数值分析题库1
数值分析复习题及答案
数值分析复习题一、选择题1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有〔 〕和〔 〕位有效数字.A .4和3B .3和2C .3和4D .4和42. 求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰,那么A =〔 〕A . 16B .13C .12D .233. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足〔 〕A .()00l x =0,()110l x = B .()00l x =0,()111l x = C .()00l x =1,()111l x = D . ()00l x =1,()111l x =4. 设求方程()0f x =的根的牛顿法收敛,那么它具有〔 〕敛速。
A .超线性B .平方C .线性D .三次5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩ 作第一次消元后得到的第3个方程〔 〕.A .232x x -+= B .232 1.5 3.5x x -+= C .2323x x -+= D .230.5 1.5x x -=-二、填空1. 设2.3149541...x *=,取5位有效数字,那么所得的近似值x=.2.设一阶差商()()()21122114,321f x f x f x x x x --===---,()()()322332615,422f x f x f x x x x --===-- 那么二阶差商()123,,______f x x x =3. 设(2,3,1)TX =--, 那么2||||X = ,=∞||||X 。
4.求方程 21.250x x --= 的近似根,用迭代公式x =01x =, 那么 1______x =。
5.解初始值问题 00'(,)()y f x y y x y =⎧⎨=⎩近似解的梯形公式是 1______k y +≈。
数值分析试题集
..数值分析试题集(试卷一)一( 10 分)已知 x 1* 1.3409 ,x 2* 1.0125 都是由四舍五入产生的近似值, 判断 x 1*x 2* 及 x 1* x 2*有几位有效数字。
二( 10 分)由下表求插值多项式x 01 2 y2 34 y1- 1三( 15 分)设 f ( x)C 4 [a,b] , H ( x )是满足下列条件的三次多项式H (a) f (a) , H (b) f (b) , H (c)f (c) , H (c) f (c)( a c b )求 f (x)H ( x) ,并证明之。
12四( 15 分)计算13 dx ,10 2。
x五( 15 分)在 [0,2]上取 x 0 0 , x 1 1 , x 22 ,用二种方法构造求积公式,并给出其公式的代数精度。
六( 10 分)证明改进的尢拉法的精度是 2 阶的。
七( 10 分)对模型 yy , 0 ,讨论改进的尢拉法的稳定性。
八( 15分)求方程 x 34x 2 7x 1 0 在 -1.2 附近的近似值,10 3。
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(试卷二)一填空( 4*2 分)1 {k ( x) } k 0 是区间 [0, 1]上的权函数为( x) x 2 的最高项系数为 1 的正交多项式族,其中10 (x)1,则x0 ( x) dx ------------------- , 1 ( x) ------------------。
2 12 A,则 A1 4----------- ,( A) ----------------- 。
a 1 2 时, A 可作 LU 分解。
3 设 A,当 a 满足条件 ---------------- 14..4 设非线性方程 f ( x) (x33x23x1)( x 3) 0 ,其根 x1* 3 , x2*1,则求 x1* 的近似值时,二阶局部收敛的牛顿迭代公式是--------------------------- 。
数值分析期末试题及答案
数值分析期末试题及答案试题一:1. 简答题(共10分)a) 什么是数值分析?它的主要应用领域是什么?b) 请简要解释迭代法和直接法在数值计算中的区别。
2. 填空题(共10分)a) 欧拉方法是一种______型的数值解法。
b) 二分法是一种______法则。
c) 梯形法则是一种______型的数值积分方法。
3. 计算题(共80分)将以下函数进行数值求解:a) 通过使用二分法求解方程 f(x) = x^3 - 4x - 9 = 0 的近似解。
b) 利用欧拉方法求解微分方程 dy/dx = x^2 + 2x + 1, y(0) = 1 在 x = 1 处的解。
c) 使用梯形法则计算积分∫[0, π/4] sin(x) dx 的近似值。
试题二:1. 简答题(共10分)a) 请解释什么是舍入误差,并描述它在数值计算中的影响。
b) 请解释牛顿插值多项式的概念及其应用。
2. 填空题(共10分)a) 数值稳定性通过______号检查。
b) 龙格-库塔法是一种______计算方法。
c) 零点的迭代法在本质上是将方程______转化为______方程。
3. 计算题(共80分)使用牛顿插值多项式进行以下计算:a) 已知插值节点 (-2, 1), (-1, 1), (0, 2), (1, 4),求在 x = 0.5 处的插值多项式值。
b) 已知插值节点 (0, 1), (1, 2), (3, 7),求插值多项式,并计算在 x = 2 处的值。
c) 使用 4 阶龙格-库塔法求解微分方程 dy/dx = x^2 + 1, y(0) = 1。
答案:试题一:1. a) 数值分析是研究使用数值方法解决数学问题的一门学科。
它的主要应用领域包括数值微积分、数值代数、插值和逼近、求解非线性方程、数值积分和数值解微分方程等。
b) 迭代法和直接法是数值计算中常用的两种方法。
迭代法通过反复迭代逼近解,直到满足所需精度为止;而直接法则通过一系列代数运算直接得到解。
数值分析期末试题及答案
数值分析期末试题及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 在数值分析中,下列哪个算法不是用于求解线性方程组的?A. 高斯消元法B. 牛顿法C. 雅可比法D. 追赶法答案:B2. 插值法中,拉格朗日插值法属于:A. 多项式插值B. 样条插值C. 线性插值D. 非线性插值答案:A3. 以下哪个选项不是数值分析中的误差来源?A. 截断误差B. 舍入误差C. 计算误差D. 测量误差答案:C4. 在数值积分中,梯形法则的误差项是:A. O(h^2)B. O(h^3)C. O(h)D. O(1)答案:A二、填空题(每题5分,共20分)1. 牛顿插值法中,插值多项式的一般形式为:______。
答案:f(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)(x-x_1) + ...2. 牛顿迭代法求解方程的根时,迭代公式为:x_{n+1} = x_n -f(x_n) / __________。
答案:f'(x_n)3. 在数值分析中,______ 用于衡量函数在区间上的近似积分值与真实积分值之间的差异。
答案:误差4. 线性方程组的解法中,______ 法是利用矩阵的LU分解来求解。
答案:克兰特三、解答题(每题10分,共60分)1. 给定函数f(x) = e^(-x),使用拉格朗日插值法,求x = 0.5时的插值值。
解答:首先选取插值节点x_0 = 0, x_1 = 0.5, x_2 = 1,对应的函数值分别为f(0) = 1, f(0.5) = e^(-0.5), f(1) = e^(-1)。
拉格朗日插值多项式为:L(x) = f(0) * (x-0.5)(x-1) / (0-0.5)(0-1) + f(0.5) * (x-0)(x-1) / (0.5-0)(0.5-1) + f(1) * (x-0)(x-0.5) / (1-0)(1-0.5)将x = 0.5代入得:L(0.5) = 1 * (0.5-0.5)(0.5-1) / (0-0.5)(0-1) + e^(-0.5) * (0.5-0)(0.5-1) / (0.5-0)(0.5-1) + e^(-1) * (0.5-0)(0.5-0.5) / (1-0)(1-0.5)计算得L(0.5) = e^(-0.5)。
数值分析试卷及答案
数值分析试卷及答案数值分析试卷一、选择题(共10题,每题2分,共计20分)1. 数值分析的研究内容主要包括以下哪几个方面?A. 数值计算方法B. 数值误差C. 数值软件D. 数学分析答:A、B、C2. 下列哪种方法不属于数值积分的基本方法?A. 插值法B. 微积分基本公式C. 数值微积分D. 数值积分公式答:A3. 数值积分的目的是求解什么?A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答:D4. 数值微分的目的是求解什么?A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答:A5. 数值微分的基本方法有哪几种?A. 前向差分B. 后向差分C. 中心差分D. 插值法答:A、B、C6. 用数值方法求解方程的基本方法有哪几种?A. 迭代法B. 曲线拟合法C. 插值法D. 数值积分法答:A、B、C7. 用迭代法求方程的根时,当迭代结果满足何条件时可停止迭代?A. 当迭代结果开始发散B. 当迭代结果接近真实解C. 当迭代次数超过一定阈值D. 当迭代结果在一定范围内波动答:B8. 下列哪种插值方法能够确保经过所有给定数据点?A. 拉格朗日插值B. 牛顿插值C. 三次样条插值D. 二次插值答:A、B、C9. 数值解线性方程组的基本方法有哪几种?A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 拟合法答:A、B10. 下列哪种方程求解方法适用于非线性方程?A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 曲线拟合法答:B二、填空题(共5题,每题4分,共计20分)1. 数值积分的基本公式是_________。
