考点40 直线方程——2021年高考数学专题复习真题练习
(2021年整理)直线与方程高考题
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直线与圆专题复习一 、直线方程的几种形式 ：1。
一般式：ax+by+c=0， a ≠0 2.点斜式：y-y1=k(x —x1) 3.斜截距式：y=k x + b 4。
两点式：121121x x x x y y y y --=--5．截距式：1=+bya x 6、点向式:2111v y y v x x -=- 7、点法式：0)()(11=-+-y y B x x A 二、圆的方程1、 圆的规范方程：()()222r b y a x =-+-2、 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x 三、直线与直线关系、直线与圆的关系 1、 直线与直线平行的判断及其应用 2、直线与直线垂直的判断及其应用3、直线与直线相交的判断及其应用4、直线关于直线的对称直线的方程5、圆与圆的位置关系及其判断及应用6、直线与圆的位置关系及其应用 实战演练:1。
（安徽高考）直线过点(-1，2）且与直线23x y -+4=0垂直，则的方程是A ． B. C . D 。
2.(上海高考）已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l k x k y l k x y -+-+=--+=与平行,则K 得值是( ）（A ） 1或3 （B ）1或5 (C )3或5 （D ）1或23．若直线m 被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为22,则m 的倾斜角可以是:①15②30③45④60⑤75其中正确答案的序号是。
考点40 直线方程——2021年高考数学专题复习真题附解析
考点40 直线方程【题组一 斜率与倾斜角】110y -+=的倾斜角为 。
【答案】60︒10y -+=，设直线的倾斜角为(0180)αα︒<︒，由tan α=，得60α=︒．2．直线1:210l x y -+=与直线2:210l x y ++=的夹角为______________.【答案】90︒【解析】由直线1:210l x y -+=与直线2:210l x y ++=的方程可知， 两直线的斜率分别为：1212,2k k ==-，∴121k k =-，∴12l l ⊥,∴两直线的夹角为90︒. 故答案为：90︒. 3．已知直线l 过点(1,0)P 且与以(2,1)A ，(4,3)B -为端点的线段AB 有公共点，则直线l 倾斜角的取值范围为_______． 【答案】30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【解析】如图所示：设直线l 过A 点时直线l 的斜率为1k ，直线l 过B 点时直线l 的斜率为2k ， 则，110121k -==-，230141k --==--， 所以要使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为：[]1,1-,所以l 倾斜角的取值范围30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.故答案为：30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭. 【题组二 直线方程】1．过点（1，2），且在两坐标轴上的截距相等的直线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】B【解析】若直线过原点，则在两坐标轴上的截距都为0，在两坐标轴上的截距相等； 若直线不过原点时，设直线在两坐标轴上的截距为a ，由1x y a a+=，代入点（1，2）的坐标可得：a ＝3，∴满足条件的直线有两条，故选B ． 2．“直线:21l y kx k =+-在坐标轴上截距相等”是“1k =-”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题知：0k ≠，由0x =得21y k =-；由0y =得，12k x k-=. 因为在坐标轴上的截距相等，所以1221k k k--=，解得12k =或1k =-. 所以直线:21l y kx k =+-在坐标轴上截距相等”是“1k =-”的必要不充分条件.故选：B.【题组三 直线的位置关系】1．设a ∈R ，则“a ＝3”是“直线ax +2y +3a ＝0和直线3x +（a ﹣1）y ＝a ﹣7平行”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当a ＝3时，两直线的方程分别为3290x y ++=和3240x y ++=，此时两条直线平行成立； 反之，当两直线平行时，有(1)23a a -=⨯且(7)9a a a -≠-，解得3a =或2a =-，而当2a =-时，两条直线都为30x y -+=，重合，舍去，所以3a =，所以“a ＝3”是“直线ax +2y +3a ＝0和直线3x +（a ﹣1）y ＝a ﹣7平行”的充要条件，故选：C2．已知m 为实数，直线1:10l mx y +-=，()23220l m x my -+-=：，若12l l //，则实数m 的值( ) A ．2 B ．1 C ．1或2 D ．0或13【答案】B【解析】当0m =时，两直线方程分别为10y -=和220x --=，不满足条件．当0m ≠时，则12//l l ，∴32211m m m --=≠-， 由321m m m -=得2320m m -+=得1m =或2m =，由211m -≠-得2m ≠，则1m =，故选：B 3．已知直线:3210p x y -+=，直线:(1)0q ax b y +-=，且p ∥q ，若,a b 均为正数，则23a b +的最小值是（ ）A ．253B ．83C ．8D ．24【答案】A【解析】因为直线:3210p x y -+=，直线:(1)0q ax b y +-=，且p ∥q ，所以23(1)a b =-，即213a b +=， 因为,a b 均为正数，所以23232422333a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13223b a a b ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭131325+4=333≥+， 当且仅当22b a a b =，即35a b ==时取等号，所以23a b +的最小值为253，故选：A 4．14a =是“直线(1)310a x ay +++=与直线(1)(1)30a x a y -++-=相互垂直”的（ ）. A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】对于：直线(1)310a x ay +++=与直线(1)(1)30a x a y -++-=，当0a =时，分别化为：10x +=，30x y -+-=，此时两条直线不垂直，舍去；当1a =-时，分别化为：310y -+=，230x --=，此时两条直线相互垂直，因此1a =-满足条件； 当1a ≠-，0时，两条直线的斜率分别为：13a a +-，11a a -+，由于两条直线垂直，可得11131a a a a +--⨯=-+，解得14a =或1-（舍去）． 综上可得：两条直线相互垂直的充要条件为：14a =或1-． ∴14a =是“直线(1)310a x ay +++=与直线(1)(1)30a x a y -++-=相互垂直”的充分而不必要条件．故选：A ．【题组四 距离问题】1．直线110l x y -+=：与直线250l x y -+=：之间的距离是______．【答案】【解析】直线110l x y -+=：与直线250l x y -+=：之间的距离==故答案为：2．点P是曲线22ln 0x y --=上任意一点，则点P 到直线4410x y ++=的最小距离是（ ）Aln 2)- Bln 2)+ C1ln 2)2+ D ．1(1ln 2)2+ 【答案】B【解析】将直线4x ＋4y ＋1＝0平移后得直线l ：4x ＋4y ＋b ＝0，使直线l 与曲线切于点P(x 0，y 0)，由x 2－y －0得y ′＝2x －1x， ∴直线l 的斜率k ＝2x 0－01x ＝－1⇒x 0＝12或x 0＝－1(舍去)， ∴P 11,ln 224⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所求的最短距离即为点P 11,ln 224⎛⎫+ ⎪⎝⎭到直线4x ＋4y ＋1＝0的距离d(1＋ln 2)．故选B. 【题组五 定点问题】1．方程30kx y +-=所确定的直线必经过的定点坐标是 ．【答案】（0，3）【解析】方程kx+y ﹣3＝0所确定的直线必经过的定点坐标满足030x y =⎧⎨-=⎩，解得03x y =⎧⎨=⎩，故定点坐标为（0，3），故答案为 ：（0，3）． 2．对任意实数m ，直线30mx y m --+=恒过定点，则该定点的坐标为_________【答案】(1,3)【解析】30mx y m --+=化为3(1)y m x -=-，方程表示过点(1,3)斜率为m 的直线方程，所以直线过定点(1,3).故答案为:(1,3).【题组六 对称问题】1．点()2,1P -关于直线:10l x y -+=对称的点P ´的坐标是A ．()1,0B ．()0,1C ．()0,1-D ．()1,0-【答案】C 【解析】设点(),P a b '，则线段PP '的中点为21,22a b -+⎛⎫ ⎪⎝⎭， 又点21,22a b -+⎛⎫ ⎪⎝⎭在直线:10l x y -+=上， 所以211022a b -+-+= ①因为直线PP l '⊥，1l k ，12PP b k a '-=+所以1112b a -⨯=-+ ②.联立①②，解。
2021年高考数学一轮复习《直线方程》精选练习(含答案)
2021年高考数学一轮复习《直线方程》精选练习一 、选择题1.k 是直线l 斜率，θ是直线l 倾斜角，若30°≤θ<120°，则k 取值范围是（ ）A.333≤≤-k B.133≤≤k C.3-<k 或33≥kD.33≥k2.直线l 1: ax+2y –1=0与直线l 2: x+(a –1)y+a 2=0平行，则a 的值是（ ）A.–1B.2C.–1或2D.0或1 3.直线l:xsin 30°+ycos 150°+1=0的斜率是( )A. B.C.-D.-4.直线(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0过定点( )A.(1,-3)B.(4,3)C.(3,1)D.(2,3) 5.a=41是“直线(a+1)x+3ay+1=0与直线(a-1)x+(a+1)y-3=0互相垂直”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.实数x,y 满足3x-2y-5=0(1≤x ≤2),则yx 的取值范围是（ ） A.(,1]-∞- B.1[1,]4- C.1[0,]4 D.1[,)4+∞7.已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为另一条直线x －2y －4=0的斜率的倒数，则直线l的方程为( )A ．y=3x ＋2B ．y=3x －2C ．y=3x ＋12D ．y=－3x ＋28.直线x ＋(a 2＋1)y ＋1=0的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 9.已知直线l 1：(k-3)x ＋(3-k)y ＋1=0与直线l 2：2(k-3)x-2y ＋3=0垂直，则k 的值是( )A.2B.3C.2或3D.2或-3 10.以A(1,3)，B(-5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( )A.3x-y-8=0B.3x ＋y ＋4=0C.3x-y ＋6=0D.3x ＋y ＋2=011.直线l 过点A(3,4)，且与点B(－3,2)的距离最远，则直线l 的方程为( ) .A.3x －y －5=0B.3x －y ＋5=0C.3x ＋y ＋13=0D.3x ＋y －13=0 12.抛物线y=-x 2上的点到直线4x ＋3y-8=0距离的最小值是( )A.34 B.57 C.58 D.320 13.两条平行线l 1：3x ＋4y-2=0，l 2：9x ＋12y-10=0间的距离等于( )A.57 B.157 C.154 D.32 14.已知点P(x,y)在经过A(3,0),B(1,1)两点的直线上，则的最小值为( )A.B.C.16D.不存在15.设点A(－2，3)，B(3，2)，若直线ax ＋y ＋2=0与线段AB 没有交点，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－52∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，52C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，43D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞二、填空题16.设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x ＋y －b=0与线段AB 相交，则b 的取值范围是 . 17.记直线l ：2x －y ＋1=0的倾斜角为α，则1sin2α＋tan2α的值为 .18.已知直线ax+by=1经过点(1,2)，则2a +4b 的取范围是 19.已知x ＋y －3=0，则22)1()2(++-y x 的最小值为________． 20.直线22:101al x y a +-=+（a ∈R ）的倾斜角的取值范围是 . 21.点P(a,b) 在直线x+y+1=0 上，则的最小值为三、解答题22.已知△ABC 的三个顶点A(4，-6)，B(-4,0)，C(-1,4)，求(1)AC 边上的高BD 所在直线方程； (2)BC 边的垂直平分线EF 所在直线方程； (3)AB 边的中线的方程．23.已知直线方程为(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0.（1）证明：直线恒过定点M ；（2）若直线分别与x 轴、y 轴的负半轴交于A 、B 两点，求△AOB 面积的最小值及此时直线的方程.24.过点P(4,1)作直线l 分别交x ，y 轴正半轴于A ，B 两点.(1)当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程； (2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l 的方程.25.实系数方程f(x)=x 2+ax+2b=0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，求：(1)12--a b 的取值范围； (2)(a-1)2+(b-2)2的取值范围. （3）a+b-3的值域.答案解析26.C ； 27.B 28.A 29.C ；解析：2mx+x+my+y-7m-4=0,即(2x+y-7)m+(x+y-4)=0,由解得则直线过定点(3,1),故选C.30.A ；解析：由直线(a+1)x+3ay+1=0与直线(a-1)x+(a+1)y-3=0互相垂直得(a+1)(a-1)+3a ×(a+1)=0,解得a=0.25或a=-1.∴“a=0.25”是“直线(a+1)x+3ay+1=0与直线(a-1)x+(a+1)y-3=0互相垂直”的充分而不必要条件.故选A. 31.B32.答案为：A.解析：因为直线x －2y －4=0的斜率为12，所以直线l 在y 轴上的截距为2，所以直线l 的方程为y=3x ＋2. 33.答案为：B ；解析：由直线方程可得该直线的斜率为－1a 2＋1，又－1≤－1a 2＋1＜0，所以倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 34.C; 35.B; 36.D 37.A ； 38.C ； 39.B 40.答案为：B.解析：易知直线ax ＋y ＋2=0过定点P(0，－2)，k PA =－52，k PB =43，设直线ax ＋y ＋2=0的斜率为k ，若直线ax ＋y ＋2=0与线段AB 没有交点，根据图象(图略)可知－52＜k ＜43，即－52＜－a ＜43，解得－43＜a ＜52，故选B.41.答案为：[－2,2]；解析：b 为直线y=－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y=－2x ＋b 过点A(－1,0)和点B(1,0)时，b 分别取得最小值和最大值.∴b 的取值范围是[－2,2].42.答案为：－112；解析：∵直线l ：2x －y ＋1=0的斜率为2，∴tan α=2，∴sin2α=2sin αcos αsin 2α＋cos 2α=2tan α1＋tan 2α=2×21＋22=45，tan2α=2tan α1－tan 2α=2×21－22=－43，∴1sin2α＋tan2α=54－43=－112. 43.答案为：［，+).44.答案为：45.答案：3[,]44ππ.46.答案为：；47.48.解：49.解：设直线l ：x a ＋yb=1(a ＞0，b ＞0)，因为直线l 经过点P(4,1)，所以4a ＋1b=1.(1)因为4a ＋1b=1≥24a ·1b =4ab， 所以ab ≥16，当且仅当a=8，b=2时等号成立，所以当a=8，b=2时，S △AOB =12ab 最小，此时直线l 的方程为x 8＋y2=1，即x ＋4y －8=0.(2)因为4a ＋1b=1，a ＞0，b ＞0，所以|OA|＋|OB|=a ＋b=(a ＋b)·⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b =5＋a b ＋4b a ≥5＋2 a b ·4b a =9， 当且仅当a=6，b=3时等号成立，所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l 的方程为x 6＋y3=1，即x ＋2y －6=0.50.。
狂刷40 直线与方程-学易试题君之小题狂刷2021年高考数学(理)(原卷版)
专题九 解析几何狂刷40 直线与方程1．直线sin 20x y α++=的倾斜角的取值范围是 A ．[)0,πB ．][π30,π,π44⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．ππ0π42⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，，2．已知直线l 经过点()0,0O ，且与直线30x y --=垂直，那么直线l 的方程是 A ．30x y +-= B ．30x y -+= C ．0x y +=D ．0x y -=3．已知直线l 经过点212,M t t ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和点212,N t t ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则A ．斜率为定值，但倾斜角不确定B ．倾斜角为定值，但斜率不确定C ．斜率与倾斜角都不确定D ．斜率为1-，倾斜角为135︒4．已知直线3230x y +-=和610x my ++=互相平行，则它们之间的距离是A ．13 B ．26 C ．41313D ．713265．已知直线l 过点()1,2，且在纵坐标轴上的截距为横坐标轴上的截距的两倍，则直线l 的方程为 A ．20x y -=B ．240x y +-=C ．20x y -=或220x y +-=D ．20x y -=或240x y +-=6．已知点()()2,3,3,2A B ---，直线l 的方程为10kx y k -++-=，且直线l 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围为A ．34k ≥或4k ≤- B ．34k ≥或14k ≤- C ．344k -≤≤D ．344k ≤≤7．已知直线1x ya b+=经过第一、二、三象限且斜率小于1，那么下列不等式中一定正确的是A ．a b <B >C ．()()0b a b a -+>D ．11a b> 8．已知()3,1A ，()1,2B -，若ACB ∠的角平分线所在直线方程是1y x =+，则直线AC 的方程为 A ．210x y --= B ．1522y x =-+ C ．25y x =-D ．270x y +-=9．我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长，这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就，现作出圆222x y +=的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在的直线为A ．)10x y +=B ．(10x y -=C ．)10x y -=D ．)10x y -=10．已知实数m ，n 满足21m n -=，则直线30mx y n -+=必过定点___________.11．若过点P (1－a ，1＋a )与Q (4，2a )的直线的倾斜角为钝角，且m ＝3a 2－4a ，则实数m 的取值范围是________．12．过两直线10x +=0y +-的交点，并且与原点的最短距离为12的直线的方程为________.13．设a ∈R ，则“3a =”是“直线230ax y a ++=和直线()317x a y a +-=-平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线30mx y +-=的距离，当,m θ变化时，d 的最大值为 A ．1 B ．2 C ．3D ．415．曲线13y -=与过原点的直线l 没有交点，则l 的倾斜角α的取值范围是A ．π2π0,,π33⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．ππ,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．2π,π3⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．π0,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭16．已知点()11A ，和点()44B ，，P 是直线10x y -+=上的一点，则PA PB +的最小值是A ． BCD ．17．设两条直线的方程分别为0x y a ++=，0x y b ++=，已知a ，b 是方程20x x c ++=的两个实根，且108c ≤≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是A 12B C ．2，12D ．24，1418．过点()3,0P -作直线()()2120x y λλλ+++=∈R 的垂线，垂足为M ，已知点()3,2N ，则当λ变化时，MN 的取值范围是A ．0,5⎡+⎣B ．5⎡+⎣C ．5,5⎡⎣D ．5⎡⎤-⎣⎦19．数学家欧拉在1765年提出，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC 的顶点A (2，0)，B (0，4)，若其欧拉线的方程为x －y ＋2＝0，则顶点C 的坐标为 A ．(－4，0) B ．(－3，-1) C ．(－5，0)D ．(－4，-2)20．已知点()()()3,0,0,3,1,0A B M ，O 为坐标原点，P Q ，分别在线段AB BO ，上运动，则MPQ△的周长的最小值为 A ．4 B ．5C ．D21．已知0,0a b >>，若直线(21)210a x y -+-=与直线20x by +-=垂直，则11a b+的最小值为__________．22．若平面区域30230230x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩夹在两条平行直线之间，则当这两条平行直线间的距离最短时，它们的斜率是__________．23．已知点(1,0)M -，(1,0)N ．若直线:0l x y m +-=上存在点P 使得PM PN ⊥，则实数m 的取值范围是__________． 24．已知点P 是函数32y x x=+的图象上的一点，则点P 到直线210x y ++=的距离的最小值为__________．。
高考数学三轮冲刺专题直线的方程练习(含解析)(2021年整理)
