高中数学基本不等式练习题
2023学年上海市重点高中高一年级数学专项(基本不等式求最值)好题练习(附答案)
2023学年上海市重点高中高一年级数学专项（基本不等式求最值）好题练习题型一：基本不等式‐运用凑配法求最值一．选择题（共4小题）1．（2022秋•金水区校级期末）若a＞2，则a+有（ ）A．最小值为4 B．最大值为4 C．最小值为0 D．最大值为02．（2019秋•徐汇区校级期中）设x＞0，y＞0，下列不等式中等号能成立的有（ ）①；②；③；④；A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2022秋•广州期末）已知x＜0，则的最小值为（ ）A． B．4 C． D．4．（2022秋•九龙坡区校级期中）若a＞﹣3，则的最小值为（ ）A．2 B．4 C．5 D．6二．填空题（共9小题）5．（2022春•甘州区校级月考）函数的最小值是． 6．（2022秋•徐汇区校级期中）若x＞1，则的最小值为．7．（2018秋•浦东新区校级期中）已知正实数x，y满足x+y＝1，则﹣的最小值是 8．（2016秋•黄浦区校级期末）若x＞1，则的最小值为．9．（2017春•浦东新区校级期末）函数y＝4x+（x＞5）的最小值是．10．（2022秋•天津期末）若x＞﹣1，则的最小值为．11．（2022秋•西城区校级月考）函数y＝x+（x＞﹣1）的最小值是，此时x的值．12．（2022秋•渝北区校级期中）已知正实数x，y满足，则的最小值为．13．（2022秋•北碚区校级月考）已知正实数a，b，c，满足a+b+c＝1，则的最大值为．三．答案解答题（共5小题）14．（2022秋•秀峰区校级月考）（1）已知x＞0，求函数的最小值；（2）已知，求的最大值．15．（2022秋•长春期中）（1）已知x＞3，求的最小值；（2）已知x，y是正实数，且x+y＝4，求：①的最小值；②的最小值．16．（2022秋•连云港月考）（1）已知a＞0，b＞0，且4a+b＝1，求ab的最大值；（2）若正数x，y满足x+3y＝5xy，求3x+4y的最小值；（3）已知x＜，求f（x）＝4x﹣2+的最大值．17．（2022秋•靖江市校级期中）（1）当x＞3时，求函数的最小值；（2）若正数a，b满足2a+b＝6，求的最小值．18．（2022秋•海沧区校级月考）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，设菜园的长为x米，宽为y米．（1）若菜园面积为36平方米，则x，y为何值时，所用篱笆总长最小？（2）若使用的篱笆总长为30米，求+的最小值．题型二：基本不等式‐运用1的代换求最值一．选择题（共2小题）1．（2022秋•郫都区校级期中）已知0＜x＜4，则的最小值为（ ）A．2 B．3 C．4 D．82．（2022秋•北海期中）已知正实数a，b满足a+b＝3，则的最小值是（ ）A． B．4 C．1 D．二．填空题（共13小题）3．（2022秋•黄浦区校级期中）若正数x，y满足＝1，则x+y的最小值为．4．（2018秋•宝山区校级期末）已知x，y∈R+，且满足xy﹣x﹣2y＝0，则x+y的最小值为． 5．（2022秋•金山区期末）设a、b为正数，且a+b＝1，则的最小值为．6．（2018秋•浦东新区校级期中）已知正实数x，y满足x+y＝1，则﹣的最小值是 7．（2022秋•庐江县期末）设a＞0，b＞2，且a+b＝3，则的最小值是． 8．（2022秋•越秀区期末）函数y＝a x﹣1+1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标是；若点P在直线mx+ny＝1（m＞0，n＞0上，则的最小值为．9．（2022秋•松江区校级期末）设x＞0，y＞1，且，若x+y的最小值为4，则实数a的值为．10．（2022秋•宝山区校级期中）a＞0，b＞0，a+2b＝2，则的最小值为．11．（2022秋•朝阳区校级期末）若函数f（x）＝﹣2x+3经过点（a，b），a＞0且b＞0，则的最小值为．12．（2022秋•南开区校级期末）已知a＞1，b＞2，a+b＝5，则的最小值为． 13．（2023春•安徽月考）已知正数a，b满足ln＝2a+2b﹣4，则的最小值为． 14．（2018秋•青浦区期末）设实数x＞0，y＜0，且，则2x+y的取值范围是． 15．（2022秋•和平区期末）已知函数，正实数a，b满足f（2a﹣4）+f（b）+2＝0，则的最小值为．三．答案解答题（共9小题）16．（2022秋•桂林月考）已知a，b为正数，且满足a+b＝1，求的最小值．17．（2021秋•滨海新区校级月考）已知a＞0，b＞0，满足a+9b＝1．（1）求ab的最大值；（2）求的最小值．18．（2021秋•丹阳市校级月考）（1）已知，求函数的最小值；（2）已知a，b＞0．则，求a+b的最小值．19．（2022秋•武进区校级月考）（1）设0＜x＜2，求y＝的最大值；（2）已知a＞0，b＞0，若a+b＝2，求的最小值．20．（2022秋•武清区校级月考）（1）已知x，y为正数，且＝1，求x+y的最小值；（2）已知0＜x＜，求x（3﹣2x）的最大值．21．（2022秋•徐州期中）设函数f（x）＝|x﹣a|．（1）当a＝2时，解不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|；（2）若f（x）≤2的解集为[﹣1，3]，＝a（m＞0，n＞0），求m+4n的最小值．22．（2021秋•泗阳县校级月考）已知命题P：两个正实数x，y满足，且x+2y＞m2+2m恒成立，命题Q：“∃x∈{x|1≤x≤2}，使x+2+m≥0”，若命题P，命题Q都为真命题，求实数m的取值范围．23．（2021秋•东海县期中）已知正实数x，y满足x+2y﹣xy＝0．（1）求xy的最小值；（2）若关于x的方程有解，求实数m的取值范围．24．在“基本不等式”应用探究课中，甲和乙探讨了下面两个问题：（1）已知正实数x、y满足2x+y＝1，求+的最小值．甲给出的解法：由1＝2x+y≥2，得≤，所以+≥2＝≥4，所以+的最小值为4．而乙却说甲的解法是错的，请你指出其中的问题，并给出正确的解法；（2）结合上述问题（1）的结构形式，试求函数y＝+（0＜x＜）的最小值．参考答案题型一：基本不等式‐运用凑配法求最值一．选择题（共4小题）1．（2022秋•金水区校级期末）若a＞2，则a+有（ ）A．最小值为4 B．最大值为4 C．最小值为0 D．最大值为0【详细分析】利用配凑法运用基本不等式求最值．【答案解答】解：a＞2，则a+＝a﹣2++2≥2+2＝4，当且仅当a＝3取等号，则a+有最小值4．故选：A．【名师点评】本题考查基本不等式的运用，属于基础题．2．（2019秋•徐汇区校级期中）设x＞0，y＞0，下列不等式中等号能成立的有（ ）①；②；③；④；A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【详细分析】设x＞0，y＞0，x+，所以①成立，利用基本不等式可知②成立，＝，不成立，，当x＝y时成立，得出结论． 【答案解答】解：设x＞0，y＞0，x+，所以①成立，因为x＞0，y＞0，所以＝，当且仅当x＝y＝1时取等号，故②成立，＝，运用基本不等式不能取等号，此时x2+5＝4，显然不成立，，当x＝y时成立，故正确的有三个，故选：C．【名师点评】考查基本不等式的应用，注意一正二定三相等，条件是否成立，基础题．3．（2022秋•广州期末）已知x＜0，则的最小值为（ ）A． B．4 C． D．【详细分析】利用配凑法求的最小值即可．【答案解答】解：＝+（1﹣x）﹣1≥2﹣1＝2﹣1，当且仅当＝1﹣x，即x ＝1﹣时取等号，所以的最小值为2﹣1．故选：D．【名师点评】本题考查基本不等式的应用，属于基础题．4．（2022秋•九龙坡区校级期中）若a＞﹣3，则的最小值为（ ）A．2 B．4 C．5 D．6【详细分析】把常数分离后即可利用基本不等式求最值．【答案解答】解：a＞﹣3，＝≥2＝4，当且仅当a+3＝，即a＝﹣1取等号．故选：B．【名师点评】本题考查基本不等式的应用，属于基础题．二．填空题（共9小题）5．（2022春•甘州区校级月考）函数的最小值是2． 【详细分析】可以通过配凑法使得两式的积出现定值，再利用基本不等式求最小值．【答案解答】解：∵x＞1，∴x﹣1＞0．∴≥2＝．当且仅当时，f（x）取得最小值2．故答案为：2．【名师点评】本题主要考查利用配凑法解决基本不等式的最值问题，属于基础题．6．（2022秋•徐汇区校级期中）若x＞1，则的最小值为4．【详细分析】由题意可得：＝x﹣1+1+＝，然后结合基本不等式求解即可． 【答案解答】解：x＞1，则＝x﹣1+1+＝，当且仅当，即x＝2时取等号，故答案为：4．【名师点评】本题考查了基本不等式，属基础题．7．（2018秋•浦东新区校级期中）已知正实数x，y满足x+y＝1，则﹣的最小值是 【详细分析】由已知分离﹣＝＝，然后进行1的代换后利用基本不等式即可求解． 【答案解答】解：正实数x，y满足x+y＝1，则﹣＝＝＝（）[x+（y+1）]﹣4＝（5+）﹣4＝当且仅当且x+y＝1即y＝，x＝时取得最小值是/故答案为：【名师点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行分离后利用1的代换8．（2016秋•黄浦区校级期末）若x＞1，则的最小值为5．【详细分析】原式变形得，，由x＞1得出x﹣1＞0，从而，即得出最小值．【答案解答】解：＝；∵x＞1；∴x﹣1＞0；∴；∴；∴最小值为5．故答案为：5．【名师点评】考查函数最值的定义及求法，以及基本不等式求最值的方法．9．（2017春•浦东新区校级期末）函数y＝4x+（x＞5）的最小值是32．【详细分析】先进行换元t＝x﹣5，则t＞0，可得y＝4x+＝4t++20，然后利用基本不等式即可求解． 【答案解答】解：由x＞5可得x﹣5＞0，令t＝x﹣5，则t＞0，则y＝4x+＝4t++20＝32，当且仅当4t＝即t＝时取得最小值32，此时x＝．故答案为：32【名师点评】本题主要考查了利用基本不等式求解函数的最值，属于基础试卷．10．（2022秋•天津期末）若x＞﹣1，则的最小值为．【详细分析】利用配凑法求函数最值即可．【答案解答】解：若x＞﹣1，则＝2（x+1）+﹣2≥2﹣2＝2﹣2，当且仅当2（x+1）＝，x＝﹣1，取等号．故答案为2﹣2．【名师点评】本题考查基本不等式的应用，属于基础题．11．（2022秋•西城区校级月考）函数y＝x+（x＞﹣1）的最小值是，此时x的值． 【详细分析】因为x＞﹣1，即x+1＞0，则，然后即可得解． 【答案解答】解：因为x＞﹣1，即x+1＞0，则＝，当且仅当，即时取等号， 故答案为：；．【名师点评】本题考查了基本不等式，属基础题．12．（2022秋•渝北区校级期中）已知正实数x，y满足，则的最小值为． 【详细分析】将化为24﹣3x+4﹣3x＝2y+1+y+1，利用函数y＝2x+x为增函数，得到4﹣3x＝y+1，即3x+y＝3，在利用基本不等式求出结论的最小值即可．【答案解答】解：因为x，y＞0，且，可化为24﹣3x+4﹣3x＝2y+1+y+1，因为函数y＝2x+x显然为增函数，故4﹣3x＝y+1，即3x+y＝3，所以＝＝＝2，（当且仅当和3x+y＝3同时成立即：，时取等号）． 故答案为：2．【名师点评】本题考查基本不等式的应用，函数的性质等，属于中档题．13．（2022秋•北碚区校级月考）已知正实数a，b，c，满足a+b+c＝1，则的最大值为+．【详细分析】利用均值不等式可得：b+≥，c+＝c++≥3＝，进而得出结论．【答案解答】解：∵b+≥，c+＝c++≥3＝，∴≤a+b++c+＝+，当且仅当a＝﹣，b＝，c＝时取“＝”，∴的最大值为＝+，故答案为：+．【名师点评】本题考查了基本不等式的应用、配凑转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 三．答案解答题（共5小题）14．（2022秋•秀峰区校级月考）（1）已知x＞0，求函数的最小值；（2）已知，求的最大值．【详细分析】（1）变形，再利用基本不等式求解，注意等号成立的条件．（2）根据0＜x＜，将函数y配凑系数，再利用基本不等式求解．注意等号成立的条件．【答案解答】解：（1）∵＝x++5≥2+5＝9，当且仅当x＝，即x＝2时等号成立；故的最小值为9；（2）∵，∴1﹣2x＞0，∴y＝×2x（1﹣2x）≤（）2＝×＝．当且仅当2x＝1﹣2x（），即x＝时，y max＝．【名师点评】本题考查基本不等式求最值，还考查了变形转化的能力，属于基础题．15．（2022秋•长春期中）（1）已知x＞3，求的最小值；（2）已知x，y是正实数，且x+y＝4，求：①的最小值；②的最小值．【详细分析】（1）由，利用基本不等式即可求解最小值；（2）利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【答案解答】解：（1）∵x＞3，∴x﹣3＞0，∴，当且仅当，即x＝5时取等号，∴的最小值为7；（2）①∵x，y∈R+，x+y＝4，可得，∴．当且仅当，即，时取“＝”号．即的最小值为1+；②，当且仅当即时取号，即的最小值为．【名师点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．16．（2022秋•连云港月考）（1）已知a＞0，b＞0，且4a+b＝1，求ab的最大值；（2）若正数x，y满足x+3y＝5xy，求3x+4y的最小值；（3）已知x＜，求f（x）＝4x﹣2+的最大值．【详细分析】利用基本不等式逐项求解即可．【答案解答】解：（1）因为a＞0，b＞0，且4a+b＝1，所以1＝4a+b＝4，当且仅当4a＝b＝时取等号，故ab，即ab的最大值为；（2）由正数x，y满足x+3y＝5xy，得＝1，故3x+4y＝（3x+4y）（）＝＝5，当且仅当x＝2y＝1时取等号， 故3x+4y的最小值为5；（3）因为，故4x﹣2+＝≤＝1，当且仅当x＝1时取等号， 故f（x）的最大值为1．【名师点评】本题考查基本不等式的应用，要注意适用条件是否满足，属于中档题．17．（2022秋•靖江市校级期中）（1）当x＞3时，求函数的最小值；（2）若正数a，b满足2a+b＝6，求的最小值．【详细分析】（1）＝2（x﹣3）++6，利用基本不等式，即可得出答案；（2）由a＞0，b＞0，且满足2a+b＝6，则有2（a+1）+b＝8，即，则，利用基本不等式“1”的应用，即可得出答案． 【答案解答】解（1）＝2（x﹣3）++6，∵x＞3，∴2（x﹣3）+≥2＝8，当且仅当2（x﹣3）＝，即x＝5时等号成立，∴y＝2（x﹣3）++6≥8+6＝14，∴当x＝5时，函数的最小值为14；（2）由a＞0，b＞0，且满足2a+b＝6，则有2（a+1）+b＝8，即，∴当且仅当，即时，有最小值．【名师点评】本题考查基本不等式的应用，考查转化思想，考查构造法，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18．（2022秋•海沧区校级月考）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，设菜园的长为x米，宽为y米．（1）若菜园面积为36平方米，则x，y为何值时，所用篱笆总长最小？（2）若使用的篱笆总长为30米，求+的最小值．【详细分析】（1）由题意得xy＝36，利用基本不等式，即可得出答案；（2）由题意得x+2y＝30，利用基本不等式的配凑法可得+＝（x+2y）（+），即可得出答案． 【答案解答】解：（1）由题意得xy＝36，且x＞0，y＞0∴篱笆总长x+2y≥2＝2＝12，当且仅当x＝2y，即x＝6，y＝3时，等号成立， 故x＝6米，y＝3米时，所用篱笆总长最小；（2）由题意得x+2y＝30，且x＞0，y＞0，则+＝（x+2y）（+）＝（5++）≥（5+2）＝，当且仅当＝，即x ＝y＝10时，等号成立，∴+的最小值为．【名师点评】本题考查基本不等式的应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．题型二：基本不等式‐运用1的代换求最值一．选择题（共2小题）1．（2022秋•郫都区校级期中）已知0＜x＜4，则的最小值为（ ）A．2 B．3 C．4 D．8【详细分析】可利用“1”的代换，根据x+（4﹣x）＝4配凑应用基本不等式．【答案解答】解：∵0＜x＜4，则＝[x+（4﹣x）]（）＝（10++）≥（10+2）＝4， 当且仅当，即x＝1时取等号．故选：C．【名师点评】本题考查基本不等式的应用，属于基础题．2．（2022秋•北海期中）已知正实数a，b满足a+b＝3，则的最小值是（ ） A． B．4 C．1 D．【详细分析】根据给定的条件，利用“1”的妙用及均值不等式可得代数式的最小值．【答案解答】解：因正实数a，b满足a+b＝3，可得＝1，所以＝（）•1＝（）•＝（2++）≥（2+2）＝，当且仅当a＝b＝时取等号，所以的最小值是．故选：A．【名师点评】本题考查“1”的活用及基本不等式的应用，属于基础题．二．填空题（共13小题）3．（2022秋•黄浦区校级期中）若正数x，y满足＝1，则x+y的最小值为16． 