答:牛顿-科特斯公式2. 数值微分的基本公式是_________。
答:中心差分公式3. 数值积分的误差分为_________误差和_________误差。
答:截断、舍入4. 用插值法求解函数值时,通常采用_________插值。
答:拉格朗日5. 数值解线性方程组的常用迭代法有_________方法和_________方法。
数值分析练习题加答案(一)
数值分析期末考试一、 设80~=x ,若要确保其近似数的相对误差限为0.1%,则它的近似数x 至少取几位有效数字?(4分)解:设x 有n 位有效数字。
因为98180648=<<=,所以可得x 的第一位有效数字为8(1分) 又因为21101011000110821--⨯=<⨯⨯≤n ε,令321=⇒-=-n n ,可知x 至少具有3位有效数字(3分)。
二、求矩阵A 的条件数1)(A Cond (4分)。
其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4231A 解:⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-5.05.1121A (1分) 1A =7(1分) 2711=-A (1分)249)(1=A Cond (1分)三、用列主元Gauss 消元法法求解以下方程组(6分)942822032321321321=++-=++--=+-x x x x x x x x x解:→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----5.245.2405.35.230914220321821191429142821120321 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---8175835005,245.24091425.33.2305.245.2409142(4分) 等价三角方程组为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+-=++,8175835,5.245.24,942332321x x x x x x (1分)回代得1,3,5123==-=x x x (1分)四、设.0,2,3,1,103)(3210234=-===-+-=x x x x x x x x f 1)求以3210,,,x x x x 为节3次Lagrange 多项式;(6分) 2)求以3210,,,x x x x 为节3次Newton 多项式;(6分)3)给出以上插值多项式的插值余项的表达式(3分)解:由0,2,3,13210=-===x x x x 可得10)(,34)(,1)(,11)(3210-==-=-=x f x f x f x f即得: +------+------=))()(())()(()())()(())()(()()(312101320130201032103x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x f x L=------+------))()(())()(()())()(())()(()(23130321033212023102x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x f+-+--+-⨯-+-+--+-⨯-)03)(23)(13()0)(2)(1()1()01)(21)(31()0)(2)(3(11x x x x x x326610.)20)(30)(10()2)(3)(1()10()02)(32)(12()0)(3)(1(34x x x x x x x x x -+--=+--+--⨯-+---------⨯2)计算差商表如下:i x )(i x f 一阶差商 二阶差商 三阶差商1 -11 3 -1 5 -2 34 -7 4 0-10-225-1则=+-----+-+-=)2)(3)(1()3)(1(4)1(511)(3x x x x x x x N326610x x x -+--3))2)(3)(1())()()((!4)()(3210)4(3+--=----=x x x x x x x x x x x x f x R ξ五、给定方程组b Ax =,其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100131w w w w A 。
《数值分析》期末复习题(1)
《数值分析》期末复习题一、单项选择题1. 数值x *的近似值x =0.32502×10-1,若x 有5位有效数字,则≤-*x x ( ).(A)21×10-3 (B) 21×10-4 (C) 21×10-5 (D) 21×10-6 2. 设矩阵A =10212104135⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦,那么以A 为系数矩阵的线性方程组A X =b 的雅可比迭代矩阵为( )(A)00.20.10.200.40.20.60--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦(B)10.20.10.210.40.20.61⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦(C) 00.20.10.200.40.20.60⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (D)021204130⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦3. 已知(1)1,(2)4,(3)9f f f ===,用拉格朗日2次插值,则(2.5)f =( )(A) 6.15 (B) 6.25 (C) 6.20 (D) 6.10 4. 抛物形求积公式的代数精度是( )A. 1,B. 2 ,C. 3,D. 45. 改进欧拉格式的 局部截断误差是( ). (),A O h 2. (),B O h 3. (),C O h 4. ().D O h二、填空题1、以722作为π的近似值,它有( )位有效数字; 2、经过)1,2( ),2,1( ),1,0(C B A 三个节点的插值多项式为( ); 3、用高斯-赛德尔迭代法解方程组⎩⎨⎧-=+-=+,10,232121x bx bx x 其中b 为实数,则方法收敛的充分条件是b 满足条件( );4、取步长为1.0=h ,用欧拉法计算初值问题22',(0)0,y x y y ⎧=+⎨=⎩的解函数)(x y ,它在3.0=x 的近似值为( );5、已知方程0sin 1=--x x 在)1,0(有一个根,使用二分法求误差不大于41021-⨯的近似解至少需要经过( )次迭代。
数值分析习题集及答案[1](精)
数值分析习题集(适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》)长沙理工大学第一章 绪 论1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差.2. 设x 的相对误差为2%,求nx 的相对误差.3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====⨯4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数.5. 计算球体积要使相对误差限为1%,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?6. 设028,Y =按递推公式1n n Y Y -= ( n=1,2,…)计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差?7. 求方程25610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字≈27.982).8. 当N 充分大时,怎样求211Ndx x +∞+⎰?9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2?10. 设212S gt =假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小.11. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗?12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?3--13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式ln(ln(x x =-计算,求对数时误差有多大?14. 试用消元法解方程组{101012121010;2.x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠?15. 已知三角形面积1sin ,2s ab c =其中c 为弧度,02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ∆∆∆证明面积的误差s ∆满足.s a b c s a b c ∆∆∆∆≤++第二章 插值法1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令2000011211121()(,,,,)11n n n n nn n n n x x x V x V x x x x x x x xx x ----==证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x -,且 101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=--.2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式.3.4. 