中国石油大学(北京)研究生期末考试试卷《工程数学》试题A卷及参考答案
工程数学试题10.11A卷参考答案
中国石油大学（北京）2010 --2011 学年第 一 学期研究生期末考试试题标准答案A (闭卷考试)课程名称：工程数学课程编号：063001 一、 填空题(每小题4分，共20分)1、4510-⨯ 2、1a < 3、21n - 4、3 5、1000.5102.501⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭二、（15分）解： 1 0 0 2 -1 7Q=0 -0.6 -0.8,0 -5 -100 -0.8 0.60 0 -5R ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 或 1 0 0 2 -1 7Q=0 0.6 0.8,0 5 100 0.8 -0.60 0 5R ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦解Qy b =, 得 (10,5,5)Ty =--解Rx y =， 得 (1,1,1)Ty =-三、（15分）解：(1) Jac 迭代格式为:(1)()()123(1)()()213(1)()()3121223522k k k k k k k k k x x x x x x x x x +++⎧=-+⎪=--⎨⎪=--⎩ 迭代3步的结果为：(1)(2)(3)(1,3,5),(5,3,3),(1,1,1)T T T x x x ==--=G-S 迭代格式为:(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)3121223522k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++⎧=-+⎪=--⎨⎪=--⎩迭代3步的结果为：(1)(2)(3)(1,2,1),(5,9,3),(23,29,7)T T T x x x =-=--=--（2）Jac 迭代矩阵为：1022()101220J B D L U --⎛⎫ ⎪=+=-- ⎪ ⎪--⎝⎭3J I B λλ-=故()01J B ρ=< 所以Jac 迭代收敛； G —S 迭代矩阵为：1022()023002G B D L U --⎛⎫ ⎪=-=- ⎪ ⎪⎝⎭2(2)G I B λλλ-=-故()21G B ρ=> 所以G-S 迭代不收敛。
中国石油大学(北京)《工程力学》期末考试答案37567教学资料
中国石油大学(北京)《工程力学》期末考试答案37567中国石油大学（北京）远程教育学院期末考试《工程力学》学习中心：____姓名：___学号：____ 关于课程考试违规作弊的说明1、提交文件中涉嫌抄袭内容（包括抄袭网上、书籍、报刊杂志及其他已有论文），带有明显外校标记，不符合学院要求或学生本人情况，或存在查明出处的内容或其他可疑字样者，判为抄袭，成绩为“0”。
2、两人或两人以上答题内容或用语有50%以上相同者判为雷同，成绩为“0”。
3、所提交试卷或材料没有对老师题目进行作答或提交内容与该课程要求完全不相干者，认定为“白卷”或“错卷”，成绩为“0”。
一、题型简答题，8题，每题5分，共40；计算题，4题，每题15分，共60分）二、题目学号尾数为奇数的同学做题目序号后有“A”字样的题，学号尾数为偶数的同学做题目序号后有“B”字样的题简答题：1A 在铸铁压缩试验中，破坏后的铸铁试样断口平滑呈韧性，与轴线近似成45°。
破坏前，该断口所在斜截面的应力有何特点？答：剪应力最大1B 在铸铁扭转试验中，铸铁断口的形态是什么样的？答：断口呈螺旋面、与轴线近似成45°。
2A 根据铸铁试件扭转破坏断口可以推断，铸铁的扭转破坏和什么因素有很大的关系？答：最大拉应力2B 电阻应变片（简称电阻片或应变片）应用广泛，它是利用什么原理实现电测的？答：金属丝的电阻随机械变形而发生变化 3A 冲击韧性的物理意义是什么？答：试样断裂过程中断面单位面积吸收的能量3B 矩形截面梁在截面B处沿铅垂对称轴和水平对称轴方向上分别作用有，如图所示。
请问最大拉应力和最大压应力发生在危险截面A的哪些点上？答：4A 构件中危险点的应力状态如图所示。
构件为钢制：=45MPa，=135MPa，=0，=0，许用应力=160MPa。
请用第三强度理论校核该构件的强度。
答：选用第三强度理论，构件满足强度要求4B 构件中危险点的应力状态如图所示。
工程数学试卷及标准答案
1．某人打靶3发，事件Ai 表示“击中i 发”，i=0,1,2,3. 那么事件A=A1∪A2∪A3表示( )。
A. 全部击中.B. 至少有一发击中.C. 必然击中D. 击中3发 2．对于任意两个随机变量X 和Y ，若E(XY)=E(X)E(Y)，则有( )。
A. X 和Y 独立。
B. X 和Y 不独立。
C. D(X+Y)=D(X)+D(Y)D. D(XY)=D(X)D(Y)3．下列各函数中可以作为某个随机变量的概率密度函数的是（ ）。
A ． 其它1||0|)|1(2)(≤⎩⎨⎧-=x x x f 。
B. 其它2||05.0)(≤⎩⎨⎧=x x fC. 0021)(222)(<≥⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--x x e x f x σμπσ D. 其它00)(>⎩⎨⎧=-x e x f x ，4．设随机变量X ～)4,(2μN , Y ～)5,(2μN , }4{1-≤=μX P P ,}5{2+≥=μY P P , 则有（ ）A. 对于任意的μ, P 1=P 2B. 对于任意的μ, P 1 < P 2C. 只对个别的μ，才有P 1=P 2D. 对于任意的μ, P 1 > P 25．设X 为随机变量，其方差存在，c 为任意非零常数，则下列等式中正确的是（ ）A ．D(X+c)=D(X). B. D(X+c)=D(X)+c. C. D(X-c)=D(X)-c D. D(cX)=cD(X)6． 设3阶矩阵A 的特征值为-1，1，2，它的伴随矩阵记为A*， 则|A*+3A –2E|= 。
7．设A= ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--10000002~011101110x ，则x = 。
8．设有3个元件并联，已知每个元件正常工作的概率为P ，则该系统正常工作的概率为 。
9．设随机变量X 的概率密度函数为其它Ax x x f <<⎩⎨⎧=002)(，则概率=≥)21(X P 。
中国石油大学近三年高数期末试题及答案
2021—2021学年第一学期"高等数学〔2-1〕"期末考试A 卷〔工科类〕参考答案及评分标准一．〔共5小题，每题3分，共计1 5分〕判断以下命题是否正确.在题后的括号打"√〞或"⨯〞，如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进展说明.1．假设)(x f 在),(∞+a 无界，则∞=∞+→)(lim x f x .〔⨯〕------------- 〔 1分 〕例如：x x x f sin )(=，在),1(∞+无界，但∞≠∞+→x x x sin lim .------- 〔 2分 〕2．假设)(x f 在0x 点连续，则)(x f 在0x 点必可导.〔⨯ 〕------------- 〔 1分 〕 例如：x x f =)(，在0=x 点连续，但x x f =)( 在 0=x 不可导. ------ 〔 2分 〕 3．假设0lim =∞→n n n y x ，则0lim =∞→n n x 或.0lim =∞→n n y 〔⨯ 〕-------------- 〔 1分 〕例如：,0,1,0,1:n x,1,0,1,0:n y有0lim =∞→n n n y x ，但n n x ∞→lim ，n n y ∞→lim 都不存在.---------------------------- 〔 2分 〕4．假设0)(0='x f ，则)(x f 在0x 点必取得极值.〔⨯ 〕------------------- 〔 1分 〕例如：3)(x x f =，0)0(='f ，但3)(x x f =在0=x 点没有极值.---------〔 2分 〕 5．假设)(x f 在],[b a 有界，则)(x f 在],[b a 必可积.〔⨯〕------------- 〔 1分 〕 例如：⎩⎨⎧=.,0,1)(为无理数当为有理数，当x x x D ，在]1,0[有界，但)(x D 在]1,0[不可积. 〔2分〕 二．〔共3小题，每题7分，共计2 1分〕1. 指出函数x x x f cot )(⋅=的连续点，并判断其类型. 解函数x x x f cot )(⋅=的连续点为：,2,1,0,±±==k k x π------------------------------------------------------- ( 3分 )当,0=k 即0=x 时, ,1sin cos limcot lim )(lim 0===→→→xxx x x x f x x x0=∴x 为函数x x x f cot )(⋅=的第一类可去连续点;----------------------- ( 2分 )当 ,2,1,±±==k k x π时, ,sin cos limcot lim )(lim ∞===→→→xxx x x x f k x k x k x πππ),2,1(, ±±==∴k k x π为函数x x x f cot )(⋅=的第二类无穷连续点 . --------- ( 2分 )2．求极限⎰-+∞→+x x t x dt e t x 022)1(1lim解⎰-+∞→+x x t x dt e t x 022)1(1lim⎪⎭⎫⎝⎛∞∞+=⎰+∞→xx t x e x dt e t 202)1(lim-------------------〔3分〕 xxx e x x e x )2()1(lim22++=+∞→----------------------------------------------------------------- ( 3分 ).121lim 22=++=+∞→x x x x ---------------------------------------------------------------〔1分〕3．设方程)0,0(>>=y x x y y x确定二阶可导函数)(x y y =，求22d ydx.解1对yx x y =两边取对数，得 x yy x ln 1ln 1=，即xx y y ln ln =，-------------------------------------------------------------- ( 2分 )等式两边关于x 求导，得：x dxdyy ln 1)ln 1(+=+，即y x dx dy ln 1ln 1++=，------- ( 2分 )⎪⎭⎫⎝⎛=∴dx dy dx d dxy d 222)ln 1(1)ln 1()ln 1(1y dxdyy x y x +⋅⋅+-+=---------------------------- ( 2分 )322)ln 1()ln 1()ln 1(y xy x x y y ++-+=.------------------------------------------------ ( 1分 )三．〔共3小题，每题7分，共计2 1分〕1．求不定积分⎰+dx xxx 23sin 1cos sin . 解⎰⎰+-=+)(sin sin 1)sin 1(sin sin 1cos sin 2223x d xx x dx x x x ------------------------〔2分〕 〔令t x =sin 〕 =⎰+-dt t t t 221)1(=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++-dt t t t 212------------------〔2分〕 C t t +++-=)1ln(222=.)sin 1ln(sin 2122C x x +++-----------------〔3分〕2．设x 2ln 是函数)(x f 的一个原函数，求⎰'dx x f x )(. 解)(ln 2)ln (2x f xxx ==' ，------------------------------------------------- ( 2分 )Cx dx x f +=∴⎰2ln )(，------------------------------------------------------- ( 2分 ).ln ln 22C x x +-=-------------------------------------------- ( 3分 )3．求定积分dx x x x )2cos sin (74344+⎰-ππ.解 dx x x x )2cos sin (74344+⎰-ππ⎰⎰--+=44743442cos sin ππππdx x dx x x ------- ( 1分 )dx x 2cos 0744⎰-+=ππ-------------------------------------------------------〔2分〕dx x 2cos 2740⎰=π----------------------------------------------------------〔2分〕〔令t x =2〕dt t 720cos ⎰=π----------------------------------------------------------------〔1分〕.!!7!!6=---------------------------------------------------------------------------〔1分〕 四．〔共2小题，每题6分，共计1 2分〕1．一个长方形的长l 以2cm/s 的速度增加，宽w 以3cm/s 的速度增加，则当长为12cm ，宽为5cm 时，它的对角线的增加率是多少.解：设长方形的对角线为y ，则 222w l y +=----------------------------------- ( 2分 )两边关于t 求导，得dtdww dt dl l dt dy y ⋅+⋅=⋅222， 即 dtdww dt dl l dt dy y ⋅+⋅=⋅------〔1〕-------------------------------- ( 2分 ) ,2=dt dl ,3=dtdw ,13512,5,1222=+=⇒==y w l 代入〔1〕式，得 对角线的增加率：3=dtdy〔cm/s 〕. -------------------------------------------------- ( 2分 )2．物体按规律2x ct =做直线运动，该物体所受阻力与速度平方成正比，比例系数为1，计算该物体由0x =移至x a =时抑制阻力所做的功.解ct dtdxt v 2)(==----------------------------------------------------------- ( 2分 )cxt c t c k x f 444)(2222===,-------------------------------------------------- ( 2分 )⎰=acxdxW 04＝22ca .------------------------------------------------------ ( 2分 )五．〔此题10分〕x x x f arctan 5)(-=，试讨论函数的单调区间，极值，凹凸性，拐点，渐近线解 函数的定义域为.),(+∞-∞22214151)(xx x x f +-=+-='，令0)(='x f 得驻点.2±=x ----------------------------------------------------------------------------------- ( 1分 ),)1(10)(22x xx f +=''令0)(=''x f ，得可能拐点的横坐标：.0=x -------- ( 1分 ) 列表讨论函数的单调区间，极值，凹凸性，拐点：----------------------------------------------------------------------------------------------------- ( 6分 ) 渐近线为：.25π±=x y ---------------------------------------------------------------- ( 2分 )六．〔共2小题，每题7分，共计14分〕 1.试求曲线)0(2≥=-x ex y x与x 轴所夹的平面图形绕x 轴旋转所得到的伸展到无穷远处的旋转体的体积 . 解：⎰⎰∞+-∞+==02dxxe dx y V x ππ------------------------------------------------------〔4分〕ππππ=-=+-=+∞→01limxx e x ----------------------------------------------〔3分〕2.求微分方程x y y y 2345-=+'+''的通解.解 特征方程为：,0452=++r r 特征根：.1,421-=-=r r ----------------- ( 2分 ) 对应齐次方程的通解为：.241x xe C e C y --+=------------------------------ ( 2分 )而0不是特征根，可设非齐次方程的特解为B Ax y +=*----------------- ( 1分 )代入原方程可得，.811,21=-=B A .8112*+-=∴x y -------------------- ( 1分 ) 故所要求的通解为.8112241+-+=--x e C eC y x x-------------------------------- ( 1分 )七．〔此题7分〕表达罗尔)(Rolle 中值定理，并用此定理证明：方程0cos 2cos cos 21=+++nx a x a x a n在),0(π至少有一个实根，其中n a a a ,,21为常数.罗尔)(Rolle 中值定理：设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 可导，)()(b f a f =，则),(b a ∈∃ξ，使得.0)(='ξf -------------------------------------------------------------- ( 3分 ) 令nnx a xa x a x f nsin 22sin sin )(21+++= ，-------------------------------------- ( 2分 )在],0[π上连续，在),0(π可导，且nx a x a x a x f n cos 2cos cos )(21+++=' ，0)()0(==πf f ,由罗尔中值定理，),0(πξ∈∃,使得)(ξf '0cos 2cos cos 21=+++=ξξξn a a a n ，即方程0cos 2cos cos 21=+++nx a x a x a n 在),0(π至少有一个实根. ---- ( 2分 )各章所占分值如下： 第一章函数与极限 13 %；第二章一元函数的导数与微分16%； 第三章微分中值定理与导数的应用 20%； 第四章不定积分 14 %； 第 五 章定积分及其应用30% . 第 六 章常微分方程 7% .2021—2021 学年第一学期"高等数学〔2-1〕"期末考试A 卷( 工 科 类 ) 参考答案及评分标准各章所占分值如下：第一章函数与极限 16%； 第二章一元函数的导数与微分 16%； 第三章微分中值定理与导数的应用14%； 第四章不定积分 15%； 第五章定积分及其应用26 % . 