【详细分析】由题意知正数x，y满足＝1，则x+y＝（）（x+y）展开即为基本不等式应用． 【答案解答】解：由题意知正数x，y满足＝1，则x+y＝（）（x+y）＝10++≥16，当x＝4，y＝12时取到等号．故答案为：16．【名师点评】本题考查基本不等式的应用，属于简单题．4．（2018秋•宝山区校级期末）已知x，y∈R+，且满足xy﹣x﹣2y＝0，则x+y的最小值为． 【详细分析】由题知x，y，满足xy﹣x﹣2y＝0，则xy＝x+2y，同除xy，得＝1，借助基本不等式得最小值． 【答案解答】解：由题知x，y，满足xy﹣x﹣2y＝0，则xy＝x+2y，同除xy，得＝1，x+y＝（x+y）（）＝3+≥3+2，当且仅当x＝2+，y＝+1时取到等号．故答案为：3+2．【名师点评】本题考查了基本不等式求最小值，属于简单题．5．（2022秋•金山区期末）设a、b为正数，且a+b＝1，则的最小值为4．【详细分析】利用“1”的代换求最值即可．【答案解答】解：a、b为正数，且a+b＝1，则＝（）（a+b）＝2++≥2+2＝4，当且仅当＝，即a＝b＝时取等号．则的最小值为4．故答案为：4．【名师点评】本题考查基本不等式中的“1”的代换，属于基础题．6．（2018秋•浦东新区校级期中）已知正实数x，y满足x+y＝1，则﹣的最小值是 【详细分析】由已知分离﹣＝＝，然后进行1的代换后利用基本不等式即可求解． 【答案解答】解：正实数x，y满足x+y＝1，则﹣＝＝＝（）[x+（y+1）]﹣4＝（5+）﹣4＝当且仅当且x+y＝1即y＝，x＝时取得最小值是/故答案为：【名师点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行分离后利用1的代换7．（2022秋•庐江县期末）设a＞0，b＞2，且a+b＝3，则的最小值是3+2． 【详细分析】运用“1“的配凑，结合基本不等式求出最小值．【答案解答】解：∵a+b＝3，∴a+（b﹣2）＝1，且a＞0，b﹣2＞0，则+＝（+）[a+（b﹣2）]＝2+++1≥3+2＝3+2，当且仅当a2＝2（b﹣2）2时取等号，又a+b＝3，即a＝2﹣，b＝+1时取等号．故答案为：3+2．【名师点评】本题考查基本不等式求最值，考查配凑法的应用，属于基础题．8．（2022秋•越秀区期末）函数y＝a x﹣1+1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标是（1，2） ；若点P在直线mx+ny＝1（m＞0，n＞0上，则的最小值为8．【详细分析】利用指数函数恒过点（0，1）来判断函数y＝a x﹣1+1（a＞0，a≠1）过哪个定点；利用1的代换求的最小值．【答案解答】解：函数y＝a x﹣1+1（a＞0，a≠1），令x＝1，y＝2，则函数恒过点（1，2），则点P的坐标是（1，2）；若点P在直线mx+ny＝1（m＞0，n＞0上，则m+2n＝1，则＝（）（m+2n）＝4++≥2+4＝8，当且仅当＝，即m＝，n＝取等号，则的最小值为8．故答案为：（1，2）；8．【名师点评】本题考查函数恒过定点，考查基本不等式的应用，属于基础题．9．（2022秋•松江区校级期末）设x＞0，y＞1，且，若x+y的最小值为4，则实数a的值为． 【详细分析】利用“1”的代换思想，求x+y的最小值，并验证等号成立的条件，即可求a．【答案解答】解：∵x＞0，y＞1，且，∴y﹣1＞0，a＞0，∴x+y＝x+y﹣1+1＝•a（x+y﹣1）+1＝•（+）（x+y﹣1）+1＝（2++）+1≥（2+2）+1＝+1，当且仅当＝，又，即x＝，y＝+1取等号，此时x+y的最小值为+1＝4，则a＝．故答案为：．【名师点评】本题考查基本不等式“1”的代换思想，属于基础题．10．（2022秋•宝山区校级期中）a＞0，b＞0，a+2b＝2，则的最小值为．【详细分析】利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．【答案解答】解：a＞0，b＞0，a+2b＝2，则＝（）（a+2b）＝（3++）≥（3+2）＝+，当且仅当a＝2﹣2，b＝2﹣取等号，故答案为：+【名师点评】本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题．11．（2022秋•朝阳区校级期末）若函数f（x）＝﹣2x+3经过点（a，b），a＞0且b＞0，则的最小值为． 【详细分析】由题意可得2a+b＝3，运用基本不等式，即可得到所求最小值．【答案解答】解：a＞0，b＞0，函数f（x）＝﹣2x+3的图象经过点（a，b），可得﹣2a+3＝b，即2a+b＝3， 可得＝•（2a+b）（）＝•（2+2++）≥+•＝，当且仅当＝，即a＝，b＝时取得等号，则的最小值为．故答案为：．【名师点评】本题考查基本不等式的运用，求最值，属于中档题．12．（2022秋•南开区校级期末）已知a＞1，b＞2，a+b＝5，则的最小值为． 【详细分析】将a+b＝5变形a﹣1+b﹣2＝2，利用“1”的代换思想即可得．【答案解答】解：∵a＞1，b＞2，a+b＝5，则a﹣1+b﹣2＝2，＝（a﹣1+b﹣2）（）＝[1+4++]≥（5+2）＝，当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号．故答案为：．【名师点评】本题考查了基本不等式的性质、考查了“1”的代换思想，属于基础题．13．（2023春•安徽月考）已知正数a，b满足ln＝2a+2b﹣4，则的最小值为． 【详细分析】根据式子结构特征构造函数，利用函数的单调性得到a+b＝2，再利用基本不等式求解最小值． 【答案解答】解：因为正数a，b满足，所以ln（2﹣b）+2（2﹣b）＝lna+2a，设f（x）＝lnx+2x，则，所以函数f（x）＝lnx+2x在（0，+∞）上单调递增，因为f（2﹣b）＝f（a），所以2﹣b＝a，即a+b＝2，所以， 当且仅当即时，等号成立．故答案为：．【名师点评】本题考查基本不等式的应用，属于中档题．14．（2018秋•青浦区期末）设实数x＞0，y＜0，且，则2x+y的取值范围是（﹣． 【详细分析】先由得出，并可结合已知条件求出x的取值范围，然后将关系式代入2x+y转化为x的代数式，利用基本不等式可求出2x+y的取值范围．【答案解答】解：由，可得，∵x＞0，y＜0，由，可得0＜x＜1，则0＜1﹣x＜1， 所以，＝，当且仅当，即当时，等号成立，所以，2x+y的取值范围是．故答案为：．【名师点评】本题考查利用基本不等式求代数式的取值范围，解决本题的关键在于将代数式进行转化，并进行灵活配凑，考查计算能力与化简变形能力，属于中等题．15．（2022秋•和平区期末）已知函数，正实数a，b满足f（2a﹣4）+f（b）+2＝0，则的最小值为．【详细分析】先根据函数的解析式代入化简，再构造函数，由单调性得到a，b的关系，代入目标式化简之后，利用基本不等式求解即可．【答案解答】解：由于，f（2a﹣4）+f（b）+2＝0，则，即，即， 令，则g（x）在（0，+∞）上单调递增，g（2a﹣4）＝g（﹣b），故2a﹣4＝﹣b，即2a+b ＝4，＝，当且仅当，即a＝b时取等号，故的最小值为，故答案为：．【名师点评】本题考查函数的基本性质，以及利用基本不等式求最值，属于中档题．三．答案解答题（共9小题）16．（2022秋•桂林月考）已知a，b为正数，且满足a+b＝1，求的最小值．【详细分析】利用“1”的代换，基本不等式即可求的最小值．【答案解答】解：因为a，b为正数，且满足a+b＝1，所以：，当且仅当＝，即取等号，有最小值9．【名师点评】本题考查基本不等式，属于基础题．17．（2021秋•滨海新区校级月考）已知a＞0，b＞0，满足a+9b＝1．（1）求ab的最大值；（2）求的最小值．【详细分析】（1）直接运用基本不等式求解即可；（2）利用＝（）（a+9b），进而利用基本不等式求解即可．【答案解答】解：（1）∵a＞0，b＞0，满足a+9b＝1，∴1＝a+9b≥，即6≤1，∴0＜ab≤，当且仅当a＝9b，即a＝，b＝时，等号成立，∴ab的最大值；（2）∵a＞0，b＞0，满足a+9b＝1，∴＝（）（a+9b）＝10+≥10+2＝16，当且仅当，即a＝，b＝时，等号成立，∴的最小值是16．【名师点评】本题主要考查基本不等式在最值求解中的应用，要注意应用条件的检验及配凑，属于基础题． 18．（2021秋•丹阳市校级月考）（1）已知，求函数的最小值；（2）已知a，b＞0．则，求a+b的最小值．【详细分析】（1）由，得4x﹣5＞0，＝4x﹣5++3，再利用基本不等式可求得y的最小值；（2）由a，b＞0.，得a+b＝（+）（a+b），展开此式后利用基本不等式可求得a+b最小值． 【答案解答】解：（1）由，得4x﹣5＞0，＝4x﹣5++3≥2+3＝5，当且仅当4x﹣5＝，即x＝时，y取最小值5；（2）由a，b＞0，，得a+b＝（+）（a+b）＝++5≥2+5＝9，当且仅当+＝1且＝，即a＝3，b＝6时，a+b的最小值9．【名师点评】本题考查基本不等式应用，考查数学运算能力，属于基础题．19．（2022秋•武进区校级月考）（1）设0＜x＜2，求y＝的最大值；（2）已知a＞0，b＞0，若a+b＝2，求的最小值．【详细分析】（1）由0＜x＜2，得0＜4﹣2x＜4，由基本不等式可得y＝＝•≤•，即可得出答案．（2）由a+b＝2，得（a+1）+（b+1）＝4，即[（a+1）+（b+1）]＝1，进而可得+＝（+）•1＝•（+）•[（a+1）+（b+1）]，由基本不等式，即可得出答案．【答案解答】解：（1）由0＜x＜2，得0＜4﹣2x＜4，y＝＝•≤•＝，当且仅当2x＝4﹣2x，即x＝1取等号，所以函数y＝的最大值为．（2）因为a+b＝2，所以（a+1）+（b+1）＝4，所以[（a+1）+（b+1）]＝1，所以+＝（+）•1＝•（+）•[（a+1）+（b+1）]＝[1+4++]≥[5+2]＝（5+4）＝，（当且仅当＝，即a＝b时，取等号），所以+的最小值为．【名师点评】本题考查基本不等式的应用，解题中需要理清思路，属于中档题．20．（2022秋•武清区校级月考）（1）已知x，y为正数，且＝1，求x+y的最小值；（2）已知0＜x＜，求x（3﹣2x）的最大值．【详细分析】（1）变形利用“1”的代换可得x+y＝（2+x+y）（）﹣2，展开利用基本不等式x+y的最小值．（2）变形x（3﹣2x）＝2x（﹣x），利用基本不等式即可得出x（3﹣2x）的最大值．【答案解答】解：（1）∵x，y为正数，且＝1，∴x+y＝（2+x+y）（）﹣2＝++3≥2+3＝7，当且仅当＝，＝1，解得x＝1，y＝6时取等号．∴x+y的最小值为7．（2）∵0＜x＜，∴x（3﹣2x）＝2x（﹣x）≤2×＝，当且仅当x＝﹣x，即x＝时取等号．∴x（3﹣2x）的最大值是．【名师点评】本题考查了基本不等式的应用、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 21．（2022秋•徐州期中）设函数f（x）＝|x﹣a|．（1）当a＝2时，解不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|；（2）若f（x）≤2的解集为[﹣1，3]，＝a（m＞0，n＞0），求m+4n的最小值．【详细分析】（1）题意即为解不等式|x﹣2|+|x﹣1|≥7，分类讨论x＜1，1≤x≤2，x＞2，去绝对值符号，即可得出答案；（2）表示出不等式|x﹣a|≤2的解集﹣2+a≤x≤2+a，结合题意得出，求出a，利用基本不等式，即可得出答案．【答案解答】解：（1）当a＝2时，f（x）＝|x﹣2|，由题意得|x﹣2|+|x﹣1|≥7，∴①或②或③，解①得x≥5，解②得x≤﹣2，解③得x无解，故原不等式的解集为（﹣∞，﹣2]∪[5，+∞）；（2）由题意得|x﹣a|≤2，解得﹣2+a≤x≤2+a，∵f（x）≤2的解集为[﹣1，3]，∴，解得a＝1，则+＝1，∵m＞0，n＞0，∴m+4n＝（m+4n）（+）＝3++≥3+2＝3+2，当且仅当＝，即m＝+1，n＝，等号成立，故m+4n的最小值为3+2．【名师点评】本题考查绝对值不等式的解法和基本不等式的应用，考查分类讨论思想和转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．22．（2021秋•泗阳县校级月考）已知命题P：两个正实数x，y满足，且x+2y＞m2+2m恒成立，命题Q：“∃x∈{x|1≤x≤2}，使x+2+m≥0”，若命题P，命题Q都为真命题，求实数m的取值范围．【详细分析】利用“1”的巧用求出最值，处理恒成立问题；利用一次函数的最值，处理不等式有解问题，从而得到结果．【答案解答】解：∵x＞0，y＞0，，∴x+2y＝＝（当且仅当x＝4，y＝2时取等号），∴命题P为真命题时，m2+2m＜8，可得﹣4＜m＜2，∴命题Q为真命题时，2+2+m≥0⇒m≥﹣4，∴命题P，命题Q都为真命题时，﹣4＜m＜2，即实数m的取值范围为（﹣4，2）．【名师点评】本题考查了利用基本不等式求最值和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属中档题． 23．（2021秋•东海县期中）已知正实数x，y满足x+2y﹣xy＝0．（1）求xy的最小值；（2）若关于x的方程有解，求实数m的取值范围．【详细分析】（1）直接根据基本不等式即可求出；（2）利用乘“1”法可得x（y+1）﹣4的最小值，再得到关于m的不等式，解得即可．【答案解答】解：（1）因为x，y为正实数，x+2y﹣xy＝0，所以，解得：xy≥8，当且仅当x＝2y，即x＝4，y＝2时，等号成立，则xy的最小值为8；（2）由x+2y﹣xy＝0得：x+2y＝xy，则，所以x（y+1）﹣4＝＝＝6（当且仅当，即，时，等号成立），所以m2﹣m≥6，解得：m≥3或m≤﹣2，故m的取值范围为{m|m≥3或m≤﹣2}．【名师点评】本题考查了基本不等式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题．24．在“基本不等式”应用探究课中，甲和乙探讨了下面两个问题：（1）已知正实数x、y满足2x+y＝1，求+的最小值．甲给出的解法：由1＝2x+y≥2，得≤，所以+≥2＝≥4，所以+的最小值为4．而乙却说甲的解法是错的，请你指出其中的问题，并给出正确的解法；（2）结合上述问题（1）的结构形式，试求函数y＝+（0＜x＜）的最小值．【详细分析】（1）判断基本不等式成立的条件，即可得到甲的解法错误；+＝（2x+y）（+）通过变形，再利用基本不等式即可得出答案；（2）因为0＜x＜，所以0＜2﹣3x＜2，通过变形y＝+＝[3x+（2﹣3x）][+]，展开后利用基本不等式即可求解．【答案解答】解：（1）甲的解法中两次用到基本不等式，取到等号的条件分别是2x＝y和x＝2y，显然不能同时成立，故甲的解法是错的．正确的解法如下：因为x＞0，y＞0，且2x+y＝1，所以+＝（2x+y）（+）＝++≥+2＝，当且仅当＝，即x＝y＝时等号成立，所以+的最小值为；（2）因为0＜x＜，所以0＜2﹣3x＜2，所以y＝+＝[3x+（2﹣3x）][+]＝（4++）≥（4+）＝2+， 当且仅当＝，即x＝1﹣∈（0，）时等号成立，所以y＝+（0＜x＜）的最小值为2+．【名师点评】本题主要考查了基本不等式求解最值及基本不等式的应用条件的检验，属于中档题．。
2023学年上海市重点高中高一年级数学专项(基本不等式)好题练习(附答案)
