均值不等式综合复习题

基本不等式巩固提高

例 1.解不等式

2

5123

x

x x -<--- （答：(1,1)(2,3)-）；

2. 若2

log 13

a

<，则a 的取值范围是__________ 3 .关于x 的不等式0>-b ax 的解集为),1(+∞，则关于x 的不等式

02

>-+x b

ax 的解集为____________ （答：),2()1,(+∞--∞ ）

基本不等式

（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的

积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．

（2）求最值的条件“一正，二定，三取等” 常用方法 (1)凑项 例1：已知5

4x <，求函数14245

y x x =-+-的最大值。 (2)凑系数 例2. 当时，求(82)y x x =-的最大值

(3)分离

例3. 求2710

(1)1

x x y x x ++=

>-+的值域。 配出含有（x ＋1）的项，再将其分离。 练习

1. 已知a ，b 都是正数，则 a ＋b 2、

a 2＋

b 2

2的大小关系是 。

2.已知12

1(0,0),m n m n +=>>则mn 的最小值是

3.已知：226x y +=， 则 2x y +的最大值是＿＿＿

4求1

(3)3

y x x x =

+>-的最小值. 5求(5) (05)y x x x =-<<的最大值.

6求1

(14)(0)4

y x x x =-<<的最大值。

7求12

3 (0)y x x x

=+<的最大值.

8若2x >，求1

252

y x x =-+-的最小值

9若0x <，求21

x x y x

++=的最大值。

10求222

y x =+的最小值.

习题A

1.已知a ＞0,b ＞0，a

1+b

3=1，则a +2b 的最小值为( )

A .7+26

B .2

3

C .7+23

D .14

2.设a ＞0,b ＞0,下列不等式中不成立的是( ) A.b

a a

b +≥2

B .a 2+b 2≥2ab

C .b

a a

b

2

2

+

≥a +b

D .b a

11+≥2+

b

a +2

3.已知x ＞0,y ＞0，x ,a ,b ,y 成等差数列，x ,c ,d ,y 成等比数列，则()cd

b a 2

+的最小值是( )

A .0

B .1

C .2

D . 4 4.x +3y -2=0，则3x +27y +1的最小值为 ( )

A .7

B .339

C .1+2

2

D .5

5.若不等式x 2+ax +4≥0对一切x ∈（0，1］恒成立，则a 的取值范围为( ) A .[)+∞,0

B .[)+∞-,4

C .[)+∞-,5

D .[]4,4-

6.在下列函数中，当x 取正数时，最小值为2的是( )

A .y =x +x

4

B .y =x

x lg 1

lg +

C .y =

1

1122++

+x x

D .y =x 2-2x +3

7.已知0＜x ＜1，则x (3-3x )取得最大值时x 的值为( ) A .3

1

B .2

1

C .4

3

D .3

2

8.若直线2ax +by -2=0 （a ,b ∈R +）平分圆x 2+y 2-2x -4y -6=0，则a 2+b

1

的最小值是( ) A .1

B .5

C .4

2

D .3+2

2

9.函数y =log 2x +log x (2x )的值域是( )

A .(]1,--∞

B .[)+∞,3

C .[]3,1-

D .(][)+∞--∞,31,

10.有一个面积为 1 m 2，形状为直角三角形的框架，有下列四种长度的钢管供应用，其中最合理（够用且最省）的是( )A .4.7 m B .4.8 m C .4.9 m

D .5 m

11.已知x ,y ,z ∈R +，x -2y +3z =0,xz

y 2的最小值是 .

12.若实数a ,b 满足ab -4a -b +1=0 (a ＞1),则(a +1)(b +2)的最小值为 .

13.若a ,b 是正常数，a ≠b ,x ,y ∈(0,+∞)，则x

a 2+y

b 2

≥()y x b a ++2,当且仅当x a =y

b 时上式取等号.利用以上

结论，可以得

到函数f (x )=x

2+

x

219

-⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈210,x 的最小值为 ，取最小值时x 的值为 .

14.（1）已知0＜x ＜3

4，求x (4-3x )的最大值；

（2）点(x ,y )在直线x +2y =3上移动，求2x +4y 的最小值. 15.已知a 、b ∈（0，+∞），且a +b =1,求证：