1999年考研数学一真题及解析(公式及答案修正版)

(2)【答案】1 【详解】 y ( x) 是有方程 ln x 2 + y = x 3 y + sin x 所确定，所以当 x = 0 时， y = 1 . 对方程 ln x 2 + y = x 3 y + sin x 两边非别对 x 求导，得
(
)
(
)
2 x + y′ = 3 x 2 y + x3 y′ + cos x ， 2 x +y
(B) 2.
为 f ( x ) ，则方程 f ( x ) = 0 的根的个数为(
)
(A) 1. 三、(本题满分5分) 求
(C) 3.
(D) 4.
lim
x →0
1 + tan x − 1 + sin x . x ln (1 + x ) − x 2
+∞
四、(本题满分6分) 计算
∫
1
五、(本题满分7分) 求初值问题
( x − 1)
x3
2
，求
(1)函数的增减区间及极值； (2)函数图形的凹凸区间及拐点 (3)函数图形的渐近线. 八、(本题满分 8 分)
0 ， f (1) = 1 ， 设 函 数 f ( x ) 在 闭 区 间 [ −1,1] 上 具 有 三 阶 连 续 导 数 ， 且 f ( −1) =
f ′ ( 0 ) = 0 ，证明：在开区间 ( −1,1) 内至少存在一点 ξ ，使 f ′′′ (ξ ) = 3 .
总存在正整数 N ， 当 n ≥ N 时， 恒有 xn − a ≤ 2ε ”是数列 { xn } (4) “对任意给定的 ε ∈ ( 0,1) ，
收敛于 a 的 ( ) (A)充分条件但非必要条件. (C)充分必要条件.
(B)必要条件但非充分条件. (D)既非充分条件又非必要条件.
(5)记行列式
x − 2 x −1 x − 2 x − 3 2x − 2 2x −1 2x − 2 2x − 3 3x − 3 3x − 2 4 x − 5 3x − 5 4 x 4 x − 3 5x − 7 4 x − 3
y = y ( x ) 的方程.
十、(本题满分 6 分) 设 f ( x ) 是区间 [ 0, + ∞ ) 上单调减少且非负的连续函数， = an
∑ f ( k ) − ∫ f ( x ) dx
i =1 1
n
n
( n = 1, 2,) ，证明数列 {an } 的极限存在.
十一、(本题满分 8 分)
九、(本题满分 9 分) 设函数 y ( x )( x ≥ 0 ) 二阶可导，且 y′ ( x ) > 0 ， y ( 0 ) = 1 .过曲线 y = y ( x ) 上任意一点
P ( x, y ) 作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S1 ，
区间 [ 0, x ] 上以 y = y ( x ) 为曲边的曲边梯形面积记为 S 2 ，并设 2 S1 − S 2 恒为 1，求此曲线
把 x = 0 和 y = 1 代入得 = y′(0)
dy = 1 dx x =0
(3)【答案】
1 x −3 ln( x 2 − 6 x + 13) + 4 arctan +C 2 2
x+5 x −3 8 dx + ∫ 2 dx − 6 x + 13 x − 6 x + 13
【详解】通过变换，将积分转化为常见积分，即
(
)
dy dx
=
x =0
∫x
2
x+5 dx = − 6 x + 13 x2 − x2
在区间 ,
(4) 函数 y =
1
3 上的平均值为 2 2
(5) 微分方程 y′′ − 4 y = e 2 x 的通解为 二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。每小题给出得四个选项中，只有一个是 符合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。)
1 − cos x , x>0 x ，其中 g ( x ) 是有界函数，则 f ( x) 在 x = 0 处 ( (1) 设 f ( x) = x2 g ( x ) , x ≤ 0
(A) (B) (C) (D) 极限不存在. 极限存在，但不连续. 连续，但不可导. 可导.
)
(2) 设 α ( x ) =
dx ∫ ∫= x − 6 x + 13 x
2
2
=
1 d ( x 2 − 6 x + 13) 8 +∫ dx 2 2 ∫ 2 x − 6 x + 13 ( x − 3） +4 d(
x −3 ） 1 2 2 = ln( x − 6 x + 13) + 4 ∫ x −3 2 2 ( ）+1 2 1 x −3 = ln( x 2 − 6 x + 13) + 4 arctan +C 2 2
3 +1 π 12
(4)【答案】
【详解】按照平均值的定义有
3 1 x2 2 y= dx ， 1 3 1 ∫2 1 − x 2 − 2 2
作变换令 x = sin t ，则 dx = cos tdt ，所以
π π 2 1 sin 2 t cos t 2 3 3 y= dt = π sin tdt π ∫ ∫ 2 3 −1 6 3 1 6 1 − sin t − 2 2
1999 年全国硕士研究生入学统一考试数二试题解析
一、填空题 (1)【答案】 y + 2 x − 1 = 0 【详解】点 ( 0,1) 对应 t = 0 ，则曲线在点 ( 0,1) 的切线斜率为
dy dy dt et cos t − et sin t cos t − sin t ， = = t = t dx dx e sin 2t + 2e cos 2t sin 2t + 2 cos 2t dt dy 1 把 t = 0 代入得 = ，所以改点处法线斜率为 −2 ，故所求法线方程为 y + 2 x − 1 = 0. dx 2
但其原函数 F ( x) = f ( x) = x 在区间 (−∞, +∞) 内是单调增函数，
(C)；
1 2 x 在区间 (−∞, +∞) 2
内非单调增函数，可排除(D). (4)【答案】( C ) 【详解】 【方法 1】 “必要性”： 数列极限的定义 “对于任意给定的 ε1 > 0 ， 存在 N1 > 0 ， 使得当 n > N1 时恒有 | xn − a |< ε1 ”. 由该定义可以直接推出题中所述，即必要性；“充分性”：对于任 意给定的 ε1 > 0 ，取 ε = min
= 5lim
sin 5 x ⋅ x →0 5x
sin x → 0
lim (1 + sin x)
⋅ lim cos x
x →0
所以当 x → 0 时 α ( x ) 是 β ( x ) 同阶但不等价的无穷小.
