双曲线知识点归纳总结例题分析

双曲线基本知识点

直线和双曲线的位置双曲线1

2

2

2

2

=

-

b

y

a

x与直线y kx b

=+的位置关系：

利用

22

22

1

x y

a b

y kx b

⎧

-=

⎪

⎨

⎪=+

⎩

转化为一元二次方程用判别式确定。二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。

相交弦AB的弦长22

1212

1()4

AB k x x x x

=++-

通径：

21

AB y y

=-

补充知识点：

等轴双曲线的主要性质有：

（1）半实轴长=半虚轴长（一般而言是a=b，但有些地区教材版本不同，不一定用的是a,b这两个字母）；

（2）其标准方程为x^2-y^2=C，其中C≠0；

（3）离心率e=√2；

（4）渐近线：两条渐近线y=±x 互相垂直；

（5）等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点

的距离的比例中项；

（6）等轴双曲线上任意一点P处的切线夹在两条渐近线之间的线段，必被P所平分；

（7）等轴双曲线上任意一点处的切线与两条渐近线围成三角形的面积恒为常数a^2；

（8）等轴双曲线x^2-y^2=C绕其中心以逆时针方向旋转45°后，可以得到XY=a^2/2，其中C≠0。

所以反比例函数y=k/x的图像一定是等轴双曲线。

例题分析：

例1、动点P 与点1(05)F ，与点2(05)F -，满足126PF PF -=，则点P 的轨迹方程为（ ）

Ａ．221916x y -= Ｂ．22

1169x y -+=

Ｃ．221(3)169x y y -+=≥ Ｄ．22

1(3)169

x y y -+=-≤

同步练习一:如果双曲线的渐近线方程为34

y x =±，则离心率为（ ） Ａ．5

3

Ｂ．54

Ｃ．53或54

例2、已知双曲线22

14x y k

+=的离心率为2e <，则k 的围为（ ）

Ａ．121k -<< Ｂ．0k < Ｃ．50k -<<

Ｄ．120k -<<

同步练习二:双曲线22

221x y a b -=的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为 ．

例3、设P 是双曲线22

219

x y a -=上一点，双曲线的一条渐近线方程为320x y -=，12F F ，分别是双曲

线的左、右焦点，若13PF =，则2PF 的值为 ．

同步练习三:若双曲线的两个焦点分别为(02)(02)-，，，，且经过点(2，则双曲线的标准方程

为 。

例4、下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是

(A)x 23-y 2=1和y 29

-x 2

3=1 (B)x 23-y 2=1和y 2-x 23=1

(C)y 2-x 23=1和x 2-y 23=1 (D)x 23-y 2=1和92x -3

2

y =1

同步练习四:已知双曲线的中心在原点，两个焦点

12F F ，分别为和(，点P 在双曲线上且12PF PF ⊥，且12PF F △的面积为1，则双曲线的方程为（ ）

Ａ．22

123

x y -=

Ｂ．22

132

x y -=

Ｃ．2

214

x y -=

Ｄ．2

2

14

y x -=

例5、与双曲线

116

92

2=-y x 有共同的渐近线，且经过点A }32,3(-的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（ ） （A ）8 （B ）4 （C ）2 （D ）1

同步练习五:以x y 3±=为渐近线，一个焦点是F （0，2）的双曲线方程为（ ） 例6、下列方程中，以x ±2y=0为渐近线的双曲线方程是

(A)

12

y x )D (1

y 2

x )C (1

16

y 4x )B (14

y 16x 2

2

22222

2=-=-=-=-

同步练习六:双曲线8kx 2-ky 2=8的一个焦点是(0，3)，那么k 的值是

例7、经过双曲线的右焦点F 2作倾斜角为30°的弦AB ，

（1）求|AB|.

（2）F 1是双曲线的左焦点，求△F 1AB 的周长．

同步练习七过点（0，3）的直线l 与双曲线只有一个公共点，求直线l 的方程。

高考真题分析

1.【2012高考新课标文10】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，43AB =；则C 的实轴长为（ ）

()A 2 ()B 22 ()C 4 ()D 8

【答案】C

【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题.

【解析】由题设知抛物线的准线为：4x =，设等轴双曲线方程为：222x y a -=，将4x =代入

等轴双曲线方程解得y =

，∵||AB =a =2， ∴C 的实轴长为4，故选C.

2.【2012高考文11】已知双曲线1C ：22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)

C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为

(A) 2x y =

(B) 2x y = (C)28x y = (D)216x y = 【答案】D

考点：圆锥曲线的性质

解析：由双曲线离心率为2且双曲线中a ，b ，c 的关系可知a b 3=，此题应注意C2的焦点在

y 轴上，即（0，p/2）到直线x y 3=的距离为2，可知p=8或数形结合，利用直角三角形求解。

3.【2012高考全国文10】已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，

12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=

（A ）

14 （B ）35 （C ）34 （D ）45

【答案】C

【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用，以及余弦定理的运用。首先运用定义得到两个焦半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可。