正态总体的参数检验
数理统计17：正态总体参数假设检验
数理统计17：正态总体参数假设检验现在，我们对正态分布的参数假设检验进⾏讨论，这也是本系列的最后⼀部分内容。
由于本系列为我独⾃完成的，缺少审阅，如果有任何错误，欢迎在评论区中指出，谢谢！⽬录Part 1：基本步骤正态总体N (µ,σ2)参数的假设检验不外乎遵循以下的步骤：找到合适的统计量，⽤统计量的取值范围设计拒绝域。
假定原假设为真，考虑这个条件下统计量的分布。
根据统计量的分布，根据检验的⽔平要求设置拒绝域的边界值。
设计检验的核⼼在于假定原假设为真，这是因为检验的⽔平是基于弃真概率定义的，也就是说，要在第三步中写出检验的⽔平，就必须在H 0成⽴的情况下找出⼩概率事件的发⽣条件。
⽐如，对于均值的检验⼀共有三种：1.H 0:µ=µ0↔H 1:µ≠µ0;2.H 0:µ≥µ0↔H 1:µ<µ0;3.H 0:µ≤µ0↔H 1:µ>µ0.每⼀种⼜可以细分为⽅差σ2已知和⽅差σ2未知两种情况，但显然不论⽅差是否已知，最核⼼的统计量都应该是¯X，如果⽅差未知可能还要⽤到⽅差的替代：S 2。
以下，对于这三种问题，拒绝域分别应该是这样的：如果H 0被接受，则¯X 既不应该太⼤，也不应该太⼩，拒绝域的基础形式应该是{¯X >c 1}∪{¯X <c 2}.如果H 0被接受，则¯X 不应该太⼩，⽆论多⼤都可以，拒绝域的基础形式应该是{¯X <c }.如果H 0被接受，则¯X 不应该太⼤，⽆论多⼩都可以，拒绝域的基础形式应该是{¯X>c }.当然，这只是拒绝域的基础形式，实际情况下可能不⽌使⽤¯X，但基本思想应该是这样的。
对于⽅差的检验，则将检验统计量换成了S 2，或者均值已知情况下的离差平⽅和Q 2，步骤也和上⾯的差不多。
正态总体的参数检验简单总结
s22 0.5689
试判别两个样本均值的差异是仅由随机因素 造成的还是与来自不同的鸟巢有关(0.05).
解 H0 : 1 = 2 ； HA : 1 2
取统计量 T XY ~T(nm2)
1nm1Sw
拒绝域 0：T t0.02(522 )2.074
Sw
(n1)S12(m1)S22 0.718 nm2
t X 0 S n
~ t(n 1)
拒绝域
t t
t t2
t t2
（2）关于 2 的检验 2 检验法
原假设 备择假设
H0
HA
2=
2 0
2
2 0
2
2 0
2<
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 0
检验统计量及其在 H0为真时的分布
n
(X i )2
2 i1
2 0
~ 2(n)
拒绝域
2
2
1
2
(n)
或
2
2
(
n
)
2
2 12(n)
现从A生产的钢管中抽出18 根, 测得 s12 = 0.34, 从B生产的钢管中抽出13 根, 测得 s22 = 0.29,
设两样本相互独立. 问是否能认为两台机器生
产的钢管内径的稳定程度相同? ( 取 = 0.1 )
解
H0
:
2 1
=
2 2
；
HA
:
2 1
2 2
S12 S22
~
F(17,
12)
查表得 F( 17, 12 ) = 2.59,
2 1
/
2 2
的检验
原假设 备择假设 检验统计量及其在
第二节 正态总体均值的假设检验
σ
~ N(0,1)
n
（σ 2 已知)
原假设 备择假设 检验统计量及其在 H0为真时的分布 H0 H1
=0 ≠0
X 0 T= ~ T(n 1) S n
接受域
x 0 s n
≤ tα
（σ 2未知）
2
待估参数
枢轴量及其分布 置信区间
X 0 T= ~ T(n 1) S n
( x tα
2
= 0 ≥ 0 ≤ 0
≠ 0 < 0 > 0
U=
X 0
σ
U ≥ zα
2
n
U ≤ zα
N(0,1)
U ≥ zα
未知) T 检验法 (σ2 未知) 原假设 备择假设 检验统计量及其 H0 H1 H0为真时的分布 拒绝域
= 0 ≥ 0 ≤ 0
≠ 0 < 0 > 0
X 0 T= S n ~ t(n 1)
（2）关于 σ
2
χ2检验法 的检验
拒绝域
原假设 备择假设 检验统计量及其在 H1 H0为真时的分布 H0
σ
2=σ 2 0
σ
2≠σ 2 0
χ =
2
∑(X )
i=1 i
n
χ ≤ χ (n)
2 2 1α 2
2
或 χ 2 ≥ χα2 (n)
2
σ 2≥σ 02 σ 2<σ 02
σ
2 0
~ χ (n)
2
χ ≤ χ (n)
(1) 关于均值差 1 – 2 的检验
原假设 备择假设 检验统计量及其在 H0为真时的分布 H0 H1
1 – 2 = δ 1 – 2 ≠ δ 1 – 2 ≥ δ 1 – 2 < δ 1 – 2 ≤ δ 1 – 2 > δ
8.3两个正态总体参数的假设检验
方差
12
2 2
2
未知
1.H0 : 1 2 0 H1 : 1 2 0
由于
Sw2
1 n1 n2
n1
[ 2 i1
(Xi
X )2
n2 i1
(Yi
Y )2]
是
2 的无偏估计
检验统计量：T
Sw
X Y 1 n1
1 n2
~ t(n1 n2 2)
检验问题的拒绝域为：| T | t (n1 n2 2)
X Y H0
2 1
2 2
~ N (0,1)
n1 n2
检验问题的拒绝域为：|U | Z
2
方差
12 ,
2 2
已知
2.
