高二数学月考试卷质量分析
广东省部分学校2024—2025学年高二上学期第一次月考联考数学试卷解析版
2024—2025学年高二上学期第一次月考联考高二数学试卷解析版满分150分，考试用时120分钟注意事项：1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知()()2,1,3,1,1,1a b =−=− ，若()a a b λ⊥−，则实数λ的值为（ ）A ．2−B ．143−C ．73D ．2【答案】C【详解】 向量()()2,1,3,1,1,1a b =−=−若()a a b λ⊥−，则2()(419)(213)0a a b a a b λλλ⋅−−⋅++−++，73λ∴=．故选：C ．2．P 是被长为1的正方体1111ABCD A B C D −的底面1111D C B A 上一点，则1PA PC ⋅的取值范围是（ ）A ．11,4−−B ．1,02−C ．1,04 −D ．11,42 −−【答案】B【详解】如图，以点D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系， 则AA (1,0,0)，()10,1,1C ，设(),,P x y z ，01x ≤≤，01y ≤≤，1z =，()1,,1PA x y ∴=−−− ，()1,1,0PC x y =−− ，()()2222111111222PA PC x x y y x x y y x y ∴⋅=−−−−=−+−=−+−−，当12x y ==时， 1PA PC ⋅ 取得最小值12−，当0x =或1，0y =或1时，1PA PC ⋅取得最大值0， 所以1PA PC ⋅ 的取值范围是1,02−.故选：B.3．已知向量()4,3,2a =− ，()2,1,1b =，则a 在向量b上的投影向量为（ ）A ．333,,22B ．333,,244C ．333,,422D ．()4,2,2【答案】A【详解】向量a 在向量b()()2333cos ,2,1,12,1,13,,222b a b a a b b b b ⋅⋅⋅=⋅===. 故选：A.4．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，E ，F 分别为棱1AA ，1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且()102A G λλ=<<，则点G 到平面1D EF 的距离为（ ） ABCD【答案】D【详解】以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，1DD 所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()2,,2G λ，()10,0,2D ，()2,0,1E ，()2,2,1F ， 所以()12,0,1ED =− ，()0,2,0= EF ，()0,,1EG λ=．设平面1D EF 的法向量为(),,n x y z = ，则12020n ED x z n EF y ⋅=−+= ⋅== ， 取1x =，得()1,0,2n =，所以点G 到平面1D EF的距离为EG n d n⋅== ， 故选：D ．5．已知四棱锥P ABCD −，底面ABCD 为平行四边形，,M N 分别为棱,BC PD 上的点，13CM CB =，PN ND =，设AB a=，AD b =，AP c = ，则向量MN 用{},,a b c 为基底表示为（ ）A ．1132a b c ++B ．1162a b c −++C ．1132a b c −+D ．1162a b c −−+【答案】D【详解】由条件易知()11113232MN MC CD DN BC BA DP AD BA AP AD =++=++=++−()11113262b ac b a b c =−+−=−−+. 故选：D6．在四面体OABC 中，空间的一点M 满足1146OM OA OB OC λ=++ ．若,,MA MB MC共面，则λ=（ ）A ．12B ．13 C ．512D ．712【答案】D【详解】在四面体OABC 中，,,OA OB OC不共面，而1146OM OA OB OC λ=++ ，则由,,MA MB MC ，得11146λ++=，所以712λ=. 故选：D7．已知向量()()1,21,0,2,,a t t b t t =−−=，则b a − 的最小值为（ ） AB CD 【答案】C【详解】因为()()1,21,0,2,,a t t b t t =−−=，所以b a −=≥当0t =时，等号成立，故b a −的最小值为.故选：C.8．“长太息掩涕兮，哀民生之多艰”，端阳初夏，粽叶飘香，端午是一大中华传统节日.小玮同学在当天包了一个具有艺术感的肉粽作纪念，将粽子整体视为一个三棱锥，肉馅可近似看作它的内切球（与其四个面均相切的球，图中作为球O ）.如图：已知粽子三棱锥P ABC −中，PAPB AB AC BC ====，H 、I 、J 分别为所在棱中点，D 、E 分别为所在棱靠近P 端的三等分点，小玮同学切开后发现，沿平面CDE 或平面HIJ .则肉馅与整个粽子体积的比为（ ）.A B C D 【答案】B 【详解】如图所示，取AB 中点为F ，PF DE G ∩=， 为方便计算，不妨设1PFCF ==， 由PA PB AB AC BC ====，可知PA PB AB AC BC =====又D 、E 分别为所在棱靠近P 端的三等分点， 则2233FG PF ==， 且AB PF ⊥，AB CF ⊥、PF CF F = ，PF ，CF ⊂平面PCF ， 即AB ⊥平面PCF ，又AB ⊂平面ABC ，则平面PCF ⊥平面ABC ， 设肉馅球半径为r ，CG x =，由于H 、I 、J 分别为所在棱中点，且沿平面HIJ 切开后，截面中均恰好看不见肉馅， 则P 到CF 的距离4d r =，sin 4d PFC r PF∠==，12414233GFC rS r =⋅⋅⋅=△，又2132GFC rS x =++⋅ ，解得：1x =，故22241119cos 223213CF FG CGPFCCF FG+−+−∠===⋅⋅⋅⋅， 又2222111cos 21132P PF CF PC PC F F C P F C +−+⋅−∠==⋅=⋅⋅，解得PC =，sin PFC ∠所以：4sin 1r PFC ∠==，解得r =343V r =π球， 由以上计算可知：P ABC −为正三棱锥，故111sin 4332ABC V S d AB AC BAC r =⋅⋅=⋅⋅⋅⋅∠⋅粽11432=⋅.故选：B.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，E 为1BB 的中点，F 为11A D 的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ）A ．13DB =B ．向量AE 与1ACC ．平面AEF 的一个法向量是()4,1,2−D ．点D 到平面AEF【答案】BCD【详解】由题可知，AA (2,0,0),()0,0,0D ,()2,2,1E ,()1,0,2F ,()12,2,2B ,()10,2,2C ，所以1DB =A 错误；()0,2,1AE = ,()12,2,2AC =−，所以111·cos ,AE AC AE AC AE AC ==B 正确； ()0,2,1AE = ,()1,0,2AF =− ，记()4,1,2n =−， 则0,0AE AF n n == ，故,AE AF n n ⊥⊥，因为AE AF A ∩=,,AE AF ⊂平面AEF ，所以()4,1,2n =−垂直于平面AEF ，故选项C 正确；DDAA �����⃗=(2,0,0)，所以点D 到平面AEF的距离·DA n d n==，故选项D 正确；故选：BCD10．在正三棱柱111ABC A B C −中，1AB AA =，点P 满足][1([0,1,0,])1BP BC BB λµλµ=+∈∈，则下列说法正确的是（ ）A ．当1λ=时，点P 在棱1BB 上B ．当1µ=时，点P 到平面ABC 的距离为定值 C ．当12λ=时，点P 在以11,BC B C 的中点为端点的线段上 D ．当11,2λµ==时，1A B ⊥平面1AB P 【答案】BCD【详解】对于A ，当1λ=时，[]1,0,1CP BP BC BB µµ=−=∈ ， 又11CC BB =，所以1CP CC µ= 即1//CP CC ，又1CP CC C = ，所以1C C P 、、三点共线，故点P 在1CC 上，故A 错误；对于B ，当1µ=时，[]11,0,1B P BP BB BC λλ=−=∈， 又11B C BC =，所以111B P B C λ= 即111//B P B C ，又1111B B C P B = ，所以11B C P 、、三点共线，故点P 在棱11B C 上，由三棱柱性质可得11//B C 平面ABC ，所以点P 到平面ABC 的距离为定值，故B 正确； 对于C ，当12λ=时，取BC 的中点11,D B C 的中点E ， 所以1//DE BB 且1DE BB =，BP BD =+ []1,0,1BB µµ∈ ，即1DP BB µ= ， 所以DP E D µ= 即//DP DE，又DP DE D ∩=，所以D E P 、、三点共线，故P 在线段DE 上，故C 正确；对于D ，当11,2λµ==时，点P 为1CC 的中点，连接1,A E BE ， 由题111A B C △为正三角形，所以111A E B C ⊥，又由正三棱柱性质可知11A E BB ⊥，因为1111BB B C B = ，111BB B C ⊂、平面11BB C C ，所以1A E ⊥平面11BB C C ， 又1B P ⊂平面11BB C C ，所以11A E B P ⊥，因为1111B C BB CC ==，所以11B E C P =，又111π2BB E B C P ∠=∠=， 所以111BB E B C P ≌，所以111B EB C PB ∠=∠， 所以1111111π2PB C B EB PB C C PB ∠+∠=∠+∠=， 设BE 与1B P 相交于点O ，则1π2B OE ∠=，即1BE B P ⊥，又1A E BE E = ，1A E BE ⊂、平面1A EB ， 所以1B P ⊥平面1A EB ，因为1A B ⊂平面1A EB ， 所以11B P A B ⊥，由正方形性质可知11A B AB ⊥， 又111AB B P B = ，11B P AB ⊂、平面1AB P ， 所以1A B ⊥平面1AB P ，故D 正确. 故选：BCD.11．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达・芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达・芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ）A ．122CG AB AA =+B ．直线CQ 与平面1111DC B A 所成角的正弦值为23C ．点1C 到直线CQD ．异面直线CQ 与BD 【答案】BC【详解】A 选项，以A 为坐标原点，1,,DA AB AA所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()()()10,0,0,0,1,0,0,0,1,1,1,2,0,1,2,1,1,0A B A G Q C −−−−，()()()110,1,1,1,1,1,1,0,0B C D −−，()()()10,2,2,0,1,0,0,0,1CG AB AA =−== ， 则()()()1220,2,00,0,20,2,2AB AA CG +=+=≠，A 错误； B 选项，平面1111D C B A 的法向量为()0,0,1m =， ()()()0,1,21,1,01,2,2CQ =−−−=− ，设直线CQ 与平面1111D C B A 所成角的大小为θ，则2sin cos 3CQ θ= ，B 正确；C 选项，()10,0,1CC =，点1C 到直线CQ 的距离为d ，C 正确； D 选项，()()()1,0,00,1,01,1,0BD =−−=−−，设异面直线CQ 与BD 所成角大小为α，则cos cos ,CQ α= D 错误.故选：BC三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．正三棱柱111ABC A B C −的侧棱长为2，底面边长为1，M 是BC的中点．在直线1CC 上求一点N ，当CN 的长为 时，使1⊥MN AB ． 【答案】18/0.125【详解】取11B C 的中点为1M ，连接1,MM AM ，由正三棱柱性质可得11,,AM MM BM MM AM BM ⊥⊥⊥， 因此以M 为坐标原点，以1,,AM BM MM 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：易知()11,0,,2,0,0,02A B M ，设CN 的长为a ，且0a >，可得10,,2N a− ； 易知1110,,,,222MN a AB=−=若1⊥MN AB ,则1112022MN AB a ⋅=−×+= ,解得18a =， 所以当CN 的长为18时，使1⊥MN AB .故答案为：1813．四棱锥P ABCD −中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且1PD =，3AB =，G 是ABC 的重心，则PG 与平面PAD 所成角θ的正弦值为 . 【答案】23【详解】因为PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，所以,,DA DC DP 两两垂直，以D 为坐标原点，,,DA DC DP的方向分别为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()0,0,1P ，()3,0,0A ，()3,3,0B ，()0,3,0C ，则重心()2,2,0G ，因而()2,2,1PG =− ，()3,0,0DA = ，()0,0,1DP = ，设平面PAD 的一个法向量为(),,m x y z = ，则300m DA x m DP z ⋅== ⋅== ，令1y =则()0,1,0m = ， 则22sin cos ,133m PG m PG m PG θ⋅====×⋅ ， 故答案为：23. 14．坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮那，展现造型之美.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形.若25m AB =，10m BC =，且等腰梯形所在平面、等腰三角形所在平面与平面ABCD的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为 .【答案】117m【详解】如图，过E 做EO ⊥平面，垂足为O ，过E 分别做EG BC ⊥，EM AB ⊥，垂足分别为G ，M ，连接OG ，OM ，由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为EMO ∠和EGO ∠，所以tan tan EMO EGO ∠=∠ 因为EO ⊥平面ABCD ，⊂BC 平面ABCD ，所以EO BC ⊥，因为EG BC ⊥，EO ，EG ⊂平面EOG ，EO EG E = ，所以⊥BC 平面EOG ，因为OG ⊂平面EOG ，所以BC OG ⊥，同理，OM BM ⊥，又BM BG ⊥，故四边形OMBG 是矩形，所以由10BC =得5OM =，所以EO =5OG =，所以在直角三角形EOG中，EG =在直角三角形EBG 中，5BG OM ==，8EB =， 又因为55255515EF AB −−−−，所有棱长之和为2252101548117×+×++×=． 故答案为：117m四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题13分）如图，在长方体1111ABCD A B C D −中，11,2AD AA AB ===，点E 在棱AB 上移动.(1)当点E 在棱AB 的中点时，求平面1D EC 与平面1DCD 所成的夹角的余弦值；(2)当AE 为何值时，直线1A D 与平面1D EC 所成角的正弦值最小，并求出最小值.【答案】(2)当2AE =时，直线1A D 与平面1D EC【详解】（1）以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，当点E 在棱AB 的中点时，则1(0,0,1),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,0),(1,0,0)E C D A D ，则1(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)ED EC DA =−−=−= ，设平面1D EC 的一个法向量为(,,)n x y z = ，则1·0·0n ED x y z n EC x y =−−+= =−+= ，令1x =，则1,2y z ==，所以平面1D EC 的一个法向量为(1,1,2)n = ，又平面1DCD 的一个法向量为(1,0,0)DA = ，所以·cos ,·DA n DA n DA n == 所以平面1D EC 与平面1DCD（2）设AE m =，则11(0,0,1),(1,,0),(0,2,0),(0,0,0),(1,0,1)E m C D A D ，则11(1,,1),(1,2,0),(02),(1,0,1)ED m EC m m DA =−−=−−≤≤= ，设平面1D EC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则1·0·(2)0n ED x my z n EC x m y =−−+= =−+−=，令1y =，则2,2x m z =−=， 所以平面1D EC 的一个法向量为(2,1,2)n m =− ， 设直线1A D 与平面1D EC 所成的角为θ，则11||sin ||||n DA n DA θ== 令4[2,4]m t −=∈，则sin θ= 当2t =时，sin θ16.（本小题15分） 如图所示，直三棱柱11ABC A B C −中，11,92,0,,CA CB BCA AA M N °==∠==分别是111,A B A A 的中点．(1)求BN 的长；(2)求11cos ,BA CB 的值．(3)求证：BN ⊥平面1C MN ．【答案】(3)证明见解析【详解】（1）如图，建立以点O 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系．依题意得(0,1,0),(1,0,1)B N ，∴BN = ；（2）依题意得，()()()()111,0,2,0,1,0,0,0,0,0,1,2A B C B ，∴1(1,1,2)BA =− ，1(0,1,2)CB = ，113BA CB =⋅，1BA =，1CB =所以11111cos ,BA CB BA CB BA CB ⋅==⋅ （3）证明：()()()10,0,2,0,1,0,1,0,1C B N ，11,,222M． ∴111,,022C M = ，()11,0,1C N =− ，()1,1,1BN =− ，∴1111(1)10022C M BN ⋅×+×−+× ， 1110(1)(1)10C N BN ⋅=×+×−+−×= ，∴1C M BN ⊥ ，1C N BN ⊥ ，即11,C M BN C N BN ⊥⊥， 又1C M ⊂平面1C MN ，1C N ⊂平面1C MN ，111= C M C N C ， ∴BN ⊥平面1C MN ．17.（本小题15分）如图，在四棱维P ABCD −中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，AC CD ==(1)求直线PB 与平面PCD 所成角的正切值；(2)在PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ？若存在，求AM AP的值；若不存在，说明理由．【答案】 (2)存在点M ，使得//BM 平面PCD ，14AM AP =. 