指数与指数函数

指数与指数函数检测题

1.3·332

·6

12的化简结果为( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．6

解析：选B 原式＝312

·⎝⎛⎭⎫321

3·121

6

＝312

·313

·21-3

·41

6·316

＝3

111

+-236·2

-11

+33

＝3·20＝3.

2．已知函数f (x )＝a x －

1＋4(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( )

A ．(1,5)

B ．(1,4)

C ．(0,4)

D ．(4,0)

解析：选A 令x －1＝0⇒x ＝1，又f (1)＝5，故图象恒过定点P (1,5)． 3．已知a ＝(2)4

3，b ＝225，c ＝913

，则( ) A ．b

D ．c

解析：选A a ＝(2)43

＝2⨯1423

＝223，b ＝225，c ＝913＝323

，由2<3得a 2

5

，

得a >b ，所以c >a >b .故选A.

4．已知函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

1－2－

x ，x ≥0，2x －1，x <0，则函数f (x )是( )

A ．偶函数，在[0，＋∞)上单调递增

B ．偶函数，在[0，＋∞)上单调递减

C ．奇函数，且单调递增

D ．奇函数，且单调递减

解析：选C 易知f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝1－2－

x ，－f (x )＝2－

x －1，此时－x <0，则f (－x )＝2－

x －1＝－f (x )；当x <0时，f (x )＝2x －1，－f (x )＝1－2x ，此时－x >0，则f (－x )＝1－2

－(－x )

＝1－2x ＝－f (x )．即函数f (x )是奇函数，且单调递增，故选C.

5．函数y ＝a x 在[0,1]上的最大值与最小值的和为54，则函数y ＝3·a 2x －

1在[0,1]上的最大值为

( )

A ．16

B ．15

C ．12

D.34

解析：选C ∵函数y ＝a x 在定义域上是单调函数，且y ＝a x 在[0,1]上的最大值与最小值的和为54，∴1＋a ＝54，解得a ＝14

，∴函数y ＝3·a 2x －1＝3·⎝⎛⎭⎫142x －1＝12·⎝⎛⎭⎫116x .∵函数y ＝12·⎝⎛⎭⎫116x

在定义域上为减函数，∴当x ＝0时，函数y ＝3·a 2x

－1

在[0,1]上取得最大值，且最大值是12，

故选C.

6．若对于任意x ∈(－∞，－1]，都有(3m －1)2x <1成立，则m 的取值范围是( )

A.⎝

⎛⎭⎫－∞，13 B.⎝

⎛⎦⎤－∞，1

3 C ．(－∞，1)

D ．(－∞，1]

解析：选C ∵2x >0，∴不等式(3m －1)2x <1对于任意x ∈(－∞，－1]恒成立等价于3m －1<12x ＝⎝⎛⎭⎫12x 对于任意x ∈(－∞，－1]恒成立．∵x ≤－1，∴⎝⎛⎭⎫12x ≥⎝⎛⎭⎫12－1＝2，∴3m －1<2，解得m <1，∴m 的取值范围是(－∞，1)．故选C.

7．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－x 2

＋2x ＋1的单调递减区间为________．

解析：设u ＝－x 2＋2x ＋1，∵y ＝⎝⎛⎭⎫12u

在R 上为减函数，∴函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋2x ＋1的单调递减区间即为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的单调递增区间．又u ＝－x 2＋2x ＋1的单调递增区间为(－∞，1]，∴f (x )的单调递减区间为(－∞，1]．

答案：(－∞，1]

8．下列说法中，正确的是________(填序号)．

①任取x >0，均有3x >2x ； ②当a >0，且a ≠1时，有a 3>a 2； ③y ＝()3－

x 是增函数；

④y ＝2|x |的最小值为1；

⑤在同一平面直角坐标系中，y ＝2x 与y ＝2－

x 的图象关于y 轴对称． 解析：任取x >0，均有3x >2x ，即①正确； 当a >1时，a 3>a 2，当0

x 是减函数，③错误； y ＝2|x |的最小值为1，④正确；

在同一平面直角坐标系中，y ＝2x 与y ＝2－

x ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象关于y 轴对称，⑤正确． 故正确的是①④⑤. 答案：①④⑤

9．若函数f (x )＝a |2x －

4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19

，则f (x )的单调递减区间是________．

解析：由f (1)＝19得a 2＝19，所以a ＝13或a ＝－1

3(舍去)，即f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．

答案：[2，＋∞)

10．(2020·西安模拟)已知函数f (x )＝2x ，g (x )＝x 2＋2ax (－3≤x ≤3)． (1)若g (x )在[－3,3]上是单调函数，求a 的取值范围； (2)当a ＝－1时，求函数y ＝f (g (x ))的值域．

解：(1)易知g (x )＝(x ＋a )2－a 2的图象的对称轴为x ＝－a ， ∵g (x )在[－3,3]上是单调函数，

∴－a ≥3或－a ≤－3，即a ≤－3或a ≥3. ∴a 的取值范围为(－∞，－3]∪[3，＋∞)． (2)当a ＝－1时，f (g (x ))＝2x 2－2x (－3≤x ≤3)， 令u ＝x 2－2x ，y ＝2u ，

∵x ∈[－3,3]，∴u ＝(x －1)2－1∈[－1,15]． 而y ＝2u 是增函数，∴1

2≤y ≤215.

∴函数y ＝f (g (x ))的值域是⎣⎡⎦⎤

12，215.

11．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭

⎫1a x －1＋1

2x 3(a ＞0，且a ≠1)．

(1)讨论f (x )的奇偶性；

(2)求a 的取值范围，使f (x )＞0在定义域上恒成立． 解：(1)由于a x －1≠0，则a x ≠1，得x ≠0， ∴函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}． 对于定义域内任意x ，有

f (－x )＝⎝⎛⎭⎫1a －x －1＋12(－x )3＝⎝⎛⎭⎫a x

1－a x ＋1

2(－x )3

＝⎝⎛⎭⎫－1－1a x －1＋12(－x )3＝⎝⎛⎭

⎫1a x －1＋1

2x 3＝f (x )，

∴函数f (x )是偶函数． (2)由(1)知f (x )为偶函数，

∴只需讨论x ＞0时的情况，当x ＞0时，要使f (x )＞0， 则⎝⎛⎭⎫1a x －1＋12x 3＞0，即1a x －1＋1

2

＞0，