检验统计量：U
X Y
2 1
2 2
n1 n2
检验问题的拒绝域为：U Z1
3. H0 : 1 2 0
方差
12 ,
2 2
已知
H1 : 1 2 0
检验统计量：U
X Y
2 1
2 2
n1 n2
检验问题的拒绝域为：U Z
例：设可乐厂车间使用灌装机生产的可乐容量服从正态分布， 方差为1。某天计量检验人员随机抽取10瓶可乐，容量数据如下 （单位：毫升）：
499.5 496.3 500.5 499.1 499.3 499.2 499.0 500.2 500.1 499.8 另一可乐厂生产的可乐容量服从正态分布，方差为1.5。计 量检验人员随机抽取了的9瓶可乐，容量数据如下（单位：毫 升）：
2. H0 : 1 2 0 H1 : 1 2 0
3. H0 : 1 2 0 H1 : 1 2 0
问题1称为双侧检验问题，问题2、3称为单侧检验问题。
概率论与数理统计72正态总体的均值和方差的假设检验
（ = 0.05）?
解 以X表示物品在处理前的含脂率,Y表示物品在
处理后的含脂率,且 X ~ N ( μ1,σ12 ),Y ~ N ( μ2,σ22 )
样本(Y1,Y2, ,Yn2 )来自总体Y .
1. 已知方差时两个正态总体均值的检验
σ12,σ22为已知, μ1, μ2未知的检验（U检验法）
1 假设 H0 : 1 2 , H1 : 1 2;
2 取检验统计量为
U (X Y)/
σ12 σ22 n1 n2
~ N (0,1)
(当H0成立时)
3 取显著性水平为 α. P{ U u/2 } ,
~
t(n1 n2
2),
(当H0成立时)
其中 Sw2
( n1
1)S1*n21 (n2 1)S2*n22 n1 n2 2
.
3° 给定显著水平 ( 0< < 1)
P{ | T | t /2(n1 n2 2) } ，
查表可得 tα / 2(n1 n2 2). 拒绝域：
W1 {( x1, x2,, xn1; y1, y2,, yn2 ) :| t | t/2(n1 n2 2)}
X
~
N
(
1
,
2 1
),Y
~
N
(
2
,
2 2
),
为了考察温度对材料断裂强力的影响，在70 C与80 C
下，分别重复作了8次试验，得数据如下：
选择统计量
U X 800 9 40
当H0成立时,U~N(0,1).对于 = 0.05,由正态分布函
正态总体参数的假设检验matlab处理
正态总体参数的检验1 总体标准差已知时的单个正态总体均值的U检验某切割机正常工作时，切割的金属棒的长度服从正态分布N(100,4)。
从该切割机切割的一批金属棒中随机抽取15根，测得长度为：97 102 105 112 99 103 102 94 100 95 105 98 102 100 103假设总体的方差不变，试检验该切割机工作是否正常，即检验总体均值是否等于100？，取显著性水平a=0.05。
分析：这是总体标准差已知时的单个正态总体均值的检验，根据题目要求可写出如下假设：H0：u=u0=100，H1=u /=u0(u不等于u0)H0称为原假设，H1称为被择假设（或对立假设）MATLAB统计工具箱中的ztest函数用来做总体标准差已知时的单个正态总体均值的检验调用格式ztest[h,p,muci,zval]=ztest(x,mu0,Sigma,Alpha,Tail)x:是输入的观测向量mu0：假设的均值Sigma：总体标准差Alpha：显著性水平，默认0.05Tail：尾部类型变量,‘both’双侧检验（默认），u不等于uo；‘right’右侧检验，u>u0; ‘left’左侧检验,u<u0；返回值：h：假设的结果（0,1），h=0时，接受假设H0；h=1,拒绝假设H0p：检验的p值，p>Alpha时，接受原假设H0；p<=Alpha 时，拒绝原假设H0.muci：总体均值u的置信水平为1-Alpha的置信区间zval：检验统计量的观测值%定义样本观测值向量x=[97 102 105 112 99 103 102 94 100 95 105 98 102 100 103];mu0=100; %原假设中的mu0sigma=2; %总体标准差Alpha=0.05; %显著性水平%调用ztest函数做总体均值的双侧检验（默认）,%返回变量h，检验的p值，均值的置信区间muci，检验统计量的观测值zval[h,p,muci,zval]=ztest(x,mu0,sigma,Alpha)h =1p =0.0282muci =100.1212 102.1455zval =2.1947由ztest函数返回值可以看到，h=1，且p=0.0282<0.05，所以在显著性水平=0.05下拒绝的原假设H0:u=u0=100，因此认为该切割机不能正常工作，同时还返回了总体均值的置信水平为95%（1-0.05）的置信区间为[100.1212 102.1455]。
多元统计分析：第三章 多元正态总体参数的假设检验(补充)
第三章 多元正态总体参数的假设检验
所涉及的最大似然估计量—单个总体
ˆ X时 (4) 当 0 (0 0巳知)时, 取 似然函数达最大值:
L( X , 0 ) 2
np 2
0
n 2
n 1 etr - 0 A 2
19
第三章 多元正态总体参数的假设检验
15
第三章 多元正态总体参数的假设检验
所涉及的最大似然估计量—单个总体
单个p维正态总体Np(μ,Σ)，设X(i)(i=1,…,n)为来自p 维总体的随机样本.样本的似然函数为
L( , ) 2
np 2
1 ˆ A时, 似然函数达最大值 : ˆ X , (1)当 n n np A 2 A np L( X , ) 2 2 exp - n n 2
9
第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.6正态性检验--p维数据的正态性检验
D2(1)≤ D2(2) ≤…≤ D2(n) 统计量 D2 的经验分布函数取为
.
