居余马线性代数第三章课后习题

第三章 课后习题及解答

将1，2题中的向量α表示成4321,,,αααα的线性组合：

1．()()()()().1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,,1,1,11,,1,12,1T

4T

3T

21T

--=--=--===αααααT

2．()()()()().1,1,1,0,0,0,1,1,1,3,1,2,1,0,1,1,1,0,0,04321--=====ααααα

解：设存在4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=，整理得

14321=+++k k k k

24321=--+k k k k

14321=-+-k k k k

14321=+--k k k k

解得.41

,41,41,454321-=-===

k k k k 所以43214

1

414145ααααα--+=

. 设存在 4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=，整理得

02321=++k k k ，04321=+++k k k k ，

0342=-k k ，1421=-+k k k .

解得 .0,1,0,14321=-===k k k k 所以31ααα-=.

判断3，4题中的向量组的线性相关性： 3. ()()().6,3,1,5,2,0,1,1,1T

3T

2T

1===ααα

4. ()().3,0,7,142,1,3,0,)4,2,1,1(T

3T

2T 1==-=βββ，

解：

3.设存在 321,,k k k 使得0332211=++αααk k k ，即

⎪⎩⎪

⎨⎧=++=++=+0650320321

32131k k k k k k k k ，由0651321101=，解得321,,k k k 不全为零， 故321,,ααα线性相关.

4.设存在 321,,k k k 使得0332211=++βββk k k ，即

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=++=++=+-=+0

142407203033213212

131k k k k k k k k k k 可解得321,,k k k 不全为零，故321,,βββ线性相关. 5.论述单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相关和线性无关的条件.

解：设存在k 使得0=αk ，若0≠α，要使0=αk ，当且仅当0=k ，故，单个向量线性

无关的充要条件是0≠α；相反，单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相关的充要条件是

0=α.

6.证明：如果向量组线性无关，则向量组的任一部分组都线性无关. 证：设向量组n n αααα,,,,121- 线性无关，利用反证法，

假设存在该向量组的某一部分组)(,,,21n i r i i i r ≤ααα 线性相关，

则向量组n n αααα,,,,121- 线性相关，与向量组n n αααα,,,,121- 线性无关矛盾， 所以该命题成立.

7.证明：若21,αα线性无关，则2121,αααα-+也线性无关.

证：方法一，设存在21,k k 使得0)()(212211=-++ααααk k ，

整理得，0)()(221121=-++ααk k k k ，

因为21,αα线性无关，所以⎩⎨

⎧=-=+0

2121k k k k ，可解得021==k k ，

故2121,αααα-+线性无关.

方法二，因为=-+）（2121,αααα⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-1111,21）（αα， 又因为

021

11

1≠-=-，且21,αα线性无关，所以向量组2121,αααα-+的秩为2，

故2121,αααα-+线性无关.

8.设有两个向量组s ααα,,,21 和,,,,21s βββ 其中

,13121111⎪

⎪

⎪

⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=k a a a a α,3222122⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ks a a a a α ,,321⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ks s s s s a a a a α

s βββ,,,21 是分别在s ααα,,,21 的k 个分量后任意添加m 个分量mj j j b b b ,,,21

),,2,1(s j =所组成的m k +维向量，证明：

(1) 若s ααα,,,21 线性无关，则s βββ,,,21 线性无关； (2) 若s βββ,,,21 线性相关，则s ααα,,,21 线性相关.

证：证法1，(1)设()s A ααα,,,21 =，()s B βββ,,,21 =，因为s ααα,,,21 线性无关，所以齐次线性方程0=AX 只有零解，即,)(s A r = 且s B r =)(，s βββ,,,21 线性无关.

证法2，因为s ααα,,,21 线性无关，所以齐次线性方程0=AX 只有零解，再增加方程的个数，得0=BX ，该方程也只有零解，所以s βββ,,,21 线性无关.

(2) 利用反证法可证得，即假设s ααα,,,21 线性无关，再由（1）得s βββ,,,21 线性无关，与s βββ,,,21 线性相关矛盾.

9. 证明：133221,,αααααα+++线性无关的充分必要条件是321,,ααα线性无关.

证：方法1，（133221,,αααααα+++）=（321,,ααα）⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛110011101

因为321,,ααα线性无关，且021

100111

01≠=，可得133221,,αααααα+++的秩为3

所以133221,,αααααα+++线性无关.线性无关；反之也成立.

方法2，充分性，设321,,ααα线性无关，证明133221,,αααααα+++线性无关.