2020-2021学年数学人教A版必修4学案：1.3第2课时诱导公式五、六

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高中数学人教A版必修四教案：1.3三角函数的诱导公式(二)

1．3诱导公式（二）教学目标（一）知识与技能目标⑴理解正弦、余弦的诱导公式．⑵培养学生化归、转化的能力．（二）过程与能力目标（1）能运用公式一、二、三的推导公式四、五．（2）掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明．（三）情感与态度目标通过公式四、五的探究，培养学生思维的严密性与科学性等思维品质以及孜孜以求的探索精神等良好的个性品质．教学重点掌握诱导公式四、五的推导，能观察分析公式的特点，明确公式用途，熟练驾驭公式．教学难点运用诱导公式对三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明．教学过程一、复习：诱导公式（一）tan )360tan(cos )360(cos sin )360sin(αααααα=+︒=+︒=+︒k k k 诱导公式（二）tan )180tan(cos )180cos( sin )180sin(αααααα=+︒-=+︒-=+︒诱导公式（三）tan )tan(cos )cos( sin )sin(αααααα-=-=--=-诱导公式（四）sin(π－α)=sin α cos(π －α)=－cos α tan (π－α)=－tan α诱导公式(五)sin )2cos( cos )2sin(ααπααπ=-=-诱导公式（六）sin )2cos( cos )2sin(ααπααπ-=+=+二、新课讲授：练习1．将下列三角函数转化为锐角三角函数：).317sin()4( ,519cos )3( ,3631sin )2( ,53tan )1(πππ-︒练习2：求下列函数值：).580tan )4( ,670sin )3( 431sin()2( ,665cos )1(︒︒-ππ例1．证明：（1）ααπcos )23sin(-=-（2）ααπsin )23cos(-=-例2．化简：.)2sin()sin()3sin()cos()211cos()2cos()cos()2sin(απααπαπαπαπαπαπ+-----++-的值。

高一数学(人教A版)必修4基础巩固：1-3-2诱导公式五、六

基础巩固一、选择题1．若cos65°＝a ，则sin25°的值是( ) A ．－a B ．a C.1－a 2 D ．－1－a 2[答案] B2．若sin(π2＋θ)<0，且cos(π2－θ)>0，则θ是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角[答案] B3．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－35，且α是第二象限角，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2的结果是( )A.45 B ．－45C ．±45D.35[答案] B[解析] ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－35，∴－sin α＝－35，∴sin α＝35，又α是第二象限角，∴cos α＝－45，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝cos α＝－45.4．已知sin α＝35，则sin(π2＋α)的值为( )A ．－35B ．－45C.45 D ．±45[答案] D[解析] sin(π2＋α)＝cos α，而sin α＝35，∴cos α＝±45，于是sin(π2＋α)＝±45.5．已知sin(α＋π4)＝13，则cos(π4－α)的值为( )A.223B ．－223C.13 D ．－13[答案] C[解析] cos(π4－α)＝cos[π2－(π4＋α)]．＝sin(α＋π4)＝13.6．已知cos(3π2＋α)＝－35，且α是第四象限角，则cos(－3π＋α)( )A.45 B ．－45C ．±45D.35[答案] B[解析] ∵cos(3π2＋α)＝－35，∴sin α＝－35，∴cos(－3π＋α)＝－cos α＝－1－sin 2α＝－45.二、填空题7．化简sin (15π2＋α)cos (α－π2)sin (9π2－α)cos (3π2＋α)＝________.[答案] －1 [解析] 原式＝sin[8π＋(α－π2)]cos (π2－α)sin[4π＋(π2－α)]cos[π＋(π2＋α)]＝sin (α－π2)sin αsin (π2－α)[－cos (π2＋α)]＝－cos αsin αcos α[－(－sin α)]＝－1.8．已知sin(α－π4)＝35，那么cos(α＋π4)的值是__________．[答案] －35[解析] ∵(α＋π4)－(α－π4)＝π2，∴α＋π4＝π2＋(α－π4)，∴cos(α＋π4)＝cos[π2＋(α－π4)]＝－sin(α－π4)＝－35.三、解答题9．化简：sin (2π＋α)cos (π－α)cos (π2－α)cos (7π2－α)cos (π－α)sin (3π－α)sin (－π＋α)sin (5π2＋α).[解析] 原式＝sin α(－cos α)sin αcos[2π＋(π＋π2－α)]－cos αsin[2π＋(π－α)]sin[－(π－α)]sin[2π＋(π2＋α)]＝sin αsin αcos[π＋(π2－α)]sin (π－α)[－sin (π－α)]sin (π2＋α)＝sin αsin α[－cos (π2－α)]sin α(－sin α)cos α＝sin α(－sin α)(－sin α)cos α＝tan α.10．已知角α的终边经过点P (－4,3)，求cos (π2＋α)sin (－π－α)cos (11π2－α)sin (9π2＋α)的值．[解析] ∵角α的终边经过点P (－4,3)，∴tan α＝y x ＝－34.∴原式＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α＝－34.。