第六章常微分方程13% .一．〔共3小题，每题4分，共计12分〕判断以下命题是否正确 " 在 题后的括号打"√〞或"⨯〞，如果正确，请给出证明，如果不 正确请举一个反例进展说明 . 1．极限xx 1sinlim 0→不存在. 〔 √ 〕--------------------------------------------------〔2分〕 证 设x x f 1sin)(= ，取πn x n 21=，221ππ+=n y n ，),2,1( =n0lim =∞→n n x ，0lim =∞→n n y ，但)(lim n n x f ∞→n n x 1sinlim ∞→=02sin lim ==∞→πn n ，)(lim n n y f ∞→n n y 1sinlim ∞→=1)22sin(lim =+=∞→ππn n ， 由海涅定理，xx 1sinlim 0→不存在.---------------------------------------------------------------〔2分〕2．假设曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点处存在切线，则)(x f 在0x 点必可导.〔 ⨯ 〕--------------------------------------------------------〔2分〕例：3x y =在)0,0(点处有切线0=x ，但3x y =在0=x 处不可导. ---------------------------------------------------------〔2分〕 3．设函数)(x f 在],[b a 上连续且下凸，在),(b a 二阶可导，则),(b a x ∈∀有0)(>''x f . 〔 ⨯ 〕----------------------------------------------------------〔2分〕例：4)(x x f =在]3,2[-上连续且下凸，但0)0(=''f ..---------------------------------------------------------〔2二．〔共3小题，每题6分，共计18分〕 1. 求极限)!sin()11(lim n nn n ⋅-∞→. 解,0)11(lim =-∞→nn n,1)!sin(≤n ------------------------------------------------------〔3分〕.0)!sin()11(lim =⋅-∴∞→n nn n ----------------------------------------------------------------〔3分〕 2.求极限44)1(limxdte t x x t x ⎰-+∞→+.解44)1(limx dte t xx t x ⎰-+∞→+⎪⎭⎫⎝⎛∞∞+=⎰+∞→xx t x e x dt e t 404)1(lim----------------------------〔3分〕xxx e x x e x )4()1(lim434++=+∞→.141lim 434=++=+∞→x x x x -----------------------------------------〔3分〕 3．求极限)21(lim 222222nn n n n n n n ++++++∞→ . 解)21(lim 222222n n nn n n n n ++++++∞→ ∑=∞→⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=ni n n n i 12111lim ------------------------------------------------------------------〔3分〕⎰+=1021x dx 4arctan 10π==x.-------------------------------------------------------〔3分〕 三．〔共3小题，每题6分，共计18分〕 1．求函数()xx eex f 11211++=的连续点并判断其类型.解 0=x 是)(x f 的连续点，---------------------------------------------------------------------〔3分〕又 )(lim 0x f x +→21211lim 110=++=+→xx x ee，)(lim 0x f x -→1211lim 110=++=-→xxx e e， 0=∴x 是)(x f 的跳跃连续点.---------------------------------------------------------------〔3分〕2．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,00,1)(2x x x e x f x ，求 .)(x f '解 当0≠x 时，2)1(2)(22x e x x e x f x x --⋅='21222xe e x x --=----------------- 〔3分 〕当0=x 时，0)0()(lim)0(0--='→x f x f f x xx e x x 1lim 20-=→201lim 2x e x x -=→122lim 20==→x xe xx ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠--='∴.0,1,0,12)(222x x x e e x f x x ------------------------------------------------ 〔 3分 )3．设方程ln(sin )cos sin x t y t t t =⎧⎨=+⎩确定y 为x 的函数，求dy dx 与22d ydx . 解()sin ()dy y t t t dx x t '==',--------------------------------------------------------------------〔3分〕22d y d dy dx dx dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭()sin d t t dx =()sin d dt t t dt dx=⋅sin cos ()t t tx t +='sin tan sin t t t t =+. -----------------------------------------------------------------------〔3分〕 四．〔共3小题，每题6分，共计18分〕 1．求不定积分⎰+dx e xx ln 2.解 ⎰+dx exx ln 2⎰⋅=dx e e x x ln 2⎰=dx x e x 2-----------------------〔3分〕)(2122⎰=x d e x .212C e x +=-------------------------------------------------------------〔3分〕 2．求不定积分⎰dx x x 2cos .解⎰dx x x 2cos ⎰+=dx xx 22cos 1-------------------------------------------------------〔1分〕⎰+=)2(sin 41412x xd x ---------------------------------------------------〔2分〕⎰-+=dx x x x x 2sin 412sin 41412-------------------------------------〔2分〕C x x x x +++=2cos 812sin 41412.------------------------------------〔1分〕3．设)(x f 在]1,1[-上连续，求定积分 dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰-.解1dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰- dx x x f x f sin )]()([11-+=⎰-dx x 2111-+⎰-------------------------------〔1分〕 dx x 210120-+=⎰〔上半单位圆的面积〕-----------------------------------〔3分〕242ππ=⋅=.------------------------------------------------------------------------------〔2分〕五．〔此题8分〕设由曲线x y ln =与直线0=-ey x 及x 轴 所围平面图形为D(1) 求D 的面积S ；〔4分〕(2) 求D 绕直线e x =旋转所得旋转体的体积V .〔4分〕解 曲线x y ln =与直线0=-ey x 的交点为)1,(e ，------------〔1分〕.12-=e--------------------〔3分〕 〔2〕⎰⎰---=-=121221)()(dy e e dy ey e V V V y ππ------------------------------〔2分〕.)3125(6)2212(3222+-=---=e e e e e πππ---------------------〔2分〕六．〔共2小题，每题6分，共计12分〕1．设有半径为R 的半球形蓄水池中已盛满水(水的密度为ρ), 求将池中水全部抽出所做的功.解 过球心的纵截面建立坐标系如图,则半圆方程为222x y R +=.-------------------------------------〔1分〕.44gR ρπ=---------------------------------------------------------------------------〔2分〕2．设有质量为m 的降落伞以初速度0v 开场降落，假设空气的阻力与速度成正比〔比例系数为0>k 〕，求降落伞下降的速度与时间的函数关系.解 设降落伞下降的速度为)(t v ，则根据牛顿第二运动定律，有kv mg dtdvm-=，其中g为重力加速度，-------------------------------------------〔2分〕别离变量，得m dtkv mg dv =- ，两端积分 ⎰⎰=-m dtkv mg dv ， 1ln 1C m t kv mg k +=-- ， 1ln kC t mkkv mg --=-， t mk Cekv mg -=- 〔其中1kC e C -=，>-kv mg 〕---------------------------------〔2分〕 由0)0(v v =，代入上式，得0kv mg C -=，故.)(0t m ke kmg v k mg v --+=------------------------------------------------------------〔2分〕七．〔此题6分〕求微分方程2106652+-=+'-''x x y y y 的通解.解 特征方程为：,0652=+-r r 特征根：.3,221==r r 对应齐次方程的通解为：.3221x x e C e C y +=----------------------------------------〔3分〕而0不是特征根，可设非齐次方程的特解为C Bx Ax y ++=21，----------------〔1分〕B Ax y +='21,A y 21='',代入原方程得， 2106)(6)2(5222+-=++++-x x C Bx Ax B Ax A ，2106652)106(622+-=+-+-+x x C B A x A B Ax ,比拟同次幂的系数，得⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-=.2652,10106,66C B A A B A解之得，.0,0,1===C B A .21x y =∴故所要求的通解为.23221x e C e C y x x ++=---------------------------------------------〔2分〕八．〔此题8分〕设L 是一条平面曲线，其上任意一点)0(),(>x y x 到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y 轴上的截距，且L 经过点)0,21(. 〔1〕试求曲线L 的方程；〔2〕求L 位于第一象限的一条切线，使该切线与L 以及两坐标轴所围图形的面积最小. 解〔1〕过曲线L 上点),(y x 处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-， 令0=X ，得切线在y 轴上的截距：y x y Y '-=，由题意，得y x y y x '-=+22，即dx dy x y x y -=⎪⎭⎫⎝⎛+21，)0(>x ------------〔2分〕 令u x y=，则,12x dx u du -=+)0(>x ,12⎰⎰-=+⇒x dx udu )0(>x C x u u ln ln )1ln(2+-=++⇒,C u u x =++⇒)1(2,将xyu =代入并化简，得 C y x y =++22，由L 经过点)0,21(，令21=x ，0=y ，得21=C ，故曲线L的方程为：,2122=++y x y 即 241x y -=.----------------------------------〔2分〕〔2〕曲线L ：241x y -=在点),(y x 处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-，即)(2)41(2x X x x Y --=--，亦即 )210(4122≤<++-=x x X x Y ， 切线与x 轴及y 轴的交点分别为：)0,241(2xx +，).41,0(2+x -----------------------〔2分〕所求面积⎰--+⋅=210222)41(2)41(21)(dx x xx x S ，)0(>x)413)(41(41)41(2)41(441)(22222222-+=+-+⋅='x x x x x x x x S ，)0(>x 令0)(='x S ，得)(x S 符合实际意义唯一驻点：63=x ， 即63=x 为)(x S 在)21,0(的最小值点， 故所求切线方程为： 41363632++⋅-=X Y ,即.3133+-=X Y ---------------------------------------------〔2分〕2021 —2021学年第一学期 "高等数学〔2-1〕"期末考试卷答案及评分标准( 工 科 类 )专业班级 姓 名 学 号开课系室 根底数学系 考试日期2016年1月 11 日A 卷1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸； 2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共八道大题，总分值100分；试卷本请勿撕开，否则作废； 4. 本试卷正文共8页。
工程数学试卷及答案
A=A1∪A2∪A3表示( )。
A 、 全部击中、B 、 至少有一发击中、C 、 必然击中D 、 击中3发2.对于任意两个随机变量X 与Y,若E(XY)=E(X)E(Y),则有( )。
A 、 X 与Y 独立。
B 、 X 与Y 不独立。
C 、 D(X+Y)=D(X)+D(Y)D 、 D(XY)=D(X)D(Y)3.下列各函数中可以作为某个随机变量的概率密度函数的就是( )。
A. 其它1||0|)|1(2)(≤⎩⎨⎧-=x x x f 。
B 、 其它2||05.0)(≤⎩⎨⎧=x x fC 、 0021)(222)(<≥⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--x x e x f x σμπσ D 、 其它00)(>⎩⎨⎧=-x e x f x ,4.设随机变量X ～)4,(2μN , Y ～)5,(2μN , }4{1-≤=μX P P ,}5{2+≥=μY P P , 则有( )A 、 对于任意的μ, P 1=P 2B 、 对于任意的μ, P 1 < P 2C 、 只对个别的μ,才有P 1=P 2D 、 对于任意的μ, P 1 > P 2 5.设X 为随机变量,其方差存在,c 为任意非零常数,则下列等式中正确的就是( )A.D(X+c)=D(X)、 B 、 D(X+c)=D(X)+c 、 C 、 D(X-c)=D(X)-c D 、 D(cX)=cD(X)3.D4.A5.A-1,1,2,它的伴随矩阵记为A*, 则|A*+3A –2E|= 。
二、填空题(每空3分,共15分)7.设A= ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--10000002~011101110x ,则x = 。
8.设有3个元件并联,已知每个元件正常工作的概率为P,则该系统正常工作的概率为 。
9.设随机变量X 的概率密度函数为其它Ax x x f <<⎩⎨⎧=002)(,则概率=≥)21(X P 。
10.设二维连续型随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为其它当0,00),()43(>>⎩⎨⎧=+-y x ke y x f y x ,则系数=k 。
中国石油大学(北京)研究生期末考试试卷-推荐下载
7. 地震构造解释的内容包括哪些？ 8. 简述傅里叶变换的物理含义？低通滤波与傅里叶变换有何联系？ 9. 简述时间偏移和深度偏移的概念和区别。 10. 断层一般分为哪几类？它们在水平叠加剖面上的响应特征有何不同？（可以用示意图表
示）
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对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置2试时32卷，3各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并25工且52作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
中国石油大学(北京)研究生期末考试试卷《工程数学》试题A卷及参考答案
中国石油大学（北京）研究生期末考试试卷 2012 --2013 学年第 一 学期 A 卷 (开卷考试)考试课程：工程数学 课程编号：063001 考生姓名：_______________________ 考生学号：______________注：计算题取小数点后四位装 订 线一、 填空题(每小题4分，共20分) 1、227作为π的近似值，其有效数字有______位。
2、设()k l x 是以01,,,n x x x 为插值节点的Lagrange 基函数，则()nk k l x ==∑____________。
3、已知矩阵5347A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则A ∞=_________。
4、已知向量(3,2,6)T x =-，Householder 变换阵H 使Hx 与(1,0,0)T同方向，则H =_________。
5、解方程3x x e =的Newton 迭代格式为_________。