其中H(D2(t) |p)表示χ2 (p)的分布函数在D2(t)的值. 设χ2 分布的pt分位数为χt2 ,显然χt2满足: H(χt 2 |p)= pt. 即χ2 分布的pt 分位数χt2 ＝H-1(pt |p). 由经验分布得到样本的pt 分位数D2(t)=Fn-1(pt ). 若H(x|p)≌Fn(x)，应有D2(t) ≌ χt2 ,绘制点(D2(t) , χt2 )的散 布图,当X为正态总体时,这些点应散布在一条直线上. 10
(1) (1) ( 2) ( 2)
np 2
A1 A2 n
(t )
np 2 2
e
X )( X
7-2正态总体参数的检验
一、单个正态总体均值的检验 二、两个正态总体均值差的检验 三、正态总体方差的检验
同上节) 标准要求长度是32.5毫米 毫米. 例2(同上节 某工厂生产的一种螺钉 标准要求长度是 同上节 某工厂生产的一种螺钉,标准要求长度是 毫米
实际生产的产品，其长度 假定服从正态分布N( σ 未知， 实际生产的产品，其长度X 假定服从正态分布 µ,σ2 ) ,σ2 未知， 现从该厂生产的一批产品中抽取6件 得尺寸数据如下: 现从该厂生产的一批产品中抽取 件, 得尺寸数据如下
(1)与(4); (2)与(5)的拒绝域形式相同 与 的拒绝域形式相同. 与 的拒绝域形式相同
一、单个正态总体均值的检验
是来自N( σ 的样本 的样本, 设x1,…,xn是来自 µ,σ2)的样本 关于µ的三种检验问题是 (µ0是个已知数 是个已知数)
(1) H0 : µ ≤ µ0 vs H1 : µ > µ0 (2) H0 : µ ≥ µ0 vs H1 : µ < µ0 (3) H0 : µ = µ0 vs H1 : µ ≠ µ0
对于检验问题 对于检验问题
(2) H0 : µ ≥ µ0 vs H1 : µ < µ0
x − µ0
仍选用u统计量 u = 选用 统计量 相应的拒绝域的形式为: 相应的拒绝域的形式为
取显著性水平为α 取显著性水平为α，使c满足 P 0 (u ≤ c) = α 满足 µ
由于μ = μ 0时，u ~ N(0,1),故 c = uα,如图 故 , 因此拒绝域为: 因此拒绝域为 或等价地: 或等价地 φ(x)
检 H0 : µ = µ0 vs H1 : µ ≠ µ0 验
x − µ0 s/ n
接受域为: 接受域为
正态总体的参数检验
故拒绝域为
t / 2(n1 n2 2).
当两个正态总体的方差均为已知(不一定相 等)时,我们可用 Z 检验法来检验两正态总体均值 差的假设问题.
例4 在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法 的建议是否会增加钢的得率, 试验是在同一只平 炉上进行的. 每炼一炉钢时除操作方法外, 其它条 件都尽可能做到相同.先采用标准方法炼一炉, 然 后用建议的新方法炼一炉, 以后交替进行, 各炼了 10炉, 其得率分别为(1)标准方法: 78.1, 72.4, 76.2, 74.3, 77.4, 78.4, 76.0, 75.5, 76.7, 77.3; (2)新方法:
则 x 0 10.48 10.5 0.516, / n 0.15/ 15
查表得 z0.05 1.645,
于是
x
0
/n
0.516
z0.05
1.645,
故接受 H0, 认为该机工作正常.
设总体 X ~ N(, 2 ), 其中, 2 未知, 显著性水平为 . 求检验问题 H0 : 0, H1 : 0 的拒绝域.
X S
/
0
n
k
,
得 k t / 2(n 1),
上述利用 t 统计量得出的检验法称为t 检验法. 在实际中, 正态总体的方差常为未知, 所以
我们常用 t 检验法来检验关于正态总体均值的检 验问题.