山东省齐河县高考数学三轮冲刺专题直线的方程练习（含解析）编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（山东省齐河县高考数学三轮冲刺专题直线的方程练习（含解析））的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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直线的方程一、选择题（本大题共12小题，共60分）1。
若直线：，与直线：互相平行，则m的值等于A. 0或或3B. 0或3 C。
0或 D。
或3（正确答案）D解：时，两条直线方程分别化为：，，此时两条直线不平行,舍去．，由于，则,解得或3，经过验证满足条件．综上可得：或3．故选:D．对m分类讨论,利用两条直线相互平行的条件即可得出．本题考查了两条直线相互平行的充要条件，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．2. 已知直线：和：互相平行，则实数A。
或3 B。
C。
D. 或（正确答案)A解：由，解得或．经过验证都满足两条直线平行,或．故选：A．由，解得经过验证即可得出．本题考查了两条直线平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3. 已知直线与直线互相垂直，则A. B. C。
1 D. 3（正确答案）C解：直线与直线互相垂直，,解得故选：C由直线的垂直关系可得a的方程,解方程可得a值．本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．4. 在直角坐标平面内，过定点P的直线l：与过定点Q的直线m：相交于点M,则的值为A. B。
C. 5 D。
10(正确答案）D【分析】由已知得，，过定点P的直线与过定点Q的直线垂直,M位于以PQ为直径的圆上,由此能求出的值．【解答】解:在平面内,过定点P的直线与过定点Q的直线相交于点M，,，过定点P的直线与过定点Q的直线垂直,位于以PQ为直径的圆上,,，故选D．5。
2021年新高考数学总复习第54讲：直线方程
第 1 页 共 5 页2021年新高考数学总复习第54讲：直线方程1．直线x －3y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为( ) A.π6 B.π3 C.23π D.56π 答案 A2．(2020·东安模拟)设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋35上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，2π3B.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，πC.⎝⎛⎦⎤π2，2π3D.⎣⎡⎦⎤π3，2π3答案 B解析 y ′＝3x 2－3≥－3，即tan α≥－3，又0≤α<π，∴0≤α<π2或2π3≤α<π，选B.3．直线l 过点M(－2，5)，且斜率为直线y ＝－3x ＋2的斜率的14，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －14＝0B ．3x －4y ＋14＝0C ．4x ＋3y －14＝0D ．4x －3y ＋14＝0答案 A解析 因为直线l 的斜率为直线y ＝－3x ＋2的斜率的14，则直线l 的斜率为k ＝－34，故y －5＝－34(x ＋2)，得3x ＋4y －14＝0，故选A.4．(2020·北京东城期末)已知直线l 的倾斜角为α，斜率为k ，那么“α>π3”是“k>3”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 当π2<α<π时，k<0；当k>3时，π3<α<π2.所以“α>π3”是“k>3”的必要不充分条件，故选B.5．【多选题】过点(5，2)且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程可以是( ) A ．2x ＋y －12＝0B ．2x －5y ＝0。
2021年高考数学二轮复习 直线与圆专题训练(含解析)
2021年高考数学二轮复习直线与圆专题训练（含解析）A级——基础巩固组一、选择题1．已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称，则直线l的方程为( ) A．x－y＋1＝0 B．x－y＝0C．x＋y＋1＝0 D．x＋y＝0解析由题意知直线l与直线PQ垂直，所以k l＝－1k PQ ＝－14－21－3＝1.又直线l经过PQ的中点(2,3)，所以直线l的方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0.答案 A2．(xx·四川成都二模)已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为( )A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1D．(x－2)2＋(y－2)2＝1解析C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(－1,1)，它关于直线x－y－1＝0对称的点为(2，－2)，对称后半径不变，所以圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1.答案 B3．(xx·山东潍坊一模)若圆C经过(1,0)，(3,0)两点，且与y轴相切，则圆C的方程为( ) A．(x－2)2＋(y±2)2＝3B．(x－2)2＋(y±3)2＝3C．(x－2)2＋(y±2)2＝4D．(x－2)2＋(y±3)2＝4解析因为圆C经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x＝2上，又圆与y轴相切，所以半径r＝2，设圆心坐标为(2，b)，则(2－1)2＋b2＝4，b2＝3，b＝±3，选D.答案 D4．(xx·山东青岛一模)过点P (1，3)作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A 和B ，则弦长|AB |＝( )A. 3 B ．2 C. 2 D ．4解析如图所示，∵PA ，PB 分别为圆O ：x 2＋y 2＝1的切线， ∴OA ⊥AP .∵P (1，3)，O (0,0)， ∴|OP |＝1＋3＝2.又∵|OA |＝1，在Rt △APO 中，cos ∠AOP ＝12，∴∠AOP ＝60°，∴|AB |＝2|AO |sin ∠AOP ＝ 3.故选A. 答案 A5．(xx·北京朝阳一模)直线y ＝x ＋m 与圆x 2＋y 2＝16交于不同的两点M ，N ，且|MN →|≥3|OM →＋ON →|，其中O 是坐标原点，则实数m 的取值范围是( )A ．(－22，－2)∪[2，22)B ．(－42，－22)∪[22，42)C ．[－2,2]D ．[－22，2 2 ]解析 设MN 的中点为D ，则OM →＋ON →＝2OD →，|MN →|≥23|OD →|，由|OD →|2＋12|MN →|2＝16，得16＝|OD→|2＋14|MN →|2≥|OD →|2＋14(23|OD →|)2，从而得|OD →|≤2，由点到直线的距离公式可得|OD →|＝|m |2≤2，解得－22≤m ≤2 2.答案 D6．(xx·江西卷)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )A.45π B.34π C ．(6－25)πD.54π 解析 ∵∠AOB ＝90°，∴点O 在圆C 上．设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y －4＝0的距离，∴点C 在以O 为焦点，以直线2x ＋y －4＝0为准线的抛物线上， ∴当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为|OD |. 又|OD |＝|2×0＋0－4|5＝45，∴圆C 的最小半径为25，∴圆C 面积的最小值为π⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝45π. 答案 A 二、填空题7．(xx·山东卷)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________．解析 ∵圆心在直线x －2y ＝0上， ∴可设圆心为(2a ，a )． ∵圆C 与y 轴正半轴相切， ∴a >0，半径r ＝2a .又∵圆C 截x 轴的弦长为23，∴a 2＋(3)2＝(2a )2，解得a ＝1(a ＝－1舍去)． ∴圆C 的圆心为(2,1)，半径r ＝2. ∴圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4. 答案 (x －2)2＋(y －1)2＝48．(xx·重庆卷)已知直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为________．解析 由题意，得圆心C 的坐标为(－1,2)，半径r ＝3.因为AC ⊥BC ，所以圆心C 到直线x －y＋a ＝0的距离d ＝|－1－2＋a |2＝22r ＝322，即|－3＋a |＝3，所以a ＝0或a ＝6.答案 0或69．直线2ax ＋by ＝1(a ，b 是实数)与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且△AOB 是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P (a ，b )与点(0,1)之间的距离的最大值为________．解析 易知△AOB 为等腰直角三角形，且点O 到直线距离为22，可得2a 2＋b 2＝2⇒－2≤b ≤2，a 2＋b －12＝2－b22＋b －12≤ 2＋1.答案2＋1三、解答题10．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程； (2)若点P 到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． 解 (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r . 则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2. ∴y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1. ∴P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P 的坐标为(x 0，y 0)， 则|x 0－y 0|2＝22，即|x 0－y 0|＝1.∴y 0－x 0＝±1，即y 0＝x 0±1.①当y 0＝x 0＋1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0＋1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1，∴r 2＝3.∴圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3.②当y 0＝x 0－1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0－1)2－x 20＝1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1，∴r 2＝3.∴圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3. 综上所述，圆P 的方程为x 2＋(y ±1)2＝3.11．(xx·课标全国卷Ⅰ)已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．解 (1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0,4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y )．由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0， 即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆． 由|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上， 又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为y ＝－13x ＋83.又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105，|PM |＝4105，所以△POM 的面积为165.B 级——能力提高组1．(xx·河南南阳联考)动圆C 经过点F (1,0)，并且与直线x ＝－1相切，若动圆C 与直线y ＝x ＋22＋1总有公共点，则圆C 的面积( )A ．有最大值8πB ．有最小值2πC ．有最小值3πD ．有最小值4π解析 设圆心为C (a ，b )，半径为r ，r ＝|CF |＝|a ＋1|，即(a －1)2＋b 2＝(a ＋1)2，即a ＝14b 2，∴圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫14b 2，b ，r ＝14b 2＋1，圆心到直线y ＝x ＋22＋1的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 24－b ＋22＋12≤b24＋1，∴b ≤－2(22＋3)或b ≥2，当b ＝2时，r min ＝14×4＋1＝2，∴S min ＝πr 2＝4π.答案 D2．过圆x 2＋y 2＝1上一点作圆的切线与x 轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为________．解析 假设直线l AB ：x a ＋y b ＝1.由于圆心(0,0)到l 的距离为1，可得a 2b 2＝a 2＋b 2.又a 2b 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 222，所以a 2＋b 2≥4.又因为|AB |＝a 2＋b 2≥2，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立．答案 23．(xx·江苏卷)如图，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60 m 处，点C 位于点O 正东方向170 m 处(OC 为河岸)，tan ∠BCO ＝43.(1)求新桥BC 的长；(2)当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？解 (1)如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy .由条件知A (0,60)，C (170,0)，直线BC 的斜率k BC ＝－tan ∠BCO ＝－43.又因为AB ⊥BC ，所以直线AB 的斜率k AB ＝34.设点B 的坐标为(a ，b )， 则k BC ＝b －0a －170＝－43，k AB ＝b －60a －0＝34.解得a ＝80，b ＝120. 所以BC ＝170－802＋0－1202＝150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m ，OM ＝d m(0≤d ≤60)． 由条件知，直线BC 的方程为y ＝－43(x －170)，即4x ＋3y －680＝0.由于圆M 与直线BC 相切，故点M (0，d )到直线BC 的距离是r ， 即r ＝|3d －680|42＋32＝680－3d5. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧r －d ≥80，r －60－d≥80，即⎩⎪⎨⎪⎧680－3d 5－d ≥80，680－3d 5－60－d≥80.解得10≤d ≤35.故当d ＝10时，r ＝680－3d 5最大，即圆面积最大．所以当OM ＝10 m 时，圆形保护区的面积最大．23405 5B6D 孭39756 9B4C 魌39310 998E 馎_35376 8A30 訰5?40649 9EC9 黉m736800 8FC0 迀25106 6212 戒#21703 54C7 哇P。
狂刷40 直线与方程-学易试题君之小题狂刷2021年高考数学(理)(解析版)
专题九 解析几何狂刷40 直线与方程1．直线sin 20x y α++=的倾斜角的取值范围是 A ．[)0,πB ．][π30,π,π44⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．ππ0π42⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，，【答案】B【解析】直线x sin α+y +2＝0的斜率为k ＝﹣sin α， ∵﹣1≤sin α≤1，∴﹣1≤k ≤1， ∴倾斜角的取值范围是[0，π4]∪[34π，π）. 故选B ．【名师点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，属基础题．求解时，由直线的方程可确定直线的斜率，可得其范围，进而可求倾斜角的取值范围．2．已知直线l 经过点()0,0O ，且与直线30x y --=垂直，那么直线l 的方程是 A ．30x y +-= B ．30x y -+= C ．0x y +=D ．0x y -=【答案】C 【解析】直线l 与直线30x y --=垂直，∴直线l 的斜率为1-，则()00y x -=--，即0x y +=． 故选C ．【名师点睛】本题考查了直线方程的求法，考查两直线垂直的等价条件，属于基础题．由题意可求出直线l 的斜率，由点斜式写出直线方程化简即可．3．已知直线l 经过点212,M t t ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和点212,N t t ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则A ．斜率为定值，但倾斜角不确定B ．倾斜角为定值，但斜率不确定C ．斜率与倾斜角都不确定D ．斜率为1-，倾斜角为135︒【答案】D【解析】由已知，直线MN 的斜率221141224t t t t k ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===----，所以直线MN 的倾斜角为135︒． 故选D.【名师点睛】本题考查两点间斜率公式以及倾斜角与斜率关系，考查基本求解能力，属基础题.先根据斜率公式求斜率，再根据斜率求倾斜角.4．已知直线3230x y +-=和610x my ++=互相平行，则它们之间的距离是 A．13 B．26 CD【答案】D【解析】∵直线3230x y +-=和610x my ++=互相平行，则4m =， 将直线3230x y +-=的方程化为6460x y +-=， 则两条平行直线之间的距离为d故选D ．【名师点睛】本题主要考查两条直线平行的性质，两条平行线间的距离公式的应用，属于中档题． 5．已知直线l 过点()1,2，且在纵坐标轴上的截距为横坐标轴上的截距的两倍，则直线l 的方程为 A ．20x y -=B ．240x y +-=C ．20x y -=或220x y +-=D ．20x y -=或240x y +-=【答案】D【解析】根据题意，直线l 分2种情况讨论：①当直线过原点时，又由直线经过点()1,2，所求直线方程为2y x =，整理为20x y -=； ②当直线不过原点时，设直线l 的方程为12x y a a +=，代入点()1,2的坐标得1212a a+=，解得2a =，此时直线l 的方程为124x y+=，整理为240x y +-=． 故直线l 的方程为20x y -=或240x y +-=. 故选D ．【名师点睛】本题考查直线的截距式方程，注意分析直线的截距是否为0，属于基础题．根据题意，分直线l 是否经过原点2种情况讨论，分别求出直线l 的方程，即可得答案．6．已知点()()2,3,3,2A B ---，直线l 的方程为10kx y k -++-=，且直线l 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围为A ．34k ≥或4k ≤- B ．34k ≥或14k ≤- C ．344k -≤≤D ．344k ≤≤ 【答案】A【解析】方法一：由直线l 的方程为10kx y k -++-=，即1(1)1y kx k k x =-+=-+，可知，直线l 恒过定点P （1,1），所以34,4AP BP k k =-=，数形结合可得，若直线l 与线段AB 相交，则k ≥34或k ≤－4.方法二：易求得线段AB 的方程为()513032x y y ++=-≤≤-，得513x y =--，由直线l 的方程得()119514111551514514514y y y y k x y y y +----===-=----++()11955514y =-++， 当1435y -≤<-时，15140y -≤+<，此时，()119455514k y =-+≤-+； 当1425y -<≤-时，05144y <+≤，此时，()1193555144k y =-+≥+. 因此，实数k 的取值范围是4k ≤-或34k ≥，故选A. 【名师点睛】本题考查斜率取值范围的计算，可以利用数形结合思想，观察倾斜角的变化得出斜率的取值范围，也可以利用参变量分离，得出斜率的表达式，利用不等式的性质得出斜率的取值范围，考查计算能力，属于中等题. 7．已知直线1x ya b+=经过第一、二、三象限且斜率小于1，那么下列不等式中一定正确的是 A ．a b <B>C ．()()0b a b a -+>D ．11a b> 【答案】B【解析】直线1x ya b+=经过第一、二、三象限，则直线在x 轴的截距0a <，在y 轴的截距0b >， 由直线的斜率小于1可知：01ba<-<，结合0a <可得：0a b a <<<-，逐一考查所给的选项：由绝对值的性质可知：a b >，选项A 错误；>B 正确；由不等式的性质可得：0,0b a b a ->+<，则()()0b a b a -+<，选项C 错误；110,0a b <>，则11a b<，选项D 错误. 本题选择B 选项.【名师点睛】本题主要考查直线的截距式方程，不等式的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.由题意首先确定a ，b 的范围，然后逐一考查所给命题的真假即可. 8．已知()3,1A ，()1,2B -，若ACB ∠的角平分线所在直线方程是1y x =+，则直线AC 的方程为 A ．210x y --= B ．1522y x =-+ C ．25y x =-D ．270x y +-=【答案】A【解析】由题意可知直线AC 和直线BC 关于直线1y x =+对称.设点(1,2)B -关于直线1y x =+的对称点为()00,B x y '，则有0000002111021122y x x y y x -⎧=-⎪=⎧+⎪⇒⎨⎨=+-⎩⎪=+⎪⎩，即(1,0)B '.因为(1,0)B '在直线AC 上，所以直线AC 的斜率为101312k -==-，所以直线AC 的方程为11(3)2y x -=-，即210x y --=. 故A 正确.【名师点睛】本题主要考查的是点关于直线的对称点、直线关于直线的对称直线，可通过设B 的对称点，再根据对称性质进行求解.解决直线的对称性问题对考生来说相对较抽象，可结合草图来加强理解. 9．我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长，这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就，现作出圆222x y +=的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在的直线为A．)10x y +=B．(10x y -=C．)10x y -=D．)10x y -=【答案】C【解析】如图所示可知)()((),11,1,1AB C D -，，，所以直线AB ，BC ，CD的方程分别为：(),11y x y x y x =-==+整理为一般式即：)10,x y +=(10,x y -=)10,x y -=分别对应题中的A 、B 、D 选项. 本题选择C 选项.【名师点睛】本题主要考查直线方程的求解，圆的方程等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.由题意求解题中所给的直线方程，对比选项，利用排除法即可求得最终结果. 10．已知实数m ，n 满足21m n -=，则直线30mx y n -+=必过定点___________. 