二、（10分）用LU 分解方法求解Ax=b ，其中2 -1 71043 10,11045 1A b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦装 订 线三、（15分）已知线性方程组为12312312382313352365x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ （1）写出Jacobi 迭代和Gauss Seidel -迭代格式； （2）取零初值迭代2步四、（15分）已知液体的表面张力s 是温度T 的线性函数=+s aT b 。
对某种液体有如下表的实验实据，请用最小二乘逼近确定系数,a b 。
装 订 线五、（15分）求次数4≤的多项式()p x ，使满足插值条件：0202010(),(),(),p p p '''==-=-1111(),()p p '==-。
装订 线六、(15分) 地球卫星轨道是一个椭圆，椭圆周长的计算公式是=S aθ,这是a是椭圆的半径轴，c是地球中心与轨道中心（椭圆中心）的距离，记h为近地点距离，H为远地点距离，R=6371（km）为地球半径，则=++=-(2)/2,()/2.a R H h c H h我国第一颗地球卫星近地点距离h=439(km)，远地点距离H=2384(km）试用Simpson求积公式求卫星轨道的周长。
数值分析试题A09.1
中国石油大学（北京）2008--2009学年第一学期研究生期末考试试题A (闭卷考试)课程名称：数值分析注：计算题取小数点后四位 一、填空题（共30分，每空3分）1、已知(0,1,,)k x k n = 是互异节点，()k l x 是对应节点的Lagrange 插值基函数， ()P x 是任意一个首项系数为1的1n +次多项式，则0()()()nkkk P x P x l x =-∑= 。
2、设分段多项式 3232, 01()21, 12x x x S x x bx cx x ⎧+≤≤⎪=⎨++-≤≤⎪⎩ 是以0,1,2为节点的三次样条函数，则b = ，c = 。
3、如果A 是正交矩阵，则2()Cond A = 。
4、用x = 3.141作为π的近似值，则x 有 位有效数字，其绝对误差限为 。
5、数值积分公式[]33()(1)(2)2f x dx f f ≈+⎰是否为插值型求积公式： ，其代数 精度为 。
6、下列matlab 程序中s2计算的是 ，并指明s1与s2的区别为 。
其中：10;,x aex a a x R =⨯∈。
t=0;s2=1e14; for i=1:1e6temp= 1/(1e3+i); t=t+temp; s2=s2+temp;ends1= t+1e14;二、（8分）已知函数表试利用重节点Newton 差商构造满足插值条件(0)1,(1)0,'(1)1,(2)1,P P P P ==== 的三次多项式()P x 。
（要求构造出差商表）三、（8分）已知向量(2,0,2,1)T x =，试构造Householder 变换阵，使(0,0,,0)T Hx k =，其中k R ∈。
四、（12分）已知勒让德（Legendre ）正交多项式()201211,,312P P x P x ===-，试利用勒 让德正交多项式在二次多项式类{}21,H span x =中求一个多项式()S x ，使其成为()[]11x f x e =-在，上的最佳平方逼近函数，并计算出平方误差。
工程数学试题11.12A卷
中国石油大学（北京）研究生期末考试试卷 2011 --2012 学年第 一 学期 A 卷 (闭卷考试)一、 填空题(每小题4分，共20分) 1、355113作为π的近似值，其有效数字有______位。
2、某算法的迭代格式为1,(0,1,2,...)n n x ax b n +=+=，若0x 有误差, 则此计算过程稳定的条件是____________。
3、已知矩阵5335A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则A 的谱条件数为 _________。
4、已知向量(3,1,6)T x =-，Gauss 变换阵L 使(3,0,0)T Lx =，则L =_________。
5、解方程()x f x =的Newton 迭代格式为_________。
二、（10分）用QR 分解方法求解Ax=b ，其中2 -1 71003 10, 7045 1A b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦三、（15分）已知线性方程组为123123123202324812231530x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ （1）写出Jacobi 迭代和Gauss Seidel -迭代格式，并取零初值迭代2步； （2）两种迭代格式是否收敛？四、（15分）已知液体的表面张力s 是温度T 的线性函数=+s aT b 。
对某种液体有如下表的实验实据，请用最小二乘逼近确定系数,a b 。
五、（15分）求次数4≤的多项式()p x ，使满足插值条件：0202010(),(),(),p p p '''==-=-1111(),()p p '==-，并写出插值余项。
六、(15分) 地球卫星轨道是一个椭圆，椭圆周长的计算公式是,S a θ=这是a 是椭圆的半径轴，c 是地球中心与轨道中心（椭圆中心）的距离，记h 为近地点距离，H 为远地点距离，R=6371（km ）为地球半径，则(2)/2,()/2.a R H h c H h =++=-我国第一颗地球卫星近地点距离h=439(km)，远地点距离H=2384(km ）。
油藏数值模拟
中国石油大学（北京）研究生期末考试试卷 2015--2016学年第1学期 A 卷 (开卷) 考试课程： 油藏数值模拟 课程编号： 021042 考生姓名： 考生学号：
装 订 线
一、名词解释（共5小题，每小题6分，共30分）
1、油藏数值模拟
2、黑油模型
3、时间与空间离散
4、历史拟合
5、网格单元体
二、简答题（共5小题，每小题6分，共30分）
1、构建油藏数值模拟数学模型的基本方程包括哪几部分？
2、油藏数值模拟的用途体现在哪些方面？
3、油藏数值模拟边界条件有哪几类？
4、方程组求解时直接法求解与迭代法求解的异同和优缺点？
5、列举出至少2种黑油模型的数值求解方法，并简述其特点。
三、理论推导题（共2小题，每小题10分，共40分）
1、基于质量守恒定律推导三维油水两相可压缩流体的数学模型（20分）
＋Δy
2、对于一维刚性多孔介质其渗流方程为
2
2
p p
x t
η
∂∂
=
∂∂
，在一维均匀网格下（20分）
（1）建立显式差分方程；（6分）（2）建立隐式差分方程；（6分）（3）分别画出求解的时空位置关系图。
（8分）
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中国石油大学近三年高数期末试题及答案解析
2013 —2014学年第一学期《高等数学(2-1 )》期末考试A卷(工科类)参考答案及评分标准一.(共5小题，每小题3分，共计1 5分)判断下列命题是否正确？在题后的括号内打V'或“ ”，如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进行说明1•若f (x)在(a , )无界，则Jim f (x) . ( ) ----------- ( 1 分)例如：f (x) xsin x，在(1 , )无界，但lim xsinx . ---------------- ( 2 分)x2.若f (x)在x0点连续，则f (x)在x0点必可导• () ----------- ( 1分)例如：f (x) X ,在x 0点连续，但f (x) x在x 0不可导•------------------------------ ( 2分)3•若lim x n y n 0 ,则lim x n 0或lim y n 0. ( ) ----------- ( 1 分) n n n例如：X n：1, 0,1,0, y n： 0,1, 0,1,有lim X n y n 0，但lim x. , lim y.都不存在. -------------------------------------- (2 n n n分)4.若f (x0) 0，则f (x)在x 0点必取得极值• ( ) ---------------- ( 1分)3 3例如：f (x) x , f (0) 0，但f(x) x在x 0点没有极值• -------------------- ( 2分) 5.若f(x)在［a , b ］有界，则f(x)在［a , b ］必可积•( ) ------------- ( 1分)例如：D(x) ，在［0,1］有界，但D(x)在［0,1 ］不可积•( 2分) 0,当x为无理数•二.(共3小题，每小题7分，共计2 1分)1.指出函数f (x) x cot x的间断点，并判断其类型•1,当x为有理数，x k , k 0, 1, 2,1xcos xk 0,即x 0时，兀心）加曲x叫雋X0为函数f（x） x cotx的第一类可去间断点;1, 2, 时,iim f (x)x k iim xcotx k xcosxiim x k sin x(k 1, 2, ）为函数f(x) cotx 的第二类无穷间断点2 •求极限iimx xo(1x dt解iimx x(1t2) x dt iimxx(1t2)~2 xx ee t dt(3 分)iim x(1(2xx ex )ex2)iimx(1 分)2x x3 •设方程x y y x （x 0, y 0）确定二阶可导函数y y(x) 求竺dx解1 对x. y 仮两边取对数，得丄inyx 丄inx ,yyin xln x等式两边关于x求导, 得：(1 in y)dydx inind2y d dy dx2 dx dx 1-(1 in y) (1xinx)dydx(1 iny)2y(1 In y)2 x(1 In x)2xy(1 In y)3.-(1 分)三.（共3小题，每小题7分，共计2 1分）(2分)x f (x) dx x df(x)x f(x) f (x) dx22 In x In x C. ---------------------------------------3 .求定积分4 (x 3 sin x 4 cos 7 2x) dx .74(x 3 sin x 4 cos 7 2x) dx 4 x 3sin x 4dx 4 cos 72x dx ------1 .求不定积分sin xcos 3 x 1 sin 2 xdxsin xcos 3 x解 1 sin 2 xdx sin x(1 sin 2 x) 1 sin 2 xd (sin x)(令 sinxt(1学dt=t 22 •设 Inln(1 t 2)是函数 (ln 2x)f (x)dx 1 . 2 sin x 2ln(1 sin 2 x) C .(2 分)(2 分)(3 分)f （x ）的一个原函数,f (x) dx .2I nxf(x)，In 20 4 cos 7 2x dx -------------------------------------4----（2 分）2 4 cos 72x dx ---------------------------------------------（2 分）（ 令2x t）2 cos 7t dt ----------------------------------------------6!! 7!! .----- （1 分）四•（共2小题，每小题6分，共计1 2分）1 .已知一个长方形的长I 以2cm/s 的速度增加，宽 w 以3cm/s 的速度增加，则当长为12cm ，宽为5cm 时，它的对角线的增加率是多少？解：设长方形的对角线为 y ，则 y 2 I 2 W 2 ------------------------------------- （2分）两边关于t 求导，得2y —y 2l dt dy . dl 即 y I w dt dt分）dl d^v : 22-已知 2,3,1 12,w 5, y 122 52 13,代入（1 ）式，得dtdt对角线的增加率： 史 3 （ cm/s ）. ------------------------------------------------dtdl dw2w -,dt dtdwdt —（1）------ （2（1分）（2分）22•物体按规律X ct做直线运动，该物体所受阻力与速度平方成正比，比例系数为1，计算该物体由X 0移至X a时克服阻力所做的功.v(t) d x 2ctdtf(x) k4c2t2 4c2t24cx ,a24cxdx = 2cao五.(本题10分)已知f(x) 5arctanx，试讨论函数的单调区间，极值，凹凸性,拐点，渐近线解函数的定义域为( ).f (x) 1 笃x4，令f (x) 0得驻点x 2. ---------------------------------------------------------——(1 分)f (x) 豎三，令f (X) 0,得可能拐点的横坐标：x 0. -------- ( 1 分)(1 x )列表讨论函数的单调区间，极值，凹凸性，拐点：f(x)5arcta n xa 1limlim (1)1,xxxxb 1lim [f(X) ^x]lim (5 xx <2f (x)5 arcta n xa 2 limlim (1)1,x xxxb 2lim [f (x)a ?x]lim ( 5 arcta nx)-xx2渐近线为：y x —. ----------------------------------------------------- （ 2 2分）无穷远处的旋转体的体积解:-（4 分）七.（本题7分）叙述罗尔（Rolle ）中值定理，并用此定理证明:六•（共2小题，每小题 7分，共计14分）1•试求曲线yx.xe 2 (x 0)与x 轴所夹的平面图形绕 x 轴旋转所得到的伸展到对应齐次方程的通解为:C 1 eC ?e而0不是特征根，可设非齐次方程的特解为 Ax B 代入原方程可得，A 故所要求的通解为yGe 4x C 2ex 11 2 811 8V ° y 2dx° xe xdx ---------------------------------------------(3 分)(x 1)e limx2.求微分方程ylim (x1)e5y 4y 3 2x 的通解•方程a1 cosx a2cos2x a n cos nx 0在(0,)内至少有一个实根，其中a「a2, a n为常数•罗尔(Rolle)中值定理：设f(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导，f(a) f(b) (a,b) ，使f ( ) 0. --------------------------------------------- ( 3 分)a2 sin 2x a n sin nx令f (x) a-i sin x ，---------------------------2 n-----(2分)在［0,］上连续，在(0,)内可导，且f (x) a1 cosx a2cos2x a n cosnx f (0) f( ) 0,由罗尔中值定理，(0 ,),使得f ( ) a1 cos a2 cos2 a n cos n 0,即方程a i cosx a2 cos2x a n cos nx 0在(0,)内至少有一个实根• 一( 2各章所占分值如下:第一早函数与极限13 %第——-一早一元函数的导数与微分16 %第二早微分中值定理与导数的应用20 % 第四章不定积分14 % ，则得方程a1 cosx a2cos2x a n cos nx 0第五章定积分及其应用第六章常微分方程2014 —2015学年第一学期《高等数学（2-1 ）》期末考试A卷（工科类）参考答案及评分标准各章所占分值如下:第一章函数与极限第二章一元函数的导数与微分第三章微分中值定理与导数的应用第四章不定积分第五章定积分及其应用第六章常微分方程16 %；16 %；14%；--------------------------------------- (2 分)例：y 3 X 在(0,0)点处有切线X 0，但y 3 X 在X 0处不可导(2 分)3 .设函数f (x)在［a , b ］上连续且下凸，在(a , b )内二阶可导，贝Ux (a,b)有 f (x)0 •(.(共3小题，每小题4分，共计12分)判断下列命题是否正确 ' 题后的括号内打“ V”或“”，如果正确，请给出证明，如果不 正确请举一个反例进行说明 •11 .极限lim sin 不存在•( (2 分) 证设f(X)1 sin ，取 x n1,2,)lim x n 0,nlim y nn0,但limf (X n ) lim sin 1lim sin2n0 ,n nX n nlimf (y n )lim sin 1lim sin(2n-)1,nny nn2海涅疋理， 1不x 0X(2 分)2 .若曲线y f (X)在(X o , f (X o ))点处存在切线， 则f(X)在X o 点必可导.2n2由4x(2 分)例：f(x) x 4在［2,3］上连续且下凸，但 f (0) 0 .----------------------------------------- (2 分)(共3小题，每小题6分，共计18分) 1.求极限lim ( n 1) sin(n!) 解 sin(n!) 1, ------------------------------------------ 分) 1nim(n n 1)0,(31 lim ( n 1) sin(n !) 0 .n < n (3分)2•求极限limxx0(1 t )e xdtx 4 t xx4 tn (1 t4)e tx dt(1 t 4)e t dt解 lim4lim — 厂 ------------ — ---------------------------- (3xx xx e分)-(3 分)(3 分)arcta n xlimx(1 x 4)e x(4x 3 x 4)e x limx4x 3n~2~nn21 2n 、~22 ).n nn )n -2~n nn 2123 •求极限lim (n解 lim ( nlin 11222n 2三.（共3小题，每小题6分，共计18分）11 e‘1 •求函数f x -的间断点并判断其类型1 2e x解x 0 是f(x) 的间断点（3分）又lim f (x)11 e'1f(x)11 e'lim 1 ，lim lim 1 1，x 0 x 0 2 x 0 x 01 2e x 1 2e xx 0 是 f (x) 的跳跃间断点e x2 1设f(x) x0,f (x).0时, f (x)x2‘e 2x xx2(e x 1)2 xx22e xx2e 12~x(30时, f(0) lim f(x) f(0)x2e 12 xm2xe x22x(x)2e" 0,（3分）3 •设方程0.ln（Sint）确定y为x的函数，求cost t sintdx与(3分)(3 分)d 2y d dx 2 dx dy dx2 tsint dxd 丄.丄 dtsint tcostl 011 1 ldx x (t)（3分）22 .求不定积分xcos xdx .---(2 分)1 2 11-x —xsin 2x —sin 2x dx 44 4(2 分)1 cos2x dx ------------x21 x dx 1 x cos222丄 2 xxd (sin 2x) 一44 xcos 2 x dx分)dy dxy(t) x(t)t sin t四•（共3小题，每小题6分，共计18 分）21 .求不定积分 e x lnx dx .In xdxIn xe dx2e x x dx -----------------分）1 x 22 1 x2e d(x ) e C . --------------------------------------2 2(1(31 2 11-x —xsin 2x cos2x C 44 8(1 分)3 •设f （x ）在［1,1］上连续，求定积分1 {[ f (x) f ( x)]sinx .. 1 x2 } dx .