【详解】（1）取AD 的中点为O ，连接,PO CO ，因为PA PD =，所以PO AD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD ∩平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，所以⊥PO 平面ABCD ，又AC CD =，所以CO AD ⊥，PA PD ⊥，2AD =，所以1PO =，AC CD ==2CO =， 所以以O 为坐标原点，分别以,,OC OA OP 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， PP (0,0,1)，()2,0,0C ，()0,1,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0D −，所以()2,0,1PC =− ，()0,1,1PD =−− ，()1,1,1PB =− ，设平面PCD 的一个法向量为mm��⃗=(xx ,yy ,zz )， 则00PC m PD m ⋅= ⋅=，200x z y z −= −−= ，令1,x =则2,2z y ==−， 所以()1,2,2m =− ，设直线PB 与平面PCD 所成角为θ，sin cos ,m θ=所以cos θ==tan θ= 所以直线PB 与平面PCD. （2）在PA 上存在点M ，使得()01PMPA λλ=≤≤ ， 所以()0,1,1PA =− ，所以()0,,PM PA λλλ==− ，所以()0,,1M λλ−，所以()1,1,1BM λλ=−−− ，因为//BM 平面PCD ，所以BM m ⊥ ，即()()121210λλ−−−+−=，解得34λ=， 所以存在点M ，使得//BM 平面PCD ，此时14AM AP =. 18.（本小题17分）如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ∠=°，点M ，N 分别是边BC ，CD 的中点，1AC BD O ∩=，AC MN G ∩=．沿MN 将CMN 翻折到PMN 的位置，连接PA ，PB ，PD ，得到如图2 所示的五棱锥P ABMND −．(1)在翻折过程中是否总有平面PBD ⊥平面PAG ？证明你的结论；(2)若平面PMN ⊥平面MNDB ，线段PA 上是否存在一点Q ，使得平面QDN 与平面PMN 所成角的余弦值为Q 的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)总有平面PBD ⊥平面PAG ，证明详见解析(2)存在，Q 是PA 的靠近P 的三等分点，理由见解析.【详解】（1）折叠前，因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥， 由于,M N 分别是边BC ，CD 的中点，所以//MN BD ， 所以MN AC ⊥，折叠过程中，,,,,MN GP MN GA GP GA G GP GA ⊥⊥∩=⊂平面PAG ， 所以MN ⊥平面PAG ，所以BD ⊥平面PAG ，由于BD ⊂平面PBD ，所以平面⊥平面PAG .（2）存在，理由如下：当平面PMN ⊥平面MNDB 时，由于平面PMN 平面MNDB MN =，GP ⊂平面PMN ，GP MN ⊥， 所以GP ⊥平面MNDB ，由于AG ⊂平面MNDB ，所以GP AG ⊥， 由此以G 为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，依题意可知())(),2,0,2,0,0,1,0,2,P DB N PB −− ()A ，(PA = ，设()01PQ PA λλ=≤≤ ，则(()(),0,GQ GP PQ GP PA λ=+=+=+= ， 平面PMN 的法向量为()11,0,0n = ，()(),DQ DN ， 设平面QDN 的法向量为()2222,,n x y z = ，则()2222222200n DQ x y z n DN y ⋅=++= ⋅+= ，故可设()21n λλ=−+ ， 设平面QDN 与平面PMN 所成角为θ，由于平面QDN 与平面PMN所以1212cos n n n n θ⋅==⋅ 解得13λ=, 所以当Q 是PA 的靠近P 的三等分点时，平面QDN 与平面PMN19.（本小题17分）如图，四棱锥P ABCD −中，四边形ABCD 是菱形，PA ⊥平面,60ABCD ABC ∠= ，11,,2PA AB E F ==分别是线段BD 和PC 上的动点，且()01BE PF BD PC λλ==<≤．(1)求证：//EF 平面PAB ；(2)求直线DF 与平面PBC 所成角的正弦值的最大值；(3)若直线AE 与线段BC 交于M 点，AH PM⊥于点H ，求线段CH 长的最小值．【答案】(1)证明见解析【详解】（1）由于四边形ABCD 是菱形，且60ABC ∠= ，取CD 中点G ，则AG CD ⊥， 又PA ⊥平面ABCD ，可以A 为中心建立如图所示的空间直角坐标系， 则()()()()()2,0,0,,,0,0,1,B C D P G −，所以()()()1,,2,0,1PC BD BP −−=− ， 由()01BE PF BD PCλλ==<≤， 可知,,BE BD PF PC EF EB BP PF BD BP PC λλλλ==∴=++=−++ ()42,0,1λλ=−−，易知()AG = 是平面PAB 的一个法向量， 显然0EF AG ⋅= ，且EF ⊄平面PAB ，即//EF 平面PAB ；（2）由上可知()()()1,,DP PF DF λλλλ+==+−=+− ， 设平面PBC 的一个法向量为(),,n x y z =，则200n BP x z n PC x z ⋅=−+= ⋅=−= ， 令1x =，则2,z y ==2n =， 设直线DF 与平面PBC 所成角为α，则sin cos ,n DF n DF n DF α⋅===⋅ 易知35λ=时，()2min 165655λλ−+=，即此时sin α（3）设()(](),0,0,12,0BM tBC t t AM AB BM t ==−∈⇒=+=− ， 由于,,H M P 共线，不妨设()1AH xAM x AP =+− ，易知AM AP ⊥，则有()()22010AH PM AH AM AP xAM x AP ⋅=⋅−=⇒−−= ， 所以22114451x t t AM =−++ ， 则()()2CH CA AH t x x =+=−−− ， 即()()2222454454655445t CH t t x t x t t −−=−+−++=+−+ 记()(]()2450,1445t f t t t t −−=∈−+，则()()()2228255445t t f t t t −−+=−+′， 易知22550t t −+>恒成立，所以()0f t ′<，即()f t 单调递减，所以()()min 915f t f CH ≥=−⇒。
高二数学月考试卷质量分析
岑巩二中高二数学第一次月考试卷质量分析本次数学月考范围是直线方程，圆的方程，程序框图三个部分。
这三大部分特点是：概念多，内容多，知识点多，容量大。
而且比较抽象，与之前学习的数学明显不一样，很多学生比较不适应。
加上学生数学基础较薄弱，运算能力低，思维层次有限，考试成绩不是很理想。
现将本次月考试卷的考试情况作如下分析：一、试卷的评价1、试卷的基本情况：数学考试时间为120分钟。
数学学科的题型包括单项选择题、填空题和解答题。
2、试卷的基本特点：（1）基础性强。
试题立足于数学基础知识，以重点知识来设计题目。
重在考查学生对数学基础知识的掌握情况。
如选择题的第二题，第六题，第十题。
都是课本上的重点知识。
（2）标高适度。
基于目前二中学生的学习能力和数学教学的现状，试卷没出现较大的偏题、怪题，整卷的试题难度应该说是适中的。
（3）题目设计具有简明性。
题意指向明确，题目的表述较清楚，简单明了，学生审题时一目了然。
二、试卷成绩情况本次考试，因不分文理科，故文理科成绩相差有一定的距离，平均分理科较文科的高，及格率也是如此，学生得分分布较为均匀，但也有少数分数偏低的情况。
三、学生答题质量分析1、优点（1）对数学教材的主干知识掌握得较好。
学生能根据要求加以复习巩固，对重点知识的掌握较熟练。
（2）能正确地运用解题方法。
大部分学生能采用较常用的直选法和排除法来解答选择题。
（3）能根据题意认真解答。
大部分学生能根据题目的要求，认真分析问题，正确地得出答案。
（4）部分学生的学科能力有所提高。
大部分学生的再认再现能力较强；部分学生善于运用已知知识进行分析判断，此次判断题的得分率略高，在一定程度上反映学生具备了理解、分析能力。
2、存在问题（1）基本功不扎实。
书写不公正、不规范，错别字多。
如解答题的“解”字忘写或者是没有解答过程。
（2）同类知识混淆不清。
学生对同类知识掌握不牢固，张冠李戴的现象很普遍。
如解答题的17和18题，把垂直平分线和中线的概念混淆，故而出现求解错误。
高二数学第一次月考情况分析
高二数学第一次月考情况分析一、试卷分析本次考试主要考查内容为高中数学必修5第二章数列，考查内容虽然不多，但都是高考的重点，因此这块内容对学生来说既基础又较灵活。
试卷由范叶华老师命题，主要考查基础知识和运算能力，命题重视数学基本方法的运用，淡化特殊技巧。
回避原苏教版过难、过繁的题目，立意明确，迎合新课程改革的理念，达到了较好的考查目的。
试卷的结构和题量紧贴全国新高考山东卷模式，总题量22小题，总分150分，包括8道单选题、4道多选题、4道填空题和6道解答题。
各部分难度适中，区分度强。
在不同层次班级中，顾建华组长、黄小燕老师、李翔组长、范东明老师、陆秀良主任等许多同仁取得了优异的成绩。
从整体数据上来看基础题99分，占比66%。
其中容易题34分，占比23%；较易题目65分，占比44%；中档题25分，占比17%；难题26分，占比17.3%。
平均分100.1，难度系数0.67，基本接近教务处要求的难度系数0.7，考生分数符合正态分布，贴合新高考考查要求。
从小题角度来看容易题中第7、8、20三题难度系数大，但是区分度却很大，说明这三题班级平均差距明显，难度低却失分现象严重。
此种题型性价比高，提分容易，是我们部分班级提高均分的主要着力点。
同样中档题中15、16两题也是难度系数偏高但是区分度较大。
中档题第11、17题各班标准差相距甚大，班级内部学生得分差异很明显。
这些数据特征值得我们相关班级关注。
从大题角度来看多项选择题也是这种现象，主要原因是多选题赋分的特色，选中部分答案给三分，选错得零分。
这种应试策略影响了部分同学得分，也可以成为教师指导学生应试的着力点。
在新高考模式下，一道客观题最低得分是5分，而一道多小题、多步骤的解答题只有10分或12分，从这个角度上看，重视客观题训练也应提上日程。
从本次试卷数据上来看客观题得分占比仅为78%，尚有很大提升空间。
二、学生答卷中存在的问题1．基本概念不强，灵活应用能力有待进一步提高从学生的答卷情况来看，部分学生对教材的基本概念，基本性质等基础知识掌握理解不够，知识记忆模糊，灵活运用能力还有所欠缺，考虑问题不全面，比如解答题20题未对n=1的情况讨论而导致答案不完善的同学相当地多。
湖北云学名校联盟2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(解析版)
2024年湖北云学名校联盟高二年级10月联考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项考试时间：2024年10月15日15：00-17：00 时长：120分钟满分：150分是符合题目要求的．1. 已知i 为虚数单位，20253i 1i ++的虚部为（ ）A. i −B. iC. 1−D. 1【答案】C 【解析】【分析】根据复数乘方、乘法、除法运算法则结合复数的概念运算即可得出结果.【详解】根据复数的乘方可知()50620254i i i i =⋅=，则()()()()20253i 1i 3i 3i32i 12i 1i 1i1i 1i 2+−++−+====−+++−，其虚部为1−. 故选：C2. 已知一组数据：2，5，7，x ，10的平均数为6，则该组数据的第60百分位数为（ ） A. 7 B. 6.5C. 6D. 5.5【答案】B 【解析】【分析】先根据平均数求x 的值，然后将数据从小到大排列，根据百分位数的概念求值. 【详解】因为2571065x ++++=⇒6x =.所以数据为：2，5，6，7，10.又因为560%3×=，所以这组数据的第60百分位数为：676.52+=. 故选：B3. 直线1l ：20250ax y −+=，2l ：()3220a x ay a −+−=，若12l l ⊥，则实数a 的值为（ ） A 0 B. 1C. 0或1D.13或1 【答案】C.【分析】根据两直线垂直的公式12120A A B B +=求解即可. 【详解】因为1l ：20250ax y −+=，2l ：()3220a x ay a −+−=垂直， 所以()()3210a a a −+−=， 解得0a =或1a =，将0a =，1a =代入方程，均满足题意， 所以当0a =或1a =时，12l l ⊥. 故选：C .4. 为了测量河对岸一古树高度AB 的问题（如图），某同学选取与树底B 在同一水平面内的两个观测点C 与D ，测得15BCD ∠=°，30BDC ∠=°，48m CD =，并在点C 处测得树顶A 的仰角为60°，则树高AB 约为（ ）1.4≈1.7≈）A. 100.8mB. 33.6mC. 81.6mD. 57.12m【答案】D 【解析】【分析】先在BCD △中，利用正弦定理求出BC ，再在Rt ABC △中求AB 即可.【详解】在BCD △中，15BCD ∠=°，30BDC ∠=°，所以135CBD ∠=°，又48CD =，由正弦定理得：sin sin CD CBCBD CDB=∠∠⇒12CB=⇒CB =在Rt ABC △中，tan 60AB BC =°=24 1.4 1.7≈××57.12=. 故选：D5. 如果直线ax ＋by ＝4与圆x 2＋y 2＝4有两个不同的交点，那么点P (a ，b )与圆的位置关系是( ) A. P 在圆外 B. P 在圆上D. P 与圆的位置关系不确定 【答案】A 【解析】224a b ∴+，所以点(),a b 在圆外考点：1．直线与圆的位置关系；2．点与圆的位置关系6. 在棱长为6的正四面体ABCD 中，点P 与Q 满足23AP AB = ，且2CD CQ =，则PQ 的值为（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】以{},,AB AC AD 为基底，表示出PQ，利用空间向量的数量积求模.【详解】如图：以{},,AB AC AD 为基底，则6AB AC AD ===，60BAC BAD CAD ∠=∠=∠=°，所以66cos 6018AB AC AB AD AC AD ⋅=⋅=⋅=××°=.因为()1223PQ AQ AP AC AD AB =−=+− 211322AB AC AD =−++. 所以22211322PQ AB AC AD =−++222411221944332AB AC AD AB AC AB AD AC AD =++−⋅−⋅+⋅ 169912129=++−−+19=.所以PQ =.故选：D7. 下列命题中正确的是（ ）A. 221240z z +=，则120z z ==； B. 若点P 、Q 、R 、S 共面，点P 、Q 、R 、T 共面，则点P 、Q 、R 、S 、T 共面；C. 若()()1P A P B +=，则事件A 与事件B 是对立事件； D. 从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为310； 【答案】D 【解析】【分析】举反例说明ABC 不成立，根据古典概型的算法判断D 是正确的.【详解】对A ：若1i z =，22z =，则221240z z +=，但120z z ==不成立，故A 错误； 对B ：如图：四面体S PRT −中，Q 是棱PR 上一点，则点P 、Q 、R 、S 共面，点P 、Q 、R 、T 共面，但点P 、Q 、R 、S 、T 不共面，故B 错误； 对C ：掷1枚骰子，即事件A ：点数为奇数，事件B ：点数不大于3， 则()12P A =，()12P B =，()()1P A P B +=，但事件A 、B 不互斥，也不对立，故C 错误； 对D ：从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，有35C 10=种选法， 这三条线段能构成一个三角形的的选法有：{}3,5,7，{}3,7,9，{}5,7,9共3种， 所以条线段能构成一个三角形的的概率为：310P =，故D 正确. 故选：D8. 动点Q 在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D −侧面11BCC B 上，满足2QA QB =，则点Q 的轨迹长度为（ ）A. 2πB.4π3C.D.【解析】【分析】结合图形，计算出||BQ =，由点Q ∈平面11BCC B ，得出点Q 的轨迹为圆弧 EQF，利用弧长公式计算即得.【详解】如图，易得AB ⊥平面11BCC B ,因BQ ⊂平面11BCC B ，则AB BQ ⊥，不妨设||BQ r =，则||2AQ r =, ||3AB ==，解得r =又点Q ∈平面11BCC B ，故点Q 的轨迹为以点B EQF,故其长度为π2. 故选：D.二、选择题：本题共36分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ） A. 若两条直线垂直，则这两条直线的斜率的乘积为1−；B. 已知()2,4A ，()1,1B ，若直线l ：20kx y k ++−=与线段AB 有公共点，则21,32k∈−； C. 过点()1,2，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l 的方程为10x y −+=；D. 若圆()2214x y −+=上恰有3个点到直线y x b =+的距离等于1，则1b =−±． 【答案】BD 【解析】【分析】根据直线是否存在斜率判断A 的真假；数形结合求k 的取值范围判断B 的真假；根据截距的概念判断真假；转化为点（圆心）到直线的距离求b 判断D 的真假.【详解】对A ：“若两条直线垂直，则这两条直线的斜率的乘积为1−”成立的前提是两条直线的斜率都存若两条直线1条不存在斜率，另一条斜率为0，它们也垂直.故A 是错误的. 对B ：如图：对直线l ：20kx y k ++−=⇒()21y k x −=−+，表示过点()1,2P −，且斜率为k −的直线， 且()422213APk −==−−，()121112BP k −==−−−， 由直线l 与线段AB 有公共点，所以：203k ≤−≤或102k −≤−<，即203k −≤≤或102k <≤，进而得：2132k −≤≤.故B 正确； 对C ：过点()1,2，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l 的方程为10x y −+=或2y x =，故C 错误； 对D ：“圆()2214x y −+=上恰有3个点到直线y x b =+的距离等于1”可转化为“圆心(1,0)到直线y x b =+的距离等于1”.1⇒1b =−±.故D 正确.故选：BD10. 如图所示四面体OABC 中，4OB OC ==，3OA =，OB OC ⊥，且60AOB AOC ∠=∠=°，23CD CB =，G 为AD 的中点，点H 是线段OA 上动点，则下列说法正确的是（ ）A. ()13OG OA OB OC =++ ；B. 当H 是靠近A 的三等分点时，DH ，OC ，AB共面；C. 当56OH OA = 时，GH OA ⊥ ；D. DH OH ⋅的最小值为1−．【答案】BCD 【解析】【分析】以{},,OA OB OC为基底，表示出相关向量，可直接判断A 的真假，借助空间向量共面的判定方法可判断B 的真假，利用空间向量数量积的有关运算可判断CD 的真假.【详解】以{},,OA OB OC 为基底，则3OA = ，4OB OC == ，6OA OB OA OC ⋅=⋅= ,0OB OC ⋅=.对A ：因为23AD AC CD AC CB =+=+ ()23AC AB AC =+−2133AB AC +()()2133OB OA OC OA =−+−2133OA OB OC =−++ . 所以12OG OA AG OA AD =+=+ 121233OA OA OB OC =+−++111236OA OB OC =++ ，故A 错误；对B ：当H 是靠近A 的三等分点，即23OH OA =时，DH AH AD =− 121333OA OA OB OC =−−−++221333OA OB OC =−− ，又AB OB OA =−，所以13DH AB OC − .故DH ，AB ，OC 共面.故B 正确；对C ：因为HG OG OH OA AG OH =−=+− 1526OA AD OA =+−12152336OA OA OB OC OA =+−++− 111336OA OB OC =−++，所以：HG OA ⋅= 111336OA OB OC OA −++⋅ 2111336OA OB OA OC OA =−+⋅+⋅1119660336=−×+×+×=，所以HG OA ⊥ ，故GH OA ⊥，故C 正确；对D ：设OH OA λ=，()01λ≤≤.