人教A版高中数学必修4第一章三角函数1.3 三角函数的诱导公式导学案

2019-2020年高中数学必修四 1.3 《三角函数的诱导公式》导学案【学习目标】1.诱导公式(一)、（二）的探究、推导借助单位圆的直观性探索正弦、余弦、正切的诱导公式．2.利用诱导公式进行简单的三角函数式的求值、化简和恒等式的证明．【导入新课】 1.复习公式一，公式二 2.回忆公式的推导过程新授课阶段 1．诱导公式二：思考：（1）锐角α的终边与180α+o的终边位置关系如何？（2）写出α的终边与180α+o的终边与单位圆交点,'P P 的坐标．（3）任意角α与180α+o呢？结论：任意α与180α+o的终边都是关于原点中心对称的．则有(,),'(,)P x y P x y --，由正弦函数、余弦函数的定义可知：sin y α=， cos x α=；sin(180)y α+=-o ， cos(180)x α+=-o ．从而，我们得到诱导公式二： sin(180)α+=o sin α-；cos(180)α+=-ocos α．说明：①公式中的α指任意角；②若α是弧度制，即有sin()πα+=sin α-，cos()πα+=-cos α； ③公式特点：函数名不变，符号看象限；④可以导出正切：sin(180)sin tan(180)tan cos(180)cos αααααα+-+===-+-o oo ． 2．诱导公式三：思考：（1）360α-o的终边与α-的终边位置关系如何？从而得出应先研究α-；（2）任何角α与α-的终边位置关系如何？可以由学生自己结合一个简单的例子思考，从坐标系看20︒与20180︒+︒，20︒与20180︒-︒的终边的关系．从而易知，,33)k z απαπαπαπαπ+-+-+∈L 与，，，（2k+1），(终边相同，所以三角函数值相等．由α与απ+的终边与单位圆分别相交于P 与 P ´，它们的坐标互为相反数P( x ，y)，P ´(-x ，-y) （见课本图1-18），所以有[]cos (21)-cos k απα++=[]sin (21)-sin k απα++= （三） []tan (21)tan k απα++=结论：同诱导公式二推导可得：诱导公式三：sin()sin αα-=-；cos()cos αα-=．说明：①公式中的α指任意角； ②在角度制和弧度制下，公式都成立； ③公式特点：函数名不变，符号看象限； ④可以导出正切：tan()tan αα-=-． 3．诱导公式四：sin(180)sin αα-=o；cos(180)cos αα-=-o ．4．诱导公式五：sin(360)sin αα-=-o；cos(360)cos αα-=o ．说明：①公式四、五中的α指任意角； ②在角度制和弧度制下，公式都成立； ③公式特点：函数名不变，符号看象限；④可以导出正切：tan(180)tan αα-=-o；tan(360)tan αα-=-o5．公式六：ααπcos )2sin(=- ααπsin )2cos(=-ααπcos )2sin(=+ ααπsin )2cos(-=+说明：①公式六中的α指任意角； ②在角度制和弧度制下，公式都成立； ③公式特点：函数名变化，符号看象限．结合公式（一）和（三）可以得出下结论：sin ,sin()sin a n n a n απ-⎧+=⎨⎩当为奇数，当为偶数cos ,cos()cos a n n a n απ-⎧+=⎨⎩当为奇数，当为偶数tan()tan ,n n Z απα+=∈由α与πα-和单位圆分别交于点P ´与点P ，由诱导公式（二）和（三）或P ´与点P 关于y 轴对称，可以得到 α与πα-只见的三角函数关系（见课本图1-19）ααπsin sin(=-） ααπ-cos cos(=-）例1 下列各三角函数值：219sin120cos135tancos()34ππ-oo解：例2 将下列三角函数化为0o 到45o之间角的三角函数：sin 68cos 75tan126oo o解：例3 求下列三角函数值：（1）sin 960o；（2）43cos()6π-．解：例4 （1）化简23cot cos()sin (3)tan cos ()απαπααπα⋅+⋅+⋅--；（2）sin120cos330sin(690)cos(660)tan 675cot 765.⋅+--++oooooo解：（1）（2）例5 已知：tan 3α=，求2cos()3sin()4cos()sin(2)παπααπα--+-+-的值．解：．例6 已知3sin 5α=-，且α是第四象限角，求tan [cos(3)sin(5)]απαπα--+的值．解：例7 化简sin()sin()()sin()cos()n n n Z n n απαπαπαπ++-∈+-．解：课堂小结1．五组公式可概括如下：360(),,180,360k k Z αααα+⋅∈-±-ooo的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号；2．要化的角的形式为α±⋅ok 90（k 为常整数）；3．记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；（k 为奇数还是偶数）；4．利用五组诱导公式就可以将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数．其化简方向仍为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”．作业课本第32页习题B 组第1、2题拓展提升 1．若)cos()2sin(απαπ-=+，则α的取值集合为（）A ．}42|{Z k k ∈+=ππααB ．}42|{Z k k ∈-=ππααC ．}|{Z k k ∈=πααD ．}2|{Z k k ∈+=ππαα2．已知,)1514tan(a =-π那么=︒1992sin （）A ．21||aa + B ．21aa +C ．21aa +-D ．211a+-3．设角则,635πα-=)(cos )sin(sin 1)cos()cos()sin(222απαπααπαπαπ+--+++--+的值等于（）A ．33 B ．－33 C ．3 D ．－3 4．当Z k ∈时，])1cos[(])1sin[()cos()sin(απαπαπαπ+++++⋅-k k k k 的值为（）A ．－1B ．1C ．±1D ．与α取值有关5．设βαβπαπ,,,(4)cos()sin()(b a x b x a x f ++++=为常数），且,5)2000(=f 那么=)2004(f （）A ．1B ．3C ．5D ．76．已知3sin()42πα+=，则3sin()4πα-值为（） A.21 B. —21C. 23D. —237．cos (π+α)= —21，23π<α<π2,sin(π2-α) 值为（） A.23 B. 21C. 23±D. —23 8．化简：)2cos()2sin(21-•-+ππ得（）A. sin 2cos2+B. cos2sin 2-C. sin 2cos2-D.±cos2sin 2- 9．已知3tan =α，23παπ<<，那么ααsin cos -的值是（）A ．231+-B ．231+-C ．231-D ． 231+ 10．已知,0cos 3sin =+αα则=+-ααααcos sin cos sin .11．如果,0sin tan <αα且,1cos sin 0<+<αα那么α的终边在第象限 12．求值：2sin(－1110º) －sin960º+)210cos()225cos(2︒-+︒-＝．13．设()f θ=)cos()7(cos 221)cos(2)(sin cos 2223θθππθπθθ-++++---+-，求()3f π的值．14．已知方程sin(3) = 2cos(4)，求)sin()23sin(2)2cos(5)sin(ααπαπαπ----+-的值．参考答案例1解：3sin120sin(3090)cos30=+==oooo2cos135cos(4590)sin 45=+=-=o o o o 2tantan()cot 33626ππππ=+=-=- 191932cos()cos cos(4)cos()sin 444424πππππππ-==+=+=-= 例2 解：略．例3解：（1）sin 960sin(960720)sin 240=-=oooo（诱导公式一）sin(18060)sin 60=+=-o o o （诱导公式二）2=-．（2）4343cos()cos66ππ-=（诱导公式三） 77cos(6)cos66πππ=+=（诱导公式一） cos()cos 66πππ=+=-（诱导公式二）=．例4．解：（1）原式23cot (cos )sin ()tan cos ()ααπααπα⋅-⋅+=⋅+23cot (cos )(sin )tan (cos )ααααα⋅-⋅-=⋅-23cot (cos )sin tan (cos )ααααα⋅-⋅=⋅- 2222cos sin 1sin cos αααα=⋅=．（2）原式sin(18060)cos(36030)sin(720690)cos(720660)=-⋅-+--ooooooootan(675720)cot(765720)+-+-o o o o sin 60cos30sin 30cos 60tan(45)cot 45=++-+o o o o o o11tan 4512222=⨯+⨯-+o 3111144=+-+= 例5解：∵tan 3α=， ∴原式2cos 3sin 23tan 74cos sin 4tan αααααα-+-+===--．例6解：tan [cos(3)sin(5)]απαπα--+tan [cos()sin()]απαπα=--+tan (cos sin )ααα=-+tan sin tan cos αααα=-sin (tan 1)αα=-由已知得：43cos ,tan 54αα==-， ∴原式2120=．例7解：①当2,n k k Z =∈时，原式sin(2)sin(2)2sin(2)cos(2)cos k k k k απαπαπαπα++-==+-．②当21,n k k Z =+∈时，原式sin[(21)]sin[(21)]2sin[(21)]cos[(21)]cos k k k k απαπαπαπα+++-+==-++-+拓展提升1．D 2．C 3．C 4．A 5．C 6．C 7．Ａ 8．C 9．B 10．2 11．二 12．－213．解：θθθθθθcos cos 221cos 2sin cos 2)(223++++-=f=θθθθθcos cos 221cos 2)cos 1(cos 2223++++-- =θθθθθcos cos 22cos 2cos cos 2223++++=θθθθθθcos 2cos cos 2)2cos cos 2(cos 22=++++ ∴()3f π＝cos3π＝21 14．解： ∵sin( 3) = 2cos( 4)∴ sin(3) = 2cos(4)∴ sin( ) = 2cos( )∴sin=2c os且cos∴43cos 4cos 3cos 2cos 2cos 5cos 2sin cos 2cos 5sin -=-=--+-=+-+=αααααααααα原式。

人教A版高中数学必修4课后习题第一章 1.3 第2课时诱导公式五、六

第一章三角函数1.3 三角函数的诱导公式第2课时诱导公式五、六课后篇巩固探究基础巩固1.若α∈(π,3π2),则√1-sin2(3π2-α)=( )A.sin αB.-sin αC.cos αD.-cos α(π,3π2),∴sinα<0.∴√1-sin2(3π2-α)=√1-cos2α=√sin2α=-sinα.2.已知P(sin 40°,-cos 140°)为锐角α终边上的点,则α=( )A.40°B.50°C.70°D.80°-cos140°)为角α终边上的点,因而tanα=-cos140°sin40°=-cos(90°+50°) sin(90°-50°)=sin50°cos50°=tan50°,又α为锐角,则α=50°,故选B.3.已知sin(π-α)=-2sin(π2+α),则sin αcos α=()A.25B.-25C.25或-25D.-15-α)=-2sin(π2+α),∴sinα=-2cosα.再由sin 2α+cos 2α=1可得sinα=2√55,cosα=-√55,或sinα=-2√55,cosα=√55,∴sinαcosα=-25.故选B.4.在△ABC 中,若sin A+B 2=45,则cos C2=( )A.-35B.-45C.35D.45解析∵A+B+C=π,∴A+B 2=π2−C2.∴sin A+B 2=sin (π2-C2)=cos C2=45.5.已知cos(60°+α)=13,且-180°<α<-90°,则cos(30°-α)的值为( ) A.-2√23B.2√23C.-√23D.√23-180°<α<-90°,得-120°<60°+α<-30°.又cos(60°+α)=13>0,所以-90°<60°+α<-30°,即-150°<α<-90°,所以120°<30°-α<180°,cos(30°-α)<0,所以cos(30°-α)=sin(60°+α)=-√1-cos 2(60°+α)=-√1-(13) 2=-2√23.6.若cos α=13,且α是第四象限的角,则cos (α+3π2)= .α是第四象限的角,所以sinα=-√1-cos 2α=-2√23. 于是cos (α+3π2)=-cos (α+π2)=sinα=-2√23. -2√237.若sin (π2+θ)=37,则cos 2(π2-θ)= .(π2+θ)=cosθ=37,则cos 2(π2-θ)=sin 2θ=1-cos 2θ=1-949=4049.8.求值:sin 2(π4-α)+sin 2(π4+α)= .解析∵π4-α+π4+α=π2,∴sin 2(π4+α)=sin 2[π2-(π4-α)]=cos 2(π4-α).∴sin 2(π4-α)+sin 2(π4+α)=sin 2(π4-α)+cos 2(π4-α)=1.9.化简:sin(-α-3π2)·sin(3π2-α)·tan 2(2π-α)cos(π2-α)·cos(π2+α)·cos 2(π-α).=sin(-α+π2)·[-sin(π2-α)]·tan 2(2π-α)cos(π2-α)·cos(π2+α)·cos 2(π-α)=cosα·(-cosα)·tan 2αsinα·(-sinα)·cos 2α=tan 2αsin 2α=1cos 2α.10.已知角α的终边经过点P (45,-35).(1)求sin α的值; (2)求sin(π2-α)tan (α-π)sin (α+π)cos (3π-α)的值.∵P (45,-35),|OP|=1,∴sinα=-35.(2)sin(π2-α)tan (α-π)sin (α+π)cos (3π-α)=cosαtanα-sinα(-cosα)=1cosα,由三角函数定义知cosα=45,故所求式子的值为54.能力提升1.已知π<α<2π,cos(α-9π)=-35,则cos (α-11π2)的值为( )A.35B.-35C.-45D.45cos(α-9π)=-cosα=-35,所以cosα=35.又因为α∈(π,2π),所以sinα=-√1-cos 2α=-45,cos (α-11π2)=-sinα=45.2.已知角α的终边上有一点P(1,3),则sin (π-α)-sin(π2+α)cos(3π2-α)+2cos (-π+α)的值为( )A.-25B.-45C.-47D.-4=sinα-cosα-sinα-2cosα=tanα-1-tanα-2.因为角α终边上有一点P(1,3), 所以tanα=3,所以原式=3-1-3-2=-25.故选A.3.已知α为第二象限角,则cos α√1+tan 2α+sin α√1+1tan 2α= .√sin 2α+cos 2αcos 2α+sinα√sin 2α+cos 2αsin 2α=cosα1|cosα|+sinα1|sinα|.因为α是第二象限角,所以sinα>0,cosα<0, 所以cosα1|cosα|+sinα1|sinα|=-1+1=0,即原式等于0.4.sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°= .sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°=sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 245°+cos 244°+…+cos 21°=(sin 21°+cos 21°)+(sin 22°+cos 22°)+…+(s in 244°+cos 244°)+sin 245°=44+12=892.5.已知函数f(x)=√2cos x-π12,x ∈R.若cos θ=35,θ∈3π2,2π,则fθ-5π12= .解析f θ-5π12=√2cos θ-5π12−π12=√2cos θ-π2=√2cosπ2-θ=√2sinθ,由已知可得θ为第四象限角,所以sinθ<0,故sinθ=-√1-cos 2θ=-45,f θ-5π12=√2sinθ=√2×-45=-4√25.-4√256.是否存在角α,β,α∈(-π2,π2),β∈(0,π),使等式sin(3π-α)=√2cos (π2-β),√3cos(-α)=-√2cos(π+β)同时成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,请说明理由. ,得{sinα=√2sinβ,√3cosα=√2cosβ,①②①2+②2得sin 2α+3cos 2α=2,∴sin 2α=12.又α∈(-π2,π2),∴α=π4或α=-π4.将α=π4代入②,得cosβ=√32.又β∈(0,π),∴β=π6,代入①可知符合.将α=-π4代入②得cosβ=√32,又β∈(0,π),∴β=π6,代入①可知不符合.综上可知,存在α=π4,β=π6满足条件.。

诱导公式五、六

第一章
1.3 1.3.2
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公式五和公式六可以概括为： π α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函 2 ± 数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，公式一～六都叫做诱导公式
第一章
1.3 1.3.2
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第一章
1.3 1.3.2
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3π 1 1 (1)∵cos(α－ )＝－sinα＝，∴sinα＝－， 2 5 5 2 6 ∵α为第三象限角，∴cosα＝－， 5 2 6 ∴f(α)＝－cosα＝ 5 . (2)∵－1860° ＝－5×360° －60° ， 1 ∴f(－1860° )＝－cos(－5×360° －60° )＝－ . 2
第一章 1.3 1.3.2
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[解析] f(α)＝
3π sin 2 －α sinα· cos－α· 3π cos 2 －α
cosα＋π
－cosα sinα· cosα· －sinα ＝＝－cosα. －cosα
存在，求出 α、 β 的值；若不存在，说明理由．
第一章
1.3 1.3.2
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[分析]
题中所给条件式比较繁琐，故先化简，然后利用
平方关系消去 α(或 β)解方程可求出角 α 与 β 的一个三角函数值和其范围，进一步求出角．
第一章
1.3 1.3.2
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2021版高中数学人教A必修4课件：1.3.2 诱导公式五、六

Z 知识梳理 HISHI SHULI
题型一题型二题型三题型四
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
-11-
M 第2课时诱导公式五、六
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题型一题型二题型三题型四
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
答案:a
-4-
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Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
-5-
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-2-
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Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
诱导公式五、六如下表:
归纳总结诱导公式五和六可用口诀“函数名改变,符号看象限”记忆,“函数名改变”是指正弦变余弦,余弦变正弦.“符号看象限”是把α 看成锐角时原三角函数值的符号.
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-8-Leabharlann M 第2课时诱导公式五、六
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高中数学第一章三角函数第3节三角函数的诱导公式第2课时诱导公式五六教案含解析新人教A版必修4

第2课时诱导公式五、六[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 26～P 27的内容，回答下列问题．如图所示，设α是任意角，其终边与单位圆交于点P 1(x ，y )，与角α的终边关于直线y ＝x 对称的角的终边与单位圆交于点P 2.(1)P 2点的坐标是什么？提示：P 2(y ，x )．(2)π2－α的终边与角α的终边关于直线y ＝x 对称吗？它们的正弦、余弦值有何关系？提示：对称．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α. 2．归纳总结，核心必记 (1)诱导公式五和公式六(2)诱导公式的记忆诱导公式一～六可归纳为k ·π2±α的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”：①“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的．②“奇”、“偶”是对诱导公式k ·π2±α中的整数k 来讲的．③“象限”指k ·π2±α中，将α看成锐角时，k ·π2±α所在的象限，根据“一全正，二正弦、三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号．[问题思考](1)诱导公式五、六中的α是任意角吗？提示：是．(2)在△ABC 中，角A 2与角B ＋C2的三角函数值满足哪些等量关系？提示：∵A ＋B ＋C ＝π，∴A 2＝π2－B ＋C2，∴sin A 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＋C 2＝cos B ＋C 2，cos A 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＋C 2＝sin B ＋C 2.[课前反思](1)诱导公式五：；(2)诱导公式六： .知识点1化简求值讲一讲1．已知f (α)＝sin π－αcos 2π－αcos ⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ()－π－α.(1)化简f (α)；(2)若α为第三象限角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值；(3)若α＝－31π3，求f (α)的值．[尝试解答] (1)f (α)＝sin αcos α()－sin αsin αsin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α＝15，∴sin α＝－15，又∵α为第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝265.(3)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3 ＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12.类题·通法三角函数式化简的方法和技巧(1)方法：三角函数式化简的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系，据此灵活应用相关的公式及变形，解决问题．(2)技巧：①异名化同名；②异角化同角；③切化弦．练一练1．已知f (x )＝sin 3π－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －3π2tan x －2πsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫－x －π2tan x －5π.(1)化简f (x )；(2)当x ＝π3时，求f (x )的值；(3)若f (x )＝1，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －7π2的值．解：(1)f (x )＝sin x －sin x tan xcos x －sin x tan x ＝tan x .(2)当x ＝π3时，f (x )＝tan π3＝ 3.(3)若f (x )＝1，则tan x ＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫－x －7π2＝－cos x sin x ＝－1tan x ＝－1.知识点2条件求值问题讲一讲2．(1)已知cos 31°＝m ，则sin 239°tan 149°的值是( ) A.1－m2mB.1－m 2C ．－1－m 2mD ．－1－m 2(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α的值为________． [尝试解答] (1)sin 239°tan 149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°) ＝－sin 59°(－tan 31°)＝－sin(90°－31°)·(－tan 31°) ＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°＝1－cos 231°＝1－m 2. (2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12. 答案：(1)B (2)12类题·通法解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角，函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．练一练2．已知cos(π＋α)＝－12，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值．解：∵cos(π＋α)＝－cos α＝－12，∴cos α＝12，∴α为第一或第四象限角．①若α为第一象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝－32； ②若α为第四象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32.知识点3三角恒等式的证明讲一讲3．求证：2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2－11－2sin 2π＋θ＝tan 9π＋θ＋1tan π＋θ－1. [尝试解答] 左边＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ·－sin θ－11－2sin 2θ ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2cos θsin θ－1cos 2θ＋sin 2θ－2sin 2θ＝sin θ＋cos θ2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ，右边＝tan 9π＋θ＋1tan π＋θ－1＝tan θ＋1tan θ－1＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ，∴左边＝右边，原式得证．类题·通法三角恒等式的证明策略对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法，拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．练一练3．求证：sin2π－θcos π＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－θcos π－θsin 3π－θsin －π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋θ＝－tan θ.证明：sin2π－θcos π＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－θcos π－θsin 3π－θsin －π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋θ＝－sin θ·－cos θ·－sin θ·co s ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θ－cos θ·sin θ·sin θ·si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝sin θ·cos θ·sin θ·sin θ－cos θ·sin θ·sin θ·cos θ＝－tan θ.[课堂归纳·感悟提升]1．本节课的重点是诱导公式五、六及其应用，难点是利用诱导公式解决条件求值问题． 2．要掌握诱导公式的三个应用(1)利用诱导公式解决化简求值问题，见讲1； (2)利用诱导公式解决条件求值问题，见讲2； (3)利用诱导公式解决三角恒等式的证明问题，见讲3. 3．本节课要掌握一些常见角的变换技巧π6＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝π2，π4＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝π2等．。

人教版高中数学必修4学案 1.3.2诱导公式

第一章三角函数三角函数1．3 三角函数的诱导公式1．3.2诱导公式(习题课)1．熟练正确地运用诱导公式解决一些三角函数的求值与三角变换的问题．2．在使用诱导公式中，体会由未知到已知，由复杂到简单的转化过程．基础梳理自测自评1．化简1－sin 2440°的结果为(C ) A ．－cos 80° B ．－sin 80° C ．cos 80° D ．sin 80 ° 解析：1－sin 2440°＝cos 2440°＝|cos 440°|＝cos 80°.故选C.2．sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫3π2＋α等于 (D )A ．sin αB ．cos αC ．－sin αD ．－cos α解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π＋π2＋α＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2＋α＝－cos α.故选D. 3．若α＋β＝π，则下列各等式不成立的是(D ) A ．sin α＝sin β B ．cos α＋cos β＝0 C ．tan α＋tan β＝0 D ．sin α2＝cos β解析：由α＋β＝π，得α2＝π2－β2，∴sin α2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－β2＝cos β2，即D 不成立．故选D. 4．sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3－x ＋sin 2⎝⎛⎭⎪⎪⎫π6＋x ＝1．解析：sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3－x ＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6－x ＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎪⎫π3－x ＋s in 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3－x ＝ sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3－x ＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3－x ＝1.基础提升1．已知函数f (x )＝cos x2，则下列等式成立的是(D )A ．f (2π－x )＝f (x )B ．f (2π＋x )＝f (x )C ．f (－x )＝－f (x )D ．f (－x )＝f (x )解析：对于A ，f (2π－x )＝cos 2π－x 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－x 2＝－cos x2≠f (x )，对于B ，f (2π＋x )＝cos 2π＋x 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋x 2＝－cos x2≠f (x )．对于C ，f (－x )＝cos －x 2＝cos x2≠－f (x )，故选D.2．若sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2sin(6π－α)的值为(B )A ．－2m 3B ．－3m 2 C.2m 3 D.3m2解析：由sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2＋α＝－m ，得－sin α－sin α＝－m ，即sin α＝m2.∴cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫3π2－α＋2sin(6π－α)＝－sinα－2sin α＝－3sin α＝－3m2.故选B.3．已知α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2，tan(α－7π)＝－34，sin α＋cos α的值等于(C )A ．±15 B.15 C ．－15 D ．－35解析：∵tan(α－7π)＝－34，∴tan α＝－34，又α∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π2，3π2，∴α∈⎝⎛⎦⎥⎥⎤π2，π. ∴sin α＝35，cos α＝－45.∴ sin α＋cos α＝－15.故选C.4．已知α为第四象限角且sin(π－α)＝－13，则tan α等于____________．解析：由sin(π－α)＝－13，得sin α＝－13，又α为第四象限角，∴cos α＝223，tan α＝－24.答案：－24巩固提高5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，x <0，f （x －1）－1，x >0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116的值为(C ) A ．－1 B ．－3－2 C ．－2 D ．－3解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－11π6＝sin π6＝12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56－1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16－2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π6－2＝－sin π6－2＝－12－2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝－2.故选C.6．若f (α)＝sin （π－α）cos （2π－α）tan ⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos （－π－α），则f ⎝⎛⎭⎪⎫－313π的值为(B ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－32解析：f (α)＝sin α·cos α·cos α－cos α·sin α＝－cos α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π＝－cos π3＝－12.7．已知π<θ<2π，cos(θ－9π)＝－35，求tan(10π－θ)的值．解析：由已知，得cos(θ－π)＝－35，cos(π－θ)＝－35，∴cos θ＝35.∵π<θ<2π，∴3π2<θ<2π.∴tan θ＝－43.∴tan(10π－θ)＝tan(－θ)＝－tan θ＝43.8．若sin(x －2π)－cos(π－x )＝1－32，x 是第二象限的角．(1)求sin x 与cos x 的值； (2)求x 的集合．解析：(1)由已知，得sin x ＋cos x ＝1－32，∴sin x cos x ＝－34.又x 是第二象限的角， ∴sin x >0，cos x <0. ∴sin x －cos x ＝1－2sin x cos x ＝2＋32＝1＋32. ∴sin x ＝12，cos x ＝－32.(2)∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π－π6＝sin π6＝12，∴在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π2，π内符合条件的x ＝5π6.∴x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ＝2k π＋5π6，k ∈Z .。

人教A版高中数学必修4第一章三角函数1.3 三角函数的诱导公式导学案(1)

1.3 三角函数的诱导公式（二）学习目标 1.掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题.2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.3.继续体会知识的“发生”“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力.知识点一诱导公式五完成下表，并由此总结角α，角π2－α的三角函数值间的关系.(1)sin π6＝12，cos π3＝12，sin π6＝cos π3；(2)sin π4＝22，cos π4＝22，sin π4＝cos π4；(3)sin π3＝32，cos π6＝32，sin π3＝cos π6.由此可得诱导公式五 sin ()2απ-=cos α，cos ()2απ-=sin α. 知识点二诱导公式六思考能否利用已有公式得出π2＋α的正弦、余弦与角α的正弦、余弦之间的关系？答案以－α代替公式五中的α得到 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos(－α)， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝sin(－α). 由此可得诱导公式六 sin ()2απ+=cos α，cos ()2απ+=－sin α.知识点三诱导公式的推广与规律1.sin(32π－α)＝－cos α，cos(32π－α)＝－sin α，sin(32π＋α)＝－cos α，cos(32π＋α)＝sin α.2.诱导公式记忆规律：公式一～四归纳：α＋2k π(k ∈Z )，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”. 公式五～六归纳：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”.六组诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式.记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.其中“奇、偶”是指k ·π2±α(k ∈Z )中k 的奇偶性，当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变.“符号”看的应该是诱导公式中，把α看成锐角时原函数值的符号，而不是α函数值的符号.类型一利用诱导公式求值例1 (1)已知cos(π＋α)＝－12，α为第一象限角，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值. (2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α的值.解 (1)∵cos(π＋α)＝－cos α＝－12，∴cos α＝12，又α为第一象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝－32.(2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α·sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α ＝－13sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝－13cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－19. 反思与感悟对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系：如π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4－α与π4＋α等互余，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题. 跟踪训练1 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α的值.解 ∵π6＋α＋π3－α＝π2，∴π3－α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33.类型二利用诱导公式证明三角恒等式例2 求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝－tan α.证明 ∵左边＝tan (－α)·sin (－α)·cos (－α)sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·co s ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝(－tan α)·(－sin α)·cos αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin 2α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin 2α－cos αsin α＝－sin αcos α ＝－tan α＝右边. ∴原等式成立.反思与感悟利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法： (1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简. (2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子.(3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同.跟踪训练2 求证：2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π2－11－2sin 2(π＋θ) ＝tan (9π＋θ)＋1tan (π＋θ)－1.证明因为左边＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ·(－sin θ)－11－2sin 2θ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2cos θsin θ－1cos 2θ＋sin 2θ－2sin 2θ＝(sin θ＋cos θ)2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ. 右边＝tan θ＋1tan θ－1＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ.所以左边＝右边，故原等式成立. 类型三诱导公式在三角形中的应用例3 在△ABC 中，sin A ＋B －C2＝sinA －B ＋C2，试判断△ABC 的形状.解 ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B －C ＝π－2C ，A －B ＋C ＝π－2B . ∵sinA ＋B －C2＝sinA －B ＋C2，∴sin π－2C 2＝sin π－2B 2，∴sin(π2－C )＝sin(π2－B )，即cos C ＝cos B .又∵B ，C 为△ABC 的内角，∴C ＝B ， ∴△ABC 为等腰三角形.反思与感悟解此类题需注意隐含的条件，如在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A ＋B ＋C 2＝π2，结合诱导公式得到以下的一些常用等式：sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ，sinA ＋B2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2. 跟踪训练3 在△ABC 中，给出下列四个式子： ①sin(A ＋B )＋sin C ； ②cos(A ＋B )＋cos C ； ③sin(2A ＋2B )＋sin 2C ； ④cos(2A ＋2B )＋cos 2C . 其中为常数的是( )A.①③B.②③C.①④D.②④ 答案 B解析 ①sin(A ＋B )＋sin C ＝2sin C ； ②cos(A ＋B )＋cos C ＝－cos C ＋cos C ＝0； ③sin(2A ＋2B )＋sin 2C ＝sin[2(A ＋B )]＋sin 2C ＝sin[2(π－C )]＋sin 2C ＝sin(2π－2C )＋sin 2C ＝－sin 2C ＋sin 2C ＝0； ④cos(2A ＋2B )＋cos 2C ＝cos[2(A ＋B )]＋cos 2C ＝cos[2(π－C )]＋cos 2C ＝cos(2π－2C )＋cos 2C ＝cos 2C ＋cos 2C ＝2cos 2C . 故选B.类型四诱导公式的综合应用例4 已知f (α)＝sin (π－α)cos (－α)sin (π2＋α)cos (π＋α)sin (－α).(1)化简f (α)；(2)若角A 是△ABC 的内角，且f (A )＝35，求tan A －sin A 的值.解 (1)f (α)＝sin αcos αcos α－cos α(－sin α)＝cos α.(2)因为f (A )＝cos A ＝35，又A 为△ABC 的内角，所以由平方关系，得sin A ＝1－cos 2A ＝45，所以tan A ＝sin A cos A ＝43，所以tan A －sin A ＝43－45＝815.反思与感悟解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱.跟踪训练4 已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－32πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·tan 2(π－α)的值.解方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－35，x 2＝2，由α是第三象限角，得sin α＝－35，则cos α＝－45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－32πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·tan 2(π－α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin αcos α·tan 2α＝cos α(－sin α)sin αcos α·tan 2α＝－tan 2α＝－sin 2αcos 2α＝－916.1.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3的值为( )精品文档A.－233B.233C.13D.－13答案 D解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－13.2.若cos(2π－α)＝53，则sin(3π2－α)等于( ) A.－53B.－23C.53D.±53答案 A解析 ∵cos(2π－α)＝cos(－α)＝cos α＝53， ∴sin(3π2－α)＝－cos α＝－53.3.已知tan θ＝2，则sin (π2＋θ)－cos (π－θ)sin (π2－θ)－sin (π－θ)等于( )A.2B.－2C.0D.23答案 B解析 sin (π2＋θ)－cos (π－θ)sin (π2－θ)－sin (π－θ)＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2.4.已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2，求sin 3(π－α)＋cos (α＋π)5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α的值.解 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2， ∴－sin α＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－α， ∴sin α＝2cos α，即tan α＝2. ∴sin 3(π－α)＋cos (α＋π)5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α＝sin 3α－cos α5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π2－α＝sin 3α－cos α5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝sin 3α－cos α5sin α－3cos α＝sin 2α·tan α－15tan α－3 ＝2sin 2α－110－3＝2sin 2α－17＝2sin 2α－(sin 2α＋cos 2α)7(sin 2α＋cos 2α) ＝sin 2α－cos 2α7(sin 2α＋cos 2α)＝tan 2α－17(tan 2α＋1) ＝4－17×(4＋1)＝335.5.求证：tan (2π－α)cos (3π2－α)cos (6π－α)sin (α＋3π2)cos (α＋3π2)＝－tan α.证明因为左边＝tan (2π－α)cos (3π2－α)cos (6π－α)sin (α＋3π2)cos (α＋3π2)＝tan (－α)(－sin α)cos α－cos αsin α＝－tan αsin αcos αcos αsin α＝－tan α＝右边，所以原等式成立.1.诱导公式的分类及其记忆方式 (1)诱导公式分为两大类：①α＋k ·2π，－α，α＋(2k ＋1)π(k ∈Z )的三角函数值，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，为了便于记忆，可简单地说成“函数名不变，符号看象限”.②α＋π2，－α＋π2的三角函数值，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”.(2)以上两类公式可以归纳为：k ·π2＋α(k ∈Z )的三角函数值，当k 为偶数时，得α的同名函数值；当k 为奇数时，得α的异名函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.2.利用诱导公式求任意角的正弦、余弦函数值，常采用“负角化正角，大角化小角，最后转化成(0，π2)内的三角函数值”这种方式求解.用诱导公式把任意角的三角函数转化为0到π2之间的角的三角函数的基本步骤：课时作业一、选择题1.已知sin(5π2＋α)＝15，那么cos α等于( )A.－25B.－15C.15D.25答案 C解析 sin(5π2＋α)＝cos α，故cos α＝15，故选C.2.已知cos(3π2＋α)＝－35，且α是第四象限角，则cos(－3π＋α)等于( )A.45 B.－45C.±45D.35精品文档答案 B解析 ∵cos(3π2＋α)＝sin α，∴sin α＝－35.又α为第四象限角，∴cos α＝1－sin 2α＝45，∴cos(－3π＋α)＝cos(π－α)＝－cos α＝－45，故选B.3.若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( ) A.cos(A ＋B )＝cos C B.sin(A ＋B )＝－sin C C.cosA ＋C2＝sin BD.sinB ＋C2＝cos A2答案 D解析 ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C ，∴cos(A ＋B )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sin C ，故A ，B 项不正确； ∵A ＋C ＝π－B ，∴A ＋C 2＝π－B2，∴cosA ＋C2＝cos(π2－B 2)＝sin B2，故C 项不正确； ∵B ＋C ＝π－A ， ∴sinB ＋C2＝sin(π2－A 2)＝cos A2，故D 项正确. 4.已知锐角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则α等于( ) A.2 B.－2 C.2－π2D.π2－2 答案 C 解析 cos α＝2sin 2(2sin 2)2＋(－2cos 2)2＝sin 2，∵α为锐角，∴α＝2－π2.5.已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为( ) A.－12 B.12 C.－32 D.32答案 A解析 f (cos 10°)＝f (sin 80°)＝cos 240° ＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12.6.若sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为( ) A.－2m 3 B.2m 3 C.－3m 2 D.3m2答案 C解析 ∵sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α－sin α＝－m ，∴sin α＝m2.故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α ＝－3sin α＝－3m 2.二、填空题7.若cos α＝15，且α是第四象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝ . 答案265解析 ∵cos α＝15，且α是第四象限角，∴sin α＝－ 1－cos 2α＝－ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝－265.∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－sin α＝265. 8.sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝ . 答案892解析原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 245° ＝44＋12＝892.9.已知tan(3π＋α)＝2，则sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin (－α)＋cos (π＋α)＝ . 答案 2解析因为tan(3π＋α)＝tan(π＋α)＝tan α＝2，所以原式＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝22－1＝2.10.在△ABC 中，3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝3sin(π－A )，且cos A ＝－3cos(π－B )，则C ＝ . 答案π2解析由题意得3cos A ＝3sin A ， ① cos A ＝3cos B ，②由①得tan A ＝33，∴A ＝π6. 由②得cos B ＝cosπ63＝12，∴B ＝π3.∴C ＝π2.三、解答题11.已知角α的终边经过点P (－4，3)，求 cos (π2＋α)sin (－π－α)cos (11π2－α)sin (9π2＋α)的值.解 ∵角α的终边经过点P (－4，3)，∴tan α＝y x ＝－34，∴cos (π2＋α)sin (－π－α)cos (11π2－α)sin (9π2＋α)＝－sin αsin α－sin αcos α＝tan α＝－34.12.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π2－α＝60169，且π4<α<π2，求sin α与cos α的值.解 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－α＝－cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π2－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2＋α＝－sin α，∴sin α·cos α＝60169，即2sin α·cos α＝120169.① 又∵sin 2α＋cos 2α＝1，②①＋②得(sin α＋cos α)2＝289169，②－①得(sin α－cos α)2＝49169.又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴sin α>cos α>0，即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0， ∴sin α＋cos α＝1713，③ sin α－cos α＝713，④③＋④得sin α＝1213，③－④得cos α＝513.13.已知sin(π＋α)＝－13.计算：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α；(3)tan(5π－α). 解 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝－13，∴sin α＝13.(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－sin α＝－13.(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，cos 2α＝1－sin 2α＝1－19＝89. ∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角.①当α为第一象限角时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝223.②当α为第二象限角时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝－223. (3)tan(5π－α)＝tan(π－α)＝－tan α， ∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角.①当α为第一象限角时，cos α＝223，∴tan α＝24，∴tan(5π－α)＝－tan α＝－24. ②当α为第二象限角时，cos α＝－223，tan α＝－24，∴tan(5π－α)＝－tan α＝24. 四、探究与拓展14.已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，则sin (π－α)＋5cos (2π－α)2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－sin (－α)＝ .答案－34解析 ∵sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，∴－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)，∴－sin(π－α)＝2cos(－α)，∴sin α＝－2cos α且cos α≠0，∴原式＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α＝－2cos α＋5cos α－2cos α－2cos α＝3cos α－4cos α＝－34.15.已知α是第四象限角，且f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin (－π－α)cos (2π＋α).(1)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值；(2)若α＝－1 860°，求f (α)的值.解 f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin (－π－α)cos (2π＋α)＝sin αcos α－sin αsin (π＋α)cos α＝1sin α.(1)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＋2π＝15，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝15，∴sin α＝－15，∴f (α)＝1sin α＝－5.(2)当α＝－1 860°时，f (α)＝1sin α＝1sin (－1 860°)＝1－sin 1 860°＝1－sin (5×360°＋60°)＝1－sin 60°＝－233.。

2020-2021学年人教A版数学必修4学案：1.3 三角函数的诱导公式(二)含解析

内容标准学科素养1.掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题．2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力．3.继续体会知识的“发生”“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力. 发展逻辑推理应用数学抽象提升数学运算[基础认识]知识点诱导公式五、六阅读教材P 26，思考并完成以下问题类比公式一～四可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2±α、cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2±α与α的函数值有什么关系？ (1)若α 为锐角，π2＋α的终边在第几象限？π2－α的终边与α的终边有什么关系？提示：第二象限，关于y ＝x 对称．(2)若α＝π6终边上有点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝________，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝________，与α的函数值有什么关系？提示：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6＝cos α＝32.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6＝－sin α＝－12. (3)若α＝π6终边上有点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝________，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝________．提示：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π6＝cos π6＝32.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π6＝sin π6＝12. 知识梳理 (1)诱导公式五sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos__α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin__α．诱导公式六sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos__α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin__α． (2)公式五～六归纳：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”．(3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝－cos__α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝－sin__α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α＝－cos__α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α＝sin__α．[自我检测]1．已知sin α＝513，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α等于( )A.513B.1213 C ．－513 D ．－1213 答案：C2．若cos(2π－α)＝53，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α等于( )A ．－53B ．－23 C.53 D ．±53答案：A授课提示：对应学生用书第18页探究一利用诱导公式化简、求值[教材P 27例4]方法步骤：利用公式一～六化简每个三角函数．[例1] (1)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的值是________．[解析] 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝π2，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫π6－x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝35.[答案] 35(2)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________．[解析] 法一：因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，因为θ为第四象限角，所以－π2＋2k π<θ<2k π，k ∈Z ，所以－3π4＋2k π<θ－π4<2k π－π4，k ∈Z ，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－45，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－43. 法二：因为θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，所以θ＋π4为第一象限角，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－43. [答案] －43(3)化简：sin （2π＋α）cos （π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－αcos （π－α）sin （3π－α）sin （－π＋α）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α.[解析]原式＝sin α·（－cos α）·sin α·（－sin α）（－cos α）·sin α·（－sin α）·cos α＝sin αcos α＝tan α.方法技巧对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系：如π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4－α与π4＋α等互余，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题．延伸探究 1.将本例(1)改为：已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α的值为________．解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12. 答案：122．将本例(2)改为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos （π＋α）＋sin （π－α）·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin （π＋α）＝________．解析：原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α·（－sin α）－sin α＝－sin α＋sin α＝0.答案：0探究二利用诱导公式证明恒等式[教材P 26例3]方法步骤：利用诱导公式化简的方法． [例2] 在△ABC 中，(1)求证：cos 2A ＋B 2＋cos 2C2＝1；(2)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋B tan(C －π)<0，求证：△ABC 为钝角三角形．[证明] (1)∵在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ， ∴A ＋B 2＝π2－C 2，∴cos A ＋B 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 2＝sin C 2，∴cos 2A ＋B 2＋cos 2C 2＝sin 2C 2＋cos 2C2＝1.(2)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋B tan(C －π)<0，则(－sin A )(－cos B )tan C <0，即sin A cos B tan C <0. ∵在△ABC 中，0<A <π，0<B <π，0<C <π且sin A >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos B <0，tan C >0，或⎩⎪⎨⎪⎧cos B >0，tan C <0，∴B 为钝角或C 为钝角， ∴△ABC 为钝角三角形．方法技巧证明等式的常用方法利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有： (1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简． (2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子．(3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除差异．跟踪探究 1.设tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋8π7＝m ，求证：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫15π7＋α＋3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－13π7sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫20π7－α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋22π7＝m ＋3m ＋1. 证明：法一：左边＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫8π7＋α＋3cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋8π7－3πsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋8π7－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋8π7 ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋8π7－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋8π7－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋8π7－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋8π7＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋8π7＋3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋8π7＋1＝m ＋3m ＋1＝右边，所以原等式成立．法二：由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋8π7＝m ，得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π7＝m ，左边＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π7＋α＋3cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π7＋αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π＋π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π7＋α－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π＋π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π7＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7＋α＋3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7＋αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π7＋α－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π7＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7＋α＋3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7＋α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7＋α＋3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7＋α＋1＝m ＋3m ＋1＝右边，所以原等式成立．探究三诱导公式的综合应用[教材P 29B 组第2题]方法步骤：选用合适的诱导公式化简求值．[例3] 是否存在角α，β，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．[解析] 假设存在角α，β满足条件，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝2sin β，①3cos α＝2cos β，②①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2. ∴cos 2α＝12，∴cos α＝±22. 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴cos α＝22.由cos α＝22，3cos α＝2cos β，得cos β＝32.∵β∈(0，π)，∴β＝π6.∴sin β＝12，结合①可知sin α＝22，则α＝π4.故存在α＝π4，β＝π6满足条件．方法技巧解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱．跟踪探究 2.已知f (α)＝sin （π－α）cos （－α）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos （π＋α）sin （－α）.(1)化简f (α)；(2)若角A 是△ABC 的内角，且f (A )＝35，求tan A －sin A 的值．解析：(1)f (α)＝sin αcos αcos α－cos α（－sin α）＝cos α.(2)因为f (A )＝cos A ＝35，又A 为△ABC 的内角，所以由平方关系，得sin A ＝1－cos 2A ＝45，所以tan A ＝sin A cos A ＝43，所以tan A －sin A ＝43－45＝815.授课提示：对应学生用书第19页[课后小结]1．这六组诱导公式可归纳为k ·π2±α(k ∈Z )的三角函数值与α的三角函数值之间的关系，当k 为偶数时，得角α的同名三角函数值，当k 为奇数时，得角α的余名三角函数值，然后前面加上一个把角α看成锐角时原三角函数值的符号，可简记为“奇变偶不变，符号看象限”．2．利用诱导公式求任意角的正弦、余弦函数值，常采用“负角化正角，大角化小角，最后转化成⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内的三角函数值”这种方式求解．用诱导公式把任意角的三角函数转化为0到π2之间的角的三角函数的基本步骤：任意负角的三角函数――――――→利用诱导公式一或三任意正角的三角函数――――――→利用诱导公式一0到2π之间的角的三角函数―――――――――→利用诱导公式二或四0到π2之间的角的三角函数 3．诱导公式在△ABC 中的变形在△ABC 中，常用到以下结论： sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ， cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ， tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋B 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 2＝cos C 2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋B 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 2＝sin C 2. [素养培优] 1．根据“π”的系数讨论不全致解题不完备[典例] 化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋14π＋α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －14π＋α，k ∈Z . 易错分析此题易错于只对n 为奇数，偶数两种情况讨论，还有其他情况仍符合诱导公式．自我纠正[解析] ①当n ＝4k 时(k ∈Z )，原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k ＋14π＋α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k －14π＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝0. ②当n ＝4k ＋1时，原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＋α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π4＋α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝0.③当n ＝4k ＋2时，原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54π＋α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＋α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝0.④当n ＝4k ＋3时，原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫74π＋α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫54π＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋π4＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝0. 综上，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋14π＋α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －14π＋α＝0. 2．忽视角的隐含范围丢解或增解[典例] (1)在△ABC 中，若sin(B ＋C )＝2sin(π－B )，3cos(B ＋C )＝2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．易错分析此题易忽视角为三角形内角的隐含条件致多解．自我纠正[解析] 由已知，得sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B ，两式平方相加，得sin 2A ＋3cos 2A ＝2，即2cos 2A ＝1， ∴cos A ＝±22.若cos A ＝－22，则cos B ＝－32，此时A ，B 均为钝角，不符合题意．∴cos A ＝22，∴cos B ＝32cos A ＝32，∴A ＝π4，B ＝π6，C ＝π－(A ＋B )＝7π12.(2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋β，3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β，0<α<π，0<β<π，求α，β.易错分析此题易忽视范围，而只认为为“锐角”而少解．自我纠正[解析] 由已知得sin α＝2sin β，3cos α＝ 2 cos β. 两式平方相加得sin 2α＋3cos 2α＝2，即sin 2α＋3(1－sin 2α)＝2，∴sin 2α＝12，又0<α<π，∴sin α＝22，则α＝π4或3π4.当α＝π4时，cos β＝32cos α＝32.又0<β<π，∴β＝π6.当α＝3π4时，cos β＝32cos α＝－32.又0<β<π，∴β＝5π6.综上可得，α＝π4，β＝π6或α＝3π4，β＝5π6.3．公式变换致错[典例] 设f (sin x )＝3－cos 2x ，则f (cos x )＝( ) A ．3－cos 2x B ．3－sin 2x C ．3＋cos 2x D ．3＋sin 2x 易错分析正余弦关系变换出错，易错选为其他答案．自我纠正[解析] ∵cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x∴f (cos x )＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x＝3－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝3－cos(π－2x )＝3＋cos 2x .选C.[答案] C。

高中数学第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式(第2课时)教学课件新人教A版必修4

【多维探究】 (1)本例条件不变，如何求 cos56π－α的值？
(2)本例条件若变为“已知 sin23π＋α＝12”，其他不变，则结果又如何？
(3)本例条件若不变，如何求 cos23π＋α的值？ (4)本例条件若不变，如何求 tanπ3－α的值？
解：(1)cos56π－α＝cosπ2＋π3－α＝－sinπ3－α＝－12. (2)cosπ6＋α＝cos23π＋α－π2＝cosπ2－23π＋α ＝sin23π＋α＝12.
提示：因为
tanπ2＋α
＝
csoinsπ2π2＋＋αα＝－cossinαα＝－cs1oins
α α
＝
－
1 tan
α，所以
tanπ2＋α＝－tan1
α，即它们互为负倒数．
1．对诱导公式五、六的理解 (1)公式五、六中的角 α 是任意角． (2)公式五、六可以概括如下：π2±α 的正弦(余弦)函数值，分别等于 α 的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号，可以简单地说成“函数名改变，符号看象限”．
高中数学第一章三角函数三角的诱导公式（第课时）教学课件
教版必修
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休
睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对
哦~
1．sin 95°＋cos 175°的值为( )
A．sin 5°
B．cos 5°
C．0
D．2sin 5°
解析：sin 95°＋cos 175°＝sin(90°＋5°)＋cos(180°
证明：∵左边＝－2sin321π－－2θsin－2 θsin θ－1
＝－2sinπ＋1－π2－2sθin2－θ sin θ－1＝2sinπ2－1－θ2s－ins2inθ θ－1

高中数学必修四教案-1.3 三角函数的诱导公式(4)-人教A版

教学环节教师活动学生活动设计意图特殊角到一般角的变化，归纳出公式二：sin（π＋α）=-sinα，cos（π＋α）=-cosα，tan（π＋α）=tanα。

3.练习：求sin22503.学生根据公式二求2250的正弦值。

同时为学生自主探索公式三和公式四做了示范作用。

3.及时巩固公式，体会公式的作用。

活动三：自主探究公式三、公式四1.引导学生回顾刚才探索公式二的过程，明确研究三角函数诱导公式的路线图：角间关系→对称关系→坐标关系→三角函数值间关系。

为学生指明探索公式三、四的方向。

2.探究：给定一个角α。

问题4：角-α和角α的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？利用公式（二）（三）能否得出sin(π-α)=？我们知道减法是加法的逆运算，因此π-α=π+（-α），故sin(π-α)=sin（π+（-α））=- sin（-α）= sinα3.组织学生分组探索角角α、角-α和角α的三角函数之间的关系。

先让学生先独立思考，然后小组交流。

在学生交流时教师巡视，让两个小组到黑板上展示。

同时派出优秀学生到其他小组提供帮助。

4.在学生解答后教师用几何画板演示其中的角α也可以为任意角，验证学生的结论。

1.体会研究诱导公式的线路图。

画出图形，先独立思考尝试自主解答，一定时间后在组长的带领下展开组内讨论。

2.两个小组的代表到黑板上展示。

3至4名优秀学生到其他小组提供帮助。

3.观察教师的动画演示，验证讨论的结论。

得到公式三：sin(-α)= -sin α，cos(-α)= cos α，tan(-α)= -tan α。

公式四：sin(π-α)=sinα，cos(π-α)=-cosα，tan(π-α)=-tanα.4.学生先自由发言，尝试归纳公式的特征。

然后在教师的引导下小组交流讨论形成对公式的正确认识。

归纳出公式的特征：的三角函数值，等于α的同名函数1.回顾探索公式二的过程为学生指明探索方向。

2.通过交流和展示培养学生勇于表达自己观点的意识和学会倾听、学会尊重他人的品质。

高中数学1.3三角函数的诱导公式(一)诱导公式二三四教案新人教A版必修4

３三角函数的诱导公式（一）诱导公式二三四一、关于教学内容的思考教学任务：帮助学生理解,,πααπα+--与α的正弦、余弦、正切值的关系；会利用诱导公式进行化简、求值。

教学目的：引导学生如何利用三角函数线探讨上述关系；教学意义：培养学生数形结合的思想。

二、教学过程１．理解,,πααπα+--与α的正弦、余弦、正切值的关系①,,πααπα+--与α终边的对称性；②观察三角函数线的关系：相等、相反；③得出关系式。

απ+ α- απ- α 关于原点对称关于x 轴对称关于y 轴对称三角函数线正弦线、余弦线互为相反正切线相同正弦线、正切线互为相反余弦线相同正切线、余弦线互为相反正弦线相同诱导公式 ααπααπααπtan )tan(;cos )cos(;sin )sin(=+-=+-=+ 公式二 sin()sin ;cos()cos ;tan()tan αααααα-=--=-=- 公式三 sin()sin ;cos()cos ;tan()tan πααπααπαα-=-=--=-公式四④总结：,,πααπα+--的三有函数值，等于α的同名函数值，前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。

２．利用诱导公式一二三四求值、化简例 ①=︒225cos ；②π311sin ＝；③)316sin(π-＝；④=︒-)2040cos( 。

①22-；②23-；③23；④21-。

例 )180cos()180sin()360sin()180cos(︒--︒--︒++︒αααα＝；１三、教材节后练习（可以在课堂上随着教学内容穿插进行）四、教学备用例子１．在ABC ∆中，31cos =B ，则)cos(C A +等于（Ｂ）Ａ．31 Ｂ．31- Ｃ．322 Ｄ．322-２．求)417sin()417cos(ππ---的值。

2 ３．在ABC ∆中，2cos sin =+A A ，)cos(2cos 3B A --=π，求ABC ∆的三个内角。

2020-2021学年数学人教A版必修4课件：1-3-2 诱导公式五、六

利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：
1从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简. 2左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子. 3针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，即化异为同.
[变式训练 3] ＋tan2x.
求证：cosx－co5sπ32πta＋nx2π－x＋tan2(π－x)＝1
[解] (1)f(α)＝sinα－co3sπ－coπs－2απ－sinα－sinπ－－αα＋32π
＝－sin－αc·coossαα··si－nαcosα＝－cosα.
(2)因为 cosα－32π＝－sinα，所以 sinα＝－15，又 α 是第三象限角，
所以 cosα＝－
1－－152＝－2
5
6 .
[针对训练] 已知 cos(75°＋α)＝13，求 cos(105°－α)－sin(15° －α)的值．
解：cos(105°－α)－sin(15°－α) ＝cos[180°－(75°＋α)]－sin[90°－(75°＋α)]
＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)＝－23.
[变式训练 1] 若 sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝m，则 cos(270°
－α)＋2sin(360°－α)的值为( D )
A．－12m
B．－32m
1 C.2m
3 D.2m
解析：由题意得－sinα－sinα＝m，所以 sinα＝－m2 .
cos(270°－α)＋2sin(360°－α)＝－sinα－2sinα
解析：cos130°＝cos(90°＋40°)＝－sin40°＝－a.
2．已知 sin(α－π4)＝13，则 cos(π4＋α)的值等于( D )

人教版高中数学高一A版必修4导学案 1.3三角函数的诱导公式(第2课时)

第2课时诱导公式五、六1.理解和掌握诱导公式五、六的内涵及结构特征，掌握这两个诱导公式的推导和记忆方法.2.会初步运用诱导公式五、六求三角函数的值，并会进行一般的三角关系式的化简和证明.诱导公式五和六可用口诀“函数名改变，符号看象限”记忆，“函数名改变”是指把函数名变为原函数的余名三角函数，即正弦变余弦，余弦变正弦.“符号看象限”是把α看成锐角时原三角函数值的符号.【做一做1－1】已知sin 25.7°＝m ，则cos 64.3°等于( )A.mB.－mC.m 2D.1－m 2【做一做1－2】已知cos 10°＝a ，则sin 100°＝________.答案：cos α sin α cos α －sin α 锐角【做一做1－1】 A【做一做1－2】 a1.对诱导公式五、六的认识剖析：(1)公式五和公式六可概括如下：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.简记为“函数名改变(正余互变)，符号看象限”.(2)把α看成锐角，实际上α可以为任意角.(3)公式五或公式六的作用：可以实现正弦函数与余弦函数的转化，在三角恒等变化中，起到改变函数名称的作用.2.记忆六组诱导公式剖析：因为任意一个角都可以表示为k ·π2＋α(其中|α|＜π4，k ∈Z )的形式，所以六组诱导公式就可以把任意角的三角函数求值问题转化为0～π4之间角的三角函数求值问题.2k π＋α＝4k ·π2＋α，－α＝0·π2－α，π±α＝2·π2±α，π2±α＝1·π2±α，则这六组诱导公式也可以统一用口诀“奇变偶不变，符号看象限”来记忆，即k ·π2±α(k ∈Z )的三角函数值，当k 为偶数时，得α的同名三角函数值；当k 为奇数时，得α的余名三角函数值，然后前面加上一个把α看成锐角时原三角函数值的符号，口诀中的“奇”和“偶”指k 的奇偶性.如sin ⎝⎛⎭⎫11π2＋α中的k ＝11是奇数，且把α看成锐角时，11π2＋α是第四象限角，第四象限角的正弦值是负数，所以sin ⎝⎛⎭⎫11π2＋α＝－cos α.题型一求值【例1】已知sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫π3－α的值. 分析：由于⎝⎛⎭⎫π6＋α＋⎝⎛⎭⎫π3－α＝π2，所以考虑用公式五化简求值. 反思：已知关于α的三角函数值，求其他三角函数时，通常利用角的整体代入.由于⎝⎛⎭⎫π6＋α＋⎝⎛⎭⎫π3－α＝π2,则借助于诱导公式,且6πα+表示3πα-,从而顺利解决.若2k παβ±=()k ∈Z ,则已知α与β中任意一个角的三角函数值,就可利用整体代入求出另一个角的三角函数值.题型二化简三角函数式【例2】化简cos ⎝⎛⎭⎫52π－αcos(－α)sin ⎝⎛⎭⎫32π＋αcos ⎝⎛⎭⎫212π－α＝__________. 题型三证明三角恒等式【例3】求证：tan(2π－α)cos ⎝⎛⎭⎫3π2－αcos(6π－α)sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝－tan α. 分析：解答本题可直接利用诱导公式对等式左边进行化简推出右边．题型四易错辨析易错点诱导公式的使用【例4】已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝a,0＜α＜π2，求sin ⎝⎛⎭⎫5π4＋α. 错解：∵0＜α＜π2，∴－π4＜π4－α＜π4， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＞0， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－a 2，sin ⎝⎛⎭⎫5π4＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤3π2－⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－a 2.错因分析：对诱导公式三角函数值的符号确定掌握不好，在sin ⎣⎡⎦⎤3π2－⎝⎛⎭⎫π4－α中，要把“π4－α”看成锐角来确定三角函数值符号．反思：诱导公式共有六组16个公式，公式较多，易错记错用(如本题错解)，特别是诱导公式右边的符号要记准．答案：【例1】解：∵π6＋α＋π3－α＝π2， ∴π3－α＝π2－⎝⎛⎭⎫π6＋α. ∴cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33. 【例2】－1原式＝cos ⎣⎡⎦⎤2π＋⎝⎛⎭⎫π2－αcos αsin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎣⎡⎦⎤10π＋⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos α－sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin αcos α－cos αsin α＝－1. 【例3】证明：左边＝tan (－α)(－sin α)cos (－α)－cos αsin α＝(－tan α)(－sin α)cos α－cos αsin α＝－tan α＝右边， ∴原等式成立．【例4】正解：∵0＜α＜π2，∴－π4＜π4－α＜π4， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＞0， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－a 2，sin ⎝⎛⎭⎫5π4＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝－cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－1－a 2.1．已知πsin 2α⎛⎫+⎪⎝⎭＝34，则πsin 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝__________. 2．化简15ππsin cos()229π3πsin cos 22αααα⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝__________. 3．已知πsin 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝35，那么πcos 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是__________． 4．求证：πsin cos(π)2πsin sin(π)2θθθθ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭⎛⎫--- ⎪⎝⎭＝21tan θ-. 5．已知角α的终边经过点P (－4,3)，求πcos sin(π)211π9πcos sin 22αααα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．答案：1.34 ∵πsin 2α⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos α＝34， ∴πsin 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝cos α＝34. 2．－1 原式＝ππsin 8πcos 22ππsin 4πcos π22αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ ＝πsin sin 2ππsin cos 22αααα⎛⎫- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝cos sin cos [(sin )]αααα---＝－1. 3．35- ∵ππ44αα⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝π2， ∴α＋π4＝ππ24α⎛⎫+- ⎪⎝⎭，∴πcos 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝ππcos 24α⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ＝πsin 4α⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝35-. 4．证明：左边＝cos cos cos sin θθθθ+-＝2cos cos sin θθθ-＝21tan θ-＝右边，∴原等式成立． 5．解：∵角α的终边经过点P (－4,3)，∴tan α＝y x ＝34-. ∴原式＝sin sin sin cos αααα-⋅-⋅＝tan α＝34-.。

【新教材】2020-2021学年高一下学期数学人教A版必修4第一章1.3 三角函数的诱导公式讲义

1.1.1 诱导公式（二）【学情分析】本节课是在掌握了诱导公式二、三、四的前提下继续研究诱导公式五、六，由于公式较多，学生在短时间内不能全部掌握，更不会能灵活运用，因此，本节课在加强公式的理解和记忆同时，通过具体例子说明公式的运用，有助于学生的消化吸收. 【教学三维目标】一、知识与技能 1、借助单位圆推导诱导公式，特别是学习从单位圆的对称性鱼任意角终边的对称性中发现问题（任意角α的三角函数值与2πα-，2πα+等三角函数值之间有内在联系），提出研究方法（利用坐标的对称性，从三角函数定义得出相应的关系式）；2、能正确运用诱导公式求任意角的三角函数值，以及进行简单三角函数式的化简与恒等式证明，并从中体会未知到已知、复杂到简单的转化过程；二、过程与方法1、理解诱导公式的推导方法；2、掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明；3、培养学生化归、转化的能力；三、情感态度与价值观通过诱导公式的应用，使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的一条行之有效的途径．【教学重点】：诱导公式的探究，运用诱导公式进行求值、化简、证明，提高数学内部联系的认识．【教学难点】：发现圆的几何性质（特别是对称性）与三角函数性质的联系，特别是直角坐标系内关于直线y x =对称的点得性质与（2πα±）的诱导公式的关系。

【课前准备】：三角板、圆规、多媒体．ααtan 180tan(-=-︒） ααπtan tan(-=-）公式三’：用弧度制可表示如下：αα-sin 360sin(=-︒） ααπ-sin 2sin(=-）ααcos 360cos(=-︒） ααπcos 2cos(=-）ααtan 360tan(-=-︒） ααπtan 2tan(-=-）二、探究新知【探究新知】1、如图1-3-1，设任意角α的终边与单位圆的交点1P 的坐标为(),x y 。

由于角2πα-的终边与角α的终边关于直线y x =对称，角2πα-的终边与单位圆的交点2P 与点1P 关于直线y x =对称，因此点2P 的坐标是(),y x 。