试行别的改革方案.
设测量值
ch8-13
X ~ N( , 2 ) 2 0.00040
§8.2 正态总体的参数检验 ch8-1
一个正态总体
（1）关于 的检验
拒绝域的推导
给定显著性水平与样本值(x1,x2,…,xn )
设 X ~N ( 2)，2 已知，需检验：
H0 : 0 ； H1 : 0
构造统计量
U
X
0
~
N (0,1)
n
ch8-2
P(拒绝HH0|0H0H为0真)
P ( X 0 k 0 ) PH0 ( X 0 k )
2 0
ch8-14
拒绝域
0：
2
2 0.05
(24)
36.415
0
2
24 0.00066 0.00040
39.6
36.415
落在0内, 故拒绝H0. 即改革后的方 差显著大于改革前, 因此下一步的改 革应朝相反方向进行.
ch8-15
两个正态总体
设 X ~ N ( 1 1 2 ), Y ~ N ( 2 2 2 )
PH0 (
X 0
k
) PH0 (
X 0
Z )
2
n
n
n
取k Z
2n
所以本检验的拒绝域为
0： U z
2
U 检验法
U 检验法 (2 已知)
ch8-3
原假设 备择假设 检验统计量及其
H0
H1
H0为真时的分布
拒绝域
0 0 0 < 0
~ N (0,1) n
U
X 0
U z
2
U z
0 > 0
U z
T 检验法 (2 未知)
ch8-4
原假设 备择假设 检验统计量及其
H0
H1 H0为真时的分布
拒绝域
0 0 0 < 0
T X 0
S n ~ t(n 1)
T t
2
T t
0 > 0
T t
ch8-5
例1 某厂生产小型马达, 说明书上写着: 这种小型马达在正常负载下平均消耗电 流不会超过0.8 安培.
落在拒绝域外,故接受原假设, 即认为 内径的稳定程度相同.
ch8-25
假设检验与区间估计的联系
同一函数
假 统计量
设
检 接受域
验
枢轴量 区 间
置信区间 估
计
1
对偶关系
ch8-26
假设检验与置信区间对照
原假设 H0
0
备择假设 检验统计量及其在
H1
H0为真时的分布
0
U
X
0
~
N (0,1)
n
（ 2 已知)
（2）关于 2 的检验 2检验法
ch8-10
原假设 备择假设 检验统计量及其在 拒绝域
H0
H1 H0为真时的分布
2=
2 0
2
2 0
n
(Xi )2
2
2
1
2
(n)
或
2
2
(n)
2 i1
2
2
2 0
2<
2 0
2 0
~ 2(n)
2
2 1
(n)
2
2 0
2>
2 0
( 已知)
2 2 (n)
ch8-11