2023学年上海市重点高中高一年级数学专项（基本不等式）好题练习一．基本不等式及其应用（共4小题）1．（2022秋•宝山区校级期中）某新建居民小区欲建一面积为700平方米的矩形绿地，在绿地四周铺设人行道，设计要求绿地长边外人行道宽3米，短边外人行道宽4米．怎样设计绿地的长与宽，才能使人行道的占地面积最小？（结果精确到0.1米）2．（2022秋•宝山区校级期中）（1）设x＞1，求函数的最小值；（2）设x∈R，求函数y＝x（8﹣x）的最大值．3．（2022秋•浦东新区校级期中）定义min{a1，a2⋯，，a n}为n个实数a1，a2，…，a n中的最小数，max{a1，a2，⋯，a n}为n个实数a1，a2，…，a n中的最大数．（1）设a，b都是正实数，且a+b＝1，求；（2）解不等式：min{x+1，x2+3，|x﹣1|}＞2x﹣3；（3）设a，b都是正实数，求的最小值．4．（2019秋•浦东新区校级期中）已知两个正数a、b满足a+2b＝1，求的最小值．二．函数恒成立问题（共1小题）5．（2022秋•临渭区期末）已知函数f（x）＝x2+（1﹣k）x+2﹣k．（1）解关于x的不等式f（x）＜2；（2）若函数f（x）在区间（﹣1，1）上有两个不同的零点，求实数k的取值范围．（3）对任意的x∈（﹣1，2），f（x）≥1恒成立，求实数k的取值范围．三．根据实际问题选择函数类型（共19小题）6．（2022秋•浦东新区校级期末）为了响应国家节能减排的号召，2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备．通过市场详细分析：全年需投入固定成本2500万元，每生产x（百辆）新能源汽车，需另投入成本C（x）万元，且．由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完．（1）请写出2022年的利润L（x）（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润＝售价﹣成本）（2）当2022年的总产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．7．（2022秋•浦东新区校级期末）2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，经过市场详细分析，全年投入固定成本2500万元，每生产x百辆新能源汽车需另投入成本C（x）万元，且，由市场调研知，每一百辆车的售价为500万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完．（注：利润＝销售额﹣成本）（1）求2023年的利润L（x）（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（2）当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．8．（2022秋•长宁区校级期末）新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，生产口罩的固定成本为400万元，每生产x万箱（x＞0，x∈N），需另投入成本p（x）万元．当产量不足60万箱时，；当产量不小于60万箱时，，若每箱口罩售价100元，通过市场详细分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完．（1）求口罩销售利润y（万元）关于产量x（万箱）的函数关系式；（2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获利润最大？9．（2022秋•浦东新区校级月考）双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向．根据工信部最新数据显示，截至2022年一季度，我国新能源汽车已累计推广突破1000万辆大关．某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场详细分析，每生产x（千辆）获利10W（x）（万元），该公司预计2022年全年其他成本总投入（20x+10）万元．由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求．22年的全年利润为f（x）（单位：万元）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当2022年产量为多少辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由．10．（2022秋•徐汇区校级期中）如图，某研究员需要围成相同的长方形小白鼠笼四间来做观察对比实验，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．（1）现有可围36dm长网的材料，每间小白鼠笼的长、宽各设计为多少时，可使每间小白鼠笼面积最大？（2）若使每间小白鼠笼面积为24dm2，则每间小白鼠笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间小白鼠笼的钢筋总长度最小？11．（2022秋•宝山区校级期中）某公司经过测算，计划投资A、B两个项目．若投入A项目资金x（万元），则一年创造的利润为（万元）；若投入B项目资金x（万元），则一年创造的利润为（万元）．（1）当投入A、B两个项目的资金相同且B项目比A项目创造的利润高，求投入A项目的资金x（万元）的取值范围；（2）若该公司共有资金30万元，全部用于投资A、B两个项目，且要求投资B项目的资金不超过10万元，则该公司一年至少能创造多少利润？（结果精确到0.1万元）．12．（2022秋•宝山区校级月考）某校拟建一个面积为100平方米的矩形健身区，张老师请同学们小组合作设计出使 周长最小的建造方案，下面是其中一个小组的探究过程，请补充完整．（1）列式：设矩形的一边长是x米，若周长为y米，则y与x之间的函数关系式为_____．（2）填表画图：x • 4 6 10 13 16 20 25 30 •y • 58 a 40 41 44 50 58 66 • 填表：①其中a＝_____．②描点连线，请在图中画出该函数的图象．（3）请求出周长y的最小值．13．（2021秋•黄浦区校级月考）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为5万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：，其中k为能耗系数，k＞0．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和，即f（x）＝5x+20C（x）．（1）若建1cm隔热层时，每年能源消耗费用C为16万元，求此时k的值及f（x）的表达式；（2）在第（1）问的条件下，隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值；（3）在实际生产中，隔热层厚度x（单位：cm）控制在3≤x≤10之间，求总费用f（x）的最小值关于k的函数g（k）．14．（2023春•和平区校级月考）某航运公司用300万元买回客船一艘，此船投入营运后，每月需开支燃油费、维修费、员工工资，已知每月燃油费7000元，第n个月的维修费和工资支出为600（n﹣1）+3000元．（1）设月平均消耗为y元，求y与n（月）的函数关系；（2）投入营运第几个月，成本最低？（月平均消耗最小）（3）若第一年纯收入50万元（已扣除消耗），以后每年纯收入以5%递减，则多少年后可收回成本？15．（2022秋•新邵县期末）为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，一些城市陆续发出“春节期间非必要不返乡，就地过年”的倡议．某地政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在春节期间留住员工在本市过年并加班追产．为此，该地政府决定为当地某A企业春节期间加班追产提供x万元（x∈[10，20]）的专项补贴．A 企业在收到政府x万元补贴后，产量将增加到t＝（x+2）万件．同时A企业生产t万件产品需要投入成本为）万元，并以每件（）元的价格将其生产的产品全部售出．（注：收益＝销售金额+政府专项补贴﹣成本）（1）求A企业春节期间加班追产所获收益R（x）（万元）关于政府补贴x（万元）的函数关系式；（2）当政府的专项补贴为多少万元时，A企业春节期间加班追产所获收益最大？16．（2022秋•徐州期末）“硬科技”是以人工智能、航空航天、生物技术、光电芯片、信息技术、新材料、新能源、智能制造等为代表的高精尖科技，属于由科技创新构成的物理世界，是需要长期研发投入、持续积累才能形成的原创技术，具有极高技术门槛和技术壁垒，难以被复制和模仿、最近十年，我国的一大批自主创新的企业都在打造自己的科技品牌，某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2023年起全面发售．经测算，生产该高级设备每年需投入固定成本1000万元，每生产x百台高级设备需要另投成本y万元，且y＝，每百台高级设备售价为160万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备年产展最大为10000台．（1）求企业获得年利润P（万元）关于年产量x（百台）的函数关系式；（2）当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润．17．（2022秋•青秀区校级期末）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：W（x）＝，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x元．已知这水果的时常售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润f（x）（单位：元）．（1）求f（x）的函数关系式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？18．（2022秋•临澧县校级期末）新冠肺炎是近百年来人类遭遇的影响范围最广的全球性大流行病．面对前所未知，突如其来，来势汹汹的疫情天灾，中央出台了一系列助力复工复产好政策城市快递行业运输能力迅速得到恢复，市民的网络购物也越来越便利．根据大数据统计，某条快递线路运行时，发车时间间隔x（单位：分钟）满足：4≤x≤15，x∈N，平均每趟快递车辆的载件个数f（x）（单位：个）与发车时间间隔x近似地满足，其中x∈N．（1）若平均每趟快递车辆的载件个数不超过1500个，试求发车时间间隔x的值；（2）若平均每趟快递车辆每分钟的净收益（单位：元），问当发车时间间隔x为多少时，平均每趟快递车辆每分钟的净收益最大？并求出最大净收益．19．（2022秋•安徽期末）2022年是不平凡的一年，由于受疫情的影响，各行各业都受到很大冲击，为了减少疫情带来的损失，某书商准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到（10﹣0.1x）万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为20元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为10．假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价﹣供货价格．（1）求每套丛书利润y与售价x的函数关系，并求出每套丛书售价定为80元时，书商能获得的总利润是多少万元？（2）每套丛书售价定为多少元时，每套丛书的利润最大？并求出最大利润．20．（2022秋•安次区校级期末）某大型企业原来每天成本y1（单位：万元）与日产量x（单位：吨）之间的函数关系式为y1＝2x2+（15﹣4k）x+120k+8，为了配合环境综合整治，该企业积极引进尾气净化装置，每吨产品尾气净化费用为k万元，尾气净化装置安装后当日产量x＝1时，总成本y＝142．（1）求k的值；（2）设每吨产品出厂价为48万元，试求尾气净化装置安装后日产量为多少时，日平均利润最大，其最大值为多少．（日平均利润就是日总利润÷日产量）21．（2022秋•岳阳期末）党的二十大报告指出：我们要推进美丽中国建设，坚持山水林田湖草沙一体化保护和系统治理，统筹产业结构调整、污染治理、生态保护、应对气候变化，协同推进降碳、减污、扩绿、增长，推进生态优先、节约集约、绿色低碳发展．某乡政府也越来越重视生态系统的重建和维护．若乡财政下拨一项专款400百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x（单位：百万元）的函数M（x）（单位：百万元）：；处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x（单位：百万元）的函数N（x）（单位：百万元）：．（1）设分配给植绿护绿项目的资金为x（百万元），则两个生态项目五年内带来的收益总和为y（百万元），写出y关于x的函数解析式；（2）生态维护项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋．试求出y的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少？22．（2022秋•槐荫区校级期末）我国某企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机．通过市场详细分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x（千部）手机，需另投入可变成本R（x）万元，且R（x）＝，由市场调研知，每部手机售价0.8万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．（利润＝销售额﹣固定成本﹣可变成本）．（1）求2023年的利润W（x）（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式；（2）2023年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？23．（2022秋•九龙坡区期末）2021年11月初，新冠肺炎疫情由兰州转到天水，天水市某村施行“封村”行动．为了更好地服务于村民，村卫生室需建造一间地面面积为30平方米且墙高为3米的长方体供给监测站．供给监测站的背面靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：正面新建墙体的报价为每平方米600元，左右两面新建墙体报价为每平方米360元，屋顶和地面以及其他报价共计21600元，设屋子的左右两侧墙的长度均为x 米（3≤x≤10）．（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价；（2）现有乙工程队也要参与此监测站的建造竞标，其给出的整体报价为元（a＞0），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围．24．（2022秋•浙江月考）如图，某学校为庆祝70周年校庆，准备建造一个八边形的中心广场，广场的主要造型是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为100m2的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为2800元/m2；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地面，造价为250元/m2；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/m2．设总造价为W（单位：元），AD长为x（单位：m）．（1）当x＝4m时，求草坪面积；（2）当x为何值时，W最小？并求出这个最小值．四．绝对值不等式的解法（共1小题）25．（2022秋•浦东新区期末）解不等式|2x﹣1|＞1．五．不等式的证明（共2小题）26．（2020秋•黄浦区校级期末）已知a、b都是正实数，且＝b﹣a．（1）求证：a＞1；（2）求b的最小值．27．（2021秋•徐汇区校级期中）（1）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，C，求证：A，B，C中至少有一个角大于或等于60°；（2）已知a，b，c为不全相等的正数，且abc＝1，求证：．六．反证法与放缩法证明不等式（共1小题）28．（2022秋•长宁区校级期中）已知实数a＞b＞c，a+b+c＝1，a2+b2+c2＝1． （1）若，求a﹣b的值；（2）求证：；（3）用反证法证明：c＜0．参考答案一．基本不等式及其应用（共4小题）1．（2022秋•宝山区校级期中）某新建居民小区欲建一面积为700平方米的矩形绿地，在绿地四周铺设人行道，设计要求绿地长边外人行道宽3米，短边外人行道宽4米．怎样设计绿地的长与宽，才能使人行道的占地面积最小？（结果精确到0.1米）【详细分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．【名师解答】解：设矩形绿地的长度为x，宽为，人行道的占地面积S，则S＝（x+8）（+6）﹣700＝6x++48+48＝80+48≈414.4，当且仅当6x＝，即x＝时，等号成立，故绿地的长为≈30.5米，宽为23米时，人行道的占地面积最小为414.4平方米．【名师点评】本题主要考查函数的实际应用，掌握基本不等式公式是解本题的关键，属于基础题． 2．（2022秋•宝山区校级期中）（1）设x＞1，求函数的最小值；（2）设x∈R，求函数y＝x（8﹣x）的最大值．【详细分析】（1）构造函数的表达式为：a+类型，利用基本不等式求解函数的最小值即可．（2）化简函数的解析式，求出函数的对称轴，利用二次函数的性质求解函数的值域以及函数的最值即可． 【名师解答】解：（1）∵x＞1，∴x﹣1＞0．∴y＝x+＝x﹣1++1≥2+1＝4+1＝5，当且仅当x﹣1＝，即x＝3时，取等号．∴x＝3时，函数的最小值是5．（2）因为y＝x（8﹣x）＝﹣（x﹣4）2+16，函数的对称轴为：x＝4，由二次函数的性质可知，当x＝4时，最大值是16．【名师点评】本题考查基本不等式在最值中的应用，注意基本不等式成立的条件，考查转化思想以及计算能力． 3．（2022秋•浦东新区校级期中）定义min{a1，a2⋯，，a n}为n个实数a1，a2，…，a n中的最小数，max{a1，a2，⋯，a n}为n个实数a1，a2，…，a n中的最大数．