给出cos x ,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.5. 设0k x x kh =+,k =0,1,2,3,求032max ()x x x l x ≤≤.6. 设jx 为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:i) 0()(0,1,,);nk kj jj x l x x k n =≡=∑ii) 0()()1,2,,).nk jj j xx l x k n =-≡0(=∑7. 设[]2(),f x C a b ∈且()()0f a f b ==,求证21()()().8max max a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤≤-"8. 在44x -≤≤上给出()xf x e =的等距节点函数表,若用二次插值求xe 的近似值,要使截断误差不超过610-,问使用函数表的步长h 应取多少? 9. 若2nn y =,求4n y ∆及4n y δ. 10. 如果()f x 是m 次多项式,记()()()f x f x h f x ∆=+-,证明()f x 的k 阶差分()(0)k f x k m ∆≤≤是m k -次多项式,并且()0(m l f x l +∆=为正整数).11. 证明1()k k k k k k f g f g g f +∆=∆+∆. 12. 证明110010.n n kkn n k k k k f gf g f g g f --+==∆=--∆∑∑13. 证明1200.n j n j y y y -=∆=∆-∆∑14. 若1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++有n 个不同实根12,,,n x x x ,证明{10,02;, 1.1()n k njk n a k n j jx f x -≤≤-=-=='∑15. 证明n 阶均差有下列性质: i)若()()F x cf x =,则[][]0101,,,,,,n n F x x x cf x x x =;ii) 若()()()F x f x g x =+,则[][][]010101,,,,,,,,,n n n F x x x f x x x g x x x =+.16. 74()31f x x x x =+++,求0172,2,,2f ⎡⎤⎣⎦及0182,2,,2f ⎡⎤⎣⎦.17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是(4)22311()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x ++=ξ--ξ∈并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.18. 求一个次数不高于4次的多项式()P x ,使它满足(0)(1)P P k =-+并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式()P x ,以便使它能够满足以下边界条件(0)(0)0P P ='=,(1)(1)1P P ='=,(2)1P =.20. 设[](),f x C a b ∈,把[],a b 分为n 等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数()n x ϕ并证明当n →∞时,()n x ϕ在[],a b 上一致收敛到()f x .21. 设2()1/(1)f x x =+,在55x -≤≤上取10n =,按等距节点求分段线性插值函数()h I x ,计算各节点间中点处的()h I x 与()f x 的值,并估计误差.22. 求2()f x x =在[],a b 上的分段线性插值函数()h I x ,并估计误差.23. 求4()f x x =在[],a b 上的分段埃尔米特插值,并估计误差.试求三次样条插值并满足条件i) (0.25) 1.0000,(0.53)0.6868;S S '='= ii)(0.25)(0.53)0.S S "="=25. 若[]2(),f x C a b ∈,()S x 是三次样条函数,证明i)[][][][]222()()()()2()()()bbbbaaaaf x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx"-"="-"+""-"⎰⎰⎰⎰;ii) 若()()(0,1,,)i i f x S x i n ==,式中i x 为插值节点,且01n a x x x b =<<<=,则[][][]()()()()()()()()()b aS x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'⎰.26. 编出计算三次样条函数()S x 系数及其在插值节点中点的值的程序框图(()S x 可用(8.7)式的表达式).第三章 函数逼近与计算1. (a)利用区间变换推出区间为[],a b 的伯恩斯坦多项式.(b)对()sin f x x =在[]0,/2π上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证:(a)当()m f x M ≤≤时,(,)n m B f x M ≤≤. (b)当()f x x =时,(,)n B f x x =. 3. 在次数不超过6的多项式中,求()sin 4f x x =在[]0,2π的最佳一致逼近多项式. 4. 假设()f x 在[],a b 上连续,求()f x 的零次最佳一致逼近多项式. 5. 选取常数a ,使301max x x ax≤≤-达到极小,又问这个解是否唯一?6. 求()sin f x x =在[]0,/2π上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.7. 求()xf x e =在[]0,1上的最佳一次逼近多项式.8. 如何选取r ,使2()p x x r =+在[]1,1-上与零偏差最小?r 是否唯一?9. 设43()31f x x x =+-,在[]0,1上求三次最佳逼近多项式.10. 令[]()(21),0,1n n T x T x x =-∈,求***0123(),(),(),()T x T x T x T x .11. 试证{}*()nTx 是在[]0,1上带权ρ=的正交多项式.12. 在[]1,1-上利用插值极小化求11()f x tg x -=的三次近似最佳逼近多项式.13. 设()xf x e =在[]1,1-上的插值极小化近似最佳逼近多项式为()n L x ,若nf L ∞-有界,证明对任何1n ≥,存在常数n α、n β,使11()()()()(11).n n n n n T x f x L x T x x ++α≤-≤β-≤≤14. 设在[]1,1-上234511315165()128243843840x x x x x x ϕ=-----,试将()x ϕ降低到3次多项式并估计误差.15. 在[]1,1-上利用幂级数项数求()sin f x x =的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.16. ()f x 是[],a a -上的连续奇(偶)函数,证明不管n 是奇数或偶数,()f x 的最佳逼近多项式*()n n F x H ∈也是奇(偶)函数.17. 求a 、b 使[]220sin ax b x dx π+-⎰为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.18. ()f x 、[]1(),g x C a b ∈,定义 ()(,)()();()(,)()()()();b baaa f g f x g x dxb f g f x g x dx f a g a =''=''+⎰⎰问它们是否构成内积?19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计6101x dx x +⎰的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其结果.20. 选择a ,使下列积分取得最小值:1122211(),x ax dx x ax dx----⎰⎰.21. 设空间{}{}10010121,,,span x span x x 1ϕ=ϕ=,分别在1ϕ、2ϕ上求出一个元素,使得其为[]20,1x C ∈的最佳平方逼近,并比较其结果.22. ()f x x =在[]1,1-上,求在{}2411,,span x x ϕ=上的最佳平方逼近.23.sin (1)arccos ()n n x u x +=是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系()()()112n n n u x xu x u x +-=-.24. 将1()sin2f x x=在[]1,1-上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.25. 把()arccos f x x =在[]1,1-上展成切比雪夫级数.26.2y a bx =+.27.用最小二乘拟合求.29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT 算法的程序框图. 31. 