因为：DH OH OD =−()OA OA AD λ=−+ 2133OA OA OA OB OC λ =−−++2133OA OB OC λ=−− .所以DH OH ⋅ 2133OA OB OC OAλλ =−−⋅()2233OA OA OB OA OCλλλ−⋅−⋅296λλ−，()01λ≤≤.当13λ=时，DH OH ⋅ 有最小值，为：1196193×−×=−，故D 正确. 故选：BCD11. 已知()2,3P 是圆C ：22810410x y x y a +−−−+=内一点，其中0a >，经过点P 的动直线l 与C 交于A ，B 两点，若|AAAA |的最小值为4，则（ ） A. 12a =；B. 若|AAAA |=4，则直线l 的倾斜角为120°；C. 存在直线l 使得CA CB ⊥；D. 记PAC 与PBC △的面积分别为PAC S ，PBC S ，则PAC PBC S S ⋅△△的最大值为8． 【答案】ACD 【解析】【分析】根据点()2,3P 在圆内，列不等式，可求a 的取值范围，在根据弦|AAAA |的最小值为4求a 的值，判断A 的真假；明确圆的圆心和半径，根据1l CP k k ⋅=−，可求直线AB 的斜率，进而求直线AB 的倾斜角，判断B 的真假；利用圆心到直线的距离，确定弦长的取值范围，可判断C 的真假；由三角形面积公式和相交弦定理，可求PAC PBC S S ⋅△△的最大值，判断D 的真假. 【详解】对A ：由222382103410a +−×−×−+<⇒8a >. 此时圆C ：()()2245x y a −+−=.因为过P 点的弦|AAAA |的最小值为4，所以CP=又CP =⇒12a =.故A 正确；对B ：因为53142CP k −==−，1l CP k k ⋅=−，所以直线l 的斜率为1−，其倾斜角为135°，故B 错误； 对C ：当|AAAA |=4时，如图：sin ACP ∠==，cos ACP ∠==41cos 1033ACB ∠=−=>， 所以ACB ∠为锐角，又随着直线AB 斜率的变化，ACB ∠最大可以为平角， 所以存在直线l 使得CA CB ⊥.故C 正确； 对D ：如图：直线CP 与圆C 交于M 、N 两点，链接AM ，BN ，因为MAP BNP ∠=∠，APM NPB ∠=∠，所以APM NPB .所以AP MP NPBP=⇒(4AP BP MP NP ⋅=⋅=−+=.又1sin 2PACS PA PC APC APC =⋅⋅∠=∠ ，PBCS BPC =∠ ，且sin sin APC BPC ∠=∠.所以22sin PAC PBC S S PA PB APC⋅=⋅⋅∠ 28sin APC ∠8≤，当且仅当sin 1APC ∠=，即AB CP ⊥时取“=”.故D 正确. 故选：ACD【点睛】方法点睛：在求PAC PBC S S ⋅△△的最大值时，应该先结合三角形相似（或者蝴蝶定理）求出AP BP ⋅为定值，再结合三角形的面积公式求PAC PBC S S ⋅△△的最大值. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 实数x 、y 满足224x y +=，则()()2243x y −++的最大值是______． 【答案】49 【解析】【分析】根据()()2243x y −++几何意义为圆上的点(),x y 与()4,3−距离的平方，找出圆上的与()4,3−的最大值，再平方即可求解.【详解】解：由题意知：设(),p x y ，()4,3A −，则(),p x y 为圆224x y +=上的点， 圆224x y +=的圆心OO (0,0),半径2r =， 则()()2243x y −++表示圆上的点(),p x y 与()4,3A −距离的平方，又因为max 27PA AO r=+=+=, 所以22max749PA==； 故()()2243x y −++的最大值是49. 故答案为：49.13. 记ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()cos2cos a B c b A =−，其中π2B ≠，若ABC 的面积S =，2BE EC = ，且AE = ，则BC 的长为______．【解析】【分析】利用正弦定理对()cos 2cos a B c b A =−化简，可得π3A =，再由三角形面积公式求出8bc =，根据题意写出1233AE AB AC =+，等式两边平方后，可求出,b c 的值，由余弦定理2222cos a b c bc A =+−，求出BC 的长.【详解】()cos 2cos a B c b A =−,由正弦定理可得:sin cos 2sin cos sin cos A B C A B A =−，sin cos cos sin 2sin cos A B A B C A +=， ()sin 2sin cos A B C A +=，()sin πC 2sin cos C A −=,sin 2sin cos (sin 0)C C A C >，即1cos 2A =,π3A =，1sin 2ABC S bc A == ,得8bc =， ∵2BE EC = ，∴1233AE AB AC =+ ，221233AE AB AC =+， 即2228144cos 3999c b bc A =++，由8bc =，解得42b c = = 或18b c = = ， 根据余弦定理2222cos a b c bc A =+−，当42b c = =时，a =，此时π2B =，不满足题意， 当18b c = =时，a =..14. 如图，已知四面体ABCD 的体积为9，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，G 、H 分别在CD 、AD 上，且G 、H 是靠近D 的三等分点，则多面体EFGHBD 的体积为______．【答案】72##3.5 【解析】 【分析】多面体EFGHBD 的体积为三棱锥G DEH −与四棱锥E BFGD −的体积之和，根据体积之比与底面积之比高之比的关系求解即可.【详解】连接ED ，EG ，因为H 为AAAA 上的靠近D 的三分点，所以13DH AD =， 因为E 为AAAA 的中点，所以点E 到AAAA 的距离为点B 到AAAA 的距离的一半， 所以16DEH BAD S S = ， 又G 为CCAA 上靠近D 的三分点，所以点G 到平面ABD 的距离为点C 到平面ABD 的距离的13， 所以111119663182G DEH G BAD C BAD V V V −−−==×=×=， 1233BCD FCG BCD BCD BCD BFGD S S S S S S =−=−= 四边形， 所以2211933323E BFGD E BCD A BCD V V V −−−==×=×=， 所以多面体EFGHBD 的体积为17322G DEH E BFGD V V −−+=+=. 故答案为：72. 【点睛】关键点点睛：将多面体转化为两个锥体的体积之和，通过体积之比与底面积之比高之比的关系求解.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在对某高中1500名高二年级学生的百米成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这1500名高二年级学生中男生有900人，且抽取的样本中男生成绩的平均数和方差分别为13.2秒和13.36，女生成绩的平均数和方差分别为15.2秒和17.56．（1）求抽取的总样本的平均数；（2）试估计高二年级全体学生的百米成绩的方差．【答案】（1）14 （2）16【解析】【分析】（1）先确定样本中男生、女生的人数，再求总样本的平均数.（2）根据方差的概念，计算总样本的方差.【小问1详解】 样本中男生的人数为：100900601500×=；女生的人数为：1006040−=. 所以总样本的平均数为：6013.24015.214100x ×+×=. 【小问2详解】记总样本的方差为2s ， 则()(){}22216013.3613.2144017.5615.214100s =×+−+×+− 16=. 所以，估计高二年级全体学生的百米成绩的方差为16.16. 在平面直角坐标系xOy 中，ABC 的顶点A 的坐标为()4,2−，ACB ∠的角平分线所在的直线方程为10x y −+=，AC 边上中线BM 所在的直线方程为220x y +−=． （1）求点C 的坐标；（2）求直线BC 的方程．【答案】（1）(3,4)C ；（2）72130x y −−=【解析】【分析】（1）设(,1)C m m +，则43(,)22m m M −+，代入220x y +−=，求解即可； （2）设直线BC 的方程为：340x ny n +−−=，在直线10x y −+=取点(0,1)P ，利用点P 到直线AC 的距离等于点P 到直线BC 的距离，求解即可.【小问1详解】解：由题意可知点C 在直线0x y −+=上， 所以设(,1)C m m +，所以AC 中点43(,)22m m M −+， 又因为点43(,)22m m M −+在直线220x y +−=上， 所以34202m m +−+−=，解得3m =， 所以(3,4)C ；【小问2详解】解：因为(3,4)C ，设直线BC 的方程为：340x ny n +−−=， 又因为(4,2)A −，所以直线AC 的方程为：27220x y −+=， .又因为ACB ∠的角平分线所在的直线方程为10x y −+=， 在直线10x y −+=取点(0,1)P ，则点P 到直线AC 的距离等于点P 到直线BC 的距离，=，整理得21453140n n ++=， 解得：72n =−或27n =−， 当72n =−时，所求方程即为直线AC 的方程， 所以27n =−， 所以直线BC 的方程为： 72130x y −−=. 17. 直三棱柱111ABC A B C −中，12AB AC AA ===，其中,,E F D 分别为棱111,,BC B A B C 的中点，已知11AF A C ⊥，（1）求证：AF DE ⊥；（2）设平面EFD 与平面ABC 的交线为直线m ，求直线AC 与直线m 所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）取AB 的中点G ，连接1,EG A G 证得四边形ADEG 为平行四边形，得到1//DE A G ，利用1A AG ABF ≌，证得90AHG ∠= ，得到1AF A G ⊥，即可证得AF DE ⊥；（2）根据题意，证得11A C ⊥平面11ABB A ，得到1111A C A B ⊥，以A 为原点，建立空间直角坐标系，求得(0,2,0)AC = ，再取AC 的中点M ，延长,MB DF 交于点N ，得到直线AC 与直线m 所成角，即为直线AC 与直线EN 所成角，求得(4,1,0)N −，得到(3,2,0)EN =− ，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：取AB 的中点G ，连接1,EG A G ，因为E 的中点，可得//EG AC ，且12EG AC =， 又因为1//A D AC ，且112A D AC =，所以1//EG A D ，且1EG A D =， 所以四边形ADEG 平行四边形，所以1//DE A G ，在正方形11ABB A 中，可得1A AG ABF ≌，所以1A GA AFB ∠=∠， 因为90AFB AFB ∠+∠= ，所以190AFB A GA ∠+∠= ，AGH 中，可得90AHG ∠= ，所以1AF A G ⊥，又因为1//DE A G ，所以AF DE ⊥.【小问2详解】解：在直三棱柱111ABC A B C −中，可得1AA ⊥平面111A B C ，因为11AC ⊂平面111AB C ，所以111AA A C ⊥， 又因为11AF A C ⊥，且1AA AF A ∩=，1,AA AF ⊂平面11ABB A ，所以11A C ⊥平面11ABB A ， 因为11A B ⊂平面11ABB A ，所以1111A C A B ⊥，即直三棱柱111ABC A B C −的底面为等腰直角三角形，以A 为原点，以1,,AB AC AA 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为12AB AC AA ===，可得(0,0,0),(0,2,0)A C ，则(0,2,0)AC =， 为在取AC 的中点M ，连接,MB DM ，可得1//DM CC 且1DM CC =，因为11//BB DD 且11BB DD =，所以//BF DM ，且12BF DM =， 延长,MB DF 交于点N ，可得B 为MN 的中点，连接EN ，可得EN 即为平面DEF 与平面ABC 的交线，所以直线AC 与直线m 所成角，即为直线AC 与直线EN 所成角，又由(0,1,0),(2,0,0),(1,1,0)M B E ， 设(,,)N x y z ，可得MB BN =，即(2,1,0)(2,,)x y z −=−， 可得4,1,0x y z ==−=，所以(4,1,0)N −，可得(3,2,0)EN =− ，设直线EN 与直线AC 所成角为θ，可得cos cos ,AC EN AC EN AC EN θ⋅=== 即直线AC 与直线m18. 已知圆C ：22430x y y +−+=，过直线l ：12y x =上的动点M 作圆C 的切线，切点分别为P ，Q ．（1）当π3PMQ ∠=时，求出点M 的坐标； （2）经过M ，P ，C 三点的圆是否过定点？若是，求出所有定点的坐标；（3）求线段PQ 的中点N 的轨迹方程．【答案】（1）(0,0)或84(,)55（2）过定点(0,2)或42(,)55（3）22173042x y x y +−−+= 【解析】【分析】（1）点M 在直线l 上，设(2,)M m m ，由对称性可知30CMP ∠= ，可得2MC =，从而可得点M 坐标．（2）MC 的中点,12m Q m+，因为MP 是圆P 的切线，进而可知经过C ，P ，M 三点的圆是以Q 为圆心，以MC 为半径的圆，进而得到该圆的方程，根据其方程是关于m 的恒等式，进而可求得x 和y ，得到结果；（3）结合（2）将两圆方程相减可得直线PQ 的方程，且得直线PQ 过定点13,42R，由几何性质得MN RN ⊥，即点N 在以MR 为直径的圆上，进而可得结果.【小问1详解】（1）直线l 的方程为20x y −=，点M 在直线l 上，设(2,)M m m ， 因为π3PMQ ∠=，由对称性可得：由对称性可知30CMP ∠= ，由题1CP =所以2MC =，所以22(2)(2)4+−=m m ， 解之得：40,5==m m 故所求点M 的坐标为(0,0)或84(,)55． 【小问2详解】 设(2,)M m m ，则MC 的中点(,1)2m E m +，因为MP 是圆C 的切线， 所以经过,,C P M 三点的圆是以Q 为圆心，以ME 为半径的圆，故圆E 方程为：2222()(1)(1)22m m x m y m −+−−=+−化简得：222(22)0x y y m x y +−−+−=，此式是关于m 的恒等式，故2220,{220,x y y x y +−=+−=解得02x y = = 或4525x y = = , 所以经过,,C P M 三点的圆必过定点(0,2)或42(,)55．【小问3详解】 由()22222220,430x y mx m y m x y y +−−++= +−+=可得PQ ：()22320mx m y m +−+−=，即()22230m x y y +−−+=， 由220,230x y y +−= −=可得PQ 过定点13,42R . 因为N 为圆E 的弦PQ 的中点，所以MN PQ ⊥，即MN RN ⊥，故点N 在以MR 为直径的圆上，点N 的轨迹方程为22173042x y x y +−−+=. 19. 四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 为等腰梯形，224AB BC CD ===，侧面PAD 为正三角形；（1）当BD PD ⊥时，线段PB 上是否存在一点Q ，使得直线AQ 与平面ABCD所成角的正弦值为若存在，求出PQ QB 的值；若不存在，请说明理由． （2）当PD 与平面BCD 所成角最大时，求三棱锥P BCD −的外接球的体积．【答案】（1）存在；1.（2【解析】【分析】（1）先证平面PAD ⊥平面ABCD ，可得线面垂直，根据垂直，可建立空间直角坐标系，用空间向量，结合线面角的求法确定点Q 的位置.（2）根据PD 与平面BCD 所成角最大，确定平面PAD ⊥平面ABCD ，利用（1）中的图形，设三棱锥P BCD −的外接球的球心，利用空间两点的距离公式求球心和半径即可.【小问1详解】因为底面ABCD 为等腰梯形，224AB BC CD ===，所以60BAD ∠=°，120BCD ∠=°，30CBD ABD ∠=∠=°，所以90ADB ∠=°. 所以BD AD ⊥，又BD PD ⊥，,AD PD ⊂平面PAD ，且AD PD D = ，所以BD ⊥平面PAD .又BD ⊂平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD .取AD 中点O ，因为PAD △是等边三角形，所以PO AD ⊥，平面PAD ∩平面ABCD AD =，所以⊥PO 平面ABCD .再取AB 中点E ，连接OE ，则//OE BD ，所以OE AD ⊥.所以可以O 为原点，建立如图空间直角坐标系.则()0,0,0O ，()1,0,0A ，()1,0,0D −，()E ，()1,B −，(P ，()C −.(1,PB =−− .设PQ PB λ= ，可得)()1Q λλ−−所以)()1,1AQ λλ=−−− ，取平面ABCD 的法向量()0,0,1n = .因为AQ 与平面ABCD ，所以AQ nAQ n ⋅⋅ ，解得12λ=或5λ=（舍去）. 所以：线段PB 上存在一点Q ，使得直线AQ 与平面ABCD ，此时1PQ QB =. 【小问2详解】当平面PAD ⊥平面ABCD 时, PD 与平面BCD 所成角为PDA ∠.当平面PAD 与平面ABCD 不垂直时，过P 做PH ⊥平面ABCD ，连接HD ，则PDH ∠为PD 与平面BCD 所成角，因为PH PO <，sin PH PDH PD ∠=，sin PO PDA PD∠=，s s n i i n PDA PDH ∠∠<，所以A PDH PD ∠∠<. 故当平面PAD ⊥平面ABCD 时，PD 与平面BCD 所成角最大.此时，设棱锥P BCD −的外接球球心为(),,G x y z ，GP GB GC GD R====,所以(()(()(()2222222222222222121x y z R x y z R x y z R x y z R ++= ++−+= ++−+=+++=，解得20133x y z R = = = = 所以三棱锥P BCD −的外接球的体积为：34π3V R ==. 【点睛】方法点睛：在空间直角坐标系中，求一个几何体的外接球球心，可以利用空间两点的距离公式，根据球心到各顶点的距离相等列方程求解..。
高二数学第二次月考试卷分析
高二数学第二次月考试卷分析高二数学备课组本次月考高二数学试卷基本上符合数学教学实际，难度设计较全理，试题起点低，而我就结合我所教的班级现状和学期的知识现状为此次考试进行整体的评价，分析一下学生存在的问题及对今后教学的启示。
一、对试卷的总体评析本试卷合计150分，选择题12个小题，合计60分，填空题4个小题，合计16分，解答题6大题，合计74分，试题无偏题、怪题，注意知识点的覆盖。
主要考察导数部分内容，由于学生底子较差，计算能力薄弱，所以时间相对来说较为紧张，不够用。
试题重视基础，大量的题目来源于教材，考查的是学生的基本数学知识和通性通法，对重要的数学思想，如数形结合思想等都进行一定的考查。
注重数学的思想性和应用性与灵活性，强调对数学技能的考察。
二、学生存在的问题及错误原因分析1.基本概念、定理模糊不清，不能用数学语言再现概念。
2.学生自学能力差，不会找重难点，不会提出问题读书被动，无自觉性。
3.课堂缺少解题积极性，上课心不在焉，不肯动脑，缺乏主动参与意识。
4. 对教师布置的练习作业完成的质量不高，不复习，平时不预习，不能正确灵活运用定理、公式，死搬硬套。
三、对今后教学的启示文科班的学生数学基础差，大部分学生对数学毫无兴趣，今后教学中要注意。
1 突出知识结构，打好知识基础。
在教学中首先要扎实学生的数学基础知识，并在此基础上，注意知识间的横纵向联系，帮助学生理清脉络，抓住知识主干，构建知识网络。
要加大力度，抓落实，夯实基础，在公式使用的准确性和计算的准确性上狠抓实效2 提高学生逻辑思维能力和想象能力。