（1）设a，b都是正实数，且a+b＝1，求；（2）解不等式：min{x+1，x2+3，|x﹣1|}＞2x﹣3；（3）设a，b都是正实数，求的最小值．【详细分析】（1）由基本不等式放缩即可；（2）利用最小值函数定义，化简函数，分段解不等式；（3）利用最大值函数定义放缩，然后利用最值定义求最值．【名师解答】解：（1）由基本不等式，所以＝；（2）由于x2+3﹣（x+1）＝x2﹣x+2＞0，则min{x+1，x2+3，|x﹣1|}＝min{x+1，|x﹣1|}＝，当x＜0时，原不等式可化为x+1＞2x﹣2，即x＜3，结合x＜0得x＜0；当x≥0时，原不等式可化为|x﹣1|＞2x﹣3，即或，解得1≤x＜2或0≤x＜1，即0≤x＜2；综上，原不等式解集为：（﹣∞，2）；（3）设M＝，则，于是，从而，当且仅当时取等号，故的最小值为．【名师点评】本题考查基本不等式及不等式的解法，属于中档题．4．（2019秋•浦东新区校级期中）已知两个正数a、b满足a+2b＝1，求的最小值． 【详细分析】直接利用函数的关系式的恒等变换，基本不等式的应用求出结果．【名师解答】解：两个正数a、b满足a+2b＝1，故：＝1+，（当且仅当a＝b时，等号成立）．故答案为：9．【名师点评】本题考查的知识要点：函数的关系式的恒等变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．二．函数恒成立问题（共1小题）5．（2022秋•临渭区期末）已知函数f（x）＝x2+（1﹣k）x+2﹣k．（1）解关于x的不等式f（x）＜2；（2）若函数f（x）在区间（﹣1，1）上有两个不同的零点，求实数k的取值范围．（3）对任意的x∈（﹣1，2），f（x）≥1恒成立，求实数k的取值范围．【详细分析】（1）由题意得（x+1）（x﹣k）＜0，令（x+1）（x﹣k）＝0，解得x＝﹣1或x＝k，分类讨论k＝﹣1，k＞﹣1，k＜﹣1，结合二次函数的图象与性质，即可得出答案；（2）题意转化为方程x2+（1﹣k）x+2﹣k＝0在（﹣1，1）上有两个不同的根，结合二次函数的图象与性质，列出关于k的不等式组，即可得出答案；（3）利用分离参数法，题意转化为对任意的x∈（﹣1，2），恒成立，构造函数，x∈（﹣1，2），利用基本不等式求出g（x）的最小值，即可得出答案． 【名师解答】解：（1）∵f（x）＝x2+（1﹣k）x+2﹣k，∴f（x）＜2，即x2+（1﹣k）x﹣k＜0，即（x+1）（x﹣k）＜0，令（x+1）（x﹣k）＝0，解得x＝﹣1或x＝k，当k＝﹣1时，此时（x+1）2＜0，故原不等式的解集为∅，当k＞﹣1时，不等式的解集为（﹣1，k），当k＜﹣1时，不等式的解集为（k，﹣1）；（2）函数f（x）在区间（﹣1，1）上有两个不同的零点，转化为方程x2+（1﹣k）x+2﹣k＝0在（﹣1，1）上有两个不同的根，∴，解得，故实数k的取值范围为；（3）f（x）＝x2+（1﹣k）x+2﹣k，对任意的x∈（﹣1，2），f（x）≥1恒成立，转化为对任意的x∈（﹣1，2），恒成立，令，x∈（﹣1，2），则k≤g（x）min，又0＜x+1＜3，则，当且仅当，即x＝0时等号成立， ∴k≤1，故实数k的取值范围为（﹣∞，1]．【名师点评】本题考查函数恒成立问题和二次函数的图象与性质、基本不等式的应用，考查转化思想、函数思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．三．根据实际问题选择函数类型（共19小题）6．（2022秋•浦东新区校级期末）为了响应国家节能减排的号召，2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备．通过市场详细分析：全年需投入固定成本2500万元，每生产x（百辆）新能源汽车，需另投入成本C（x）万元，且．由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完．（1）请写出2022年的利润L（x）（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润＝售价﹣成本）（2）当2022年的总产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．【详细分析】（1）根据给定条件，分段求出C（x）的表达式，即可得出答案；（2）由（1）得，根据分段函数的性质，分类讨论0＜x＜40，x≥40求出最大值，比较大小，即可得出答案．【名师解答】解：（1）∵，∴当0＜x＜40时，L（x）＝9×100x﹣10x2﹣500x﹣2500＝﹣10x2+400x﹣2500，当x≥40时，，故；（2）由（1）得，∴当0＜x＜40时，L（x）＝﹣10（x﹣20）2+1500，∴当x＝20时，L（x）max＝1500；∴当x≥40时，，当且仅当，即x ＝80时等号成立，又3640＞1500，∴当x＝80，即2022年生产80百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为3640万元．【名师点评】本题考查分段函数的性质，考查转化思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．7．（2022秋•浦东新区校级期末）2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，经过市场详细分析，全年投入固定成本2500万元，每生产x百辆新能源汽车需另投入成本C（x）万元，且，由市场调研知，每一百辆车的售价为500万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完．（注：利润＝销售额﹣成本）（1）求2023年的利润L（x）（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（2）当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．【详细分析】（1）根据利润＝销售额﹣成本，分类讨论0＜x＜40，x≥40，求解即可得出答案；（2）根据分段函数的性质，分类讨论0＜x＜40，x≥40，分别求出最大值，比较大小，即可得出答案． 【名师解答】解：（1）∵，∴当0＜x＜40时，L（x）＝500x﹣10x2﹣100x﹣2500＝﹣10x2+400x﹣2500，当x≥40时，，故；（2）由（1）得，当0＜x＜40时，L（x）＝﹣10（x﹣20）2+1500，∴L（x）max＝L（20）＝1500，当x≥40时，，当且仅当，即x ＝100时等号成立，故L（x）max＝L（100）＝1800，∵1800＞1500，故当2023年的年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为1800万元．【名师点评】本题考查根据实际问题选择函数类型和分段函数的性质，考查转化思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．8．（2022秋•长宁区校级期末）新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，生产口罩的固定成本为400万元，每生产x万箱（x＞0，x∈N），需另投入成本p（x）万元．当产量不足60万箱时，；当产量不小于60万箱时，，若每箱口罩售价100元，通过市场详细分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完．（1）求口罩销售利润y（万元）关于产量x（万箱）的函数关系式；（2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获利润最大？【详细分析】（1）由题意得y＝100x﹣p（x）﹣400，分类讨论0＜x＜60，x≥60，即可得出答案；（2）由（1）得y＝，分别求出0＜x＜60，x≥60，的最大值，比较大小，即可得出答案．【名师解答】解：（1）由题意得y＝100x﹣p（x）﹣400，当0＜x＜60时，，则y＝100x﹣（x2+50x）﹣400＝﹣x2+50x﹣400，当x≥60时，，则y＝100x﹣（101x+﹣1860）﹣400＝1460﹣x﹣， 综上所述，y＝；（2）由（1）得y＝，当0＜x＜60时，y＝﹣x2+50x﹣400＝＝﹣（x﹣50）2+850，二次函数y的图象开口向下，且对称轴为x＝50，∴当x＝50时，y max＝850，当x≥60时，y＝1460﹣x﹣≤1460﹣2＝1300，当且仅当x＝，即x＝80时等号成立， ∵1300＞850，∴当产量为80万箱时，该口罩生产厂在生产中所获利润最大．【名师点评】本题考查根据实际问题选择函数类型，考查转化思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．9．（2022秋•浦东新区校级月考）双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向．根据工信部最新数据显示，截至2022年一季度，我国新能源汽车已累计推广突破1000万辆大关．某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场详细分析，每生产x（千辆）获利10W（x）（万元），该公司预计2022年全年其他成本总投入（20x+10）万元．由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求．22年的全年利润为f（x）（单位：万元）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当2022年产量为多少辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由．【详细分析】（1）由题意得f（x）＝10W（x）﹣（20x+10），结合题意和分段函数的性质，分类讨论0＜x≤2，2＜x≤5，化简计算，即可得出答案．（2）由（1）得，根据分段函数的性质，分别求出0＜x≤2，2＜x≤5的最大值，比较大小，即可得出答案．【名师解答】解：（1）由题意得f（x）＝10W（x）﹣（20x+10），∵，∴当0＜x≤2时，W（x）＝2（x2+17），则f（x）＝20（x2+17）﹣（20x+10）＝20x2﹣20x+330，当2＜x≤5时，W（x）＝50﹣，则f（x）＝10（50﹣）﹣（20x+10）＝490﹣﹣20x，综上所述，函数f（x）的解析式为；（2）由（1）得，当0＜x≤2时，，∴f（x）在（0，]上单调递减，在[，2]上单调递增，∴f（x）max＝f（2）＝370；当2＜x≤5时，当且仅当，即x＝3时，f（x）max＝390，∵370＜390，∴f（x）最大值为390，故当2022年产量为3000辆，该企业利润最大，最大利润是390万元．【名师点评】本题考查根据实际问题选择函数类型和分段函数的性质，考查函数思想和转化思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．10．（2022秋•徐汇区校级期中）如图，某研究员需要围成相同的长方形小白鼠笼四间来做观察对比实验，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．（1）现有可围36dm长网的材料，每间小白鼠笼的长、宽各设计为多少时，可使每间小白鼠笼面积最大？（2）若使每间小白鼠笼面积为24dm2，则每间小白鼠笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间小白鼠笼的钢筋总长度最小？【详细分析】（1）设每间小白鼠笼的长为x，宽为y，则每间小白鼠笼的面积为xy，由题意得4x+6y＝36，利用基本不等式，即可得出答案；（2）设每间小白鼠笼的长为x，宽为y，则每间小白鼠笼的面积为xy＝24，则围成四间小白鼠笼的钢筋总长度为4x+6y，利用基本不等式，即可得出答案．【名师解答】解：（1）设每间小白鼠笼的长为x，宽为y，则每间小白鼠笼的面积为xy，由题意得4x+6y＝36，即2x+3y＝18，∵x＞0，y＞0，∴18＝2x+3y≥2，当且仅当2x＝3y，即x＝dm，y＝3dm时等号成立，即≤，则xy≤， 故每间小白鼠笼的长、宽各设计为dm、3dm时，可使每间小白鼠笼面积最大；（2）设每间小白鼠笼的长为x，宽为y，则每间小白鼠笼的面积为xy＝24，则围成四间小白鼠笼的钢筋总长度为4x+6y≥2＝4＝4＝48，当且仅当4x＝6y，即x＝6，y＝4时等号成立，故每间小白鼠笼的长、宽各设计为6dm、4dm时，可使围成四间小白鼠笼的钢筋总长度最小．【名师点评】本题考查基本不等式的应用，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 11．（2022秋•宝山区校级期中）某公司经过测算，计划投资A、B两个项目．若投入A项目资金x（万元），则一年创造的利润为（万元）；若投入B项目资金x（万元），则一年创造的利润为（万元）．（1）当投入A、B两个项目的资金相同且B项目比A项目创造的利润高，求投入A项目的资金x（万元）的取值范围；。
高中数学基本不等式 同步练习(一)新人教版必修5(A)
基本不等式 同步练习(一)选择题1、下列函数中，最小值为4的函数是（ ）A 、x x y 4+=B 、)0(sin 4sin π x xx y += C 、x x e e y -+=4 D 、81log log 3x x y +=2、已知正数y x ，满足194=+yx ，则xy 有（ ） A 、最小值12 B 、最大值12 C 、最小值144 D 、最大值1443、设*N n z y x ∈， ，且zx n z y y x -≥-+-11恒成立，则n 的最大值是（ ）A 、2B 、3C 、4D 、54、一批货物随17列货车从A 市以v km/h 匀速直达B 市，已知两地间铁路线长为400 km ，为了安全，两列货车间的间距不得小于220⎪⎭⎫ ⎝⎛v km ，那么这批货物全部运到B 市最快需要（ ）A 、6 hB 、8 hC 、10 hD 、12 h5、若)2lg()lg (lg 21lg lg 1b a R b a Q b a P b a +=+=⋅=，，， ，则（ ） A 、Q P R B 、R Q P C 、R P Q D 、Q R P6、若a ，b 是任意实数，且a b >，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．22a b >B ．1>ab C ．1<ba D ．0)(3>-ab 7、Rc b a ∈,,且b a >，则下列各式中恒成立的是（ ）A ．c b c a ->+B ．bc ac >C ．02>-ba c D ．0)(2≥-cb a 8、若b a >、dc >，那么（ ）A ．d b c a ->-B ．bd ac >C ．c b d a ->-D ．cd b a > 9、给定0>>b a ，R d ∈，下列各式中不正确的是（ ）A ．2b ab >B ．c b c a +>+C ．b a >D ．bc ac >解答题10．已知0,0,0>>>c b a ，求证：)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++．11．已知a ，b ，c 是不全相等的正数，求证：)()()()(2222222b a c a c b c b a c b a +++++>++．12．已知a ，b ，c 都是正数，且1=++c b a ，求证：abc c b a 8)1)(1)(1(≥---．答案：1、C2、C3、C4、B5、B6、D7、D8、C9、D10、证明略 11、证明略 12、证明略。
高中数学必修五基本不等式练习题
（1）求y关于x的表达式；（2）如何设计x，y的长度，才能使所用材料最少？
基本不等式练习题
一、单项选择
1.已知 ，函数 的最小值是（）
A．4 B．5 C．6 D．8
3.在下列函数中，最小值为2的是（）
A B
C D
4.已知 ，则 的最小值是（）
A．15B．6C．60D．1
5.已知 且 ，则 （）
A．有最大值2B．等于4C．有最小值3D．有最大值4
6.若 ，且 ，则下列不等式中恒成立的是（）
A．a+bB．2 C．a2+b2D．2ab
12.知 ，且 成等比数列，则 有( )
A、最小值 B、最小值 C、最大值 D、最大值
13. 的最大值为（）
A．9 B． C． D．
14. ，则 取最小值时 的值为（）
A． B． C． D．
15.知 ，且 ，则下列不等式中不正确的是（）
A． B． C． D．
22. 是在直线 上移动，则 的最小值为
24.知 ，则 的最小值是__________．
25. 的最大值是_________.
26.＞ ，则 的最大值是___________.
27.实数 满足 ,则 的取值范围是________
28.知 都是正实数，函数 的图像过点（0,1），则 的最小值是.