现给出一张记录{}{}4,3,2,1,0,1,2,3k x =,试用改进FFT 算法求出序列{}k x 的离散频谱{}k C (0,1,,7).k =第四章 数值积分与数值微分1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度:(1)101()()(0)()hhf x dx A f h A f A f h --≈-++⎰; (2)21012()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰;(3)[]1121()(1)2()3()/3f x dx f f x f x -≈-++⎰;(4)[][]20()(0)()/1(0)()hf x dx h f f h ah f f h ≈++'-'⎰.2. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:(1)120,84xdx n x =+⎰; (2)1210(1),10x e dx n x --=⎰;(3)1,4n =⎰;(4),6n =.3. 直接验证柯特斯公式(2.4)具有5次代数精度.4. 用辛普森公式求积分10x e dx-⎰并计算误差. 5. 推导下列三种矩形求积公式:(1)2()()()()()2ba f f x dxb a f a b a 'η=-+-⎰; (2)2()()()()()2baf f x dx b a f b b a 'η=---⎰; (3)3()()()()()224baa b f f x dx b a f b a +"η=-+-⎰. 6. 证明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)当n →∞时收敛到积分()baf x dx⎰.7. 用复化梯形公式求积分()baf x dx⎰,问要将积分区间[],a b 分成多少等分,才能保证误差不超过ε(设不计舍入误差)?8.1x e dx-,要求误差不超过510-.9. 卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是S a =θ,这里a 是椭圆的半长轴,c 是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离,记h 为近地点距离,H 为远地点距离,6371R =公里为地球半径,则(2)/2,()/2a R H h c H h =++=-.我国第一颗人造卫星近地点距离439h =公里,远地点距离2384H =公里,试求卫星轨道的周长.10. 证明等式3524sin3!5!n n nnππππ=-+-试依据sin(/)(3,6,12)n n n π=的值,用外推算法求π的近似值.11. 用下列方法计算积分31dyy ⎰并比较结果.(1) 龙贝格方法;(2) 三点及五点高斯公式;(3) 将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式.12. 用三点公式和五点公式分别求21()(1)f x x =+在x =1.0,1.1和1.2处的导数值,并估计误()f x第五章 常微分方程数值解法1. 就初值问题0)0(,=+='y b ax y 分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达式,并与准确解bx ax y +=221相比较。
数值分析试卷及其答案1
1. 已知325413.0,325413*2*1==X X 都有6位有效数字,求绝对误差限。
(4分)解:由已知可知,n=65.01021,0,6,10325413.0016*1=⨯==-=⨯=ε绝对误差限n k k X 2分 620*21021,6,0,10325413.0-⨯=-=-=⨯=ε绝对误差限n k k X 2分2. 已知⎢⎢⎢⎣⎡=001A 220- ⎥⎥⎥⎦⎤440求21,,A A A ∞ (6分)解:{},88,4,1max 1==A1分{},66,6,1max ==∞A1分()AA A T max 2λ=1分⎢⎢⎢⎣⎡=001A A T420⎥⎥⎥⎦⎤-420⎢⎢⎢⎣⎡001220-⎥⎥⎥⎦⎤440=⎢⎢⎢⎣⎡00180⎥⎥⎥⎦⎤3200 2分{}3232,8,1max )(max ==A A T λ1分24322==A3. 设32)()(a x x f -= (6分) ① 写出f(x )=0解的Ne wt on迭代格式② 当a 为何值时,)(1k k x x ϕ=+ (k=0,1……)产生的序列{}k x 收敛于2解:①N ewton 迭代格式为:xa x x x ax a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(22321+=+=---=-=+ϕ 3分 ②时迭代收敛即当222,11210)2(',665)('2<<-<-=-=a a x a x ϕϕ 3分4. 给定线性方程组A x=b ,其中:⎢⎣⎡=13A ⎥⎦⎤22,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=13b 用迭代公式)()()()1(k k k Ax b x x -+=+α(k=0,1……)求解Ax =b,问取什么实数α,可使迭代收敛(8分)解:所给迭代公式的迭代矩阵为⎥⎦⎤--⎢⎣⎡--=-=ααααα21231A I B 2分其特征方程为0)21(2)31(=----=-αλαααλλB I2分即,解得αλαλ41,121-=-= 2分 要使其满足题意,须使1)(<B ρ,当且仅当5.00<<α 2分5. 设方程Ax=b,其中⎢⎢⎢⎣⎡=211A 212 ⎥⎥⎥⎦⎤-112,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=765b 试讨论解此方程的Jaco bi迭代法的收敛性,并建立Gauss-Seidel 迭代格式 (9分)解:U D L A ++=⎢⎢⎢⎣⎡--=+-=-21)(1U L D B J22--⎥⎥⎥⎦⎤-012 3分,03213=====-λλλλλJ B I2分即10)(<=J B ρ,由此可知Jaco bi 迭代收敛 1分Gauss -Seidel 迭代格式:⎪⎩⎪⎨⎧--=--=+-=++++++)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(12276225k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k=0,1,2,3……) 3分6. 用Dool ittl e分解计算下列3个线性代数方程组:i i b Ax =(i =1,2,3)其中⎢⎢⎢⎣⎡=222A 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421,23121,,974x b x b b ==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡= (12分)解:①11b Ax =⎢⎢⎢⎣⎡222 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=9741x A=⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100⎢⎢⎢⎣⎡002021 ⎥⎥⎥⎦⎤211=LU 3分由Ly=b1,即⎢⎢⎢⎣⎡111110⎥⎥⎥⎦⎤100y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡974得y =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡234 1分由Ux1=y ,即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡234 得x1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 2分②22b Ax =⎢⎢⎢⎣⎡222 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421x2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111由Ly=b2=x 1,即⎢⎢⎢⎣⎡111110 ⎥⎥⎥⎦⎤100y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 得y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001 1分由U x2=y,即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001得x2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡005.0 2分③33b Ax =⎢⎢⎢⎣⎡222 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421x3=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡005.0 由L y=b3=x2,即⎢⎢⎢⎣⎡111110 ⎥⎥⎥⎦⎤100y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡005.0 得y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-05.05.0 1分由U x3=y,即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x3=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-05.05.0 得x3=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-025.0375.0 2分7. 