在日常教学中切忌千篇一律地老师讲同学听，提倡多一些思维变式题目的训练，强化学生感悟能力和灵活处理问题的能力，求精务实，提高课堂效益回归课本，抓好基础落实3 增强学生动手实践意识重视探究和应用关注身边的数学问题，不断提高学生的数学应用意识，激发学生兴趣。
对学生的答题规范要提出更高要求，“会而不对，对而不全”，计算能力偏弱，计算合理性不够，这些在考试时有发生，对此平时学习过程中应该加强对计算能力的培养；学会主动寻求合理、简捷运算途径；平时训练应树立“题不在多，做精则行”的理念。
高二数学月考质量分析
高二数学188班第一次月考质量分析一、试题评价（一）对试卷题型、卷面的分析本试题大体依照高考题型的格式与模式进行设计，整个卷面分为客观题和主观题两部份。
其中客观题分为选择题12道，每题5分，填空题4道，每题5分，共计80分。
主观题6道，共计70分。
卷面总分150分。
本次高二年级数学期中考试采用全年级统一命题，重点考察了高中数学选修2-2第一章，本试卷注重对数学基础知识、大体技术、大体思想和方式的考查，突出了对数学的计算能力、逻辑思维能力等方面的考察，着力表现概念性、思辩性和应用的普遍性。
试题的设计具有必然的梯度和区分度，其中三种题型中基础题、中档题和难题所占的比例也较为适宜，但整个题的计算程度较高。
（二）关于命题知识点和考点的分析1.紧扣考纲，注重双基本次期中考试范围比较大，但有很多题目源于讲义与练习册，紧扣考纲，注重双基。
2.概念思辩性强，突出重点试题对本部份各节知识考察较为全面，一方面突出了重点知识重点考察，另一方面突出数学知识本身的数学思想的考察，如：二、3、4、5、六、7、10、1一、1五、16，均是在大体概念和易混知识上进行了考察，对概念的完备性考查有较高的要求，有效的检测了学生对概念的掌握和理解。
3.突出运算能力，书写能力，考察知识的完备性和准确性。
其中六、八、九、10、1二、13，14、15、1八、20、21表现出既要运算，又考察了学生对知识的运用能力的考察，1二、17、1九、22对学生的逻辑推理能力有必然深度的考查。
二、答卷分析1.数据分析（班级）其中一、二、3，8题得分较高，选择题第4，7题得分较低，填空题得分偏低，解答题17-22得分都较低。
客观题得分较低。
2.失分率较高的答题分析第4题，主要考察复合函数求导的问题，学生掌握求导不够透彻；第5题对单调性的理解掌握不足致使失分；第12题，对分离参数转化为恒成立问题掌握不够致使答案失误；第9题，利用特殊三角形及特殊角求椭圆离心率，特殊值法掌握不足致使失误；第11题，椭圆的概念及余弦定理、向量知识等缺乏处置问题的综合能力及数形结合能力；填空题属于中高档题，得分不高，主要原因是积分公式不熟，导数的单调性极值与最值等相关计算和理解不准确，计算粗心失误；第17题，求导公式和求导的运算法则没有掌握好，致使致命的失分；第19题，对题目的理解不到位和运算的失误致使失分。
月考试卷分析数学
月考试卷分析数学月考试卷分析数学本次月考试卷总体难度适中，考察了学生对基础知识的掌握程度和应用所学知识解决实际问题的能力。
试卷结构合理，覆盖面较广，注重考察学生的数学思维和解题技巧。
选择题部分，题目设计较为常规，多数题目可以直接根据所学知识得出答案。
部分题目需要学生灵活运用数学知识进行推理和分析，如第5题，考察学生对函数奇偶性的理解及运用。
第10题，考察学生对排列组合基本概念的掌握及运用。
填空题部分，题目难度适中，多数题目可以直接根据所学知识填写答案。
部分题目需要学生具备一定的数学思维和解题技巧，如第14题，考察学生对平面几何中相似三角形的判定和性质的应用。
解答题部分，题目难度逐渐加大，考察了学生的综合应用能力和解题能力。
如第18题，考察学生对圆锥曲线的综合运用，需要学生熟练掌握圆锥曲线的性质和方程，具备一定的解题技巧。
第22题，考察学生的数学思维和推理能力，需要学生灵活运用所学知识进行推理和分析。
总体来说，本次月考试卷难度适中，考察了学生的数学基础知识和应用能力，但也暴露出学生在某些知识点上的不足。
建议学生在平时的学习中加强对基础知识的掌握，提高解题能力和数学思维能力。
注意知识的综合运用和拓展，提高自己的数学素养。
初中化学月考试卷分析初中化学月考试卷分析本次初中化学月考试卷，总体来说难度适中，覆盖面广，注重基础知识的考察和运用能力的检验，同时也存在一些问题。
下面，我将从试卷结构、题型分析、错题解析、反思与建议等几个方面进行详细分析。
一、试卷结构本次试卷分为选择题和填空题两部分，其中选择题30分，填空题40分，总体难度适中。
试卷结构如下：1、选择题：共10个小题，每题3分，考察内容为基础知识点和基本概念，难度较低。
2、填空题：共5个小题，每题4分，考察内容为知识点的综合运用和实验操作，难度较高。
二、题型分析1、选择题：考察内容为基础知识点和基本概念，大部分题目难度较低，但也有个别题目出现混淆情况，需注意。
2023-2024学年广东省惠州市惠阳区高二下学期5月月考数学调研试卷(含解析)
2023-2024学年广东省惠州市惠阳区高二下学期5月月考数学调研试卷一、单选题1．已知集合，则（ ）{21},{12}A x x B x x =-<≤=-<≤∣∣A B = A ．B ．C ．D ．(]2,2-[]1,2-(]1,1-(]1,22．已知随机变量服从两点分布，且，设，那么（ ）X ()10.4P X ==21Y X =-()1P Y =-=A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.63．设数列的前项和为，若，则（ ）{}n a n n S 2n n S n a +=7a =A ．65B ．127C ．129D ．2554．如图，一环形花坛分成A ，B ，C ，D 四块，现有四种不同的花供选种，要求在每块花坛里种一种花，且相邻的两块花坛种不同的花，则不同的种法种数为（ ）A ．108B ．96C ．72D ．485．设X 为随机变量，且，若随机变量X 的方差，则（ ）1~,4X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭()34D X =()3P X ==A ．B ．C ．D ．27643649128271286．已知直线与直线则是的（ ）()1:120l x m y m +++-=2:280l mx y ++=1m =12l l ∥A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件7．质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施两次打击，若没有受损，则认为该构件通过质检.若第一次打击后该构件没有受损的概率为0.85，当第一次没有受损时第二次实施打击也没有受损的概率为0.80，则该构件通过质检的概率为（ ）A ．0.4B ．0.16C ．0.68D ．0.178．的展开式中常数项为（ ）6212x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭A ．544B ．559C ．495D ．79二、多选题9．3名男生和3名女生站成一排，则下列结论中正确的有（ ）A ．3名男生必须相邻的排法有144种B ．3名男生互不相邻的排法有72种C ．甲在乙的左边的排法有360种D ．甲、乙中间恰好有2人的排法有144种10．某单位开展“学习强国”知识答题活动，在5道试题中（有3道选择题和2道填空题），不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A 为“第1次抽到选择题”，事件B 为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（ ）A ．B ．2()5P A =3()5P AB =C ．D ．()34P B A =()12P B A =11．直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，下列说法l 2:4C y x =C ()()1122,,A x y B x y 、正确的是（ ）A ．，121=x x 124y y =-B ．直线的斜率为1时，l AB =C ．的最小值为6ABD ．以为直径的圆与的准线相切AB C 三、填空题12．若曲线在点处的切线与直线平行，则点的坐标为.3()2f x x x =-P 0x y -=P 13．已知，则.6260126(32)x a a x a x a x -=++++ 126a a a +++= 14．的内角的对边分别为，，则ABC ,,A B C ,,a b c 22(sin sin )sin sin sin A C B A C +=+B =；若的取值范围是 .b =12a c+15．已知等差数列的前项和满足，.{}n a n n S 30S =55S =-（1）求的通项公式；{}n a （2）求数列的前项和.2n n b a =-+11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 16．设某厂有甲，乙，丙三个车间生产同一产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的，25%，，并且各车间的次品率依次为，，.现从该厂这批产品中任取一件.35%40%5%4%2%(1)求取到次品的概率；(2)若取到的是次品，则此次品由三个车间生产的概率分别是多少？17．如图，四棱锥的底面是菱形，，是中点，，P ABCD -ABCD 60BAD ︒∠=F BC PA PD=，平面平面.PA PD ⊥PAD ⊥ABCD （1）求证：平面；DF ⊥PAD （2）求二面角的余弦值.A PB F --18．某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球.如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖.(1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望.X (2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期Y 望.(3)如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由.19．已知函数，()ln f x x ax b=-+()()1x g x x e =-（1）若，的极大值是，求a 的值；0b =()f x 1-（2）若，在上存在唯一零点，求b 的值．0a =()()()h x g x f x =-()0,∞+1．C【分析】由交集的定义求解即可.【详解】因为，{21},{12}A x x B x x =-<≤=-<≤∣∣所以.A B = (]1,1-故选：C.2．D【分析】根据两点分布得基本性质即可求解.【详解】由题意可知，当时，即，解得，1Y =-211X -=-0X =又因为随机变量服从两点分布，且，(1)0.4P X ==所以.()()100.6P Y P X =-===故选：D.3．B【分析】降次作差得，再利用等比数列通项公式即可得到答案.()1121n n a a -+=+【详解】时，，则.1n =1112a a +=11a =时，，2n ≥[]11122(1)221n n n n n n n a S S a n a n a a ---=-=----=--，()11121,121,120n n n n a a a a a --∴=+∴+=++=≠是2为首项，2为公比的等比数列，，{}1n a ∴+67771222128,127a a ∴+=⨯==∴=故选：B.4．D【分析】利用分步计数原理可得答案.【详解】完成这件事情需要四步：第一步，地块有4种选择；A 第二步，地块有3种选择；第三步，地块有2种选择；第四步，地块有2种选择；BCD 共有种.4322=48⨯⨯⨯故选：D5．B【分析】根据二项分布的方差公式可求得，再根据二项分布的概率求解即可n 【详解】因为，故，故()133444D X n =⨯⨯=4n =()3341333C 4464P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B 6．B【分析】先求出两直线平行的充要条件，即可判断求解.【详解】由，可得，解得或1，12l l //()121m m ⨯=+2m =-当时，，即，此时与重合不合题意，2m =-1:40l x y --=2:2280l x y -++=40x y --=1l 2l 当时，，，符合题意，1m =1:210l x y +-=2:280l x y ++=所以是的充要条件.1m =12l l //故选：B.7．C【分析】运用概率乘法公式求解即可.【详解】设表示第次打击后该构件没有受损，，i A i 1,2i =则由已知可得，，1()0.85P A =21(|)0.8P A A =所以由乘法公式可得，即该构件通过质检的概率是0.68.12121()()(|)0.850.80.68P A A P A P A A ==⨯=故选：C.8．B【分析】若要展开式中出现常数项，需考虑六个括号中每个括号提供哪些项，分三种212x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭情况解决即可.【详解】展开式中的常数项分三种情况：第一种，六个括号都提供，此时得到；212x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭26264=第二种，六个括号中一个括号提供，两个括号提供，三个括号提供，此时得到2x 1x -2；2123236531C C C 2480x x ⎛⎫⋅⋅-⋅= ⎪⎝⎭第三种，六个括号中两个括号提供，四个括号提供，此时得到，2x 1x -42422641C C ()15x x ⎛⎫⋅⋅-= ⎪⎝⎭所以展开式的常数项为，6448015559++=故选：B.9．ACD【分析】A ：利用捆绑法分析；B ：利用插空法分析；C ：先考虑人全排列，然后甲在乙的左边的6排法数占一半，由此求解出结果；D ：先选人与甲乙捆绑在一起，然后再看成个元素全排列.23【详解】对于A ：将名男生捆绑在一起看成一个元素，所以排法有种，故A 正确；33434A A 144⨯=对于B ：将名男生放入到名女生形成的个空位中，所以排法有种，故B 错误；3343334A A 144⨯=对于C ：名男生和名女生全排列，排法有种，3366A 720=其中甲在乙的左边的排法占总数的，所以有种排法，故C 正确；1217203602⨯=对于D ：先选人与甲乙一起看成一个元素，再将此一个元素与剩余人全排列，22所以有排法种，故D 正确；223423A A A 144⨯⨯=故选：ACD.10．CD【分析】根据古典概型，对立事件，条件概率的计算公式逐一计算每个选项进行判断.【详解】由题意可得，，故A 错误，33()325P A ==+，故B 错误，323()5410P AB =⨯=，，()2335410P BA =⨯=32(1()155P A P A =-=-=，故C 正确，()()()3310245P BA P B A P A ===，故D 正确．()()()3110325P AB P B A P A ===故选：CD 11．AD【分析】直线的方程可设为，与抛物线方程联立可得，, ,，从而可l 1x my =+12y y +12y y 12x x +12x x 判断A ；根据可判断BC ；设线段的中点为，求出点到准线的距1211AB x x =+++AB M M =1x -离,即可判断D.【详解】依题意可知直线过抛物线的焦点,且直线的方程可设为,l C ()1,0F l 1x my =+将直线方程与抛物线方程联立可得，l C 2440y my --=因为，所以，,216160m ∆=+>124y y m +=124y y =-所以,()21212242x x m y y m +=++=+ ，故A 正确；()()()212121212111x x my my m y y m y y =++=+++224411m m =-++=,2121144AB x x m =+++=+当时,有最小值4，故C 错误；0m =AB当直线的斜率为1时，则，故，故B 错误；l 1m =2448AB m =+=设线段的中点为，则,AB M ()221,2M m m +所以点到准线的距离为,M =1x -2222AB m +=所以以为直径的圆与的准线相切,故D 正确.AB C故选:AD.12．或(1,1)-(1,1)-【分析】设，根据点P 处的切线与直线平行，由求解.()00,P x y 0x y -=0()1f x '=【详解】因为曲线，3()2f x x x =-所以，2()32f x x '=-设，()00,P x y 因为点P 处的切线与直线平行，0x y -=所以，200()321f x x '=-=解得或，001,1x y ==-001,1x y =-=所以点的坐标为或，P ()1,1-()1,1-故答案为：或(1,1)-(1,1)-13．-63【分析】通过赋值法可得结果.【详解】令，则，即0x =6260126(302)000a a a a ⨯-=⨯++⨯++⨯ 064a =令，则，.1x =601226611121(3)a a a a ⨯⨯⨯-=++++= 12663a a a +++=- 故答案为：-6314．2π3【分析】根据正弦定理将条件转化为边的关系，利用余弦定理求角22(sin sin )sin sin sin A C B A C +=+；结合正弦定理，内角和定理将表示为的函数，结合正弦函数的性质求其范围.B 12a c+A 【详解】因为，22(sin sin )sin sin sin A C B A C +=+所以；222sin sin sin sin sin A C B A C +-=-由正弦定理得，222a cb ac +-=-所以，又，2221cos 22a c b B ac +-==-()0,πB ∈所以，2π3B =，2π3b B ∠==由正弦定理可得，（为的外接圆的半径），24sin b R B ===R ABC 由正弦定理得，2sin 4sin ,2sin 4sin a R A A c R C C ====所以1π4sin 2sin 4sin 2sin 3sin 23a c A C A A A A⎛⎫+=+=+-= ⎪⎝⎭，π6A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由已知，所以，则，π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πππ,662A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭π1sin ,162A ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，12a c +∈故答案为：；.2π315．（1）；（2）.2n a n =-1n n T n =+【解析】（1）由，，可得求出，从而可得的通项公式；30S =55S =-113230254552a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=-⎪⎩1,a d {}n a （2）由（1）可得，从而可得，然后利用裂项相消求和法可求得n b n =11111(1)1n n b b n n n n +==-++n T 【详解】解：（1）设等差数列的公差为，{}n a d 因为，.30S =55S =-所以，化简得，解得，113230254552a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=-⎪⎩11021a d a d +=⎧⎨+=-⎩111a d =⎧⎨=-⎩所以，1(1)1(1)(1)2n a a n d n n =+-=+--=-（2）由（1）可知，2(2)2n n b a n n =-+=--+=所以，11111(1)1n n b b n n n n +==-++所以111111(1)()()1223111n nT n n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++【点睛】此题考查等差数列前项和的基本量计算，考查裂项相消求和法的应用，考查计算能力，n 属于基础题16．(1)0.0345(2)甲车间生产的概率为：，由乙车间生产的概率为：，由丙车间生产的概率为：256928691669【分析】（1）根据全概率计算公式，计算出所求概率.（2）根据贝叶斯公式，计算出所求概率.