例2 如果在例1中只假定切割的长度服从正态分 布, 问该机切割的金属棒的平均长度有无显著变
79.1, 81.0, 77.3, 79.1, 80.0, 78.1, 79.1, 77.3, 80.2, 82.1; 设这两个样本相互独立, 且分别来自正态总
体 N (1, 2 )和 N (2, 2 ), 1, 2, 2均为未知, 问建议的新操作方法能否提高得率? (取 0.05)
单个正态总体参数的假设检验
单个正态总体参数的假设检验1.提出假设：首先，我们需要提出关于总体参数的假设。
在单个正态总体参数的情况下，我们通常对总体的均值（μ）或标准差（σ）进行假设。
2.确定显著性水平：显著性水平（α）是一个事先设定的临界值。
根据显著性水平，我们可以决定接受还是拒绝原假设。
3.构建统计量：接下来，我们需要构建一个适当的统计量来判断总体参数的假设。
在单个正态总体参数的情况下，通常使用t统计量或z统计量。
4.计算统计量的值：根据样本数据，计算所选统计量的值。
如果使用t统计量，则需要计算样本均值和标准差；如果使用z统计量，则只需计算样本均值。
5.确定拒绝域：拒绝域是根据显著性水平和统计量的分布确定的。
根据统计量的值和拒绝域的临界值，我们可以决定是否拒绝原假设。
6.做出决策：根据统计量的值和拒绝域，我们可以做出决策：接受原假设或拒绝原假设。
下面以一个具体的例子来说明单个正态总体参数的假设检验。
假设我们要检验一些公司员工的平均工资是否等于5000元。
我们从公司中随机抽取了50个员工的工资数据，假设工资数据服从正态分布。
现在我们要进行假设检验。
1.假设提出：原假设（H0）：员工的平均工资等于5000元；备择假设（H1）：员工的平均工资不等于5000元。
2.显著性水平：我们设定显著性水平为0.053.构建统计量：由于样本量较大（n=50），我们可以使用z统计量。
z统计量的计算方法为（样本均值-总体均值）/（总体标准差/根号n）。
4.计算统计量的值：假设我们计算出样本均值为4950元，总体标准差为100元。
5.确定拒绝域：由于显著性水平为0.05，我们需要找出z值对应的临界值。
在标准正态分布表中查找z=1.96对应的值，并根据原假设的双侧检验找出拒绝域的范围。
6.做出决策：根据统计量的值和拒绝域的范围，我们可以判断是否拒绝原假设。
如果统计量的值落在拒绝域之外，我们将拒绝原假设，即认为员工的平均工资不等于5000元。
概率论与数理统计假设检验正态总体参数的假设检验(2)
概率论与数理统计第7章假设检验第3讲正态总体参数的假设检验(2)01 两个正态总体参数的假设检验02单侧检验03 p 值检验法—简介本讲内容*21μμ-2221σσ检验目的本节将讨论两个相互独立的正态总体，211(,)X N μσ222(,)Y N μσ的参数检验问题.设是来自总体X 的简单随机样本；112,,,n X X X 是来自总体Y 的简单随机样本；212,,,n Y Y Y 样本均值.X Y 、为两为两样本方差. 显著性水平为α .2212S S 、(3) μ1 , μ2 未知，检验.2222012112::H H σσσσ=≠，(1)σ12,σ22已知，检验.012112::H H μμμμ=≠，这些假设检验可细分为许多种情形，这里只介绍3种最常见的类型：(2)σ12,σ22未知但σ12 =σ22，检验.012112::H H μμμμ=≠，两个正态总体的参数检验，主要有比较两个均值μ1与μ2的大小，比较两个方差σ12与σ22的大小.根据已知条件的不同，由样本观测值求出统计量的观测值u ，然后作判断.确定拒绝域2{}U u α>选取检验统计量221212~(0,1)X YU N n n σσ-=+U 检验法建立假设012112::.H H μμμμ=≠，借鉴上一章区间估计(1) 已知，检验.12μμ-2212,σσ1212~(2)11w X Y T t n n S n n -=+-+122{(2)}T t n n α>+-(2) 未知但σ12 =σ22，检验.2212,σσ12μμ-T 检验法建立假设012112::.H H μμμμ=≠，由样本观测值求出统计量的观测值t ，然后作判断.确定拒绝域选取检验统计量211222~(1,1)S F F n n S =--2212121{(1,1)(1,1) 或}F F n n F F n n αα-<-->--2222012112::H H σσσσ=≠，(3) μ1 , μ2 未知，检验.2212/σσF 检验法建立假设由样本观测值求出统计量的观测值，然后作判断.确定拒绝域选取检验统计量在某种制造过程中需要比较两种钢板的强度，一种是冷轧钢板，另一种双面镀锌钢板。
5.4,5.5一个正态总体参数的假设检验
提出待检验假设
H 0 : µ = 23. 取α = 0.05
X − 23 X −µ 如果 H 0成立 U0 = 2 ~ N (0,1) U= ~ N (0,1) 2 6 6 X − 23 P > uα = α 2 2 6
X = 20.5, U 0 = 3.06 > 1.96 X − 23 P > 1.96 = 0.05 2 不能接受 " µ = 23" 这一假设 6
判 等 "EX = 23"成 与 ? 断 式 立 否
例 2, 用传统工艺加工的红果 罐头 , 每瓶平均维生素 C 的含量为 19毫克 , 现改进加工工艺，抽查 16 瓶罐头，测得 VC 含量为 现改进加工工艺， 瓶罐头， 23； .5； ； ； ； .5； ； ； ； .5； .8； ； .5； ； ； .(毫克 ) 20 21 22 20 22 19 20 23 20 18 20 19 22 18 23 若假定新工艺的方差 (1)σ 2 = 4为已知 ; ( 2 )σ 2 未知 , 问新工艺下 VC 的含量是否比旧工艺下 含量高 ?