已知函数y=f(x)有关数据如下:要求一次数不超过3的H 插值多项式,使'11'33)(,)(y x H y x H i i == (6分)解:作重点的差分表,如下:3分21021101011001003))(](,,,[))(](,,[)](,[][)(x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x H --+--+-+= =-1+(x+1)-x(x+1)+2x.x(x +1)=232x x +3分8. 有如下函数表:试计算此列表函数的差分表,并利用New ton 前插公式给出它的插值多项式 (7分)解:由已知条件可作差分表,3分i ih x x i =+=0 (i =0,1,2,3)为等距插值节点,则N ew ton 向前插值公式为: 033210022100003!3))()((!2))((!1)()(f hx x x x x x f h x x x x f h x x f x N ∆---+∆--+∆-+= =4+5x+x(x-1)=442++x x4分9. 求f(x)=x 在[-1,1]上的二次最佳平方逼近多项式)(2x P ,并求出平方误差 (8分)解:令22102)(x a x a a x P ++=2分取m =1, n=x , k=2x ,计算得: (m,m)=dx ⎰-111=0 (m,n)=dx x ⎰-11=1 (m ,k)=dx x⎰-112=0(n,k)=dx x⎰-113=0.5 (k,k)=dx x⎰-114=0 (m,y )=dx x ⎰-11=1(n,y)=dx x ⎰-112=0 (k ,y )=dx x ⎰-113=0.5得方程组:⎪⎩⎪⎨⎧==+=5.05.005.011201a a a a 3分解之得c a a c a 2,1,210-=== (c 为任意实数,且不为零) 即二次最佳平方逼近多项式222)(cx x c x P -+=1分平方误差:32),(22222222=-=-=∑=i i i y a fp f ϕδ 2分10. 已知如下数据:用复合梯形公式,复合Si mps on 公式计算⎰+=10214dx x π的近似值(保留小数点后三位) (8分)解:用复合梯形公式: )}1()]87()43()85()21()83()41()81([2)0({1618f f f f f f f f f T ++++++++==3.1394分用复合Simpso n公式: )}1()]43()21()41([2)]87()85()83()81([4)0({2414f f f f f f f f f S ++++++++= =3.1424分11. 计算积分⎰=2sin πxdx I ,若用复合Simpso n公式要使误差不超过51021-⨯,问区间]2,0[π要分为多少等分?若改用复合梯形公式达到同样精确度,区间]2,0[π应分为多少等分? (10分)解: ①由Simp son 公式余项及x x f x x f sin )(,sin )()4(==得544)4(2041021)1()4(360)(max )4(1802)(-≤≤⨯≤=≤n x f n f R x n πππππ2分即08.5,6654≥≥n n ,取n=6 2分即区间]2,0[π分为12等分可使误差不超过51021-⨯1分②对梯形公式同样1)(''max 20≤≤≤x f x π,由余项公式得51021)2(122)(-⨯≤≤n f R n ππ2分即255,2.254=≥n n 取 2分即区间]2,0[π分为510等分可使误差不超过51021-⨯1分12. 用改进Eu le r格式求解初值问题:⎩⎨⎧==++1)1(0sin 2'y x y y y 要求取步长h 为0.1,计算y(1.1)的近似值 (保留小数点后三位)[提示:sin1=0.84,si n1.1=0.89] (6分)解:改进Eul er 格式为:⎪⎩⎪⎨⎧++=+=+-++-+)],(),([2),(1111n n n n n n n n n n y x f y x f hy y y x hf y y2分于是有⎪⎩⎪⎨⎧+++-=+-=+-++-+-+)sin sin (05.0)sin (1.012112121n n n n n n n n n n n n n x y y x y y y y x y y y y (n=0,1,2……) 2分 由y(1)=0y =1,计算得⎪⎩⎪⎨⎧=≈=+-=-838.0)1.1(816.0)1sin 11(1.01121y y y2分即y(1.1)的近似值为0.83813. ][],[],,[lim ],[),,(],,[)(0'000000'x f x x f x x f x x f b a x b a C x f x x ==∈∈→证明:定义:设(4分)证明:]['],[],[],[lim ][][lim]['00000000000x f x x f x x f x x f x x x f x f x f x x x x ===--=→→故可证出4分14. 证明:设nn RA ⨯∈,⋅为任意矩阵范数,则A A ≤)(ρ (6分)证明:设λ为A 的按模最大特征值,x 为相对应的特征向量,则有Ax=λx1分且λρ=)(A ,若λ是实数,则x 也是实数,得Ax x =λ1分而xx ⋅=λλx A x ,⋅≤⋅⋅≤λ故x A Ax2分 由于A x 0x ≤≠λ得到,两边除以1分 故A A ≤)(ρ1分当λ是复数时,一般来说x 也是复数,上述结论依旧成立。
数值分析试题及答案
数值分析试题及答案一、选择题(每题2分,共20分)1. 以下哪个算法是数值分析中用于求解线性方程组的直接方法?A. 牛顿法B. 高斯消元法C. 梯度下降法D. 蒙特卡洛方法答案:B2. 插值法中,拉格朗日插值法和牛顿插值法的共同点是:A. 都是多项式插值B. 都使用差商C. 都只适用于等距节点D. 都需要预先知道所有数据点答案:A3. 在数值积分中,辛普森(Simpson)公式比梯形公式的误差:A. 更大B. 更小C. 相同D. 无法比较答案:B4. 以下哪个是数值稳定性分析中常用的方法?A. 条件数B. 收敛性C. 收敛速度D. 误差分析答案:A5. 在求解常微分方程的数值解时,欧拉方法属于:A. 单步法B. 多步法C. 隐式方法D. 显式方法答案:A6. 以下哪个是数值分析中求解非线性方程的迭代方法?A. 高斯-约当消元法B. 牛顿-拉弗森方法C. 雅可比迭代法D. 高斯-赛德尔迭代法答案:B7. 线性插值公式中,如果给定两个点\( (x_0, y_0) \)和\( (x_1, y_1) \),插值多项式是:A. \( y = y_0 + \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}(x - x_0) \)B. \( y = y_0 + \frac{y_1 - y_0}{x_0 - x_1}(x - x_0) \)C. \( y = y_0 + \frac{x - x_0}{x_1 - x_0}(y_1 - y_0) \)D. \( y = y_1 + \frac{x_1 - x}{x_1 - x_0}(y_0 - y_1) \)答案:C8. 以下哪个是数值分析中用于求解特征值问题的算法?A. 幂法B. 共轭梯度法C. 牛顿法D. 欧拉法答案:A9. 在数值微分中,使用有限差分法来近似导数时,中心差分法的误差:A. 与步长成正比B. 与步长的平方成正比C. 与步长的立方成正比D. 与步长的四次方成正比答案:B10. 以下哪个是数值分析中用于求解线性最小二乘问题的算法?A. 梯度下降法B. 牛顿法C. 奇异值分解法D. 共轭梯度法答案:C二、简答题(每题10分,共30分)1. 简述数值分析中病态问题的特点及其对算法的影响。
《数值分析》练习题及答案解析
《数值分析》练习题及答案解析第一章 绪论主要考查点:有效数字,相对误差、绝对误差定义及关系;误差分类;误差控制的基本原则;。
1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有( )和( )位有效数字.A .4和3B .3和2C .3和4D .4和4 答案:A2. 设 2.3149541...x *=,取5位有效数字,则所得的近似值x=___________ .答案:2.31503.若近似数2*103400.0-⨯=x 的绝对误差限为5105.0-⨯,那么近似数有几位有效数字 解:2*103400.0-⨯=x ,325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。
4 . 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少?解:10314159.0⨯= π,欲使其近似值*π具有4位有效数字,必需!41*1021-⨯≤-ππ,3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ,即14209.314109.3*≤≤π即取( , )之间的任意数,都具有4位有效数字。
第二章 非线性方程求根 主要考查点:二分法N 步后根所在的区间,及给定精度下二分的次数计算;非线性方程一般迭代格式的构造,(局部)收敛性的判断,迭代次数计算; 牛顿迭代格式构造;求收敛阶;1.用二分法求方程012=--x x 的正根,要求误差小于0.05。
(二分法)解:1)(2--=x x x f ,01)0(<-=f ,01)2(>=f ,)(x f 在[0,2]连续,故[0,2]为函数的有根区间。
"(1)计算01)1(<-=f ,故有根区间为[1,2]。
(2)计算041123)23()23(2<-=--=f ,故有根区间为]2,23[。
(3)计算0165147)47()47(2>=--=f ,故有根区间为]47,23[。
(4)计算06411813)813()813(2>=--=f ,故有根区间为]813,23[。