【详解】（1）记事件表示车间生产的产品，A A 记事件表示车间生产的产品，B B 记事件表示车间生产的产品，C C 记事件表示抽取到次品，D 则,()()()0.25,0.35,0.4P A P B P C ===，()()()0.05,0.04,0.02P D A P D B P D C ===取到次品的概率为()()()()()()()P D P A P D A P B P D B P C P D C =++0.250.050.350.040.40.020.0345=⨯+⨯+⨯=（2）若取到的是次品，此次品由甲车间生产的概率为：()()()()()()()()()0.250.050.0125250.03450.034569P A P D A P A D P A P D A P B P D B P C P D C ⨯====++此次品由乙车间生产的概率为：()()()()()()()()()0.350.040.014280.03450.034569P B P D B P B D P A P D A P B P D B P C P D C ⨯====++此次品由丙车间生产的概率为：()()()()()()()()()0.40.020.008160.03450.034569P C P D C P C D P A P D A P B P D B P C PD C ⨯====++17．（1）见解析；（2）【分析】（1）设，则，由余弦定理可知，再根据勾股定理可证，2AB a =CF a =223DF a =DF BC ⊥由题意易知，又平面平面 ，再根据面面垂直的性质定理即可证明结果；DF AD ⊥PAD ⊥ABCD （2）根据题意建立空间直角坐标系，再利用空间向量的坐标运算公式求出二面角O xyz -的余弦值.A PB F --【详解】（1）证明：设，则，2AB a =CF a =由题意得，22222222cos 42cos 603DF CD CF CD CF DCF a a a a =+-⋅∠=+-︒=，，22224DF CF CD a ∴+==DF BC ∴⊥是菱形， ABCD ∴//AD BC DF AD∴∴⊥，∵平面平面 ，平面平面，PAD ⊥ABCD PAD ⋂ABCD AD =∴平面DF ⊥PAD（2）由（1）得，以点为坐标原点，的方向为轴的正方向，的方向为轴的DF AD ⊥D DA x DFy 正方向，建立如图的空间直角坐标系，设，则D xyz -2AB a =()()()()2,0,0,,0,,0,,0,A a B a F P a a 设是平面的一个法向量，()111,,m x y z = PAB 则，∴m PA m AB ⎧⊥⎨⊥⎩ 111100ax azax -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩令，1x =m =设是平面的一个法向量，()222,,n x y z = PBF 则，∴，n PF n BF ⎧⊥⎨⊥⎩222200ax az ax ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩令，2z =(n = ∴cos ,m n < 又二面角为钝二面角，A PB F --∴二面角的余弦值A PB F --【点睛】本题主要考查了面面垂直性质定理的应用，同时考查了空间向量在求二面角中的应用，属于基础题.18．(1)分布列答案见解析，数学期望：89(2)分布列答案见解析，数学期望：89(3)答案见解析【分析】（1）根据古典概型的运算公式，结合二项分布的性质进行求解即可；（2）根据古典概型的运算公式，结合数学期望公式进行求解即可；（3）根据数学期望的性质，结合商场老板希望进行判断即可.【详解】（1）若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，则每次中奖的概率为，2255210C C 4C 9+=因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数服从二项分布，即，X 42,9X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭所以的所有可能取值为，则X 0,1,2，()02245250C 9981P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()111245401C 9981P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()202245162C 9981P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以的分布列为X X012P 258140811681所以的数学期望为.X ()48299E X =⨯=（2）若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，中奖次数的所有可能取值为Y ，0,1,2则，()1111554422108C C C C 200C C 63P Y ==⋅=，()22111122553555442222108108C C C C C C C C 151530101C C C C 63636321P Y ++==⋅+⋅=+==，()2222553522108C C C C 132C C 63P Y ++==⋅=所以的分布列为Y Y012P 206310211363所以的数学期望为.Y ()101381221639E Y =⨯+⨯=（3）因为（1）（2）两问的数学期望相等，第（1）问中两次奖的概率比第（2）问的小，即，第（1）不中奖的概率比第问小，即，16138163<()225208163<回答一：若商场老板希望中两次奖的顾客多，产生宣传效应，则选择按第（2）问方式进行抽.回答二：若商场老板希望中奖的顾客多，则选择按第（1）问方式进行抽奖.19．（1）；（2）．1a =1b =【解析】（1）先求得函数的定义域，求得函数的导函数，根据定义域，分析导函数的零点情况，对实数进行分类讨论，根据函数的极值的条件，求得的值；（2）利用导数研究函数的单调a a ()h x 性，结合唯一零点的条件得到等式，化简即可求得的值.b 【详解】（1）若，则0b =()ln f x x ax=-的定义域为，．()f x ()0,∞+()1f x a x '=-若，，在定义域内单调递增，无极大值；0a ≤()0f x ¢>()f x 若，，单调递增；，单调递减．0a >10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x 1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()f x 时，取得极大值，1x a ∴=()f x 11 ln 11f a a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭．1ln 0a∴=1a ∴=（2）若，则，0a =()ln f x x b =+()()()()1ln x h x g x f x x e x b =-=---()()()1111x x x h x x e x e x x +⎛⎫'=+-=+- ⎪⎝⎭令，得，()0h x '=1e 0x x -=当时，有唯一解，即，0x >1e x x =0x 001e x x =当时，；当时，．()00,x x ∈()0h x '<()0,x x ∈+∞()0h x '>所以在单调递减，在单调递增．()h x ()00,x ()0,x +∞又因为有且只有1个零点，所以．()h x ()00h x =即．0000e ln 0x x x x b ---=因为，，整理可得故．00e 1x x =00ln 0x x +=10b -=1b =【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值问题和零点问题，属基础题，难度一般，关键点在于(1)中的分类讨论，（2）中的的根的设而不求的思想.1e 0x x -=。
福建师大附中2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(解析版)
福建师大附中2024-2025学年第一学期高二第一次月考数学试卷一、单选题（每小题5分，共40分）1. 若角α的终边上一点的坐标为(11)−，，则cos α=( )A. 1−B.C.D. 1【答案】C 【解析】【分析】根据任意角三角函数的定义即可求解.【详解】∵角α的终边上一点的坐标为(11)−，，它与原点的距离r=，∴cos x r α==， 故选：C.2. 下列函数中，在区间()1,2上为增函数的是 A. 1y x=B. y x =C. 21y x =−+D. 243y x x =−+【答案】B 【解析】【分析】根据基本初等函数的单调性判断出各选项中函数在区间()1,2上的单调性，可得出正确选项. 【详解】对于A 选项，函数1y x=在区间()1,2上为减函数； 对于B 选项，当()1,2x ∈时，y x =，则函数y x =在区间()1,2上为增函数；对于C 选项，函数21y x =−+在区间()1,2上为减函数； 对于D 选项，二次函数243y x x =−+在区间()1,2上为减函数. 故选B.【点睛】本题考查基本初等函数在区间上的单调性的判断，熟悉一次、二次、反比例函数的单调性是解题的关键，考查推理能力，属于基础题.3. 为了解甲、乙两个班级学生的物理学习情况，从两个班学生的物理成绩（均为整数）中各随机抽查20个，得到如图所示的数据图（用频率分布直方图估计总体平均数时，每个区间的值均取该区间的中点值），关于甲、乙两个班级的物理成绩，下列结论正确的是（ ）A. 甲班众数小于乙班众数B. 乙班成绩的75百分位数为79C. 甲班的中位数为74D. 甲班平均数大于乙班平均数估计值【答案】D 【解析】【分析】根据已知数据图，判断A ；根据频率分布直方图计算乙班成绩的75百分位数，判断B ；求出甲班的中位数，判断C ；求出两个班级的平均分，即可判断D.【详解】由甲、乙两个班级学生的物理成绩的数据图可知甲班众数为79， 由频率分布直方图无法准确得出乙班众数，A 错误； 对于乙班物理成绩的频率分布直方图，前三个矩形的面积之和为(0.0200.0250.030)100.75++×=， 故乙班成绩的75百分位数为80，由甲班物理成绩数据图可知，小于79分的数据有9个，79分的数据有6个， 故甲班的中位数为79，C 错误； 甲班平均数57258596768269279687882899874.820x ×++++×+×+×++×++=甲，乙班平均数估计值为10550.02650.025750.03+850.02950.00571.57= 4.8x =×+×+××+×=<乙（）， 即甲班平均数大于乙班平均数估计值，D 正确， 故选：D 4.的直三棱柱111ABC A B C −中，ABC 为等边三角形，且ABC的外接圆半径为 ） A. 12π B. 8π C. 6π D. 3π【答案】A为【解析】【分析】由棱柱体积求得棱柱的高，然后求得外接球的半径，得表面积．【详解】设ABC 的边长为a ，由ABC可得2πsin3a =，故a =则ABC的面积2S.可得11S AA AA ⋅==1AA =， 设三棱柱外接球的半径为R，则2221723233AA R =+=+=， 故该三棱柱外接球的表面积为24π12πR =. 故选：A ．5. 已知函数()()()sin 20f x x ϕπϕ=+−<<，将()f x 的图象向左平移3π个单位长度后所得的函数图象关于y 轴对称，则关于函数()f x ，下列命题正确的是 A. 函数()f x 在区间,63ππ−上有最小值 B. 函数()f x 的一条对称轴为12x π=C. 函数()f x 在区间,63ππ−上单调递增 D. 函数()f x 的一个对称点为,03π【答案】C 【解析】【分析】根据平移关系求出函数的解析式，结合函数的奇偶性求出φ的值，利用三角函数的性质进行判断即可．【详解】将()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到2[2]233y sin x sin x ππϕϕ=++=++（）（），此时函数为偶函数， 则232k k Z ππϕπ+=+∈，， 即06k k Z πϕππϕ=−+∈− ，，＜＜，∴当0k =时，6，πϕ=−则26f x sin x π=−（）（），当63x ππ−＜＜时22233262x x πππππ−−−，＜＜，＜＜， 则此时函数()f x 在区间,63ππ − 上单调递增，且()f x 在区间,63ππ−上没有最小值， 故C 正确， 故选C ．【点睛】本题主要考查三角函数性质判断，结合三角函数的平移关系求出函数的解析式是解决本题的关键．6. 如图，在三棱锥P ABC −中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，AC =6BC =，D ，E ，F ，G 分别为PB ，AB ，AC ，PC 的中点，Q 为DE 上一点，AQ GQ ⊥，当AQG 的面积取得最小值时，三棱锥Q AEF −外接球的表面积为（ ）A. 24πB. 28πC. 32πD. 36π【答案】B 【解析】【分析】连接GF ，GD ，根据中位线性质得到线线平行关系，再利用线面垂直的性质得到线线垂直，设EQ x =，DQ y =，根据222AQ GQ AG +=得到()2221697x y x y +++=++，得到12AQG S AQ GQ =⋅= ，再根据基本不等式即可求出最值，再转化为长方体外接球问题即可.【详解】连接GF ，GD ，因为D ，E ，F ，G 分别为PB ，AB ，AC ，PC 的中点，的所以2//,11,//,2GF GF PA PA DE PA PA DE ==，1//,2GD BC GD BC =，1//,2EF BC EF BC =，则//GF DE ，因为PA ⊥平面ABC ， 所以GF ⊥平面ABC ，DE ⊥平面ABC ，AE ⊂ 平面ABC ，所以DE AE ⊥，所以DE GD ⊥，AF ⊂ 平面ABC ，所以GF AF ⊥．设EQ x =，DQ y =，则AQ ，GQ ，AG ==，因为AQ GQ ⊥，所以222AQ GQ AG +=，即()2221697x y x y +++=++， 整理得9xy =，所以12AQGS AQ GQ =⋅= 由基本不等式得2216924216y x xy +≥=，当且仅当43y x =，即x =y =所以当AQC S 取得最小值时，EQ =，DQ =． 因为AF EF ⊥，QE ⊥平面AEF ，所以可将三棱锥Q AEF −补形为如图所示的长方体，则三棱锥Q AEF −的外接球即该长方体的外接球，易知该长方体外接球的直径为AQ =，故三棱锥Q AEF −，故三棱锥Q AEF −外接球的表面积为4π728π×=，故选：B ．【点睛】方法点睛：求解有关三棱锥外接球的问题时，常见方法有两种：一种是补形，解题时要认真分析图形，看能否把三棱锥补形成一个正方体（长方体），若能，则正方体（长方体）的顶点均在外接球的球面上，正方体（长方体）的体对角线为外接球的直径；另一种是直接法，三棱锥中过任意两个面的外接圆圆心的垂线的交点即三棱锥外接球的球心．7. 、，外接球表面积为20π，则正四棱台侧棱与底面所成角的正切值为（ ） A. 1 B. 3 C. 1或3 D.12或32【答案】C 【解析】【分析】在正四棱台1111ABCD A B C D −中，取截面11AAC C ，设正方形ABCD 、1111D C B A 的中心分别为O 、1O ，分析可知球心在直线1OO 上，对球心的位置进行分类讨论，求出1OO 的长，利用线面角的定义可求得结果.【详解】在正四棱台1111ABCD A B C D −中，设其上底面为正方形ABCD ，下底面为正方形1111D C B A ，设正方形ABCD 、1111D C B A 的中心分别为O 、1O ，由正四棱台的几何性质可知，1OO ⊥平面1111D C B A ，取截面11AAC C ， 则正四棱台的外接球球心E 在直线1O O 上，分以下两种情况讨论： ①E 在AC 、11A C 的同侧，如下图所示：设球E 的半径为R ，则24π20πR =，可得R =由圆的几何性质可知EO AC ⊥，111EO A C ⊥，且2AC ==，11114A C B =，所以，2OE =，11EO ，所以，11211OO EO EO =−=−=， 过点A 在平面11AAC C 内作11AF AC ⊥， 因为11//AC A C ，11AF A C ⊥，111OO A C ⊥，1//AF OO ∴，则四边形1AOO F 为矩形，且11AF OO ==，11O FAO ==，111211A F AO O F =−=−=， 因为1//AF OO ，则AF ⊥平面1111D C B A ，则1AA 与平面1111D C B A 所成角为1AA F ∠， 且11tan 1AFAA F A F∠==； ②若球心E 在线段1OO 上，如下图所示：设球E 的半径为R ，则24π20πR =，可得R =由圆的几何性质可知EO AC ⊥，111EO A C ⊥，且2AC ==，11114A C B =，所以，2OE =，11EO ，所以，11213OO EO EO =+=+=， 过点A 在平面11AAC C 内作11AF A C ⊥，因为11//AC A C ，11AF A C ⊥，111OO A C ⊥，1//AF OO ∴，则四边形1AOO F 为矩形，且13AF OO ==，11O FAO ==，111211A F AO O F =−=−=， 因为1//AF OO ，则AF ⊥平面1111D C B A ，则1AA 与平面1111D C B A 所成角为1AA F ∠， 且11tan 3AFAA F A F∠==. 综上所述，正四棱台侧棱与底面所成角的正切值为1或3. 故选：C.【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin hlθ=（l 为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=.8. 在ΔΔΔΔΔΔΔΔ中，BC CA CA AB ⋅=⋅ ，2BA BC += ，且233B ππ≤≤，则BA BC ⋅的取值范围是A [2,1)− B. 2,13C. 22,3 −D. 22,3−【答案】D 【解析】【分析】由BC CA CA AB ⋅=⋅，可以得到()0CA BC BA ⋅+= ，利用平面向量加法的几何意义，可以构造平行四边形BCDA ，根据()0CA BC BA ⋅+=，可知平行四边形BCDA 是菱形，这样在Rt BOA ∆中，可以求出菱形的边长，求出BA BC ⋅的表达式，利用233B ππ≤≤，构造函数，最后求出BA BC ⋅的取值范围.【详解】()0()0BC CA CA AB CA BC AB CA BC BA ⋅=⋅⇒⋅−=⇒⋅+=，以,BC BA 为邻边作平行四.边形BCDA ，如下图：所以BC BA BD += ，因此0CA BD CA BD ⋅=⇒⊥,所以平行四边形BCDA 是菱形，设CA BD O ∩=，2BA BC +=，所以=21BD BO ⇒=，在Rt BOA ∆中， 1cos cos 2BO ABO AB ABC AB ∠=⇒=∠ 212cos ()cos 1cos cos 2ABCy ABC ABC AB A C C B B ∠==⋅∠=⋅∠+∠ ， 设211cos [,]3322x ABC ABC x ππ=∠≤∠≤∴∈− ， 所以当11[,]22x ∈− 时，'22201(1)x y y x x =⇒=>++，21x y x =+是增函数，故2[2,]3y ∈−，因此本题选D.【点睛】本题考查了平面加法的几何意义、以及平面向量数量积的取值范围问题，利用菱形的性质、余弦的升幂公式、构造函数是解题的关键.二、多选题（每小题6分，共18分）9. 一组样本数据12,,,n x x x …的平均数为()0x x ≠，标准差为s ．另一组样本数据122,,,n n n x x x ++…，的平均数为3x ，标准差为s ．两组数据合成一组新数据1212,,,,,,n n n x x x x x +⋅⋅⋅⋅⋅⋅，新数据的平均数为y ，标准差为s ′，则（ ） A. 2y x > B. 2y x = C. s s ′> D. s s ′=【答案】BC 【解析】【分析】由平均数与标准差的定义求解判断． 【详解】由题意322nx n xyx n+⋅=， 222222121()()()nn k k ns x x x x x x x nx ==−+−++−=−∑，同理222222211(3)9nnkkk n k n ns xn x xnx=+=+=−⋅=−∑∑ 两式相加得22221210nk k ns x nx ==−∑，22222221122(2)8nnkk k k ns x n x x nx ==′=−⋅=−∑∑，所以2222ns ns ′>，s s ′>． 故选：BC ．10. 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，点E ，F 分别为棱BC 与11D C 的中点，则下列选项正确的有（ ）A. 1//A B 平面1AECB. EF 与1BC 所成的角为30°C. ⊥EF 平面1B ACD. 