高二人教A版数学选修2-3导学案：1.3二项式定理

13二项式定理

§1.3.1 二项式定理

课前预习学案

一、预习目标

通过分析(a+b)2的展开式，归纳得出二项式定理;掌握二项式定理的公式特征并能简单应用。

二、预习内容

1、（a+b）2=

（a1+ b1）(a2+b2) (a3+ b3)=______________________________

（a+b）3=

（a+b）4=

2、二项式定理的证明过程

3、（a+b）n=

4、（a+b）n的二项展开式中共有______项，其中各项的系数______叫做二项式系数，式中的____________叫做二项展开式的通项，用T k+1表示，即通项为展开式的第k+1项：_____________________

5、在二项式定理中，若a=1，b=x，则有

（1+x）n=_______________________________________

课内探究学案

一、学习目标

1.用计数原理分析（a+b）3的展开式，进而探究（a+b）4的展开式，从而猜想二项式定理。

2.熟悉二项式定理中的公式特征，能够应用它解决简单问题。

3. 培养学生观察、分析、概括的能力。

二、学习重难点：

教学重点：二项式定理的内容及应用

教学难点：二项式定理的推导过程及内涵

三、学习过程

（一）探究（a+b）3、（a+b）4的展开式

问题1：（a1+ b1）(a2+b2) (a3+ b3)展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？

问题2：将上式中，若令a1=a2=a3=a, b1=b2= b3=b,则展开式又是什么？

合作探究一：合并同类项后，为什么a2b的系数是3？

问题3：（a+b）4的展开式又是什么呢？

结论：（a+b）4= C0

4a4+ C1

4

a3b+ C2

4

a2b2+ C3

4

a b3+ C4

4

b4

（二）猜想、证明“二项式定理”

问题4：（a+b ）n 的展开式又是什么呢？

合作探究二: (1) 将（a+b ）n 展开有多少项？

（2）每一项中，字母a ，b 的指数有什么特点？

（3）字母“a ”、“b ”指数的含义是什么？是怎么得到的？

（4）如何确定“a ”、“b ”的系数？

二项式定理：

（三）归纳小结：二项式定理的公式特征

（1）项数：_______;（2）次数：字母a 按降幂排列，次数由____递减到_____；字母b 按升幂排列，次数由____递增到______； （3）二项式系数：下标为_____，上标由_____递增至_____；

（4）通项:T k+1=__________；指的是第k+1项，该项的二项式系数为______；

（5）公式所表示的定理叫_____________，右边的多项式叫做（a ＋b ）n 的二项展开式。

（四）典型例题

例1 求6)12(x x -

的展开式 （分析：为了方便，可以先化简后展开。）

例2 ①7

)21(x +的展开式的第4项的系数及第4项的二项式系数。 ②求9)1(x

x -的展开式中含3x 的系数。

（五）当堂检测

1.写出（p +q ）7的展开式；

2.求（2a +3b ）6的展开式的第3项；

3.写出n

x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛-3321的展开式的第r+1项；

4.（x -1）10的展开式的第6项的系数是（ ）

（A ）6

10C (B) 610C - (C) 510C (D) 5

10C -

答案：1.（p +q ）7=p 7+7p 6q +21p 5q 2+35p 4q 3+35p 3q 4+21p 2q 5+7pq 6+q 7.

2.T 3= 2160a 4b 2

3. T 1+r =（－1）r

C r n ·r 21

·x 3

2r

n -，4.D

课后练习与提高

1．在()103-x 的展开式中，6x 的系数为

（ ） A ．610C 27- B ．4

10C 27 C ．6

10C 9- D ．4

10C 9

2．已知（n a a )1

32+的展开式的第三项与第二项的系数的比为11∶2，则n 是

（

） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13

3．92)21

(x x -展开式中9x 的系数是 4.12

31⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中常数项为

5. ()()10311x x +-的展开式中，含5x 项的系数是 .

6. 若()100a x +的展开式中98x 前的系数是9900，求实数a 的值。

§1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质

课前预习学案

一、预习目标

借助“杨辉三角”数表，掌握二项式系数的对称性，增减性与最大值。

二、预习内容

1、二项式定理：________________________________________________；

二项式系数：______________________________________________；

2、( 1+x) n=________________________________________________；

练一练：把( a+b)n（n=1，2，3，4，5，6）展开式的二项式系数填入课本P37的表格。想一想：杨辉三角揭示了二项展开式的二项式系数的变化情况，那么杨辉三角有何特点？或者说二项式系数有何性质呢？

画一画：当n=6时，作出函数f（r）的图象，并结合图象分析二项式系数的性质。

课内探究学案

一、学习目标

①了解“杨辉三角”的特征，让学生偿试并发现二项式系数规律；

②通过探究，掌握二项式系数的性质，并能用它计算和证明一些简单的问题；

二、学习重难点：

学习重点：二项式系数的性质及其应用；

学习难点：杨辉三角的基本性质的探索和发现。

三、学习过程

（一）、杨辉三角的来历及规律

问题1：根据( a+b) n（n=1，2，3，4，5，6）展开式的二项式系数表，你能发现什么规律？

问题2：杨辉三角揭示了二项展开式的二项式系数的变化情况，那么杨辉三角有何特点？或者说二项式系数有何性质呢？