29.实数 满足 且 ，恒成立，则 的取值范围是____________．
30.若 、 为正整数，且满足 ，则 的最小值为_________；
高中数学基本不等式专题50练(含答案)
高中数学基本不等式（含答案）【习题1】已知实数0,>y x 且2=xy ，则8482233+++y x y x 的最小值是 ．【答案】1【习题2】若实数0>y ,x 且1=xy ，则y x 2+的最小值是 ，yx y x 2422++的最小值是 ． 【答案】 22，2【习题3】已知,x y 满足方程210x y --=，当x >时，则353712x y x y m x y +-+-=+--的最小值为_______. 【答案】8【习题4】已知y x ,为实数，且1)2)((=-+y x y x ，则222y x +的最小值为_______. 【答案】3322+【习题5】已知a b ∈R ，，45222=+-b ab a ，则a b +的取值范围为 . 【答案】]22,22[-【习题6】已知a b ∈R ，，45222=+-b ab a ，则ab 的最小值为 .【答案】12-【习题7】若实数y x ,满足02422=+++y y x x ，则y x +2的范围是 ． 【答案】]0,2[-【习题8】ABC ∆的三边,,a b c 成等差，且22221a b c ，则b 的取值范围是 ． 【答案】]7,6(【习题9】已知,a b <二次不等式20ax bx c ++≥对任意实数x 恒成立，则24a b cM b a++=-的最小值为___________【答案】8 【习题10】实数,x y 满足224545x xy y -+=，设22S x y =+，则maxmin11S S += ．【答案】85【习题11】非零向量,a b 夹角为60，且1a b -=，则a b +的取值范围为 ． 【答案】]3,1(【习题12】已知0,0<>b a ，且9)12)(14(-=+-b a ，若06)2(2≥---abx x b a 总成立，则正实数x 的取值范围是_______. 【答案】),1[+∞【习题13】正实数y x ,满足111=+yx ，则2210x y xy +-的最小值为 .【答案】36-【习题14】已知实数y x ,满足,32,0,0=+>>y x y x 则xyyx +3的最小值为 ，xy y x ++224 的最小值为 ． 【答案】3627+；845【习题15】已知直线21ax by +=（其中0ab ≠）与圆221x y +=相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且0120AOB ∠=，则2212a b +的最小值为 .【答案】2【习题16】设R b a ∈,，满足43=+-ab b a ，则33-+b a 的最小值是______． 【答案】332-【习题17】已知正实数a ，b 满足：1a b +=，则222a ba b a b+++的最大值是 . 【答案】3332+ 【习题18】已知正数y x ,满足1≤xy ，则yx M 21111+++=的最小值为________. 【答案】222-【习题19】已知0>a ，0>b ，且12122=+++ba a ，则b a +的最小值是_______，此时=a _______.【答案】212+；2【习题20】已知0,0a b >>，且1a b +=，则1122a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是 ；221aba +的最大值是 . 【答案】16；413- 【习题21】已知实数x ，y 满足3xy x y -+=，且1x >，则(8)y x +的最小值是 （ ） A ．33 B ．26 C ．25 D ．21 【答案】C【习题22】若实数,x y 满足2x y xy -+≥，则x y +的最小值是 . 【答案】2【习题23】已知实数a ，b 满足：1,2a b R ≥∈，且||1a b +≤，则12b a +的取值范围是 ．【答案】]23,12[-【习题24】实数y x ,满足22222=+-y xy x ，则222y x +的最小值是________. 【答案】224-【习题25】已知实数R b a ∈,，若322=+-b ab a ，则1)1(222+++b a ab 的值域为 ．【答案】]716,0[【习题26】设b a ,为正实数，则ba bb a a +++2的最小值为 . 【答案】222-【习题27】若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是 ． 【答案】5【习题28】若存在正实数y ，使得yx x y xy 451+=-，则实数x 的最大值为_________. 【答案】51【习题29】若0x >，0y >，则xyy x x ++2的最小值为___________． 【答案】212-【习题30】已知正数y x ,满足yx yx xy 3+-=，则y 的最大值为__________，当且仅当___________.【答案】31；1=x【习题31】已知,1,0=+>>b a b a 则bb a 214+-的最小值等于 . 【答案】9【习题32】已知)0,0(24122<<-+=y x xy y x ，则y x 2+的取值范围为__________. 【答案】)1,2[--【习题33】已知实数y x ,满足322=++y xy x ，则xy 的最小值为________，22y xy x +-的最小值为_______.【答案】3-，1【习题34】已知实数b a ,满足122=+-b ab a ，则)(|2|b a b a +-的取值范围是________. 【答案】]3,3[-【习题35】已知0>a ，0>b ，且满足ab a b a +=+23，则b a +2的最小值为________. 【答案】223+【习题36】已知非负实数y x ,满足92422222=+++y x y xy x ，则xy y x ++)(22的最大值为 . 【答案】241+【习题37】若164622=++xy y x ，R y x ∈,，则22y x -的最大值为_______.【答案】51【习题38】设正实数y x ,，则21||y xy x ++-的最小值为（ ）A. 47B. 2233C. 2D. 32【答案】A【习题39】已知b a ,均为正数，且1=+b a ，1>c ，则12)121(2-+⋅-+c c ab a 的最小值为_________. 【答案】23【习题40】设实数0,0>>y x 且满足k y x =+，则使不等式2)22()1)(1(kk y y x x +≥++恒成立的k 的最大值为______.【答案】522+【习题41】若1≥≥≥z y x ，且4=xyz ，则222222)(log )(log )(log z y x ++的取值范围是______.【答案】]4,34[【习题42】已知正实数y x ,满足4232=++y x xy ，则y x xy 45++的最小值为________. 【答案】55【习题43】已知实数y x ,满足yxyx9933+=+，则yx yx 332727++的取值范围是_________.【答案】9[1,]8【习题44】已知实数b a ,满足1=ab ，且32≥>b a ，则22b a ba +-的最大值为___________.【答案】3097【习题45】若正数b a ,满足111a b +=，则1911a b +--的最小值为( ) A ．1 B ．6 C ．9 D ．16【答案】B 【习题46】若正实数,x y 满足244x y xy ++=，且不等式2(2)22340x y a a xy +++-≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ．【答案】(]5,3,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭【习题47】已知y x ,为正实数，若12=+y x ，则xyxy x ++22的最小值为 ．【答案】222+【习题48】若正数y x ,满足12422=+++y x y x ，则xy 的最大值为_________. 【答案】432- 【习题49】若实数a 和b 满足132923242++=⨯+⋅-⨯b a b b a a ， 则b a 32+的取值范围为__________________． 【答案】]2,1(【习题50】设+∈R b a ,,4222=-+b a b a ，则ba 11+的最小值是 【答案】24。
高中数学-基本不等式练习题
高中数学-基本不等式练习题自主广场我夯基我达标1.log a b+log b a≥2成立的必要条件是（ ） Aa>1,b>1 Ba>0,0<b<1 C(a-1)(b-1)>0 D 以上都不对思路解析：因为log a b 与log b a 互为倒数，符合基本不等式的结构.但两个数应是正数,所以a,b 同时大于1或a,b 都属于区间(0,1). 答案:C2.下列命题中:①x+x 1最小值是2;②1222++x x 的最小值是2;③4522++x x 的最小值是2;④2-3x-x4的最小值是2.其中正确命题的个数是（ ） A1个 B2个 C3个 D4个 思路解析:当x<0时,x+x1无最小值,故①错误; 当x=0时,1222++x x 的最小值是2,②正确;当44122+=+x x 时,4522++x x 取得最小值2.但此时x 2=-3,所以4522++x x 取不到最小值2,故③错误;当x>0时,2-3x-x4<0,故④错误. 答案:A3.设x,y∈R +,且满足x+4y=40,则lgx+lgy 的最大值是（ ） A40 B10 C4 D2 思路解析：因为x,y∈R +,∴244yx xy +≤. ∴44yx xy +≤=10.∴xy≤100. ∴lgx+lgy=lgxy≤lg100=2. 答案：D4.设x,y∈R +，且xy-(x+y)=1,则（ ） Ax+y≥2(2+1) Bx·y≤2+1 Cx+y≤(2+1)2Dx·y≥2(2+1)思路解析：因为xy-(x+y)=1,∴x+y+1=xy≤(2y x +)2所以(x+y)2-4(x+y)-4≥0. 所以x+y≥216164++=2+22,或x+y≤2-22(舍去). 答案：A5.若a>b>1，P=b a lg lg •，Q=21（lga+lgb ）,R=lg(2b a +),则（ ）AR<P<Q BP<Q<RCQ<P<R DP<R<Q 思路解析：∵a>b>1⇒lga>0,lgb>0, ∴Q=12(lga+lgb)>b a lg lg •=P, R>ab lg=21(lga+lgb)=Q ⇒R>Q>P. 答案：B6.设x,y∈R ,且x+y=5,则3x +3y的最小值是 ……（ ） A10 B63 C 64 D183 思路解析：3x+3y≥31832323325===•+y x y x .答案：D7.已知lgx+lgy=2,则x 1+y1的最小值为__________. 思路解析：∵lgx+lgy=2,∴lgxy=2,xy=102.∴511001002211==≥+=+xy xy xy y x y x . 答案：158.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=__________吨. 思路解析：设一年总费用为y 万元，则y=4×x 400+4x=x1600+4x≥x x 416002⨯=160. 当且仅当x1600=4x,即x=20时，等号成立. 答案：20 9.（1）求函数y=31-x +x(x>3)的最小值;(2)设x>-1，求函数y=1)2)(5(+++x x x 的最小值.解：（1）∵x>3,∴y=1x -3+x=1x-3+(x-3)+3≥5（当且仅当x-3=1x-3，即x=4时，即“=”号）. ∴y min =5.(2)因为x>-1,所以x+1>0, 设x+1=t>0,则x=t-1，把x=t-1代入y=tt t t t x x x 45451)2)(5(2++=++=+++. =5+(t+t4)≥5+t t 42⨯=5+4=9.当且仅当t=2即x=1时上式等号成立.所以当x=1时函数y 有最小值9. 我综合我发展10.若关于x 的不等式（1+k 2）x≤k 4+4的解集是M ，则对任意常数k ，总有（ ） A2∈M,0∈M B2∉M,0∉M C2∈M,0∉M D2∉M,0∈M思路解析：由(1+k 2)x≤k 4+4,得x≤2414kk ++, 令f(k)=2414kk ++,再令k 2+1=t(t≥1),则k 2=t-1, f(k)=t t t t t 524)1(22+-=+-=t+t5-2≥52-2>4-2=2.(当且仅当t=5t,即t=5时“=”成立).所以2∈M,0∈M. 答案：A11.已知不等式（x+y ）(x 1+ya)≥9对任意正实数x,y 恒成立，则正实数a 的最小值为（ ） A2 B4 C6 D8 思路解析：（x+y ）(ya x +1)=1+a+x yy ax +≥1+a+a 2=(a +1)2(当且仅当xy=a 时取等号). ∵(x+y)(x 1+ya)≥9对任意正实数x,y 恒成立. ∴需(a +1)2≥9.∴a≥4.答案：B12.若a,b,c>0且a(a+b+c)+bc=4-23,则2a+b+c 的最小值为（ ） A 3-1 B 3+1 C23+2 D23-2 思路解析：由a(a+b+c)+bc=4-32, 得(a+b)(a+c)=4-32. ∵a,b,c>0, ∴(a+c)(a+b)≤(22c b a ++)2(当且仅当a+c=b+a,即b=c 时取“=”号). ∴2a+b+c≥3242-=2(3-1)=32-2. 答案：D13.已知a>0,b>0,a,b 的等差中项是21，且α=a+a 1,β=b+b1,则α+β的最小值是（ ） A3 B4 C5 D6 思路解析：由题意，知a+b=1,则α+β=a+a 1+b+b1=1+ab 1≥1+2)2(1b a +=5.答案：C14.a>0,b>0,给出下列四个不等式： ①a+b+ab1≥22;②(a+b)(a 1+b1)≥4; ③abb a 22+≥a+b;④a+41+a ≥-2. 其中正确的不等式有__________（只填序号）. 思路解析：①正确.∵a>0,b>0, ∴a+b+ab1≥ab 2+ab1≥2·ab 2·ab1=22;②正确.(a+b)(a 1+b1)≥ab 4×ab 1=4;③正确.∵2222ba b a +≥+,∴a 2+b 2≥2(2b a +)2=(a+b)2)(b a +≥(a+b)ab , ∴abb a 22+≥a+b;④a+41+a =(a+4)+41+a -4≥41)4(2+•+a a -4=2-4=-2.当且仅当a+4=41+a ,即(a+4)2=1时等号成立. 而a>0,∴(a+4)2≠1,∴等号不能取得. 综上可知①②③正确. 答案：①②③15.某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年产量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系式为Q=113++x x (x≥0).已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品需再投入32万元，若每件售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和.(1)试将利润y （万元）表示为年广告费x(万元)的函数.如果年广告费投入100万元，企业是亏损还是盈利？（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？（注： ①“年平均每件成本”中不计广告费支出；②假定每年生产的产品当年全部售出） 解：（1）利润=年收入-年成本-年广告费，售价=Q Q 323+×150%+Qx×50%， 收入=（3+32Q ）×150%+50%x,∴y=(3+32Q)×150%+50%x -(3+32Q)-x=21(32Q+3-x) =21(32×113++x x +3-x) =21［32×(3-2x+1)+3-x ］ =50-21(164+x +x+1).当x=100时,y=50-12(10164+101)<0,∴此时企业亏损.(2)∵64x+1+x+1≥642=16,∴y=50-21(164+x +x+1)≤50-8=42. 当且仅当164+x =x+1,即x=7时取等号.故当广告投入7万元时，企业年利润最大. y max=42.。
高中数学专题复习基本不等式限时练习试卷与答案
高二数学专题复习（五）基本不等式1 限时练高二 ______班_____组 学号：_______ 姓名：______________ 一、【基础过关】（大约35分钟）.225,0.1的最大值求已知xx x +<.19,1.2的最小值求已知-+>x x x.)41(,410.3的最大值求已知x x x -<<4.(2020·上海,13)下列不等式恒成立的是( )A.a 2+b 2≤2abB.a 2+b 2≥-2abC.a+b ≥2√|ab |D.a+b ≥-2√|ab |5.(2015·福建,理5)若直线x a +yb =1(a>0,b>0)过点(1,1),求a+b 的最小值.6.(2015·湖南,文)若实数a ,b 满足1a +2b =√ab ,则ab 的最小值为( )A.√2B.2C.2√2D.47.(2019·天津,文13)设x>0,y>0,x+2y=4,则(x+1)(2y+1)xy的最小值为 .8.(2019·天津,理13)设x>0,y>0,x+2y=5,则√xy的最小值为.9.(2014·重庆,文9)若log4(3a+4b)=log2√ab,则a+b的最小值是()A.6+2√3B.7+2√3C.6+4√3D.7+4√3二、【能力提升】（大约5分钟）10.(2015·重庆,文14)设a,b>0,a+b=5,则√a+1+√b+3的最大值为.高二数学专题复习（五）基本不等式1限时练答案1. 302. 73.641A.由基本不等式可知a2+b2≥2ab,故A不正确;B.a2+b2≥-2ab⇒a2+b2+2ab≥0,即(a+b)2≥0恒成立,故B正确;C.当a=-1,b=-1时,不等式不成立,故C不正确;D.当a=0,b=-1时,不等式不成立,故D不正确.故选B.∵直线xa+yb=1过点(1,1),∴1a+1b=1.又a,b均大于0,∴a+b=(a+b)(1a+1b)=1+1+ba+ab≥2+2√ba·ab=2+2=4.故选C.由已知1a+2b=√ab,可知a,b同号,且均大于0.由√ab=1a+2b≥2√2ab,得ab≥2√2.即当且仅当1a=2b,即b=2a时等号成立,故选C.(x+1)(2y+1)xy=2xy+x+2y+1xy=2xy+5xy=2+5xy.∵x+2y=4,∴4≥2√2xy,∴2xy≤4.∴1xy≥12.∴2+5xy≥2+52=92.先化简,利用√xy 的范围求解.√xy=√xy=√xy =2√xy √xy≥2·√2√xy ·6√xy =4√3.当且仅当√xy =√xy,即xy=3时等号成立.由log 4(3a+4b )=log 2√ab ,得12log 2(3a+4b )=12log 2(ab ),所以3a+4b=ab ,即3b +4a =1. 所以a+b=(a+b )(3b +4a )=3ab +4ba +7≥4√3+7,当且仅当3ab =4ba ,即a=2√3+4,b=3+2√3时取等号.故选D .10.(2015·重庆,文14,5分,难度★★)设a ,b>0,a+b=5,则√a +1+√b +3的最大值0,a+b=5,所以(a+1)+(b+3)=9.令x=a+1,y=b+3,则x+y=9(x>1,y>3),于是=√x +√y,而(√x +√y )2=x+y+2√xy ≤x+y+(x+y )=18,所以√x +√y ≤3√2 .此时x=y ,即a+1=b+3,结合a+b=5可得a=3.5,b=1.5,故当a=3.5,b=1.5时,√a +1+√b +3的最大值为3√2.。
高中数学必修五同步练习题库：基本不等式(选择题：较难)