2. H 0 : µ ≤ µ 0
解 .待检验的假设是 H 0 : µ ≤ 19. 设 α = 0 .05 , σ 2 = 4
分析
U= X −µ
σ
~ N(0,1)
U0 =
X − 19
σ
. U 0的分布不能确定
当H 0 成立时
n
U ≥ U0
P {U 0 > uα } ≤ P{U > uα }
X − 19 > uα ≤ α 则P σ n
α
第二类错误 当原假设 H0 不成立时，而样本值却落入了接受域，从而 不成立时，而样本值却落入了接受域， 的结论。也就是说， 作出接受 H0的结论。也就是说，把不符合 H0 的总体当 成符合 H0 的总体加以接受 . “纳伪”的错 纳伪” 误
第二节 正态总体参数的检验
2
9
二、两个正态总体参数的假设检验
2 设 有 两 个 相 互 独 立 的 正 态 总 体 X ~ N ( µ1，σ 1 ) ,
Y ~ N ( µ 2，σ ) , 分别抽取独立的样本 ( X1 , X2 ,⋯, Xn1 ) 和
2
µ 第六章证明, X = ( (− , ) 第六章证明,若 χ 2 ~ Nn−1σS 证明 (2) 检验统计量 2
2 2 H 下 O χ1−α / 2(n−1) 2 0 )， 2 则
x
( n − 1) S
~ χ (n −1) ,
(4) 由样本值算得
χ的值； 的值；
2
则拒绝H 否则 不能 若 χ 2 < λ1 或 χ 2 > λ2 ，则拒绝 0 ； 否则, 拒绝H 拒绝 0 .
− tα / 2 ( n − 1) O
tα / 2 (n − 1)
x
~
(4) 由样本值算得 t 的值； 的值； 则拒绝H 如果 | t |> tα 2 (n − 1) ,则拒绝 0 ； 否则, 不能拒绝H 否则 不能拒绝 0 .
5
两家生产同一类产品， 例2 两家生产同一类产品，其质量指标假定都服从正 态分布，标准规格为均值等于120.现从甲厂抽出5 120.现从甲厂抽出 态分布，标准规格为均值等于120.现从甲厂抽出5件 产品,测得其指标值为119,120,119.2,119.7,119.6; 产品,测得其指标值为119,120,119.2,119.7,119.6; 从乙厂也抽出5件产品,测得其指标值为110.5,106.3, 从乙厂也抽出5件产品,测得其指标值为110.5,106.3, 122.2,113.8,117.2。 122.2,113.8,117.2。试判断这两家厂的产品是否符 合标准. 合标准. (α = 0.05 )
7.2正态总体的参数假设检验
∵ X ~ N(µ,σ )，
2
σ2 ) ∴X ~ N(µ, n
X − µ0
当H0 为真 时， 利用 统计 u = 量 这 种检 验法 称为u 检验 . 法
σ/ n
~ N(0,1)来 确定 绝域 , 拒 的
由于µ的点估计是x ,
当H 0：µ = µ 0 为真时，
当 x − µ 0 ≥ k , 拒绝H 0
10.9 10.6 10.8 10.5 10.7 10.2 10.7 假定切割的长度服从正态分布, 假定切割的长度服从正态分布 且标准差没有变 试问该机工作是否正常? 化, 试问该机工作是否正常 (α = 0.05)
解 依题意 X ~ N ( µ ,σ 2 ), µ ,σ 2均为未知,
要检验假设 H 0 : µ = 10.5, H 1 : µ ≠ 10.5,
一个有用的结论
α , 当显著性水平均为 时
检验问题 H 0 : µ ≤ µ 0 , H 1 : µ > µ 0 和 检验问题 H 0 : µ = µ 0 , H 1 : µ > µ 0
有相同的拒绝域. 有相同的拒绝域
练习：346页6（1）
(3) 假设检验H0 : µ ≥ µ0 , H1 : µ < µ0 .