平面1AEC 截正方体1111ABCD A B C D −的截面面积为 【答案】ABD 【解析】【分析】设点M 为棱11A D 的中点，得到四边形1AEC M 为平行四边形，利用线面平行的判定定理，证得1//A B 平面1AEC ，可判定A 正确；再得到四边形1AEC M 为菱形，求得截面的面积，可判定D 正确；设1CC 的中点为N ，证得1//EN BC ，得到NEF ∠为EF 与1BC 所成的角，利用余弦定理求得cos NEF ∠，可判定B 正确；假设⊥EF 平面1B AC 正确，得到1EF B C ⊥，结合11FC B C ⊥，证得1B C ⊥平面1EFC ，得到11B C EC ⊥，进而判定C 错误．【详解】如图1所示，设点M 为棱11A D 的中点，则1MC AE ，平行且相等，所以四边形1AEC M 为平行四边形，又1//A B ME ，1⊄A B 平面1AEC ，ME ⊂平面1AEC ，所以1//A B 平面1AEC ，故A 正确； 由上可知，四边形1AEC M 为平面1AEC 截正方体1111ABCD A B C D −的截面，易得11AE EC C M MA ====，故四边形1AEC M 为菱形，又其对角线EM =，1AC =12××，故D 正确； 设1CC 的中点为N ，连接,EN FN ，因为,E N 分别为BC 与1CC 的中点，所以1//EN BC ，故NEF ∠为EF 与1BC 所成的角，又EN FN ==，EF =由余弦定理可得222cos 2EN EF NF NEF EN EF +−∠==⋅ 所以EF 与1BC 所成的角为30°，故B 正确；如图2所示，假设⊥EF 平面1B AC 正确，则1EF B C ⊥，又11FC B C ⊥，1EF FC F ∩=，所以1B C ⊥平面1EFC ，得11B C EC ⊥． 在正方形11B C CB 中，11B C EC ⊥，显然不成立，所以假设错误， 即⊥EF 平面1B AC 错误，故C 错误． 故选：ABD ．11. 已知,a b 均为正数且11a b a b+=+，下列不等式正确的有（ ）A. 23+≥B.2+≥C. 3a +≥D.23a b a+≥ 【答案】BCD 【解析】【分析】由已知条件可得1ab =，然后逐个分析判断即可 【详解】由11a b a b+=+，得a b a b ab ++=，所以()()0ab a b a b +−+=，()(1)0a b ab +−= 因为,a b 均为正数，所以1ab =，对于A ，2≥===，即ab 时取等号，所以A 错误，对于B 2+≥=，即1a b ==时取等号，所以B 正确，对于C ，因为1ab =，所以1a b=，所以13a b +=+≥=，=，即1a b ==时取等号，所以C 正确，对于D ，因为1ab =，所以22223a a ba b b b a ab++==++≥，当且仅当2a b =，即1a b ==时取等号，所以D 正确，故选：BCD三、填空题（每小题5分，共15分）12. 已知1x >−，则41x x ++的最小值为___________. 【答案】3 【解析】【分析】由1x >−可得10x +>，将41x x ++整理为4111++−+x x ，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为1x >−，所以10x +>，所以441111x x x x +=++−++13≥−=， 当且仅当411x x +=+，即1x =时取等号， 所以41x x ++的最小值为3， 故答案为：3【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 13. 已知函数222log ,1()32,1x a x f x x ax a x + =++<， ①若a ＝1，f （x ）的最小值是_____；②若f （x ）恰好有2个零点，则实数a 的取值范围是_____． 【答案】 ①. ﹣14 ②. 1(1,][0,)2−−+∞ 【解析】【分析】（1）对分段函数的两段函数分别求最小值，然后比较可得； （2）结合函数性质与解方程()0f x =，可得结论．【详解】（1）由题意22log 1,1()32,1x x f x x x x +≥ =++< ， 1x ≥时，2()log 1f x x =+单调递增，min ()(1)1f x f ==， 1x <时，2231()32()24f x x x x =++=+−，min 31()()24f x f =−=−， 所以32x =−时，min 1()4f x =−；（2）若0a =，则22log ,1(),1x x f x x x ≥ = <，恰有两个零点0和1，满足题意，若0a >，则1x ≥时，2()log 0f x x a a =+≥>无零点， 但1x <时，22()32f x x ax a =++有两个零点a −和2a −，满足题意，当0a <时，则1x ≥时，2()log f x x a =+是增函数，min ()0f x a =<，有一个零点， 1x <时，由22()320f x x ax a =++=得x a =−或2x a =−，因为()f x 只有两个零点，所以121a a −< −≥，解得112a −<≤−， 综上，a 的取值范围是1(1,][0,)2−−+∞ ．【点睛】本题考查求分段函数的最值，由分段函数的零点个数求参数取值范围．解题时需分类讨论，按分段函数的定义分类讨论．14. 如图所示，在△ABC 中，AB =AC =2，AD DC = ，2DE EB =，AE 的延长线交BC 边于点F ，若45AF BC ⋅=− ，则AE AC ⋅= ____.【答案】229【解析】【分析】过点D 做DG AF ,可得16EF AF =，15BF BC =，4155AF AB AC =+ 由45AF BC ⋅=− 可得2cos 3BAC ∠=，可得541()655AE ACAB AC AC ⋅=+⋅ ，代入可得答案. 【详解】解：如图，过点D 做DG AF ,易得：13EF BE DG BD ==,13EF DG =,12DG CD AF AC ==,故12DG AF =,可得：16EF AF =， 同理：12BF BE FG ED ==,11FG AD GC CD ==,可得15BF BC =, 1141()5555AF AB BF AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+−=+ ,由45AF BC ⋅=− ，可得22411424()()555555AB AC AC AB AC AB AB AC +⋅−=−+⋅=− , 可得：14244422cos 5555BAC ×−×+××∠=−,可得：2cos 3BAC ∠=， 255412122122()2246655353369AE AC AF AC AB AC AC AB AC AC ⋅=⋅=+⋅=⋅+=×××+×= ,故答案为：229. 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算和平面向量的数量积，由题意作出DG AF 是解题的关键.四、解答题（共77分）15. 如图1，在平面四边形PBCD 中，已知BC PB ⊥，PD CD ⊥，6PB =，2BC =，2DP CD =，DA PB ⊥于点A .将PAD △沿AD 折起使得PA ⊥平面ABCD ，如图2，设MD PD λ=（01λ≤≤）.（1）若23λ=，求证：PB //平面MAC ； （2）若直线AM 与平面PCD，求λ的值. 【答案】（1）证明见解析 （2）12λ= 【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可证明；（2）利用空间向量的坐标表示，表示出线面夹角的余弦值即可求解. 【小问1详解】在平面四边形PBCD 中，BC PB ⊥，6PB =，2BC =，所以CP =tan BPC ∠= 又PD CD ⊥，2DP CD =，所以CD =，PD =，1tan 2DPC ∠=， 所以()1123tan tan 111123BPD BPC DPC +∠=∠+∠==−×，所以45BPD ∠=°. 所以在Rt PAD △中，易得4PA AD ==. 因为DA PB ⊥，BC PB ⊥，所以//AD BC .在四棱锥P ABCD −中，连接BD ，设BD AC F ∩=，连接MF ，因为23λ=，所以2DMMP =， 又2AD DFBC FB==，所以MF PB ∥. 因为MF ⊂平面MAC ，PB ⊄平面MAC ，所以PB ∥平面MAC .【小问2详解】由题意易知AB ，AD ，AP 两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,2,0C ，()0,4,0D ，()0,0,4P ， 则()2,2,0CD =− ，()0,4,4PD =−.设平面PCD 法向量为(),,n x y z =，则00n CD n PD ⋅= ⋅=，即220440x y y z −+= −= ， 令1x =，得11y z == ，即()1,1,1n = . 由MD PD λ=，得()0,4,4MD λλ=− ， 故()0,44,4M λλ−，()0,44,4AM λλ=−.由直线AM 与平面PCD，的得cos ,AM n AM n AM n⋅==，解得12λ=. 16. 如图，直三棱柱111ABC A B C −的体积为1，AB BC ⊥，2AB =，1BC =．（1）求证：11BC A C ；（2）求二面角11B A C B −−的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2【解析】【分析】（1）法一：由线面垂直证明即可；法二：用空间直角坐标系证明即可；（2）法一：过O 作1OH A C ⊥于H ，连接BH ，由已知得出BHO ∠为二面角11B A C B −−的平面角，求解即可；法二：建立空间直角坐标系求解． 【小问1详解】直三棱柱111ABC A B C −的体积为：111121122V AB BC AA AA =×⋅⋅=×××=， 则11AA BC ==，四边形11BCC B 为正方形，法一：在直棱柱111ABC A B C −中，1BB ⊥面ABC ，11AB A B ∥， 又AB ⊂平面ABC ，则1AB BB ⊥，因为AB BC ⊥，1AB BB ⊥，1BB BC B = ，1,BB BC ⊂平面11BCC B ， 所以AB ⊥平面11BCC B ，又1BC⊂平面11BCC B ， 所以1AB BC ⊥，因为11AB A B ∥，所以11A B ⊥1BC ， 在正方形11BCC B 中，有11BC B C ⊥，因为11BC B C ⊥，11A B ⊥1B C ，1111A B B C B = ，111,A B B C ⊂平面11A CB ， 所以1⊥BC 平面11A CB ，又1A C ⊂平面11A CB ， 所以11BC A C ．法二：直棱柱111ABC A B C −，1BB ⊥平面ABC ，又AB BC ⊥，以B 为原点，BC ，BA ，1BB 所在直线为x 轴，y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， 则()0,0,0B ，()10,0,1B ，()1,0,0C ，1(0,2,1)A ，1(1,0,1)C ，1(1,0,1)BC =，1(1,2,1)A C =−− ，11110(2)1(1)0BC A C ⋅=×+×−+×−=，所以11BC A C ．【小问2详解】由（1）得11BC A C ，设11B C BC O = ，在11A B C 中，过O 作1OH A C ⊥于H ，连接BH ，因为1OH A C ⊥，11BC A C ，1,OH BC ⊂平面BHO ，且1OH BC O ∩=， 所以1A C ⊥平面BHO ，又BH ⊂平面BHO ，所以1AC BH ⊥，所以BHO ∠为二面角11B A C B −−的平面角， 因为11Rt Rt COH CA B ∽△△，111CA CO OH A B =，得OH = 又在Rt BOH中，BO =BH =，cos OH BHO BH ∠=， 所以二面角11B A C B −−法二：()0,0,0B ，()10,0,1B ，()C ，1(0,2,1)A ，1(1,0,1)C ，(1,0,0)BC =，1(0,2,1)BA = ，设平面1BCA 的法向量：1111(,,)n x y z = ， 则111111020n BC x n BA y z ⋅== ⋅+ ，取11y =，得1(0,1,2)n =− ，1(1,0,1)B C=−，11(0,2,0)B A = ，设面11B CA 的法向量2222(,,)n x y z = ， 则21222112020n B C x z n B A y ⋅=−= ⋅== ，取21x =，得2(1,0,1)n = ， 设二面角11B A C B −−的大小为θ，则：121212|||cos ||cos ,|||||n n n n n n θ⋅=<>==因为θ为锐角，所以二面角11B A C B −−17. 如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，AB =2，AD=BAD =90°． （Ⅰ）求证：AD ⊥BC ；（Ⅱ）求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值； （Ⅲ）求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．【答案】(Ⅰ)证明见解析；． 【解析】【详解】分析：（Ⅰ）由面面垂直的性质定理可得AD ⊥平面ABC ，则AD ⊥BC ．（Ⅱ）取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND ．由几何关系可知∠DMN （或其补角）为异面直线BC 与MD 所成的角．计算可得12MNcos DMN DM∠==．则异面直线BC 与MD（Ⅲ）连接CM ．由题意可知CM ⊥平面ABD ．则∠CDM 为直线CD 与平面ABD所成的角．计算可得CMsin CDM CD∠=．即直线CD 与平面ABD． 详解：（Ⅰ）证明：由平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC ∩平面ABD =AB ，AD ⊥AB ，可得AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥BC ．（Ⅱ）取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND ．又因为M 为棱AB 的中点，故MN ∥BC ．所以∠DMN （或其补角）为异面直线BC 与MD 所成的角．在Rt △DAM 中，AM =1，故DMAD ⊥平面ABC ，故AD ⊥AC ． 在Rt △DAN 中，AN =1，故DN．在等腰三角形DMN 中，MN =1，可得12cos MN DMN DM ∠==． 所以，异面直线BC 与MD（Ⅲ）连接CM ．因为△ABC 为等边三角形，M 为边AB 的中点，故CM ⊥AB ，CMABC ⊥平面ABD ，而CM ⊂平面ABC ，故CM ⊥平面ABD ．所以，∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成的角．Rt △CAD 中，CD=4．在Rt △CMD中，sin CM CDM CD ∠=． 所以，直线CD 与平面ABD点睛：本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．18. 棱柱1111ABCD A B C D −的所有棱长都等于4，60ABC ∠=°，平面11AA C C ⊥平面ABCD ，160A AC ∠=°.（1）证明：1DB AA ⊥；（2）求二面角1D AA B −−的平面角的余弦值；（3）在直线1CC 上是否存在点P ，使//BP 平面11DA C ？若存在，求出点P 的位置.【答案】（1）证明见解析；（2）35；（3）点P 在1C C 的延长线上且使1C C CP =. 【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，结合10AA BD ⋅=，即可证得1DB AA ⊥；在（2）分别求得平面1AA D 和平面1AA B 的一个法向量，解向量的夹角公式，即可求解；（3）设1CP CC λ= ，求得BP 的坐标和平面11DA C 的法向量，结合30n BP ⋅= ，求得1λ=−，即可得到结论.【详解】由题意，连接BD 交AC 于O ，则BD AC ⊥，连接1A O ，在1AAO 中，14AA =，2AO =，160AAO ∠=°，∴2221112cos 60AO AA AO AA AO =+−=°⋅22211AO A O AA +=， ∴1A O AO ⊥，由于平面11AA C C ⊥平面ABCD ，所以1A O ⊥底面ABCD ，所以以OB 、OC 、1OA 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则()0,2,0A −，()B ，()0,2,0C，()D −，(10,0,A ， （1）由于()BD =−，(10,2,AA =，()2,0AB = ， 则10AA BD ⋅= ，∴1BD AA ⊥.（2）设平面1AA D 的法向量()2,,n x y z = ，则21200n AA n AD ⋅= ⋅=，即0y y += + ，取1x =，可得()21n =− ， 同理，可得平面1AA B的法向量()11,n = ， 所以1212123cos 5n n n n n n ⋅⋅==− ， 又由图可知成钝角，所以二面角1D A A B −−的平面角的余弦值是35. （3）假设在直线1CC 上存在点P ，使//BP 平面11DA C ，设1CP CC λ= ，(),,P x y z ，则()(,2,0,2,x y z λ−=，得(0,22,)P λ+，(22,)BP λ−+， 设3n ⊥ 平面11DA C ，则31131n A C n DA ⊥ ⊥ ，设()3333,,n x y z = ，得到333200y = +=，不妨取()31,0,1n =− ，又因为//BP 平面11DA C ，则30n BP ⋅= 即0−=得1λ=−.即点P 在1C C 的延长线上且使1C C CP =.【点睛】本题主要考查了空间向量在线面位置关系的判定与证明中的应用，以及直线与平面所成角的求解，其中解答中熟记空间向量与线面位置关系的关系，以及线面角的求解方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力.19. 已知非空集合A 是由一些函数组成，满足如下性质：①对任意()f x A ∈，()f x 均存在反函数1()f x −，且1()f x A −∈；②对任意()f x A ∈，方程()f x x =均有解；③对任意()f x 、()g x A ∈，若函数()g x 为定义在R 上的一次函数，则(())f g x A ∈.（1）若1()()2x f x =，()23g x x =−，均在集合A 中，求证：函数12()log (23)h x x A =−∈； （2）若函数2()1x a f x x +=+（1x ≥）在集合A 中，求实数a 的取值范围； （3）若集合A 中的函数均为定义在R 上的一次函数，求证：存在一个实数0x ，使得对一切()f x A ∈，均有00()f x x =.【答案】（1）见详解；（2）[]1,3a ∈；（3）见详解； 【解析】【分析】（1）由1()()2x f x A =∈，根据性质①可得112()log f x x A −=∈，且存在00x >，使得 1002log x x =，由()23g x x A =−∈，且为一次函数，根据性质③即可证明.（2）由性质②，方程()211x a x x x +=≥+，即a x =在[)1,x ∈+∞上有解，可得1a ≥，变形21()1211x a a f x x x x ++==++−++，[)()1,x ∈+∞.与2的关系分类讨论，利用基本不等式的性质即可求解.（3）任取()1f x ax b =+，()2f x cx d A =+∈，由性质①,0a c ≠，不妨设,1a c ≠，（若1a =，则0b =，()1f x x =）， 由性质③函数()()()()12g x f f x acx ad b A ==++∈， 由性质①：()()1x bc d h x A ac −−+=∈，由性质③：()()()()()1()acx bd b bc d ad b bc d h g x x A ac ac−++−++−+===∈ 由性质②方程：()()ad b bc d x x ac+−++=，可得ad b bc d +=+，即11b d a c =−−，即可得证. 【详解】（1）由1()()2x f x A =∈，根据性质①可得112()log f x x A −=∈，且存在00x >，使得 1002log x x =，由()23g x x A =−∈，且为一次函数，根据性质③可得：()()112()log (23)hx x f g x A −=−=∈.（2）由性质②，方程()211x a x x x +=≥+，即a x =在[)1,x ∈+∞上有解，1a ∴≥， 由22111()12111x a x a a f x x x x x +−+++===++−+++[)()1,x ∈+∞,2>，3a >时，112a −>，且()112a f f − =， ∴此时()f x 没有反函数，即不满足性质①.2≤，13a ≤≤时，函数()f x 在[)1,+∞上单调递增，∴此时()f x 有反函数，即满足性质①.综上：[]1,3a ∈.（3）任取()1f x ax b =+，()2f x cx d A =+∈，由性质①,0a c ≠，不妨设,1a c ≠，（若1a =，则0b =，()1f x x =），由性质③函数()()()()12g x f f x acx ad b A ==++∈， 由性质①：()()1x bc d h x A ac −−+=∈，由性质③：()()()()()1()acx bd b bc d ad b bc d h g x x A ac ac−++−++−+===∈ 由性质②方程：()()ad b bc d x x ac+−++=， ∴ad b bc d +=+，即11b d ac =−−， ()1f x x =，可得ax b x +=，1b x a =−, ()2f x x =，可得cx d x +=，1d x c =−, 由此可知：对于任意两个函数()1f x ，()2f x ，存在相同的0x 满足：()()10020f x x f x =，∴存在一个实数0x ，使得对一切()f x A ∈，均有00()f x x =.质，难度较大.。