(3 分)242(2分)五.（本题8分）设由曲线 y ln x 与直线x ey 0及x 轴所围平面图形为D（1）求D 的面积S ；（ 4分）（2）求D 绕直线x e 旋转所得旋转体的体积 V . （4分）{[f(x) f ( x)] sin x 1 x 2 } dx[f(x)f ( x)]sin x dx10 2■■■1x 2 dxx 2 dx（上半单位的面积）解曲线y In x与直线x ey 0的交点为（e , 1）， ------------------- （11 1e 2 0(1 y)2 dy 0(e 2 2ee y e 2y ) dye 2 0 3y)3(e 2 y 2ee y分） (1) S1o(e y ey)dy(2 分)[e yV V 21. ___________0(e ey)2dy(3 分)10(e e y )2dy -------------------------分）1 (2e 22e12e 3). -----------------(2本题满分12分六.（共2小题，每小题6分，共计12分）1.设有半径为R的半球形蓄水池中已盛满水（水I求将池中水全部抽出所做的功.解过球心的纵截面建立坐标系如图，则半圆方程为x2 y2 R2 . ------------------------------分）x [0,R], 取[x,x dx]所做功的微元：dW g （R2 x2）dx x （其中g为重力加速度）g （R2x x3）dx （3分）R 2 3故 W g 0（（R x x ）dx4-gR . ---------------------------------------------------------- （24分）2 •设有质量为m的降落伞以初速度v o开始降落，若空气的阻力与速度成正比（比例系数为k 0），求降落伞下降的速度与时间的函数关系.解设降落伞下降的速度为v（t），则根据牛顿第二运动定律，有dv m 一dtmg kv，其中g为重力加速度， ---------------------------------------（2分）口dv dt分离变量，得mg kv m本题满分12分dv dt两端积分mg kv m1 t-ln mg kvG ，In mg kvk 丄 — t kG ，(2ktmg kv Ce m(2分)（其中C ekC 1 ,小，mg kv 0)分） 七. 由已知v （0） V 0，代入上式，得 C mg kv °,mgkktmg 、am t T )e（本题6分）特征方程为: 求微分方程y 5y 6y6x 210x5r 6 0,特征根:r i2卫 3.对 应Ge 2x C 2e而0不是特征根，可设非齐次方程的特解为 ------- （1 分）齐3xy iAx 2为 ： （3分）C ，Bx本题满分6分 本题 得 分y 1 2Ax B ,y 1 2A ,代入原方程得, 2A 5( 2Ax B) 6 (Ax 2 Bx C ) 6x 210x26 Ax (6B 10A)x 2A5B 26C 6x 10x 2,6A 比较同次幕的系数，得 6B 2A6,10A5B10, 6C 2 .2解之得，A 1, B 0, C 0. y i x .故所要求的通解为y C1e2x C2e3x x2 . ---------- （2分）本题满分8分本题6八.（本题8分）设L 是一条平面曲线，其上任意一点 （x,y ） （x 0）到解（1）过曲线L 上点（x , y ）处的切线方程为： Y y y （X x ），(2 分)令S （x ） 0 ,得S （x ）符合实际意义唯一驻点:（2）曲线L :1y2x 在点（x , y ）处的切线方程为： Y y y (X 1 211即 Y (— x )2x(Xx ），亦即Y2x X x - (0 x -)，44 2（2分）1 x 2x)，坐标原点的距离恒等于该点处的切线在（1 ）试求曲线L 的方程；轴上的截距，且L 经过点（丄，0）2（2）求L 位于第一象限的一条切线，使该切线与L 以及两坐标轴所围图形的面积最小由题意，得 2 2x yy xy ,即..1分）ydudx / 小、令U ，则 ------- 2,(x 0)x1 u 2x2y x义鱼，（x 0）——（2x dxdu空，（x 0）x1 2 uln （u .1 u 2） ln x InC , x （u y x 2 y 2 C ，由L 经过点（丄，0 ）2故曲线L 的方程为：y ；x 2y 2 1,即1 u 2) C 将u -代入并化简，得x入1 E 1 ，令 x ， y 0，得 C -，22切线与x 轴及y 轴的交点分别为:2x,0)，2(0,x)■所求面积S （x ）2xS(x)2 21 2 1 24x (x ) 2(x) 444^(x 2 4x£(3X 24(x 0)令X 0，得切线在y 轴上的截距：Y yxy ，(x 22x )dx ， ( x 0 )<3 1即x 为S（x）在（0 ,丄）内的最小值点，故所求切线方程为：6 2Y 2 —X —丄,即Y —X 1 -------------------------------------6 36 4 3 3（2分）2015 —2016学年第一学期《高等数学（2-1 ）》期末考试卷答案及评分标准（工科类）专业班级 _____________________________姓名 _________________________________学号 _________________________________开课系室基础数学系考试日期2016年1月11日注意事项：1 .请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2 .答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3 .本试卷共八道大题，满分 100分；试卷本请勿撕开，否则作废;4.本试卷正文共 8页。
工程硕士数学期末考试题目+答案
1、 设A 、B 、C 为三事件，则C B A -+)(等于 （ D ）A )(CB A -+； B. )(C A B -+ ； C. C B A )(+； D. C B A )(+ . 2、 随机变量X 在区间[2，4]上服从均匀分布，则}43{<<X P 等于（ A ） A. }5.35.2{<<X P ； B. }5.25.1{<<X P ； C. }5.45.3{<<X P ； D. }5.55.4{<<X P .3、设Y X 、相互独立，)2,1(~-N X ，)3,1(~N Y ，则Y X 2+服从（ B ） A. )8,1(N ； B. )14,1(N ； C. )22,1(N ； D. )40,1(N .4、已知总体),(~2σμN X ,),,(21n X X X 为样本，X 为 样本均值，2~S 为样本二阶中心矩，则1/~--=n S X T μ服从的分布为（ B ）A. )(n t 分布；B. )1(-n t 分布；C. ),(2σμN ；D. )1,0(N5、设总体),(~2σμN X ，2,σμ均未知，),,,(21n X X X 为其样本，2,S X 分别为总体的样本均值与样本方差，则μ的置信度为95.0的置信区间为（ B ） A ．),(025.0025.0u nX u nX σσ+-; B. ))1(),1((025.0025.0-+--n t nS X n t n S X ;C ．),(975.09755.0u nX u nX σσ+-； D. ))(),((025.0025.0n t nS X n t nSX +-6、已知随机变量X 的数学期望)(X E ，则必有（ B ）A 、)()(22X E X E =；B 、)()(22X E X E ≥；C 、)()(22X E X E ≤；D 、1)()(22=+XE X E .7、设总体X 服从参数为λ的泊松分布，),,(21n X X X 是取自总体的一个样本，则此样本的概率密度函数为（ C ）A 、λλ-=⋅∏∑=e x ni i x ni i1!1； B 、λλ-=⋅∑∏=e xni ix ni i11； C 、λλn ni i x ex ni i-=⋅∑∏=1!1； D 、λλn ni i x e x ni i-=⋅∏∑=1!1.1、已知8.0)|(,6.0)(,5.0)(===A B P B P A P , 则=)(B A P __0.7____.2、设随机变量)3,1(~U X ，则X 的数学期望为______2___.3、设6.0,9)(,4)(===XY Y D X D ρ，则=-)23(Y X D 28.8 .4、已知袋中有3个红球，2个白球，现将袋中之球逐一取出（不放回），则最后一次取得红球的概率为____3/5______.5、在总体X 的数学期望μ的三个无偏估计中)3(≥n X 、213231X X +、321613121X X X ++中最有效的是____)3(≥n X ______.1.设随机变量X 服从指数分布，其概率密度函数为⎩⎨⎧≤>=-0,00,)(x x e x f x λλ，),,,(21n X X X 为其样本，求参数λ的极大似然估计.（P169）2.某车间用一台包装机包装精盐，额定标准为每袋净重500克，设包装机包装出的盐每袋重量),(~2σμN X ，某天随机抽取9袋，称得净重分别为（单位：克）：497, 506, 518, 524, 488, 511, 510, 515, 512问包装机工作是否正常.（P191） 3.二维随机变量),(Y X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它01,10,6),(2y x x xy y x f 试求X 、Y 的边缘密度函数.（p97）4.同一种产品有甲乙丙三个厂家供应。
工学数值分析试题
数值分析试题院系,专业： 分数：姓名,学号： 日期：2004.6. 注：计算题取小数点后四位。
1. (10分)利用Gauss-Legendre 求积公式⎰-++-≈11)7746.0(5556.0)0(8889.0)7746.0(5556.0)(f f f dx x f导出求积分3()f x dx-⎰的三点高斯型求积公式。
2. (15分)写出求解线性代数方程组123121322531272x x x x x x x -+=⎧⎪-+=-⎨⎪+=⎩ 的Gauss-Seidel 迭代格式，并分析此格式的敛散性。
3.(15分)设矩阵21011000201010A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎥⎥⎦， （1）试计算||||A ∞。
（2）用Householder 变换阵H 将A 相似约化为上Hessenberg 阵，即HAH 为上Hessenberg 阵。
4. (10分) 求关于点集{}1,2,3,4的正交多项式{}012(),(),()x x x ϕϕϕ。
5. (10分)用最小二乘法确定一条经过原点的二次曲线，使之拟合下列数据1.02.03.04.00.8 1.5 1.8 2.0i i x y ⎧⎨⎩ 6.(20分)给出数据点： 013419156i i x y =⎧⎨=⎩ （1）用012,,x x x 构造二次Lagrange 插值多项式2()L x ，并计算 1.5x =的近似值2(1.5)L 。
（2）用123,,x x x 构造二次Newton 插值多项式2()N x ，并计算 1.5x =的近似值2(1.5)N 。
（3）用事后误差估计方法估计2(1.5)L 、2(1.5)N 的误差。
7．(10分) 设矩阵A 可逆，A δ为A 的误差矩阵，证明：当11A A δ-<时， A A δ+也可逆。
8．(10分)设()f x 四阶连续可导，0,0,1,2.i x x ih i =+=试建立如下数值微分公式 ''01212()2()()()f x f x f x f x h -+≈并推导该公式的截断误差。
数值分析试题A卷10.1
中国石油大学（北京）2009--2010学年第一学期研究生期末考试试题A (闭卷考试)课程名称：数值分析注：计算题取小数点后四位一、填空题（共30分，每空3分）1、 已知x =0.004532是由准确数a 经四舍五入得到的近似值，则x 的绝对误差界为_______________。
2、数值微分公式()()'()i i i f x h f x f x h+-≈的截断误差为 。
3、已知向量(1)Tx =，求Householder 变换阵H ，使(2,0)T H x =-。
H = 。
4、利用三点高斯求积公式11()0.5556(0.7746)0.8889(0)0.5556(0.7746)f x d x f f f -≈-++⎰导出求积分4()f x dx ⎰的三点高斯求积公式 。
5、42()523,[0.1,0.2,0.3,0.4,0.5]_____.f x x x f =+-=若则6、以n + 1个互异节点x k ( k =0,1,…,n ),（n >1）为插值节点的 Lagrange 插值基函数为l k (x)( k =0,1,…,n )，则(0)(1)__________.nkk k lx =+=∑7、已知3()P x 是用极小化插值法得到的cos x 在[0,4]上的三次插值多项式，则3()P x 的截断误差上界为3()cos ()R x x P x =-≤_________.8、已知向量(3,2,5)T x =-，求Gauss 变换阵L ，使(3,0,0)T Lx =。
L =_________. 9、设32()(7)f x x =-, 给出求方程()0f x =根的二阶收敛的迭代格式_________。
10、下面M 文件是用来求解什么数学问题的？________________________.function [x,k]=dd （x0） for k=1:1000 x=cos (x0);if abs(x-x0)<0.00001, break end x0=x; end二、（15分）已知矛盾方程组Ax=b ，其中11120,1211A b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， （1）用施密特正交化方法求矩阵A 的正交分解，即A=QR 。
中国石油大学高数(2-2)历年期末试题参考答案
2007—2008学年第二学期 高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在指定位置上. 1. 平面1:0y z -=∏与平面2:0x y +=∏的夹角为3π.2. 函数22y x z +=在点)2,1(处沿从点)2,1(到点)32,2(+的方向的方向导数为321+.3. 设(,)f x y 是有界闭区域222:a y x D ≤+上的连续函数，则当0→a 时，=⎰⎰→Da dxdy y x f a ),(1lim20π)0,0(f .4. 区域Ω由圆锥面222x y z +=及平面1=z 围成，则将三重积分f dv ⎰⎰⎰Ω在柱面坐标系下化为三次积分为211()πθ⎰⎰⎰rd dr f r rdz .5. 设Γ为由曲线32,,t z t y t x ===上相应于t 从0到1的有向曲线弧，R Q P ,,是定义在Γ上的连续三元函数，则对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分有：Pdx Qdy Rdz Γ++=⎰6. 将函数()1(0)f x x x π=+≤≤展开成余弦级数为)0()5cos 513cos 31(cos 412122πππ≤≤+++-+=+x x x x x .二、单项选择题：7~12小题，每小题3分，共18分。
下列每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在题后的括号内.7. 若(,)z f x y =有连续的二阶偏导数，且(,)xyf x y K ''= (常数)，则(,)y f x y '=（ D ） (A) 22K ； (B) Ky ； (C) ()ϕ+Ky x ； (D) ()ϕ+Kx y .8. 设()f x 是连续的奇函数，()g x 是连续的偶函数，区域{(,)01,D x y x y =≤≤-≤≤，则下列结论正确的是（ A ）. (A)()()0Df yg x dxdy =⎰⎰； (B) ()()0Df xg y dxdy =⎰⎰；(C)[()()]0Df xg y dxdy +=⎰⎰； (D) [()()]0Df yg x dxdy +=⎰⎰.9. 已知空间三角形三顶点)5,0,0(),1,1,1(),3,2,1(C B A -，则ABC ∆的面积为（ A ） (A)92； (B) 73； (C) 29； (D)37. 10. 曲面积分2z dxdy ⎰⎰∑在数值上等于( C ). (A) 流速场i z v 2=穿过曲面Σ指定侧的流量；(B) 密度为2z =ρ的曲面片Σ的质量；(C) 向量场k z F 2=穿过曲面Σ指定侧的通量；(D) 向量场k z F 2=沿Σ边界所做的功.11．若级数1(2)nn n c x ∞=+∑在 4x =- 处是收敛的，则此级数在 1x = 处 ( D )(A)发散； (B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D)收敛性不能确定.12.级数121(1)n pn n -∞=-∑的敛散性为 ( A ) (A) 当12p >时，绝对收敛； （B ）当12p >时，条件收敛；(C) 当102p <≤时，绝对收敛； （D ）当102p <≤时，发散.三、解答题：13~20小题，共58分.请将解答过程写在题目下方空白处.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 13. （本题满分6分）设()x y z x y z e-++++=确定(,)z z x y =，求全微分dz .解：两边同取微分 ()(1)()x y z dx dy dz edx dy dz -++++=⋅-⋅++ ， 整理得 dz dx dy =--.14. （本题满分8分）求曲线2223023540x y z x x y z ⎧++-=⎨-+-=⎩ 在点（1,1,1）处的切线与法平面方程.解：两边同时关于x 求导22232350dy dz x y z dx dxdy dz dx dx ⎧+⋅+⋅=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得(1,1,1)(1,1,1)9474dy dx dz dx ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以切向量为：91{1,,}1616T =-， 切线方程为： 1111691x y z ---==-； 法平面方程为：16(1)9(1)(1)0x y z -+---=，即169240x y z +--=.15.（本题满分8分）求幂级数(21)nn n x∞=+∑的和函数.解：求得此幂级数的收敛域为(1,1)-，(21)nn n x∞=+∑02∞==+∑nn nx 0∞=∑n n x ，1122∞∞-===∑∑nn n n nxx nx，设11()∞-==∑n n A x nx，则111(),(11);1∞∞-=====-<<-∑∑⎰⎰x x n nn n x A x dx nx dx x x x 21(),1(1)'⎛⎫∴== ⎪--⎝⎭x A x x x即2222()(1)∞===-∑n n xnx xA x x ，(21)∞=∴+∑nn n x 02∞==+∑nn nx 0∞=∑n n x 22211,(11)(1)1(1)+=+=-<<---x xx x x x . 16.（本题满分6分）计算()∑=++⎰⎰I x y z dS ，其中∑为曲面5+=y z 被柱面2225+=xy 所截下的有限部分. 解：()∑=++⎰⎰I x y z dS (5)∑=+⎰⎰x dS∑=⎰⎰xdS （∑关于yoz 平面对称，被积函数x 是x 的奇函数）5∑+⎰⎰dS05∑=+⎰⎰dS 2225+≤=⎰⎰x ydxdy 25π==.17.