P( X − µ0 ≤ −k) = P(u = X − µ0
σ/ n
≤
−k
σ/ n
) =α
σx , 当H ：µ ≥ µ 为真时， n 由于µ的点估计是 σ σ uα 则x ≤ µ 0 k+拒绝H = µ 0 − u1−α 当x − µ ≤ − ,
0 0
拒绝域为
−k
= uα 即u ≤ uα
0
0
n
n
正态总体中参数的假设检验
正态总体中参数的假设检验正态总体参数的假设检验是统计推断中的一种方法，用于判断总体参数是否符合我们的假设。
下面将详细介绍正态总体参数的假设检验原理和步骤。
一、假设检验原理正态总体参数的假设检验是通过收集样本数据，计算样本统计量来推断总体参数的方法，其中包括均值和标准差。
在进行正态总体参数的假设检验时，我们首先假设总体参数的值，并设立一个零假设和一个备择假设。
其中零假设（H0）是我们希望证伪的假设，备择假设（H1）是我们希望证明的假设。
然后，我们根据样本数据计算得到样本统计量，比如样本均值和样本标准差，并将其与假设中的总体参数进行比较。
通过计算假设检验统计量的值，我们可以判断是否拒绝零假设，即总体参数是否符合我们的假设。
二、假设检验步骤1.确定假设：我们首先需要确定我们要研究的总体参数是均值还是标准差，并设立零假设和备择假设。
通常情况下，零假设是总体参数等于一些特定值，备择假设可以是总体参数大于、小于或者不等于该特定值。
2.收集样本数据：我们需要从总体中取得一个样本，并记录相应的观测值。
3.计算样本统计量：根据样本数据，我们可以计算得到样本均值和样本标准差。
4.计算假设检验统计量：根据样本数据和零假设中的总体参数值，我们可以计算得到假设检验统计量的值，该值用于判断是否拒绝零假设。
5.设定显著性水平：我们需要设定一个显著性水平，通常为0.05或0.01、显著性水平表示拒绝零假设的程度，如果得到的结果小于显著性水平，则可以拒绝零假设。
6.判断拒绝或接受零假设：根据计算得到的假设检验统计量的值与临界值进行比较，如果假设检验统计量的值小于临界值，则拒绝零假设；如果假设检验统计量的值大于等于临界值，则接受零假设。
7.得出结论：根据拒绝或接受零假设的结果，我们可以得出总体参数是否符合我们的假设。
三、举例说明假设我们要研究厂生产的产品的重量是否符合标准，假设标准重量为500克。
我们收集了一个包含30个产品的样本，并计算得到样本的平均重量为495克，标准差为10克。
正态总体参数假设检验公式
正态总体参数假设检验公式正态总体参数假设检验，这可是统计学里挺重要的一块知识呢！咱先来说说啥是正态总体。
简单来讲，就是一堆数据形成的分布，长得像个“钟形”，两边低中间高，挺对称的那种。
那为啥要对正态总体的参数进行假设检验呢？比如说，咱们想知道某个班级学生的考试成绩是不是符合某种预期，或者工厂生产的零件尺寸是不是在规定的范围内。
这时候，就需要用假设检验的公式来判断啦。
假设检验的公式有好几个，咱先来说说关于均值的。
比如说，有一个总体的均值我们假设是μ0，然后从这个总体里抽了个样本，算出样本均值是x，样本标准差是 s 。
这时候，就可以用 t 检验的公式：t = (x - μ0) / (s / √n) 。
这里的 n 是样本的数量。
我给您讲个我遇到的真事儿吧。
有一次，我去一个工厂，他们生产一种零件，标准的长度应该是10 厘米。
我随机抽了50 个零件来测量，算出来样本均值是 9.8 厘米，样本标准差是 0.5 厘米。
然后我就用这个t 检验的公式来算算，看这批零件的长度是不是跟标准的有显著差别。
再来说说关于方差的假设检验。
比如说，我们想知道一个总体的方差是不是等于某个值σ0² ，这时候就要用到卡方检验的公式啦。
假设检验可不是随便乱用的哦，得先搞清楚一些条件。
比如说，样本是不是独立的呀，是不是来自正态总体呀等等。
而且，在实际应用中，可不能光套公式，得理解背后的原理。
就像刚才说的工厂零件的例子，如果不理解为啥要这么做，就算算出结果来，也不知道到底意味着啥。
总之，正态总体参数假设检验公式是个很有用的工具，但要用好它，得下点功夫，多练习，多琢磨。
希望您在学习和使用这些公式的时候，能顺顺利利的，别被它们给难住啦！。
正态总体参数假设检验
嘉兴学院
第七章 假设检验
第18页
7.2.2 两个正态总体均值差的检验 检验 法 u检 验 t检 验 条 件 原假 设 备择 假设 检验统 计量 拒绝域
已 知
未 知
嘉兴学院
16 July 2012
第七章 假设检验
第19页
大样 本检 u验 近似 t检 验
未知 m,n充 分大 未知 m,n不 很大
16 July 2012
嘉兴学院
第七章 假设检验
第4页
(a)
16 July 2012
(b)
(c)
嘉兴学院
第七章 假设检验
第5页
该检验用 u 检验统计量，故称为u 检验。 下面以 由 为例说明： 可推出具体的拒绝域为
该检验的势函数是 的函数，它可用正态分布 写出，具体为
16 July 2012
16 July 2012
16.2 16.4 15.8 15.5 16.7 15.6 15.8 15.9 16.0 16.4 16.1 16.5 15.8 15.7 15.0
嘉兴学院
第七章 假设检验
第30页
这是两正态总体方差之比的双侧假设检验问题， 待检假设为 此处 m=7，n=8，经计算
于是 查表知 ，若取 =0.05，
通常 , 均未知，记 , 分别是由 算得的 的无偏估计和由 算得的 的无偏估计.