(3)【答案】( A ) 【详解】应用函数定义判定函数的奇偶性、周期性和单调性.
= F ( x) f ( x) 的原函数 F ( x) 可以表示为
1999 年全国硕士研究生入学统一考试数二试题
一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。把答案填在题中横线上。)
t x = e sin 2t (1) 曲线 ，在点 ( 0,1) 处的法线方程为 t y = e cos t
(2) 设函数 y = y ( x ) 由方程 ln x 2 + y = x 3 y + sin x 确定，则 (3)
∫0 t dt α ( x) lim lim lim = = 1 x →0 β ( x ) x → 0 sin x x →0 t ∫
0
5x
sin t
sin 5 x ⋅5 5x (1 + sin x)
1
1 sin x
(1 + t ) dt
1 sin x
⋅ cos x
= 5 × 1× 1 5 = e ×1 e
arctan x dx . x2
y + x 2 + y 2 dx − xdy = 0( x > 0) 的解. y x =1 = 0
(
)
六、(本题满分7分) 为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口 见图，已知井深 30m 30m,抓斗自重 400 N , 缆绳每米重 50 N ，抓斗抓 起的污泥重 2000 N ，提升速度为 3m / s ,在提升过程中，污泥以 20 N / s 的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重 力需作多少焦耳的功？(说明：① 1N × 1m = 1J ; 其中 m, N , s, J 分别表示 米，牛顿，秒，焦耳；②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不 计.) 七、(本题满分 8 分) 已知函数 y =
1 1 −1 1 ，矩阵 X 满足 A*= 设矩阵 A = −1 1 X A−1 + 2 X ，其中 A* 是 A 的伴随矩阵， 1 −1 1
求矩阵 X . 十二、(本题满分 5 分) 设向量组 α1 = (1,1,1,3) ， α 2 = ( −1, −3,5,1) ，α 3 =
即 F(x)为偶函数. 故(A)为正确选项. (B)、(C)、(D)可分别举反例如下：
( x) f ( x) = x 2 是偶函数，但其原函数 F =
1 3 x + 1 不是奇函数，可排除(B)； 3 1 1 x) x + sin 2 x 不是周期函数，可排除 f ( x) = cos 2 x 是周期函数，但其原函数 F (= 2 4
= ( 3 + 1) ∫π
π
3
6
1 1 3 +1 1 1 3 ( − cos 2t )dt = ( 3 + 1) t − sin 2t = π 2 2 12 2 2 π
6
π
(5)【答案】 y= C1e −2 x + C2 +

1 2x x e , 其中 C1 , C2 为任意常数. 4
T T
( 3, 2, −1, p + 2 )
T
，α 4 =( −2, −6,10, p )
T
T
该向量组线性无关？并在此时将向量 α = ( 4,1, 6,10 ) 用 α1 , α 2 , α 3 , α 4 (1) p 为何值时， 线性表出； (2) p 为何值时，该向量组线性相关？并此时求出它的秩和一个极大线性无关组.
∫
5x
0
(A)高阶无穷小 (C)同阶但不等价的无穷小
sin t dt , β ( x ) = t
∫0 (1 + t ) t dt ，则当 x → 0 时 α ( x ) 是 β ( x ) 的
(B)低阶无穷小 (D)等价无穷小 )
sin x
1
(
)
(3) 设 f ( x) 是连续函数， F ( x ) 是 f ( x) 的原函数，则 ( (A) 当 f ( x) 是奇函数时， F ( x ) 必是偶函数. (B) 当 f ( x) 是偶函数时， F ( x ) 必是奇函数. (C) 当 f ( x) 是周期函数时， F ( x ) 必是周期函数. (D) 当 f ( x) 是单调增函数时， F ( x ) 必是单调增函数.
【分析】先求出对应齐次方程的通解，再求出原方程的一个特解. 【详解】原方程对应齐次方程 y "− 4 y = 0, 解得 λ1 = 2, λ2 = −2 ， 0 的特征方程为： λ 2 − 4 = 故 y "− 4 y = y1 C1e = 0 的通解为
−2 x
+ C2 e 2 x ,
由于非齐次项为 f ( x) = e 2 x , 因此原方程的特解可设为 y * = Axe 2 x , 代入原方程可求得
f −′(0) lim = −
x →0
f ( x) − f (0) x 2 g ( x) xg ( x) 0, = lim = lim = x → 0− x → 0− x−0 x
从而， f ′(0) 存在，且 f ′(0) = 0 ，故正确选项为(D). (2)【答案】( C ) 【详解】当 x → 0 有，
) F (− x =
∫
x
0
f (t )dt + C , 于是
∫
−x
0
f (t
x
0
f (−u )d ( −u ) + C.
当 f ( x) 为奇函数时， f (−u ) = − f (u ) ，从而有
F= (− x)
∫
x
0
f (u )du = +C
∫
0
f (t )dt = + C F ( x)
A=
1 1 ，故所求通解为 y = y1 + y * = C1e −2 x + C2 + x e 2 x 4 4
二、选择题 (1)【答案】( D ) 【详解】由于可导必连续，连续则极限必存在，可以从函数可导性入手.
1 2 x f ( x) − f (0) 1 − cos x 2 因为 = = = = f +′(0) lim lim lim 0, x → 0+ x → 0+ x → 0+ x x x−0 x x