（本题满分8分）计算积分222(24)(2)=++-⎰LI xxy dx x y dy ，其中L 为曲线22355()()222-+-=x y 上从点(1,1)A 到(2,4)B 沿逆时针方向的一段有向弧.解：4∂∂==∂∂Q Px x y，∴积分与路径无关，选折线AC +CB 为积分路径， 其中(2,1)C ，,12:,1,0=≤≤⎧⎨==⎩x x x AC y dy 2,0:.,14==⎧⎨=≤≤⎩x dx CB y y y222(24)(2)∴=++-⎰LI x xy dx x y dy222(24)(2)=++-⎰AC x xy dx x y dy 222(24)(2)+++-⎰CBx xy dx x y dy24221141(24)(8).3=++-=⎰⎰x x dx y dy 18.（本题满分8分）计算22()∑=+++⎰⎰I yzdydz y x z dzdx xydxdy ，∑是由曲面224-=+y x z与平面0=y 围成的有界闭区域Ω的表面外侧. 解：2222,(),,,∂∂∂==+=++=+∂∂∂P Q R P yz Q y x z R xy x z x y z由高斯公式， 22()∑=+++⎰⎰I yzdydz y x z dzdx xydxdy 22()Ω=+⎰⎰⎰x z dxdydz（利用柱面坐标变换cos sin ,θθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩z x y y 则2:02,02,04.θπΩ≤≤≤≤≤≤-r y r ）2224200032.3ππθ-==⎰⎰⎰r d rdr r dy 19.（本题满分8分）在第Ⅰ卦限内作椭球面1222222=++cz b y a x 的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标.解：设切点坐标为),,(000z y x ，则切平面的法向量为000222222{,,}x y z a b c，切平面方程为0)()()(020020020=-+-+-z z c z y y b y x x a x ，即 1202020=++cz z b y y a x x ， 则切平面与三个坐标面所围成的四面体体积为 22200016a b c V x y z =⋅，令 )1(ln ln ln ),,,(220220220000000-+++++=czb y a x z y x z y x L λλ解方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=+=+1021021021220220222002020c z b y ax c z z b y y a x x λλλ，得30a x =，30b y =，30c z =，故切点坐标为)3,3,3(c b a . 20. (本题满分6分)设(),()f x g x 均在[,]a b 上连续，试证明柯西不等式：22[()][()]b b aaf x dxg x dx ⎰⎰2[()()].baf xg x dx ≥⎰证：设:,.D a x b a y b ≤≤≤≤则 22[()][()]b baaf x dxg x dx ⎰⎰22()()Df xg y dxdy =⎰⎰（D 关于y x =对称）22()()Df yg x dxdy =⎰⎰221[()()2D f x g y dxdy =+⎰⎰22()()]Df yg x dxdy ⎰⎰22221[()()()()]2Df xg y f y g x dxdy =+⎰⎰ 1[2()()()()]2Df xg x f y g y dxdy ≥⋅⎰⎰[()()()()]Df xg x f y g y dxdy =⋅⎰⎰ ()()()()b b aaf xg x dx f y g y dy =⎰⎰2[()()]baf xg x dx =⎰.2008—2009学年第二学期 高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一．选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）.1. 设三向量,,a b c 满足关系式a b a c ⨯=⨯，则（ D ）. （A ）必有0a =; （B ）必有0b c -=;（C ）当0a ≠时，必有b c =; （D ）必有()a b c λ=- （λ为常数）. 2. 直线34273x y z++==--与平面4223x y z --=的关系是（ A ）. （A ）平行，但直线不在平面上; （B ）直线在平面上；（C ）垂直相交; （D ）相交但不垂直.3. 二元函数225,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在点（0，0）处（ A ）(A) 不连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在(C) 连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在4. 已知2()()x ay dx ydyx y +++为某二元函数的全微分，则=a （ D ）. （A ）1-; （B ）0; （C ）1; （D ）2.5. 设()f u 是连续函数，平面区域:11,0D x y -≤≤≤≤，则22()Df x y dxdy +=⎰⎰（ C ）. （A）122()dx f x y dy +⎰⎰; （B）1220()dy f x y dx +⎰⎰;（C ）120()d f r rdr ⎰⎰πθ; （D ）120()d f r dr ⎰⎰πθ.6. 设a 为常数，则级数1(1)(1cos )nn a n ∞=--∑（ B ）. （A ）发散 ; （B ）绝对收敛; （C ）条件收敛; （D ）收敛性与a 的值有关. 二．填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）.1. 设函数222(,,)161218x y z u x y z =+++，向量{1,1,1}n =，点0(1,2,3)P ， 则03.3P u n ∂=∂2. 若函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在点(1,1)-处取得极值，则常数5.a =-3. L 为圆221x y +=的一周，则22()0.Lx y ds -=⎰4. 设1lim 2n n na a +→∞=，级数211n nn a x ∞-=∑的收敛半径为.25. 设221()x y f x e dy -=⎰，则1101()(1).4xf x dx e -=-⎰ 6. 设()f x 是以2为周期的周期函数，它在区间(1,1]-上的定义为32,10(),01x f x x x -<≤⎧=⎨<≤⎩，则()f x 的以2为周期的傅里叶级数在1x =处收敛于3.2三．解答下列各题（本题共7小题，满分44分）. 1.（本小题6分）设()f u 是可微函数，z f =，求2z z x y x y∂∂+∂∂.解题过程是：令u =，则()z f u x ∂'=∂，()z f u y ∂'=∂，20.z zx y x y∂∂∴+=∂∂ 2. （本小题6分）计算二重积分2211Dxydxdy x y +++⎰⎰，其中22{,)1,0}D x y x y x =+≤≥. 解题过程是：D 关于x 轴对称，被积函数221xy x y ++关于y 是奇函数，2201Dxy dxdy x y ∴=++⎰⎰，故2211D xy dxdy x y +++⎰⎰221D xy dxdy x y =++⎰⎰221D dxdy x y +++⎰⎰122020ln 2.12rdr d r -=+=+⎰⎰πππθ 3. （本小题6分） 设曲面(,)z z x y =是由方程31x y xz +=所确定，求该曲面在点0(1,2,1)M -处的切平面方程及全微分(1,2)dz.解题过程是：令3(,,)1F x y z x y xz =+-，23x F x y z '=+，3y F x '=，z F x '=，则所求切平面的法向量为：0{,,}{5,1,1}x y z M n F F F '''==，切平面方程为：560.x y z ++-=23x z F z x y z x F x '∂+=-=-'∂，2y z F zx y F '∂=-=-'∂，00(1,2)5.M M z zdzdx dy dx dy x y∂∂∴=+=--∂∂4. （本小题6分）计算三重积分Ω，其中Ω是由柱面y =0,0y z ==，4x y z ++=所围成的空间区域.解题过程是：利用柱面坐标变换，Ω14(cos sin )2r d r dr dz -+=⎰⎰⎰πθθθ12300[4(cos sin )]d r r dr =-+⎰⎰πθθθ04141[(cos sin )].3432d =-+=-⎰ππθθθ 5. （本小题6分）求(2)x z dydz zdxdy ∑++⎰⎰，其中∑为曲面22(01)z x y z =+≤≤，方向取下侧.解题过程是：补2211,(,){1}.z x y D x y ∑=∈=+≤上：∑与1∑上所围立体为20201, 1.r r z Ω≤≤≤≤≤≤：，θπ 由高斯公式，得1(2)(201)x z dydz zdxdy dxdydz Ω∑+∑++=++⎰⎰⎰⎰⎰上下2211332rd rdr dz ππθ==⎰⎰⎰， (2)x z dydz zdxdy ∑∴++=⎰⎰13(2)2x z dydz zdxdy π∑-++⎰⎰上3012Ddxdy π=--⎰⎰3.22πππ=-= 6. （本小题7分） 求幂级数211nn n x n∞=+∑的收敛域及和函数. 解题过程是：因为1lim n n n a R a →∞+=2211lim 1(1)1n n n n n →∞++==++，故收敛区间为(1,1)-； 1±=x 时，极限21lim 0n n n→∞+≠，级数均是发散的；于是收敛域为(1,1)-， 211()n n n S x x n ∞=+=∑1nn nx ∞==∑1n n x n ∞=+∑10011n x x n n n x x nx dx dx n ∞∞-==''⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑⎰⎰0111x x x dx x x '⎛⎫=+ ⎪--⎝⎭⎰2ln(1),(1,1).(1)x x x x =--∈-- 7. （本小题7分）例1 计算22()I xy dS ∑=+⎰⎰，∑1z ≤≤的边界.解题过程是：设12∑=∑+∑，其中1∑为锥面1z z =≤≤，2∑为221,1z x y =+≤部分，12,∑∑在xoy 面的投影为:D 221x y +≤.1dS ==，2dS dxdy =，22()I x y dS ∑∴=+⎰⎰122()x y dS ∑=++⎰⎰222()x y dS ∑+⎰⎰22(D x y =+⎰⎰22()Dx y dxdy ++⎰⎰221)()Dx y dxdy =+⎰⎰21301)d r dr πθ==⎰⎰四．证明题（8分）.设函数(,)f x y 在(,)-∞+∞内具有一阶连续导数，L 是上半平面(0)y >内的有向分段光滑曲线，其起点为(,)a b ，终点为(,)c d ，记2221()[()1]Ly f xy x y f xy I dx dy y y +-=+⎰， （1）证明曲线积分I 与路径L 无关; （2）当cd ab =时，求I 的值.证明: (1)记21()(,)y f xy P x y y +=，22[()1](,)x y f xy Q x y y-=， ;1)()()](]1)([);(1)()](1[])()(2[22322222y xy f xy xy f y xy f y x xy f y x Q xy f xy y xy f y xy f y y x xy f y xy yf y P -'+='⋅+-=∂∂'+-=+-⋅'+=∂∂ P Qy x∂∂∴=∂∂成立，积分I 与路径L 无关. （2）由于积分与路径无关，选取折线路径，由点(,)a b 起至点(,)c b ，再至终点(,)c d ，则(,)(,)(,)(,)(,)(,)c b c d a b c b I P x y dx Q x y dy =+⎰⎰21[()][()]c d a c cbf bx dx cf cy dy b y=++-⎰⎰()()cb cd ab cb c a c c f t dt f t dt b d b -=+++-⎰⎰()().cd ab c a c af t dt ab cd d b d b=-+==-⎰2009—2010学年第二学期 高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一、填空题（6530⨯=分分）1. 若向量,,a b c 两两互相垂直，且5,12,13a b c ===，则13.a b c ++=2．设函数22sin y z xy x =，求2.z zxy z x y∂∂+=∂∂3. 设函数(,)f x y 为连续函数,改变下列二次积分的积分顺序：21101(,)(,)(,).y dy f x y dx dx f x y dy f x y dy =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰4. 计算(1,2)2(0,0)7()(2).2y y I e x dx xe y dy e =++-=-⎰5. 幂级数213nnn n x ∞=∑的收敛域为：(.6. 设函数2()()f x x x x πππ=+-<< 的傅里叶级数为：01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑，则其系数32.3b π= 二、选择题（4520⨯=分分）1．直线11321x y z --==-与平面342x y z +-=的位置关系是( A ) (A) 直线在平面内； (B) 垂直； (C) 平行； (D) 相交但不垂直. 2.设函数22(,)4()f x y x y x y =---, 则(,)f x y （ C ） (A) 在原点有极小值； (B) 在原点有极大值； (C) 在(2,2)-点有极大值； (D) 无极值.3. 设L 是一条无重点、分段光滑，且把原点围在内部的平面闭曲线，L 的方向为逆时针方向，则22Lxdy ydxx y -=+⎰（ C ） (A) 0； (B)π； (C) 2π； (D) 2π-.4. 设a 为常数，则级数21sin n na n ∞=⎛ ⎝∑ （ B ） (A) 绝对收敛； (B) 发散； (C) 条件收敛； (D) 敛散性与a 值有关.三、计算题 (7+7+7+7+6+8=42分)1. 设224,(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0).xy x y f x y x y x y ⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩讨论(,)f x y 在原点(0,0)处是否连续，并求出两个偏导数(0,0)x f '和(0,0)y f '. (7分)解：令42244200,lim (,)lim 1y y ky kx ky f ky y k y y k →→===++，随k 的取值不同，其极限值不同， 00lim (,)x y f x y →→∴不存在，故(,)f x y 在原点不连续；00(0,0)(0,0)00(0,0)limlim 0x x x f x f f xx ∆→∆→+∆--'===∆∆，00(0,0)(0,0)00(0,0)lim lim 0y y y f y f f yy ∆→∆→+∆--'===∆∆.2. 计算IΩ=其中Ω是由上半球面z=和锥面z =所围成的立体 . (7分)解：作球面坐标变换：sin cos ,sin sin ,cos .x y z ρϕθρϕθρϕ=== 则2sin dxdydz d d d ρϕθϕρ=， :02,0,0.4πθπϕρΩ≤≤≤≤≤≤IΩ=2340sin (2.d d d ππθϕϕρπ==-⎰⎰⎰3. 求锥面z =被柱面222x y x +=所割下部分的曲面面积.（7分）解：锥面∑：,)xy z x y D =∈=22{2}.x y x +≤xz '=y z '=，.xyxyD D S dS dxdy ∑∴====⎰⎰ 4. 计算曲面积分222I y zdxdy z xdydz x ydzdx ∑=++⎰⎰，其中∑是由22z x y =+，221x y +=，0,0,0x y z ===围在第一卦限的立体的外侧表面 . （7分）解：设Ω为∑所围立体，222,,,P z x Q x y R y z ===222,P Q R x y z x y z∂∂∂++=++∂∂∂由Gauss 公式， 222I y zdxdy z xdydz x ydzdx ∑=++⎰⎰222()x y z dxdydz Ω=++⎰⎰⎰作柱面坐标变换：cos ,sin ,.x r y r z z θθ=== 则dxdydz rd drdz θ=， 2:0,01,0.2r z r πθΩ≤≤≤≤≤≤2122205().48r I d rdr r z dz πθπ∴=+=⎰⎰⎰ 5.讨论级数312ln n nn ∞=∑的敛散性. （6分）解：543124ln ln lim lim 0,n n n n n n n →∞→∞⋅==312ln n n n ∞=∴∑ 收敛 .6. 把级数121211(1)(21)!2n n n n x n -∞--=--∑的和函数展成1x -的幂级数.（8分） 解：设级数的和函数为()S x ，则121211(1)()(21)!2n n n n S x x n -∞--=-=-∑2111(1)sin (21)!22n n n x x n --∞=-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑，(,).x ∈-∞+∞ 即111111()sin sin sin cos cos sin 2222222x x x x S x ---⎛⎫⎛⎫==+=⋅+⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 201(1)1sin 2(2)!2n n n x n ∞=--⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭∑2101(1)1cos 2(21)!2n n n x n +∞=--⎛⎫+⋅ ⎪+⎝⎭∑ 2201(1)sin (1)2(2)!2n n n n x n ∞=-=⋅-⋅∑212101(1)cos (1),(,).2(21)!2n n n n x x n ∞++=-+⋅-∈-∞+∞+⋅∑ 四、设曲线L 是逆时针方向圆周22()()1,()x a y a x ϕ-+-=是连续的正函数， 证明：()2()Lxdyy x dx y ϕπϕ-≥⎰. （8分）证明：设22:()()1,D x a y a -+-≤由Green 公式，()()()L D xdy Q P y x dx dxdy y x y ϕϕ∂∂-=-∂∂⎰⎰⎰1(())()Dx dxdy y ϕϕ=+⎰⎰（而D 关于y x =对称） 1(())()D x dxdy x ϕϕ=+⎰⎰1[2()]22.()D D x dxdy dxdy x ϕπϕ≥⋅==⎰⎰⎰⎰即 ()2()L xdyy x dx y ϕπϕ-≥⎰.2010-1011学年第二学期高等数学（2-2）期末考试A 卷参考答案 一. 填空题 (共4小题，每小题4分，共计16分) 1．22(1,0)ln(),y z xe x y dz =++=设则dy dx +3 .2．设xy y x y x f sin ),(+-=,则dx x x f dy y ⎰⎰110 ),(=)1cos 1(21- .3．