数值分析考试
数值分析(100分试题) 第 1 页 共 3 页一、、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)1、设*0.034x 为经过四舍五入后得到的近似数,则数*x 的有效数字位数是 。
2、设节点,0,1,2,3,,i x i n = ,(),0,1,2,,i l x i n = 是关于上述节点的Lagrange 插值基函数,则对于0,1,2,,k n = ,0()n k i i i x l x ==∑ 。
3、已知矩阵411141114A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 求||||A ∞= ;2()cond A = 。
4、给定方程22cos x x =-,求该方程根的Newton 迭代格式是 。
5、 步长为h 时,求常微分方程初值问题⎩⎨⎧=≤≤=-1)0(,10,0'3y x xy y 的改进的Euler 公式是 。
二、(10分)求一个3次多项式)(x p ,使其满足4)2('',3)2(,2)1(',1)1(====p p p p .三、(10分)给定线性方程组12310112013a x a a x a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦其中a 为常数.写出求解上述线性方程组的Jacobi 迭代格式,并分析当a 取何值时Jacobi 迭代法收敛。
四、(10分)用列主元Gauss 消去法解线性方程组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡81213612002120321203214321x x x x 五、(10分)求3()f x x = 在区间[1,1]- 上关于()1x ρ= 的最佳平方逼近2次多项式。
六、(10分) 分析方程01224=---x x x 存在几个实根,并用迭代法求出其中一个实根,精确到3位有效数字。
七、(10分)已知求积公式 )53(95)0(98)53(95)(11f f f dx x f ++-≈⎰- 为Gauss 公式,试给出形如)()()()(221100x f A x f A x f A dx x f ba++≈⎰的求积公式,使其代数精度达到5.八、(10分)用初等反射矩阵将111211245A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦分解为QR 的形式,其中Q 为正交矩阵,R 为上三角矩阵。
数值分析题库及标准答案
模 拟 试 卷(一)一、填空题(每小题3分,共30分)1.有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是 次的.2.设152210142-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A ,342⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭x ,则 ∞A = ., 1x = ______.3.已知y =f (x )的均差(差商)01214[,,]3f x x x =,12315[,,] 3f x x x =,23491[,,]15f x x x =,0238[,,] 3f x x x =, 那么均差423[,,]f x x x = .4.已知n =4时Newton -Cotes 求积公式的系数分别是:,152,4516,907)4(2)4(1)4(0===C C C 则)4(3C = .5.解初始值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进的Euler 方法是 阶方法;6.求解线性代数方程组123123123530.13260.722 3.51x x x x x x x x x --=⎧⎪-++=⎨⎪++=⎩的高斯—塞德尔迭代公式为 ,若取(0)(1,1,1)=-r x, 则(1)=rx .7.求方程()x f x =根的牛顿迭代格式是 .8.01(), (),, ()n x x x l l L l 是以整数点01, ,, ,n x x x L 为节点的Lagrange 插值基函数,则()nk jk k x x =∑l= .9.解方程组=Ax b 的简单迭代格式(1)()k k +=+xBx g 收敛的充要条件是 .10.设(-1)1,(0)0,(1)1,(2)5f f f f ====,则()f x 的三次牛顿插值多项式为 ,其误差估计式为 .二、综合题(每题10分,共60分)1.求一次数不超过4次的多项式()p x 满足:(1)15p =,(1)20p '=,(1)30p ''=(2)57p =,(2)72p '=.2.构造代数精度最高的形式为10101()()(1)2xf x dx A f A f ≈+⎰的求积公式,并求出其代数精度.3.用Newton 法求方程2ln =-x x 在区间) ,2(∞内的根, 要求8110--<-kk k x x x .4.用最小二乘法求形如2y a bx =+的经验公式拟合以下数据:5.用矩阵的直接三角分解法解方程组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡71735 30103421101002014321x x x x .6 试用数值积分法建立求解初值问题0(,)(0)y f x y y y '=⎧⎨=⎩的如下数值求解公式1111(4)3n n n n n hy y f f f +-+-=+++,其中(,),1,,1i i i f f x y i n n n ==-+.三、证明题(10分)设对任意的x ,函数()f x 的导数()f x '都存在且0()m f x M '<≤≤,对于满足20Mλ<<的任意λ,迭代格式1()k k k x x f x λ+=-均收敛于()0f x =的根*x .参考答案一、填空题1.5; 2. 8, 9 ; 3.9115; 4. 1645; 5. 二; 6. (1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)312(330.1)/5(220.7)/6(12)*2/7k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪=+-⎨⎪=--⎩, (0.02,0.22,0.1543) 7. 1()1()k k k k k x f x x x f x +-=-'-; 8. j x ; 9. ()1B ρ<;10.32(4)11,()(1)(1)(2)/24(1,2)66x x x f x x x x ξξ+-+--∈-二、综合题 1.差商表:233234()1520(1)15(1)7(1)(1)(2)5432p x x x x x x x x x x =+-+-+-+--=++++其他方法:设233()1520(1)15(1)7(1)(1)()p x x x x x ax b =+-+-+-+-+ 令(2)57p =,(2)72p '=,求出a 和b. 2.取()1,f x x =,令公式准确成立,得:0112A A +=, 011123A A +=, 013A =, 116A =. 2()f x x =时,公式左右14=;3()f x x =时,公式左15=, 公式右524=∴ 公式的代数精度2=. 3.此方程在区间) ,2(∞内只有一个根s ,而且在区间(2,4)内。
数值分析考试题
数值分析考试题一、选择题1. 以下哪个方法不是数值分析中常用的数值积分方法?A. 梯形法则B. 辛普森法则C. 牛顿法D. 龙格-库塔法2. 在求解线性方程组的直接方法中,高斯消元法属于以下哪种类型?A. 列主元消去法B. 行主元消去法C. 完全主元消去法D. 选主元消去法3. 非线性方程求根的二分法属于以下哪种类型的数值方法?A. 迭代法B. 直接法C. 优化算法D. 插值法4. 在数值分析中,用于度量舍入误差的常用指标是:A. 截断误差B. 舍入误差C. 估计误差D. 计算误差5. 插值多项式的最高次数与插值节点的数量关系是:A. 次数多于节点数量B. 次数少于节点数量C. 次数等于节点数量D. 与节点数量无关二、填空题1. 在数值分析中,__________是用来描述一个算法在实际运算中所需步数的度量。
2. 线性方程组的雅可比方法是一种__________消去法。
3. 牛顿法在求解非线性方程时,每次迭代都需要计算__________。
4. 龙格现象是指在数值积分中,由于__________而引起的误差。
5. 在多项式插值中,拉格朗日插值法是通过__________来构建插值多项式的。
三、简答题1. 请简述数值分析中的截断误差和舍入误差的区别。
2. 描述高斯-赛德尔迭代法的基本思想,并与雅可比迭代法进行比较。
3. 解释在数值积分中为什么需要使用自适应方法。
4. 讨论在求解非线性方程时,二分法与牛顿法的适用条件和优缺点。
5. 分析多项式插值与样条插值的主要区别及其各自的应用场景。
四、计算题1. 给定函数f(x) = sin(x),在区间[0, π]上使用梯形法则计算积分的近似值,取4个等分点。
2. 设线性方程组如下:\[\begin{cases}2x + y + z = 6 \\x + 2y + 4z = 14 \\3x + y + 2z = 10\end{cases}\]使用高斯消元法求解该方程组的解。
数值分析试题及答案
数值分析试题及答案一、选择题(每题3分,共30分)1. 下列关于数值分析的说法,错误的是()。
A. 数值分析是研究数值方法的科学B. 数值分析是研究数值方法的数学理论C. 数值分析是研究数值方法的误差分析D. 数值分析是研究数值方法的数学理论、误差分析及数值方法的实现答案:B2. 在数值分析中,插值法主要用于()。
A. 求解微分方程B. 求解积分方程C. 求解线性方程组D. 通过已知数据点构造一个多项式答案:D3. 线性方程组的解法中,高斯消元法属于()。