16 July 2012
嘉兴学院
第七章 假设检验
第28页
可建立检验统计量: 三种检验问题对应的拒绝域依次为
或
16 July 2012
}。
嘉兴学院
第七章 假设检验
第29页
例7.2.5 甲、乙两台机床加工某种零件，零件 的直径服从正态分布，总体方差反映了加工 精度，为比较两台机床的加工精度有无差别， 现从各自加工的零件中分别抽取7件产品和8 件产品，测得其直径为 X (机 床甲) Y (机 床乙)
正态总体的参数检验
0 ， 而是支持被择假设 0
X 0 非常小时，说明样本数据不支持原假设
0 ，而是支持被择假设 0
形式为：
H0 : 0 ； H1 : 0
X 0 ? 或 X 0 ?
显著性水平为 ， 即 X 0非常大或者非常小
0 ，而是支持被择假设 0
形式为：
H0 : 0 ； H1 : 0
X 0 ? 或 X 0 ?
显著性水平为 ，即 X 0非常大或者非常小
的标准为：X 0 非常大或者非常小到其发生的
概率只有（0.05或0.01）
因为统计量
T
X
0
S
~ t(n 1)
U
X
0
~
N (0,1)
n
n
原假设 备择假设
H0
H1
检验统计量及其 H0为真时的分布
拒绝域
0 0
= 0 > 0 0 = 0 < 0 0
U
X
0
n
~ N (0,1)
U z1 2
U z1
U z1
关于 的检验(2 未知)
（2.1） 的双边检验(2 未知) 设 X ~N ( 2)，2未知，需检验： H0 : 0 ； H1 : 0
H0 : 0 ； H1 : <0
拒绝域的推导 形式分析：
若 0 成立， 则样本均值 X 不能小于0 太多
即 X 0 不能非常小 X 0 非常小时，说明样本数据不支持原假设
0 ，而是支持被择假设 <0
注：
X 0 非常大时，说明样本数据相对支持原假
设 0 ，此时不能拒绝原假设，不属于拒绝域
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
拒绝域
1 – 2 = 1 – 2 1 – 2 1 – 2 < 1 – 2 1 – 2 >
U X Y
2 1
2 2
nm
~ N (0,1)
( 12，22 已知)
U z
2
U z
U z
原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布
1 – 2 = 1 – 2 1 – 2 1 – 2 <
T X Y
1 n
1S m
w
~ T (n m 2)
ch8-17
拒绝域
T t
2
T t
1 – 2 1 – 2 >
12, 22未知
12
=
2 2
T t
其中
Sw
(n 1)S12 (m 1)S22 nm2
(2)
关于方差比
2 1
/
2 2
的检验
ch8-18
原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
T X ~ T (15)
S / 16
查表得 t0.05(15) = 1.753, 故拒绝域为
x 0.8 1.753 x 0.8 1.753 0.32 0.94
s/ n
4
现 x 0.92 0.94
故接受原假设, 即不能否定厂方断言.
解二 H0 : 0.8 ； H1 : < 0.8 ch8-7
T X 0 ~ T (n 1)
S n
（ 2未知）
s ( x t ,
2 sn x t )
2n
原假设 备择假设检验统计量及其在
H0
H1 H0为真时的分布
ch8-28
接受域
2=
2 0
2
2 0
2
(n
1)S
2 0
2
~
2(n
1)
(未知)
2 1 2
(n
1)S 2
2 0
2
2
待估参数
2
枢轴量及其分布 置信区间
两样本 X , Y 相互独立, 样本 (X1, X2 ,…, Xn ), ( Y1, Y2 ,…, Ym ) 样本值 ( x1, x2 ,…, xn ), ( y1, y2 ,…, ym )
显著性水平
(1) 关于均值差 1 – 2 的检验 ch8-16
原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布
§8.2 正态总体的参数检验 ch8-1
一个正态总体
（1）关于 的检验
拒绝域的推导
给定显著性水平与样本值(x1,x2,…,xn )
设 X ~N ( 2)，2 已知，需检验：
H0 : 0 ； H1 : 0
构造统计量
U
X
0
~
N (0,1)
n
ch8-2
P(拒绝HH0|0H0H为0真)
P ( X 0 k 0 ) PH0 ( X 0 k )
（2）关于 2 的检验 2检验法
ch8-10
原假设 备择假设 检验统计量及其在 拒绝域
H0
H1 H0为真时的分布
2=
2 0
2
2 0
n
(Xi )2
2
2
1
2
(n)
或
2
2
(n)
2 i1
2
2
2 0
2<
2 0
2 0
~ 2(n)
2
2 1
(n)
2
2 0
2>
2 0
( 已知)
2 2 (n)
ch8-11
ch8-31
解二 2的单侧置信区间为
(0,
(n 1)S 2
2 1
(n
1)
)
(
0
,
0.0081 ) (0, 3.325
0.0024 )
H0中的
2
2 0
1 900
0.0011
0.0024
则H0 成立, 从而接受原假设 , 即认为
满足设计要求.
ch8-32
样本容量的选取
虽然当样本容量 n 固定时, 我们不能 同时控制犯两类错误的概率, 但可以适当 选取 n 的值, 使犯取伪错误的概率 控制 在预先给定的限度内.
