重庆高中数学必修三 第二章用样本估计总体全套教案
人教版高中数学必修三2.2用样本估计总体教案(2)
［教材习题研讨］P62探究方法点拨答案：（1）能.如：众数、中位数、平均数等，但它们各有特点，具体问题时应综合考虑.（2）可以.如：标准差、方差.P 63思考1正确理解每个数字特征的意义.答案：2.03这个中位数的估计值是由频率分布直方图中得来的，是在假设数据取值连续或均匀的基础上估计出的，但实际问题中数据的取值往往是不均匀的，出现偏差就不难理解.思考2体会“近似”“估计”答案：的确是这样.如：一个班级学生数学考试成绩的中位数不能反映班内“问题学生”与其他学生的具体差距.P64探究答案：我们必须问清所谓收入的平均水平具体指的是什么，若是中位数时，实际情况大体与我们从字面上的理解相符，若是平均数，则需要进一步了解企业各类岗位收入的离散情况，再作判断.P 64练习中位数对极端值不敏感.答案：（1）因为有的公路建设投资2200万元，属极端情况，大多数在20和100之间，此时平均数难以正确客观反映各项目投资的实际分布状况，不宜选用.而众数20万只说明投资20万的项目最多，不能反映其他项目的投资数额.中位数对极端值不敏感，能回避极端数额的影响，25万也较客观，故选中位数.（2）它的缺点是不能提供各项目投资金额的分布和离散情况.P 70练习深入问题，细致分析.1.答案：用科学计算器可得x甲=900，x乙=900，s甲=23.80＜s乙=41.63，所以甲种水稻的产量稳定.2.答案：（1）用科学计算器可得x=496.86g，s=6.55g；（2）有14袋，所占百分比为66.7%.3.答案：（1）在上述数据中，最大值是50.1，最小值是1.5，极差是50.1－1.5=48.6.如果将组距定为7，那么由48.6÷7=6.94，组数为7，这个组数是适合的.于是组距为7，组数为7.根据本题中数据的特点，第1小组的起点可取为1.5，第1小组的终点可取为8.5，为了避免一个数据既是起点，又是终点从而造成重复计算，我们规定分组的区间是“左闭右开”的.这样，所得到的分组是［1.5，8.5），［8.5，15.5），…，［43.5，50.5）.平均数、方差、标准差都可用科学计算器直接得出，但必须掌握笔算方法，因为有时科学计算器不许使用.列频率分布表如下表.（1）求最大值与最小值的差；（2）确定组距与组数；（3）决定分点；（4）列频率分布表；（5）绘制频率分布直方图.频率组距1.5,8.5)8.5,15.5)15.5,22.5)22.5,29.5)29.5,36.5)36.5,43.5)43.5,50.5)死亡率图2－2－13（2）x=19.25，s=12.50，如上图“1”位置即平均数是频率直方图的“重心”.死亡率在［6.75，31.75］内的国家有19个，所占比例63%，这说明该疾病死亡率地域性差异较大.P72习题2.2A组最后一行的合计不要遗忘，它可以及时检测你的过程有无错误.1.答案：（1）茎叶图如下.汞含量汞含量0.01.140096710482851.21.31.41.51.61.71.81.92.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.02.17494121522824881图2－2－14（2）分布比较分散，大多在0.8到1.6之间.（3）比1.00 ppm大.（4）x=1.08 ppm，s=0.45.（5）28条.2.答案：在数据中，最大值是385，最小值是25，极差是385－25=360.如果将组距定为40，那么由360÷40=9，组数为9，这个组数是适合的.于是组距为40，组数为9.根据本题中数据的特点，第1小组的起点可取为25，第1小组的终点可取为65，分组是［25，65），［65，105），…，［345，385］.作茎叶图先确定中间数取数据的哪几位，填写数据时边读边填，无需按大小排列.列频率分布表如下表. 绘制频率分布直方图的一般步骤：（1）求最大值与最小值的差；（2）确定组距与组数；（3）决定分点；（4）列频率分布表；（5）绘制频率分布直方图.频率 分组[25,65)[65,105)[105,145)[145,185)[185,225)[225,265)[265,305)[305,345)[345,385]图2－2－15利用科学计算器得x=238，s=113.94.中位数、众数、平均数如上图所示.平均数是直方图的重心，众数在最高小矩形的中点处，中位数的左右矩形的面积应相等，它们虽都是常用统计量，但数学意义不同，各具特色.3.答案：可以查阅一下这所大学招生的其他信息，中位数是550分，只能说明有50%的学生高于此分数，仍有50%的录取学生的分数低于550分，该生分数520分仍有可能.该例反映了中位数对极端值不敏感这一特点.中位数对极端值不敏感.4.答案：四种说法都正确，一队的平均失球数少于二队，故第一句正确；二队标准差较小，说明技术水平稳定；一队平均失球数是1.5，而其标准差却是1.1，离散程度较大，由此可判断一队表现不稳定；平均失球数是2.1，标准差只有0.4，每场得失球数相差不多，可见二队的确很少不失球.5.答案：（1）难度较大.平均数是3.5万，共50人，所以他们的总收入是165万，而最高收入者一人收入100万，可推知其他人的收入不高.（2）不能.极差只能反映数据变化的最大范围，却不能体现数据的具体分布情况.（3）可以根据自身的情况作出选择，初聘人员的收入一般在较低档.（4）1.5万.均值受极端值影响很大.正确理解平均数、中位数、众数、方差、标准差等各统计量的意义.6.答案：利用科学计算器得x甲=1.5，s甲=1.28，x乙=1.2，s乙=0.87.因x甲=1.5＞x乙=1.2，s甲=1.28＜s乙=0.87，可知，机床乙先比较平均数，了解平均水平的差距情况，差距显著则可以结合实际情况做出判断选择.若差距不明显则需进一步比较方差或平均数.样本数的性能较好.7.答案：（1）x=199.75，s=95.26.（2）抽取一样本后得x=169.17，s=56.30.（3）再抽取一样本后得x=166.29，s=59.65.（4）获取一容量是10的样本得x=218.30，s=118.97.同一个总体，抽取的样本不同，平均数、标准差等都会发生改变，这会影响对总体的估计，对总体估计的偏差取决于样本的质量.实际应用时在许可的前提下，适当增加样本容量来提高样本代表性，减少估计偏差.B组据的选取应运用正确的样本抽取方法，如用抽签法，切忌挑选数据，使样本缺乏代表性，使所取样本失去研究价值.1.答案：（1）第一次好；（2）第一次；（3）G最强，E最弱；（4）运动员F、H最不一致，C、G、L、I看起来最一致.2.答案：略.了解总体的情况是检查样本的目的，因此要求样本应具有很好的代表性，选择恰当的抽样方法获取高质量的样本.样本的良好客观代表性，完全依赖于恰当的抽样方法.。
高二数学必修三《用样本估计总体》优秀教案
（封面）高二数学必修三《用样本估计总体》优秀教案授课学科：授课年级：授课教师：授课时间：XX学校高中数学必修三《用样本估计总体》教案教学目标:【知识与技能】(1)了解通过抽样调查收集数据的方法；会设计简单的方案收集数据。
(2)通过抽样调查，初步感受抽样的必要性，体会用样本估计总体的思想。
(3)了解实验也是获得数据的有效方法。
【过程与方法】（1）通过生活实例的引入，使学生学会以数学的角度提出和理解问题，应用统计思想解决实际问题。
（2）让学生通过动手实验来体验一种在生产和科研中经常用到的“捉——放——捉”的方法。
【情感〃态度〃价值观】（1）通过简单的方案设计和师生双边的教学活动，让学生在运用统计的知识解决实际问题时，体验互动交流精神。
（2）通过实际参与收集整理.描述和分析数据的活动，经历统计的一般过程，感受统计在生活和生产中的作用，增强学习统计的兴趣，初步建立统计观念，培养重视调查研究的良好习惯和科学态度。
教学重难点：让学生通过动手实验来体验一种在生产和科研中经常用到的“捉--放--捉”的方法。
教学过程：（一）创设情境导入新课【问题1】瓶子中有多少豆子？先让学生初步探讨问题，交流方案；【学生实验参考方案】（一）(全面调查) 直接数瓶子中的豆子；（二）（抽样调查）先将豆子若干等份，数出其中一份豆子的数量，以此估计总量。
用称重的方法，先称出所有豆子的重量m，再称出一杯豆子的重量n，并数清这杯豆子的粒数p，则这一杯豆子平均每粒重m/p,以此就可以估计出瓶子中豆子的粒数q:q ≈p／n ×m采用“捉--放--捉”的方法；（本节课的主要实验方法）【课堂实验】实验步骤：（1）从瓶子中取出一些豆子，记录这些豆子的粒数m；（2）给这些豆子做上记号；（3）把这些豆子放回瓶子中，充分摇匀；（4）从瓶子中再取出一些豆子，记录这些豆子的粒数p和其中带有记号的豆子的粒数n；（5）利用得到的数据m,p,n,估计原来瓶子中豆子的粒数q，q ≈p／n ×m（6）数出瓶子中豆子的总数，验证你的估计。
高二数学必修三《用样本估计总体》优秀教案
高二数学必修三《用样本估计总体》优秀教案高二数学必修三《用样本估计总体》优秀教案高中数学必修三《用样本估计总体》教案教学目标:[知识与技能](1)了解通过抽样调查收集数据的方法；会设计简单的方案收集数据。
(2)通过抽样调查，初步感受抽样的必要性，体会用样本估计总体的思想。
(3)了解实验也是获得数据的有效方法。
[过程与方法]（1）通过生活实例的引入，使学生学会以数学的角度提出和理解问题，应用统计思想解决实际问题。
（2）让学生通过动手实验来体验一种在生产和科研中经常用到的“捉——放——捉”的方法。
[情感〃态度〃价值观]（1）通过简单的方案设计和师生双边的教学活动，让学生在运用统计的知识解决实际问题时，体验互动交流精神。
（2）通过实际参与收集整理.描述和分析数据的活动，经历统计的一般过程，感受统计在生活和生产中的作用，增强学习统计的兴趣，初步建立统计观念，培养重视调查研究的良好习惯和科学态度。
教学重难点：让学生通过动手实验来体验一种在生产和科研中经常用到的“捉--放--捉”的方法。
教学过程：（一）创设情境导入新课导语：在我们熟知的一些科学家、历史人物中有很多在像和你们一样年轻的时候就显现出了他们在数学上的天赋，如“曹冲称象”就利用他所掌握的数学知识解决了实际问题。
今天我也想请大家帮我解决一个问题，我这瓶子中装有一些豆子，你能用几种方法估计出这个瓶子中豆子的数目？（二）合作交流解读探究[问题1]瓶子中有多少豆子？先让学生初步探讨问题，交流方案；[学生实验参考方案]（一）(全面调查)直接数瓶子中的豆子；（二）（抽样调查）先将豆子若干等份，数出其中一份豆子的数量，以此估计总量。
用称重的方法，先称出所有豆子的重量m，再称出一杯豆子的重量n，并数清这杯豆子的粒数p，则这一杯豆子平均每粒重m/p,以此就可以估计出瓶子中豆子的粒数q:q≈p／n×m采用“捉--放--捉”的方法；（本节课的主要实验方法）[课堂实验]实验步骤：（1）从瓶子中取出一些豆子，记录这些豆子的粒数m；（2）给这些豆子做上记号；（3）把这些豆子放回瓶子中，充分摇匀；（4）从瓶子中再取出一些豆子，记录这些豆子的粒数p和其中带有记号的豆子的粒数n；（5）利用得到的数据m,p,n,估计原来瓶子中豆子的粒数q，q≈p／n×m（6）数出瓶子中豆子的总数，验证你的估计。
用样本估计总体教学设计
用样本估计总体 教学设计一、课程名称：(适用大部分课程教案)二、授课对象高中二年级学生，具备基础的统计学知识和一定的数据分析能力。
三、授课时间2课时，每课时45分钟。
四、授课教师张XX，高中数学教师，具备多年统计学教学经验。
五、教学目标1、知识与技能目标（1）掌握用样本估计总体的基本原理和方法；（2）能够运用不同的估计方法对总体参数进行估计；（3）学会分析估计结果的可靠性和准确性。
2、过程与方法目标（1）通过实例分析，培养学生运用统计学方法解决实际问题的能力；（2）培养学生合作探究、交流讨论的学习习惯；（3）提高学生运用计算工具进行数据分析的能力。
3、情感态度价值观目标（1）培养学生对统计学的好奇心和兴趣，激发学生学习积极性；（2）使学生认识到统计学在现实生活中的重要作用，增强学生的应用意识；（3）培养学生严谨、客观的科学态度，提高学生的数据分析素养。
六、教学重占和难点1、教学重点（1）用样本估计总体的基本方法；（2）估计结果的可靠性和准确性的分析；（3）实际问题的解决方法。
2、教学难点（1）样本估计总体原理的理解；（2）不同估计方法的适用条件和优缺点；（3）估计结果的分析和评价。
七、教学过程1、导入新课（5分钟）授课开始时，通过向学生展示一个与日常生活密切相关的统计数据问题，例如：“根据班级学生的身高数据，估计全年级学生的平均身高”，引发学生对用样本估计总体问题的思考。
通过这个实例，引导学生回顾已学的统计学知识，为新课的学习做好铺垫。
2、新知讲授（20分钟）（1）介绍用样本估计总体的基本概念和原理，如：样本均值、样本方差、置信区间等；（2）讲解不同估计方法，如：点估计、区间估计，并分析各自的优缺点；（3）通过具体例题，展示如何运用这些方法进行总体参数的估计；（4）强调估计结果的可靠性和准确性的判断标准，以及如何在实际问题中进行应用。
3、合作探究（15分钟）将学生分成小组，每组针对一个实际问题进行探究，如：“根据某地区部分家庭的年收入数据，估计该地区所有家庭的平均年收入”。
必修三2.2.用样本估计总体(教案)
必修三2.2.用样本估计总体(教案)必修三2.2.用样本估计总体（教案）导语：本文为必修三2.2.用样本估计总体（教案）的教学指南，旨在引导学生了解和应用样本估计总体的方法。
通过学习本课，学生将能够理解抽样和样本的基本概念，并能够运用点估计和区间估计的方法进行总体参数的估计。
为了达到良好的教学效果，本教案采用了多样的教学方法，例如引导讨论、示例演示和小组合作等。
一、教学目标：1. 理解样本与总体的概念和关系；2. 掌握点估计的方法；3. 了解区间估计的原理和应用；4. 能够进行样本估计总体的实际问题分析。
二、教学过程：1. 导入（5分钟）引导学生思考以下问题：什么是样本？什么是总体？样本和总体之间有什么关系？为什么需要用样本来估计总体？2. 点估计的方法（15分钟）a. 讲解点估计的基本原理，即通过样本数据来估计总体参数的值。
b. 示例演示：设计一个问题，如某班级数学考试成绩的平均分。
用班级中的五位同学的成绩作为样本，通过计算样本的平均分来估计全班的平均分。
c. 引导学生讨论点估计的优点和缺点。
3. 区间估计的方法（15分钟）a. 讲解区间估计的概念和原理，即通过样本数据构造一个置信区间来估计总体参数的范围。
b. 示例演示：使用同样的例子，构造一个置信水平为95%的置信区间，来估计全班的平均分。
c. 引导学生讨论区间估计的优点和缺点。
4. 实际问题分析（25分钟）a. 设计一个实际问题，例如某个城市的人均收入。
要求学生提出估计该城市人均收入的方法和步骤，并结合点估计和区间估计的方法进行分析。
b. 小组合作：分组讨论，每个小组根据实际问题设计一个解决方案，并准备向全班汇报。
c. 汇报与讨论：每个小组轮流汇报他们的解决方案，并进行讨论。
5. 总结与延伸（10分钟）a. 概括本课内容，强调样本估计总体的方法和应用。
b. 提出延伸问题，鼓励学生进一步探索样本估计总体的其他应用领域。
三、教学反思：本节课通过引导讨论、示例演示和小组合作等多种教学方法，促使学生自主思考和应用样本估计总体的方法。
人教版高中数学必修3第二章统计-《2.2.2用样本的数字特征估计总体数字特征》教案(5)
2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(众数,中位数,平均数)学习目标一.能力目标:(1). 能利用频率颁布直方图估计总体的众数,中位数,平均数.(2). 能用样本的众数,中位数,平均数估计总体的众数,中位数,平均数,并结合实际,对问题作出合理判断,制定解决问题的有效方法。
（3）初步体会、领悟“用数据说话”的统计思想方法。
二．情感目标：通过对有关数据的搜集、整理、分析、判断培养学生“实事求是”的科学态度和严谨的工作作风。
三．学习重点、难点（1）.根据实际问题对样本数据中提取基本的数据特征并作出合理解释，估计总体的基本数字特征。
（2）.体会样本数字特征具有随机性。
四．基本流程五. 教学情景设计例1: 从甲乙两个公司各随机抽取50名员工月工资：甲公司：800 800 800 800 800 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1500 1500 1500 1500 1500 1500 1500 2000 2000 2000 2000 2000 2500 2500 2500乙公司：700 700 700 700 700 700 700 700 700 700 700 700 700 700 700 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 10001000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 10001000 1000 6000 8000 10000试计算这两个公司50名员工月工资平均数，众数，中位数，并估计这两个企业员工平均工资。
人教课标版高中数学必修三《用样本估计总体(第1课时)》教案(1)-新版
2.2 用样本估计总体第一课时一、教学目标1.核心素养通过用样本数据分布特征的表示形式，初步培养学生运用统计思想表述、思考和解决现实世界中的问题的能力.2.学习目标（1）频率分布表的作图.（2）频率分布直方图的认识与理解.（3）了解频率分布折线图和总体密度曲线.（4）认识茎叶图.3.学习重点会列频率分布表、画频率分布直方图、频率分布折线图、茎叶图、体会它们各自的特点.4.学习难点对总体分布概念的理解，统计思维的建立.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务任务1阅读教材P65-P69，思考如何根据样本数据作出频率分布表和频率分布直方图以及两种图形是如何反映样本分布的；了解频率分布折线图和总体密度曲线的由来？任务2阅读教材P70—71. 了解茎叶图的识图与作图.2.预习自测1.从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图所示.()1直方图中x的值为；()2在这些用户中，用电量落在区间[)100,250内的户数为.解：0.0044；402.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则改样本的中位数、众数、极差分别是（）A.46，45，56B.46，45，53C.47，45，56D.45，47，53解：A（二）课堂设计1.知识回顾(回顾与本堂课相关的知识)（1）必然事件：有些事件我们事先能肯定其一定会发生；（2）不可能事件：有些事件我们事先能肯定其一定不会发生；（3）随机事件：有些事件我们事先无法肯定其会不会发生；（4）举出现实生活中随机事件，必然事件，不可能事件的案例.2.问题探究问题探究一频率分布表（★）【问题】我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费. 通过抽样调查，获得100位居民2007年的月均用水量如下表（单位：t）：3.1 2.5 2.0 2.0 1.5 1.0 1.6 1.8 1.9 1.63.4 2.6 2.2 2.2 1.5 1.2 0.2 0.4 0.3 0.43.2 2.7 2.3 2.1 1.6 1.2 3.7 1.5 0.5 3.83.3 2.8 2.3 2.2 1.7 1.3 3.6 1.7 0.64.1 3.2 2.9 2.4 2.3 1.8 1.4 3.5 1.9 0.8 4.3 3.0 2.9 2.4 2.4 1.9 1.3 1.4 1.8 0.7 2.0 2.5 2.8 2.3 2.3 1.8 1.3 1.3 1.6 0.9 2.3 2.6 2.7 2.4 2.1 1.7 1.4 1.2 1.5 0.5 2.4 2.5 2.6 2.3 2.1 1.6 1.0 1.0 1.7 0.8 2.4 2.8 2.5 2.2 2.0 1.5 1.0 1.2 1.8 0.6 2.2●活动一 上述100个数据中的最大值和最小值分别是什么？由此说明样本数据的变化范围是什么？分析：样本数据中的最大值和最小值的差称为极差.●活动二 如果将上述100个数据按组距为0.5进行分组，那么这些数据共分为多少组？各组数据的取值范围可以如何设定？分析：以组距为0.5进行分组，上述100个数据共分为9组，[0，0.5)，[0.5，1)，[1，1.5)，…，[4，4.5].●活动三 如何统计上述100个数据在各组中的频数？如何计算样本数据在各组中的频率？你能将这些数据用表格反映出来吗？4频率分 1.00100合计0.022[4，4.5] 0.044[3.5，4) 0.066[3，3.5) 0.1414[2.5，3) 0.2525[2，2.5) 0.2222[1.5，2) 0.1515[1，1.5) 0.088[0.5，1) 0.04[0，0.5)频数频数组分析：上表称为样本数据的频率分布表，由此可以推测该市全体居民月均用水量分布的大致情况，给市政府确定居民月用水量标准提供参考依据，这里体现了用样本的频率分布估计总体分布统计思想.●活动四 如果市政府希望85%左右的居民每月的用水量不超过标准，根据上述频率分布表，你对制定居民月用水量标准（即a 的取值）有何建议？ 分析：88%的居民月用水量在3t 以下，可建议取a=3.●活动五 在实际中，取a=3t 一定能保证85%以上的居民用水不超标吗？哪些环节可能会导致结论出现偏差？对样本数据进行分组，其组数是由哪些因素确定的？分析：分组时，组距的大小可能会导致结论出现偏差，实践中，对统计结论是需要进行评价的. 对样本数据进行分组，组距的确定没有固定的标准，组数太多或太少，都会影响我们了解数据的分布情况.数据分组的组数与样本容量有关，一般样本容量越大，所分组数越多. 问题探究二 频率分布直方图.（★▲）●活动一 认识频率分布直方图为了直观反映样本数据在各组中的分布情况，我们将上述频率分布表中的有关信息用下面的图形表示：月均用水量/t频率组距0.50.40.30.20.10.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 O频率分布直方图中 小长方形的高小长方形的面积表示什么？所有小长方形的面积和等于多少？分析：频率分布直方图非常直观地表明了样本数据的分布情况，使我们能够看到频率分布表中看不太清楚的数据模式，但原始数据不能在图中表示出来.●活动二 频率分布直返图反应样本数据的分布你能根据上述频率分布直方图指出居民月均用水量的一些数据特点吗？ (1)居民月均用水量的分布是“山峰”状的，而且是“单峰”的；(2)大部分居民的月均用水量集中在一个中间值附近，只有少数居民的月均用水量很多或很少；(3)居民月均用水量的分布有一定的对称性等. ●活动三 频率分布直方图的作图步骤样本数据的频率分布直方图是根据频率分布表画出来的，一般地，频率分布直方图的作图步骤如何？第一步，画平面直角坐标系.第二步，在横轴上均匀标出各组分点，在纵轴上标出单位长度.第三步，以组距为宽，各组的频率与组距的商为高，分别画出各组对应的小长方形.例1 从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示.(1)直方图中x 的值为________；(2)在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为________. 【知识点：频率分布直方图；数学思想：统计分布】详解：(1)根据频率和为1，得(0.002 4＋0.003 6＋0.006 0＋x ＋0.002 4＋0.001 2)×50＝1，解得x ＝0.004 4；(2)(0.003 6＋0.006 0＋0.004 4)×50×100＝70.点拨：在频率分布直方图中，小矩形的高等于每一组的频率/组距，每个小矩形的面积等于这一组的频率，所有小矩形的面积之和为1.问题探究三 频率分布折线图和总体密度曲线.（▲） ●活动一 认识频率分布折线图在频率分布直方图中，依次连接各小长方形上端的中点，就得到一条折线，这条折线称为频率分布折线图.你认为频率分布折线图能大致反映样本数据的频率分布吗？频率0.5组距0.40.30.20.10.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 O月均用水量/t●活动二 总体密度曲线当总体中的个体数很多时（如抽样调查全国城市居民月均用水量），随着样本容量的增加，作图时所分的组数增多，组距减少，你能想象出相应的频率分布折线图会发生什么变化吗？ 在上述背景下，相应的频率分布折线图越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.那么图中阴影部分的面积有何实际意义？ ●活动三 总体密度曲线的分析当总体中的个体数比较少或样本数据不密集时，是否存在总体密度曲线？为什么？对于一个总体，能否通过样本数据准确地画出总体密度曲线？ 问题探究四 茎叶图.（▲）●活动一 认识茎叶图频率分布表、频率分布直方图和折线图的主要作用是表示样本数据的分布情况，此外，我们还可以用茎叶图来表示样本数据的分布情况.【问题】某赛季甲、乙两名篮球运动员每场 比赛的得分情况如下： 甲运动员得分：13，51，23，8，26，38，16， 33，14，28，39； 乙运动员得分：49，24，12，31，50，31，44，36，15，37，25，36，39.825甲乙4 6 3 3 6 83 8 9 1012345541 6 1 67 949你能理解这个图是如何记录这些数据的吗？你能通过该图说明哪个运动员的发挥更稳定吗？分析：在统计中，上图叫做茎叶图，它也是表示样本数据分布情况的一种方法，其中“茎”指的是哪些数，“叶”指的是哪些数？例 2 以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分).已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为( )甲组 乙组 9 0 9 x 2 1 5 y 8 74 24A.2,5B.5,5C.5,8D.8,8【知识点：茎叶图；数学思想：统计分布】详解：由于甲组的中位数是15，可得x ＝5，由于乙组数据的平均数为16.8，得y ＝8. 点拨：茎和叶一起组成了样本数据中的原始数据. ●活动二 画茎叶图对于样本数据：3.1，2.5，2.0，0.8，1.5，1.0，4.3，2.7，3.1，3.5，用茎叶图如何表示？ 分析：茎叶图作图步骤第一步，将每个数据分为“茎”和“叶”两部分；第二步，茎按大小次序排成一列，写在左（右）侧；第三步，叶按次序写在茎右（左）侧.●活动三用茎叶图表示数据的分布情况是一种好方法，你认为茎叶图有哪些优点？优点：（1）保留了样本原始数据；（2）可以随时删减、增添样本数据.缺点：不适合样本容量很大或茎、叶不分明的样本数据.3.课堂总结(对课堂重点、难点知识进行梳理和归纳)【知识梳理】1.频率分布直方图(1)作频率分布直方图的步骤①求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)；②决定组距与组数；③将数据分组；④列频率分布表；⑤画频率分布直方图.(2)频率分布折线图和总体密度曲线①频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得频率分布折线图.②总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线.2.茎叶图用茎叶图表示数据有两个突出的优点：一是统计图上没有原始信息的损失，所有的数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图可以随时记录，方便记录与表示.【重难点突破】1.易忽视频率分布直方图中纵轴表示的应为频率组距.2.在绘制茎叶图时，易遗漏重复出现的数据，重复出现的数据要重复记录，同时不要混淆茎叶图中茎与叶的含义.4.随堂检测1.(2013·福建高考)某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为()A.588B.480C.450D.120【知识点：频率分布直方图】答案：B2.下图是根据《山东统计年鉴2014》中的资料做成的2004年至2013年我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图.图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字.从图中可以得到2004年至2013年我省城镇居民百户家庭人口的平均数为()291158302 6310247A.304.6B.303.6C.302.6D.301.6【知识点：茎叶图】解：B3.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n且支出在[20,60)元的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60)元的同学有30人.则n的值为________.【知识点：频率分布直方图】.解：1004.一次数学测验后，从甲、乙两班各抽取9名同学的成绩进行统计分析，绘成茎叶图如图所示.据此估计两个班成绩的中位数的差的绝对值为()甲乙86372 577281393295687109A.8B.5C.4D.2【知识点：茎叶图】解：D（三）课后作业基础型自主突破1.下列说法不正确的是()A.频率分布直方图中每个小矩形的高就是该组的频率B.频率分布直方图中各个小矩形的面积之和等于1C.频率分布直方图中各个小矩形的宽一样大D.频率分布折线图是依次连接频率分布直方图的每个小矩形上端中点得到的【知识点：频率分布直方图；数学思想：统计分布】解：A2.如图是总体密度曲线，下列说法正确的是()A.组距越大，频率分布折线图越接近于它B.样本容量越小，频率分布折线图越接近于它C.阴影部分的面积代表总体在(a，b)内取值的百分比D.阴影部分的平均高度代表总体在(a，b)内取值的百分比【知识点：频率分布直方图；数学思想：统计分布】解：C3.重庆市2013年各月的平均气温（o C）数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是（）A.19B.20C.21.5D.23【知识点：茎叶图】解：B4.一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下：组别(0,10] (10,20] (20,30] (30,40] (40,50] (50,60] (60,70]频数12 13 24 15 16 13 7则样本数据落在(10,40]上的频率为()A.0.13B.0.39C.0.52D.0.64【知识点：频数分布表】解：C5.100辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如下图所示，则时速在[60,70)的汽车大约有()A.30辆B.40辆C.60辆D.80辆【知识点：频率分布直方图】解：B能力型师生共研6.从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下（单位：克）125,120, 122 ,105,130,114,116,95,120,134则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为( )A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5【知识点：频率的概念】解：C7.某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图).根据此图推测，这3000名同学在该次数学考试中成绩小于60分的学生数为________名.【知识点：频率分布直方图】解：600 成绩小于60分的学生的频率为0.02＋0.06＋0.12＝0.20，可以推测3000名学生中成绩小于60分的人数为0.20×3000＝600(名).8.如图是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，据图可知()A.甲运动员的成绩好于乙运动员B.乙运动员的成绩好于甲运动员C.甲、乙两名运动员的成绩没有明显的差异D.甲运动员的最低得分为0分【知识点：茎叶图】解：A从这个茎叶图可以看出甲运动员的得分大致对称，平均得分及中位数都是30多分；乙运动员的得分除一个52外，也大致对称，平均得分及中位数都是20多分.因此，甲运动员发挥比较稳定，总体得分.情况比乙好.探究型多维突破10.某市2010年4月1日－4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物)：61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103，95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45.分组频数频率[41,51) 2 2 30[51,61) 1 1 30[61,71) 4 4 30[71,81) 6 6 30[81,91) 10 10 30[91,101) 5 5 30[101,111] 2 2 30（1）完成频率分布表. （2）作出频率分布直方图.（3）根据国家标准，污染指数在0～50之间时，空气质量为优；在51～100之间时为良；在101～150之间时，为轻微污染；在151～200之间时，为轻度污染.请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价.【知识点：频率分布直方图】答案：（1）频率分布表：（2）频率分布直方图如图所示.（3）答对下述两条中的一条即可：①该市有一个月中空气污染指数有2天处于优的水平，占当月天数的115；有26天处于良的水平，占当月天数的1315；处于优或良的天数为28，占当月天数的1415.说明该市空气质量基本良好.②轻微污染有2天，占当月天数的115；污染指数在80以上的接近轻微污染的天数15，加上处于轻微污染的天数2，占当月天数的1730，超过50%；说明该市空气质量有待进一步改善.自助餐1.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为()A.200,20B.100,20C.200,10D.100,10【知识点：样本数据分布】解：A2.有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10,12]内的频数为A.18B.36C.54D.72 【知识点：频率分布直方图】 解：B3.某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为A.167B.137C.123D.93 【知识点：扇形图】解：B 该校女老师的人数是()11070%150160%137⨯+⨯-=.4.某学校随机抽取20个班,调查各班中有网上购物经历的人数,所得数据的茎叶图如图所示.以组距为5将数据分组成[0,5),[5,10),,[30,35),[35,40]时,所作的频率分布直方图是0.04组距频率0.05组距频率0.04组距频率0.04组距频率0人数0.010.020.0351015202530354000.010.020.030.04510152025303540人数0人数0.010.020.031020304000.010.020.0310203040人数(B)(A)(C)(D)【知识点：茎叶图，直方图】 解：A5.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为()A.200,20B.100,20C.200,10D.100,10【知识点：条形图】解：A 该地区中小学生总人数为3 500＋2 000＋4 500＝10 000，则样本容量为10 000×2%＝200，其中抽取的高中生近视人数为2 000×2%×50%＝20.6.将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图.若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于.【知识点：频率分布直方图】解：607.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示，若将运动员按成绩由好到差编为135号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是.【知识点：茎叶图】解：48.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）.由图中数据可知a＝.若要从身高在[ 120 , 130），[130 ，140) , [140 , 150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140 ，150]内的学生中选取的人数应为.【知识点：频率分布直方图】解：0.030；3.9.如图所示是总体的一样本频率分布直方图,且在[15,18)内的频数为8.（1）求样本容量.（2）在该直方图中,[12,15)内小矩形面积为0.06,求样本在[12,15)内的频数.（3）在（2）条件下,求样本在[18,33]内的频率.【知识点：频率分布直方图】答案：（1）由题图可知,[15,18)对应纵轴数字为,且组距为3,又已知[15,18)内频数为8,故样本容量n=50.（2）[12,15)内小矩形面积为0.06,即[12,15)内频率为0.06,且样本容量为50,故样本在[12,15)内的频数为50×0.06=3.（3）由(1)(2)知样本在[12,15)内的频数为3,在[15,18)内的频数为8,样本容量为50.所以在[18,33]内的频数为50-3-8=39,在[18,33]内的频率为=0.78.10.在某电脑杂志的一篇文章中，每个句子的字数如下：10,28,31,17,23,27,18,15,26,24,20,19,36,27,14,25,15,22,11,24,27,17.在某报纸的一篇文章中，每个句子的字数如下：27,39,33,24,28,19,32,41,33,27,35,12,36,41,27,13,22,23,18,46,32,22.（1）将这两组数据用茎叶图表示；（2）将这两组数据进行比较分析，你会得到什么结论？【知识点：茎叶图】解：（1）（2）电脑杂志上每个句子的字数集中在10～30之间；而报纸上每个句子的字数集中在20～40之间.还可以看出电脑杂志上每个句子的平均字数比报纸上每个句子的平均字数要少.说明电脑杂志作为科普读物需要通俗易懂、简明.11.随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数(单位：件)，获得数据如下：30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36.分组 频数 频率 [25,30] 3 0.12 (30,35] 5 0.20 (35,40] 8 0.32 (40,45] n 1 f 1 (45,50]n 2f 2根据上述数据得到样本的频率分布表如下： （1）确定样本频率分布表中n 1，n 2，f 1和f 2的值； （2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图； （3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人， 至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率. 【知识点：频率分布表，频率分布直方图】解：（1）由所给数据知，落在区间(40,45]内的有7个，落在(45,50]内的有2个，故n 1＝7，n 2＝2， 所以f 1＝n 125＝725＝0.28，f 2＝n 225＝225＝0.08. （2）样本频率分布直方图如图.（3）根据样本频率分布直方图，每人的日加工零件数落在区间 (30,35]的概率为0.2，设所取的4人中，日加工零件数落在区间(30,35]的人数为ξ，则ξ～B(4,0.2)，P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－0.2)4＝1－0.409 6＝0.509 4，所以在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率为0.590 4.。
新人教版高中数学必修三 第二章统计教案：2.2用样本估计总体
2.2 用样本估计总体【知识要点】1. 用样本的频率分布估计总体分布a. 频数：将一批数据按要求分为若干个组，各组内数据的个数，叫改组的频数。
频率：每组数除以全体数据的个数的商叫改组的频率。
b. 样本的频率分布：根据随机所抽样本大小，分别计算某一事件出现的频率，这些频率的分布规律（取值情况），就叫做样本的频率分布。
c. 样本频率分布表：将样本的容量、样本中出现该事件的频数以及计算所得的相应频率列在一张表中，叫做样本频率分布表。
d. 频率分布直方图：在直角坐标系中，横轴表示样本数据，纵轴表示频率与组距的比值，将频率分布表中各组频率的大小用相应矩形面积的大小来表示，由此画成的统计图叫做频率分布直直方图。
e. 频率分布折线图：把频率分布直方图各个长方形上边的中点用线段连接起来，就得到频率分布折线图。
f. 总体密度曲线：如果样本容量无限增大，分组的组距无限减小，曲线中所表示的频率分布就越接近于总体在各个小组内所取值的个数与总数比值的大小。
这条光滑的曲线就叫做总体密度曲线。
2. 用样本的数字特征估计总体的数字特征a. 平均数：平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数。
b. 众数：一组数据中出现次数最多的那个数据叫这组数据的众数。
c. 中位数：将一组数据按从小到大的顺序依次排列，当数据有奇数个时，处在最中间的一个数或当数据有偶数个时，处在最中间的两个数的平均数是这组数据的中位数。
d. 方差：方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数。
e. 标准差：标准差是方差的算术平方根。
3. 茎叶图：它是一种将样本将数组中数按位数进行比较，将数的大小基本不变或变化不大的位作为一个主干（茎），将变化大的位的数作为分枝（叶），列在主干的后面，这样就可以清楚地看到每个主干后面的几个数，每个数具体是多少。
4. 求一组数据的频率分布的步骤及频率分布直方图的画法 a. 求一组数据的频率分布的步骤：（1）计算极差 （2）决定组距与组数 （3）决定分点 （4）列频率分布表b. 频率分布直方图画法：（1）先制作频率分布表，然后作直角坐标系，以横轴表示样本数据，纵轴表述频率与组距的比值 （2）把横轴分成若干段，每一段对应一个组的组距，得到频率分布直方图。
人教A版高中数学必修三用样本估计总体教案(2)
用样本估计总体面对数据，能正确的分析、处理数据，面对现实问题，能主动尝试用数学的思维和方法去寻求解决问题的策略，提高分析问题和解决问题的能力，提高数学素养，提高应用数学的意识，让学生在合作中学会交流.引导学生自主探究，培养学生勤于思考的习惯.用数学的思维和方法解决实际问题.以学生合作探索活动为主.多媒体，计算器.(一)师：生活中处处有数据，当一串数据呈现在我们面前时，我们用统计知识学会了分析数据和处理数据.一些同学在处理教材第122页活动2的数据时遇到这样几个问题，请分组讨论一下，然后全班交流.问题 1 一个年级有几百名学生，可是计算器一次只能计算几十个数据的平均数，怎么办?(用多媒体展示)生1：用计算机计算.生2：可以先分班计算每个班男学生的平均身高，再计算全年级男同学的平均身高.28402930283235285.164400.166294.163302.163285.162321.164356.165++++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯.师：前面两位同学回答很好，还有什么方法?生3：将数据分组，全年级222名男生，分成10组，先分组计算平均数，再算全年级的男生的平均身高.师：非常好，请继续.生4：可以先统计各个数据出现的次数，再作计算.生5：可以采取随机抽样的方法，用计算器产生几十个不同的随机数，相应编号的学生作为样本，先计算这几十名男生的平均身高，再估计全年级男生的平均身高.师：同学们的讨论和回答非常好，继续思考下面两个问题.(用多媒体展示)问题2 在计算20名男同学平均身高时，小华将所有数据按由小到大的顺序排列，得下表.然后，这样计算20202167416521632160415721551143⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯.小华这样计算可以吗?为什么?问题3 某校九年级共有四个班，各班的男同学人数和平均身高如表.小强47.1608.1603.1622.161+++.小强这样计算平均数可以吗?为什么?生：小华这样算可以，小强这样算不可以，因为小强没有考虑到各班男生人数不等.师：小华这样算可以简化计算.解决小强遇到的问题，一般不能采取“相加除以4”的平均化策略，那么，只有在什么情况下可以采取这种策略呢?生：如果四个班的人数相同，才可以采取这种方法.(二)1.重庆市是一座美丽的城市，为增强市民的环保意识，某校家住缙云花园小区的30名九年级学生调查了某一天各自家庭丢弃废塑料袋的情况，统计结果如根据以上数据，若缙云花园小区有500户居民，则该小区所有家庭每天丢弃的废塑料袋总数约为__________万个.2.某动物园对5个旅游景点的门票价格进行了调整，据统计，调价前后各景(1)该动物园称调整前后这5个景点门票的平均收费不变，平均日总收入持平，问动物园是怎样计算的?(2)另一方面，游客认为调整收费后动物园的平均日总收入相对调价前，实际上增加了约9.4%，问游客是怎样计算的?(3)你认为动物园和游客哪一个的说法较能反映整体实际?师：对这两个实际问题请先独立思考，再与你的同伴交流，得到实际问题的结果.(三)通过这节课的学习，你有什么体会和收获?(引导学生小结)(四)作业1.教材第123页第1题.2.举出用样本估计总体的实例.(分组活动)。
高中数学必修3第二章2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征(第2课时) 教案
编写时间：2021年月日2020-2021学年第二学期编写人：马安山课题2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征（第2课时）授课班级高二(17) 授课时间2021年月日学习目标1知识与技能：通过方差和标准差的学习，培养学生根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征，并作出合理解释；会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，形成对数据处理过程进行初步评价的意识。
2过程与方法：通过用样本的数字特征估计总体的数字特征的研究，渗透统计学的思想和方法。
培养学生收集数据、分析数据、归纳和整理数据，增强学习的积极性。
3情感、态度与价值观：培养学生自主学习、数学交流能力和数学应用意识。
通过联系观点分析，解决实际生活中的具体问题。
教学重点方差、标准差的计算方法。
教学难点如何利用样本的方差、标准差对总体数据作出分析及判断数据的稳定性。
课型新课主要教学方法自主学习、思考、交流、讨论、讲解教学模式合作探究，归纳总结教学手段与教具几何画板、智慧黑板．教学过程设计各环节教学反思【自主学习】————大胆尝试1．提出问题：问题1：如何通过频率分布直方图估计数字特征（中位数、众数、平均数）？利用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数：估计众数：频率分布直方图面积最大的方条的横轴中点数字.（最高矩形的中点）估计中位数：中位数把频率分布直方图分成左右两边面积相等.估计平均数：频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.问题2：某种子公司为了在当地推行两种新水稻品种,对甲、乙两种水稻进行了连续7年的种植对比实验,年亩产量分别如下:(千克)甲：600, 880, 880, 620, 960, 570, 900(平均773)乙：800, 860, 850, 750, 750, 800, 700(平均787)请你用所学统计学的知识,说明选择哪种品种推广更好?选择的依据应该是,产量高且稳产的品种,所以选择乙更为合理.问题3：有甲、乙两种钢筋,现从中各抽取一个标本（如下表）检查它们的抗拉强度（单位：kg/mm2）,通过计算发现,两个样本的平均数均为125.甲110 120 130 125 120 125 135 125 135 125乙 115 100 125 130 115 125 125 145 125 145哪种钢筋的质量较好？由上图可以看出,乙样本的最小值100低于甲样本的最小值110,乙样本的最大值145高于甲样本的最大值135,这说明乙种钢筋没有甲种钢筋的抗拉强度稳定.我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差（range ）.由上图可以看出,乙的极差较大,数据点较分散；甲的极差小,数据点较集中,这说明甲比乙稳定.运用极差对两组数据进行比较,操作简单方便,但如果两组数据的集中程度差异不大时,就不容易得出结论.问题4：如何考查样本数据的分散程度的大小呢?把数据在坐标系中刻画出来,是否能直观地判断数据的离散程度?把问题3中的数据在坐标系中刻画出来.我们可以很直观地知道,乙组数据比甲组数据更集中在平均数的附近,即乙的分散程度小, 如何用数字去刻画这种分散程度呢? 考察样本数据的分散程度的大小,最常用的统计量是方差和标准差.2.标准差的求法：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示．s ＝])()()[(122221x x x x x x nn -++-+- . 3．方差的求法：标准差的平方s 2叫做方差．s 2＝222121[()()()]n x x x x x x n-+-++-．其中，x n 是样本数据，n 是样本容量，是样本平均数．4．标准差(方差)用来衡量 样本数据的离散程度 ，标准差(方差)越大，数据的离散程度 越大 ；标准差(方差)越小，数据的离散程度 越小 ．【课堂探究】探究一：标准差的取值范围是什么？标准差为0的样本数据有什么特点？[0,)+∞；该组各数据全相等，表明数据没有波动，数据没有离散性。
高中数学 2.2用样本估计总体(三)全册精品教案 新人教A版必修3
2.2用样本估计总体（三）问题提出1. 对一个未知总体，我们常用样本的频率分布估计总体的分布，其中表示样本数据的频率分布的基本方法有哪些？频率分布直方图、频率分布表、频率分布折线图、茎叶图2. 美国NBA在2006——2007年度赛季中，甲、乙两名篮球运动员在随机抽取的12场比赛中的得分情况如下：甲运动员得分：12，15，20，25，31，30， 36，36，37，39，44，49.乙运动员得分：8，13，14，16，23，26， 28，38，39，51，31，39.如果要求我们根据上面的数据，估计、比较甲，乙两名运动员哪一位发挥得比较稳定，就得有相应的数据作为比较依据，即通过样本数据对总体的数字特征进行研究，用样本的数字特征估计总体的数字特征.知识探究（一）：众数、中位数和平均数思考1：以上两组样本数据如何求它们的众数、中位数和平均数？思考2：在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方图中，你认为众数应在哪个小矩形内？由此估计总体的众数是什么？思考3：中位数左右两侧的直方图的面积应有什么关系？思考4：在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方图中，从左至右各个小矩形的面积分别是0.04，0.08，0.15，0.22，0.25，0.14，0.06，0.04，0.02.由此估计总体的中位数是什么？0.5－0.04－0.08－0.15－0.22=0.01，0.5×0.01÷0.25=0.02，中位数是2.02.思考5：平均数是频率分布直方图的“重心”，从直方图估计总体在各组数据内的平均数分别为多少？0.25，0.75，1.25，1.75，2.25， 2.75，3.25，3.75，4.25.思考6：将频率分布直方图中每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标之积相加，就是样本数据的估值平均数. 由此估计总体的平均数是什么？0.25×0.04+0.75×0.08+1.25×0.15+1.75×0.22+2.25×0.25+2. 75×0.14+3.25×06+3.75×0.04+4.25×0.02=2.02（t）.平均数是2.02.思考7：从居民月均用水量样本数据可知，该样本的众数是2.3，中位数是2.0，平均数是1.973，这与我们从样本频率分布直方图得出的结论有偏差，你能解释一下原因吗？频率分布直方图损失了一些样本数据，得到的是一个估计值，且所得估值与数据分组有关.注: 在只有样本频率分布直方图的情况下，我们可以按上述方法估计众数、中位数和平均数，并由此估计总体特征.思考8 （1）一组数据的中位数一般不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是一个优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点，你能举例说明吗？如：样本数据收集有个别差错不影响中位数；大学毕业生凭工资中位数找单位可能收入较低.（2）样本数据的平均数大于（或小于）中位数说明什么问题？平均数大于（或小于）中位数，说明样本数据中存在许多较大（或较小）的极端值.（3）你怎样理解“我们单位的收入水平比别的单位高”这句话的含义？这句话具有模糊性甚至蒙骗性，其中收入水平是员工工资的某个中心点，它可以是众数、中位数或平均数.样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息.平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大.当样本数据质量比较差时，使用众数、中位数或平均数描述数据的中心位置，可能与实际情况产生较大的误差，难以反映样本数据的实际状况，因此，我们需要一个统计数字刻画样本数据的离散程度.知识探究（二）：标准差思考1：在一次射击选拔赛中，甲、乙两名运动员各射击10次，每次命中的环数如下：甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7甲、乙两人本次射击的平均成绩分别为多少环？思考2：甲、乙两人射击的平均成绩相等，观察两人成绩的频率分布条形图，你能说明其水平差异在那里吗？甲的成绩比较分散，极差较大，乙的成绩相对集中，比较稳定.思考3：对于样本数据x1，x2，…，x n，设想通过各数据到其平均数的平均距离来反映样本数据的分散程度，那么这个平均距离如何计算？思考4：反映样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差，一般用s表示.假设样本数据x1，x2，…，x n的平均数为x，则标准差的计算公式是：那么标准差的取值范围是什么？标准差为0的样本数据有何特点？s≥0，标准差为0的样本数据都相等.思考5：对于一个容量为2的样本：x1，x2(x1<x2)，则221221x x s x x x -=+=，在数轴上，这两个统计数据有什么几何意义？由此说明标准差的大小对数据的离散程度有何影响？标准差越大离散程度越大，数据较分散；标准差越小离散程度越小，数据较集中在平均数周围.知识迁移计算甲、乙两名运动员的射击成绩的标准差，比较其射击水平的稳定性.甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7课堂小结1. 用样本的众数、中位数、平均数和标准差等统计数据，估计总体相应的统计数据.2. 平均数对数据有“取齐”的作用，代表一组数据的平均水平.3. 标准差描述一组数据围绕平均数波动的幅度.在实际应用中，我们常综合样本的多个统计数据，对总体进行估计，为解决问题作出决策.作业：《习案》作业二十、作业二十一。
高中数学必修3全套教案第二章第二节《用样本估计总体》
2.2.用样本估计总体.2.1用样本的频率分布估计总体分布【教学目标】1.通过实例体会分布的意义和作用，在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会他们各自的特点；2.会用统计的思想、科学的方法进行分析说理，形成对数据处理过程进行初步评价的意识；3.体验数学与生活的紧密性。
【教学重点难点】【教学重点】：从频率分布直方图、频率折线图、茎叶图来分析数据，从而推测总体【教学难点】：频率分布直方图的纵坐标的意义和每个小长方形面积的意义。
【学前准备】：多媒体，预习例题组距，还有每个连接各长方形上从而折线越来越接近一条光滑曲线，称为，此曲线的功能：反映了总体在各个范围内取值的百强调理解和书、比较频率分布表、画频率分布直茎叶图各自的特根据上图可得这100名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是(A)20(B)30(C)40 （D）50.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征【教学目标】1、理解众数、中位数、平均数在样本数据中所代表的含义；2、会运用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数；3、理解在利用众数、中位数、平均数估计总体的数字特征时各自的优缺点【教学重难点】教学重点：众数、中位数、平均数在样本数据中所代表的含义，利用频率分布直方图估计样本数字特征，并利用它们估计总体数字特征，形成初步评价意识。
教学难点：如何从样本的频率分布直方图中提取数字特征，并以此估计总体的基本数字特征。
【学前准备】：多媒体，预习例题（学生活动展示的基础上教师讲解，应该体现方程思想）追问:2.02这个中位数的估计值，与样本的中位数值2.0不一样，你能解释其中的原因吗？原因同上：样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失了众数：最高矩形的中点的横坐标；112240.2580.7515 1.25...2 4.251004820.250.75... 4.25 2.021********...n n x x x p x p x p ⨯+⨯+⨯++⨯==⨯+⨯++⨯==+++。
最新人教版高中数学必修3第二章用样本估计总体2
2.2 用样本估计总体一、本节知识结构二、教学重点与难点重点：1．体会分布的意义和作用，在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点．2．理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据标准差．对样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)作出合理的解释．3．体会用样本估计总体的思想，会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征．4．初步体会样本频率分布和数字特征的随机性．5．会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题；能通过对数据的分析为合理的决策提供一些依据，认识统计的作用，体会统计思维与确定性思维的差异，形成对数据处理过程进行初步评价的意识．难点：对总体分布概念的理解，统计思维的建立．三、编写意图与教学建议本节的引言说明了用统计方法解决实际问题的一般框架，明确了估计总体分布和总体数字特征的重要性．在实际应用中，总体分布可以为合理决策提供依据(总体分布描述了总体在各个范围内个体的百分比)．因此很多实际问题的解答就转化为求总体分布的问题，其求解途径是通过样本来估计总体分布．在很多情况下，总体分布是由几个总体数字特征所唯一确定的，或者需要解决的统计问题是关于总体数字特征的问题．这时就需要估计总体的数字特征，其求解途径也是通过样本来估计．教科书通过探究栏目提出“居民生活用水定额管理问题”，引出总体分布的估计问题，以及估计总体分布的途径，而且这个问题贯穿本节始终．通过对该问题的探究，使学生学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图．教师可以利用初中有关随机事件的知识，引导学生进一步体会由样本确定的频率分布直方图的随机性；通过初中有关频率与概率之间的关系，了解频率分布直方图的规律性，即频率分布与总体分布之间的关系，进一步体会用样本估计总体的思想来源．由于样本频率分布直方图可以估计总体分布直方图，因此可以用样本频率分布特征来估计相应的总体分布特征，教科书中还通过该问题展示了利用频率分布直方图估计总体分布的众数、中位数和平均数的方法．当然，总体的中位数和平均数都可以通过相应的样本中位数和样本平均数来估计，并且这样的估计通常具有更高的精度，教师可以通过计算机模拟让学生体会这一点．用样本频率分布特征来估计相应的总体分布特征的意义在于，当原始样本数据丢失时还可以估计总体特征．为了便于理解茎叶图和标准差(方差)的实际含义和应用，这两个概念都是通过离散型随机变量引入的．进一步地，对于正态分布的总体，利用总体平均数和总体标准差，可以完全确定总体分布，从而在这种情况下，可以用样本平均数和样本标准差来估计总体平均数和总体标准差，进而估计总体分布．在教学中，应该让学生利用上一节对特定实际问题所收集的样本，模仿居民生活用水定额管理问题的解决思路，给出相应实际问题的解答．通过此过程，初步培养学生运用统计思想表述、思考和解决现实世界中的问题的能力．。
人教版高中数学必修三(教案)2.2 用样本估计总体(5课时)
第一课时 2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布(一)教学要求：通过实例体会分布的意义和作用,在表示样本数据的过程中,学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图,体会它们各自的特点．在解决统计问题的过程中,进一步体会用样本估计总体的思想,会用样本的频率分布估计总体分布.教学重点：会列频率分布表,画频率分布直方图.教学难点：能通过样本的频率分布估计总体的分布.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：我们要了解我校学生每月零花钱的情况, 应该怎样进行抽样.2. 提问：学习了哪些抽样方法？一般在什么时候选取什么样的抽样方法呢?3. 讨论：通过抽样方法收集数据的目的是什么？（从中寻找所包含的信息,用样本去估计总体）指出两种估计手段：一是用样本的频率分布估计总体的分布,二是用样本的数字特征（平均数、标准差等）估计总体的数字特征.二、讲授新课：1、教学频率分布直方图的作法：①引例：确定一个居民月用水量标准a,用水量不超过a的部分按平价收费,超出a的部分按议价收费. 如果希望大部分居民的日常生活不受影响,那么标准a定为多少比较合理呢？为了了较为合理地确定出这个标准,需要做哪些工作？②讨论：如何采用抽样调查的方式,得到本市的居民月均用水量？③给出100位居民的月均用水量表,讨论：如何分析数据？分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来,或者用紧凑的表格改变数据的排列方式,作图可以达到两个目的,一是从数据中提取信息,二是利用图形传递信息④频率分布的概率：频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小. 一般用频率分布直方图反映样本的频率分布.⑤作频率分布直方图的步骤：求极差（数据组中最大值与最小值的差距）; 决定组距与组数（强调取整）;将数据分组;列频率分布表（包括分组、频数累计、频数、频率）;作频率分布直方图（在频率分布表的基础上绘制,横坐标为样本数据尺寸,纵坐标为频率/组距.）⑥例：作出教材P56页居民月均用水量的频率分布直方图.（师生共同按步骤完成）⑦讨论：纵坐标为何取频率/组距？（用矩形面积表示频率）结论：用矩形面积表示频率,总面积为1.注：频率分布表列出的是在名个不同区间内取值的频率,直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率.2、分析对比频率分布直方图：①将组距确定为1,作出教材P56页居民月均用水量的频率分布直方图.②讨论：谈谈两种组距下,你对图的印象？同一个样本数据,绘制出来的分布图是唯一的吗？（当取不同的组距,得到不同形状的图形,不同的图形给人的感觉也不同. ）③讨论：频率分布图有没有保留我们收集的数据？根据月均用水量的频率分布直方图,你能得到一些怎样的结论？（集中范围、变化趋势、直观表明分布特征、用样本推测总体）④思考：如果当地政府希望使85%以上的居民每月的用水量不超出标准,根据频率分布表2-2和频率分布直方图2.2-1,你能对制定月用水量标准提出建议吗？（3t）⑤练习：P61页第3题的数据,若要绘制成频率图,你打算分几组、极值是多少、组距多少?3. 小结：处理样本数据,绘制频率分布直方图的五个步骤. 理解面积表示频率.三、巩固练习：1. 练习：作P61 3题数据的频率分布直方图. 2. 作业：P61 1题.第二课时 2.2.1 用样本的频率分布估计总体频率分布(二)教学要求：通过实例体会分布的意义和作用,在表示样本数据的过程中,学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图,体会它们各自的特点．在解决统计问题的过程中,进一步体会用样本估计总体的思想,会用样本的频率分布估计总体分布,教学重点：学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图.教学难点：体会用样本估计总体的思想,会用样本的频率分布估计总体分布教学过程：一、复习准备：1.讨论：绘制频率分布直方图有哪几个步骤呢？2.练习：给出一个频率分布直方图,进行一些分析.（如何表示频率？面积和？集中范围？变化趋势？）二、讲授新课：1、教学频率分布折线图及茎叶图：①定义频率分布折线图：画好频率分布图后,我们把频率分布直方图中各小长方形上端连接起来,得到的图形.②定义总体密度曲线：在样本频率分布直方图中,相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线,统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线. 它能够精确地反映了总体在各个范围内取值的百分比,它能给我们提供更加精细的信息.注：频率折线图是随着样本而变化的,因此并不能由频率折线图得到准确的总体密度曲线. 当样本容量不断增加,分组的组距不断缩小,频率分布折线图会越来越接近一条光滑的曲线即总体密度曲线,它由（a,b）的阴影部分的面积,直观反映总体在范围（a,b）内取值的百分比.③讨论：对于任何一个总体,它的密度曲线是不是一定存在？它的密度曲线是否可以被非常准确地画出来？（实际上,尽管有些总体密度曲线是客观存在的,但一般很难想函数图象那样准确地画出来,我们只能用样本的频率分布对它进行估计,一般来说,样本容量越大,这种估计就越精确．）④提问：目前有哪些方式可以发现样本的规律？（分布表、直方图、折线图都能帮助发现样本数据的规律）⑤定义茎叶图：当数据是两位有效数字时,用中间的数字表示十位数,即第一个有效数字,两边的数字表示个位数,即第二个有效数字,它的中间部分像植物的茎,两边部分像植物茎上长出来的叶子,因此通常把这样的图叫做茎叶图.注：茎叶是一种形象的说法,表明两部分数据间的关系,茎是指数据中用来分组的依据数,叶是指被分到这组的数.⑥出示例：试将下列两组数据制作出茎叶图.甲得分：13 ,51,23,8,26,38,16,33,14,25,39,乙得分：49,24,12,31,60,31,44,36,15,37,25,36,39,（▲师生共同按制作茎叶图的方法进行操作）⑦讨论：用茎叶图处理样本数据有何好处,什么时候用茎叶图会比较方使？（茎叶图不仅能够保留原始数据,数据可以随时记录,随时添加,方便记录, 而且能够展示数据的分布情况,但其仅适用于样本数据较少时,否则枝叶会太长. 茎叶图中数据的茎和叶的划分,可根据数据的特点灵活地决定.）2、练习：教材P61第3题.3、小结：不易知一个总体的分布情况时,往往从总体中抽取一个样本,用样本的频率分布去估计总体的频率分布,样本容量越大,估计就越精确. 目前有：频率分布表、直方图、茎叶图.三、巩固练习：1. 练习：试制作本班男同学身高的茎叶图.2. 作业：P72 1、2题,只作图.第三课时 2.2.2 用样本的数字特征估计总体数字特征(一)教学要求：正确理解样本数据分布直方图的意义和作用,从样本频率分布直方图中提取基本的数字特征（如众数、中位数、平均数）,并做出合理的解释. 会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征,形成对数据处理过程进行初步评价的意识.教学重点：从样本频率分布直方图中提取基本的数字特征（如众数、中位数、平均数）.教学难点：对比初中所学众数、中位数、平均数的概念.教学过程：一、复习准备：1. 提问：作样本频率分布直方图的基本步骤是怎样的？2. 讨论：如何通过样本的频率分布直方图分析出一些规律？（给出一个图,试着分析）3. 已知数据：10,11,12,12,13,13,13,14,15, 根据初中所学的知识,试求中位数、众数、平均数. 复习：初中学习的中位数、众数、平均数概念？（样本众数：样本观测值中出现次数最多的数;样本中位数：将一组数据从按大小依次排列,处在最中间的一个数据;平均数.）讨论：如何通过样本的数字特征来了解总体的数字特征？引入：这节课学习如何通过频率分布直方图分析数字特征（中位数、众数、平均数）.二、讲授新课：1、教学众数、中位数、平均数的估计：①讨论：结合教材月平均用水量的频率分布直方图,如何估计众数？（注意哪段范围的数最多）②估计众数：频率分布直方图面积最大的方条的横轴中点数字. （最高矩形的中点）③思考：从这些样本数据的频率分布直方图可以看出,月均用水量的众数是 2.25t,翻回到课本第56页看看原来抽样的数据,有没有2.25这个数值呢？根据众数的定义,2.25怎么会是众数呢？为什么？（结论：这是因为样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失的原因,而2.25是由样本数据的频率分布直方图得来的,所以存在一些偏差。
人教A版数学必修3第二章2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征(标准差)教学设计
2.2.2标准差教材设计课例简析当我们进行一个内容的教学时，需要对一个内容进行一个整体的思考，这将有助于老师进行每一节课的教学。
可以从以下几个方面对这部分内容进行整体思考。
1.统计与日常生活中有着广泛的应用，生活先于课程把统计推到了学生面前。
2.统计提供了一种不确定的（随机的）思维方式。
3.有助于学生解决问题能力、情感态度价值观等方面的发展。
统计用数据说话，使学生体会用数据进行推断的思维方式。
方法简述1.把学生不熟悉的问题，不容易理解的问题，换成学生熟悉的问题，容易理解的问题。
2.把一个复杂的问题，拆分成若干个简单的问题，容易理解的问题。
达到循序渐进，环环相扣，水到渠成的目的。
目标定位1.在教学中注重培养学生提出问题、分析问题和解决问题的能力，发展学生的创新意识和应用意识。
2.在作业中提高学生数学探究能力、数学建模能力和数学交流能力，进一步发展学生的数学实践能力。
课堂设计对模块3（必修3）第74页关于方差的讲解，基于对新大纲的理解我做了如下精心的设计：首先看课本的引入：平均数向我们提供了样本数据的重要信息，但是，平均数有时也会使我们作出对总体的片面判断。
某地区的统计报表显示，此地区的年平均家庭收入是10万元，给人的印象是这个地区的家庭收入普遍较高。
但是，如果这个平均数是从200户贫困家庭和20户极富有的家庭年收入计算出来的。
那么，它就不能代表贫困家庭的收入，也不能代表富有家庭的年收入。
因为这个平均数掩盖了一些极端的情况，而这些极端情况显然是不能忽视的，因此，只有平均数还难以概括样本的实际状态。
对于这个情景引入，我觉得对于大部分15或者16岁的孩子来讲，其实比较抽象，难以理解问题的所在，而且重点在平均数上，他们也不能很好的理解什么是极端的情况。
因此我就用孩子们的语言，把它换成了下面两个问题。
1.上次考试，假设数学平均85，语文平均95。
我们的问题是，数学成绩“拉分”厉害，还是语文成绩“拉分”厉害。
最新人教版高中数学必修3第二章《用样本的数字特征估计总体的数字特征》示范教案2
示范教案整体设计教学分析本小节教材通过实例理解样本标准差的意义和作用，学会计算样本标准差，理解样本标准差的意义和作用，形成对数据处理过程进行初步评价的意识．在初中已经学过，平均数描述了数据的平均水平，定量地反映了数据的集中趋势所处的水平．教科书以实例的方式解释了如何用样本的平均数估计总体的平均数．值得注意的是：教科书中给出了标准差的算法，使学生养成分步计算的良好习惯．同时，通过例题演示了如何借助计算器计算样本平均数和样本标准差．在探索与研究中鼓励学生尝试使用软件来计算样本的数字特征，培养学生的动手操作能力和实践能力．三维目标1．正确理解样本数据的平均数、标准差的意义和作用．2．会从样本数据中提取需要的数字特征，体会数学在实际生活中的应用．3．根据提取的数据信息，作出合理的决策，培养解决问题的能力．重点难点教学重点：根据实际问题从样本数据中提取基本的数字特征并作出合理解释，估计总体的基本数字特征；体会样本数字特征具有随机性．教学难点：用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差；能应用相关知识解决简单的实际问题．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.平均数为我们提供了样本数据的重要信息，但是，有时平均数也会使我们作出对总体的片面判断．某地区的统计显示，该地区的中学生的平均身高为176 cm，给我们的印象是该地区的中学生生长发育好，身高较高．但是，假如这个平均数是从五十万名中学生中抽出的五十名身高较高的学生计算出来的话，那么，这个平均数就不能代表该地区所有中学生的身体素质．因此，只有平均数难以概括样本数据的实际状态．所以我们学习从另外的角度来考察样本数据的统计量——标准差．(教师板书课题)思路2.在日常生活的很多情况下，我们往往并不需要了解总体的分布形态，而是更关心总体的某一数字特征．比如购买灯泡时，消费者希望知道的是这批灯泡的平均使用寿命．我们怎样来了解这批灯泡的平均使用寿命呢？当然不可能把所有灯泡逐一测试，因为测试后灯泡就报废了．于是，需要通过随机抽样，把这批灯泡的寿命看作总体，从中随机取出若干个个体作为样本，算出样本的数字特征，用样本的数字特征(如平均数等)来估计总体的数字特征．教师点出课题．推进新课新知探究提出问题1．如何通过频率分布直方图估计众数、中位数、平均数？2．全面建设小康社会是我们党和政府的工作重心，某市按当地物价水平计算，人均年收入达到1.5万元的家庭即达到小康生活水平．民政局对该市100户家庭进行调查统计，它们的人均收入达到了1.6万元，民政局即宣布该市民生活水平已达到小康水平，你认为这样的结论是否符合实际？3．如何考查样本数据的离散程度的大小呢？ 4．写出求标准差的算法．5．样本标准差与频率分布直方图有什么关系？ 讨论结果：1．利用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数．估计众数：频率分布直方图面积最大的方条的横轴中点数字(最高矩形的中点)． 估计中位数：中位数把频率分布直方图分成左右两边面积相等．估计平均数：频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和． 2．不符合实际．样本太小，没有代表性．若样本里有个别高收入者与多数低收入者差别太大．在统计学里，对统计数据的分析，需要结合实际，侧重于考察总体的相关数据特征．比如，市民平均收入问题，都是考察数据的离散程度．3．考察样本数据的离散程度的大小，最常用的统计量是方差和标准差． 标准差：考察样本数据的离散程度的大小，最常用的统计量是标准差(standard deviation)．标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示．s ＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2] . 意义：标准差用来表示稳定性，标准差越大，数据的离散程度就越大，也就越不稳定；标准差越小，数据的离散程度就越小，也就越稳定．从标准差的定义可以看出，标准差s ≥0，当s ＝0时，意味着所有的样本数据都等于样本平均数．从数学的角度考虑，人们有时用标准差的平方s 2——方差来代替标准差，作为测量样本数据离散程度的工具，其中s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]．显然，在刻画样本数据的离散程度上，方差与标准差是一样的．但在解决实际问题时，一般多采用标准差．需要指出的是，现实中的总体所包含的个体数往往是很多的，总体的平均数与标准差是不知道的．如何求得总体的平均数和标准差呢？通常的做法是用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差．这与前面用样本的频率分布来近似地代替总体分布是类似的．只要样本的代表性好，这样做就是合理的，也是可以接受的.两者都是描述一组数据围绕平均数波动的大小，实际应用中比较广泛的是标准差． 4．计算样本数据x 1，x 2，…，x n 的标准差的算法是：S1 算出样本数据的平均数x ； S2 算出每个样本数据与样本平均数的差x i －x (i ＝1,2，…，n)；S3 算出S2中x i －x (i ＝1,2，…，n)的平方；S4 算出S3中n 个平方数的平均数，即为样本方差； S5 算出S4中平均数的算术平方根，即为样本标准差．5．从标准差的定义可知，如果样本各数据值都相等，则标准差得0，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性；若个体的值与平均数的差的绝对值较大，则标准差也较大，表明数据的波动幅度也很大，数据离散程度很高．因此标准差描述了数据对平均数的离散程度，如下图所示．数据没有离散性数据离散程度很高思路1例1 计算数据5,7,7,8,10,11的标准差．分析：先求出平均数，再代入公式得方差． 解：S1 x ＝5＋7＋7＋8＋10＋116＝8；S4 s 2＝9＋1＋1＋0＋4＋96＝4；S5 s ＝4＝2.所以这组数据的标准差为2.点评：求标准差的过程中，常把x ，x i －x ，(x i －x )2列表表示.例2从甲、乙两名学生中选拔一人参加射击比赛，对他们的射击水平进行了测试，两人在相同条件下各射击10次，命中的环数如下：甲7868659107 4乙9578768677(1)计算甲、乙两人射击命中环数的平均数和标准差；(2)比较两人的成绩，然后决定选择哪一人参赛．分析：通过比较平均数和标准差的大小来确定参赛人选．解：(1)计算得x甲＝7，x乙＝7；s甲＝1.73，s乙＝1.10.(2)由(1)可知，甲、乙两人的平均成绩相等，但s乙<s甲，这表明乙的成绩比甲的成绩稳定一些，从成绩的稳定性考虑，可以选择乙参赛．点评：平均数和方差是样本的两个重要数字特征，方差越大，表明数据越分散，相反的，方差越小，数据越集中、稳定；平均数越大表明数据的平均水平越高，平均数越小表明数据的平均水平越低.思路2例1从某大型企业全体员工某月的月工资表中随机抽取50名员工的月工资资料如下(单位：元)：800 800 800 800 800 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 500 1 500 1 500 1 500 1 500 1 500 1 500 2 000 2 000 2 000 2 000 2 000 2 500 2 500 2 500试计算这50名员工的月工资平均数，并估计这个企业员工的平均工资．解：月平均工资＝800＋800＋…＋2 50050＝1 320元．由此可以估计这家大型企业员工的月平均工资为1 320元．点评：假设你去这家企业应聘职位，月平均工资水平应是你要考虑的重要因素．一般来讲，月平均工资水平可以用来与同类企业的工资待遇作比较．同样，再随机抽取50名员工的工资，计算所得的样本平均数一般会与例1中的样本平均数不同．所以，用样本的平均数估计总体的平均数时，样本的平均数只是总体的平均数的近似.例2从某灯泡厂生产的一批灯泡中随机地抽取10只进行寿命测试．得数据如下(单位：h)：1 458 1 395 1 562 1 614 1 3511 490 1 478 1 382 1 536 1 496使用函数型计算器求样本平均数x和样本标准差s.解：按键MODE2(进入统计计算状态)SHIFT CLR1＝(将计算器存储器设置成初始状态)继续按下表按键即样本平均数x＝1 476.2，样本标准差s＝78.730 934 2.点评：这里，我们更关心的是这批灯泡寿命的情况．我们可以用算出的样本标准差s＝78.730 934 2来估计这批灯泡寿命的变化幅度的大小，也就是说用样本的标准差可以估计总体的标准差．如果再抽取10只，算得的标准差一般会与例3的标准差不同．这就表明样本标准差具有随机性.知能训练1．下列说法：①一组数据不可能有两个众数；②一组数据的方差必须是正数；③将一组数据中的每个数据都加上或减去同一常数后，方差恒不变；④在频率分布直方图中，每个小长方形的面积等于相应小组的频率．其中错误的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：一组数据可能有两个或多个众数，所以①错误；一组数据的方差可以是0(即都相等)，所以②错误；很明显③④正确．答案：C2．已知样本7,8,9，x ，y 的平均数是8，标准差是2，则xy 的值为________． 解析：由已知得7＋8＋9＋x ＋y ＝5×8，则x ＋y ＝16，所以x 2＋y 2＋2xy ＝256，又15[(7－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(x －8)2＋(y －8)2]＝2，整理得x 2＋y 2＝16(x ＋y)－120＝136，所以136＋2xy ＝256，则xy ＝60.答案：60请参照这个表解答下列问题：(1)用含x ，y 的代数式表示该班参加“环保知识竞赛”的班平均分f ；(2)若该班这次竞赛的平均分为2.5分，求x ，y 的值． 解：(1)f ＝3x ＋5y ＋5940；(2)依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋5y ＝41，x ＋y ＝11，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝4.4．某风景区对5个旅游景点的门票价格进行了调整，据统计，调价前后各景点的游客人数基本不变．有关数据如下表所示：是怎样计算的？(2)游客认为调整收费后风景区的平均日总收入相对于调价前，实际上增加了约9.4%，问游客是怎样计算的？(3)你认为风景区和游客哪一个的说法较能反映整体实际？ 解：(1)风景区是这样计算的： 调整前的平均价格：10＋10＋15＋20＋255＝16(元)，调整后的平均价格： 5＋5＋15＋25＋305＝16(元)，因为调整前后的平均价格不变，平均日人数不变， 所以平均日总收入不变． (2)游客是这样计算的： 原平均日总收入：10×1＋10×1＋15×2＋20×3＋25×2＝160(千元)， 现平均日总收入：5×1＋5×1＋15×2＋25×3＋30×2＝175(千元)， 所以平均日总收入增加了175－160160≈9.4%.(3)游客的说法较能反映整体实际．5．甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位：t/hm 2)，试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定．解：甲品种的样本平均数为10，样本方差为[(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]÷5＝0.02.乙品种的样本平均数也为10，样本方差为[(9.4－10)2＋(10.3－10)2＋(10.8－10)2＋(9.7－10)2＋(9.8－10)2]÷5＝0.24.因为0.24>0.02，所以，由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定．6．为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换．已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下，试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差．分析：用每一区间内的组中值作为相应日光灯的使用寿命，再求平均寿命．解：各组中值分别为165,195,225,255,285,315,345,375，由此算得平均数约为165×1%＋195×11%＋225×18%＋255×20%＋285×25%＋315×16%＋345×7%＋375×2%＝267.9≈268(天)．这些组中值的方差为1100×[1×(165－268)2＋11×(195－268)2＋18×(225－268)2＋20×(255－268)2＋25×(285－268)2＋16×(315－268)2＋7×(345－268)2＋2×(375－268)2]＝2 128.60(天2)．故所求的标准差约为 2 128.60≈46(天)．答：估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天，标准差约为46天．课堂小结本节学习了用样本的数字特征估计总体的数字特征，以及在实际中的应用．作业本节练习A1、2、3.设计感想统计学科，最大的特点就是与现实生活的密切联系，也是新教材的亮点．仅仅想借助“死记硬背一些概念及公式，简单模仿课本例题”来学习，是绝对不行的．用样本估计总体时，如果抽样的方法比较合理，那么样本可以反映总体的信息，但从样本得到的信息会有偏差，其原因在于样本的随机性．这种偏差是不可避免的．虽然我们从样本数据得到的分布、均值和标准差并不是总体的真正分布、均值和标准差，而只是总体的一个估计，但这种估计是合理的，特别是当样本的容量很大时，它们确实反映了总体的信息．教师建议：亲身经历“提出问题，收集数据，分析数据，并作出合理决策”过程，在此过程中不仅可以加深对概念等知识的深刻理解，更重要的是发展了思维，培养了分析及解决问题能力，同时在情感、意志等领域也得到了协调发展，这才是学校学习的科学而全面的目标，习题设置有层次，尽量源于教材，又高于教材，这也是高考命题原则．备课资料备选习题1．现有同一型号的汽车50辆．为了了解这种汽车每耗油1 L所行路的情况，要从中抽出5辆汽车在同一条件下进行耗油 1 L 所行路程的试验，得到如下数据(单位：km)：11,15,9,12,13.则样本方差是( )A ．20B ．12C ．4D ．2解析：可以计算得平均数x ＝11＋15＋9＋12＋135＝12，则方差s 2＝15[(11－12)2＋(15－12)2＋(9－12)2＋(12－12)2＋(13－12)2]＝4.答案：C2．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x ，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x －y|的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由平均数为10，得(x ＋y ＋10＋11＋9)×15＝10，整理得x ＋y ＝20；又由于方差为2，则15×[(x －10)2＋(y －10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(9－10)2]＝2，整理得x 2＋y 2－20(x ＋y)＋192＝0，所以x 2＋y 2＝208，则2xy ＝192，则|x －y|＝(x －y )2＝x 2＋y 2－2xy ＝4. 答案：D3．某农科所为寻找高产稳定的油菜品种，选了三个不同的油菜品种进行试验，每一品种分别在五块试验田中试种．每块试验田的面积为0.7公顷，产量情况如下表：解：三个品种的产量的平均数分别为x 1＝21.0(kg)，x 2＝21.0(kg)，x 3＝20.48(kg)；方差为s 21＝0.572，s 22＝2.572，s 23＝3.597 6.∴x 1＝x 2>x 3，s 21＜s 22＜s 23.∴第一个品种既高产又稳定．个组在本次竞赛中的成绩哪组更好一些，并说明理由．分析：该题不仅运用了统计的有关基础知识，还考查应用数学的意识，结论具有开放性，从众数、方差、中位数、高分数段以及满分人数全方位进行综合分析、比较，并作出判断．解：分析1：从众数看，甲组成绩的众数是90分，乙组成绩的众数是70分，甲组成绩好一些．分析2：从方差看，s 2甲＝172，s 2乙＝256，s 2甲＜s 2乙，甲组成绩较乙组成绩好一些．分析3：甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分，其中，甲组成绩在80分以上(含80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(含80分)的有26人，甲组的成绩总体好一些．分析4：从成绩统计表看，甲组成绩高于80分的人数为20人，乙组成绩高于80分的人数为24人，所以乙组成绩在高分段的人数多，同时乙组得满分的人数比甲组多6人，乙组成绩好一些．答案不唯一，只要符合实际数据就行．。
人教课标版高中数学必修三《用样本估计总体(第2课时)》教案(1)-新版
2.2 用样本估计总体第二课时一、教学目标1.核心素养通过本节的学习，学生初步学会数据处理能力.2.学习目标（1）用频率分布直方图估计样本的众数、中位数、平均数.（2）计算样本数据的标准差、方差.（3）会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想.并解决一些实际问题.3.学习重点从频率分布直方图上估计样本数字特征4.学习难点对总体分布概念的理解，统计思维的建立二、教学设计（一）课前设计1.预习任务任务1：阅读教材P72-73，思考样本数字特征有哪些？如何求？在频率分布直方图上如何估计众数，中位数，平均数？任务2：这些样本数字特征是如何反映样本数据的集中趋势和离散程度的？2.预习自测15557816133 5171 21.如图是根据某校10位高一同学的身高(单位：cm)画出的茎叶图，其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生身高的个位数字，从图中可以得到这10位同学身高的中位数是()A.161B.162C.163D.164解：B由给定的茎叶图可知，这10位同学身高的中位数为161＋1632＝162.2.某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差2s 解：1.9（二）课堂设计问题探究一 样本的数字特征1（★▲） ●活动一 众数、中位数、平均数的概念 ①______:在一组数据中，出现次数最多的数据.②______:将一组数据按大小依次排列，处在中间位置的一个数据(或中间两个数据的平均数).③______:指一组数据的算术平均数，即121()n x x x x n=+++.●活动二 频率分布直方图中估计众数、中位数、平均数 ①______:通常是指频率分布直方图中最高矩形的中点的横坐标. ②______:频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等. ③______:平均数 每个小矩形面积与小矩形底边中点横坐标之积的和.例1在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方图中，如何估计数据的众数，中位数，平均数？月均用水量/t频率组距0.50.40.30.20.10.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 O【知识点：频率分布直方图估计数字特征；数学思想：样本估计】 详解：(1)最高矩形的中点的横坐标来代表数据的众数，所以众数为2.25；(2)因为中位数左边和右边的直方图的面积相等，所以0.5－0.04－0.08－0.15－0.22=0.01，0.5×0.01÷0.25=0.02，中位数是2.02.（3）将频率分布直方图中每个小矩形的 面积与小矩形底边中点的横坐标之积相加， 就是样本数据的估值平均数.0.25×0.04+0.75×0.08+1.25×0.15+1.75×0.22+2.25×0.25+2.75×0.14+3.25×06+3.75×0.04+4.25×0.02 =2.02（t ） 平均数是2.02.点拨：在频率分布直方图中，科学估计样本的数字特征方法固定的.频率0.5月均用水量/t组距0.40.30.20.10.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 O取最高矩形下端 中点的横坐标 2.25作为众数.问题探究二 样本的数字特征2（★）●活动一 标准差与方差（1）________:如果有n 个数,,...,,,321n x x x x 那么这组数据的平均数x 表示这组数据的平均数，s 表示样本的标准差，则])()()[(122221x x x x x x ns n -++-+-=. （2）________:标准差s 的平方])()()[(1222212x x x x x x n s n -++-+-=例2 抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：运动员 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 87 91 90 89 93 乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________. 【知识点：方差】解：对于甲，平均成绩为x －＝90，所以方差为s 2＝15×[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4；对于乙，平均成绩为x －＝90，方差为s 2＝15×[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2.由于2<4，所以乙的平均成绩较为稳定.点拨：方差反映样本数据的稳定性，方差越大，数据波动程度越大，方差越小，样本波动程度越小.问题探究3 用样本的数字特征估计总体数字特征（★▲）例3甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是： 甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7；乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5. (1)分别计算两组数据的平均数； (2)分别计算两组数据的方差；(3)根据计算结果，估计一下两名战士的射击水平谁更好一些. 【知识点：样本数字特征】解：(1)x 甲＝110(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7， x 乙＝110(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7.(2)由方差公式s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]可求得s 2甲＝3.0，s 2乙＝1.2. (3)由x 甲＝x 乙，说明甲、乙两战士的平均水平相当；又∵s 2甲>s 2乙，说明甲战士射击情况波动大，因此乙战士比甲战士射击情况稳定.点拨：估计总体的数字特征应从集中趋势和离散程度两方面来阐述. 3.课堂总结 【知识梳理】1.利用频率分布直方图估计样本的数字特征：①中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数值.②平均数：平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和. ③众数：最高的矩形的中点的横坐标. 2.标准差、方差标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大，数据的离散程度就越大；标准差、方差越小，数据的离散程度则越小 【重难点突破】样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想. 4.随堂检测1.下列说法正确的是（ ）A.在两组数据中，平均值较大的一组方差较大B.平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均值的波动大小C.方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再求和D.在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击水平高 【知识点：平均数，方差】 解：B2.已知10名工人生产同一零件，生产的件数分别是16,18,15,11,16,18,18,17,15,13，设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有（ ）A.c b a >>B.b c a >>C.b a c >>D.a b c >> 【知识点：平均数，方差，中位数】 解：D3.为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随即抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为e m ，众数为o m ，平均值为x ，则（ ） A.e o m m x == B.e o m m x =< C.e o m m x << D.o e m m x <<【知识点：中位数，众数，平均数】 解：D4.右图是某电视歌手大奖赛中，七位专家评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m, n 为数字0～9中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为12,a a ，则一定有（ ）A.12a a >B.21a a >C.12,a a 的大小与m 的值有关D. 12,a a 的大小与m, n 的值都有 【知识点：茎叶图，平均数】 解：B5.若样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，10x 的标准差为8，则数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的标准差为（ ） A ．8 B.15 C.16 D.32 【知识点：标准差】 解：C6.为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温； ②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温； ③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差； ④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差. 其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为( )A.①③B.①④C.②③D.②④ 【知识点：茎叶图，标准差，方差】 解：B079545184464799m n第4题甲乙（三）课后作业 基础型 自主突破1.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是A.甲地：总体均值为3，中位数为4B.乙地：总体均值为1，总体方差大于0C.丙地：中位数为2，众数为3D.丁地：总体均值为2，总体方差为3 【知识点：中位数，众数，平均值】 解: D2.一组数据的方差为2s ，将这组数据中的每个数据都扩大3倍，所得到的一组数据的方差是A.231s B.2s C.23s D.29s【知识点：方差】 解：D3.如图是2010年某校举行的元旦诗歌朗诵比赛中，七位评委为某位选手打出分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数和方差分别为( ) A.84,4.84 B.84,1.6 C.85,1.6 D.85,0.4 【知识点：数字特征】 解：B4.如图，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A x 和B x ，样本标准差分别为A s 和B s 则( )A.B A B A s s x x >>,B.B A B A s s x x ><,C.B A B A s s x x <>,D.B A B A s s x x <<, 【知识点：数字特征】 解：B5.样本),,,(21n x x x 的平均数为x ,样本),,,(21m y y y 的平均数为()y x y ≠.若样本),,,,,(121m n y y x x x 的平均数(1)z ax a y =+-,其中0<α<12,则n,m 的大小关系为 A.n<mB.n>mC.n=mD.不能确定【知识点：平均数】 解： A1212,n m x x x nx y y y my +++=+++=,()()()12121n m x x x y y y m n z m n x y αα⎡⎤+++++++=+=++-⎣⎦()()()1m n x m n y αα=+++-, 所以()()()1nx m y m n x m n y αα+=+++-.所以()()(),1.n m n m m n αα=+⎧⎪⎨=+-⎪⎩ 故()[(1)]()(21)n m m n m n ααα-=+--=+-.因为102α<<,所以210α-<.所以0n m -<.即n m <. 6. 设样本数据1210,,,x x x 的均值和方差分别为1和4，若i i y x a =+（a 为非零常数，1,2,,10i =），则12,10,y y y 的均值和方差分别为（ ）（A ）1+,4a （B ）1,4a a ++ （C ）1,4 （D ）1,4+a 【知识点:平均数，方差】 解 ：A能力型 师生共研7.某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分，用x n 表示编号为n (n ＝1,2,3，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：编号n 1 2 3 4 5 成绩x n7076727072求第6位同学的成绩x 6及这6位同学成绩的标准差. 【知识点：标准差】解：题意知x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6＝75×5＝450.所以x 6＝450－(70＋76＋72＋70＋72)＝90. s 2＝16[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2＋(90－75)2]＝49，∴s ＝7. 8.数据a 1，a 2，a 3，…，a n 的方差为s 2，平均数为μ，则数据ka 1＋b ，ka 2＋b ，ka 3＋b ，…，ka n ＋b (k ，b ≠0)的标准差为________，平均数为________. 【知识点：标准差，平均数】解：kμ＋b; |k|s.x＝ka1＋b＋ka2＋b＋…＋ka n＋bn＝k·a1＋a2＋…＋a nn＋b＝kμ＋b.s′＝1n ka1＋b－kμ－b2＋ka2＋b－kμ－b2＋ka n＋b－kμ－b2]＝|k| 1n a1－μ2＋a2－μ2＋…＋a n－μ2]＝|k|s.9.为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，测试成绩(单位：分)如图所示，假设得分值的中位数为m e，众数为m o，平均值为x，则()A.m e＝m o＝xB.m e＝m o<xC.m e<m o<xD.m o<m e<x【知识点：频率的概念；数学思想：统计分布】解D由图可知，30名学生的得分情况依次为得3分的有2人，得4分的有3人，得5分的有10人，得6分的有6人，得7分的有3人，得8分的有2人，得9分的有2人，得10分的有2人.中位数为第15、16个数(分别为5、6)的平均数，即m e＝5.5,5出现的次数最多，故m o＝5，x＝2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×1030≈5.97.于是得m o<m e<x.故选D.探究型多维突破10.甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示：（1）请填写表：平均数方差中位数命中9环及9环以上的次数甲乙（2）请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析：①从平均数和方差相结合看(分析谁的成绩更稳定)；②从平均数和中位数相结合看(分析谁的成绩好些)；③从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看(分析谁的成绩好些)；④从折线图上两人射击命中环数的走势看(分析谁更有潜力).【知识点：样本数字特征；数学思想：样本估计总体】解析由折线图，知甲射击10次中靶环数分别为：9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.将它们由小到大重排为：5,6,6,7,7,7,7,8,8,9.乙射击10次中靶环数分别为：2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.也将它们由小到大重排为：2,4,6,7,7,8,8,9,9,10.（1）x甲＝110×(5＋6×2＋7×4＋8×2＋9)＝7010＝7(环)，x乙＝110×(2＋4＋6＋7×2＋8×2＋9×2＋10)＝7010＝7(环)，分组频数频率[41,51) 2230[51,61) 1130[61,71) 4430[71,81) 6630[81,91) 101030[91,101) 5530[101,111]2230s2甲＝110×[(5－7)2＋(6－7)2×2＋(7－7)2×4＋(8－7)2×2＋(9－7)2]＝110×(4＋2＋0＋2＋4)＝1.2，s2乙＝110×[(2－7)2＋(4－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2×2＋(8－7)2×2＋(9－7)2×2＋(10－7)2]＝110×(25＋9＋1＋0＋2＋8＋9)＝5.4.根据以上的分析与计算填表如下：平均数方差中位数命中9环及9环以上的次数甲7 1.2 7 1乙7 5.4 7.5 3（2）①∵平均数相同，2S甲<2S乙，∴甲成绩比乙稳定.②∵平均数相同，甲的中位数<乙的中位数，∴乙的成绩比甲好些.③∵平均数相同，命中9环及9环以上的次数甲比乙少，∴乙成绩比甲好些.④甲成绩在平均数上下波动；而乙处于上升势头，从第四次以后就没有比甲少的情况发生，乙较有潜力.自助餐1.已知10个数据：1 203 1 201 1 194 1 200 1 2041 201 1 199 1 204 1 195 1 199它们的平均数是()A.1 400B.1 300C.1 200D.1 100【知识点：平均数】解：C2.为了让人们感受丢弃塑料袋对环境造成的影响，某班环保小组的六名同学记录了自己家中一周内丢弃的塑料袋的数量，结果如下(单位：个)：33,25,28,26,25,31.如果该班有45名学生，那么根据提供的数据估计本周全班同学各家总共丢弃塑料袋的数量约为().A.900个B.1 080个C.1 260个D.1 800个【知识点：平均数】解：C3.从总体中抽取的样本数据有n1个a，n2个b，n3个c，则总体平均数的估计值为().A.a＋b＋c3 B.n1＋n2＋n33 C.n1a＋n2b＋n3c3 D.n1a＋n2b＋n3cn1＋n2＋n3【知识点：平均数】解：D4.在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90,89,90,95,93,94,93.去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为A.92,2B.92,2.8C.93,2D.93,2.8【知识点：平均数，方差】解 B 所剩为90,90,93,94,93，x ＝15(90＋90＋93＋94＋93)＝92， s 2＝15×(22＋22＋12＋22＋12)＝2.85.某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6，则该组数据的方差s 2＝_______. 【知识点：方差】解：3.2 ， 收到信件的平均数为15(10＋6＋8＋5＋6)＝7，∴s 2＝＝15[(10－7)2＋(8－7)2＋(6－7)2＋(5－7)2＋(6－7)2]＝3.2.6.从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为________.分数 5 4 3 2 1 人数2010303010【知识点：标准差】解：2105 ， 平均成绩5×20＋4×10＋3×30＋2×30＋1×10100＝3，s 2＝1100[20×(5－3)2＋10(4－3)2＋30(3－3)2＋30(2－3)2＋10(1－3)2]＝160100，s ＝s 2＝2105. 7.若40个数据的平方和是56，平均数是22，则这组数据的方差是______，标准差是______. 【知识点：平数数，方差】 解：0.9，31010 ， 设40个数据为x i (i ＝1,2，…，40)，平均数为x .则s 2＝140×[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x 40－x )2]＝140(x 21＋x 22＋…＋x 240－40x 2)＝140×⎝ ⎛⎭⎪⎫56－40×12＝0.9.∴s ＝0.9＝ 910＝31010.8.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x －y ｜的值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【知识点：平数数，方差】解：D 由题意可得：x+y=20,(x-10)2+(y-10)2=8,解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x 、y ，只要求出y x -，设x=10+t, y=10-t, 24x y t -==，选D9. 某人5上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x,y,10,11,9.已知这组数据的平均数为 10，方次差为2，则22y x +的值为 . 【知识点：平数数，方差】解：20810.某班有40名学生，把他们平均分成两组，两组学生一次考试的情况是：第一组的平均分为80，标准差为4，第二组的平均分为90，标准差为6，求全班同学的平均分x 及标准差s . 【知识点：平均数，标准差】解：因为每组的人数都是20人，所以全班学生的平均分为x ＝80＋902＝85(分).因为第一组的标准差为s 1＝4，∴s 21＝120[(x 1－80)2＋(x 2－80)2＋…＋(x 20－80)2] ＝120[x 21＋x 21＋…＋x 220－160(x 1＋x 2＋…＋x 20)＋802×20] ＝120[x 21＋x 22＋…＋x 220－160×20×80＋802×20]＝16， ∴x 21＋x 22＋…＋x 220＝16×20＋802×20. 同理x 221＋x 222＋…＋x 240＝36×20＋902×20.∴全班学生成绩的方差为s 2＝140[x 21＋x 22＋…＋x 240－170×(x 1＋x 2＋…＋x 40)＋852×140] ＝140(16×20＋802×20＋36×20＋902×20－170×40×85＋852×140)＝51.标准差为s ＝51.11.某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的甲、乙两个品种进行田间试验，选取两大块地，每大块地分成8小块地，分别种植甲、乙两品种，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量如下表品种甲 403 397 390 904 388 400 412 406 品种乙419403412418408423400413分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？【知识点：平均数，方差；数学思想：数据处理能力】 解：甲品种每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为 x 甲＝18(403＋397＋390＋904＋388＋400＋412＋406)＝400， s 2甲＝18[32＋(－3)2＋(－10)2＋42＋(－12)2＋02＋122＋62]＝57.25. 乙品种每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为x 乙＝18(419＋403＋412＋418＋408＋423＋400＋413)＝412， s 2乙＝18[72＋(－9)2＋02＋62＋(－4)2＋112＋(－12)2＋12]＝56.由以上结果可以看出，乙品种的样本平均数大于甲品种的样本平均数且两品种的样本方差差异不大，故应选择种植乙品种.五、数学视野我们大多数人都觉得,图形所反映的资料要比文字材料所反映的更易于理解.一幅照片或一幅图形可能提供大量的资料.统计工作者用图形描绘数量关系正是基于这一事实.因为图形能形象地表示数据,并能清楚迅速地概括出数量关系,所以数据的图示在统计学中用处很大.通常能够用来描绘数据的图形有好几种.包括圆形图、矩形分布图、柱形图、点频数图、直方图、折线图、频数多边形等.在用图形表示数据时,首要任务是选择适当类型的图形以表示手边的数据.然后必须给图形写上标题,并标出符号,以便识读并解释其意义.虽然统计图的用处很大,但是它们有时也可能被用来制造假象.我们来看下面的例子.橄榄球比赛的历年平均得分是否大幅度提高了呢?如图所示的两幅统计图采用的是相同的数据,但却造成不同的印象.这两幅线形图,虽然都是说明橄榄球比赛的成绩在1957~1959年间每年递增2分,但因选择表示变化量的标度不同,所以画出两幅不同的图形,因而粗看上去似乎增长幅度有着显著的差别.这两幅图所用的标题也夸大了这种差别.当使用统计图时,我们必须非常谨慎,以免误解.所以,你不仅应学会描画、识读统计图的方法,而且要学会正确地理解统计图的意义,以免被一些制作欠当的统计图弄糊涂.现在你来考查下面一些统计图:1.下列所示两幅统计图是否表明国家A比国家B花费更多的钱用于国防?阴影部分表示国防费用占预算的比例2.下列所示两幅直方图是否表明Ⅱ班的学生比Ⅰ班的学生成绩好些,为什么?Ⅰ班学生成绩Ⅱ班学生成绩。
人教版高中数学必修3-2.2《用样本估计总体(第2课时)》教学设计
2.2 用样本估计总体（第二课时）(陈方玉)一、教学目标1.核心素养通过本节的学习，学生初步学会数据处理能力.2.学习目标（1）用频率分布直方图估计样本的众数、中位数、平均数.（2）计算样本数据的标准差、方差.（3）会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想.并解决一些实际问题.3.学习重点从频率分布直方图上估计样本数字特征4.学习难点对总体分布概念的理解，统计思维的建立二、教学设计（一）课前设计1.预习任务任务1：阅读教材P72-73，思考样本数字特征有哪些？如何求？在频率分布直方图上如何估计众数，中位数，平均数？任务2：这些样本数字特征是如何反映样本数据的集中趋势和离散程度的？2.预习自测15557816133 5171 21.如图是根据某校10位高一同学的身高(单位：cm)画出的茎叶图，其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生身高的个位数字，从图中可以得到这10位同学身高的中位数是()A.161B.162C.163D.164解：B由给定的茎叶图可知，这10位同学身高的中位数为161＋1632＝162.2.某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差2s 解：1.9（二）课堂设计1 / 142 / 14 问题探究一 样本的数字特征1（★▲）●活动一 众数、中位数、平均数的概念①______:在一组数据中，出现次数最多的数据.②______:将一组数据按大小依次排列，处在中间位置的一个数据(或中间两个数据的平均数).③______:指一组数据的算术平均数，即121()n x x x x n =+++.●活动二 频率分布直方图中估计众数、中位数、平均数①______:通常是指频率分布直方图中最高矩形的中点的横坐标.②______:频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等.③______:平均数 每个小矩形面积与小矩形底边中点横坐标之积的和.例1在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方图中，如何估计数据的众数，中位数，平均数？ 月均用水量/t 频率组距0.50.40.30.20.10.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 O【知识点：频率分布直方图估计数字特征；数学思想：样本估计】详解：(1)最高矩形的中点的横坐标来代表数据的众数，所以众数为2.25；(2)因为中位数左边和右边的直方图的面积相等，所以0.5－0.04－0.08－0.15－0.22=0.01，0.5×0.01÷0.25=0.02，中位数是2.02.（3）将频率分布直方图中每个小矩形的 面积与小矩形底边中点的横坐标之积相加， 就是样本数据的估值平均数.0.25×0.04+0.75×0.08+1.25×0.15+1.75×0.22+2.25×0.25+2.75×0.14+3.25×06+3.75×0.04+4.25×0.02 =2.02（t ）平均数是2.02.点拨：在频率分布直方图中，科学估计样本的数字特征方法固定的. 频率0.5月均用水量/t 组距0.40.30.20.10.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 O 取最高矩形下端 中点的横坐标 2.25作为众数.问题探究二 样本的数字特征2（★）。
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2.2.1用样本的频率分布估计总体分布一、教学目标分析1．知识与技能目标（1）通过实例体会分布的意义和作用。
（2）在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图。
（3）通过实例体会频率分布直方图的特征，能准确地做出总体估计。
2、过程与方法目标：通过对现实生活的探究，感知应用数学知识解决问题的方法，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。
3、情感态度与价值观目标：通过对样本分析和总体估计的过程，感受数学对实际生活的需要，认识到数学知识源于生活并指导生活的事实，体会数学知识与现实世界的联系。
二、教学的重点和难点重点：会列频率分布表，画频率分布直方图。
难点：能通过样本的频率分布估计总体的分布。
三、教法与学法分析1、教法：遵循观察、探究、发现、总结式的教学模式。
重点以引导学生为主，让他们能积极、主动的进行探索，获取知识。
由于内容较繁琐，所以要借助多媒体辅助教学。
2、学法：根据本节知识的特点，由于学生已具备一定的基础知识，可采取研究性学习的学习方法。
四、教学过程（一）情境引入1.随机抽样有哪几种基本的抽样方法？简单随机抽样、系统抽样、分层抽样.2.随机抽样是收集数据的方法，如何通过样本数据所包含的信息，估计总体的基本特征，即用样本估计总体，是我们需要进一步学习的内容.3.高二某班有50名学生，在数学必修②结业考试后随机抽取10名，其考试成绩如下：82，75，61，93，62，55，70，68，85，78.如果要求我们根据上述抽样数据，估计该班对数学模块②的总体学习水平，就需要有相应的数学方法作为理论指导，本节课我们将学习用样本的频率分布估计总体分布.（二）新课讲解知识探究（一）：频率分布表【问题】我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费.通过抽样调查，获得100位居民2007年的月均用水量如下表（单位：t）：0.2 1.2 2.2 1.5 1.9 1.6 3.4 2.6 2.2 3.1 2.5 2.0 2.0 1.5 1.0 1.6 1.82.2 2.8 2.3 1.5 0.53.8 3.3 0.4 0.3 0.4 3.2 2.7 2.3 2.1 1.6 1.2 3.73.04.3 1.9 0.8 3.2 2.9 2.4 2.3 1.8 1.4 3.5 1.7 1.3 3.6 1.7 0.6 4.11.6 1.32.3 1.8 1.3 2.9 2.4 2.4 1.9 1.3 1.4 1.8 0.7 2.0 2.5 2.8 2.30.9 2.3 2.6 2.7 2.4 2.1 1.7 1.4 1.2 1.5 0.5 2.4 2.5 2.6 2.3 2.1 1.61.0 1.0 1.7 0.82.4 2.8 2.5 2.2 2.0 1.5 1.0 1.2 1.8 0.6 2.2思考1：上述100个数据中的最大值和最小值分别是什么？由此说明样本数据的变化范围是什么？0.2～4.3思考2：样本数据中的最大值和最小值的差称为极差.如果将上述100个数据按组距为0.5进行分组，那么这些数据共分为多少组？（4.3-0.2）÷0.5=8.2思考3：以组距为0.5进行分组，上述100个数据共分为9组，各组数据的取值范围可以如何设定？[0，0.5），[0.5，1），[1，1.5），…，[4，4.5].思考4：如何统计上述100个数据在各组中的频数？如何计算样本数据在各组中的频率？你能将这些数据用表格反映出来吗？分组频数累计频数频率4 0.04 [0，0.5）8 0.08 [0.5，1）[1，1.5）正正正15 0.15正22 正正0.22 [1.5，2）正[2，2.5）正正正正正25 0.2514 ）[2.5，3 正正0.14[3，3.5）正一 6 0.064 0.04 [3.5，4）2 [4，4.5] 0.02合计100 1.00思考5：上表称为样本数据的频率分布表，由此可以推测该市全体居民月均用水量分布的大致情况，给市政府确定居民月用水量标准提供参考依据，这里体现了一种什么统计思想？用样本的频率分布估计总体分布.思考6：如果市政府希望85%左右的居民每月的用水量不超过标准，根据上述频率分布表，你对制定居民月用水量标准（即a的取值）有何建议？88%的居民月用水量在3t以下，可建议取a=3思考7：在实际中，取a=3t一定能保证85%以上的居民用水不超标吗？哪些环节可能会导致结论出现偏差？分组时，组距的大小可能会导致结论出现偏差，实践中，对统计结论是需要进行评价的.思考8：对样本数据进行分组，其组数是由哪些因素确定的？思考9：对样本数据进行分组，组距的确定没有固定的标准，组数太多或太少，都会影响我们了解数据的分布情况.数据分组的组数与样本容量有关，一般样本容量越大，所分组数越多.按统计原理，若样本的容量为n，分组数一般在（1+3.3lg n）附近选取.当样本容量不超过100时，按照数据的多少，常分成5～12组.若以0.1或1.5为组距对上述100个样本数据分组合适吗？思考10：一般地，列出一组样本数据的频率分布表可以分哪几个步骤进行？第一步，求极差.（极差=样本数据中最大值与最小值的差）第二步，决定组距与组数.（设k=极差÷组距，若k为整数，则组数=k，否则，组数=k+1）第三步，确定分点，将数据分组.. 第四步，统计频数，计算频率，制成表格（频数=样本数据落在各小组内的个数，频率=频数÷样本容量）知识探究（二）：频率分布直方图思考1：为了直观反映样本数据在各组中的分布情况，我们将上述频率分布表中的有关信息用下面的图形表示：/t上图称为频率分布直方图，其中横轴表示月均用水量，纵轴表示频率/组距. 频率分布直方图中各小长方形的和高度在数量上有何特点？思考2：频率分布直方图中各小长方形的面积表示什么？各小长方形的面积之和为多少？各小长方形的面积=频率各小长方形的面积之和=1思考3：频率分布直方图非常直观地表明了样本数据的分布情况，使我们能够看到频率分布表中看不太清楚的数据模式，但原始数据不能在图中表示出来.你能根据上述频率分布直方图指出居民月均用水量的一些数据特点吗？(1)居民月均用水量的分布是“山峰”状的，而且是“单峰”的；(2)大部分居民月均用水量集中在一个中间值附近，只有少数居民月均用水量很多或很少；(3)居民月均用水量的分布有一定的对称性等.思考4：样本数据的频率分布直方图是根据频率分布表画出来的，一般地，频率分布直方图的作图步骤如何？第一步，画平面直角坐标系.第二步，在横轴上均匀标出各组分点，在纵轴上标出单位长度.第三步，以组距为宽，各组的频率与组距的商为高，分别画出各组对应的小长方形.思考5：对一组给定的样本数据，频率分布直方图的外观形状与哪些因素有关？在居民月均用水量样本中，你能以1为组距画频率分布直方图吗？频率组距0.40.30.20.1/t月均用水量 5 4 3 2 1 0（三）例题讲解例1、某地区为了了解知识分子的年龄结构，随机抽样50名，其年龄分别如下：42，38，29，36，41，43，54，43，34，44，40，59，39，42，44，50，37，44，45，29，48，45，53，48，37，28，46，50，37，44，42，39，51，52，62，47，59，46，45，67，53，49，65，47，54，63，57，43，46，58.(1)列出样本频率分布表；(2)画出频率分布直方图；(3)估计年龄在32～52岁的知识分子所占的比例约是多少.(1)极差为67-28=39，取组距为5，分为8组.样本频率分布表：分组频数频率0.06 3 [27，32）0.06 3 [32，37）0.18 9 [37，42）0.32 16 [42，47）0.14 7 [47，52）0.10 5 [52，57）0.08 4 [57 ，62）0.06 3 ，67）[621.00 50 合计2）样本频率分布直方图：（频率组距0.070.06 0.050.040.030.020.010 27 32 37 42 47 52 57 62 67 年龄（3）因为0.06+0.18+0.32+0.14=0.7，故年龄在32～52岁的知识分子约占70%.例2、为了了解小学生的体能情况，抽取了某小频率学同年级部分学生进行跳绳测试，将所得的数据组距 a整理后画出频率分布直方图（如图），已知图中从b 0.4左到右的前三个小组的频率分别是0.1，0.3，。
第一小组的频数是5.c(1) 求第四小组的频率和参加这次测试的学生人数； d并且将直方图补充完整。
a,b,c,d求(2)次以上为优秀，参加这次测试跳绳次数在100(3) 人数149.5 99.5 49.5 试估计该校此年级跳绳成绩优秀率是多少？124.574.5 5 ÷0.1=50 参加学生人数0.2 (1)从而第四组频率：如图所示(2)a=0.016 ,b=0.016 ,c=0.016,d=0.016频率优秀率为(3)0.4+0.2=0.6人数例3、2009年10月31日,我国国家食品药品监督管理局已批准8家疫苗生产企业生产甲型H1N1流感疫苗。
为了调查这些企业的生产能力,随机抽查了其中一个企业20天每天生产甲型H1N1流感疫苗的数量(单位：万剂)，疫苗数量的分组区间为：[45，55]，[55，65]，[65，75]，[75，85]，[85，95]，由此得到频率分布直方图如图，则由此估计该企业一个月(以30天计算)生产产品数量在65万剂以上的天数约为_____.频率组距0.0400.0350.0300.025 0.020 0.015 0.010 0.00545 55 65 75 85 95 产品数量由频率分布直方图知疫苗生产数量在65万剂以上的有三组，这三组的频率比组距之和是0.025+0.010+0.005=0.040，∵组距是10，∴三组的频率之和是0.040×10=0.4，∴生产产品数量在65万剂以上的天数约为30×0.4=12，故答案为：12（四）课堂小结1.频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小，总体分布是指总体取值的频率分布规律.我们通常用样本的频率分布表或频率分布直方图去估计总体的分布.2.频率分布表和频率分布直方图，是对相同数据的两种不同表达方式.用紧凑的表格改变数据的排列方式和构成形式，可展示数据的分布情况.通过作图既可以从数据中提取信息，又可以利用图形传递信息.3.样本数据的频率分布表和频率分布直方图，是通过各小组数据在样本容量中所占比例大小来表示数据的分布规律，它可以让我们更清楚的看到整个样本数据的频率分布情况，并由此估计总体的分布情况.（五）课下作业：练习：1.（1）. 习题2.2A组：2.。