高二数学份月考成绩分析及反思汇编
高二数学第一次月考成绩分析及反思闫桂茹2010.10.17高二的月考结束，题量适中，难度不大。
成绩不理想，为全面反思教学得失，促进教学质量的进一步提升，下面就针对高二8班数学考试情况加以分析。
一、试卷结构；（1）试卷：本试卷考察内容以必修三为主，另加立体几何、三角函数、数列等内容。
算法占20分，统计占30分，概率占44分，立体几何占17分，数列占17分，三角占10分，综合题占12分。
（2）本试卷难度不大，考察了学生对基础知识、基本技能的掌握情况，考察了学生分析问题、解决问题的基本能力。
二、班级情况分析1．励志班8班优生数39人，平均分125.5；高分较少，140分以上只有8人，比21班少7人。
130分以上3个班基本上持平。
2．选择题失分多的是10题，，解答题18题、21题概率题概率得分率低。
三、失分情况分析1、基础不牢，主要反映在选择题和填空题。
例如15 题、18题、21题等2、对知识的理解不深入，不透彻，基本方法掌握不到位，应变能力差。
如10题、20题等3、审题不清，题意理解有误。
如15题、18、21题4、解题不规范。
解题不规范反映在解答题上，主要表现为丢步漏步，或有思路但不知如何表述。
5、学生计算能力差，几乎所有学生在计算上都有不同程度的失分现象。
四、对课堂教学情况的反思1、有时课堂效率低；2、讲得多，练得少3、课下督促检查不及时。
五、改进措施1、在数学教学中，充分调动学生的学习主动性、积极性，培养他们学习数学的兴趣，提高课堂效率。
2、加强基础，强化习惯。
重视数学基础，加强数学基本功训练是学好数学的法宝。
在平时的教学中多帮学生复习以往的知识，经常性地对学生进行查漏补缺，科学编制一些简易又能强化学习结果的方案，有的放矢，不定时的进行检测、评估、矫正。
同时注意学生学习习惯的养成教育，养成经常复习的习惯，认真做事的习惯，如验算、认真审题、检验等。
3、注重小组合作的课堂教学，充分发挥学生学习的主动性、积极性、多给他们时间空间，多给他们锻炼的机会，使课堂真正的动起来、活起来。
2024-2025学年广安市二中高二数学上学期第一次月考试卷及答案解析
2024-2025学年广安市二中高二数学上学期第一次月考试卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第一部分（选择题共58分）一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.已知复数()i 17i z =-，则z =（）A.7i -+B.7i-- C.7i+ D.7i-【答案】D 【解析】【分析】根据复数乘法运算和共轭复数概念可得.【详解】因为()i 17i 7i z =-=+，所以7i z =-.故选：D 2.直线3:13l y x =-的倾斜角为（）A.30oB.60oC.120D.150【答案】A 【解析】【分析】由题意可知直线的斜率，根据直线的斜率求解倾斜角即可.【详解】设直线l 的倾斜角为θ，0180θ≤< ，由题意可知，直线l 的斜率为3，所以tan 3θ=，即30θ= .故选：A .3.孝感市某高中有学生1200人，其中高一年级有学生400人，高二年级有学生600人，现采用分层随机抽样的方法抽取120人进行问卷调查，则被抽到的高二年级学生人数比高一年级学生人数多（）A .20B.30C.40D.50【答案】A 【解析】【分析】根据题意先求抽样比，进而求高一，高二被抽到的学生生人数即可求解.【详解】抽样比等于1201120010=，于是，高一被抽到的学生人数为14004010⨯=，高二被抽到的学生人数为16006010⨯=，所以高二年级学生人数比高一年级学生人数多604020-=.故选：A.4.已知直线l 的一个方向向量()2,1,3m =-，且直线l 过点()0,,3A a 和()1,2,B b -两点，则a b +=（）A.0B.1C.32D.3【答案】D 【解析】【分析】首先求出AB，依题意//AB m ，则AB m λ= ，根据空间向量共线的坐标表示计算可得.【详解】因为直线l 过点()0,,3A a 和()1,2,B b -两点，所以()1,2,3AB a b =---，又直线l 的一个方向向量()2,1,3m =- ，所以//AB m ，所以AB m λ=，所以()()1,2,32,,3a b λλλ---=-，所以21233a b λλλ=-⎧⎪-=-⎨⎪=-⎩，解得123232a b λ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以3a b +=.故选：D5.空间内有三点()()()3,1,4,2,1,1,1,2,2P E F -，则点P 到直线EF 的距离为（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】求出()1,1,1EF =-，得到直线EF 的一个单位方向向量，利用点到直线距离公式得到答案.【详解】因为()1,1,1EF =- ，所以直线EF 的一个单位方向向量为()1,1,13u =- ．因为()1,0,5PE =- ，所以点P 到直线EF =．故选：A6.在ABC V 中，60,2BAC BC AB ∠=︒==，且有12AM AB =，则线段CM 的长为（）A.2B.2C.D.1【答案】D 【解析】【分析】先由余弦定理求出1AC =，可得ABC V 为直角三角形，由12AM AB = 可得M 为AB 的中点，进而由斜边上的中线等于斜边一半可得CM 的长.【详解】在ABC V 中，由余弦定理可得2222cos BC AC AB AB AC BAC =+-⋅∠，则2214222AC AC =+-⨯⨯，即2210AC AC -+=，解得1AC =.则由22212+=即222AB AC BC =+，可得CA CB ⊥，又12AM AB =，可知M 是AB 的中点，故CM 即为斜边AB 上的中线，则112CM AB ==.故选：D.7.已知直线l 的倾斜角为α，并且0120α≤<︒︒，直线l 的斜率k 的范围是（）A.0k <≤B.k >C.0k ≥或k <D.0k ≥或3k <-【答案】C【解析】【分析】根据倾斜角与斜率的关系可求得斜率的取值范围.【详解】因为斜率tan k α=，且0120α≤<︒︒，其中90α=︒时直线l 无斜率，当090α︒≤<︒时，得0k ≥；当90120α︒<<︒时，得k <；故选：C.8.已知四棱锥16,3A BCDE V CD -==，4BC =，CE 平分BCD ∠，点P 在AC 上且满足3AC AP =，则三棱锥A DEP -的体积为（）A.87B.167C.85D.165【答案】B 【解析】【分析】根据题意，设点A 到平面BCDE 的距离为d ，P 到平面ADE 的距离为h ，则有()111633A BCDE BCE CDE BCDE V d S d S S -=⨯=⨯+= 四边形，利用三角形面积公式可得A CDE V -，又由点P 在AC 上且满足3AC AP =，可得P 到平面AED 的距离，结合三棱锥体积公式计算可得答案．【详解】根据题意，设点A 到平面BCDE 的距离为d ，P 到平面ADE 的距离为h ，则有()111633A BCDE BCE CDE BCDE V d S S S -=⨯=⨯+= 四边形，而1sin 2BCE S BC CE BCE =⨯⨯⨯∠ ，1sin 2CDE S CD CE DCE =⨯⨯⨯∠ ，又由3CD =，4BC =，CE 平分BCD ∠，则43BCE CDE S S =，则13134837377A CDE CDE A BCDE BCDE V d S d S V --⎛⎫=⨯=⨯⨯=⨯= ⎪⎝⎭ 四边形；故487C ADE A CDE V V --==，而13C ADE ADE V h S -=⨯ ，则有14837ADE h S ⨯= ，又由点P 在AC 上且满足3AC AP =，故P 到平面AED 的距离为3h，则有11637P ADE C ADE V V --==，故11637A DEP P ADE C ADE V V V ---===．故选：B ．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（）A.任意一条直线都有倾斜角B.直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大C.若一条直线的倾斜角为α，则该直线的斜率为tan αD.斜率相等的两直线平行【答案】BCD 【解析】【分析】根据直线的倾斜角和斜率的定义一一判断即可.【详解】任何一条直线都存在倾斜角，A 正确；钝角大于锐角，但是钝角对应的斜率小于锐角对应的斜率，B 错误；若一条直线的倾斜角90α= ，则斜率不存在，C 错误；斜率相等的两条直线可能是重合或平行，D 错误；故选:BCD.10.已知甲､乙两位同学在高一年级六次考试中的数学成绩的统计如图所示，下列说法正确的是（）A.若甲､乙两组数据的平均数分别为12,x x ，则12x x >B.若甲､乙两组数据的方差分别为2212,s s ，则2212s s >C.甲成绩的中位数大于乙成绩的中位数D.甲成绩的极差小于乙成绩的极差【答案】ACD 【解析】【分析】对四个选项一一判断：根据散点图直接判断选项A 、B 、D ；分析甲、乙的中位数特点，即可判断C.【详解】由散点图的点的分布可知，甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学,其他次考试成绩都高于乙同学,所以12x x >，故选项A 正确；由散点图点的分步变化趋势可知,甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定,由方差的意义可得2212s s <.故选项B错误；因为统计了6次数学成绩，故将一组数据从小到大排序后，第三个和第四个数据的平均数为该组数据的中位数，由散点图知，甲同学成绩排序后的第三次和第四次成绩均在90以上，而乙同学成绩排序后的第三次和第四次成绩均在90以下，故甲成绩的中位数大于乙成绩的中位数.故选项C 正确；因为极差为数据样本的最大值与最小值的差,所以甲同学成绩的极差小于乙同学成绩的极差,故选项D 正确.故选：ACD.11.在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，动点P 在体对角线1BD 上（含端点），则下列结论正确的有（）A.当P 为1BD 中点时，APC ∠为锐角B.存在点P ，使得1BD ⊥平面APCC.AP PC +的最小值3D.顶点B 到平面APC的最大距离为6【答案】ABC 【解析】【分析】依题意建立空间直角坐标系，设()101BP BD λλ=≤≤，当P 为1BD 中点时，根据cos PA PC APC PA PC ⋅∠=⋅ 判断cos APC ∠得符号即可判断A ；当1BD ⊥平面APC ，则有110BD AP BD CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，从而求出λ可判断B ；当11,BD AP BD CP ⊥⊥时，AP PC +取得最小值，结合B 即可判断C ；利用向量法求出点B 到平面APC 的距离，分析即可判断D.【详解】如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，则()()()()11,0,0,1,1,0,0,1,0,0,0,2A B C D ，设()101BP BD λλ=≤≤，则()11,1,2BD =-- ，故()1,,2BP BD λλλλ==--，则()()()0,1,0,,2,1,2AP AB BP λλλλλλ=+=+--=--，()()()1,0,0,,21,,2CP CB BP λλλλλλ=+=+--=--，对于A ，当P 为1BD 中点时，12λ=，则11,,122AP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，11,,122CP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，则11,,122PA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，11,,122PC ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以1cos 03PA PC APC PA PC⋅∠==>⋅ ，所以APC ∠为锐角，故A 正确；当1BD ⊥平面APC ，因为,AP CP ⊂平面APC ，所以11,BD AP BD CP ⊥⊥，则11140140BD AP BD CP λλλλλλ⎧⋅=+-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，解得16λ=，故存在点P ，使得1BD ⊥平面APC ，故B 正确；对于C ，当11,BD AP BD CP ⊥⊥时，AP PC +取得最小值，由B 得，此时16λ=，则151,,663AP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，511,,663CP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以6AP CP == ，即AP PC +的最小值为303，故C 正确；对于D ，()()0,1,0,1,1,0AB AC =- ，(),1,2AP λλλ=--，设平面APC 的法向量(),,n x y z =，则()0120n AC x y n AP x y z λλλ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+-+=⎪⎩ ，可取()2,2,21n λλλ=- ，则点B 到平面APC的距离为AB n n ⋅= 当0λ=时，点B 到平面APC 的距离为0，当01λ<≤2==，当且仅当12λ=时，取等号，所以点B 到平面APC的最大距离为2，故D 错误.故选：ABC.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是建立空间直角坐标系，求得(),1,2AP λλλ=--，()1,,2CP λλλ=--，从而利用空间向量法逐一分析判断各选项即可.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共三小题，每小题5分，共15分.12.已知向量(2,,4),(1,4,2)a m b =-=- ，且a b ⊥ ，则实数m =______.【答案】52##2.5【解析】【分析】根据向量垂直的坐标表示可直接构造方程求得结果.【详解】因为a b ⊥ ，所以·2480a b m =-+-= ，解得52m =.故答案为：52.13.已知,,,A B C D 四点共面且任意三点不共线，平面ABCD 外一点P ，满足2(,PD AB PB PC μλλμ=++ 均大于0)，则11λμ+的最小值________.【答案】4【解析】【分析】根据向量的线性表示，结合共面的性质，可得1μλ+=，即可利用基本不等式求解.【详解】由2PD AB PB PC μλ=++可得()()222PD PB PA PB PC PA PB PC μλμλ=-++=-+++ ,,,,A B C D 四点共面且任意三点不共线，所以221μλ-+++=，故1μλ+=，由于,λμ均为正数，所以()11224μλμλλμλμ⎛⎫++=++≥+⎪⎝⎭，当且仅当μλλμ=，即12μλ==等号成立，故答案为：414.如图，在四面体ABCD 中，ABD △与BCD △均是边长为的等边三角形，二面角A BD C --的大小为90︒，则四面体ABCD 的外接球表面积为______.【答案】20π【解析】【分析】设1O 为BCD △的中心，O 为四面体ABCD 的外接球的球心，过O 作OG AM ⊥，然后在Rt AGO △中，由222GA GO OA +=求出外接球的半径，再由球的表面积公式计算可得.【详解】如图所示：设1O 为BCD △的中心，O 为四面体ABCD 的外接球的球心，则1OO ⊥平面BDC ．因为二面角A BD C --的大小为90︒，即平面ABD ⊥平面BCD ，设M 为线段BD 的中点，外接球的半径为R ，连接,,AM CM OA ，过O 作OG AM ⊥于点G ，易知G 为ABD △的中心，则11OO OG MO MG ===，因为3332MA =⨯=，故1313MG OG ==⨯=，2GA =，在Rt AGO △中，222GA GO OA +=，故22212R +=，则5R =所以外接球的表面积为24π20πS R ==，故答案为：20π.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.111ππ1,2,23AB AD AA BAD BAA DAA ===∠=∠=∠=．（1）用向量1,,AB AD AA 表示向量1BD ，并求1BD；（2）求1cos ,BD AC ．【答案】（1）11BD AD AA AB =+-（2）3【解析】【分析】（1）借助空间向量的线性运算与模长与数量积的关系计算即可得；（2）结合题意，借助空间向量的线性运算与夹角公式计算即可得.【小问1详解】111A BD D AB AD AA AB =-=+-，则2222211111()222BD AD AA AB AD AA AB AD AA AD AB AB AA =+-=+++⋅-⋅-⋅111412120221622=+++⨯⨯⨯--⨯⨯⨯=，所以1BD =【小问2详解】由空间向量的运算法则，可得AC AB AD =+ ，因为11,2AB AD AA ===且11ππ,23BAD BAA DAA ∠=∠=∠=，所以AC====，11()()BD AC AD AA AB AB AD⋅=+-⋅+2211AD AB AD AA AB AA AD AB AD AB=⋅++⋅+⋅--⋅22ππππ11cos121cos21cos111cos22332=⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯--⨯⨯=，则1113cos,3BD ACBD ACBD AC⋅==⋅.16.已知(1,2),(5,0),(3,4)A B C.（1）若,,,A B C D四点可以构成平行四边形，求点D的坐标；（2）在（1）的条件下若点D在第四象限的情况下，判断,,,A B C D构成的平行四边形是否为菱形.【答案】（1）(1,6)-或(7,2)或(3,2)-（2）不是菱形【解析】【分析】（1）分四边形ABCD、ABDC、ACBD是平行四边形三种情况讨论，分别利用对边的斜率相等求解即可；（2）分别验证对角线是否垂直，即对角线斜率乘积是否为1-即可.【小问1详解】由题意得021512ABk-==--，42131ACk-==-，40235BCk-==--，设(),D a b，若四边形ABCD是平行四边形，则CD ABk k=，AD BCk k=，即4132221baba-⎧=-⎪⎪-⎨-⎪=-⎪-⎩，解得16ab=-⎧⎨=⎩，即()1,6D-.若四边形ABDC是平行四边形，则CD ABk k=，BD ACk k=，即4122015b a b a -⎧=-⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，解得72a b =⎧⎨=⎩，即()7,2D .若四边形ACBD 是平行四边形，则BD AC k k =，AD BC k k =，即015221b a b a -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=-⎪-⎩，解得32a b =⎧⎨=-⎩，即()3,2D -.综上所述，点D 的坐标为()1,6-或()7,2或()3,2-.【小问2详解】若D 的坐标为()3,2-，因为12AB k =-，直线CD 的斜率不存在，所以平行四边形ACBD 不是菱形.17.四棱锥M CDEF -中，平面MCD ⊥平面CDEF ，//DE CF ，24DE CF ==，CF EF CD ==，MCD △是正三角形，点N 是ME的中点．（1）求证：//FN 平面MCD ；（2）求点D 到平面MCE 的距离．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）记点H 是MD 的中点，连接,HN CH ，利用线线平行证明线面平行；（2）连接CE ，过点C 作CP DE ⊥于点P ，可证平面MCD ⊥平面MCE ，作DQ CM ⊥于点Q ，点Q 到平面MCE 的距离为DQ .【小问1详解】证明：记点H 是MD 的中点，连接,HN CH ，点N 是ME 的中点，∴//NH DE ，且12NH DE =，//CF DE ，且12CF DE =，∴//NH CF ，且NH CF =，∴四边形CFNH 为平行四边形，∴//CH FN ，CH ⊂平面,MCD FN ⊄平面MCD ，∴//FN 平面MCD ．【小问2详解】解：连接CE ，过点C 作CP DE ⊥于点P ，由题知，11()(42)122DP DE CF =-=⨯-=，∴3CDP π∠=，∴CE ===，∴222CD CE DE +=，∴CE CD ⊥，∴平面MCD ⊥平面CDEF ，平面MCD 平面CDEF CD =，∴CE ⊥平面MCD ，又CE ⊂平面CME ，∴平面MCD ⊥平面MCE ，作DQ CM ⊥于点Q ，又平面MCD 平面MCE CM =，则DQ ⊥平面MCE ，即点Q 到平面MCE 的距离为DQ ．由MCD △是正三角形，且2CD =得3DQ =∴点D 到平面MCE 318.某高校承办了成都世乒赛志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[85,95]，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三､四､五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.（1）求,a b 的值；（2）估计这100名候选者面试成绩的众数､平均数和60%分位数（分位数精确到0.1）；（3）在第四､第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率.【答案】（1）0.005a =，0.025b =（2）众数为70，平均数为69.5，60%分位数为71.7（3）25【解析】【分析】（1）由第三､四､五组的频率之和为0.7，所有组频率之和为1，列方程求,a b 的值；（2）由频率分布直方图中众数､平均数和百分位数的定义公式计算；（3）根据分层抽样确定的人数，解决古典概型概率问题.【小问1详解】因为第三､四､五组的频率之和为0.7，所以()0.0450.020100.7a ++⨯=，解得0.005a =，所以前两组的频率之和为10.70.3-=，即()100.3a b +⨯=，所以0.025b =.【小问2详解】众数为70,平均数为500.05600.25700.45800.2900.0569.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，所以60%分位数在第三组，且为0.60.3651071.70.45-+⨯≈.【小问3详解】第四､第五两组志愿者分别有20人，5人，采用分层抽样的方法从中抽取5人，则第四组抽4人，记为a b c d ,,,，第五组抽1人，记为A ，则从这5人中选出2人，有()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a A b c b d b A c d c A d A 共10种结果，两人来自不同组有()()()(),,,,,,,a A b A c A d A 共4种结果，所以两人来自不同组的概率为42105P ==.19.在Rt ABC △中，90C ∠=︒，3BC =，6AC =，,D E 分别是,AC AB 上的点，满足DE BC ∥且DE 经过ABC V 的重心，将ADE V 沿DE 折起到1A DE △的位置，使1A C CD ⊥，M 是1A D 的中点，如图所示.（1）求证：1A C ⊥平面BCDE ；（2）求CM 与平面1A BE 所成角的大小；（3）在线段1AC 上是否存在点N ，使平面CBM 与平面BMN 成角余弦值为34？若存在，求出CN 的长度；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）π4（3或【解析】【分析】（1）应用线面垂直的判定定理证明线面垂直关系，再由性质定理得到线线垂直关系，进而再利用判定定理证明所求证的线面垂直关系；（2）以CD 为x 轴，CB 为y 轴，1CA 为z 轴，建立空间直角坐标系.用向量法求CM 与平面1A BE 所成角的大小；（3）假设存在点N ，使平面CBM 与平面BMN 成角余弦值为34，设1CN CA λ= ，分别求解两平面的法向量，用λ表示余弦值解方程可得.【小问1详解】因为在Rt ABC △中，90C ∠=︒，DE BC ∥，且BC CD ⊥，所以DE CD ⊥，DE AD ⊥，则折叠后，1DE A D ⊥，又11,,A D CD D A D CD =⊂ 平面1A CD ，所以DE ⊥平面1A CD ，1A C ⊂平面1A CD ，所以1DE A C ⊥，又已知1A C CD ⊥，CD DE D = 且都在面BCDE 内，所以1A C ⊥平面BCDE ；【小问2详解】由（1），以CD 为x 轴，CB 为y 轴，1CA 为z 轴，建立空间直角坐标系-C xyz .因为2AD CD =，故223DE BC ==，由几何关系可知，2CD =，14A D =，1AC =，故()0,0,0C ，()2,0,0D ，()2,2,0E ，()0,3,0B，(10,0,A，(M，(CM =，(10,3,A B =-，(12,2,A E =- ，设平面1A BE 的法向量为(),,n x y z =r ，则1100n A B n A E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即30220y x y ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩，不妨令2y =，则z =，1x =，(1,n = .设CM 与平面1A BE 所成角的大小为θ，则有sin cos ,2CM n CM n CM n θ⋅===，设θ为CM 与平面1A BE 所成角，故π4θ=，即CM 与平面1A BE 所成角的大小为π4；【小问3详解】假设在线段1AC 上存在点N ，使平面CBM 与平面BMN成角余弦值为4.在空间直角坐标系中，(1,BM =-，CM =，1(0,0,CA =，设1CN CA λ=，则(0,0,)CN =，(0,3,0)(0,0,)(0,3,)BN BC CN =+=-+=-，设平面BMN 的法向量为()2222,,n x y z = ，则有2200n BM n BN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222223030x y y z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，不妨令2z =，则22y λ=，263x λ=-，所以(263,2n λλ=-，设平面CBM 的法向量为()3333,,n x y z = ，则有3300n BM n CM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即3333330x y x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，不妨令3z =，则33x =-，30=y，所以(3n =-，若平面CBM 与平面BMN成角余弦值为4.则满足232323cos,4n nn nn n⋅==，化简得22310λλ-+=，解得1λ=或12，即1CN CA=或112CN CA=，故在线段1AC上存在这样的点N，使平面CBM与平面BMN 成角余弦值为34.此时CN的长度为或。
高二数学第一次月考试卷分析与反思
高二数学第一次月考试卷分析与反思开学已将近一个月，为以考促学，以考促教，有效提高学生的学习效率，在年级部的组织下，本周一晚上利用一、二晚自习的时间进行了本学期第一次月考。
考试结束后，数学组教师及时认真阅卷，之后对各班成绩进行详细分析，总结本阶段教学工作的得与失，认真反思，为下一步更好完成教学工作而努力。
一、试卷结构本试卷内容主要以必修五等差数列和等差数列求和为主，选择题占50分，填空题20分，解答题50分，总分120分，试卷难度不大，考查了学生对基础知识、基本技能的掌握情况，在能力方面考查了学生分析问题、解决问题的基本能力。
二、成绩总体分析各班成绩情况不理想，两个清华英才班平均分分别为80.1和79.7，最高分105，总体看分数集中在70-80分之间，高分不多。
选择题失分多的是第9题构造数列，解答题失分严重的是17题，本题学生不能够灵活应用所学知识，导致失分严重，解答题失分严重的是18和19题。
三、失分原因分析（1）基础知识不牢固，主要反映在选择题和填空题上，例如8题、9题，对基础知识的理解不深入、不透彻，基本方法掌握不到位，应变能力差。
（2）审题不清，对题意的理解有误，如18 、17题。
（3）解题不规范，解题不规范反映在解答题。
在解答题中，主要表现为丢、漏步骤，有的同学或有思路，但不知如何把题设表述成数学语言。
（4）学生计算能力较差，几乎所有学生在计算上都有不同程度的失分现象。
这是我们学生普遍存在的问题，也是目前学习数学的一个巨大的障碍。
四、对课堂教学情况的反思（1）有时课堂效率低，讲的多，练的少。
（2）学生学习主动性不强，老师布留的课下作业不能够按时完成，教师课下督促检查不及时、不到位。
五、改进措施（1）在数学教学中充分调动学生的学习主动性、积极性，培养他们学习数学的兴趣，提高课堂效率。
（2）加强基础，强化习惯，重视数学基础教学，加强数学基本功训练是学好数学的法宝，在平时的教学中，多帮助学生复习以往的知识，经常性地对学生进行查漏补缺，科学编制一些简易又能强化学习结果的方案，并不定时地进行检测、评估和矫正。
试卷分析——高二数学
试卷分析高二数学试卷分析一、试题出题整体情况分析：本次月考时间是12月3日举行的，本次试卷出题内容主要是11月份学习的选择性必修二的第三章《圆锥曲线》，但同时试卷中包含10%第一章《空间向量立体几何》内容，15%第二章《直线与圆的方程》内容，第三章内容占到试卷75%。
本次试卷按照基础题、中等题、难度高题比重为7：2：1。
本次所出试题一部分是天津各区今年质量较高试题，一部分试题是根据所练试题改编而来。
从整体来说，本次试卷体现了灵活、开放并且联系学生实际的特点，整个试卷注重了基础知识的训练，体现了“数学联系高考”的理念，让学生整体接触高考题型，应该说内容是非常全面的，难易度也适度，题量也是按照高考题量所出，比较能如实反映出学生的实际数学知识的掌握情况以及运用情况。
同时也考试了学生数学学习技能，还对数学思想进行了渗透。
整体而言，本次试卷质量是有所保证的。
二、学生成绩情况分析：本次考试中，学生最高分是143分，及格人数较少，同时低分学生较多。
我主要从以下几方面去分析：1.本次考试比较匆忙，学生未能进行整体的复习，导致有部分学生对之前的知识有遗忘的情况。
例如第一章、第二章的知识，有部分学生失分情况严重，原因就是对之前所学知识掌握不扎实，导致失分；2.部分学生计算能力较弱，所学知识已经掌握，但因为计算能力较弱，导致计算出错。
计算出错导致后续步骤算不出来，导致失分；3.部分学生对本册三章知识未能建立起树感，对数的领悟、理解能力不达标，没有良好的数学思维，以致失分严重；4.有部分学生在平时的学习当中，不能很好的完成作业，导致对题的理解不到位，缺少熟能生巧的基础，以致失分严重。
三、今后的教学改进方法：1.利用好高效课堂“6+1”模式，加强学生学习过程的落实，培养学生的分析能力，尽量让学生自己动起来，提升学生自主学生意识；2.加强作业落实，改变学生懒惰思想，让学生将已经学会的知识能够转化到卷面上来。
特别是平时的练习题和晚自习的限时练，更要做到扎实落实；3.提升上课效率，加快上课频率，在下次的考试中留出足够的复习时间，温故知新；4.加强数学题的锻炼，让学生自己分析题目，自己设计解题策略，多做分析和编题训练；。
高二数学月考成绩分析
高二数学月考成绩分析1. 引言本次分析的对象是高二数学月考成绩，我们将对学生的成绩分布、优势与劣势、以及可能存在的问题进行深入分析，为后续的教学提供有益的参考。
2. 成绩分布本次月考共吸引了XXX名学生参加，其中最高分为XXX分，最低分为XXX分，平均分为XXX分。
成绩分布如下：3. 优势与劣势分析通过对成绩的深入分析，我们发现以下几个方面的优势与劣势：3.1 优势- 大部分学生在基础题型方面表现良好，错误率较低。
- 一部分学生在解决问题和应用题方面有较强的能力。
3.2 劣势- 部分学生在选择题和填空题方面错误较多，可能对基础知识掌握不够牢固。
- 少数学生在解决问题和应用题方面表现较差，可能需要加强训练。
4. 可能存在的问题通过对本次月考成绩的分析，我们发现以下几个可能存在的问题：- 部分学生可能存在态度不端正，导致在考试中粗心大意，出现低级错误。
- 少数学生可能在方法上存在问题，需要改进策略，提高效率。
- 部分教师在教学方法和内容上可能需要调整，以适应学生的需求。
5. 建议与措施针对上述分析结果，我们提出以下建议与措施：5.1 学生方面- 加强基础知识的，尤其是选择题和填空题部分。
- 提高解决问题的能力，多做应用题训练。
- 端正态度，培养良好的考试惯。
5.2 教师方面- 针对学生的劣势，调整教学内容和方法，加强薄弱环节的训练。
- 关注方法指导，提高学生的效率。
- 定期进行教学质量评估，持续改进教学。
6. 总结本次月考成绩分析揭示了高二学生在数学方面的优势与劣势，为后续的教学提供了有益的参考。
希望通过本次分析，能够引起学生和教师对存在问题的关注，并采取相应措施加以改进，提高教学质量。
高二数学第一学期第一次月考试卷分析
2014-2015学年度高二月考一数学试卷分析一、试题考查的内容和学生失误的分析第1题：考查余弦定理的推论公式，较简单。
学生容易错选C选项，体现了学生对三角函数知识不过关。
第2题：考查等差数列的通项公式，直接代入公式即可，较为简单。
第3题：求等比数列的公比，较简单。
第4题：考查正弦定理，学生容易错选A选项，缺乏对数学问题考虑全面的能力。
第5题：求等差数列的公差，较简单。
第6题：考查等比数列的通项公式以及性质，属于中档题。
第7题：考查三角形的面积公式，学生容易错选A、B选项，对三角函数知识不过关。
第8题：结合正弦定理以及二倍角公式判断三角形形状，学生极容易选错，对问题考虑不全面、对必修四的公式记忆模糊。
属于中上题。
第9题：结合等差数列的性质求前几项和，属于中档题。
第10题：考查解三角形的应用，属于简单题。
第11题：考查等差数列的性质，属于简单题。
第12题：考查余弦定理，需要画图解题，考查图形结合能力。
第13题：由数列的前几项写出通项公式，考查观察法求通项公式，是书本例题。
第14题：观察前几个图案的规律写出第n个图案的个数，考查学生归纳问题转化为数学问题的能力。
第15题：考查正弦定理解三角形。
属于简单题。
学生缺乏对角与边关系的讨论，从而答题不完整；其次学生的运算能力差。
第16题：已知等差数列的两个前几项和，求数列的首项、公差、通项公式、前n项和公式。
是属于等差数列的前n项和公式的直接运用，考查学生对公式的记忆程度，以及对解方程组的熟练程度。
是书本例题的变式题。
第17题：已知数列的前n项公式，求通项公式。
考查前n项和公式与通项公式的联系，以及判断数列是否为等差数列的方法。
是书本例题的直接变式题。
第18题：已知数列的递推公式求通项公式，考查学生对累加法的掌握程度。
第19题：考查正弦定理的应用和三角形的面积公式。
学生对于运用性题目掌握程度不够。
第20题：考查等差数列的性质，以及前n项和取得最大值的序号n的值。
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岑巩二中高二数学第一次月考试卷质量分析
本次数学月考范围是直线方程，圆的方程，程序框图三个部分。
这三大部分特点是：概念多，内容多，知识点多，容量大。
而且比较抽象，与之前学习的数学明显不一样，很多学生比较不适应。
加上学生数学基础较薄弱，运算能力低，思维层次有限，考试成绩不是很理想。
现将本次月考试卷的考试情况作如下分析：
一、试卷的评价
1、试卷的基本情况：
数学考试时间为120分钟。
数学学科的题型包括单项选择题、填空题和解答题。
2、试卷的基本特点：
（1）基础性强。
试题立足于数学基础知识，以重点知识来设计题目。
重在考查学生对数学基础知识的掌握情况。
如选择题的第二题，第六题，第十题。
都是课本上的重点知识。
（2）标高适度。
基于目前二中学生的学习能力和数学教学的现状，试卷没出现较大的偏题、怪题，整卷的试题难度应该说是适中的。
（3）题目设计具有简明性。
题意指向明确，题目的表述较清楚，简单明了，学生审题时一目了然。
二、试卷成绩情况
本次考试，因不分文理科，故文理科成绩相差有一定的距离，平均分理科较文科的高，及格率也是如此，学生得分分布较为均匀，但也有少数分数偏低的情况。
三、学生答题质量分析
1、优点
（1）对数学教材的主干知识掌握得较好。
学生能根据要求加以复习巩固，对重点知识的掌握较熟练。
（2）能正确地运用解题方法。
大部分学生能采用较常用的直选法和排除法来解答选择题。
（3）能根据题意认真解答。
大部分学生能根据题目的要求，认真分析问题，正确地得出答案。
（4）部分学生的学科能力有所提高。
大部分学生的再认再现能力较强；部分学生善于运用已知知识进行分析判断，此次判断题的得分率略高，在一定程度上反映学生具备了理解、分析能力。
2、存在问题
（1）基本功不扎实。
书写不公正、不规范，错别字多。
如解答题的“解”字忘写或者是没有解答过程。
（2）同类知识混淆不清。
学生对同类知识掌握不牢固，张冠李戴的现象很普遍。
如解答题的17和18题，把垂直平分线和中线的概念混淆，故而出现求解错误。
（3）画图、写程序的知识掌握不到位。
如第19题，框图的箭头乱标，对应的程序框为画清楚，还有程序的英文字母表达不对。
（4）分析能力有待进一步提高。
试题中考查考生分析能力的题目得分率较低，反映了学生对数学情景未能正确地加以分析。
如：解答题的20和21题，对圆过两个点和圆与坐标轴相切的应用不能很好的把握，从而出现把两者的关系看成是一样的，所以出现错误。
四、改进措施
1、提高学生审题的能力。
教师要引导学生读教材，课堂上多引进一些课外习题，培养学生的审题习惯和能力。
2、注重学生分析、概括和综合能力的训练。
分析、概括和综合是数学学习中最常用的方法，也是检验学生能力的基本内容，教师在教学中要加强这方面的练习。
3、根据目前命题的趋势和课程改革的要求，以培养学生创新思维和提出问题、解决问题的能力。
4、提高学生的学习兴趣，最好的办法就是让他们看到成绩的进步，要善于表扬学生。
5、抓好后进生。
对数学考试来说抓好10个优生，不如抓好1个差生对均分的贡献大。
同时，要抓好后进班的教学质量。
6、对学生加强书面表达和书写规范能力的培养。
培养学生正确运用数学学科术语，全面、完整的答题
，争取在下次考试中取得更好的成绩！
五、今后的教学建议
1、夯实双基，重视基础知识和基本能力的训练。
坚持讲练结合。
2、通过提高学生课堂的参与程度等措施来提高课堂效率。
3、加强解题方法和技巧的指导与训练，加强答题的规范性训练。
注意培养学生细心审题的习惯，培养学生在较短的时间内能准确分辨出题干中的提示项、限定项、干扰项、中心项和求答项，答题中注意规范和简洁，以保证答题的正确性和使用恰当的时间答题。
4、对学生加强书面表达能力的培养。
培养学生正确运用数学学科术语，全面、完整答题的能力。
强调考试中学生一定要分点逐条书写，注意条理一定要清晰，特别是要强调答案书写的序号化。
高二年级数学组 2013年10月20日。