基本不等式（选择题：较难）1、若正数满足，且的最小值为18，则的值为（）A．1 B．2 C．4 D．92、，动直线过定点A，动直线过定点，若与交于点(异于点)，则的最大值为A． B． C． D．3、若函数在定义域上单调递增，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．4、若，，，则的最小值是A． B． C． D．5、如右图所示，已知点是的重心，过点作直线与两边分别交于两点，且，则的最小值为（）A．2 B． C． D．6、若，，，则的最小值是A． B． C． D．7、已知实数满足，则的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．48、如图，已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线及圆于点四点，则的最小值为（）A． B． C． D．9、已知，则的最小值为（）A． B． C． D．10、已知等差数列的公差，且成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（）A．3 B．4 C． D．11、半圆的直径AB＝4, O为圆心，C是半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值是（）A．2 B．0 C． D．12、抛物线的焦点为，已知点为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作准线的垂线，垂足为，则的最大值为（）A．1 B． C．2 D．13、抛物线的焦点为F，准线为，是抛物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在上的投影为，则的最大值是（）A． B． C． D．14、已知，且满足，那么的最小值为（）A．3﹣ B．3+2 C．3+ D．415、曲线（）在点处的切线的斜率为2，则的最小值是（）A．10 B．9 C．8 D．16、函数的值域为（）A． B． C． D．17、，动直线过定点A，动直线过定点，若与交于点 (异于点)，则的最大值为A． B． C． D．18、抛物线的焦点为，设，是抛物线上的两个动点，，则的最大值为（）A． B． C． D．19、已知等差数列的公差，且，，成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（）A． B． C． D．20、已知等差数列的等差，且成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（）A． B． C． D．21、定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数，我们可以把1拆为若干个不同的单位分数之和，如：，，，依此类推，可得：，其中，设，，则的最小值为（）A． B． C． D．22、设且，则的最小值是A． B． C． D．23、已知，则的最小值是A．6 B．5 C． D．24、设正实数满足.则当取得最大值时，的最大值为() A．0 B． C．1 D．325、已知函数，若，，使得，则实数的取值范围是()A．(－∞，1] B．[1，＋∞) C．(－∞，2] D．[2，＋∞)26、已知等差数列的等差，且成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（）A． B． C． D．27、已知偶函数是定义在上的可导函数，其导函数为.当时，恒成立.设，记，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．28、已知函数，则不等式成立的概率是（）A． B． C． D．29、在中,角所对的边分别为，若，则当角取得最大值时，的周长为（）A． B． C． D．30、锐角三角形ABC的三边长成等差数列，且，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．（6，7]31、若，，，则的最小值为（）A． B． C． D．32、在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为是抛物线上位于第一象限内的任意一点，是线段上的点，且满足，则直线的斜率的最大值为（）A． B． C． D．33、已知函数，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．34、正项等比数列｛a n｝中，存在两项a m，a n（m，n）使得a m a n=16a12，且a7=a6+2a5，则+的最小值为（）A．5 B．6 C．7 D．835、已知圆的半径为1，为该圆上四个点，且，则的面积最大值为（）A．2 B．1 C． D．36、长方体中，,,,点是平面上的点，且满足，当长方体的体积最大时，线段的最小值是( )A． B． C．8 D．37、若直线过点，则的最小值等于（）A．6 B．3 C．7 D．438、若直线和直线相交于一点，将直线绕该点依逆时针旋转到与第一次重合时所转的角为，则角就叫做到的角，，其中分别是的斜率，已知双曲线：的右焦点为，是右顶点，是直线上的一点，是双曲线的离心率，，则的最大值为（）A． B． C． D．39、中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为（）A． B． C． D．40、若正数满足则的最小值是（）A． B． C． D．41、已知函数，对任意的，恒成立，则的最小值为（）A．3 B．2 C．1 D．042、已知为双曲线上不同三点，且满足（为坐标原点），直线的斜率记为，则的最小值为（）A．8 B．4 C．2 D．143、中，为的中点，点在线段（不含端点）上，且满足，则的最小值为（）A． B． C．6 D．844、圆：和圆：有三条公切线，若，，且，则的最小值为（）A．1 B．3 C．4 D．545、在中，角，，的对边分别为，，，且，则角的最大值为（）A． B． C． D．46、抛物线的焦点为，设，是抛物线上的两个动点，，则的最大值为（）A． B． C． D．47、抛物线的焦点为，设，是抛物线上的两个动点，，则的最大值为（）A． B． C． D．48、设正实数，满足，，不等式恒成立，则的最大值为（）A． B． C． D．49、定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数，我们可以把1拆为若干个不同的单位分数之和，如：，，，依此类推，可得：，其中，设，，则的最小值为（）A． B． C． D．50、已知函数（且）的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（）A．3 B．C．4 D．851、若正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．52、已知，二次三项式对于一切实数恒成立，又，使成立，则的最小值为（）A．1 B． C．2 D．53、已知，二次三项式对于一切实数恒成立，又，使成立，则的最小值为（）A．1 B． C．2 D．54、设均为正实数，且，则的最小值为（）A．4 B． C．9 D．1655、已知是内的一点，且，若的面积分别为，则的最小值为（）A． B． C． D．56、已知直线ax+by=1（其中a，b为非零实数），与圆x+y2=1相交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB为直角三角形，则+的最小值为（）A．4 B．2 C．5 D．857、设，则的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．58、设，对于使成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做的上确界．若，且，则的上确界为（）A． B． C． D．59、已知x＞0，由不等式x+≥2=2，x+=≥3=3，…，可以推出结论：x+≥n+1（n∈N*），则a=（）.A．2n B．3n C．n2 D．n n60、已知关于的不等式的解集是，且，则的最小值是（）A． B．2 C． D．161、下列推理正确的是()A．如果不买彩票，那么就不能中奖．因为你买了彩票，所以你一定中奖B．因为a>b，a>c，所以a－b>a－cC．若a>0，b>0，则＋≥D．若a>0，b<0，则62、对任意正数x，y不等式恒成立，则实数的最小值是 ()A．1 B．2 C．3 D．463、已知,且,成等比数列,则xy( )A．有最大值e B．有最大值 C．有最小值e D．有最小值64、对于函数y=f(x)(x∈I),y=g(x)(x∈I),若对任意x∈I,存在x0使得f(x)≥f(x0),g(x)≥g(x0)且f(x0)=g(x0),则称f(x),g(x)为“兄弟函数”,已知f(x)=x2+px+q,g(x)=是定义在区间上的“兄弟函数”,那么函数f(x)在区间上的最大值为()A． B．2 C．4 D．65、已知f(x)=log2(x-2),若实数m,n满足f(m)+f(2n)=3,则m+n的最小值为()A．5 B．7 C．8 D．966、设第一象限内的点满足约束条件，若目标函数的最大值为40，则的最小值为（）A． B． C．1 D．467、定义域为的函数的图象的两个端点为,是图象上任意一点，其中，向量，若不等式恒成立，则称函数在上“阶线性近似”. 若函数上“阶线性近似”，则实数的取值范围为( ) A． B． C． D．68、不等式x2＋2x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则实数x的取值范围是( )A．(－2,0) B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C．(－4,2) D．(－∞，－4)∪(2，＋∞)69、已知矩形ABCD的面积为8，当矩形ABCD周长最小时，沿对角线AC把△ACD折起，则三棱锥D－ABC外接的球表面积等于()．A．8π B．16π C．48π D．不确定的实数70、在直角坐标系中，定义两点之间的“直角距离”为，现给出四个命题：①已知，则为定值；②用表示两点间的“直线距离”，那么；③已知为直线上任一点，为坐标原点，则的最小值为；④已知三点不共线，则必有.A．②③ B．①④ C．①② D．①②④参考答案1、B2、B3、D4、B5、C6、B7、B8、B9、C10、B11、D12、D13、D14、B15、B16、C17、B18、D19、B20、B21、D22、A23、C24、C25、A26、B27、B28、B29、C30、C31、A32、D33、D34、B35、B36、B37、A38、C39、B40、D41、A42、B43、D44、A45、A46、D47、D48、C49、D50、D51、B52、D53、D54、D55、B56、A57、C58、D59、D.60、A61、D62、A63、C64、B65、B66、B67、C68、C69、B70、C【解析】1、由题意，应用基本不等式可得令则方程，所以是方程的根，所以选B.点睛：（1）应用基本不等式构造关于的不等式.(2)换元法将不等式转化为一元二次不等式.(3)结合二次函数图像知是一元二次方程的根.2、由题意可得：A（1，0），B（2，3），且两直线斜率之积等于﹣1，∴直线x+my﹣1=0和直线mx﹣y﹣2m+3=0垂直，则|PA|2+|PB|2=|AB|2=10≥．即.故选B.点睛：含参的动直线一般都隐含着过定点的条件，动直线，动直线l2分别过A（1，0），B（2，3），同时两条动直线保持垂直，从而易得|PA|2+|PB|2=|AB|2=10，然后借助重要不等式，得到结果.3、函数的定义域为，，由已知有，所以对于恒成立，恒成立，所以，而，当且仅当时等号成立，所以，选D.点睛：本题主要考查用导数研究函数的单调性，基本不等式等，属于中档题。
高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案)
高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案）1．重要不等式当a ，b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．基本不等式(1)有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．(2)不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)变形：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，a ＋b ≥2ab (其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a＝b 时等号成立)．题型一：利用基本不等式比较大小1.已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝nD ．不确定2.若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系是________．题型二：利用基本不等式证明不等式3.已知a ，b ，c 均为正实数， 求证：2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c3c ≥3.4.已知a ，b ，c 为正实数， 且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8.题型三：利用基本不等式求最值5.已知lg a ＋lg b ＝2，求a ＋b 的最小值．6.已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值．7.已知x ＞0，y ＞0，1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．8．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5题型四：利用基本不等式解应用题9.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：(1)仓库面积S 的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？巩固练习：1．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2 B ．当x >0时，x ＋1x≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2 D ．当0<x ≤2时，x －1x 无最大值2．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C.1x 2＋1≤1 D ．x ＋1x ≥23．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4，则下列各式中正确的一个是( ) A.1a ＋1b <1 B.1a ＋1b ≥1 C.1a ＋1b <2D.1a ＋1b ≥24．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( ) A.a ＋d2>bcB.a ＋d2<bcC.a＋d2＝bc D.a＋d2≤bc5．若x>0，y>0，且2x＋8y＝1，则xy有()A．最大值64B．最小值1 64C．最小值12D．最小值646．若a>0，b>0，且1a＋1b＝ab，则a3＋b3的最小值为________．7．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．8．若对任意x>0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________．9．(1)已知x<3，求f(x)＝4x－3＋x的最大值；参考答案：1.解：因为a>2，所以a－2>0，又因为m＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2，所以m≥2(a－2)·1a－2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝22－b2<4，综上可知m>n.2.解：因为a>b>1，所以lg a>lg b>0，所以Q＝12(lg a＋lg b)>lg a·lg b＝P；Q＝12(lg a＋lg b)＝lg a＋lg b＝lg ab<lga＋b2＝R.所以P<Q<R.3.[证明]∵a，b，c均为正实数，∴2ba＋a2b≥2(当且仅当a＝2b时等号成立)，3c a＋a3c≥2(当且仅当a＝3c时等号成立)，3c 2b ＋2b3c ≥2(当且仅当2b ＝3c 时等号成立)，将上述三式相加得⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c ≥6(当且仅当a ＝2b ＝3c时等号成立)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c －1≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)，即2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c 3c ≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)．4.证明：因为a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， 所以1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a . 同理，1b －1≥2ac b ，1c －1≥2abc . 上述三个不等式两边均为正，相乘得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2abc ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号.5.解：由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2， 即ab ＝100，且a ＞0，b ＞0，因此由基本不等式可得a ＋b ≥2ab ＝2100 ＝20， 当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取到最小值20. 6.解：∵x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6， ∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32. 7.解：∵1x ＋9y ＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y＝1＋9x y ＋y x ＋9＝y x ＋9xy ＋10， 又∵x ＞0，y ＞0， ∴y x ＋9xy ＋10≥2y x ·9xy ＋10＝16，当且仅当y x ＝9xy ，即y ＝3x 时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，1x ＋9y＝1，得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝12，即当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16.8.解析：选C 由已知，可得6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝1，∴2a ＋b ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2b a 时等号成立，∴9m ≤54，即m ≤6，故选C.9.[解] (1)设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，而顶部面积为S ＝xy ，依题意得，40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥240x ×90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ， ＝120S ＋20S .所以S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0， 故S ≤10，从而S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，(2)取得最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100， 求得x ＝15，即铁栅的长是15米． 练习：1.解析：选B A 中，当0<x <1时，lg x <0，lg x ＋1lg x ≥2不成立；由基本不等式知B 正确；C 中，由对勾函数的单调性，知x ＋1x 的最小值为52；D 中，由函数f (x )＝x －1x 在区间(0,2]上单调递增，知x －1x 的最大值为32，故选B.2.解析：选C 对于A ，当x ≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故B 不成立；对于D ，当x <0时，不成立．对于C ，x 2＋1≥1，∴1x 2＋1≤1成立．故选C. 3.解析：选B 因为ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4，所以1a ＋1b ≥21ab ≥214＝1.4.解析：选A 因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d2>bc .5.解析：选D 由题意xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8y xy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ，∴xy ≥8，即xy 有最小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.6.解析：∵a >0，b >0，∴ab ＝1a ＋1b ≥21ab ，即ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，∴a 3＋b 3≥2(ab )3≥223＝42，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，则a 3＋b 3的最小值为4 2.7.解析：由题意，一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫900x ＋x ≥8900x ·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.8.解析：因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1时取等号， 所以有xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12＋3＝15， 即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞(2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y 的最小值． 9.解：(1)∵x <3， ∴x －3<0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x＝3－x ， 即x ＝1时取等号， ∴f (x )的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x ＝3xy ，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号． 又x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ≥1＋32， 故1x ＋3y 的最小值为1＋32.。
高中不等式练习题及答案
高中不等式练习题及答案高中不等式练习题及答案在高中数学学习中，不等式是一个重要的概念和工具。