得样本方差S2=0.00066.已知老工艺生
产的活塞直径的方差为0.00040. 问
进一步改革的方向应如何？ ( P.244 例6 )
解 一般进行工艺改革时, 若指标 的方差显著增大, 则改革需朝相反方 向进行以减少方差；若方差变化不显 著, 则需试行别的改革方案.
设测量值
ch8-13
X ~ N( , 2 ) 2 0.00040
ch8-34
例7 (产品质量抽检方案)设有一大批
产品其质量指标 X ~ N( ,以, 2小)
者为佳. 对要实行的验收方案 厂方要求: 对高质量的产品 ( 能0)
以高概率 (1为)客户所接受； 客户要求: 对低质量产品 ( 能0 )
以高概率 (1 被) 拒绝.
ch8-35
设 0 0.11, 0.3, 0.09, 0.05. 问应怎样安排抽样方案.
样本容量 n 满足 如下公式：
n (z z ) /
单边检验
n (z z ) / 2
双边检验
ch8-33
U 检验法中 的计算公式
右边检验 左边检验 双边检验 其中
( z )
( z )
(z ) ( z ) 1
2
2
0 n
例6 详见教材 P.255 例12
上述两种解法的立场不同，因此 得到不同的结论. 第一种假设是不轻易否定厂方的结论；
第二种假设是不轻易相信厂方的结论.
ch8-9
由于假设检验是控制犯第一类错 误的概率, 使得拒绝原假设 H0 的决策 变得比较慎重, 也就是 H0 得到特别的 保护. 因而, 通常把有把握的, 经验的 结论作为原假设, 或者尽量使后果严 重的错误成为第一类错误.
21.5 22.0 22.0 22.1 22.3
x 22.20 s12 0.4225
y 21.12 s22 0.5689
ch8-20
试判别两个样本均值的差异是仅
由随机因素造成的还是与来自不同的
鸟巢有关 ( 0.05 ).
解 H0 : 1 = 2 ； H1 : 1 2
取统计量 T X Y ~ T (n m 2)
；H1
:
2 1
2 2
S
2 1
/
S
2 2
~ F(
17,
12
)
查表得 F0.05( 17, 12 ) = 2.59,
F0.95(
17,
12
)
=
1 F0.05 (12,17)
1 2.38
0.42
ch8-24
拒绝域为:
S12 S22
2.59
或
S12 S22
0.42
由给定值算得:
s12 s22
0.34 1.17 0.29
解 在显著性水平 0下.05进行 检U验
H0 : 0 ； H1 : 0
拒绝域为0：
X
0
z
n
由 பைடு நூலகம் (z z ) / 2z0.05 0.3/ 0.09 10.97
ch8-36
取 n 121
X 0 z0.05
0.111.645
n
0.3 0.1549 121
可安排容量为121的一次性抽样.
例3 杜鹃总是把蛋生在别的鸟巢中, 现从两种鸟巢中得到杜鹃蛋24个.其中 9个来自一种鸟巢, 15个来自另一种鸟 巢, 测得杜鹃蛋的长度(mm)如下:
n= 9
21.2 21.6 21.9 22.0 22.0 22.2 22.8 22.9 23.2
19.8 20.0 20.3 20.8 20.9 m = 15 20.9 21.0 21.0 21.0 21.2
PH0 (
X 0
k
) PH0 (
X 0
Z )
2
n
n
n
取k Z
2n
所以本检验的拒绝域为
0： U z
2
U 检验法
U 检验法 (2 已知)
ch8-3
原假设 备择假设 检验统计量及其
H0
H1
H0为真时的分布
拒绝域
0 0 0 < 0
~ N (0,1) n
U
X 0
U z
2
落在拒绝域外,故接受原假设, 即认为 内径的稳定程度相同.
ch8-25
假设检验与区间估计的联系
同一函数
假 统计量
设
检 接受域
验
枢轴量 区 间
置信区间 估
计
1
对偶关系
ch8-26
假设检验与置信区间对照
原假设 H0
0
备择假设 检验统计量及其在
H1
H0为真时的分布
0
U
X
0
~
N (0,1)
n
（ 2 已知)
当样本均值 x 0.1时54,9客户
拒绝购买该批产品；当 x 0.1时54，9
则购买该批产品.
ch8-37
例8 袋装味精由自动生产线包装，每
现随机抽取16台马达试验, 求得平均 消耗电流为0.92安培, 消耗电流的标准 差为0.32安培.
假设马达所消耗的电流服从正态分
布, 取显著性水平为 = 0.05, 问根据这
个样本, 能否否定厂方的断言?
解 根据题意待检假设可设为
ch8-6
H0 : 0.8 ； H1 : > 0.8 未知, 故选检验统计量: