[PDF] 离散数学基础：数理逻辑

对于广义关系R， 若它满足对任意的三个元素x, y, z ， 若 x, y ∈R且 x, z ∈R， 则y = z ， 则称R为 广义函数(general function)。 不过我们通常考虑从A到B 的 （全） 函数(total function)f : A→B ， 它满 足： (i) f ⊆ A×B ； (ii) 对任意元素x， 若x∈A， 则存在y ∈B 使得 x, y ∈f ； (iii) 对任意三个元素x, y, z ， 若 x, y ∈f 且 x, z ∈f ， 则y = z 。 函 数是 现 代 数 学 的 核 心 概 念，函 数f : A→B 给 出A到B 的 一 种 特 殊 的对 应，这 种 特 殊 性 体 现 在：(i) 存在性：即对任意x∈A，都存在y ∈B 使得 x, y ∈f ；(ii) 惟一性：即对任意x∈A，仅存在惟一 的y ∈B 使得 x, y ∈f 。只所以这两个性质特别重要， 因为这是数学家一直追求的内容。大家知道， 古 代数学（到十五、六世纪）为止，数学（特别是代数学）的核心是求解方程，而求解方程追求的正是 方程要有解（存在性） ，而且要有惟一的解（惟一性） 。因此存在且惟一永远是数学家所追求的目标， 而函数这种对应则体现了这个目标。 我们可以将存在且惟一合称为函数性 (functionality)，很多时候，我们在对集合（信息、对象、 系统）进行变换（处理）的时候都希望有这种函数性，例如，我们常见的运算，数的加、减、乘、除，
参考文献
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目录
第一章
预备知识
我们在这一章讨论一些学习离散数学的预备知识，主要是与集合、关系及函数有关的一些基本 概念，并在讨论数学归纳法的基础上稍微深入一点讨论归纳原理，因为归纳原理在离散数学课程具 有十分重要的地位。
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1.1.1 集合的基本概念
集合、 关系与函数
集合(set)是数学的最基本概念之一， 不能用更简单的概念定义， 只能给出它的描述。 我们说， 一 些对象的整体称为一个集合， 该整体的每个对象称为该集合的元素(element)。 通常用大写字母A, B, C 等表示集合， 用小写字母a, b, c等表示集合的元素。 集合与元素之间的基 本关系是属于关系，或成员关系(membership)，通常用a∈A表示a是集合A的元素（成员） ，或说a属 / A。集合的一个基本特点是，集合中的元素 于(belong to)集合A。若a不是集合A的元素，则记为a ∈ 是无序且不重复的。 给出一个集合有两种方法： 1. 元素枚举法： 即通过列出其所有元素的方法来确定该集合， 例如： A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} B = {a, b, · · · , z } 这种方法适合给出元素数目较少的集合。由于离散数学课程的特点，我们在举例的时候，通常会使 用元素枚举法来给出一些集合， 这符合离散结构化的特点。 2. 性质概括法： 使用某个性质来概括集合中的元素从而确定该集合， 例如： A = {n | n 是小于10的自然数} C = {n | n 是质数} 这 使 用 性 质 概 括 法 确 定 集 合 的 一 般 形 式是：A = {x | P (x)}，这 里P (x)表 示 一 个 于x有 关 的 性 质 陈 述（或 更 准 确 地 说，一 个 以x为 变 量 的 谓 词） 。注 意，这 种 表 示 形 式 的 含 义 是x∈A当 且 仅 当x满 足 性 质P 。 实际上，元素枚举法对应的集合论依据是外延原则：一个集合由且仅由它的元素确定，即给出 一个集合就给出了该集合的所有元素，反之，若给出了一个集合的所有元素也就给出了这个集合。 将外延原则应用到无穷集合，实际上蕴含了所谓的“实无穷”的观点，即无穷集合可以当作一个整 1
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第一章 预备知识
体进行研究， 例如我们在给出自然数集合N时， 我们想到的就是所有自然数构成的全体， 我们可以对 自然数这个整体进行研究。与之相对应的是“潜无穷”的观点，即认为无穷集合作为一个整体是不 存在的，为研究无穷集合的性质，我们只能通过一些构造的方法，逐步构造其元素，以从有穷达到 无穷。例如，对于自然数，数学归纳法就是一种从有穷达到无穷的方法。 “潜无穷”观点导致直觉主 义的产生， 导致对可构造性的研究， 对于计算机的产生具有很重要的意义。 性 质 概 括 法 则 对 应 朴 素 集 合 论另 一 原则：抽 象 原则，即，对 于 任 意一 个 性 质P ，都 存 在 一 个 集 合A，使 得A的 每 个 元 素 都 具 有 性 质P ，且A包 含 了 所 有 具 有 性 质P 的 元 素。此 原则 不 能 滥 用，因 为 不 是 所 有 性 质 都 能 得到 一 个 符 合 逻 辑 的 集 合，例 如， “所 有 不 以 自 身 为 元 素 的 集 合（？ ）R = {x | x ∈ / x}” ， “所有集合构成的集合（？）U = {X | X 是集合}”等都实际上不是合乎逻辑的 集合， 前者是罗素悖论， 有R∈R当且仅当R ∈ / R， 后者根据康托尔证明的不存在最大基数 （因为一个 集合的幂集的基数总是大于该集合的基数！ ） ，因此也不存在由所有集合构成的集合（否则该集合就 是具有最大基数的集合！ ） 。 在公理集合论中，使用子集分离原则代替抽象原则。子集分离原则说，若已经存在一个集合U ， 再给出一个性质P ，那么U 中所有满足性质P 的元素可得到一个集合。在实际应用时，当然在绝大多 数情况无需为这些数学基础所困扰，有时为避免悖论等种种问题，假设存在一个全集(universal)U ， 即我们所研究的所有元素都属于U ， 那么使用抽象原则实际上是使用子集分离原则。 元素枚举法和性质概括法代表了我们考察集合（对象、系统）的两种观点，前者从集合（对象、 系统）内部考察集合（对象、 系统）的性质， 而且从集合（对象、 系统）与外部（其他集合、 对象 、 系 统）的关系的角度考察集合的性质。值得注意的是，这两种方法是计算机科学乃至任意学科的两种 基本的思维方法，例如，面向对象技术可以说是要从对象与对象之间的关系考察对象，抽象数据类 型从数据与数据之间的操作性质考察数据的性质等等。我们在后面学习集合论时也要注意运用这两 种思维方法。 外延原则确定了判断两个集合是否相等的基本标准，即A = B 当且仅当对任意元素x，x∈A当 如果对任意元素x， 若x∈A则x∈B 则我们称A是B 的子集(subset)， 记为A⊆B 。 显然A = 且仅当x∈B 。 B 当且仅当A⊆B 且B ⊆A。若A⊆B 且A = B ， 则称A为B 的真子集(proper subset)， 记为A ⊂ B 。 约定存在一个空集(empty set)，记为∅，即不含任何元素的集合，且空集是任意集合的子集。对 任意集合A， A的所有子集也构成了一个集合， 称为A的幂集(power set)， 记为℘(A)， 即： ℘(A) = {x | x⊆A} 因此， 我们总有∅∈℘(A)以及A∈℘(A)， 这说明集合的元素本身也可能是集合。 实际上， 从集合论的角 度看， 它所研究的任何对象都是集合。 集合的基本运算是并(union)和交(intersection)，对于两个集合A和B ，它们的并记为A ∪ B ，交 记为A ∩ B ， 分别定义如下： A ∪ B = {x |x∈A 或者 x∈B } A ∩ B = {x |x∈A 而且 x∈B }
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归纳定义和归纳证明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 综合练习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 本章小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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证明 我们只需证明当 a, b = c, d 时有a = c且b = d。 首先根据有序对的定义，a, b = c, d 表 示{{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}}，从而根据集合相等的含义有{a}∈{{c}, {c, d}}，若{a} = {c, d}则意 味着c = d = a， 否则若{a} = {c}， 则也有a = c。总之， 不管怎样都有a = c。 另一方面，我们也有{a, b} = {c, d} = {a, d}，这时，若b = a，则根据集合元素是不重复的，就 有{a, b} = {a} = {a, d}这意味着d = a = b， 否则若b = a， 则同样有b = d。 实际上， 我们也无需关系上述引理的证明， 而只需要知道两点：一是有序对是通过集合定义的， 即有序对也是一个集合；二是有序对的基本性质是 a, b = c, d 当且仅当a = c且b = d。有序对的定 义可推广到n元组(tuple) a0 , a1 , · · · , an−1 ， 不过我们暂时无需关心n元组。 两个集合A和B 的笛卡尔积(Cartesian product)A×B 定义为：A×B = { a, b | a∈A 且 b∈B }。笛 卡尔积也可推广到n个集合A0 , A1 , · · · , An−1 的笛卡尔积A0×A1×· · ·×An−1 。但同样我们也暂时不定 义n个集合的笛卡尔积。 若集合R的所有元素都是有序对，则称R为广义关系(general relation)。但通常我们给定两个集 关系(relation)。 若R ⊆ A × A， 则称R为A上的 （二元） 合A和B ， 称A × B 的子集R是A与B 之间的 （二元） 关系。关系R的定义域(domain)dom(R)定义为：dom(R) = {x | 存在y 使得 x, y ∈R}，而关系R的值 域(range)ran(R)定义为： ran(R) = {y | 存在x使得 x, y ∈R}。显然广义关系R是dom(R)×ran(R)的 子集。 给定n个集合A0 , A1 , · · · , An−1 ，也可定义它们之间的n元关系R为A0×A1×· · ·×An−1 的子集，不 过在绝大多数情况下我们都是研究二元关系。 注意， 空集∅ ⊆ A × B 也是A与B 之间的关系， 而A × B 本身也是A与B 之间的关系， 它被称为A与B 之 间的全关系。此外， 对于集合A， idA = { a, a | a∈A}称为A上的恒等关系(identity relation)。 A与B 之 间 的 关 系 建 立 了A到B 的 一 个 对 应(correspondence)：对 于A的 一 个 元 素a∈A，可 能 指 定B 的 一 个 元 素b∈A与 其 配 对，即 使 得 a, b ∈R。若 a, b ∈R，我 们 可 称b为a（在 关 系R下）的 像(image)， 而a则为b（在关系R下）的原像(pre-image)。