设函数21cos ,0()1,0xx f x x x x πππ+⎧<<⎪=-⎨⎪+-≤≤⎩以2π为周期，()s x 为的()f x 的傅里叶级数的和函数，则(3)s π-=212π+ . 4．设曲线C 为圆周222R y x=+,则曲线积分ds x y x C⎰+）—（322=32R π . 二.选择题（共4小题，每小题4分，共计16分） 1. 设直线L 为32021030,x y z x y z ++=⎧⎨--+=⎩平面π为4220x y z -+-=,则 （ C ） .(A) L 平行于平面π (B) L 在平面π上(C) L 垂直于平面π (D) L 与π相交，但不垂直 2．设有空间区域2222:x y z R Ω++≤，则Ω等于 （ B ）.(A)432R π (B) 4R π (C) 434R π (D) 42R π 3．下列级数中，收敛的级数是（ C ）.(A)∑∞=+-1)1()1(n nnn n (B) ∑∞=+-+11)1(n nn n(C)nn en -∞=∑13(D)∑∞=+1)11ln(n nnn4. 设∑∞=1n na是正项级数，则下列结论中错误的是（ D ） （A ） 若∑∞=1n na收敛，则∑∞=12n na也收敛 （B ）若∑∞=1n na收敛，则11+∞=∑n n naa 也收敛（C ）若∑∞=1n n a 收敛，则部分和n S 有界 （D ）若∑∞=1n n a 收敛，则1lim1<=+∞→ρnn n a a三．计算题（共8小题，每小题8分，共计64分）1．设函数f 具有二阶连续偏导数，),(2y x y x f u +=，求yx u∂∂∂2.解：212f xyf xu+=∂∂)()(22222121211212f f x f f x xy xf yx u++++=∂∂∂ 221221131)2(22f f x xy yf x xf ++++= 2．求函数y x xy z+-=23在曲线12+=x y 上点（1,2）处，沿着曲线在该点偏向x 轴正向的切线方向的方向导数.解：曲线⎩⎨⎧+==1:2x y xx L 在点(1,2)处的切向量)2,1(=T ，)2,1(510=T52cos ,51cos ==βα 13|)16(|,11|)13(|)2,1()2,1()2,1(2)2,1(=+=∂∂=-=∂∂xy yz y x z 函数在点（1,2）沿)2,1(=T方向的方向导数为5375213511|)2,1(=⨯+=∂T3．计算,)(2dxdy y x D⎰⎰+其中}4),({22≤+=y x y x D . 解dxdy xy dxdy y x dxdy y x y x y x D⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+≤+++=+4422222222)()( 22300d r dr πθ=+⎰⎰ = π84. 设立体Ω由锥面z =及半球面1z =围成.已知Ω上任一点(),,x y z 处的密度与该点到x y o 平面的距离成正比（比例系数为0K >），试求立体Ω的质量. 解：由题意知密度函数||),,(z k z y x =ρ法1：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ωϕπϕπθcos 204020r ： 质量M =⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dxdydz z k dxdydz z y x ||),,(ρk=dr r r d d ϕϕϕθϕππsin cos 2cos 204020⎰⎰⎰76kπ=.法2：22:1,:1D x y z ⎧+≤⎪Ω≤+(,,)||M x y z dxdydz k z dxdydz ρΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰211076rkk d dr ππθ==⎰⎰⎰. 法3：122217||(1(1)).6kM k z dxdydz z z dz z z dz πππΩ==+--=⎰⎰⎰⎰⎰ 5．计算曲线积分⎰+++-=Cy x dyx y dx y x I 22)()(，其中C 是曲线122=+y x 沿逆时针方向一周.解：⎰++-=C dy x y dx y x I 1)()( dxdy y P x Q y x ⎰⎰≤+∂∂-∂∂=122)(π2])1(1[122=--=⎰⎰≤+dxdy y x . 6. 计算第二类曲面积分⎰⎰∑++dxdy zx xydxdz xyzdydz 2，其中∑为球面1222=++z y x 的外侧． 解：利用高斯公式，dxdydz x x yz dxdy zxxydxdz xyzdydz ⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑++=++)()(22dxdydz x yz ⎰⎰⎰Ω+=)(dxdydz x ⎰⎰⎰Ω+2dxdydz z y x ⎰⎰⎰Ω+++=)(310222 .154sin 31104020πϕϕθππ==⎰⎰⎰dr r d d7．求幂级数nn x n ∑∞=+111的和函数 . 解:幂级数的收敛半径1=R ，收敛域为)1,1[-0≠x 时，1111)(+∞=∑+=n n x n x xS =01x n n x dx ∞=∑⎰01x n n x dx ∞==∑⎰0ln(1)1xxdx x x x ==----⎰0=x 时，0)0(=S ， ⎪⎩⎪⎨⎧=⋃-∈---=∴00)1,0()0,1[)1ln(1)(x x xx x S四．证明题（本题4分）证明下列不等式成立：π≥⎰⎰D x ydxdy ee ，其中}1|),{(D 22≤+=y xy x .证明：因为积分区域关于直线x y =对称， ⎰⎰⎰⎰=D D y xx y dxdy ee dxdy e e⎰⎰=∴D x y dxdy ee 21）（⎰⎰⎰⎰+D D y xxy dxdy e e dxdy e e =π=≥+⎰⎰⎰⎰dxdy dxdy e e e e D y x x y 221(21） 五．应用题（本题8分）设有一小山，取它的底面所在平面为xoy 坐标面，其底部所占的区域为},75:),{(22≤-+=xy y x y x D 小山的高度函数为.75),(22xy y x y x h +--=（1）设),(00y x M 为区域D 上一点，问),(y x h 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大值为),(00y x g ，试写出),(00y x g 的表达式。
工程数学1期末试题及参考答案
《工程数学1》综合复习题及参考答案一、填空题1.设A ，B 为三阶方阵，4=A ，5-=B ，则____________41=--T B A2.设向量组T T T k ),3,5( ,)1,3,1( ,)0,1,1(321=-==ααα线性无关，则常数k 应满足条件________________________3.若二次型()31212322213212233,,x x x tx x x x x x x f ++++=是正定二次型，则t 的 取值范围为_________________________4.随机事件B A , 相互独立，且5.0)(=A P ,8.0)(=B A P ，则______)(=AB P 5.设随机变量X 的分布函数21arctan 1)(+=x x F π（+∞<<-x ），则X 的概率密度函数_____________________)(=x f6.设随机变量X 与Y 相互独立,且)5,2(~N X 错误!未找到引用源。
，)1,0(~N Y ，则____)32(=-Y X D7. 来自正态总体2~( , 0.9)X N μ容量为9的简单随机样本，测得样本均值5=x ，则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间为 (其中30.2)8(,96.1025.0025.0==t z )二、选择题1. 设A ，B 均为n 阶可逆矩阵，则下列运算错误的是（ ） (A) ()TT T AB B A = (B) ()111AB B A ---= (C) AB A B =⋅ (D) ()()22A B A B A B +-=-2.已知21,αα分别为n 阶矩阵A 对应不同特征值21,λλ的特征向量，则（ ） （A ）21,αα线性相关； （B ）21,αα线性无关；（C ）21αα= （D ）21ααk =3. 设随机变量)9,2(~N X 错误!未找到引用源。
，)(x Φ为标准正态分布函数，错误!未找到引用源。
工程数学试题及答案北京
工程数学试题及答案北京一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 函数y=f(x)的导数表示的是函数在x处的（）。
A. 斜率B. 截距C. 极值点D. 拐点答案：A2. 积分∫(2x+3)dx的结果是（）。
A. x^2 + 3x + CB. 2x^2 + 3x + CC. x^2 + 2x + CD. 2x^2 + 3x^2 + C答案：B3. 微分方程y'' + 4y' + 4y = 0的通解是（）。
A. y = e^(-2x)(C1cos(2x) + C2sin(2x))B. y = e^(2x)(C1cos(2x) + C2sin(2x))C. y = e^(-2x)(C1 + C2x)D. y = e^(2x)(C1 + C2x)答案：A4. 矩阵A=[1,2;3,4]的行列式是（）。
A. -2B. 2C. -5D. 5答案：D5. 线性方程组x+y+z=6，2x-y+z=1，x+2y-3z=-3的解是（）。
A. x=1, y=2, z=3B. x=2, y=1, z=3C. x=1, y=3, z=2D. x=3, y=2, z=1答案：A二、填空题（每题2分，共10分）1. 函数y=x^3-3x^2+2的极值点是x=______。
答案：12. 函数y=ln(x)的不定积分是______。
答案：xln(x) - x + C3. 微分方程y'+2y=e^(-2x)的特解是______。
答案：-1/2e^(-2x)4. 矩阵A=[1,0;0,0]的秩是______。
答案：15. 线性方程组x+2y=5，3x-y=1的解是x=______，y=______。
答案：2，2三、解答题（每题15分，共30分）1. 求函数y=x^2-4x+4在区间[1,3]上的定积分，并说明其几何意义。
解：∫(x^2-4x+4)dx从1到3的积分等于(1/3x^3-2x^2+4x)从1到3的值，即(9-6+12)-(1/3-2+4)=16/3。
数值分析试题A09.1
中国石油大学（北京）2008--2009学年第一学期研究生期末考试试题A (闭卷考试)课程名称：数值分析注：计算题取小数点后四位 一、填空题（共30分，每空3分）1、已知(0,1,,)k x k n = 是互异节点，()k l x 是对应节点的Lagrange 插值基函数， ()P x 是任意一个首项系数为1的1n +次多项式，则0()()()nkkk P x P x l x =-∑= 。
2、设分段多项式 3232, 01()21, 12x x x S x x bx cx x ⎧+≤≤⎪=⎨++-≤≤⎪⎩ 是以0,1,2为节点的三次样条函数，则b = ，c = 。
3、如果A 是正交矩阵，则2()Cond A = 。
4、用x = 3.141作为π的近似值，则x 有 位有效数字，其绝对误差限为 。
5、数值积分公式[]33()(1)(2)2f x dx f f ≈+⎰是否为插值型求积公式： ，其代数 精度为 。
6、下列matlab 程序中s2计算的是 ，并指明s1与s2的区别为 。
其中：10;,x aex a a x R =⨯∈。
t=0;s2=1e14; for i=1:1e6temp= 1/(1e3+i); t=t+temp; s2=s2+temp;ends1= t+1e14;二、（8分）已知函数表试利用重节点Newton 差商构造满足插值条件(0)1,(1)0,'(1)1,(2)1,P P P P ==== 的三次多项式()P x 。
（要求构造出差商表）三、（8分）已知向量(2,0,2,1)T x =，试构造Householder 变换阵，使(0,0,,0)T Hx k =，其中k R ∈。
四、（12分）已知勒让德（Legendre ）正交多项式()201211,,312P P x P x ===-，试利用勒 让德正交多项式在二次多项式类{}21,H span x =中求一个多项式()S x ，使其成为()[]11x f x e =-在，上的最佳平方逼近函数，并计算出平方误差。
2019年电大《工程数学》期末考试题库及答案
2019年电大《工程数学》期末考试题库及答案1．设B A ,都是n 阶方阵，则下列命题正确的是(A )2．向量组的秩是（B ）．B . 33．n 元线性方程组AX b =有解的充分必要条件是（A ）．A . )()(b A r A r =4. 袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两球都是红球的概率是（D ）．D . 9/25 5．设x x x n 12,,, 是来自正态总体N (,)μσ2的样本，则（C ）是μ无偏估计． C . 32153511x x ++6．若A 是对称矩阵，则等式（B ）成立． B . A A =' 7．=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-15473（ D ）．D . 7543-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦8．若（A ）成立，则元线性方程组AX O =有唯一解．A . r A n ()= 9. 若条件（C ）成立，则随机事件A ，B 互为对立事件． C . ∅=AB 且A B U += 10．对来自正态总体X N ~(,)μσ2（未知）的一个样本X XX 123,,，记∑==3131i i X X ，则下列各式中（C ）不是统计量． C .∑=-312)(31i i X μ11. 设A 为43⨯矩阵，B 为25⨯矩阵，当C 为（B ）矩阵时，乘积B C A ''有意义．B . 42⨯ 12. 向量组[][][][]αααα1234000100120123====,,,,,,,,,,,的极大线性无关组是（ A ）．A ．ααα234,,13. 若线性方程组的增广矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=41221λA ，则当λ＝（D ）时线性方程组有无穷多解． D ．1/214. 掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为4”的概率是（C ）. C .1/1215. 在对单正态总体N (,)μσ2的假设检验问题中，T 检验法解决的问题是（B ）．B .未知方差，检验均值16. 若A B ,都是n 阶矩阵，则等式（B 17. 向量组[][][][]3,2,1,3,0,0,0,2,1,0,0,14321====αααα的秩是（C ）．C . 318. 设线性方程组b AX =有惟一解，则相应的齐次方程组O AX =（A ）．A. 只有0解 19. 设A B ,为随机事件，下列等式成立的是（D ）．D . )()()(AB P A P B A P -=- 1．设B A,为三阶可逆矩阵，且0>k ，则下式(B )成立．2．下列命题正确的是（C3．设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1551A ，那么A 的特征值是(D ) D ．-4，64．矩阵A 适合条件（ D ）时，它的秩为r ． D ．A 中线性无关的列有且最多达r 列 5．下列命题中不正确的是（ D ）．D ．A 的特征向量的线性组合仍为A 的特征向量 6. 掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为3”7．若事件A 与B 8. 若事件A ，B 满足1)()(>+B P A P ，则A 与B ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡732,320,011,0019．设A ,B 是两个相互独立的事件，已知则=+)(B A P （B ）B ．2/3 10．设nx x x ,,,21是来自正态总体),(2σμN 的样本，则（B ）是统计量． B ．∑=ni ixn111. 若0351021011=---x ，则=x （A ）．A .32. 已知2维向量组4321,,,αααα，则),,,(4321ααααr 至多是（B ）．B 23. 设B A ,为n 阶矩阵，则下列等式成立的是（C ）． C . B A B A '+'='+)(4. 若A B ,满足（B ），则与是相互独立． B . )()()(B P A P AB P =5. 若随机变量X 的期望和方差分别为)(X E 和)(X D ，则等式（D ）成立． D . 22)]([)()(X E X E X D -=1．设B A ,均为n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是( ))BAAB 11=-2．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-331232121a x xa x x a x x 相容的充分必要条件是()，其中0≠i a ，)3,2,1(=i ． B ．0321=-+a a a3．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1111A 的特征值为0，2，则3A 的特征值为 ( ) ． B ．0，64. 设A ，B 是两事件，则下列等式中（ ）是不正确的． C . )()()(B P A P AB P =，其中A ，B 互不相容 5．若随机变量X 与Y 相互独立，则方差)32(Y X D -=（ ）．D ．)(9)(4Y D X D + 6．设A 是n m ⨯矩阵，B 是t s ⨯矩阵，且B C A '有意义，则C 是(B ．n s ⨯ )矩阵．7．若X 1、X 2是线性方程组AX =B 的解，而21ηη、是方程组AX = O 的解，则（ ）是AX =B 的解． A ．213231X X +8．设矩阵，则A 的对应于特征值2=λ的一个特征向量α=()C ．1，1,0 9. 下列事件运算关系正确的是（ ）．A ．A B BA B +=10．若随机变量)1,0(~N X ，则随机变量~23-=X Y （ N2.,3） ）．D ． 11．设321,,x xx 是来自正态总体),(2σμN 的样本，则（）是μ的无偏估计． C ．321535151x x x ++12．对给定的正态总体),(2σμN 的一个样本),,,(21n x xx ，2σ未知，求μ的置信区间，选用的样本函数服从（ ）．B ．t 分布⒈设a a ab b bc c c 1231231232=，则a a a ab a b a bc c c 123112233123232323---=（D ）．D. －6⒉若，则a =（A ）． A. 1/2⒊乘积矩阵1124103521-⎡⎣⎢⎤⎦⎥-⎡⎣⎢⎤⎦⎥中元素c 23=C. 10⒋设A B ,均为阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是（B ⒌设A B ,均为阶方阵，k >0且k ≠1，则下列等式正确的是（D ⒍下列结论正确的是（ A⒎矩阵1325⎡⎣⎢⎤⎦⎥100100200001000=aa ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=211102113A ,31)(,21)(==B P A P⒏方阵A 可逆的充分必要条件是（B⒐设A B C ,,均为阶可逆矩阵，则()ACB '=-1（D ）．