A. 直接方法B. 迭代方法C. 矩阵分解方法D. 特征值方法答案:A4. 牛顿法(Newton's method)是一种()。
A. 插值方法B. 拟合方法C. 迭代方法D. 优化方法答案:C5. 在数值分析中,下列哪种方法用于求解非线性方程的根?A. 高斯消元法B. 牛顿法C. 雅可比方法D. 斯托尔-温格尔方法答案:B6. 下列关于误差的说法,正确的是()。
A. 绝对误差总是大于相对误差B. 相对误差总是小于绝对误差C. 误差是不可避免的D. 误差总是可以消除的答案:C7. 在数值分析中,下列哪个概念与数值稳定性无关?A. 条件数B. 截断误差C. 舍入误差D. 插值多项式的阶数答案:D8. 用泰勒级数展开函数f(x)=e^x,下列哪一项是正确的?A. f(x) = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...B. f(x) = 1 - x + x^2/2! - x^3/3! + ...C. f(x) = x + x^2/2 + x^3/6 + ...D. f(x) = x - x^2/2 + x^3/6 - ...答案:A9. 插值多项式的次数最多为()。
A. n-1B. nC. n+1D. 2n答案:B10. 下列关于数值积分的说法,错误的是()。
A. 梯形法则是一种数值积分方法B. 辛普森法则是一种数值积分方法C. 龙格法则是数值积分方法中的一种D. 数值积分方法总是精确的答案:D二、填空题(每题3分,共15分)1. 在数值分析中,条件数是衡量问题的______。
数值分析试题及答案汇总
数值分析试题及答案汇总一、单项选择题(每题5分,共20分)1. 在数值分析中,下列哪个方法用于求解线性方程组?A. 牛顿法B. 插值法C. 迭代法D. 泰勒展开法答案:C2. 以下哪个选项是数值分析中用于求解非线性方程的迭代方法?A. 高斯消元法B. 牛顿法C. 多项式插值D. 辛普森积分法答案:B3. 以下哪个选项是数值分析中用于数值积分的方法?A. 牛顿法B. 辛普森积分法C. 牛顿-拉弗森迭代D. 拉格朗日插值答案:B4. 在数值分析中,下列哪个方法用于求解常微分方程的初值问题?A. 欧拉法B. 牛顿法C. 辛普森积分法D. 高斯消元法答案:A二、填空题(每题5分,共20分)1. 插值法中,拉格朗日插值法的插值多项式的阶数是______。
答案:n2. 泰勒展开法中,如果将函数展开到第三阶,那么得到的多项式是______阶多项式。
答案:三3. 在数值分析中,牛顿法求解非线性方程的迭代公式为______。
答案:x_{n+1} = x_n - f(x_n) / f'(x_n)4. 辛普森积分法是将积分区间分为______等分进行近似计算。
答案:偶数三、简答题(每题10分,共30分)1. 请简述数值分析中插值法的基本原理。
答案:插值法的基本原理是根据一组已知的数据点,构造一个多项式函数,使得该函数在给定的数据点上与数据值相等,以此来估计未知数据点的值。
2. 解释数值分析中误差的概念,并说明它们是如何影响数值计算结果的。
答案:数值分析中的误差是指由于计算方法或计算工具的限制,导致计算结果与真实值之间的差异。
误差可以分为舍入误差和截断误差。
舍入误差是由于计算机表示数值的限制而产生的,而截断误差是由于计算方法的近似性质而产生的。
这些误差会影响数值计算结果的准确性和稳定性。
3. 请说明在数值分析中,为什么需要使用迭代法求解线性方程组。
答案:在数值分析中,迭代法用于求解线性方程组是因为对于大规模的方程组,直接方法(如高斯消元法)的计算成本很高,而迭代法可以在较少的计算步骤内得到近似解,并且对于稀疏矩阵特别有效。
数值分析试题及答案
数值分析试题一、 填空题(2 0×2′)1.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=32,1223X A 设x =0.231是精确值x *=0.229的近似值,则x 有 2位有效数字。
2. 若f (x )=x 7-x 3+1,则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 , f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]=0 。
3. 设,‖A ‖∞=___5 ____,‖X ‖∞=__ 3_____,‖AX ‖∞≤_15_ __。
4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ,则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。
5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。
6. 当插值节点为等距分布时,若所求节点靠近首节点,应该选用等距节点下牛顿差商公式的 前插公式 ,若所求节点靠近尾节点,应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ;如果要估计结果的舍入误差,应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。
7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是:=∑=ni i x a 0)( 1 ;所以当系数a i (x )满足 a i (x )>1 ,计算时不会放大f (x i )的误差。
8. 要使20的近似值的相对误差小于0.1%,至少要取 4 位有效数字。
9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ,线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。
10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。
11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。
12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的,其中的残差r i =(b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ,(i =0,1,…,n )。
数值分析试题
数值分析试题一、选择题1.数值分析的目的是:– A. 提供数值计算的方法和技巧– B. 解决数值计算中的实际问题– C. 研究数值计算的理论基础– D. 分析和验证已有的数值计算方法2.数值分析中的舍入误差是由以下哪个原因引起的?– A. 人为输入错误– B. 计算机运算精度限制– C. 近似计算方法的局限性– D. 数值计算方法的选择问题3.在数值分析中,下面哪个方法适用于求解非线性方程的根?– A. 二分法– B. 直接法– C. 迭代法– D. 插值法4.数值逼近的基本思想是:– A. 将数值计算转化为代数运算– B. 通过逼近函数来计算数值– C. 求解数值问题的方法– D. 对数值计算进行近似处理5.下列哪个方法不属于数值微分的计算方法?– A. 差商法– B. 导数法– C. 插值法– D. 积分法二、判断题1.数值方法与符号计算方法是相互独立的。
–正确 / 错误2.数值计算方法可以得到精确的数值解。
–正确 / 错误3.数值分析只研究数值计算的精确性,不关注计算效率。
–正确 / 错误4.数值积分是求解定积分近似值的方法。
–正确 / 错误5.数值微分是求解函数导数的近似值的方法。
–正确 / 错误三、简答题1.解释数值分析的基本原理及其应用。
2.什么是舍入误差?其产生的原因有哪些?3.简述求解非线性方程根的迭代法的基本思想。
4.数值逼近的方法有哪些?各自的优缺点是什么?5.分析数值微分方法的优缺点,并举例说明其应用场景。
四、计算题1.使用二分法求方程 f(x) = x^3 - x^2 - 1 的一个实根,给出计算过程和结果。
2.使用差分法求函数 f(x) = x^2 在点 x = 1 处的一阶导数近似值,给出计算过程和结果。
3.使用拉格朗日插值法在已知数据点 (0, 0), (1, 1), (2, 4) 的基础上,求出 f(x) = x^2 的一个三次插值多项式,并计算插值多项式在 x = 1.5 处的近似值。
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第一章 绪论 2 第二章 函数插值 3 第三章 函数逼近 6 第四章 数值积分与数值微分 10 第五章 解线性方程组的直接解法 13 第六章 解线性方程组的迭代解法 14 第七章 非线性方程求根 16 第九章 常微分方程初值问题的数值解法 19
第一章 绪论
1.1 要使的相对误差不超过0.1%,应取几位有效
解 对y=f(x)的反函数进行三次插值,插值多项式为
+ + + =, 于是有
。
第三章 函数逼近
3.1证明定义于内积空间H上的函数是一种范数。
证明: 正定性当且仅当时; 齐次性 设为数域K上任一数 三角不等式 ;
于是有 故是H上的一种范数。
3.2求,在空间上的最佳平方逼近多项式,并给出 误差。
解: 第一步:构造内积空间上的一组正交基,其中内积: 第二步:计算的二次最佳平方逼近多项式 从第一步已经知道,利用公式得: 误差为:
数字?
解:
的首位数字。 设有 n位有效数字,由定理知相对误差限 令, 解得,即需取四位有效数字.
1.2 序列满足关系式,若,计算到,误差有多
大?这个算法稳定吗?
解:,于是 ,一般地,因此计算到其误差限为,可见这个计算过程是不稳定的。
1.3 计算球的体积,要使相对误差限为1%,问测 量半径R时允许的相对误差限是多少?
4.1、计算积分,若用复化梯公式,问区间应分多 少等份才能使截断误差不超过?若改用复化辛普 森公式,要达到同样的精度,区间应分多少等 份?
