中国石油大学(北京)研究生期末考试试卷《工程数学》试题A卷及参考答案

中国石油大学（北京）研究生期末考试试卷 2012 --2013 学年第 一 学期 A 卷 (开卷考试)

考试课程：工程数学 课程编号：063001 考生姓名：_______________________ 考生学号：______________

注：计算题取小数点后四位

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一、 填空题(每小题4分，共20分) 1、

22

7

作为π的近似值，其有效数字有______位。 2、设()k l x 是以01,,,n x x x 为插值节点的Lagrange 基函数，则

()n

k k l x ==∑____________。

3、已知矩阵5347A ⎡⎤

=⎢

⎥⎣⎦

，则A ∞=_________。 4、已知向量(3,2,6)T x =-，Householder 变换阵H 使Hx 与(1,0,0)T

同方向，则H =_________。

5、解方程3x x e =的Newton 迭代格式为_________。 二、（10分）用LU 分解方法求解Ax=b ，其中

2 -1 7104

3 10,110

4

5 1A b ⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

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三、（15分）已知线性方程组为

1231231

2382313

35

2365

x x x x x x x x x ++=⎧⎪

++=⎨⎪-+=⎩ （1）写出Jacobi 迭代和Gauss Seidel -迭代格式； （2）取零初值迭代2步

四、（15分）已知液体的表面张力s 是温度T 的线性函数=+s aT b 。对某种液体有如下表的实验实据，请用最小二乘逼近确定系数,a b 。

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五、（15分）求次数4≤的多项式()p x ，使满足插值条件：0202010(),(),(),p p p '''==-=-

1111(),()p p '==-。

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六、(15分) 地球卫星轨道是一个椭圆，椭圆周长的计算公式是

=

S aθ

,

这是a是椭圆的半径轴，c是地球中心与轨道中心（椭圆中心）的距离，记h为近地点距离，H为远地点距离，R=6371（km）为地球半径，则

=++=-

(2)/2,()/2.

a R H h c H h

我国第一颗地球卫星近地点距离h=439(km)，远地点距离H=2384(km）试用Simpson求积公式求卫星轨道的周长。（精确结果为12176.8596）

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七、（10分）

(1)()()3231212(),(0,1,...)

k k k A b x x Ax b k Ax b ααα+⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦

=+-==已知，,用迭代公式求解。问取什么实数可使迭代收敛，且为何值时，收敛最快。

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中国石油大学（北京）研究生期末考试试卷 2012 --2013 学年第 一 学期 A 卷 (开卷考试)

考试课程：工程数学 课程编号：063001

一、 填空题(每小题4分，共20分)

1、3

2、1

3、11

4、32612637632-⎛⎫ ⎪

- ⎪ ⎪-⎝⎭

或1510301103363530617--⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪

-⎝⎭ 5、1(1)3n n

x n n x x e x e +-=- 二、（10分）

解： 1 0 0 2 -1 7L= 2 1 0,0 5 -40 0.8 10 0 8.2U ⎡⎤

⎡⎤

⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

解Ly b =, 得 (10,9,8.2)T

y =- 解Rx y =， 得 (1,1,1)T

y =- 三、（15分）

解： Jac 迭代格式为:

(1)()()

1

23

(1)()()

2

13(1)()()

3

12

1313848

511333511632k k k k k k k k k x x x x x x x x x +++⎧=--⎪⎪

⎪=--⎨⎪

⎪=-+⎪⎩

迭代2步的结果为：

()()(1)

(2)135543619,, 1.625,1.6667,0.8333,,,0.8958,0.8472,1.12583648728T

T

T T x

x ⎛⎫⎛⎫

==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

G-S 迭代格式为:

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(1)()()

1

23

(1)(1)()

2

13(1)(1)(2)

3

12

1313848

511333511632k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++⎧=--⎪⎪

⎪=--⎨⎪

⎪=-+⎪⎩

迭代2步的结果为：

()()(1)

(2)139411311199724,, 1.625,1.125,0.8542,,, 1.0234,1.0408,1.012688481281152715T T

T T x

x ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

四、（15分）

解：

function [a,b]=ex310

T = [0 10 20 30 40 80 90 95]’;

s = [68.0 67.1 66.4 65.6 64.6 61.8 61.0 60.0]’; z = [T ones(8,1)]\s; a = z(1); b = z(2);

v = linspace(0,95,100);

plot(T,s,’b -+’,v,a*v+b,’k -’);

利用离散数据最佳平方逼近，可得法方程为

4

60267.16014003967b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

0.079,67.96a b =-=

五、（15分） 解：利用重节点差商

于是由插值可得：

233234()22567(1)225137H x x x x x x x x x x =--+--=--+-

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