不等式是数学中描述数值大小关系的一种方式，它可以帮助我们解决各种实际问题。
在学习不等式的过程中，练习题是必不可少的，下面我将为大家提供一些高中不等式练习题及其答案。
1. 练习题一：解不等式：2x - 5 < 3x + 2解答：将不等式中的变量移到一边，常数移到另一边，得到：2x - 3x < 2 + 5化简得：-x < 7由于系数为负数，所以不等号方向需要翻转，得到：x > -72. 练习题二：解不等式：3(x - 2) > 2(x + 3)解答：先进行分配律的运算，得到：3x - 6 > 2x + 6将变量移到一边，常数移到另一边，得到：3x - 2x > 6 + 6化简得：x > 123. 练习题三：解不等式：4x + 5 > 3 - 2x解答：将变量移到一边，常数移到另一边，得到：4x + 2x > 3 - 5化简得：6x > -2由于系数为正数，所以不等号方向不需要翻转，得到：x > -1/34. 练习题四：解不等式：2x - 3 > 5x + 1解答：将不等式中的变量移到一边，常数移到另一边，得到：2x - 5x > 1 + 3化简得：-3x > 4由于系数为负数，所以不等号方向需要翻转，得到：x < -4/35. 练习题五：解不等式：2x + 1 < 3(x - 2)解答：先进行分配律的运算，得到：2x + 1 < 3x - 6将变量移到一边，常数移到另一边，得到：2x - 3x < -6 - 1化简得：-x < -7由于系数为负数，所以不等号方向需要翻转，得到：x > 7通过以上的练习题，我们可以看到解不等式的基本步骤。
首先，将不等式中的变量移到一边，常数移到另一边；然后，化简不等式；最后，根据系数的正负确定不等号的方向。
高中数学不等式证明题目训练卷及答案
高中数学不等式证明题目训练卷及答案一、选择题1、若\（a ＞ b ＞ 0\），则下列不等式中一定成立的是（）A ＼（a ＋＼frac{1}｛b} ＞ b ＋＼frac{1}｛a}＼）B ＼（＼frac{b ＋ 1}｛a ＋ 1} ＞＼frac{b}｛a}＼）C ＼（a ＼frac{1}｛b} ＞ b ＼frac{1}｛a}＼）D ＼（＼frac{2a ＋ b}｛a ＋ 2b} ＞＼frac{a}｛b}＼）答案：A解析：因为\（a ＞ b ＞ 0\），所以\（a b ＞ 0\）。
A 选项：＼（（a ＋＼frac{1}｛b}）（b ＋＼frac{1}｛a}）＝（a b) ＋（＼frac{1}｛b} ＼frac{1}｛a}）＝（a b) ＋＼frac{a b}｛ab}＞ 0\），所以\（a ＋＼frac{1}｛b} ＞ b ＋＼frac{1}｛a}＼），A 选项正确。
B 选项：＼（＼frac{b ＋ 1}｛a ＋ 1} ＼frac{b}｛a} ＝＼frac{a(b＋ 1) b(a ＋ 1)｝｛a(a ＋ 1)｝＝＼frac{a b}｛a(a ＋ 1)｝＼），因为\（a(a ＋ 1) ＞ 0\），但\（a b\）的正负不确定，所以\（＼frac{b ＋ 1}｛a ＋ 1}＼）与\（＼frac{b}｛a}＼）大小不确定，B 选项错误。
C 选项：＼（（a ＼frac{1}｛b}）（b ＼frac{1}｛a}）＝（a b) （＼frac{1}｛b} ＼frac{1}｛a}）＝（a b) ＼frac{a b}｛ab}＼），当\（ab ＞ 1\）时，＼（（a b) ＼frac{a b}｛ab} ＜ 0\），C 选项错误。
D 选项：＼（＼frac{2a ＋ b}｛a ＋ 2b} ＼frac{a}｛b} ＝＼frac{b(2a ＋ b) a(a ＋ 2b)｝｛b(a ＋ 2b)｝＝＼frac{b^2 a^2}｛b(a ＋2b)｝＼），因为\（b^2 a^2 ＜ 0\），＼（b(a ＋ 2b) ＞ 0\），所以\（＼frac{2a ＋ b}｛a ＋ 2b} ＼frac{a}｛b} ＜ 0\），D 选项错误。
2025届高中数学要点专练04基本不等式
专练4基本不等式授课提示：对应学生用书7页[基础强化]一、选择题1．函数y ＝2x ＋22x 的最小值为()A ．1B ．2C ．22D ．4 答案：C解析：因为2x >0，所以y ＝2x ＋22x ≥22x ·22x ＝22 ，当且仅当2x ＝22x ，即x ＝12时取“＝”．故选C.2．若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab 的最小值为()A ．2B ．12C ．4D ．14答案：B解析：∵a >0，b >0，∴4＝2a ＋b ≥22ab (当且仅当2a ＝b ，即：a ＝1，b ＝2时等号成立)，∴0<ab ≤2，1ab ≥12 ，∴1ab 的最小值为12.3．下列结论正确的是() A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2 B ．当x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2 时，sin x ＋4sin x 的最小值为4 C ．当x >0时，x ＋1x≥2 D ．当0<x ≤2时，x －1x 无最大值答案：C解析：当x ∈(0，1)时，lg x <0，故A 不成立，对于B 中sin x ＋4sin x ≥4，当且仅当sin x＝2时等号成立，等号成立的条件不具备，故B 不正确；D 中y ＝x －1x在(0，2]上单调递增，故当x ＝2时，y 有最大值，故D 不正确；又x ＋1x≥2x ·1x ＝2(当且仅当x ＝1x即x ＝1时等号成立).故C 正确．4．下列不等式恒成立的是() A ．a 2＋b 2≤2ab B ．a 2＋b 2≥－2ab C ．a ＋b ≥2|ab | D ．a ＋b ≥－2|ab | 答案：B解析：对于A ，C ，D ，当a ＝0，b ＝－1时，a 2＋b 2＞2ab ，a ＋b ＜2ab ，a ＋b ＜－2|ab | ，故A ，C ，D 错误；对于B ，因为a 2＋b 2＝|a |2＋|b |2≥2|a |·|b |＝2|ab |≥－2ab ，所以B 正确．故选B.5．若x >0，y >0，x ＋2y ＝1，则xy2x ＋y的最大值为() A ．14 B ．15C ．19D ．112答案：C解析：x ＋2y ＝1⇒y ＝1－x 2 ，则xy 2x ＋y ＝x －x 23x ＋1 .∵x >0，y >0，x ＋2y ＝1， ∴0<x <1.设3x ＋1＝t (1<t <4)，则x ＝t －13， 原式＝－t 2＋5t －49t ＝59 －⎝⎛⎭⎫t 9＋49t ≤59－2481 ＝19， 当且仅当t 9 ＝49t ，即t ＝2，x ＝13 ，y ＝13 时，取等号，则xy 2x ＋y 的最大值为19 ，故选C.6．已知a >0，b >0，c >0，且a 2＋b 2＋c 2＝4，则ab ＋bc ＋ac 的最大值为() A ．8B ．4 C ．2D ．1 答案：B解析：∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )，∴ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 2＋c 2＝4. 7．若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于()A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C解析：因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，所以1a ＋1b ＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋ba ≥2＋2ab ·b a ＝4，当且仅当a b ＝ba即a ＝b ＝2时取“＝”，故选C.8．若向量a ＝(x －1，2)，b ＝(4，y )，a 与b 相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为() A ．12B ．2 C ．3D ．6 答案：D解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝(x －1，2)·(4，y )＝4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2，∴9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ＋y ＝232 ＝6，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号，∴9x ＋3y 的最小值为6.9．用一段长8cm 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为() A ．9cm 2B ．16cm 2 C ．4cm 2D ．5cm 2 答案：C解析：设矩形模型的长和宽分别为x cm ，y cm ，则x ＞0，y ＞0，由题意可得2(x ＋y )＝8，所以x ＋y ＝4，所以矩形模型的面积S ＝xy ≤（x ＋y ）24 ＝424 ＝4(cm 2)，当且仅当x ＝y ＝2时取等号，所以当矩形模型的长和宽都为2cm 时，面积最大，为4cm 2.故选C.二、填空题10．已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为_.答案：14解析：∵a －3b ＋6＝0，∴a －3b ＝－6，∴2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b ＝22a －3b ＝22－6 ＝14 .当且仅当2a ＝2－3b ，即a ＝－3，b ＝1时，2a ＋18b 取得最小值为14.11．已知函数f (x )＝4x ＋ax (x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝_．答案：36解析：∵x >0，a >0，∴4x ＋ax≥24x ·ax＝4 a ， 当且仅当4x ＝a x ，即：x ＝a 2 时等号成立，由a2＝3，a ＝36.12．[2024·山东聊城一中高三测试]已知a >0，b >0，3a ＋b ＝2ab ，则a ＋b 的最小值为_． 答案：2＋3解析：由3a ＋b ＝2ab ， 得32b ＋12a＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫32b ＋12a ＝2＋b 2a ＋3a2b ≥2＋2b 2a ·3a 2b ＝2＋3 (当且仅当b 2a ＝3a2b即b ＝3 a 时等号成立).[能力提升]13．[2024·合肥一中高三测试]若a ，b 都是正数，则⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4ab 的最小值为() A ．7B ．8 C ．9D ．10 答案：C解析：⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4ab ≥5＋2b a ·4a b ＝9(当且仅当b a ＝4ab 即b ＝2a 时等号成立).14.(多选)已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，则() A ．a 2＋b 2≥12 B ．2a －b ＞12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2D ． a ＋ b ≤2 答案：ABD解析：对于选项A ，∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2＝1，∴a 2＋b 2≥12 ，正确；对于选项B ，易知0＜a ＜1，0＜b ＜1，∴－1＜a －b ＜1，∴2a －b ＞2－1＝12 ，正确；对于选项C ，令a ＝14 ，b ＝34 ，则log 214 ＋log 234 ＝－2＋log 234 ＜－2，错误；对于选项D ，∵2 ＝2（a ＋b ） ，∴[2（a ＋b ） ]2－( a ＋ b )2＝a ＋b －2ab ＝( a － b )2≥0，∴ a ＋ b ≤2 ，正确．故选ABD.15．(多选)已知a ，b ，c 为正实数，则() A ．若a ＞b ，则ab ＜a ＋c b ＋cB ．若a ＋b ＝1，则b 2a ＋a 2b 的最小值为1C ．若a ＞b ＞c ，则1a －b ＋1b －c ≥4a －cD ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2的最小值为3答案：BCD解析：因为a >b ，所以a b －a ＋c b ＋c ＝c （a －b ）b （b ＋c ） ＞0，所以ab ＞a ＋c b ＋c ，选项A 不正确；因为a ＋b ＝1，所以b 2a ＋a 2b ＝⎝⎛⎭⎫b 2a ＋a ＋⎝⎛⎭⎫a 2b ＋b －(a ＋b )≥2b ＋2a －(a ＋b )＝a ＋b ＝1，当且仅当a ＝b ＝12 时取等号，所以b 2a ＋a 2b的最小值为1，故选项B 正确；因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＞0，所以(a －c )⎝⎛⎭⎫1a －b ＋1b －c ＝[]（a －b ）＋（b －c ）⎝⎛⎭⎫1a －b ＋1b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4，当且仅当b －c ＝a －b 时取等号，所以1a －b ＋1b －c ≥4a －c，故选项C 正确；因为a 2＋b 2＋c 2＝13 [(a 2＋b 2＋c 2)＋(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)＋(c 2＋a 2)]≥13 (a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca )＝13 [(a ＋b )2＋2(a ＋b )c ＋c 2]＝13 (a ＋b ＋c )2＝3，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立，所以a 2＋b 2＋c 2的最小值为3，故选项D 正确．16．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是_．答案：30解析：一年的总运费为6×600x ＝3 600x(万元). 一年的总存储费用为4x 万元．总运费与总存储费用的和为⎝⎛⎭⎫3 600x ＋4x 万元． 因为3 600x＋4x ≥23 600x ·4x ＝240，当且仅当3 600x＝4x ，即x ＝30时取得等号， 所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．。
高中数学(必修一)第二章 基本不等式练习题
高中数学（必修一）第二章 基本不等式练习题（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：_____________一、解答题 1．已知a b ，比较2a ab +与23ab b -的大小，并证明.2．设a ，b 为正实数，求证：()()()2233338a b a b a b a b +++≥．3．求函数1(3)3y x x x =+>-的最小值.4．（1）把49写成两个正数的积，当这两个正数各取何值时，它们的和最小？（2）把12写成两个正数的和，当这两个正数各取何值时，它们的积最大？5．已知圆C 的圆心在坐标原点，且过点(M . (1)求圆C 的方程；(2)已知点P 是圆C 上的动点，试求点P 到直线40x y +-=的距离的最小值；(3)若直线l 与圆C 相切，且l 与,x y 轴的正半轴分别相交于,A B 两点，求ABC 的面积最小时直线l 的方程.6．已知a ，b R +∈，求证：()114a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭．7．函数π()2sin()10,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭图像过点π,13⎛⎫ ⎪⎝⎭，且相邻对称轴间的距离为π2．(1)求,ωϕ的值；(2)已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若32A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且2a =，求ABC 面积的最大值．8．小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出万元，假定该车每年的运输收入均为25万元.小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售收入为25x -万元（国家规定大货车的报废年限为10年）.（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？ （利润=累积收入+销售收入-总支出）9．高一（3）班的小北为我校设计的冬季运动会会徽《冬日雪花》获得一等奖．他的设计灵感来自三个全等的矩形的折叠拼凑，现要批量生产．其中会徽的六个直角（如图2阴影部分）要利用镀金工艺上色．已知一块矩形材料如图1所示，矩形 ABCD 的周长为4cm ，其中长边 AD 为 x cm ，将BCD △沿BD 向ABD △折叠，BC 折过去后交AD 于点E ．(1)用 x 表示图1中BAE 的面积；(2)已知镀金工艺是2元/2cm ，试求一个会徽的镀金部分所需的最大费用．10．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ， b ，c ，A 为锐角，cos cos 3cos b A a B c A +=． (1)求cos A ；(2)若2a =，求ABC 面积的最大值．11．已知(2,5)x ∈-，求(2)(5)y x x =+-的最大值，以及y 取得最大值时x 的值．12．下列结论是否成立？若成立，试说明理由；若不成立，试举出反例．(1)若0ab >，则a b +≥(2)若0ab >2≥；(3)若0ab <，则2b aa b+≤-．13．已知a ，b ，c 均为正实数.(1)求证：a b c ++≥(2)若1a b +=，求证：11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.14．已知x ＞2，求函数4()2f x x x =+-的最小值．15．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，直线l 过F 且与抛物线C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，当3AB p =时，点M 的横坐标为2. (1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 与抛物线C 的准线交于点D ，点D 关于x 轴的对称点为E ，当DME 的面积取最小值时，求直线l 的方程.16．如图，动物园要以墙体为背面，用钢筋网围成四间具有相同面积的矩形虎笼．(1)现有可围36m 长钢筋网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼的面积最大？(2)若每间虎笼的面积为220m ，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？17．已知 5<4x ，求函数14145y x x =-+- 的最大值．参考答案：1．见解析【解析】利用作差法比较大小. 【详解】解：223a ab ab b +>-，证明如下：()2222232()a ab ab b a ab b a b +--=-+=-.a b ≠2()0a b ∴-> 223a ab ab b ∴+>-【点睛】本题考查作差法比较两式的大小关系，属于基础题. 2．证明见解析【分析】利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为a ，b 为正实数，所以a b +≥222a b ab +≥，332a b +≥=当a b =时取等号，所以()()()223333228a b a b a b ab a b +++≥⨯=，即()()()2233338a b a b a b a b +++≥，当且仅当a b =时取等号；3．5【分析】式子化为1333x x +-+-，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为3x >， 所以30x ->，所以133353y x x =+-+≥=-， 当且仅当133x x -=-即4x =时取等号，此时取得最小值5.4．（1）当7x y ==时，x y +取得最小值14；（2）当6x y ==时，xy 取得最大值36【解析】（1）设0x >，0y >，49xy =，然后利用基本不等式求得x y +的最小值，根据基本不等式等号成立的条件，求得,x y 的值.（2）设0x >，0y >，12x y +=，然后利用基本不等式求得x y ⋅的最大值，根据基本不等式等号成立的条件，求得,x y 的值.【详解】（1）设0x >，0y >，49xy =，由均值不等式，得214x y xy +=， 当且仅当x y =时，取等号．由,49,x y xy =⎧⎨=⎩得7x y ==，即当7x y ==时，x y +取得最小值14．（2）设0x >，0y >，12x y +=，由均值不等式，得22123622x y x y +⎛⎫⎛⎫⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当且仅当x y =时，取等号．由,12,x y x y =⎧⎨+=⎩得6x y ==．即当6x y ==时，xy 取得最大值36.【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题. 5．