【答案】12,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】由已知得21n m =-，代入直线30mx y n -+=得3210mx y m -+-=， 即()()2310x m y ++--=，由20310x y +=⎧⎨--=⎩，解得213x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，∴直线必过定点12,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故答案为12,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭.【名师点睛】将21n m =-代入直线30mx y n -+=得()()2310x m y ++--=，由20310x y +=⎧⎨--=⎩即可得结果.探索曲线过定点的常见方法有两种：①可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为(),(,)0tf x y g x y +=的形式，根据()(),0,0f x yg x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩求解），借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点).②从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.11．若过点P(1－a，1＋a)与Q(4，2a)的直线的倾斜角为钝角，且m＝3a2－4a，则实数m的取值范围是________．【答案】4,393⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】设直线的倾斜角为α，斜率为k，则2(1)1 tan4(1)3a a aka aα-+-===--+，又α为钝角，∴13aa-<+，即(1)(3)0a a-+<，故31a-<<，因为关于a的函数234m a a=-的对称轴为23a=，∴2222343(3)4(3) 33m⎛⎫⨯-⨯<⨯--⨯-⎪⎝⎭，∴实数m的取值范围是4,393⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.【名师点睛】本题考查了直线的倾斜角与斜率，根据两点坐标表示出直线的斜率，求出a的取值范围，进而得出实数m的取值范围.12．过两直线10x+=y+-的交点，并且与原点的最短距离为12的直线的方程为________.【答案】12x=或10x+=【解析】联立10xy⎧+=⎪+=可得交点为1(2.当直线斜率不存在时，x=12，到原点的距离等于12，符合题意；当直线斜率存在时，设直线方程为1()2y k x=-，即220kx y k-=，因为直线与原点的最短距离为1212=，解得k=，所以所求直线的方程为10x+=.所以本题答案为12x=或10x+=.【名师点睛】本题主要考查求两条直线交点坐标的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题.求解时，联立直线方程可求出直线的交点坐标，若所求直线的斜率不存在，则可根据交点坐标得到所求直线的方程，然后验证原点到此方程的距离是否等于12即可；若直线斜率存在时，根据点斜式写出直线方程，然后根据原点到直线的距离等于12就可求出直线的斜率，据此可得到满足题意的直线的方程.13．设a ∈R ，则“3a =”是“直线230ax y a ++=和直线()317x a y a +-=-平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若直线230ax y a ++=和直线()317x a y a +-=-平行，则可得：()123a a -=⨯，解得3a =或−2.当3a =时，两直线分别为：3290x y ++=和3240x y ++=，满足平行； 当2a =-时，两直线分别为：30x y -+=和30x y -+=，两直线重合； 所以“3a =”是“直线230ax y a ++=和直线()317x a y a +-=-平行”的充要条件. 故选C.【名师点睛】本题主要考查了两直线平行求参数值的问题，先由两直线平行解得a 的值，再通过检验是否重合可得3a =，从而得两命题的关系.已知两直线的一般方程判定两直线平行的一般方法为：已知1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=，则1212210l l A B A B ⇔-=∥，需检验两直线是否重合，属于易错题型.14．在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线30mx y +-=的距离，当,m θ变化时，d 的最大值为 A ．1 B ．2 C ．3D ．4【答案】D【解析】由题意可知，()cos ,sin P θθ是单位圆上的点，而直线30mx y +-=是过定点()0,3的直线（不含y 轴），原点（即圆心）到直线30mx y +-=的距离的最大值为3，∴点P 到直线30mx y +-=的距离的最大值为3＋1＝4． 故选D ．【名师点睛】本题考查点到直线的距离，利用几何意义求解，点P 在单位圆上，直线是过定点()0,3的直线，求出圆心到直线距离的最大值，然后加上半径1即可．但在求最大值时，不用点到直线距离公式求出距离，而是借助几何意义求解，点P 在单位圆上，直线是过定点()0,3的直线，求出圆心到直线距离的最大值，然后加上半径1即可．而圆心到定点的距离就是当直线变化时，圆心到直线距离的最大值，这可由直角三角形的性质直接得出．这种方法简单易行，值得提倡．15．曲线13y -=与过原点的直线l 没有交点，则l 的倾斜角α的取值范围是 A ．π2π0,,π33⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．ππ,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．2π,π3⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．π0,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】当0x ≥，0y ≥时，由13y =得13y -=，该射线所在直线的倾斜角为π3；当0x ≤，0y ≥时，由13y =得13y +=，该射线所在直线的倾斜角为2π3；当0x ≤，0y ≤时，由133y x -=得133y -=，该射线所在直线的倾斜角为π3； 当0x ≥，0y ≤时，由133y x -=得133y --=，该射线所在直线的倾斜角为2π3.作出曲线13y =的图象如下图所示：由图象可知，要使得过原点的直线l 与曲线13y -=没有交点， 则直线l 的倾斜角α的取值范围是π2π0,,π33⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，故选A ． 【名师点睛】本题考查直线倾斜角的取值范围，考查数形结合思想，解题的关键就是作出图形，利用数形结合思想进行求解，属于中等题.求解时，作出曲线13y -=的图形，得出各射线所在直线的倾斜角，观察直线l 在绕着原点旋转时，直线l 与曲线13y =没有交点时，直线l 的倾斜角α的变化，由此得出α的取值范围.16．已知点()11A ，和点()44B ，，P 是直线10x y -+=上的一点，则PA PB +的最小值是A ． BCD ．【答案】D【解析】如下图所示：点()11A ，，关于直线l ：10x y -+=的对称点为C （0，2），连接BC ，此时PA PB +的最小值为BC ==故选D ．【名师点睛】本题考查的知识点是两点间距离公式的应用，难度不大，属于中档题．17．设两条直线的方程分别为0x y a ++=，0x y b ++=，已知a ，b 是方程20x x c ++=的两个实根，且108c ≤≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是A 12BC ，12D ，14【答案】A 【解析】a b ，是方程20x x c ++=的两个实根，1a b ∴+=-，ab c =，∵两条直线之间的距离d =()2241422a b abcd +--∴==， 108c ≤≤，11412c ∴≤-≤，21142d ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，，∴两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为2，12. 故选A.【名师点睛】本题考查了平行线之间的距离的求法，函数的最值的求法，考查了计算能力，注意a b c ，，之间的关系，利用其关系进行转化，属于中档题.利用方程的根，求出a b c ，，之间的关系，求出平行线之间的距离表达式，然后求解距离的最值即可.18．过点()3,0P -作直线()()2120x y λλλ+++=∈R 的垂线，垂足为M ，已知点()3,2N ，则当λ变化时，MN 的取值范围是A ．0,5⎡+⎣B ．5⎡+⎣C ．5,5⎡⎣D ．5⎡⎤-⎣⎦【答案】B【解析】直线()()2120x y λλλ+++=∈R ，即()()220x y y λ+++=， 由2020x y y +=⎧⎨+=⎩，求得12x y =⎧⎨=-⎩，直线经过定点()1,2Q -．如图，由PQM △为直角三角形，斜边为PQ ，M 在以PQ 为直径的圆上运动， 可得圆心为PQ 的中点()1,1C --，半径为152r PQ ==，则()2,3N 与M 的最大值为||5NC r +==，()2,3N 与M 的最小值为||5NC r -==故MN 的范围为：5⎡-⎣.故选B ．【名师点睛】本题考查直线恒过定点，以及圆的方程的运用，圆外一点与圆上的点的距离的最值求法，考查运算能力，属于中档题．化已知直线为()()220x y y λ+++=，即有20x y +=且20y +=，解方程可得定点Q ，可得M 在以PQ 为直径的圆上运动，求得圆心和半径，由圆的性质可得最值． 19．数学家欧拉在1765年提出，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC 的顶点A (2，0)，B (0，4)，若其欧拉线的方程为x －y ＋2＝0，则顶点C 的坐标为 A ．(－4，0)B ．(－3，-1)C ．(－5，0)D ．(－4，-2)【答案】A 【解析】设C (m ，n )，由重心公式，可得△ABC 的重心为24,33m n ++⎛⎫⎪⎝⎭， 代入欧拉直线有：242033m n ++-+=，整理得m －n ＋4＝0 ①. AB 的中点为(1，2)，k AB ＝4002--＝－2， AB 的中垂线方程为y －2＝12(x －1)，即x －2y ＋3＝0， 联立23020x y x y -+=⎧⎨-+=⎩可得：11x y =-⎧⎨=⎩，所以△ABC 的外心为(－1，1)，外心与点B 的距离：d ==外心与点B 的距离与外心与点C 的距离相等，则(m ＋1)2＋(n －1)2＝10，整理得m 2＋n 2＋2m －2n ＝8 ②， 联立①②，可得m ＝－4，n ＝0或m ＝0，n ＝4.当m ＝0，n ＝4时，B ，C 两点重合，舍去，当m ＝－4，n ＝0时满足题意.所以点C 的坐标为(－4，0)．本题选择A 选项.【名师点睛】本题主要考查直线方程的应用，三角形的中心坐标公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.设点的坐标为C (m ，n )，由重心公式得到关于m ，n 的方程，然后利用外心与点B 的距离及外心与点C 的距离相等得到关于m ，n 的方程，两方程联立即可确定顶点C 的坐标. 20．已知点()()()3,0,0,3,1,0A B M ，O 为坐标原点，P Q ，分别在线段AB BO ，上运动，则MPQ△的周长的最小值为A ．4B ．5C ．D 【答案】C【解析】过()()3,0,0,3A B 两点的直线方程为30x y +-=， 设()10M ，关于直线30x y +-=对称的点为(),N x y ，则11113022y x x y ⎧=⎪⎪-⎨+⎪+-=⎪⎩，解得32x y =⎧⎨=⎩，即()32N ，， 同理可求()10M ，关于O 对称的点为()10E -，， 当N P Q E ，，，共线时，MPQ △的周长MQ PQ QM NP EQ PQ ++=++取得最小值，为NE ==故选C ．【名师点睛】本题主要考查了点关于直线的对称性的简单应用，试题的技巧性较强，属于中档题. 21．已知0,0a b >>，若直线(21)210a x y -+-=与直线20x by +-=垂直，则11a b+的最小值为__________．【答案】8【解析】设直线(21)210a x y -+-=的斜率为1k ，直线20x by +-=的斜率为2k ， 1212a k -∴=-，21k b =-， 两条直线垂直，12211()()12a k k b -∴=--=-，整理得：2()1a b +=， 11112228b a a b a b a b a b∴+=+⋅+=++≥()()()，当且仅当14a b ==时等号成立， ∴11a b+的最小值为8. 【名师点睛】利用“1”的代换，转化成可用基本不等式求最值，考查转化与化归的思想.22．若平面区域30230230x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩夹在两条平行直线之间，则当这两条平行直线间的距离最短时，它们的斜率是__________．【答案】2或12【解析】作出不等式组30230230x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩表示的平面区域如图所示：可行域是等腰三角形，平面区域夹在两条平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是点B 到AC 的距离，它们的斜率是2，求得A （2，1），B （1，2），点A 到BC=，点B 到AC=，所以A 到BC 的距离也是最小值，平行线的斜率为12. 故答案为2或12． 【名师点睛】本题主要考查平面区域的作法，考查点到直线的距离，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.作出平面区域，找出距离最近的平行线的位置，求出直线方程，再计算距离．23．已知点(1,0)M -，(1,0)N ．若直线:0l x y m +-=上存在点P 使得PM PN ⊥，则实数m 的取值范围是__________．【答案】[【解析】设直线:0l x y m +-=上存在点P 使得PM PN ⊥，点P 的坐标为(,)x m x -， 则(1,),(1,)MP x m x NP x m x =+-=--，因为PM PN ⊥，所以MP NP ⊥，由向量数量积的坐标公式可得，(1)(1)()()0x x m x m x +-+--=222210x mx m ⇒-+-=， 由题意可知该方程有实根，即22(2)8(1)0m m ∆=---≥，解得m ≤≤【名师点睛】本题考查了转化法、方程思想.求解时，设出点P 的坐标为(,)x m x -，由PM PN ⊥，可以转化为MP NP ⊥，根据平面向量数量积的坐标表示公式可得到一个关于x 的一元二次方程，只要该方程的判别式大于等于零即可，解不等式最后求出实数m 的取值范围.24．已知点P 是函数32y x x =+的图象上的一点，则点P 到直线210x y ++=的距离的最小值为__________．【解析】设0003(,)2P x x x +，则点0003(,)2P x x x +到直线210x y ++=的距离为：00000332()131255x x x x x d +++++==，因为0033(,6][6,)x x +∈-∞-+∞0033+1(,5][7,)x x ⇒+∈-∞-+∞0033+1[5,)x x ⇒+∈+∞，所以min d ==. 【名师点睛】本题考查点到直线的距离公式、对勾函数的最值，属于基础题.求解时，将P 点设出来，利用点到直线的距离公式表示出点P 到直线210x y ++=的距离，再求最小值即可.。
高考数学专题《直线与直线方程》习题含答案解析
专题9.1 直线与直线方程1.（福建高考真题（文））“a=1”是“直线x+y =0和直线x-ay =0互相垂直”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】直线x +y =0和直线x −ay =0互相垂直的充要条件是1×(−a)+1×1=0，即a =1，故选C2．（2020·肥东县综合高中月考（文））点(),P x y 在直线40x y +-=上，O 是坐标原点，则OP 的最小值是（ ） A BC ．D 【答案】C 【解析】原点到直线40x y +-===故选C. 3．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线:1l y =-，则直线l （ ）． A ．过点)2-B C ．倾斜角为60° D ．在y 轴上的截距为1【答案】BC 【分析】根据直线斜截式方程的定义，依次判断，即得解 【详解】 点)2-的坐标不满足方程1y =-，故A 错误；根据斜截式的定义，直线l 的斜率tan k θ=60°，故B ，C 正确； 由1y =-，知直线l 在y 轴上的截距为1-，故D 错误． 故选：BC4．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线:10l x my m -+-=，则下列说法正确的是（ ）． A ．直线l 的斜率可以等于0练基础B ．若直线l 与y 轴的夹角为30°，则m =或m =C ．直线l 恒过点()2,1D ．若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则1m =或1m =- 【答案】BD 【分析】讨论0m =和0m ≠时直线的斜率和截距情况，判断AD 的正误；利用倾斜角和斜率的关系判断B 的正误；将方程化为()()110x m y ---=判断直线过定点，判断C 的正误. 【详解】当0m =时，直线:1l x =，斜率不存在， 当0m ≠时，直线l 的斜率为1m，不可能等于0，故A 选项错误； ∵直线l 与y 轴的夹角角为30°，∴直线l 的倾斜角为60°或120°，而直线l 的斜率为1m，∴1tan 60m =︒=1tan120m =︒=m 或m =B 选项正确； 直线l 的方程可化为()()110x m y ---=，所以直线l 过定点()1,1，故C 选项错误； 当0m =时，直线:1l x =，在y 轴上的截距不存在， 当0m ≠时，令0x =，得1m y m-=，令0y =，得1x m =-， 令11m m m-=-，得1m =±，故D 选项正确． 故选：BD ．5．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线l 的方程为20ax by +-=，则下列判断正确的是（ ）．A ．若0ab >，则直线l 的斜率小于0B ．若0b =，0a ≠，则直线l 的倾斜角为90°C ．直线l 可能经过坐标原点D ．若0a =，0b ≠，则直线l 的倾斜角为0° 【答案】ABD 【分析】根据直线方程与斜率，倾斜角的关系，依次讨论各选项即可得答案. 【详解】对于A 选项，若0ab >，则直线l 的斜率0ab-<，A 正确； 对于B 选项，若0b =，0a ≠，则直线l 的方程为2x a=，其倾斜角为90°，B 正确； 对于C 选项，将()0,0代入20ax by +-=中，显然不成立，C 错误； 对于D 选项，若0a =，0b ≠，则直线l 的方程为2y b=，其倾斜角为0°，D 正确． 故选：ABD ．6．（2021·全国高二课时练习）直线3240x y +-=的斜率为______，在x 轴上的截距为______. 【答案】32- 43【分析】将直线转化为斜截式即可得出斜率，令0y =可求出在x 轴上的截距. 【详解】由3240x y +-=，可得322y x =-+，故该直线的斜率32k =-.令0y =，得43x =，所以该直线在x 轴上的截距为43. 故答案为：32-；43.7．（2021·全国）已知直线1:1l y x =+，将直线1l 绕点()1,2按逆时针方向旋转45︒后，所得直线2l 的方程为_______，将直线1l 绕点()1,2按顺时针方向旋转45°后，所得直线3l 的方程为_______．【答案】1x = 2y = 【分析】根据斜率和倾斜角的关系得出直线2l 和直线3l 的斜率再求解其直线方程即可. 【详解】易知直线1l 的斜率为1，倾斜角为45︒，所以直线2l 的倾斜角为90︒，直线3l 的倾斜角为0︒， 又因为直线2l 和直线3l 都经过点()1,2， 所以直线2l 和直线3l 的方程分别为1x =，2y =． 故答案为：1x =；2y =8．（2021·浙江衢州·高二期末）已知直线1l ：3480x y +-=和2l ：320x ay -+=，且12l l //，则实数a =__________，两直线1l 与2l 之间的距离为__________． 【答案】-4； 2 【分析】根据两直线平行斜率相等求解参数即可；运用两平行线间的距离公式计算两直线之间的距离可得出答案. 【详解】解：直线1:3480l x y +-=和2:320l x ay -+=，12l l //， 334a -∴=，解得4a =-； ∴2:3420l x y ++= 两直线1l 与2l间的距离是：2d == .故答案为：4-；2.9.（2020·浙江开学考试）已知直线1l 的方程为3420x y --=，直线2l 的方程为6810x y --=，则直线1l 的斜率为___________，直线1l 与2l 的距离为___________. 【答案】34310【解析】直线1l 的方程为3420x y --=即为3142y x =-，斜率为34. 因为直线2l 的方程为6810x y --=即为13402x y --=， 所以直线1l 与2l 平行，则直线1l 与2l310=.故答案为：34；31010．（2021·抚松县第一中学高二月考）已知A （1，0），B （﹣1，2），直线l ：2x ﹣ay ﹣a ＝0上存在点P ，满足|P A |+|PB |＝a 的取值范围是 ___________． 【答案】2[,2]3-【分析】计算线段AB 的距离，得到点P 的轨迹，将点A ，B 分别代入2x ﹣ay ﹣a ＝0，得到a ，根据题意得到直线l 所过定点Ｃ，求出直线AC ,BC 的斜率，根结合直线l 与线段AB 始终有交点计算出a 的取值范围. 【详解】因为||AB ==||||PA PB += 由图可知，点P 的轨迹为线段AB ，将点A ，B 的坐标分别代入直线l 的方程，可得a ＝2，a ＝23-，由直线l 的方程可化为：2x ﹣a （y +1）＝0，所以直线l 过定点C （0，﹣1）， 画出图形，如图所示：因为直线AC 的斜率为k AC ＝1，直线BC 的斜率为k BC ＝2(1)10----＝﹣3， 所以直线l 的斜率为k ＝2a ，令2123aa⎧≥⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，解得23-≤a ≤2，所以a 的取值范围是[23-，2]．故答案为：[23-，2]．1.（2021·绥德中学高一月考）已知0a >，0b >，直线220ax by -+=恒过点(2-，1)，则14a b+的最小值为（ ） A ．8 B ．9 C ．16 D ．18【答案】B 【分析】利用给定条件可得1a b +=，再借助“1”的妙用即可计算得解. 【详解】因直线220ax by -+=恒过点(2-，1)，则有2220a b --+=，即1a b +=， 又0a >，0b >，则14144()()559b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当4b a a b =，即2b a =时取“=”，练提升由21b a a b =⎧⎨+=⎩得12,33a b ==，所以当12,33a b ==时，14a b+取得最小值9.故选：B2．（2019·四川高考模拟（文））已知点(3,0)P -在动直线(1)(3)0m x n y -+-=上的投影为点M ，若点3(2,)2N ，那么||MN 的最小值为（ ） A ．2 B ．32C ．1D ．12【答案】D 【解析】因为动直线()()130m x n y -+-=方程为，所以该直线过定点Q （1,3）， 所以动点M 在以PQ5,2= 圆心的坐标为3(1,)2-，所以点N3=， 所以MN 的最小值为51322-=.故答案为：D 3．（2019·湖南衡阳市八中高三月考（文））已知直线的倾斜角为且过点，其中，则直线的方程为( )C.【答案】B 【解析】，， 则直线方程为：故选4．（四川高考真题（文））设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线l θ1sin()22l 20y --=40y +-=0x -=360y 122sin πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭1cos 2θ∴=-2 3πθ=tan θ=1y x -=40y +-=B30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB +的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】B 【解析】易得(0,0),(1,3)A B .设(,)P x y ，则消去m 得：2230x y x y +--=，所以点P 在以AB 为直径的圆上，PA PB ⊥，所以222||||10PA PB AB +==，令,PA PB θθ==，则)4PA PB πθθθ+=+=+.因为0,0PA PB ≥≥，所以02πθ≤≤.sin()14πθ≤+≤PA PB ≤+≤.选B. 法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以PA PB ⊥，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆.以下同法一.5.（2020·浙江）已知点(2,1)M -，直线l 过点M 且与直线210x y -+=平行，则直线l 的方程为____________；点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为_______________. 【答案】240x y -+= (0,1)- 【分析】根据所求直线与直线210x y -+=平行，设方程为()201x y n n -+=≠求解；设点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为(),M x y '，由112211022y x x y -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩求解.【详解】因为所求直线与直线210x y -+=平行， 所以设方程为()201x y n n -+=≠， 因为直线过点(2,1)M -， 代入直线方程解得4n =，所以所求直线方程为：240x y -+=；设点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为(),M x y '， 则112211022y x x y -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩，解得01x y =⎧⎨=-⎩，所以点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为()0.1-故答案为：240x y -+=，(0,1)-6．（2019·黑龙江鹤岗·月考（文））已知直线l 经过点()4,3P ，且与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，O 为坐标原点.（1）若点O 到直线l 的距离为4，求直线l 的方程； （2）求OAB ∆面积的最小值.【答案】（1）7241000x y +-=（2）24 【解析】（1）由题意可设直线l 的方程为()34y k x -=-，即430kx y k --+=，则4d ==，解得724k =-. 故直线l 的方程为774302424x y ⎛⎫---⨯-+= ⎪⎝⎭，即7241000x y +-=. （2）因为直线l 的方程为430kx y k --+=，所以34,0A k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，()0,43B k -+， 则OAB ∆的面积为()113194431624222S OA OB k k k k ⎛⎫⎛⎫=⋅=-+⨯-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由题意可知k 0<，则91624k k --≥=（当且仅当34k =-时，等号成立）.故OAB ∆面积的最小值为()12424242⨯+=. 7.（2021·抚松县第一中学高二月考）已知直线l 1：2x +y +3＝0，l 2：x ﹣2y ＝0．(1) 求直线l 1关于x 轴对称的直线l 3的方程，并求l 2与l 3的交点P ； (2)求过点P 且与原点O （0，0）距离等于2的直线m 的方程． 【答案】(1)2x ﹣y +3＝0，P （﹣2，﹣1）；(2) 3x +4y +10＝0或x ＝﹣2. 【分析】(1)由对称关系求直线l 3的方程，联立l 2与l 3的方程，求点P 的坐标，(2)当直线m 的斜率存在时，设直线m 的点斜式方程，由点到直线距离公式列方程求斜率，由此可得直线m 的方程，再检验过点P 的斜率不存在的直线是否满足要求. 【详解】(1)由题意，直线l 3与直线l 1的倾斜角互补，从而它们的斜率互为相反数，且l 1与l 3必过x 轴上相同点3(,0)2-，∴直线l 3的方程为2x ﹣y +3＝0，由230,20,x y x y -+=⎧⎨-=⎩解得2,1.x y =-⎧⎨=-⎩∴P （﹣2，﹣1）．(2)当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为y +1＝k （x +2）， 即kx ﹣y +2k ﹣1＝0，∴原点O （0，0）到直线m2=，解得34k =-，∴直线m 方程为3x +4y +10＝0，当直线m 的斜率不存在时，直线x ＝﹣2满足题意， 综上直线m 的方程为3x +4y +10＝0或x ＝﹣2．8．（2021·宝山区·上海交大附中高一开学考试）如图，点(),4A m ，4,B n 在反比例函数()0ky k x=>的图象上，经过点A ､B 的直线与x 轴相交于点C ，与y 轴相交于点D .（1）若2m =，求n 的值； （2）求m n +的值；（3）连接OA ､OB ，若tan tan 1AOD BOC ∠+∠=，求直线AB 的函数关系式. 【答案】(1)2(2)0(3)2y x =+ 【分析】（1）先把A 点坐标代入()0k y k x =>求出k 的值得到反比例函数解析式为8y x=，然后把(4,)B n -代8y x=可求出n 的值； （2）利用反比例函数图象上点的坐标特征得到4m ＝k ，﹣4n ＝k ，然后把两式相减消去k 即可得到m +n 的值；（3）作AE ⊥y 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ，如图，利用正切的定义得到tan ∠AOE 4AE mOE ==，tan 4BF n BOF OF -∠==，则144m n-+=，加上0m n +=，于是可解得2,2m n ==-，从而得到(2,4)A ，(4,2)B --，然后利用待定系数法求直线AB 的解析式．【详解】（1）当m ＝2，则A （2，4）， 把A （2，4）代入ky x=得k ＝2×4＝8， 所以反比例函数解析式为8y x=， 把(4,)B n -代入8y x=得﹣4n ＝8，解得n ＝﹣2； （2）因为点A （m ，4），B （﹣4，n ）在反比例函数()0ky k x=>的图象上， 所以4m ＝k ，﹣4n ＝k ， 所以4m +4n ＝0，即m +n ＝0；（3）作AE ⊥y 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ，如图，在Rt △AOE 中，tan ∠AOE 4AE mOE ==， 在Rt △BOF 中，tan 4BF nBOF OF -∠==， 而tan ∠AOD +tan ∠BOC ＝1， 所以144m n-+=， 而m +n ＝0，解得m ＝2，n ＝﹣2， 则A （2，4），B （﹣4，﹣2）， 设直线AB 的解析式为y ＝px +q ，把(2,4),(4,2)A B --代入得2442p q p q +=⎧⎨-+=-⎩，解得12p q =⎧⎨=⎩，所以直线AB 的解析式为y ＝x +2．9．（2021·全国高二课时练习）已知点()2,1P -. （1）求过点P 且与原点的距离为2的直线的方程.（2）是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1） 20x -=或34100x y --=；（2） 不存在这样的直线；理由见解析． 【分析】（1）分k 存在与不存在两种情况讨论，点斜式表示直线方程，利用点到直线距离公式即得解；（2）过点P 且与原点的距离最大的直线为过点P 且与OP 垂直的直线，分析即得解 【详解】（1）①当直线的斜率不存在时，直线方程为2x =，符合题意． ②当直线的斜率存在时，设斜率为k ，则直线方程为()12y k x +=-，即210kx y k ---=．2=，解得34k =，所以直线方程为34100x y --=．故所求直线方程为20x -=或34100x y --=． （2）不存在．理由如下：过点P 且与原点的距离最大的直线为过点P 且与OP 垂直的直线，OP =而6>10．（2021·全国高三专题练习）AOB 是等腰直角三角形，||AB =动直线l 过点(1,1)P 与AOB 的斜边、直角边分别交于不同的点M 、N （如图所示）.（1）设直线l 的斜率为k ，求k 的取值范围，并用k 表示M 的坐标； （2）试写出表示AMN 的面积S 的函数解析式()S k ，并求()S k 的最大值.【答案】（1）0k >，1,11kM k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭；（2）112(1)()012(1)k k k S k kk k ⎧⎪+⎪=⎨-⎪<<⎪+⎩，max 1()4S k =.【分析】(1)根据题意，结合图象即可得到k 的取值范围，再联立直线方程即可得到M 的坐标； (2) 由于l 绕P 点转动，则N 点可落在OA 上，也可落在OB 上，AMNS的计算不一样，所以必须对l 的斜率不同的取值范围进行分类讨论，表示出()S k ，结合函数单调性即可求解. 【详解】(1)由已知条件得(1,0)A 、(0,1)B ，0k >，设直线l 的方程为1y kx k =+-.由11x y y kx k+=⎧⎨=+-⎩，得1,11kM k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭. (2)当1k 时，点N 在直角边OA 上，1,0k N k -⎛⎫⎪⎝⎭， 1111()1212(1)k S k k k k k -⎛⎫=-⋅= ⎪++⎝⎭. 当01k <<时，点k 在直角边OB 上，(0,1)N k -，111()11(1)122212(1)k k S k k k k k =⨯⨯--⨯-⨯=++.∴112(1)()012(1)k k k S k k k k ⎧⎪+⎪=⎨-⎪<<⎪+⎩，当1k 时，()S k 递减，∴max 1()(1)4S k S ==，当01k <<时，11111()22(1)244S k k =-<-=+. 综上所述，当1k =时，max 1()4S k =.1.（上海高考真题（文））已知直线1l ：(3)(4)10k x k y -+-+=与2l ：2(3)230k x y --+=平行，则k 的值是（ ）. A ．1或3 B ．1或5C ．3或5D ．1或2【答案】C 【解析】由两直线平行得，当k-3=0时，两直线的方程分别为1y =- 和32y =，显然两直线平行．当练真题k-3≠0时，由()k 34k1/32k 32--=≠--，可得 k=5．综上，k 的值是 3或5， 故选 C ．2．（2020·山东高考真题）已知直线sin cos :y x l θθ=+的图像如图所示，则角θ是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】D 【分析】本题可根据直线的斜率和截距得出sin 0θ<、cos 0θ>，即可得出结果. 【详解】结合图像易知，sin 0θ<，cos 0θ>， 则角θ是第四象限角， 故选：D.3．（2021·山东高考真题）如下图，直线l 的方程是（ ）A 0y -=B 20y -=C 310y --=D ．10x -=【答案】D 【分析】由图得到直线的倾斜角为30，进而得到斜率，然后由直线l 与x 轴交点为()1,0求解. 【详解】由图可得直线的倾斜角为30°，所以斜率tan 30k =︒=所以直线l 与x 轴的交点为()1,0，所以直线的点斜式方程可得l ：)01y x -=-，即10x -=． 故选：D4．（2021·湖南高考真题）点(0,1)-到直线3410x y -+=的距离为（ ） A ．25B ．35C ．45D ．1【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】点(0,1)-到直线3410x y -+=的距离为515d ==， 故选：D.5.（全国高考真题（理））已知点A （﹣1，0），B （1，0），C （0，1），直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（ ） A.（0，1） B.112⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， C.113⎛⎤⎥ ⎝⎦， D.1132⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【答案】B 【解析】由题意可得，三角形ABC 的面积为12AB OC ⋅⋅=1， 由于直线y ＝ax +b （a ＞0）与x 轴的交点为M （ba-，0）， 由直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，可得b ＞0， 故ba-≤0，故点M 在射线OA 上． 设直线y ＝ax +b 和BC 的交点为N ，则由1y ax b x y =+⎧⎨+=⎩可得点N 的坐标为（11b a -+，1a ba ++）．①若点M 和点A 重合，如图：则点N为线段BC的中点，故N（12，12），把A、N两点的坐标代入直线y＝ax+b，求得a＝b13 =．②若点M在点O和点A之间，如图：此时b13＞，点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于12，即1122NMB y⋅⋅=，即111212b a ba a+⎛⎫⨯+⋅=⎪+⎝⎭，可得a212bb=-＞0，求得b12＜，故有13＜b12＜．③若点M在点A的左侧，则b13＜，由点M的横坐标ba--＜1，求得b＞a．设直线y ＝ax +b 和AC 的交点为P ，则由 1y ax b y x =+⎧⎨=+⎩求得点P 的坐标为（11b a --，1a ba --），此时，由题意可得，三角形CPN 的面积等于12，即 12•（1﹣b ）•|x N ﹣x P |12=， 即12（1﹣b ）•|1111b b a a ---+-|12=，化简可得2（1﹣b ）2＝|a 2﹣1|．由于此时 b ＞a ＞0，0＜a ＜1，∴2（1﹣b ）2＝|a 2﹣1|＝1﹣a 2 ． 两边开方可得（1﹣b）=1，∴1﹣b ，化简可得 b ＞12-， 故有1b 13＜． 综上可得b 的取值范围应是1122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，， 故选：B ．6.（2011·安徽高考真题（理））在平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号） ①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果与都是无理数，则直线不经过任何整点 ③直线经过无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点④直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线 【答案】①③⑤ 【解析】①令直线为：，则其不与坐标轴平行且不经过任何整点，①正确； ②令直线为：，②错误；③令直线为：，过两个不同的整点，则，两式作差得： 即直线经过整点直线经过无穷多个整点，③正确；x y (,)x y k b y kx b =+l l y kx b =+k b l 12y x =+l y =-()2,0l y kx =()11,x y ()22,x y 112y kx y kx =⎧⎨=⎩()1212y y k x x -=-l ()1212,x x y y --∴l④令直线为：，则不过整点，④错误； ⑤令直线为：，则其只经过一个整点，⑤正确.本题正确结果：①③⑤l 1132y x =+ll y =()0,0。
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项(直线与方程)练习(附答案)
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项（直线与方程）练习一. 基础小题练透篇1．过点P (3 ，－23 )且倾斜角为135°的直线方程为( ) A ．3x －y －43 ＝0 B ．x －y －3 ＝0 C ．x ＋y －3 ＝0 D ．x ＋y ＋3 ＝02．直线l ：x ＋3 y ＋1＝0的倾斜角的大小为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°3．[2023ꞏ河北示范性高中开学考]“λ＝3”是“直线(2λ－3)x ＋(λ＋1)y ＋3＝0与直线(λ＋1)x －λy ＋3＝0互相垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 4．[2023ꞏ广东韶关月考]过点M ()－1，－2 ，在两坐标轴上截距相等的直线方程为( ) A ．x ＋y ＋3＝0B ．2x －y ＝0或x ＋y ＋3＝0C ．y ＝x －1D ．x ＋y ＋3＝0或y ＝x －15．[2023ꞏ湖北省质量检测]在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x ＋2y ＋1＝0和x ＋2y ＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x －4y ＋c 1＝0和3x －4y ＋c 2＝0，则|c 1－c 2|＝( )A ．23B ．25C ．2D ．46．[2023ꞏ杭州市长河高级中学期中]已知直线l 过点P ()2，4 ，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的两倍，则直线l 的方程为( )A ．2x －y ＝0B ．2x ＋y －8＝0C ．2x －y ＝0或x ＋2y －10＝0D ．2x －y ＝0或2x ＋y －8＝07．经过两条直线2x ＋3y ＋1＝0和x －3y ＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x ＋4y －7＝0的直线方程为________．8．[2023ꞏ宁夏银川月考]已知直线3x ＋4y ＋3＝0与直线6x ＋my －14＝0平行，则它们之间的距离是________．二. 能力小题提升篇1.[2023ꞏ江苏泰州调研]已知直线l ：x ＋()a －1 y ＋2＝0，l 2：3 bx ＋y ＝0，且l 1⊥l 2，则a 2＋b 2的最小值为( )A ．14B ．12C ．22 D ．13162．[2023ꞏ河北邢台市月考]下列四个命题中，正确的是( ) A ．直线3x ＋y ＋2＝0在y 轴上的截距为2 B ．直线y ＝0的倾斜角和斜率均存在C ．若两直线的斜率k 1，k 2满足k 1＝k 2，则两直线互相平行D ．若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等3．[2023ꞏ福建宁德质量检测]已知点A (－2，1)和点B 关于直线l ：x ＋y －1＝0对称，斜率为k 的直线m 过点A 交l 于点C .若△ABC 的面积为2，则实数k 的值为( )A ．3或13 B ．0C ．13 D ．34．[2023ꞏ云南大理检测]设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )(点P 与点A ，B 不重合)，则△P AB 面积的最大值是( )A ．25B ．5C ．52 D ．55．[2023ꞏ重庆黔江检测]在平面直角坐标系中，△ABC 的一个顶点是A (－3，1)，∠B ，∠C 的平分线所在直线的方程分别为x ＝0，y ＝x ，则直线BC 的方程为________.6．[2023ꞏ云南楚雄期中]已知平面上一点M (5，0)，若直线l 上存在点P ，使|PM |＝4，则称该直线为点M 的“相关直线”，下列直线中是点M 的“相关直线”的是________．(填序号)①y ＝x ＋1；②y ＝2；③4x －3y ＝0；④2x －y ＋1＝0.三. 高考小题重现篇1.[2020ꞏ全国卷Ⅱ]若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x －y －3＝0的距离为( )A ．55 B ．255 C ．355 D ．4552．[2020ꞏ全国卷Ⅲ]点(0，－1)到直线y ＝k (x ＋1)距离的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 3．[北京卷]在平面直角坐标系中，记d 为点P (cos θ，sin θ)到直线x －my －2＝0的距离．当θ，m 变化时，d 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．44．[2019ꞏ江苏卷]在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的一个动点，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是________．四. 经典大题强化篇1.[2023ꞏ武汉调研]已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点． (1)若点A (5，0)到l 的距离为3，求l 的方程；(2)求点A (5，0)到l 的距离的最大值．2．在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在直线的方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1，2)，求：(1)点A 和点C 的坐标； (2)△ABC 的面积．参考答案一 基础小题练透篇1．答案：D答案解析：因为直线的倾斜角为135°，所以直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1， 所以直线方程为y ＋23 ＝－（x －3 ），即x ＋y ＋3 ＝0. 2．答案：D答案解析：由l ：x ＋3 y ＋1＝0可得y ＝－33 x －33 ，所以直线l 的斜率为k ＝－33 ，设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝－33，因为0°≤α<180°，所以α＝150°. 3．答案：A答案解析：∵直线（2λ－3）x ＋（λ＋1）y ＋3＝0与直线（λ＋1）x －λy ＋3＝0互相垂直，∴（2λ－3）（λ＋1）－λ（λ＋1）＝0，∴λ＝3或－1， 而“λ＝3”是“λ＝3或－1”的充分不必要条件，∴“λ＝3”是“直线（2λ－3）x ＋（λ＋1）y ＋3＝0与直线（λ＋1）x －λy ＋3＝0互相垂直”的充分不必要条件，故选A. 4．答案：B答案解析：当所求直线不过原点时，设所求直线的方程为x ＋y ＝a ， 因为直线过点M ()－1，－2 ，代入可得a ＝－3，即x ＋y ＋3＝0； 当所求直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，因为直线过点M ()－1，－2 ，代入可得k ＝2，即2x －y ＝0， 综上可得，所求直线的方程为2x －y ＝0或x ＋y ＋3＝0. 故选B. 5．答案：B答案解析：设直线x ＋2y ＋1＝0与直线3x －4y ＋c 2＝0的交点为A ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1＝03x －4y ＋c 2＝0 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－c 2＋25y ＝c 2－310，故A （－c 2＋25 ，c 2－310 ），同理设直线x ＋2y ＋1＝0与直线3x －4y ＋c 1＝0的交点为B ，则B （－c 1＋25 ，c 1－310），设直线x ＋2y ＋3＝0与直线3x －4y ＋c 1＝0的交点为C ，则C （－c 1＋65 ，c 1－910），设直线x ＋2y ＋3＝0与直线3x －4y ＋c 2＝0的交点为D ，则D （－c 2＋65 ，c 2－910），由菱形的性质可知BD ⊥AC ，且BD ，AC 的斜率均存在，所以k BD ·k AC ＝－1，则c 1－310－c 2－910－c 1＋25－⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 2＋65 ·c 2－310－c 1－910－c 2＋25－⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 1＋65 ＝－1，即36－（c 2－c 1）24[]16－（c 2－c 1）2 ＝－1，解得|c 1－c 2|＝25 .6．答案：D答案解析：若直线l 经过原点，满足条件，可得直线l 的方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0；若直线l 不经过原点，可设直线l 的方程为x a ＋y2a＝1()a ≠0 ，把点P ()2，4 代入可得2a ＋42a ＝1，解得a ＝4，∴直线l 的方程为x 4 ＋y8＝1，即2x ＋y －8＝0，综上可得直线l 的方程为2x －y ＝0或2x ＋y －8＝0. 故选D.7．答案：4x －3y ＋9＝0答案解析：方法一 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－53，y ＝79即交点为（－53 ，79），∵所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直，∴所求直线的斜率为k ＝43.由点斜式得所求直线方程为y －79 ＝43 （x ＋53），即4x －3y ＋9＝0.方法二 由垂直关系可设所求直线方程为4x －3y ＋m ＝0，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0， 可解得交点为（－53 ，79 ），代入4x －3y ＋m ＝0，得m ＝9，故所求直线方程为4x －3y ＋9＝0. 方法三 由题意可设所求直线方程为（2x ＋3y ＋1）＋λ（x －3y ＋4）＝0，即（2＋λ）x ＋（3－3λ）y ＋1＋4λ＝0 ① 又∵所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直，∴3（2＋λ）＋4（3－3λ）＝0，∴λ＝2，代入①式得所求直线方程为4x －3y ＋9＝0.8．答案：2答案解析：∵直线3x ＋4y ＋3＝0与直线6x ＋my －14＝0平行，∴m ＝8，6x ＋8y －14＝0可化为3x ＋4y －7＝0.∴它们之间的距离为|3－（－7）|32＋42＝2.二 能力小题提升篇1．答案：A答案解析：l 1⊥l 2，则3 b ＋a －1＝0，∴a ＝1－3 b ， 所以a 2＋b 2＝()1－3b 2＋b 2＝4b 2－23 b ＋1，二次函数的抛物线的对称轴为b ＝－－232×4 ＝34，当b ＝34 时，a 2＋b 2取最小值14. 故选A. 2．答案：B答案解析：对于直线3x ＋y ＋2＝0，令x ＝0得y ＝－2，所以直线3x ＋y ＋2＝0在y 轴上的截距为－2，故A 错误；直线y ＝0的倾斜角为0，斜率为0，存在，故B 正确；若两直线的斜率k 1，k 2满足k 1＝k 2，则两直线互相平行或重合，所以C 错误；若两直线的倾斜角为90°，则它们的斜率不存在，所以D 错误．故选B. 3．答案：B答案解析：设点B （x ，y ），则⎩⎪⎨⎪⎧y －1x ＋2＝1，x －22＋y ＋12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝3， 则B （0，3）.由已知可得直线m 的方程为y －1＝k （x ＋2），与方程x ＋y －1＝0联立， 解得x ＝－2k k ＋1，y ＝3k ＋1k ＋1 ，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k k ＋1，3k ＋1k ＋1 . 由已知可得直线AB 的方程为y －1＝x ＋2，即y ＝x ＋3，且|AB |＝22 ， 则点C 到直线AB 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2k k ＋1－3k ＋1k ＋1＋32 ＝|2－2k |2|k ＋1|， 所以S △ABC ＝12 ×22 ·|2－2k |2|k ＋1|＝2，即|1－k |＝|k ＋1|（k ≠－1），解得k ＝0. 4．答案：C答案解析：动直线x ＋my ＝0，令y ＝0，解得x ＝0，因此此直线过定点A （0，0）. 动直线mx －y －m ＋3＝0，即m （x －1）＋3－y ＝0，令x －1＝0，3－y ＝0，解得x ＝1，y ＝3，因此此直线过定点B （1，3）.当m ＝0时，两条直线分别为x ＝0，y ＝3，交点P （0，3），S △PAB ＝12 ×1×3＝32.当m ≠0时，两条直线的斜率分别为－1m ，m ，则－1m·m ＝－1，因此两条直线相互垂直．设|PA |＝a ，|PB |＝b ，∵|AB |＝12＋32 ＝10 ，∴a 2＋b 2＝10.又a 2＋b 2≥2ab ，∴ab ≤5，当且仅当a ＝b ＝5 时等号成立．∴S △PAB ＝12 |PA |·|PB |＝12 ab ≤52.综上，△PAB 的面积最大值是52.5．答案：2x －y －5＝0答案解析：因为∠B ，∠C 的平分线所在直线的方程分别为x ＝0，y ＝x ，所以直线AB 与直线BC 关于直线x ＝0对称，直线AC 与直线BC 关于直线y ＝x 对称．则点A （－3，1）关于直线x ＝0对称的点A ′（3，1）在直线BC 上，点A （－3，1）关于直线y ＝x 对称的点A″（1，－3）也在直线BC上，所以由两点式得直线BC的方程为y＋31＋3＝x－13－1，即y＝2x－5.6．答案：②③答案解析：①点M到直线y＝x＋1的距离d＝|5－0＋1|12＋（－1）2＝32>4，即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，所以该直线上不存在点P，使|PM|＝4成立，故①不是点M 的“相关直线”．②点M到直线y＝2的距离d＝|0－2|＝2<4，即点M与该直线上的点的距离的最小值小于4，所以该直线上存在点P，使|PM|＝4成立，故②是点M的“相关直线”．③点M到直线4x－3y＝0的距离d＝|4×5－3×0|42＋（－3）2＝4，即点M与该直线上的点的距离的最小值等于4，所以该直线上存在点P，使|PM|＝4成立，故③是点M的“相关直线”．④点M到直线2x－y＋1＝0的距离d＝|2×5－0＋1|22＋（－1）2＝1155>4，即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，所以该直线上不存在点P，使|PM|＝4成立，故④不是点M的“相关直线”．三 高考小题重现篇1．答案：B答案解析：设圆心为P（x0，y0），半径为r，∵圆与x轴，y轴都相切，∴|x0|＝|y0|＝r，又圆经过点（2，1），∴x0＝y0＝r且（2－x0）2＋（1－y0）2＝r2，∴（r－2）2＋（r－1）2＝r2，解得r＝1或r＝5.①r＝1时，圆心P（1，1），则圆心到直线2x－y－3＝0的距离d＝|2－1－3|22＋（－1）2＝255；②r＝5时，圆心P（5，5），则圆心到直线2x－y－3＝0的距离d＝|10－5－3|22＋（－1）2＝255.2．答案：B答案解析：方法一 点（0，－1）到直线y＝k（x＋1）的距离为d＝|k·0－（－1）＋k|k2＋1＝|k＋1|k2＋1，注意到k2＋1≥2k，于是2（k2＋1）≥k2＋2k＋1＝|k＋1|2，当且仅当k＝1时取等号．即|k＋1|≤k2＋1·2，所以d＝|k＋1|k2＋1≤2，故点（0，－1）到直线y＝k（x＋1）距离的最大值为2.方法二 由题意知，直线l：y＝k（x＋1）是过点P（－1，0）且斜率存在的直线，点Q（0，－1）到直线l的最大距离在直线l与直线PQ垂直时取得，此时k＝1，最大距离为|PQ|＝2.3．答案：C答案解析：由题意可得d＝|cos θ－m sin θ－2|m2＋1＝|m sin θ－cos θ＋2|m2＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m2＋1（mm2＋1sin θ－1m2＋1cos θ）＋2m2＋1＝|m2＋1sin （θ－φ）＋2|m2＋1（其中cos φ＝mm2＋1，sin φ＝1m2＋1），∵－1≤sin （θ－φ）≤1，∴|2－m 2＋1|m 2＋1 ≤d ≤m 2＋1＋2m 2＋1 ，m 2＋1＋2m 2＋1 ＝1＋2m 2＋1，∴当m ＝0时，d 取最大值3.4．答案：4答案解析：通解 设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，x ＋4x ，x >0，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|x ＋x ＋4x |2＝2x ＋4x 2 ≥22x ·4x 2＝4，当且仅当2x ＝4x，即x ＝2 时取等号，故点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是4.优解 由y ＝x ＋4x （x >0）得y ′＝1－4x 2 ，令1－4x2 ＝－1，得x ＝2 ，则当点P 的坐标为（2 ，32 ）时，点P 到直线x ＋y ＝0的距离最小，最小值为|2＋32|2＝4. 四 经典大题强化篇1．答案解析：（1）易知点A 到直线x －2y ＝0的距离不等于3，可设经过两已知直线交点的直线系方程为（2x ＋y －5）＋λ（x －2y ）＝0，即（2＋λ）x ＋（1－2λ）y －5＝0.由题意得|10＋5λ－5|（2＋λ）2＋（1－2λ）2 ＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2或12.∴l 的方程为4x －3y －5＝0或x ＝2.（2）由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点为P （2，1），如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A到l 的距离，则d ≤|PA |（当l ⊥PA 时等号成立）.∴d max ＝|PA |＝10 .2．答案解析：（1）由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，y ＝0，解得点A （－1，0）.又直线AB 的斜率为k AB ＝1，且x 轴是∠A 的平分线，故直线AC 的斜率为－1，所以AC 所在的直线方程为y ＝－（x ＋1）. 已知BC 边上的高所在的直线方程为x －2y ＋1＝0，故直线BC 的斜率为－2，故BC 所在的直线方程为y －2＝－2（x －1）.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－（x ＋1），y －2＝－2（x －1）， 得点C 的坐标为（5，－6）.（2）因为B （1，2），C （5，－6），所以|BC |＝（1－5）2＋（2＋6）2＝45 ，点A（－1，0）到直线BC：y－2＝－2（x－1）的距离为d＝|2×（－1）－4|5＝65，所以△ABC的面积为12×45×65＝12.。
直线方程-2021年新高考数学名校地市必刷题(新高考专用)(含解析)
2021年新高考数学名校地市必刷题（新高考专用）直线方程一、单选题（共10小题）1.（2019•西湖区校级模拟）已知直线l的方程为3x﹣y﹣2＝0，则直线l的斜率是（）A．3B．﹣3C．D．2.（2019•西湖区校级模拟）已知直线经过点A（2，0），B（1，），则连直线的倾斜角是（）A．B．C．D．3.（2019•西湖区校级模拟）在△ABC中，A（4，﹣1），它的两条角平分线所在的直线方程分别为l1：x﹣y﹣1＝0和l2：x+y+2＝0，则BC边所在的直线方程为（）A．9x﹣y+3＝0B．9x+y+3＝0C．x﹣9y+1＝0D．x+9y+1＝04.（2019•西湖区校级模拟）已知动直线l0：ax+by+c﹣2＝0（a＞0，c＞0）恒过点P（1，m），且Q（4，0）到直线l0的最大距离为3，则+的最小值为（）A．B．C．1D．95.（2019•顺义区二模）已知集合M＝{（x，y）|y＝f（x）}，若对于∀（x1，y1）∈M，∃（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2＝0成立，则称集合M是“互垂点集”．给出下列四个集合：；M2＝{（x，y）|y＝lnx}；；M4＝{（x，y）|y＝sin x+1}．其中是“互垂点集”的集合为（）A．M1，M2B．M2，M3C．M1，M4D．M3，M46.（2019•武侯区校级模拟）若三条直线x+y﹣3＝0，x﹣y+1＝0，mx+ny﹣5＝0相交于同一点，则点（m，n）到原点的距离的最小值为（）A．B．C．2D．27.（2020•普陀区一模）若直线l：+＝1经过第一象限内的点P（，），则ab的最大值为（）A．B．4﹣2C．5﹣2D．6﹣38.（2018•西城区模拟）已知点A（﹣2，0），B（2，0），如果直线3x﹣4y+m＝0上有且只有一个点P使得P A⊥PB，那么实数m等于（）A．±4B．±5C．±8D．±109.（2019•朝阳区一模）已知圆C：（x﹣2）2+y2＝2，直线l：y＝kx﹣2．若直线l上存在点P，过点P引圆的两条切线11，l2，使得l1⊥l2，则实数k的取值范围是（）A．[0，2）∪（2，+∞）B．[2]C．（﹣∞，0）D．[0，+∞）10.（2019•西湖区校级模拟）若动点A、B分别在直线l1：x+y﹣7＝0和l2：x+y﹣5＝0上移动，则AB中点M到原点距离的最小值为（）A．3B．2C．3D．4二、填空题（共8小题）11.（2020•岳阳一模）若曲线y＝e﹣x上点P到直线x+y+1＝0的最短距离是．12.（2019•西湖区校级模拟）直线l1：x+y+1＝0与直线l2：x+y+3＝0的距离是．13.（2018•黄浦区校级三模）已知直线11：x+2y+1＝0与l2：2x+by﹣4＝0平行，则11与l2的距离为．14.（2019•新吴区校级模拟）我们称两条相交直线所成的角中不大于90°的角为这两条直线的夹角．设直线l1：y＝x，与直线l2：y＝﹣2x+4的夹角为θ，则cosθ的值为．15.（2018•广陵区校级四模）若直线kx﹣y﹣k+2=0与直线x+ky﹣2k﹣3=0交于点P，则OP长度的最大值为．16.（2019•揭阳一模）已知点P在直线x+2y﹣1＝0上，点Q在直线x+2y+3＝0上，M（x0，y0）为PQ的中点，且y0＞2x0+1，则的取值范围是﹣．17.（2019•宝山区校级一模）已知函数f（x）＝a sin2x+b cos2x（a，b∈R，ab≠0），若其图象关于直线对称，则直线ax+by+2＝0的倾斜角α＝．18.（2018•金山区二模）平面上三条直线x﹣2y+1＝0，x﹣1＝0，x+ky＝0，如果这三条直线将平面划分为六个部分，则实数k的取值组成的集合A＝﹣﹣．三、解答题（共6小题）19.（2019•西湖区校级模拟）已知直线l经过直线3x+4y﹣2＝0与直线2x+3y﹣2＝0的交点P，且垂直于直线x﹣2y﹣1＝0．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．20.（2019•西湖区校级模拟）过M（2，1）作直线l，分别交x轴、y轴的正半轴与点A，B．（1）当M为AB中点时，求直线l的方程；（2）设O是坐标原点，当△AOB的面积最小时，求直线l的方程．21.（2019•西湖区校级模拟）已知直线l经过直线3x+4y﹣2＝0与直线2x+y+2＝0的交点P，且垂直于直线x﹣2y﹣1＝0．求：（Ⅰ）直线l的方程；（Ⅱ）直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．22.（2018•石景山区一模）在平面直角坐标系中xOy中，动点E到定点（1，0）的距离与它到直线x=﹣1的距离相等．（Ⅰ）求动点E的轨迹C的方程；（Ⅰ）设动直线l：y=kx+b与曲线C相切于点P，与直线x=﹣1相交于点Q．证明：以PQ为直径的圆恒过x轴上某定点．23.（2014•嘉定区一模）已知函数（m为实常数）．（1）若函数y＝f（x）图象上动点P到定点Q（0，2）的距离的最小值为，求实数m的值；（2）若函数y＝f（x）在区间[2，+∞）上是增函数，试用函数单调性的定义求实数m的取值范围；（3）设m＜0，若不等式f（x）≤kx在有解，求k的取值范围．24.（2014•长沙校级模拟）已知直线l平行于直线3x+4y﹣7＝0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l的方程．一、单选题（共10小题）1.（2019•西湖区校级模拟）已知直线l的方程为3x﹣y﹣2＝0，则直线l的斜率是（）A．3B．﹣3C．D．【解答】解：化直线l的方程3x﹣y﹣2＝0为y＝3x﹣2，可得直线l的斜率是k＝3．故选：A．【知识点】直线的斜率2.（2019•西湖区校级模拟）已知直线经过点A（2，0），B（1，），则连直线的倾斜角是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，设直线AB的倾斜角为θ，又由点A（2，0），B（1，3），则K AB＝＝﹣，则tanθ＝﹣；又由0≤θ＜π，则θ＝；故选：B．【知识点】直线的倾斜角3.（2019•西湖区校级模拟）在△ABC中，A（4，﹣1），它的两条角平分线所在的直线方程分别为l1：x﹣y﹣1＝0和l2：x+y+2＝0，则BC边所在的直线方程为（）A．9x﹣y+3＝0B．9x+y+3＝0C．x﹣9y+1＝0D．x+9y+1＝0【解答】解：由题意，A（4，﹣1）关于直线l1：x﹣y﹣1＝0的对称点A′（0，3），点A（4，﹣1）关于直线l2：x+y+2＝0的对称点A″（﹣1，﹣6），故直线BC的方程，即为A′A″的直线方程：＝，即9x﹣y+3＝0，故选：A．【知识点】直线的一般式方程与直线的性质4.（2019•西湖区校级模拟）已知动直线l0：ax+by+c﹣2＝0（a＞0，c＞0）恒过点P（1，m），且Q（4，0）到直线l0的最大距离为3，则+的最小值为（）A．B．C．1D．9【解答】解：动直线l0：ax+by+c﹣2＝0（a＞0，c＞0）恒过点P（1，m），∴a+bm+c﹣2＝0．又Q（4，0）到动直线l0的最大距离为3，∴，解得m＝0．∴a+c＝2．则+＝（a+c）（）＝≥，当且仅当c＝2a＝时取等号．故选：B．【知识点】点到直线的距离公式5.（2019•顺义区二模）已知集合M＝{（x，y）|y＝f（x）}，若对于∀（x1，y1）∈M，∃（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2＝0成立，则称集合M是“互垂点集”．给出下列四个集合：；M2＝{（x，y）|y＝lnx}；；M4＝{（x，y）|y＝sin x+1}．其中是“互垂点集”的集合为（）A．M1，M2B．M2，M3C．M1，M4D．M3，M4【解答】解：对于M1，取点（0，1），假设存在（x，y）∈M1满足0+y＝0，解得y＝0，而y＝x2+1≥1，矛盾，因此不满足条件．对于M2，取点（1，0），假设存在（x，y）∈M2满足x+0＝0，解得x＝0，而函数y＝lnx的定义域为{x|x＞0}，矛盾，因此不满足条件．对于M3，假设∀取点A（x1，y1）∈M3，∃B（x2，y2）∈M3，使得x1x2+y1y2＝0成立，即k OA•k OB＝﹣1．结合图象即可得出，正确．对于M4，画出图象，同理可得：正确．只有M3，M4正确．故选：D．【知识点】直线的一般式方程与直线的垂直关系6.（2019•武侯区校级模拟）若三条直线x+y﹣3＝0，x﹣y+1＝0，mx+ny﹣5＝0相交于同一点，则点（m，n）到原点的距离的最小值为（）A．B．C．2D．2【解答】解：联立，解得x＝1，y＝2．∵三条直线x+y﹣3＝0，x﹣y+1＝0，mx+ny﹣5＝0相交于同一点，∴m+2n＝5．则点（m，n）到原点的距离的最小值为原点到直线x+2y＝5的距离d＝＝．故选：A．【知识点】两条直线的交点坐标7.（2020•普陀区一模）若直线l：+＝1经过第一象限内的点P（，），则ab的最大值为（）A．B．4﹣2C．5﹣2D．6﹣3【解答】解：直线l：+＝1经过第一象限内的点P（，），则a，b＞0，+＝1．∴ab＝ab（+）＝+＝+．令＝t＞0，g（t）＝+，（t＞0）．∴g′（t）＝﹣＝，可得t＝时，g（t）取得极大值即最大值，g（）＝4﹣2．故选：B．【知识点】直线的斜截式方程8.（2018•西城区模拟）已知点A（﹣2，0），B（2，0），如果直线3x﹣4y+m＝0上有且只有一个点P使得P A⊥PB，那么实数m等于（）A．±4B．±5C．±8D．±10【解答】解：直线3x﹣4y+m＝0上有且只有一个点P使得P A⊥PB，则此直线与圆：x2+y2＝4相切．∴＝2，解得m＝±10．故选：D．【知识点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系9.（2019•朝阳区一模）已知圆C：（x﹣2）2+y2＝2，直线l：y＝kx﹣2．若直线l上存在点P，过点P引圆的两条切线11，l2，使得l1⊥l2，则实数k的取值范围是（）A．[0，2）∪（2，+∞）B．[2]C．（﹣∞，0）D．[0，+∞）【解答】解：如图所示，直线l上存在点P，过点P引圆的两条切线11，l2，使得l1⊥l2，则∠CP A＝45°，∴|CP|＝×＝2．设P（x，y），则点P满足：（x﹣2）2+y2＝4，与y＝kx﹣2联立化为：（1+k2）x2﹣（4k+4）x+4＝0，∴△＝（4k+4）2﹣4×4（1+k2）≥0，解得k≥0．∴实数k的取值范围是[0，+∞）．故选：D．【知识点】直线的一般式方程与直线的垂直关系10.（2019•西湖区校级模拟）若动点A、B分别在直线l1：x+y﹣7＝0和l2：x+y﹣5＝0上移动，则AB中点M到原点距离的最小值为（）A．3B．2C．3D．4【解答】解：∵l1：x+y﹣7＝0和l2：x+y﹣5＝0是平行直线，∴可判断：过原点且与直线垂直时，M到原点的距离最小．∵直线l1：x+y﹣7＝0和l2：x+y﹣5＝0，∴两直线的距离为＝，∴AB的中点M到原点的距离的最小值为＝3，故选：A．【知识点】两点间的距离公式二、填空题（共8小题）11.（2020•岳阳一模）若曲线y＝e﹣x上点P到直线x+y+1＝0的最短距离是．【解答】解：y＝e﹣x的导数为y′＝﹣e﹣x，设在P（m，n）处的切线平行于直线x+y+1＝0，即有﹣e﹣m＝﹣1得m＝0，n＝1，即有切点为P（0，1），可得最短距离为点P（0，1）到直线x+y+1＝0的距离，故答案为：．【知识点】点到直线的距离公式、利用导数研究曲线上某点切线方程12.（2019•西湖区校级模拟）直线l1：x+y+1＝0与直线l2：x+y+3＝0的距离是．【解答】解：由于直线l1：x+y+1＝0与直线l2：x+y+3＝0为平行直线，则两直线间的距离d＝．故答案为：．【知识点】两条平行直线间的距离13.（2018•黄浦区校级三模）已知直线11：x+2y+1＝0与l2：2x+by﹣4＝0平行，则11与l2的距离为．【解答】解：直线11：x+2y+1＝0与l2：2x+by﹣4＝0平行，直线12：x+2y﹣2＝0∴11与l2的距离d＝．故答案为：．【知识点】两条平行直线间的距离14.（2019•新吴区校级模拟）我们称两条相交直线所成的角中不大于90°的角为这两条直线的夹角．设直线l1：y＝x，与直线l2：y＝﹣2x+4的夹角为θ，则cosθ的值为．【解答】解：由题意可得：tanθ＝＝3，∴cosθ＝＝．故答案为：．【知识点】两直线的夹角与到角问题15.（2018•广陵区校级四模）若直线kx﹣y﹣k+2=0与直线x+ky﹣2k﹣3=0交于点P，则OP长度的最大值为．【解答】解：直线kx﹣y﹣k+2=0化为k（x﹣1）﹣y+2=0，过定点A（1，2），直线x+ky﹣2k﹣3=0化为x+k（y﹣2）﹣3=0，过定点B（3，2）；且满足k•1﹣1•k=0，∴两条直线互相垂直，其交点P在以AB为直径的圆上，如图所示；结合图形知，OP长度的最大值为|OC|+1=2+1．故答案为：2+1．【知识点】两条直线的交点坐标16.（2019•揭阳一模）已知点P在直线x+2y﹣1＝0上，点Q在直线x+2y+3＝0上，M（x0，y0）为PQ的中点，且y0＞2x0+1，则的取值范围是﹣．【解答】解：点P所在的直线x+2y﹣1＝0与点Q所在直线x+2y+3＝0平行，因此可设PQ中点M（x0，y0）所在直线的方程为x+2y+m＝0，∴＝，解得m＝1；∴PQ中点M（x0，y0）所在直线的方程为x+2y+1＝0，联立，解得，其交点为N（﹣，﹣）；′∴k ON＝；令＝k，∵PQ中点为M（x0，y0）满足x0+2y0+1＝0，且y0＞2x0+1，如图所示；∴﹣＜k＜；即的取值范围是（﹣，）．故答案为：（﹣，）．【知识点】直线的斜率17.（2019•宝山区校级一模）已知函数f（x）＝a sin2x+b cos2x（a，b∈R，ab≠0），若其图象关于直线对称，则直线ax+by+2＝0的倾斜角α＝．【解答】解：∵函数y＝a sin2x+b cos2x（a，b不全为0）的图象关于直线x＝对称，设sinθ＝，cosθ＝，∴y＝a sin2x+b cos2x＝（sin2x+cos2x）＝sin（2x+θ），当x＝时，2x+θ＝+θ＝+kπ，（k∈Z），∴θ＝﹣++kπ＝+kπ，（k∈Z），不妨取k＝0时，得θ＝；∴sinθ＝＝，cosθ＝＝，解得a＝，b＝1；∴直线l：ax+by+c＝0可化为：x+y+c＝0，它的斜率为k＝﹣，∴倾斜角是；故答案为：．【知识点】直线的倾斜角、直线的一般式方程与直线的性质18.（2018•金山区二模）平面上三条直线x﹣2y+1＝0，x﹣1＝0，x+ky＝0，如果这三条直线将平面划分为六个部分，则实数k的取值组成的集合A＝﹣﹣．【解答】解：若是三条直线两两相交，且交点不重合，则这三条直线把平面分成7部分；如果这三条直线将平面划分为六部分包括两种情况能够成立，①是x+ky＝0过另外两条直线的交点，由x﹣2y+1＝0和x﹣1＝0的交点是（1，1），解得k＝﹣1；②是这条直线与另外两条直线平行，此时k＝0或﹣2，综上，k的取值集合是{0，﹣1，﹣2}．故答案为：{﹣1，0，﹣2}．【知识点】确定直线位置的几何要素三、解答题（共6小题）19.（2019•西湖区校级模拟）已知直线l经过直线3x+4y﹣2＝0与直线2x+3y﹣2＝0的交点P，且垂直于直线x﹣2y﹣1＝0．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．【解答】解：（Ⅰ）由，解得，点P的坐标是（﹣2，2）．则所求直线l与x﹣2y﹣1＝0垂直，可设直线l的方程为2x+y+m＝0．把点P的坐标代入得2×（﹣2）+2+m＝0，即m＝2．所求直线l的方程为2x+y+2＝0．（Ⅱ）由直线l的方程知它在x轴．y轴上的截距分别是﹣1．﹣2，所以直线l与两坐标轴围成三角形的面积S＝×1×2＝1．【知识点】直线的一般式方程与直线的垂直关系、直线的截距式方程20.（2019•西湖区校级模拟）过M（2，1）作直线l，分别交x轴、y轴的正半轴与点A，B．（1）当M为AB中点时，求直线l的方程；（2）设O是坐标原点，当△AOB的面积最小时，求直线l的方程．【解答】解：（1）设A（a，0），B（0，b），（a，b＞0），则直线l的方程为+＝1，∴M为AB中点，∴＝2，＝1，∴a＝4，b＝2，则直线l的方程为：+＝1，即x+2y﹣4＝0．（2）设A（a，0），B（0，b），（a，b＞0），则直线l的方程为+＝1，又∵M（2，1）在直线l上，∴+＝1，又∵1＝+≥2，∴ab≥8，∴S＝ab≥4，等号当且仅当，即a＝4，b＝2时成立，∴直线l的方程为：+＝1，即x+2y﹣4＝0．【知识点】直线的截距式方程21.（2019•西湖区校级模拟）已知直线l经过直线3x+4y﹣2＝0与直线2x+y+2＝0的交点P，且垂直于直线x﹣2y﹣1＝0．求：（Ⅰ）直线l的方程；（Ⅱ）直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．【解答】解：（Ⅰ）由解得由于点P的坐标是（﹣2，2）．则所求直线l与x﹣2y﹣1＝0垂直，可设直线l的方程为2x+y+m＝0．把点P的坐标代入得2×（﹣2）+2+m＝0，即m＝2．所求直线l的方程为2x+y+2＝0．（Ⅱ）由直线l的方程知它在x轴．y轴上的截距分别是﹣1．﹣2，所以直线l与两坐标轴围成三角形的面积．【知识点】直线的一般式方程与直线的性质、两条直线的交点坐标22.（2018•石景山区一模）在平面直角坐标系中xOy中，动点E到定点（1，0）的距离与它到直线x=﹣1的距离相等．（Ⅰ）求动点E的轨迹C的方程；（Ⅰ）设动直线l：y=kx+b与曲线C相切于点P，与直线x=﹣1相交于点Q．证明：以PQ为直径的圆恒过x轴上某定点．【解答】（Ⅰ）解：设动点E的坐标为（x，y），由抛物线定义知，动点E的轨迹是以（1，0）为焦点，x=﹣1为准线的抛物线，∴动点E的轨迹C的方程为：y2=4x；（Ⅰ）证明：设直线l的方程为：y=kx+b（k≠0），由，消去x得：ky2﹣4y+4b=0．∵直线l与抛物线相切，∴△=16﹣16kb=0，即．∴直线l的方程为y=kx+．令x=﹣1，得，∴Q（﹣1，），设切点坐标P（x0，y0），则，解得：P（），设M（m，0），则==．当m=1时，．∴以PQ为直径的圆恒过x轴上定点M（1，0）．【知识点】直线与圆锥曲线的关系、与直线有关的动点轨迹方程23.（2014•嘉定区一模）已知函数（m为实常数）．（1）若函数y＝f（x）图象上动点P到定点Q（0，2）的距离的最小值为，求实数m的值；（2）若函数y＝f（x）在区间[2，+∞）上是增函数，试用函数单调性的定义求实数m的取值范围；（3）设m＜0，若不等式f（x）≤kx在有解，求k的取值范围．【解答】解：（1）设P（x，y），则，＝，当m＞0时，解得；当m＜0时，解得，∴或．（2）由题意，任取x1、x2∈[2，+∞），且x1＜x2，则＝＞0，∵x2﹣x1＞0，x1x2＞0，所以x1x2﹣m＞0，即m＜x1x2，由x2＞x1≥2，得x1x2＞4，所以m≤4．∴m的取值范围是（﹣∞，4]；（3）由f（x）≤kx，得，∵，∴，令，则t∈[1，2]，所以k≥mt2+2t+1，令g（t）＝mt2+2t+1，t∈[1，2]，于是，要使原不等式在有解，当且仅当k≥g（t）min（t∈[1，2]）．∵m＜0，∴图象开口向下，对称轴为直线，∵t∈[1，2]，∴当，即时，g（t）min＝g（2）＝4m+5；当，即时，g（t）min＝g（1）＝m+3，综上，当时，k∈[4m+5，+∞）；当时，k∈[m+3，+∞）．【知识点】其他不等式的解法、奇偶性与单调性的综合、两点间的距离公式24.（2014•长沙校级模拟）已知直线l平行于直线3x+4y﹣7＝0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l的方程．【解答】解：设直线l的方程为：3x+4y+m＝0，分别令x＝0，解得y＝﹣；y＝0，x＝﹣．∵l与两坐标轴围成的三角形的面积为24，∴＝24，解得m＝±24．∴直线l的方程为3x+4y±24＝0．【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系。
2021年高考数学备考试题库 第八章 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 文(含解析)
2021年高考数学备考试题库 第八章 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 文（含解析）1．(xx 四川，5分)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |＋|PB |的取值范围是( )A ．[5，2 5 ]B ．[10，2 5 ]C ．[10，4 5 ]D ．[25，4 5 ]解析：选B 易知直线x ＋my ＝0过定点A (0,0)，直线mx －y －m ＋3＝0过定点B (1,3)，且两条直线相互垂直，故点P 在以AB 为直径的圆上运动，故|PA |＋|PB |＝|AB |cos ∠PAB ＋|AB |sin ∠PAB ＝10·2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫∠PAB ＋π4∈[10，25]，故选B.2．（xx 新课标全国Ⅱ，5分）设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若|AF |＝3|BF |，则l 的方程为( )A ．y ＝x －1或y ＝－x ＋1B ．y ＝33(x －1)或y ＝－33(x －1)C ．y ＝3(x －1)或y ＝－3(x －1)D ．y ＝22(x －1)或y ＝－22(x －1) 解析：本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等知识，意在考查考生的运算求解能力及对知识综合应用的能力．法一：如图所示，作出抛物线的准线l 1及点A ，B 到准线的垂线段AA 1，BB 1，并设直线l 交准线于点M .设|BF |＝m ，由抛物线的定义可知|BB 1|＝m ，|AA 1|＝|AF |＝3m .由BB 1∥AA 1可知|BB 1||AA 1|＝|MB ||MA |，即m 3m ＝|MB ||MB |＋4m，所以|MB |＝2m ，则|MA |＝6m .故∠AMA 1＝30°，得∠AFx ＝∠MAA 1＝60°，结合选项知选C 项．法二：由|AF |＝3|BF |可知＝3，易知F (1,0)，设B (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧1－x A ＝3x 0－1，－y A ＝3y 0，从而可解得A 的坐标为(4－3x 0，－3y 0)．因为点A ，B都在抛物线上，所以⎩⎨⎧y 20＝4x 0，－3y 02＝44－3x 0，解得x 0＝13，y 0＝±23，所以k l ＝y 0－0x 0－1＝± 3.答案：C3.（xx 广东，5分）垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝0解析：本题主要考查直线与直线、直线与圆的位置关系等知识，考查数形结合的数学思想方法，意在考查考生的运算求解能力．因为所求直线l (设斜率为k )垂直于直线y＝x＋1，所以k·1＝－1，所以k＝－1，设直线l的方程为y＝－x＋b(b＞0)，即x＋y－b＝0，所以圆心到直线的距离为|－b|2＝1，所以b＝ 2.答案：A4．（xx辽宁，5分）将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是( )A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0解析：要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)．A，B，C，D四个选项中，只有C选项中的直线经过圆心．答案：C5．（xx安徽，5分）过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( ) A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝0解析：两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点P(1,1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为－1，方程为x ＋y－2＝0.答案：A6．（xx安徽，5分）过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( )A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0解析：与直线x－2y－2＝0平行的直线方程可设为：x－2y＋c＝0，将点(1,0)代入x－2y＋c＝0，解得c＝－1，故直线方程为x－2y－1＝0.答案：A31686 7BC6 篆J?35705 8B79 譹22225 56D1 囑n35089 8911 褑40532 9E54 鹔P31964 7CDC 糜33303 8217 舗24458 5F8A 徊39554 9A82 骂31517 7B1D 笝。
2021高考数学文科(全国版)一轮复习考点考法精练：第九章 第一讲 直线方程与两直线的位置关系 W
姓名，年级：时间：第九章 直线和圆的方程第一讲 直线方程与两直线的位置关系1.[2020江西模拟］“m =4”是“直线mx +（3m — 4)y +3=0与直线2x +my +3=0平行"的 ( ） A.充分而不必要条件 B 。
必要而不充分条件 C 。
充要条件 D.既不充分也不必要条件 2。
[2020甘肃省模拟］已知直线l 1:x sin α+y - 1=0,直线l 2：x — 3y cos α+1=0，若l 1⊥l 2,则sin 2α= ( ） A 。
35B. — 35 C 。
23D 。
— 233.[2019安徽省黄山市八校联考]“a 〈 - 1”是“直线ax +y — 1=0的倾斜角大于π4”的（ ）A.充分而不必要条件 B 。
必要而不充分条件 C.充要条件 D 。
既不充分也不必要条件4.[2019安徽四校联考]已知坐标原点关于直线l 1:x - y +1=0的对称点为A ，设直线l 2经过点A ,则当点B (2, - 1）到直线l 2的距离最大时,直线l 2的方程为 （ ） A .2x +3y +5=0 B 。
3x - 2y +5=0 C 。
3x +2y +5=0 D .2x — 3y +5=05.［2019河北廊坊省级示范高中联考]已知直线l 1:ax +by +1=0与直线l 2:2x +y - 1=0互相垂直,且l 1经过点（ — 1,0），则b = .6。
若三条直线y =2x ，x +y =3,mx +ny +5=0相交于同一点,则点(m ,n )到原点的距离的最小值为 .7.［2020贵阳市高三摸底测试]已知抛物线y 2=4x 上一点P 到准线的距离为d 1，到直线l ：4x — 3y +11=0的距离为d 2，则d 1+d 2的最小值为 （ ) A.3 B.4 C 。
√5 D 。
√7 8。
［2020安徽皖江名校第一次联考]过原点O 作直线l ：（2m +n ）x +(m - n ）y - 2m +2n =0的垂线,垂足为P ,则点P 到直线x — y +3=0的距离的最大值为 ( ） A 。
高考数学一轮复习专题训练—直线的方程
直线的方程考纲要求1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．知识梳理1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角；(2)规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0； (3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π)． 2．直线的斜率(1)定义：当直线l 的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α. (2)计算公式①经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1.②若直线的方向向量为a ＝(x ，y )(x ≠0)，则直线的斜率k ＝yx .3．直线方程的五种形式截距式纵、横截距x a ＋y b ＝1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)所有直线1．直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系：α 0 0<α<π2π2 π2<α<π kk >0不存在k <02.“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( ) (2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( )(4)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)√解析 (1)当直线的倾斜角α1＝135°，α2＝45°时，α1＞α2，但其对应斜率k 1＝－1，k 2＝1，k 1＜k 2.(2)当直线斜率为tan(－45°)时，其倾斜角为135°. (3)两直线的斜率相等，则其倾斜角一定相等．2．若过两点A (－m,6)，B (1,3m )的直线的斜率为12，则直线的方程为________． 答案 12x －y －18＝0解析 由题意得3m －61＋m ＝12，解得m ＝－2，∴A (2,6)，∴直线AB 的方程为y －6＝12(x －2)， 整理得12x －y －18＝0.3．若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示与两条坐标轴都相交的直线(不与坐标轴重合)，则应满足的条件是________． 答案 A ≠0且B ≠0解析 由题意知，直线斜率存在且斜率不为零，所以A ≠0且B ≠0. 4．(2020·衡水模拟)直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( ) A.π6 B ．π3C ．2π3D ．5π6答案 D解析 由直线的方程得直线的斜率为k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33，又α∈[0，π)，所以α＝5π6.5．(2021·西安模拟)已知两点A (－1,2)，B (m,3)，且m ∈⎣⎡⎦⎤－33－1，3－1，则直线AB 的倾斜角α的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫π6，π2B ．⎝⎛⎦⎤π2，2π3 C.⎣⎡⎭⎫π6，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，2π3 D ．⎣⎡⎦⎤π6，2π3答案 D解析 ①当m ＝－1时，α＝π2；②当m ≠－1时，∵k ＝1m ＋1∈(－∞，－3]∪⎣⎡⎭⎫33，＋∞，∴α∈⎣⎡⎭⎫π6，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，2π3. 综合①②知直线AB 的倾斜角α的取值范围是⎣⎡⎦⎤π6，2π3.6．(2021·合肥调研)过点(－3,4)，在x 轴上的截距为负数，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程为______． 答案 4x －y ＋16＝0解析 由题设知，横、纵截距均不为0，设直线的方程为x a ＋y12－a ＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9(舍)．故所求直线的方程为4x －y ＋16＝0.考点一 直线的倾斜角与斜率【例1】 (经典母题)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2，1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________． 答案 (－∞，－3]∪[1，＋∞)解析 法一 设P A 与PB 的倾斜角分别为α，β，直线P A 的斜率是k AP ＝1，直线PB 的斜率是k BP ＝－3，当直线l 由P A 变化到与y 轴平行的位置PC 时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞)．当直线l 由PC 变化到PB 的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞， －3]．故斜率的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞)． 法二 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为 y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0.∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1－k )(－3－k )≤0，即(k －1)(k ＋3)≥0，解得k ≥1或k ≤－ 3.即直线l 的斜率k 的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．【迁移】 若将例1中P (1,0)改为P (－1,0)，其他条件不变，求直线l 斜率的取值范围．解 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为 y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0.∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1＋k )(－3＋k )≤0， 即(3k －1)(k －3)≤0，解得13≤k ≤ 3.即直线l 的斜率的取值范围是⎣⎡⎦⎤13，3. 感悟升华 1.由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时，常借助正切函数y ＝tan x 在⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，π上的单调性求解，这里特别要注意，正切函数在⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，π上并不是单调的． 2．过一定点作直线与已知线段相交，求直线斜率取值范围时，应注意倾斜角为π2时，直线斜率不存在．【训练1】 过函数f (x )＝13x 3－x 2图象上一个动点作函数图象的切线，则切线倾斜角的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤0，3π4 B ．⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎭⎫3π4，π D ．⎝⎛⎦⎤π2，3π4答案 B解析 ∵f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，∴斜率k ＝tan α≥－1，解得倾斜角α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π，故选B. 考点二 直线方程的求法【例2】 (1)已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)．求BC 边上的中线AD 所在直线的方程．(2)经过点P (2,3)，并且在两坐标轴上截距相等；(3)经过两条直线l 1：x ＋y ＝2，l 2：2x －y ＝1的交点，且直线的一个方向向量v ＝(－3,2)． 解 (1)由题意得线段BC 的中点D (0,2)，可得BC 边上的中线AD 所在直线的方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(2)法一 ①当截距为0时，直线l 过点(0,0)，(2,3)， 则直线l 的斜率为k ＝3－02－0＝32，因此，直线l 的方程为y ＝32x ，即3x －2y ＝0.②当截距不为0时，可设直线l 的方程为x a ＋ya ＝1.因为直线l 过点P (2,3)，所以2a ＋3a ＝1，所以a ＝5.所以直线l 的方程为x ＋y －5＝0.综上可知，直线l 的方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0. 法二 由题意可知所求直线斜率存在， 则可设y －3＝k (x －2)，且k ≠0.令x ＝0，得y ＝－2k ＋3.令y ＝0，得x ＝－3k ＋2.于是－2k ＋3＝－3k ＋2，解得k ＝32或k ＝－1.则直线l 的方程为y －3＝32(x －2)或y －3＝－(x －2)，即直线l 的方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0.(3)联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －y ＝1，得x ＝1，y ＝1，∴直线过点(1,1)，∵直线的方向向量v ＝(－3,2)， ∴直线的斜率k ＝－23.则直线的方程为y －1＝－23(x －1)，即2x ＋3y －5＝0.感悟升华 (1)求直线方程一般有以下两种方法：①直接法：由题意确定出直线方程的适当形式，然后直接写出其方程．②待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数，即得所求直线方程．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)．【训练2】 (1)已知点M 是直线l ：2x －y －4＝0与x 轴的交点，将直线l 绕点M 按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是( ) A ．x ＋y －3＝0 B ．x －3y －2＝0 C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y －6＝0(2)过点(2,1)且在x 轴上截距与在y 轴上截距之和为6的直线方程为________________． 答案 (1)D (2)x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0 解析 (1)设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝k ＝2，直线l 绕点M 按逆时针方向旋转45°，所得直线的斜率k ′＝tan ()α＋45°＝2＋11－2×1＝－3，又点M (2,0)，所以y ＝－3(x －2)，即3x ＋y －6＝0. (2)由题意可设直线方程为x a ＋yb＝1.则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，2a ＋1b ＝1，解得a ＝b ＝3，或a ＝4，b ＝2. 故所求直线方程为x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0. 考点三 直线方程的综合应用【例3】 已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)．(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．(1)证明 直线l 的方程可化为k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1.∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)．(2)解 由方程知，当k ≠0时，直线在x 轴上的截距为－1＋2k k ，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解得k >0； 当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k 的取值范围是[0，＋∞)． (3)解 由题意可知k ≠0，再由l 的方程， 得A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k >0，解得k >0. ∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k |＝12·1＋2k 2k＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4 ≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.感悟升华 1.含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，能够看出“动中有定”．若直线的方程为y ＝k (x －1)＋2，则直线过定点(1,2)．2．求解与直线方程有关的面积问题，应根据直线方程求解相应坐标或者相关长度，进而求得多边形面积．3．求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．【训练3】 (1)已知k ∈R ，写出以下动直线所过的定点坐标： ①若直线方程为y ＝kx ＋3，则直线过定点________； ②若直线方程为y ＝kx ＋3k ，则直线过定点________； ③若直线方程为x ＝ky ＋3，则直线过定点________．(2)(2021·武威模拟)若直线ax ＋by ＝ab (a ＞0，b ＞0)过点(1,1)，则该直线在x 轴、y 轴上的截距之和的最小值为( ) A ．1B ．4C ．2D ．8答案 (1)①(0,3) ②(－3,0) ③(3,0) (2)B解析 (1)①当x ＝0时，y ＝3，所以直线过定点(0,3)． ②直线方程可化为y ＝k (x ＋3)，故直线过定点(－3,0)． ③当y ＝0时，x ＝3，所以直线过定点(3,0)． (2)∵直线ax ＋by ＝ab (a ＞0，b ＞0)过点(1,1)，所以a ＋b ＝ab ，1a ＋1b ＝1，因为直线在x 轴的截距为b ，在y 轴上的截距为a ，所以直线在x轴、y 轴上的截距之和为a ＋b ，a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·ab＝4，所以当a ＝b ＝2时取最小值，最小值为4，故选B.基础巩固一、选择题1．如图中的直线l 1， l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2答案 D解析 直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1<0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3，所以0<k 3<k 2，因此k 1<k 3<k 2.2．(2021·安阳模拟)若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a ＝( ) A ．1±2或0 B ．2－52或0C.2±52D ．2＋52或0答案 A解析 由题意知k AB ＝k AC ，即a 2＋a 2－1＝a 3＋a3－1，即a (a 2－2a －1)＝0，解得a ＝0或a ＝1±2.3．如果A ·B >0，B ·C <0，那么直线Ax －By －C ＝0不经过的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案 D解析 因为直线在x 轴、y 轴上的截距分别为C A <0，－CB >0，所以直线Ax －By －C ＝0不经过的象限是第四象限．故选D.4．(2020·成都诊断)过点(2,1)，且倾斜角比直线y ＝－x －1的倾斜角小π4的直线方程是( )A ．x ＝2B ．y ＝1C ．x ＝1D ．y ＝2答案 A解析 直线y ＝－x －1的倾斜角为3π4，则所求直线的倾斜角为π2，故所求直线斜率不存在，又直线过点(2,1)，所以所求直线方程为x ＝2.5．(2021·福建六校联考)在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )答案 B解析 当a >0，b >0时，－a <0，－b <0，结合选项知B 符合，其他均不符合．6．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1答案 D解析 令x ＝0，y ＝2＋a ，令y ＝0，x ＝2＋a a ，则2＋a ＝2＋a a. 即(a ＋2)(a －1)＝0，∴a ＝－2或a ＝1. 7．直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π6，π3B ．⎣⎡⎦⎤π4，π3C ．⎣⎡⎦⎤π4，π2D ．⎣⎡⎦⎤π4，2π3答案 B解析 直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α，因为α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32， 因此k ＝2cos α∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]．又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3，即倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3.8．(2021·安阳模拟)已知点A (1,3)，B (－2，－1)．若直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 恒相交，则k 的取值范围是( )A ．k ≥12B ．k ≤－2C ．k ≥12或k ≤－2 D ．－2≤k ≤12答案 D解析 直线l ：y ＝k (x －2)＋1经过定点P (2,1)，∵k P A ＝3－11－2＝－2，k PB ＝－1－1－2－2＝12， 又直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 恒相交，∴－2≤k ≤12. 二、填空题9．把直线x －y ＋3－1＝0绕点(1，3)逆时针旋转15°后，所得直线l 的方程是________． 答案 y ＝3x解析 已知直线的斜率为1，则其倾斜角为45°，绕点逆时针旋转15°后，得到的直线l 的倾斜角α＝45°＋15°＝60°，直线l 的斜率为tan α＝tan 60°＝3，∴直线l 的方程为y －3＝3(x －1)，即y ＝3x .10．(2020·沈阳模拟)过点⎝⎛⎭⎫1，14且在两坐标轴上的截距互为倒数的直线方程为________． 答案 x ＋4y －2＝0解析 因为两坐标轴上的截距互为倒数，所以截距不为零，可设直线方程为x a＋ay ＝1， 因为x a＋ay ＝1过点⎝⎛⎭⎫1，14，所以1a ＋14a ＝1，解得a ＝2， 所以，所求直线方程为12x ＋2y ＝1，化为x ＋4y －2＝0. 11．(2021·广州质检)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为________．答案 －13解析 依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝－3， 从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13. 12．在平面直角坐标系xOy 中，经过点P (1,1)的直线l 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B .若P A→＝－2PB →，则直线l 的方程是________．答案 x ＋2y －3＝0解析 设A (a,0)，B (0，b )，由P A →＝－2PB →，可得a －1＝－2×(0－1)，0－1＝－2(b －1)，则a＝3，b ＝32，由截距式可得直线l 的方程为x 3＋y 32＝1，即x ＋2y －3＝0. B 级 能力提升13．(2020·东北三省三校调研)设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤－1，－12 B ．[－1,0] C ．[0,1]D ．⎣⎡⎦⎤12，1答案 A解析 由题意知，y ′＝2x ＋2，设P (x 0，y 0)，则在点P 处的切线的斜率k ＝2x 0＋2.因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则0≤k ≤1，即0≤2x 0＋2≤1， 故－1≤x 0≤－12. 14．已知A ，B 是x 轴上的不同两点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )A ．2x ＋y －7＝0B ．x ＋y －5＝0C ．2y －x －4＝0D ．2x －y －1＝0答案 B解析 因为点P 的横坐标为2，且点P 在直线x －y ＋1＝0上，所以点P 的纵坐标为3，所以P (2,3)．又因为|P A |＝|PB |，所以直线P A ，PB 的斜率互为相反数，所以直线PB 的斜率为－1，则直线PB 的方程是y －3＝－(x －2)，即x ＋y －5＝0.故选B.15．已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0<a <2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，则a ＝________.答案 12解析 由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1的纵截距为2－a ，直线l 2的横截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2(2－a )＋12×2(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝⎛⎭⎫a －122＋154，又0<a <2，所以当a ＝12时，面积最小． 16．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，P 是线段AB 上的点，则P 到AC ，BC 的距离的乘积的最大值为________．答案 3解析 以C 为坐标原点，CB 所在直线为x 轴建立直角坐标系(如图所示)，则A (0,4)，B (3,0)，直线AB的方程为x3＋y4＝1.设P(x，y)(0≤x≤3)，所以P到AC，BC的距离的乘积为xy，因为x3＋y4≥2x3·y4，当且仅当x3＝y4＝12时取等号，所以xy≤3，所以xy的最大值为3.。
2021高中数学直线方程解答题专项训练(含解析)
2021直线方程解答题训练一、解答题1.（2020高二上·青铜峡月考）求符合下列条件的直线方程：（1）平行于直线3x+4y－12=0，且与它的距离是7的直线的方程；（2）垂直于直线x+3y－5=0，且与点P(－1，0)的距离是的直线的方程.2.（2020高二上·尚义期中）根据下列条件求直线的方程：（1）过点，且在两坐标轴上的截距之和为2；（2）过点，且在两坐标轴上的截距之差为2；（3）过点，且在两坐标轴上的截距相等．3.（2020高二上·宣城期中）根据下列条件，求直线方程：（1）过点A ，且倾斜角是直线的倾斜角的2倍；（2）经过点P 且在两坐标轴上的截距相等．4.（2020高二上·天津月考）根据条件，求出下列直线的方程：（1）经过点倾斜角为；（2）经过点，.5.已知直线过点，根据下列条件分别求直线l的方程：（1）直线的倾斜角等于；（2）直线在轴、轴上的截距之和等于0．6.（2020高一下·河北期末）求出满足下列条件的直线方程．（1）经过点且与直线垂直；（2）经过点且在两条坐标轴上的截距相等．7.（2020高二上·宜宾月考）求满足下列条件的直线的方程：（1）求与直线平行，且过点的直线方程；（2）已知正方形的中心为直线和的交点，其一边所在直线的方程为,求其他三边的方程.8.求分别满足下列条件的直线l的方程.（1）斜率是,且与两坐标轴围成的三角形的面积是6;（2）经过两点，;（3）经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等.9.（2020高二上·济宁月考）求适合下列条件的直线方程：（1）已知，，求线段的垂直平分线的方程；（2）求经过点并且在两个坐标轴上的截距相等的直线方程．10.（2021高二上·洮南月考）已知的两条高所在的直线方程为，若点A坐标为（1）.求垂心H的坐标；（2）.若关于直线的对称点为N，求点N到直线BC的距离．11.（2021高二上·北流开学考）已知直线过直线和的交点P．（1）若直线过点，求直线的斜率；（2）若直线与直线垂直，求直线的一般式方程．12.（2020高二上·古县期中）直线经过直线和直线的交点，且与直线垂直，求直线的方程.13.（2021高二上·抚松开学考）已知中，，，．（1）求中平行于边的中位线所在直线的一般式方程；（2）求边的中线所在直线的一般式方程．14.（2020高二上·湖北期中）求经过直线与直线的交点M，且满足下列条件的直线方程.（1）与直线平行；（2）与直线垂直.15.（2020高二上·运城期中）已知直线l过点，根据下列条件分别求直线l的方程：（1）直线l的倾斜角为135°；（2）直线l在轴，轴上的截距之和为0.16.（2020高二上·绵阳期中）已知的顶点，直线的方程为边上的中线所在直线方程为．（1）求顶点的坐标；（2）求边上的高所在直线方程．17.设直线l的方程为（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．18.（2020高二上·天津月考）已知直线与直线的交点为M.（Ⅰ）求过点M且与直线平行的直线l的方程；（Ⅱ）若直线过点M，且点到的距离为，求直线的方程.19.（2020高二上·上海期中）为已知实数，直线的方程为，直线的方程为.（1）讨论直线与的位置关系；（2）当直线与平行时，求这两条平行线的距离的最大值.20.在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠A的角平分线所在直线的方程为y＝0，若点B的坐标为(1,2)，求点A和点C的坐标．21.（2020高二上·运城期中）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为.（1）求边所在直线方程；（2）求过顶点且与平行的直线．22.（2020高一下·浙江期中）已知点和点．（Ⅰ）求线段的垂直平分线的直线方程；（Ⅱ）若直线过点，且，到直线的距离相等．求直线的方程．23.（2020高一下·大庆期末）已知中，、、，写出满足下列条件的直线方程（要求最终结果都用直线的一般式方程表示）.（1）边上的高线的方程；（2）边的垂直平分线的方程.24.（2020高二上·济宁月考）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，（1）求顶点的坐标；（2）求的面积．25.（2020高二上·会昌月考）已知三边所在直线的方程为AB：，BC：，CA：，求AC边上的高所在的直线方程．26.（2020高一上·吉林期末）已知直线的方程为（Ⅰ）若直线与平行，且过点，求直线的方程；（Ⅱ）若直线与垂直，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线的方程.27.（2021高二上·洮南月考）已知光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，（1）.求反射光线所在的方程；（2）.在直线l上求一点P，使；（3）.若点Q在直线l上运动，求的最小值．28.（2021高二上·洮南月考）在中，已知（1）.若直线过点且点到的距离相等，求直线的方程；（2）.若直线：为的平分线，求直线的方程.29.（2020高二上·南昌期中）已知为实数，设直线的方程为，直线的方程为.（1）若与平行，求的值；（2）当与相交时，用表示交点的坐标，并说明点一定在某一条定直线上.30.（2021高二上·北流开学考）已知一个动点P在圆上移动，它与定点所连线段的中点为M．（1）求点M的轨迹方程；（2）过定点的直线与点M的轨迹方程交于不同的两点，且满足，求直线l的方程．31.（2021高二上·南昌开学考）已知直线，.（1）当时，求实数的值；（2）当时，求直线与之间的距离.32.（2021高二上·湖南月考）求满足下列条件的直线方程：（1）已知、、，求的边上的中线所在的直线方程；（2）过点，在两坐标轴上截距相等的直线方程.33.（2020高二上·嘉兴期中）已知直线：，直线：．（Ⅰ）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；（Ⅱ）若，求直线的方程．答案解析部分一、解答题1.【答案】（1）解：由题可设所求直线为，则，解得或23，故所求方程为或；（2）解：由题可设所求直线为，则，解得或9，故所求方程为或.【解析】【分析】（1）利用两直线平行斜率相等结合平行线间的距离求解公式，从而结合已知条件求出平行于直线3x+4y－12=0，且与它的距离是7的直线的方程。
2021年高考数学《直线及其方程》专题复习检测卷(含答案)
2021年高考数学《直线及其方程》专题复习检测卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（本题有12小题，每小题5分，共60分）130y --=的倾斜角是（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．已知直线l 过点（1，2），且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍，则直线l 的方程为（ ）A ．250x y +-=B ．250x y ++=C ．20x y -=或250x y +-=D ．20x y -=或230x y -+=3．已知(,0),(,0)A c B c -，直线1x +=上存在唯一点P ，使得||PA =，则c 的值为（ ） A ．1-B ．1-或15C ．1或15-D ．15-4．过点（5，2），且在y 轴上的截距是在x 轴上截距2倍的直线方程是（ ） A ．2120x y +-= B ．2120x y +-=或250x y -= C ．210x y --=D ．210x y --=或250x y -=5．与直线20x y +=垂直，且在x 轴上的截距为-2的直线方程为（ ）． A ．220x y B ．220x y --= C ．220x y -+= D ．220x y --=6．已知三点(),1A m ，()4,2B ，()4,2C m -在同一条直线上，则实数m 的值为（ ） A ．0 B ．5C ．0或5D ．0或-57．直线103x y +-=的倾斜角为（ ） A ．30B ．60︒C ．120︒D ．150︒8．直线10ax y -+=与连接()2,3A ，()3,2B -的线段相交，则a 的取值范围是（ ）A ．(,1][3,)-∞-⋃+∞B ．[]1,3-C ．1,[1,)3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9．过点(3,2)P -且倾斜角为2π的直线方程是（ ） A ．2x =-B ．3x =C ．2y =-D ．3y =10．已知直线1l ：+10x my +=与直线2l ：320mx y m --+=分别过定点A ，B ，且交于点P ，则PA PB ⋅的最大值是（ ）A B ．5C ．8D ．1011．直线1l :260ax y ++=与直线2l :2(1)10x a y a +-+-= 平行，则a 的值为（ ）A ．2a =-或1B ．1a =-C ．2或1a =-D ．212．已知点(2,0)A 与()0,4B 关于直线0ax y b ++=对称，则,a b 的值分别为（ ） A ．1，3 B ．12-，32-C ．-2，0D ．12，52-二、填空题（本题有4小题，每小题5分，共20分）13．经过点12,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且在坐标轴上截距相等的直线方程为________.14．已知两点()1,2A -，()2,1B ，直线:30l x my m --=与线段AB 相交，则直线l 的斜率的取值范围是___________.15．已知△ABC 的三个顶点分别为A (2，3)，B (-1，-2)，C (-3，4)，则BC 边上的中线AD 所在的直线方程为_____16．若直线10x y -+=与直线310mx y +-=互相垂直，则实数m 的值为__________．三、解答题（本题有6小题，共70分）17．（10分）已知直线1l ：60x my ++=和2l ：(2)320m x y m -++=，分别就下列条件求出实数m 的值.（1）直线1l 与2l 垂直； （2）直线1l 与2l 平行.18．（12分）已知点(2,2)A ，直线:320l x y -+=． （1）求A 点到直线l 距离；（2）求过点A 且与直线l 平行的直线的方程．19．（12分）已知直线1l ：20mx y m +--=，2l ：340x y n +-=.（1）求直线1l 的定点P ，并求出直线2l 的方程，使得定点P 到直线2l 的距高为85； （2）过点P 引直线l 分别交x ，y 轴正半轴于A 、B 两点，求使得AOB 面积最小时，直线l 的方程.20．（12分）已知直线l ：120kx y k -++= (k ∈R ). （1）证明：直线l 过定点；（2）若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．21．（12分）如图，ABC 中，顶点(1,2)A ，BC 边所在直线的方程为310x y ++=，AB 边的中点(0,1)D .（1）求AB 边所在直线的方程；（2）若AC BC =，求AC 边所在直线的方程.22．（12分）已知直线l 经过点()2,4P -.（1）若原点到直线l 的距离为2，求直线l 的方程；（2）若直线l 被两条相交直线1l ：220x y --=和2l ：30x y ++=所截得的线段恰被点P 平分，求直线l 的方程.参考答案1．B 【分析】根据直线方程得到直线的斜率后可得直线的倾斜角. 【详解】直线的斜率k =60°． 故选：B. 【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关已知直线求倾斜角的问题，解题的关键点是正确理解直线的斜率与倾斜角α的关系是：tan ,[0,)(,)22k ππααπ=∈，当2πα=时，直线的斜率不存在，注意倾斜角的范围. 2．C 【分析】当直线过原点时设直线l 的方程为y kx =，当直线不过原点时，设直线的方程为12x yb b+=，分别将点()1,2代入可得答案. 【详解】当直线在两坐标轴上的截距都为0时，设直线l 的方程为y kx =，把点()1,2代入方程，得2k =，即2k =，所以直线的方程为20x y -=； 当直线在两坐标轴上的截距都不为0时，设直线的方程为12x yb b+=， 把点()1,2代入方程，得1212b b +=，即52b =， 所以直线的方程为250x y +-=． 故选：C ． 3．B 【分析】设0P x ⎛ ⎝，由||PA PB =得()()22003214210x c x c -+++=，然后根据方程只有一个解可得答案. 【详解】设0P x ⎛ ⎝，由||PA PB =得，=整理得()()22003214210x c x c -+++=，因为直线1x =上存在唯一点P ，所以整理后的方程只有一个解， 即()()2241412210c c ∆=+-+=，解得1c =-或15c =. 