解:由于,,,故对复化梯公式,要求 ,
即,.取,即将区间分为等份时,用复化梯公式计算,截断误差不超过. 用复化辛普森公式,要求 ,
即,.取,即将区间等分为8等份时,复化辛普森公式可达精度.
解:
建立改进欧拉的迭代公式 n=0,1,2,3,4
迭代计算如下:
.1 0.00550 .2 0.02193 .3 0.05015 .4 0.09094 .5 0.14500
0.00516 0.02127 0.04918 0.08968 0.14347
X
1
3/2
0
2
f(x)
3
13/4
解:由函数值表建立差商表如下:
x
f(x)
一阶差商
3 二阶差商
5/3 三阶差商
1
3
3/2 0 2
13/4 3 5/3
1/2 1/6 -2/3
1/3 -5/3
-2
进而得牛顿多项式为
2.2、已知试选用合适的插值节点利用Lagrange
二次插值多项式计算的近似值,使之精度尽可能
超过0.0001的近似根。
解:
(1)迭代格式为在[1,2]上满足,因此迭代发散。 (2),又当时,,因此迭代格式收敛,取,则有
。
7.4 应用牛顿法于方程,导出求的迭代公式,由
此求。
解:
建立迭代格式: ,,因此该迭代格式在附近局部收敛到,且是2阶收敛的。取,迭代计算如下 ,
7.5确定常数p,q,r使迭代公式产生的序列收敛
3.3 确定参数,使得积分 取得最小值。
解:
定义内积,其中
,切比雪夫多项式关于此内积正交,其前三项为:
并且有
利用正交基最佳平方逼近多项式公式得二次最佳平方逼近多项
式有:
由最佳平方逼近的定义知,当时,积分取最小值,此时参数
为:
3.4 已知函数值表
x -2
-1
0
1
2
y0
1
2
1
0
试用二次多项式拟合这组数据。
2.4、求f(x)=在[a,b]上的分段线形插值函数, 并估计误差。
解:设采用节点, 定义 在[]上的线性插值函数 分段线性插值函数
误差估计: 而
2.5、已知单调连续函数y=f(x)在如下采样点处 的函数值:
1.0 1.4 1.8 2.0 -2.0 -0.8 0.4 1.2 求方程在[1,2]内根的近似值,使误差尽可能 小。
解:(1),,根据定理7.3,当 =<1,亦即<C<0时收敛。
(2)由定理7.4知,当,即C=时迭代至少是二阶收敛的,收敛最快。 (3)分别取C=,,并取,迭代计算结果如下表所示。
k
0
1.2
k
0
1.2
1
1.48
1
6
1.413369586
2
12
1.414209303
3
13
1.414215327
4
1.397989899 1.414120505 1.414213559 1.414213562
4.4、用三点高斯公式计算。
解:积分区间[1,3],要使用高斯公式,需先变换到[-1,1]上,为此,作 变换:
y=(a+b)+(b-a)t = t + 2 则当y[1,3]时, t[-1,1], 且 dy = dt, =. 所以,三点高斯公式 =0.555 555 6(+)+
0.888 888 9 = 1.098 039 3
高。
解:依据误差估计式,选为插值节点,拉格朗日插值基函数为
二次插值多项式为
L2(x)= f(x0) +f(x1) +f(x2) =+2 +3 =
于是 f(-0.5) L2(-0.5)=1l0(-0.5)+ 2l1(-0.5)+ 3l2(-0.5) =
2.3、已知函数的如下函数值表,利用插值法计算
的近似值。
4.2、求高斯型求积公式 的系数,及节点。
解:上面的求积公式为高斯型求积公式,故对 故有
精确成立的。
写成矩阵形式
上两式右端写成等式,并化简有:
令
得
从而有
由前两个方程,得 所求高斯型求积公式为
4.3、定下列求积分公式的待定参数,使得求积分 公式的代数精度尽可能的高,并指明所确定的求 积分公式所具有的代数精度。 (1)(其中A、B、C为待定参数) (2)(其中、为待定参数)
解: ,即测量半径R时允许的相对误差限是。
1.4 试给出一种计算积分近似值的稳定递推算法
解: 对分部积分得到,进而解出, 由此公式可以看出,当有误差时,有误差,依次类推得到的误差为,随着递推过程进行,初始 误差对计算结果的影响越来越小,因而是一种稳定的运算公式。
第二章 函数插值
2.1、利用如下函数值表构造差商表,并写出牛顿 插值多项式。
解: (1) 求积公式中含有3个待定参数A、B、C,故令求积公式对精 确成立,即
解得: 又由 故具有三次代数精度。
(2) 求积公式中含有两个待定参数,,当时,有 故令求积公式对精确成立,即
解得 将代入求积公式,显然 故求积公式,当求积节点取或时,具有二次代数精度。 令 得n2.54。故取n=3,即需取2n+1=7个节点处的函数值。
此时都达到<。事实上,=1.414213562
7.2曲线 与 在点(1.6,1)附近相切,试用牛 顿迭代法求切点横坐标的近似值,使.
解:两曲线的导数分别为 和 ,两曲线相切,导数相等,故有
令,则,故区间[1,2]是的有根区间。又当时, ,因此在区间[1,2]上有唯一实根 ,对f(x) 应用牛顿迭代法,得计算公式
到,并使收敛的阶尽可能高。
解:
迭代函数,要使迭代序列收敛阶尽可高,应使由 即 (1),由 (2),同样由 (3),由(1),(2),(3)得到,而且由于知该迭代是三阶收敛的。
第九章 常微分方程初值问题的数值解法
9.1取步长h=0.2,用欧拉法求解初值问题
解:
建立迭代公式: 迭代计算得:
9.2取步长h=0.1, 用改进欧拉法求解初值问题
第五章 解线性方程组的直接解法
5.1、用分解法解方程组
解:设 由矩阵乘法得: 由 得 由 得
5.2设,,已知方程组的精确解为。 (1)计算条件数; (2)若近似解,计算剩余;
解:(1) (2)
第六章 解线性方程组的迭代解法
6.1对方程组,用雅可比迭代法求解是否收敛?若 收敛,取初始向量,迭代计算至。
解:雅可比迭代矩阵
故雅可比迭代法收敛。 雅可比迭代格式为 取初始值,计算如下表示:
k
0
0
0
0
1
1
3
5
2
5
-3
-3
3
1
1
1
4
1
1
1
由 ,故取
6.2对于方程组
(1)求证用jacobi迭代法和G-S迭代求解此方
程组均收敛.
(2)取,用jacobi迭代法和G-S迭代法求解要
求.
解:①,故雅可比迭代收敛。 ,所以G-S迭代收敛。 ②雅可比迭代格式为: 取初值迭代计算如下: 1 0.1 0.05 0.3333333 2 0.176667 0.1033333 0.4000000 3 0.200667 0.1253333 0.4611111 4 0.217289 0.1362450 0.4837777 … …. …. … 14 0.231081 0.1470411 0.5083260 15 0.231087 0.1470550 0.5083930 G-S迭代格式为: 取初值迭代计算如下:
由于,故取迭代计算一定收敛,计算结果如下表所示。
k
k
0
2.0 3
1 2.293 055 4 556
2 1.817 783 5 592
继续计算仍得 =1.7,故
1.706 815 287
1.700 025 611
1.7
7.3用简单迭代法求在[1,2]上的根,若迭代函
数分别取为和,问他们是否收敛?若收敛求误差不
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0.4
0.5