D. ()BC A ---'111⒑设A B C ,,均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是 A. ()A B A AB B +=++2222⒈用消元法得x x x x x x 12323324102+-=+=-=⎧⎨⎪⎩⎪的解x x x 123⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥为（C ）．C. [,,]--'1122⒉线性方程组x x x x x x x 12313232326334++=-=-+=⎧⎨⎪⎩⎪（B ）．B. 有唯一解⒊向量组100010001121304⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥,,,,的秩为（ A ）．A. 3⒋设向量组为αααα12341100001110101111=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥,,,，则（B ）是极大无关组．B. ααα123,,⒌A 与A 分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则（D ）．D. 秩()A =秩()A -1 ⒍若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A ）．可能无解 ⒎以下结论正确的是（D ）．D. 齐次线性方程组一定有解 ⒏若向量组ααα12,,, s线性相关，则向量组内（A ）可被该向量组内其余向量线性表出． A. 至少有一个向量9．设A ，Ｂ为n 阶矩阵，λ既是Ａ又是Ｂ的特征值，x 既是Ａ又是Ｂ的属于λ的特征向量，则结论（）成立．Ｄ．x 是A+B 的属于λ的特征向量10．设Ａ，Ｂ，Ｐ为n 阶矩阵，若等式（Ｃ ）成立，则称Ａ和Ｂ相似．Ｃ．BPAP =⒈A B ,为两个事件，则（ B ）成立． B. ()A B B A +-⊂⒉如果（ C ）成立，则事件A 与B 互为对立事件． C. AB =∅且AB U =⒊10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中恰有1人中奖的概率为（D ）． D. 30703⨯⨯..4. 对于事件A B ,，命题（C ）是正确的． C. 如果A B ,对立，则A B ,对立⒌某随机试验的成功率为)10(<<p p ,则在3次重复试验中至少失败1次的概率为（D ）． D. )1()1()1(223p p p p p -+-+-6.设随机变量X B n p ~(,)，且E X D X ().,().==48096，则参数n 与p 分别是（A ）． A. 6, 0.87.设f x ()为连续型随机变量X 的密度函数，则对任意的a b a b ,()<，E X ()=（A ）．A. xf x x()d -∞+∞⎰8.在下列函数中可以作为分布密度函数的是（B ）． B.9.设连续型随机变量X 的密度函数为f x ()，分布函数为F x ()，则对任意的区间(,)a b ，则=<<)(b X a P （D ）．D. f x xab()d ⎰10.设X 为随机变量，E X D X (),()==μσ2，当（C ）时，有E Y D Y (),()==01． C.Y X =-μσ⒈设x x x n 12,,, 是来自正态总体N (,)μσ2（μσ,2均未知）的样本，则（A ）是统计量． A. x 1⒉设x x x 123,,是来自正态总体N (,)μσ2（μσ,2均未知）的样本，则统计量（D ）不是的无偏估计D. xx x 123--二、填空题（每小题3分，共15分）⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它,020,sin )(πx x x f1．设B A ,均为3阶方阵，2,3A B ==，则13A B-'-=-18 ．2．设A 为n 阶方阵，若存在数λ和非零n 维向量X ，使得AX X λ= ，则称λ为A 的特征值． 3设随机变量12~0.20.5X a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a = 0.3．4．设X 为随机变量，已知3)(=X D ，此时D X ()32-= 27 ． 5．设θˆ是未知参数θ的一个无偏估计量，则有 ˆ()E θθ=． 6．设B A ,均为3阶方阵，6,3A B =-=，则13()A B-'-=8．7．设A 为n 阶方阵，若存在数λ和非零n 维向量X ，使得AX X λ=，则称X 为A 相应于特征值λ的特征向量． 8．若5.0)(,8.0)(==B A P A P ，则=)(AB P 0.3 ． 9．如果随机变量X 的期望2)(=X E ，9)(2=XE ，那么=)2(X D 20．10．不含未知参数的样本函数称为 统计量 ． 11. 设B A ,均为3阶矩阵，且3==B A ，则=--12AB -8 ． 12.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=070040111A ，_________________)(=A r ．213. 设A B C ,,是三个事件，那么A 发生，但C B ,至少有一个不发生的事件表示为 )(C B A +.14. 设随机变量)15.0,100(~B X ，则=)(X E 15． 15. 设nx x x,,,21是来自正态总体N (,)μσ2的一个样本，∑==ni i x n x 11，则=)(x D16. 设B A ,是3阶矩阵，其中2,3==B A ，则='-12B A 12．17. 当λ=1 时，方程组⎩⎨⎧-=--=+112121x x x x λ有无穷多解．．18. 若5.0)(,6.0)(,9.0)(===+B P A P B A P ，则=)(AB P 0.2． 19. 若连续型随机变量X 的密度函数的是⎩⎨⎧≤≤=其它,010,2)(x x x f ，则=)(X E 2/3．20. 若参数θ的估计量 θ满足E ( )θθ=，则称 θ为θ的无偏估计n2σ． 1．行列式701215683的元素21a 的代数余子式21A 的值为= -56．2．已知矩阵ns ijc C B A ⨯=)(,,满足CB AC =，则A 与B 分别是n n s s ⨯⨯, 阶矩阵．3．设B A ,均为二阶可逆矩阵，则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---111O B A O⎥⎦⎤⎢⎣⎡O A B O ．4．线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+++=+++326423343143214321x x x x x x x x x x x 一般解的自由未知量的个数为 2．5．设4元线性方程组AX =B 有解且r （A ）=1，那么AX =B 的相应齐次方程组的基础解系含有 3 个解向量． 6． 设A ，B 为两个事件，若P （AB ）= P （A ）P （B ），则称A 与B 相互独立 ．7．设随机变量的概率分布为8．设随机变量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3.03.04.0210~X ，则E X ()=0.9． 9．设X 为随机变量，已知2)(=X D ，那么=-)72(X D 8．10．矿砂的5个样本中，经测得其铜含量为1x ，2x ，3x ，4x ，5x （百分数），设铜含量服从N （μ，2σ），2σ未知，在01.0=α下，检验0μμ=，则取统计量50s x t μ-=．1. 设B A ,均为n 阶可逆矩阵，逆矩阵分别为11,--B A ，则='--11)(A BB A )(1'-．2. 向量组),0,1(),1,1,0(),0,1,1(321k ===ααα线性相关，则_____=k .1-3. 已知2.0)(,8.0)(==AB P A P ，则=-)(B A P 6.0．4. 已知随机变量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-5.01.01.03.05201~X ，那么=)(X E 4.2．5. 设1021,,,x x x 是来自正态总体)4,(μN 的一个样本，则~101101∑=i ix)104,(μN ．1．设412211211)(22+-=x x x f ，则0)(=x f 的根是 2,2,1,1--2．设向量β可由向量组n ααα,,,21 线性表示，则表示方法唯一的充分必要条件是n ααα,,,21 ． 线性无关 3．若事件A ，B 满足B A ⊃，则 P （A - B ）= )()(B P A P - 4．．设随机变量的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+=其它,010,1)(2x x kx f ，则常数k =π45．若样本n x x x ,,,21 来自总体)1,0(~N X ，且∑==ni ix nx 11，则~x )1,0(nN7．设三阶矩阵A 的行列式21=A ，则1-A =28．若向量组：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2121α，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1302α，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2003k α，能构成R 3一个基，则数k ．2≠9．设4元线性方程组AX =B 有解且r （A ）=1，那么AX =B 的相应齐次方程组的基础解系含有 3 个解向量． 10．设A B ,互不相容，且P A ()>0，则P B A ()=0 ． 11．若随机变量X ~ ]2,0[U ，则=)(X D 1/3．12．设θˆ是未知参数θ的一个估计，且满足θθ=)ˆ(E ，则θˆ称为θ的无偏估计． ⒈21014001---= 7 ．⒉---11111111x 是关于⒊若A 为34⨯矩阵，B 为25⨯矩阵，切乘积AC B ''⒋二阶矩阵A =⎡⎣⎢⎤⎦⎥=11015⎥⎦⎤⎢⎣⎡1051．⒌设A B =-⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=--⎡⎣⎢⎤⎦⎥124034120314,，则()A B +''=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--815360⒍设A B ,均为3阶矩阵，且A B ==-3，则-=2AB 72 ．⒎设A B ,均为3阶矩阵，且A B =-=-13,，则-'=-312()A B －3 ．⒏若A a =⎡⎣⎢⎤⎦⎥101为正交矩阵，则 0 ．⒐矩阵212402033--⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥的秩为 2 ．⒑设A A 12,是两个可逆矩阵，则A O O A 121⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1211A O O A ．⒈当λ=1时，齐次线性方程组x x x x 12120+=+=⎧⎨⎩λ有非零解．⒉向量组[][]αα12000111==,,,,,线性 相关 ．⒊向量组[][][][]123120100000,,,,,,,,,,,的秩３ ．⒋设齐次线性方程组ααα1122330x x x ++=的系数行列式ααα1230=，则这个方程组有 无穷多 解，且系数列向量ααα123,,是线性 相关 的．⒌向量组[][][]ααα123100100===,,,,,的极大线性无关组是21,αα． ⒍向量组ααα12,,, s 的秩与矩阵[]ααα12,,, s 的秩 相同 ．⒎设线性方程组AX =0中有5个未知量，且秩()A =3，则其基础解系中线性无关的解向量有 2 个． ⒏设线性方程组AX b =有解，X 0是它的一个特解，且AX =0的基础解系为XX 12,，则AX b =的通解为22110X k X k X ++．9．若λ是Ａ的特征值，则λ10．若矩阵Ａ满足A A '=-1 ，则称Ａ为正交矩阵．⒈从数字1,2,3,4,5中任取3个，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为2/5． 2.已知P A P B ().,().==0305，则当事件A B ,互不相容时，P A B ()+= 0.8 ，P AB ()= 0.3 ． 3.A B ,为两个事件，且B A ⊂，则P A B ()+=()A P ． 4. 已知P AB P AB P A p ()(),()==，则P B ()=P -1．5. 若事件A B ,相互独立，且P A p P B q (),()==，则P A B ()+=pq q p -+．6. 已知P A P B ().,().==0305，则当事件A B ,相互独立时，P A B ()+= 0.65 ，P A B ()= 0.3 ．7.设随机变量X U ~(,)01，则X 的分布函数F x ()=⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤111000x x x x ．8.若X B ~(,.)2003，则E X ()= 6 ．9.若X N ~(,)μσ2，则P X ()-≤=μσ3)3(2Φ．10.E X E X Y E Y [(())(())]--称为二维随机变量(,)X Y 的 协方差 ． 1．统计量就是不含未知参数的样本函数 ．2．参数估计的两种方法是 点估计 和 区间估计 ．常用的参数点估计有 矩估计法 和最大似然估 两种方法． 3．比较估计量好坏的两个重要标准是无偏性，有效性 ． 4．设x x x n 12,,, 是来自正态总体N (,)μσ2（已知）的样本值，按给定的显著性水平检验H H 0010:;:μμμμ=≠，需选取统计量x ．5．假设检验中的显著性水平为事件u x >-||0μ（u 为临界值）发生的概率．三、（每小题16分，共64分） A1．设矩阵A B =---⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥112235324215011,，且有AX B ='，求X ．解：利用初等行变换得112100235010324001112100011210012301---⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→-----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→-----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→-----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥112100011210001511112100011210001511即A -=-----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥1201721511 由矩阵乘法和转置运算得X A B ='=-----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥-⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=--⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥-120172151120115111113622.设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=500050002,322121011B A ，求B A 1-．解：利用初等行变换得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--102340011110001011100322010121001011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→146100135010001011146100011110001011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→146100135010134001 即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-1461351341A 由矩阵乘法得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-520125151051585000500021461351341B A3.已知B AX =，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=108532,1085753321B A ，求X ．解：利用初等行变换得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1055200132100013211001085010753001321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→1211002550103640211121100013210001321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→121100255010146001即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-1212551461A 由矩阵乘法运算得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----==-12823151381085321212551461B A X4.设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--------=031052,843722310B A ，I 是3阶单位矩阵，且有B X A I =-)(，求X ．1. 解：由矩阵减法运算得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---------⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-943732311843722310100010001A I利用初等行变换得113100237010349001113100011210010301⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→--⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥113100011210001111110233010301001111→---⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥100132010301001111即()I A -=---⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥-1132301111由矩阵乘法运算得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-=-6515924031052111103231)(1B A I X5．设矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=21101211,1341102041121021B A ，求（1）A ；（2）B A I )(-． （1）13171020411210211341102041121021----=----=A =2513171200011317120121-=--=--（2）因为 )(A I -=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------0341112041221020所以 B A I )(-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------⋅0341112041221020=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--21101211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----09355245．6．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=653312,112411210B A ，解矩阵方程B AX '=．解：因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-120730001210010411100112010411001210⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→123100247010235001123100001210011201，得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=-1232472351A所以='=-B AX 1⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----123247235⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-13729161813635132．7设矩阵⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎣⎡---=423532211A1）1111021121110211423532211=---=---=---=A（2）利用初等行变换得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---103210012110001211100423010532001211→-----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→-----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥112100011210001511112100011210001511→------⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→-----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥110922010721001511100201010721001511即A -=-----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥12017215118.,3221,5231X B ，XA B A 求且=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Ｘ．．，B A B ，AX ．BA X ，A AI 求且己知例于是得出⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→⎥⎦⎤⎢⎣⎡---→⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--18305210738525312341112353221123513251001132510011021130110015321)(11、9．设矩阵⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=210211321,100110132B A 解：（1）因为21110132-=--=A12111210211110210211321-=-===B所以 2==B A AB ．（2）因为[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=100100010110001132I A⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→10010011001012/32/1001100100110010101032所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-10011012/32/11A ．10．已知矩阵方程B AX X +=，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=301111010A ，⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎣⎡--=350211B ，求X ．解：因为B X A I =-)(，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-101210011110001011100201010101001011)(I A I⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→110100121010120001110100011110010101即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=--110121120)(1A I所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-=-334231350211110121120)(1B A I X ．11．设向量组)1,421(1'--=，，α，)4,1684(2'--=，，α，)2,513(3'--=，，α，)1,132(4'-=，，α，求这个向量组的秩以及它的一个极大线性无关组． 解：因为（1α 2α 3α 4α）=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------12411516431822341⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→11770075002341⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→00200011002341所以，r (4321,,,αααα) = 3．它的一个极大线性无关组是 431,,ααα（或432,,ααα）． 1⒉设A B C =--⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=--⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥121012103211114321002,,，求AC BC +．解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=+10221046200123411102420)(C B A BC AC13写出4阶行列式：352634020)1(1441=--=+a45350631021)1(2442=---=+a14求矩阵1011011110110010121012113201⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥的秩．解⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+-+-+-+-00000000111000111011011011010111000011100011101101101101122111001110001110110110110110231121012101001101111011012∴ 3)(=A R15．用消元法解线性方程组x x x x x x x x x x x x x x x x 123412341234123432638502412432---=-++=-+-+=--+--=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------=+-+++++-261210009039270018871048231918431001850188710612312314112141205183612315323A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−+-+-+---+33110004110046150101244200113650041100188710482319011365012330018871048231901571931213r r r r r r r r r r ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−++-+-3100010100100102000131004110046150101244200134241441542111r r r r r r r ∴方程组解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-==31124321x x x xA2．求线性方程组的全部解．解： 将方程组的增广矩阵化为阶梯形⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------0462003210010101113122842123412127211131⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→0000002200010101113106600022000101011131方程组的一般解为x x x x x x14243415=+==-⎧⎨⎪⎩⎪ （其中为自由未知量）令x 4=0，得到方程的一个特解)0001(0'=X.方程组相应的齐方程的一般解为 ⎪⎩⎪⎨⎧-===4342415xx x x x x（其中x 4为自由未知量）令x 4=1，得到方程的一个基础解系)1115(1'-=X .于是，方程组的全部解为 1kX XX +=（其中k 为任意常数）2.当λ取何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=+++=+++-=--+1479637222432143214321λx x x x x x x x x x x x有解，在有解的情况下求方程组的全部解． 解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=++--=+-+-=-+-2284212342272134321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---19102220105111021211114796371221211λλ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→1000010511108490110000105111021211λλ由此可知当1≠λ时，方程组无解。
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中国石油大学（北京）研究生期末考试试卷 2012 --2013 学年第 一 学期 A 卷 (开卷考试)
考试课程：工程数学 课程编号：063001 考生姓名：_______________________ 考生学号：______________
注：计算题取小数点后四位
装 订 线
一、 填空题(每小题4分，共20分) 1、
22
7
作为π的近似值，其有效数字有______位。
2、设()k l x 是以01,,,n x x x 为插值节点的Lagrange 基函数，则
()n
k k l x ==∑____________。
3、已知矩阵5347A ⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
，则A ∞=_________。
4、已知向量(3,2,6)T x =-，Householder 变换阵H 使Hx 与(1,0,0)T
同方向，则H =_________。
5、解方程3x x e =的Newton 迭代格式为_________。
二、（10分）用LU 分解方法求解Ax=b ，其中
2 -1 7104
3 10,110
4
5 1A b ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
装 订 线
三、（15分）已知线性方程组为
1231231
2382313
35
2365
x x x x x x x x x ++=⎧⎪
++=⎨⎪-+=⎩ （1）写出Jacobi 迭代和Gauss Seidel -迭代格式； （2）取零初值迭代2步
四、（15分）已知液体的表面张力s 是温度T 的线性函数=+s aT b 。
对某种液体有如下表的实验实据，请用最小二乘逼近确定系数,a b 。
装 订 线
五、（15分）求次数4≤的多项式()p x ，使满足插值条件：0202010(),(),(),p p p '''==-=-
1111(),()p p '==-。
装
订 线
六、(15分) 地球卫星轨道是一个椭圆，椭圆周长的计算公式是
=
S aθ
,
这是a是椭圆的半径轴，c是地球中心与轨道中心（椭圆中心）的距离，记h为近地点距离，H为远地点距离，R=6371（km）为地球半径，则
=++=-
(2)/2,()/2.
a R H h c H h
我国第一颗地球卫星近地点距离h=439(km)，远地点距离H=2384(km）试用Simpson求积公式求卫星轨道的周长。
（精确结果为12176.8596）
装
订
线
七、（10分）
(1)()()3231212(),(0,1,...)
k k k A b x x Ax b k Ax b ααα+⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
=+-==已知，,用迭代公式求解。
问取什么实数可使迭代收敛，且为何值时，收敛最快。
装 订 线
中国石油大学（北京）研究生期末考试试卷 2012 --2013 学年第 一 学期 A 卷 (开卷考试)
考试课程：工程数学 课程编号：063001
一、 填空题(每小题4分，共20分)
1、3
2、1
3、11
4、32612637632-⎛⎫ ⎪
- ⎪ ⎪-⎝⎭
或1510301103363530617--⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
-⎝⎭ 5、1(1)3n n
x n n x x e x e +-=- 二、（10分）
解： 1 0 0 2 -1 7L= 2 1 0,0 5 -40 0.8 10 0 8.2U ⎡⎤
⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
解Ly b =, 得 (10,9,8.2)T
y =- 解Rx y =， 得 (1,1,1)T
y =- 三、（15分）
解： Jac 迭代格式为:
(1)()()
1
23
(1)()()
2
13(1)()()
3
12
1313848
511333511632k k k k k k k k k x x x x x x x x x +++⎧=--⎪⎪
⎪=--⎨⎪
⎪=-+⎪⎩
迭代2步的结果为：
()()(1)
(2)135543619,, 1.625,1.6667,0.8333,,,0.8958,0.8472,1.12583648728T
T
T T x
x ⎛⎫⎛⎫
==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
G-S 迭代格式为:
装 订 线
(1)()()
1
23
(1)(1)()
2
13(1)(1)(2)
3
12
1313848
511333511632k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++⎧=--⎪⎪
⎪=--⎨⎪
⎪=-+⎪⎩
迭代2步的结果为：
()()(1)
(2)139411311199724,, 1.625,1.125,0.8542,,, 1.0234,1.0408,1.012688481281152715T T
T T x
x ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
四、（15分）
解：
function [a,b]=ex310
T = [0 10 20 30 40 80 90 95]’;
s = [68.0 67.1 66.4 65.6 64.6 61.8 61.0 60.0]’; z = [T ones(8,1)]\s; a = z(1); b = z(2);
v = linspace(0,95,100);
plot(T,s,’b -+’,v,a*v+b,’k -’);
利用离散数据最佳平方逼近，可得法方程为
4
60267.16014003967b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
0.079,67.96a b =-=
五、（15分） 解：利用重节点差商
于是由插值可得：
233234()22567(1)225137H x x x x x x x x x x =--+--=--+-
装 订 线
六、（15分）
解：先做积分换元
4
(1),1
4
t t
πθ
θ
π
=+=-
1
4
S a a
π
θ
-
==⎰
代入三点高斯节点及求积系数得高斯积分结果为：S=12176.8607
gaus s
由Simpson求积公式()()()4
62
b
a
b a a b
f x dx f a f b f
-⎛+⎫
⎛⎫
=++ ⎪
⎪
⎝⎭
⎝⎭
⎰，得
S=12176.8753
s i m ps on
七、（10分）
解：(1)由
2
32
54(1)(4)
12
I A
λ
λλλλλ
λ
--
-==-+=--
--
得1,4,
Aλλ
==
12
的特征值为
212,18,
B I A
αμαμα
=+=+=+
12
迭代矩阵的特征值为
11112110,
1
14111810,
4
ααα
ααα
+<⇒-<+<⇒-<<
+<⇒-<+<⇒-<<
1
4
α
-<<
当时，迭代格式收敛。
1 114(12)1851,
5
1
5
αααααα
α
+=+⇒-+=+⇒=-⇒=-
=-
当时，收敛最快。
装
订
线。