故选：B. 【点睛】本题考查了两点间的距离公式，解题的关键点是利用方程只有一个解这个条件，考查了学生分析问题、解决问题的能力. 4．B 【分析】根据截距是否为零分类讨论后可求直线方程. 【详解】若截距为零，则直线过原点，故此时直线方程为25y x =即250x y -=， 若截距不为零，设直线方程为：12x ya a +=，代入点()5,2可得：5212a a+=， 故6a =，故直线方程为2120x y +-=， 故选：B. 5．A 【分析】先求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解. 【详解】由题得所求直线的斜率为12， ∴所求直线方程为10(2)2y x -=+， 整理为220x y ．故选：A 【点睛】方法点睛：求直线的方程，常用的方法：待定系数法，先定式（从直线的五种形式中选择一种作为直线的方程），后定量（求出直线方程中的待定系数）. 6．C 【分析】根据()4,2B ，()4,2C m -知直线斜率存在，利用斜率相等求解. 【详解】因为三点(),1A m ，()4,2B ，()4,2C m -在同一条直线上，且直线斜率存在，所以212244(4)mm --=---， 解得0m =或5m = 故选：C 7．D 【分析】由直线的一般式方程得到直线的斜率k ，再由tan θk 求解倾斜角.【详解】10x y +-=的斜率=k -tan [0,180)o o k θθ∴==∈， ∴150θ︒=. 故选：D 8．C 【分析】直线恒过定点()0,1，数形结合即可求解. 【详解】直线10ax y -+=恒过定点()0,1， 如图，由31120AC k -==-，211303BC k -==---， 则直线10ax y -+=与连接()2,3A ，()3,2B -的线段相交， 即1y ax =+与连接()2,3A ，()3,2B -的线段相交， 所以a 1,[1,)3⎛⎤∈-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.故选：C 9．B 【分析】根据直线垂直于x 轴求解即可. 【详解】 倾斜角为2π，直线垂直于x 轴，直线方程为3x = 故选：B 10．D 【分析】先根据直线方程求出,A B 的坐标，再根据两条直线垂直得到22+=20PA PB ，利用基本不等式可求PA PB ⋅的最大值. 【详解】因为1l ：+10x my +=，故()1,0A -， 因为2:l 320mx y m --+=，故()3,2B，因为()110m m ⨯+⨯-=，故12l l ⊥，故222+=20PA PB AB =， 因为22+2PA PB PA PB ≥⋅，故10PA PB ⋅≤，当且仅当PA PB == 故PA PB ⋅的最大值为10， 故选：D. 【点睛】方法点睛：对于含参数的直线的方程，注意挖掘它们隐含的条件与关系，如直线过定点或直线之间彼此平行或垂直.利用基本不等式求最值时注意对取等条件的验证. 11．B 【分析】根据直线平行关系可得方程组，解方程组求得结果. 【详解】因为直线1l ：260ax y ++=与直线2l ：()()2110x a y a +-+-=平行，所以()()()21202161a a a a ⎧--=⎪⎨-≠-⎪⎩ ，解得1a =-. 故选：B. 【点睛】本题考查根据直线的平行关系求解参数值，易错点是忽略直线不能重合，造成增根. 12．B 【分析】点,A B 关于直线0ax y b ++=对称，则利用垂直关系，以及线段AB 的中点在直线0ax y b ++=上，列式求解.【详解】40202AB k -==--，若点(2,0)A 与()0,4B 关于直线0ax y b ++=对称， 则直线AB 与直线0ax y b ++=垂直，直线0ax y b ++=的斜率是a -， 所以()()21a -⋅-=-，得12a =-. 线段AB 的中点()1,2在直线0ax y b ++=上，则20a b ++=，得32b =- 故选:B13．04=+y x 或302x y ++= 【分析】分截距为0时和截距不为0时两类讨论，分别求出直线的方程可得答案． 【详解】当截距为0时，即直线过原点时，设该直线的方程为y kx =，把12,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入y kx =得，14k =-，此时方程为14y x =-直线方程为04=+y x ；当截距不为0时，设直线方程为1x y a a +=，则1221a a-+=，解得32a =-，所以直线方程为302x y ++=.综上，直线方程为04=+y x 或302x y ++=.故答案为：04=+y x 或302x y ++=14．[1,3]- 【分析】确定直线l 过定点(0,1)P -，求出直线,PA PB 的斜率，由直线与线段相交得出斜率的不等关系，从而可得结论，注意分类讨论． 【详解】0m =时，直线l 与线段AB 相交，0m ≠时，直线l 的斜率为3k m =， 易知直线:30l x my m --=过定点(0,1)P -，又2(1)310PA k --==---，1(1)120PB k --==-， 而线段AB 上点的横坐标x 满足12x -≤≤， ∴33m ≤-或31m≥，解得10m -≤<或03m <≤， 综上[1,3]m ∈-．故答案为：[1,3]-15．240x y -+=【分析】求出D 的坐标后可得AD 的直线方程.【详解】D 的坐标为()2,1-，故AD 的斜率为()311222-=--， 故直线AD 的方程为()1121222y x x =++=+即240x y -+=， 故答案为：240x y -+=16．3【分析】直接利用两直线垂直，求出m .【详解】因为直线10x y -+=与直线310mx y +-=互相垂直，所以30m -=，解得：3m =故答案为：3【点睛】若用一般式表示的直线,不用讨论斜率是否存在,只要A 1A 2+B 1 B 2=0,两直线垂直. 17．（1）12（2）1- 【分析】(1）由已知条件利用直线与直线垂直的条件直接求解；(2）由已知条件利用直线与直线平行的条件直接求解.【详解】（1）1l ：60x my ++=和2l ：(2)320m x y m -++=垂直(2)130m m ∴-⨯+=， 解得12m =（2）1l ：60x my ++=和2l ：(2)320m x y m -++=平行，(2)130m m ∴--⨯=且2216m m -≠， 解得1m =-18．（1）5；（2）340x y --=. 【分析】（1）利用点到直线的距离公式计算即可得解；（2）方法一：根据已知设直线为3y x n =+，点(2,2)A 代入即可得解，方法二：设过点A 且与直线l 平行的直线方程为30x y n -+=，点(2,2)A 代入即可得解.【详解】（1）设点A 到直线l 的距离为d ，则d ==（2）方法一：∵直线l 的斜率3k =，设过点A 且与直线l 平行的直线方程为3y x n =+，把点A 的坐标代入可得4n =-，∴过点A 且与直线l 平行的直线方程为340x y --=.方法二：设过点A 且与直线l 平行的直线方程为30x y n -+=,把点A 的坐标代入可得：620n -+=，解得4n =-,∴过点A 且与直线1l 平行的直线方程为340x y --=.19．（1）(1,2)P ，2l ：3430x y +-=或34190x y +-=（2）240x y +-=【分析】（1）利用直线系求出定点，根据点到直线距离求出2l ；（2）由题意直线斜率存在，设出直线方程，求出截距，表示出三角形面积，利用均值不等式求最值.【详解】（1）由20mx y m +--=可得(1)20m x y -+-=，所以直线1l 的定点(1,2)P ，(1,2)P 到直线2l ：340x y n +-=的距离|11|855n d -===， 解得3n =或19n =， 所以直线2l ：3430x y +-=或34190x y +-=（2）由题意，设直线l ：2(1)y k x -=-，因为直线l 分别交x ，y 轴正半轴于A 、B 两点，所以0k <令0,20x y k ==->，20,10y x k==->，所以122(2)(1)22422AOB k S k k k =--=--≥+=△，当且仅当2k =-时等号成立，故所求直线方程为22(1)y x -=--，即240x y +-=【点睛】关键点点睛：直线系过定点问题，需将直线化为含参数与不含参数的部分，如(1)20m x y -+-=，可根据此形式直接写出定点；直线与坐标轴围成三角形的面积，可利用截距表示.20．（1）证明见解析；（2）4，240x y -+=.【分析】（1）将直线化简为(2)(1)0k x y ++-=，即可求得定点，即可得证；（2）根据l 的方程，可求得A ，B 的坐标，代入面积公式，即可求得面积S 的表达式，结合基本不等式，即可求得答案.【详解】（1）证明：直线l 的方程可化为(2)(1)0k x y ++-=，令20x +=，则10y -=，解得2,1x y =-=，∴无论k 取何值，直线总经过定点(2,1)-.（2）由题意可知0k ≠，再由l 的方程，得12(,0)k A k+-，(0,12)B k +． 依题意得：120120k k k +⎧-<⎪⎨⎪+>⎩，解得0k >． ∵21112(12)12222k k S OA OB k k k++=⋅⋅=⋅+=111(44)4)422k k =++≥⨯=. 当且仅当140k k =>，即12k =时取等号， ∴min 4S =，此时直线l 的方程为240x y -+=．21．（1）10x y -+=；（2）350x y +-=.【分析】（1）求出AB 边的中点坐标，由直线的两点式方程可得答案；（2）因为AC BC =，所以点C 在线段AB 的中垂线10x y +-=上，与310x y ++=联立可得C 点坐标，由直线的两点式方程可得答案.【详解】（1）因AB 边的中点为(0,1)D ，∴AB 边所在直线的方程为120112x y --=--， 即10x y -+=.（2）因AC BC =，所以点C 在线段AB 的中垂线10x y +-=上，由10310x y x y +-=⎧⎨++=⎩得21x y =⎧⎨=-⎩，即C 的坐标为(2,1)-，又点(1,2)A ，AC ∴边所在直线的方程为122112x y --=---， 即350x y +-=.22．（1）2x =-或34100x y +-=；（2）4y =.【分析】（1）当直线l 的斜率不存在时，直线方程为2x =-，符合条件.当直线l 的斜率存在时，设直线方程为()42y k x -=+，由点到直线l 的距离公式求得k 值，则直线方程可求； （2）设直线l 夹在直线1l ，2l 之间的线段为AB (A 在1l 上，B 在2l 上)，用点A 的坐标表示出点B 坐标，根据A 在1l 上，B 在2l 上，求得点A 的坐标，即可求得直线方程.【详解】（1）①直线l 的斜率不存在时，直线方程为2x =-，符合条件.②直线l 的斜率存在时，设直线方程为()42y k x -=+，由原点到直线l 的距离为242k ，解得34k =-. 故直线l 的方程为()3424y x -=-+， 即34100x y +-=. 综上，所求直线l 的方程为2x =-或34100x y +-=. （2）设直线l 夹在直线1l ，2l 之间的线段为AB (A 在1l 上，B 在2l 上)， A B ，的坐标分别设为()11,x y ，()22,x y ， 因为AB 被点P 平分，所以124x x +=-，128y y +=， 即214x x =--，218y y =-.由于A 在1l 上，B 在2l 上，即1111220,70,x y x y --=⎧⎨+-=⎩ 解得13x =，14y =，即A 的坐标是()3,4， 故直线l 的方程是4y =.。
【高三】2021届高考数学直线的方程复习课件和检测题
【高三】2021届高考数学直线的方程复习课件和检测题2021年高考数学总复习8-1直线的方程与两条直线的位置关系但因为测试新人教b版1.（2022北京海淀模拟）如果直线L和直线y=1，x=7分别在P点和Q点相交，且线段PQ的中点坐标为（1，-1），则直线L的斜率为（）a.13 b．－13c、－32d。
23[答案] b[分析]设P（x，1），q（7，y），∵pq的中点为(1，－1)，∴x＋72＝1y＋12＝1∴x＝5，y＝3∴p（－5,1），q（7，－3）∴直线l的斜率kpq＝－3－17－－5＝－13.2.（（2022年湛江测量）如果直线ax+3Y+1=0和直线2x+2Y－3=0相互垂直，则a的值等于（）a．3b．－13c、－3d。
十三[答案] c[分析]2A+3可以从两条直线的垂直度×2=0得到，所以a=-3，所以选择C(理)(2021梅州模拟)已知直线a2x＋y＋2＝0与直线bx－(a2＋1)y－1＝0互相垂直，则ab的最小值为( )a、五,b、四,c．2 d．1[答：]C[解析] 由题意知，a2b－(a2＋1)＝0且a≠0，∴a2b＝a2＋1∴ab＝a2＋1a＝a＋1a∴ab＝a＋1a＝a＋1a≥2.(当且仅当a＝±1时取“＝”)．3.（（辽宁沈阳二中2022年检测）“a＝2”表示“直线2x+ay－1＝0平行于直线ax+2Y－2＝0”（）a．充要条件b．充分不必要条件c、必要条件和不充分条件D.既不充分也不必要条件[答案] b【分析】两条直线平行的充要条件为2A=A2≠ - 1-2，即两条直线平行的充要条件是a=±2因此，a=2是直线2x+AY-1=0平行于直线ax+2y-2=0的充要条件[点评] 如果适合p的集合是a，适合q的集合是b，若a是b的真子集，则p是q 的充分不必要条件，若a＝b，则p，q互为充要条件，若b是a的真子集，则p是q的必要不充分条件．（理论）（2022年东营模拟）给定两条直线L1:ax+by+C=0和L2:x+NY+P=0，an=B为（）a．充分不必要条件b．必要不充分条件c、充分必要条件D.既不充分也不必要条件[答案] b【分析】当L1‖L2，an-b=0，当an-b=0/L1‖L2时，因此an=b是直线L1‖L2的必要条件和不足条件4．()(2021烟台模拟)点p(－3,4)关于直线x＋y－2＝0的对称点q的坐标是( )a、（-2,1）b.（-2,5）c．(2，－5)d．(4，－3)[答：]B[解析] x＝2－4＝－2，y＝2－(－3)＝5，故选b.（科学）（2022年皖南第八中学第三次联考）关于线性x=1的线性对称方程是（）a．x＋2y－1＝0b．2x＋y－1＝0c、 2x＋y－5＝0d.x＋2y－5＝0[答案] c【分析】根据问题的含义，直线2x-y+1=0与直线x=1的交点为（1,3），直线2x-y+1=0的倾角与直线的倾角是互补的，因此它们的斜率是相反的。
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考点40 直线方程【题组一 斜率与倾斜角】1的倾斜角为 。
10y -+=2．直线与直线的夹角为______________.1:210l x y -+=2:210l x y ++=3．已知直线过点且与以，为端点的线段有公共点，则直线倾斜角的取值范l (1,0)P (2,1)A (4,3)B -AB l 围为_______．【题组二 直线方程】1．过点（1，2），且在两坐标轴上的截距相等的直线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条2．“直线在坐标轴上截距相等”是“”的（ ）:21l y kx k =+-1k =-A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【题组三 直线的位置关系】1．设a ∈R ，则“a ＝3”是“直线ax +2y +3a ＝0和直线3x +（a ﹣1）y ＝a ﹣7平行”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知m 为实数，直线，，若，则实数m 的值( ) 1:10l mx y +-=()23220l m x my -+-=：12l l //A ．2 B ．1 C ．1或2 D ．0或 133．已知直线，直线，且∥，若均为正数，则的最小:3210p x y -+=:(1)0q ax b y +-=p q ,a b 23a b+值是（ ）A ．B ．C ．8D ．24253834．是“直线与直线相互垂直”的（ ）. 14a =(1)310a x ay +++=(1)(1)30a x a y -++-=A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【题组四 距离问题】1．直线与直线之间的距离是______．110l x y -+=：250l x y -+=：2．点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离是（ ）P 22ln 0x y --=P 4410x y ++=A B C D ． ln 2)-ln 2)+1ln 2)2+1(1ln 2)2+【题组五 定点问题】1．方程所确定的直线必经过的定点坐标是 ．30kx y +-=2．对任意实数，直线恒过定点，则该定点的坐标为_________m 30mx y m --+=【题组六 对称问题】1．点关于直线对称的点´的坐标是()2,1P -:10l x y -+=P A ． B ． C ．D ． ()1,0()0,1()0,1-()1,0-2．点关于直线对称点的坐标是________．(7,1)A -:250l x y --=A '3．直线关于点对称的直线的方程为_________.3450x y -+=(2,3)M -4．已知直线，点.求：:2310l x y -+=(1,2)A --（1）直线关于点对称的直线的方程；l (1,2)A --l '（2）直线关于直线的对称直线的方程.:3260m x y --=l m '5．圆关于直线对称的圆的标准方程为__．22:1C x y +=:1l x y +=如何学好数学1.圆锥曲线中最后题往往联立起来很复杂导致k 算不出，这时你可以取特殊值法强行算出k 过程就是先联立，后算代尔塔，用下伟达定理，列出题目要求解的表达式，就ok 了2.选择题中如果有算锥体体积和表面积的话，直接看选项面积找到差2倍的小的就是答案，体积找到差3倍的小的就是答案，屡试不爽！3.三角函数第二题，如求a(cosB+cosC)/(b+c)coA 之类的先边化角然后把第一题算的比如角A 等于60度直接假设B 和C 都等于60°带入求解。
省时省力！4.空间几何证明过程中有一步实在想不出把没用过的条件直接写上然后得出想不出的那个结论即可。
如果第一题真心不会做直接写结论成立则第二题可以直接用！用常规法的同学建议先随便建立个空间坐标系，做错了还有2分可以得！5.立体几何中第二问叫你求余弦值啥的一般都用坐标法！如果求角度则常规法简单！6.高考选择题中求条件啥的充要和既不充分也不必要这两个选项可以直接排除！考到概率超小7.选择题中考线面关系的可以先从D项看起前面都是来浪费你时间的7.选择题中求取值范围的直接观察答案从每个选项中取与其他选项不同的特殊点带入能成立的就是答案8.线性规划题目直接求交点带入比较大小即可（这个看楼下的说用这条要碰运气，文科可以试试。
）9.遇到这样的选项 A 1/2 B 1 C 3/2 D 5/2 这样的话答案一般是D因为B可以看作是2/2 前面三个都是出题者凑出来的如果答案在前面3个的话 D应该是2(4/2).数学无耻得分综合篇！做选择题时注意各种方法的运用，比较简单的自己会的题正常做就可以了，遇到比较复杂的题时，看看能否用做选择题的技巧进行求解（主要有排除法、特殊值代入法、特例求解法、选项一一带入验证法、数形结合法、逻辑推理验证法等等），一般可以综合运用各种方法，达到快速做出选择的效果。
填空题也是，比较简单的会的就正常做，复杂的题如果答案是一个确定的值时，看能否用特殊值代入法以及特例求解法。
选择填空题的答题时间要自己掌握好，遇到不会的先放下往后答，我们的目标是把卷子上所有会的题都答上了、都答对了，审题要仔细（一个字一个字读题），计算要准确（一步一步计算），千万不要有马虎的地方。
大题文科第一题一般是三角函数题，第一步一般都是需要将三角函数化简成标准形式Asin（wx+fai）+c，接下来按题做就行了，注意二倍角的降幂作用以及辅助角（合一）公式，周期公式，对称轴、对称中心、单调区间、最大值、最小值都是用整体法求解。
求最值时通过自变量的范围推到里面整体u=wx+fai的范围，然后可以直接画sinu的图像，避免画平移的图像。
这部分题还有一种就是解三角形的问题，运用正弦定理、余弦定理、面积公式，通常有两个方向，即角化成边和边化成角，得根据具体问题具体分析哪个方便一些，遇到复杂的题就把未知量列成未知数，根据定理列方程组，然后解方程组即可。
理科如果考数列题的话，注意等差、等比数列通项公式、前n项和公式；证明数列是等差或等比直接用定义法（后项减前项为常数/后项比前项为常数），求数列通项公式，如为等差或等比直接代公式即可，其它的一般注意类型采用不同的方法（已知Sn求an、已知Sn与an关系求an（前两种都是利用an=Sn-Sn-1，注意讨论n=1、n>1）、累加法、累乘法、构造法（所求数列本身不是等差或等比，需要将所求数列适当变形构造成新数列lamt，通过构造一个新数列使其为等差或等比，便可求其通项，再间接求出所求数列通项）；数列的求和第一步要注意通项公式的形式，然后选择合适的方法（直接法、分组求和法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等）进行求解。
如有其它问题，注意放缩法证明，还有就是数列可以看成一个以n为自变量的函数。
第二题是立体几何题，证明题注意各种证明类型的方法（判定定理、性质定理），注意引辅助线，一般都是对角线、中点、成比例的点、等腰等边三角形中点等等，理科其实证明不出来直接用向量法也是可以的。
计算题主要是体积，注意将字母换位(等体积法)；线面距离用等体积法。
理科还有求二面角、线面角等，用建立空间坐标系的方法（向量法）比较简单，注意各个点的坐标的计算，不要算错。
第三题是概率与统计题，主要有频率分布直方图，注意纵坐标（频率/组距）。
求概率的问题，文科列举，然后数数，别数错、数少了啊，概率=满足条件的个数/所有可能的个数；理科用排列组合算数。
独立性检验根据公式算K方值，别算错数了，会查表，用1减查完的概率。
回归分析，根据数据代入公式（公式中各项的意义）即可求出直线方程，注意（x平均，y平均）点满足直线方程。
理科还有随机变量分布列问题，注意列表时把可能取到的所有值都列出，别少了，然后分别算概率，最后检查所有概率和是否是1，不是1说明要不你概率算错了，要不随机变量数少了。
第四题是函数题，第一步别忘了先看下定义域，一般都得求导，求单调区间时注意与定义域取交。
看看题型，将题型转化一下，转化到你学过的内容（利用导数判断单调性（含参数时要利用分类讨论思想，一般求导完通分完分子是二次函数的比较多，讨论开口a=0、a<0、a>0和后两种情况下delt<=0、delt>0）、求极值（根据单调区间列表或画图像简图）、求最值（所有的极值点与两端点值比较）等），典型的有恒成立问题、存在问题（注意与恒成立问题的区别），不管是什么都要求函数的最大值或最小值，注意方法以及比较定义域端点值，注意函数图象（数形结合思想：求方程的根或解、曲线的交点个数）的运用。
证明有关的问题可以利用证明的各种方法（综合法、分析法、反证法、理科的数学归纳法）。
多问的时候注意后面的问题一般需要用到前面小问的结论。
抽象的证明问题别光用眼睛在那看，得设出里面的未知量，通过设而不求思想证明问题。
第五题是圆锥曲线题，第一问求曲线方程，注意方法（定义法、待定系数法、直接求轨迹法、反求法、参数方程法等等）。
一定检查下第一问算的数对不，要不如果算错了第二问做出来了也白算了。
第二问有直线与圆锥曲线相交时，记住我说的“联立完事用联立”，第一步联立，根据韦达定理得出两根之和、两根之差、因一般都是交于两点，注意验证判别式>0，设直线时注意讨论斜率是否存在。
第二步也是最关键的就是用联立，关键是怎么用联立，即如何将题里的条件转化成你刚才联立完的x1+x2和x1x2，然后将结果代入即可，通常涉及的题型有弦长问题（代入弦长公式）、定比分点问题（根据比例关系建立三点坐标之间的一个关系式（横坐标或纵坐标），再根据根与系数的关系建立圆锥曲线上的两点坐标的两个关系式，从这三个关系式入手解决）、点对称问题（利用两点关于直线对称的两个条件，即这两点的连线与对称轴垂直和这两点的中点在对称轴上）、定点问题（直线y=kx+b过定点即找出k与b的关系，如b=5k+7，然后将b代入到直线方程y=kx+5k+7=k（x+5）+7即可找出定点（-5,7））、定值问题（基本思想是函数思想，将要证明或要求解的量表示为某个合适变量（斜率、截距或坐标）的函数，通过适当化简，消去变量即得定值。
）、最值或范围问题（基本思想还是函数思想，将要求解的量表示为某个合适变量（斜率、截距或坐标）的函数，利用函数求值域的方法（首先要求变量的范围即定义域—别忘了delt>0，然后运用求值域的各种方法—直接法、换元法、图像法、导数法、均值不等式法（注意验证“=”）等）求出最值（最大、最小），即范围也求出来了）。
抽象的证明问题别光用眼睛在那看，得设出里面的未知量，通过设而不求思想证明问题。