(1)224x y +=(2)2(3)0x y +-【分析】（1）利用两点间距离公式可求得半径r ，由此可得圆C 方程； （2）利用点到直线距离公式可求得圆心到直线距离d ，可知最小值为d r -；（3）设():10,0x yl a b a b+=>>，由圆心到直线距离等于半径，结合基本不等式可知当a b ==ABC面积取得最小值，由此可得直线l 方程. （1）由题意知：圆心()0,0C ，半径2r CM ===，∴圆C 的方程为：224x y +=.（2）圆心到直线40x y +-=的距离d r ==，∴点P 到直线40x y +-=的距离最小值为2d r -=.（3）设直线():10,0x yl a b a b+=>>，即0bx ay ab ， 则圆心到直线l 距离2d ==，ab ∴=≥a b ==，解得：8ab ≥， ∴当a b ==ABC 面积取得最小值142ab =，则直线1l =，即0x y +-=. 6．见解析【分析】()11a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开并运用基本不等式即可得证.【详解】()11224b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当b a a b =即a b =时等号成立.【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题. 7．(1)2ω=，π3ϕ=；(2)2+【分析】（1）由题干条件得到最小正周期，进而求出2ω=，待定系数法求出π3ϕ=；（2）先由32A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭求出π6A =，利用余弦定理，基本不等式求出8bc ≤+. (1)由题意得：()f x 的最小正周期πT =，由于0>ω，故2ππω=，解得：2ω=，又2π32sin()11ϕ++=，所以2ππ,3k k Z ϕ+=∈，即2ππ,3k k Z ϕ=-∈，又π||2ϕ<，所以2πππ,32k k Z <∈-，解得：1766k <<，k Z ∈，故1k =，此时π3ϕ=，综上：2ω=，π3ϕ=； (2)2sin()33π12A f A ⎛⎫= ⎪⎝++=⎭，所以sin()1π3A +=，因为()0,πA ∈，所以ππ4π,333A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则ππ32A +=，解得：π6A =，又2a =，所以由余弦定理得：224cos 2b c A bc +-==，则224b c +=，由基本不等式得：222b c bc +≥，即42bc ≥，解得：8bc ≤+b c =时等号成立，故ABC 面积最大值为1sin 22bc A ≤8．（1）第三年；（2）第5年.【解析】（1）求出第x 年年底，该车运输累计收入与总支出的差，令其大于0，即可得到结论； （2）利用利润＝累计收入+销售收入﹣总支出，可得平均利润，利用基本不等式，可得结论． 【详解】（1）设大货车运输到第x 年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y 万元， 则y ＝25x ﹣[6x +x （x ﹣1）]﹣50＝﹣x 2+20x ﹣50（0＜x ≤10，x ∈N ）由﹣x 2+20x ﹣50＞0，可得10﹣＜x ＜，∈2＜10﹣＜3，故从第3年，该车运输累计收入超过总支出； （2）∈利润＝累计收入+销售收入﹣总支出，∈二手车出售后， 小张的年平均利润为(25)y x y x +-=＝19﹣（x +25x）≤19﹣10＝9，当且仅当x ＝5时，等号成立， ∈小张应当在第5年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大． 【点睛】思路点睛：首先构建函数的模型一元二次函数，再解一元二次不等式，再利用基本不等式求最值.9．(1)()223cm 12S x x x ⎡⎤⎛⎫=-+<< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；(2)当 AD cm 时，一个会徽的镀金部分所需的最大费用为(36-元.【分析】（1）设ED a =cm ，根据条件可得222x x a x-+=，然后利用面积公式即得；（2）利用基本不等式即得.（1）因为AD x =cm ，所以()2AB x =-cm ， 设 ED a = cm ，则()AE x a =-cm ，因为AEB C ED '∠=∠，EAB DC E '∠=∠，AB DC '=， 所以Rt Rt BAE DC E '≌△△，所以BE ED a ==cm ， 在Rt BAE △中，由勾股定理得222BA AE BE +=， 即()()2222x x a a -+-=， 解得222x x a x-+=，所以22x AE x a x-=-=， 所以BAE 的面积()()22112232223cm 1222x x x S AB AE x x x x x x --+-⎡⎤⎛⎫=⋅=-⋅==-+<< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 所以BAE 的面积()223cm 12S x x x ⎡⎤⎛⎫=-+<< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（2）设一个会徽的镀金费用为y 元，则(26212312336BAE y Sx x ⎡⎤⎛⎫=⋅⋅=⨯-+≤⨯-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当且仅当2xx=，12x <<，即x所以当AD cm 时，一个会徽的镀金部分所需的最大费用为(36-元． 10．(1)1cos 3A =；【分析】（1）由正弦定理、两角和的正弦公式求cos A 的值；（2）由同角三角函数间的基本关系求sin A 的值，根据余弦定理和基本不等式求bc 的最大值，最后根据三角形的面积公式求ABC 面积的最大值即可． (1)因为cos cos 3cos b A a B c A +=，由正弦定理得sin cos cos sin 3sin cos B A B A C A +=， 所以()sin 3sin cos A B C A +=，所以sin 3sin cos C C A =． 在ABC 中，sin 0C ≠， 所以1cos 3A =；(2)由（1）知1cos 3A =，由22sin cos 1A A +=，A 为锐角，得sin A =由余弦定理可知222123b c a bc +-=，因为2a =， 所以2233122b c bc +-=， 所以22212336bc b c bc +=+≥，所以3bc ≤，当且仅当b c ==所以1sin 2ABC S bc A =△所以ABC 11．当32x =时，y 取得最大值494【解析】根据基本不等式，求得y 的最大值，根据基本不等式等号成立的条件，求得此时x 的值.【详解】∈(2,5)x ∈-，∈20,50x x +>->，∈22549(2)(5)24x x y x x ++-⎛⎫=+-=⎪⎝⎭． 当且仅当25x x +=-，即32x =时，取等号．即当32x =时，y 取得最大值494．【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题. 12．(1)不成立，理由见解析； (2)成立，理由见解析； (3)成立，理由见解析；【分析】取特殊值判断（1），由均值不等式判断（2）（3）. （1）取1,2a b =-=-满足0ab >，此时a b +≥不成立； （2）0ab >，0,0a bb a∴>>，2，当a b =时等号成立. （3）0ab <，0,0b aa b∴<<，2b a b a a b a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴+=--+-≤-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当a b =-时等号成立. 13．(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）利用基本不等式证明即可；（2）由112111⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭a b ab 利用基本不等式求最值即可.（1）因为a ，b ，c 都是正数，所以 ()()()(1122++=+++++≥⎡⎤⎣⎦a b c a b b c a c=，当且仅当a b c ==时，等号成立，所以a b c ++≥ （2）211111122211111119142a b a b a b ab ab ab ab a b +⎛⎫⎛⎫++=+++=++=+≥+=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+⎛⎫⎪⎝⎭， 当且仅当12a b ==时等号成立. ∈11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 14．6【解析】利用基本不等式可求函数的最小值.【详解】解：∈2x >，∈20x ->，故44()222622f x x x x x =+=-++≥=--， 当且仅当4x =时等号成立，故()f x 的最小值为6.15．(1)24y x =(2)1x y =±+【分析】（1）设()()1122,,,A x y B x y ，根据焦点弦的性质得到12||AB x x p =++，从而求出p ，即可得解； （2）设:1l x ty =+，联立直线与抛物线，消元、利用韦达定理得到M y ，从而得到M x ，则()1||12DEM M S DE x =⋅+最后利用基本不等式求出最小值，即可得解； （1）解：设()()1122,,,A x y B x y ，由题知12||43AB x x p p p =++=+=时，2p =，故抛物线方程为24y x =；（2）解：设:1l x ty =+，联立抛物线方程得2440y ty --=，∈1222M y y y t +==，2121M M x ty t =+=+，而21,D t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，21,E t ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以()()21141||1224||822||||DEM M S DE x t t t t ⎛⎫=⋅+=⋅⋅+=+≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当||1t =时等号成立，故直线l 的方程为1x y =±+．16．(1)长为9m 2，宽为18m 5(2)长为5m ，宽为4m【分析】（1）设每间老虎笼的长为m x ，宽为m y ，则每间老虎笼的面积为S xy =，可得出4536x y +=，利用基本不等式可求得S 的最大值，利用等号成立的条件求出x 、y 的值，即可得出结论；（2）设每间老虎笼的长为m x ，宽为m y ，则20xy =，利用基本不等式可求得钢筋网总长45x y +的最小值，利用等号成立的条件求出x 、y 的值，即可得出结论.（1）解：设每间老虎笼的长为m x ，宽为m y ，则每间老虎笼的面积为S xy =，由已知可得4536x y +=，由基本不等式可得()2211458145m 202025x y S xy x y +⎛⎫==⋅⋅≤⨯= ⎪⎝⎭， 当且仅当454536x y x y =⎧⎨+=⎩，即当92185x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立， 因此，每间虎笼的长为9m 2，宽为18m 5时，可使得每间虎笼的面积最大. （2）解：设每间老虎笼的长为m x ，宽为m y ，则20xy =，钢筋网总长为()4540m x y +≥=，当且仅当4520x y xy =⎧⎨=⎩，即当54x y =⎧⎨=⎩时，等号成立， 因此，每间虎笼的长为5m ，宽为4m 时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小. 17．2 【分析】将14145y x x =-+-变形为[()1]54454y x x=--++-，利用基本不等式即可求得答案. 【详解】根据题意，函数()114545444554y x x x x ⎡⎤=-++=--++⎢⎥--⎣⎦ ， 又由54x <，则540x ->，则()154254x x -+≥-， 当且仅当15454x x -=-时，即1x =时取等号， 则1[(54)]424254y x x=--++≤-+=-, 故函数14145y x x =-+-的最大值为2.。
高中数学基本不等式综合测试题(附答案)
高中数学基本不等式综合测试题（附答案）基本不等式的最大最小值问题随堂练习1、在下列函数中，最小值是的是且）2、已知正数满足，则的最小值为3、若，则的最大值。
4、设时，则函数的最小值。
三、解答题5、为迎接北京奥运会，北京市决定在首都国际机场粘贴一幅“福娃”宣传画，要求画面面积为，左、右各留米，上、下各留米，问怎样设计画面的长和宽才能使宣传画所用纸张面积最小？6、函数的值域7、若是正数，且，则有最值=8、已知，则的最小值是。
9、已知，求的最值及相应的的值。
10、正数、满足则的最小值是11、已知函数f(x) 满足 2f(x) － f( 1x ) = 1| x |，则f(x)的最小值是12、函数若恒成立，则 b 的最小值为＿13、函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为14、已知，，成等差数列，成等比数列，则的最小值是15、若的最大值是.16、已知、，且，则的最小值是17、若直线始终平分圆的周长，则的最小值是18、求使 a (x＞ 0， y＞ 0)恒成立的a 的最小值19、若 a 是 1+2b 与 1-2b 的等比中项，则的最大值为20、已知两正数x,y 满足 x+y=1, 则 z= 的最小值为21、已知 a0,求的最小值22、已知 a， b， c 为正实数， a+b+c=1 求证(1)a2+b2+c2(2) 6参考答案1、 2、 3、 4、5、解：设宣传画的长、宽分别为、米，则，设纸张面积为，则：由，即代入上式得，当且仅当，即时，。
所以宣传画的长为米，宽为米，所用纸张面积最小。
参考答案1、 2、 3、观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。
随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。
我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。
高考数学专题复习7.3基本不等式及其应用-模拟练习题(附答案)
7.3基本不等式及其应用基础篇考点基本不等式及其应用1.(2023届安徽示范高中联考二,7)下列几个不等式中,不能取到等号的是()A.√x1√x≥2(x>0)B.|x|+2|x|≥2√2(x≠0)C.-4x −x16≥1(x<0)D.√x2+5√x2+5≥2(x∈R)答案D2.(2021云南曲靖第二中学二模,3)已知a,b,c∈(0,+∞),3a-2b+c=0,则√acb的()A.最大值是√3B.最大值是√33C.最小值是√3D.最小值是√33答案B3.(2021昆明一中模拟,9)函数y=ln x+1lnx的值域为()A.(-∞,-2]B.[2,+∞)C.(-∞,-2]∪[2,+∞)D.[-2,2]答案C4.(2021新疆巴州第二中学模拟,11)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明.如图所示,点F在半圆O上,点C在直径AB 上,且OF⊥AB,设AC=a,BC=b,则该图形可以完成的无字证明为()A.a+b2≥√ab(a>0,b>0)B.a2+b2≥2√ab(a>0,b>0)C.2aba+b≤√ab(a>0,b>0)D.a+b2≤√a2+b22(a>0,b>0)答案D5.(2022陕西省西安中学一模,8)下列结论正确的是()A.当x>0且x≠1时,lg x+1lgx≥2B.x<0时,6+x+4x的最小值是10C.2√x2+45 2D.当x∈(0,π)时,sin x+4sinx的最小值为4答案C6.(2018天津,13,5分)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+18b的最小值为.答案147.(2019江苏,10,5分)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+4x(x>0)上的一个动点,则点P 到直线x+y=0的距离的最小值是.答案 48.(2019天津,13,5分)设x>0,y>0,x+2y=5,则√xy的最小值为.答案4√3综合篇考法利用基本不等式求最值考向一配凑法求最值1.(2022山西怀仁一中二模,6)函数y=3x+43x−1(x>13)的最小值为()A.8B.7C.6D.5 答案D2.(2022江西十七校期中,8)函数f(x)=4x+2x+1+52x+1的值域为()A.[5,+∞)B.[4,+∞)C.(5,+∞)D.(4,+∞)答案B3.(2022南昌八一中学三模,8)已知实数a,b满足aa+1+bb+1=1,且a>2b,则a2+4b2a−2b的最小值为()A.1B.2√2C.4D.4√2答案C4.(2022陕西咸阳模拟,9)已知3a=5b=√15,则下列选项错误的是()A.a+b=2abB.ab>1C.log2a+log2b>0D.(a−12)2+(b−12)2<12答案D5.(2020天津,14,5分)已知a>0,b>0,且ab=1,则12a +12b+8a+b的最小值为.答案 46.(2020江苏,12,5分)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是.答案457.(2023届鄂西北六校期中,15)已知-3<x<0,则f(x)=x√9−x2的最小值为.答案-92考向二常数代换法求最值1.(2023届山西临汾期中,6)已知a>0,b>0,a+1b =2,则4a+b的最小值是()A.72B.4 C.92D.5答案C2.(2022哈尔滨尚志中学月考二,8)若实数x+3y=3(x>1,y>13),则xx−1+3y3y−1的最小值为()A.6B.4C.3D.2答案A3.(2022江西赣州期末,8)已知函数y=a x-1+2(a>0,且a≠1)的图象恒过点A,且点A在直线mx-y+n=0(m>0,n>0)上,则1m +1n+1的最小值为()A.4B.3C.2D.1 答案D4.(2022天津河北一模,14)已知a>0,b>0,且a+b=1,则aa+1+bb+1的最大值为.答案23考向三两次及以上使用基本不等式求最值1.(2021天津,13,5分)若a>0,b>0,则1a +ab2+b的最小值为.答案2√22.(2017天津,12,5分)若a,b∈R,ab>0,则a 4+4b4+1ab的最小值为.答案 4专题综合检测一、选择题1.(2023届安徽蚌埠质检一,2)若a,b∈R且ab≠0,则“ab<1”是“a<b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案D2.(2020浙江,3,4分)若实数x,y满足约束条件{x−3y+1≤0,x+y−3≥0,则z=x+2y的取值范围是()A.(-∞,4]B.[4,+∞)C.[5,+∞)D.(-∞,+∞)答案B3.(2023届皖优联盟阶段测试一,6)下列说法正确的是()A.若a>b,c<0,则a2c<b2cB.若a>b,则a3c2>b3c2C.若a<b<0,则a2>ab>b2D.函数y=2√x2+42√2答案C4.(2023届江西贵溪实验中学月考一,6)已知关于x的不等式mx−1x+3>0的解集为(m,n),则m+n的值为()A.-5B.-103C.-4D.-5或-103答案B5.(2022河南开封模拟,6)一家黄金店铺使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10 g黄金,售货员先将5 g的砝码放在天平左盘中,取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡;再将5 g的砝码放在天平右盘中,再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡;最后将两次称得的黄金交给顾客,若顾客实际购得的黄金为m g,则() A.m>10 B.m=10C.m<10D.以上都有可能答案A6.(2022安徽一模,8)曲线y =2x上存在点(x ,y )满足约束条件{x −y −3≤0,x +y −3≥0,y ≤m,则m 的最小值为( )A.1B.2C.3D.4 答案 B7.(2023届山西晋中平遥二中月考,8)已知a ,b ,c ∈R 且a +b +c =0,a >b >c ,则a 2+c 2ac 的取值范围是( )A.[2,+∞)B.(-∞,-2]C.(−52,−2] D.(2,52] 答案 C8.(2022安徽协作体联考,9)若a >0,b >0,4ab +b -1=0,则a +b 的最小值为 ( )A.34 B.1 C.√17−18 D.√17+18答案 A9.(2022河南商丘模拟,9)若正实数a ,b 满足a >b ,且ln a ·ln b >0,则下列不等式一定成立的是( )A.log a b <0B.a -1b >b −1a C.2ab +1<2a +b D.a b -1<b a -1 答案 D10.(2022陕西咸阳二模,11)若x >0,y >0且x +y =2,则下列结论中正确的是 ( )A.x 2+y 2的最小值是1B.xy 的最大值是14C.2x +1y 的最小值是4√2 D.√x +√y 的最大值是2 答案 D11.(2022兰州西北师大附中期中,11)若关于x 的不等式(ax -1)2<x 2恰有2个整数解,则实数a 的取值范围是( )A.{a|−32<a ≤−43或43<a ≤32} B.{a|−32<a ≤−43或43≤a <32} C.{a|−32≤a <−43或43<a ≤32} D.{a|−32≤a <−43或43≤a <32} 答案 B12.(2022全国甲,12,5分)已知a =3132,b =cos 14,c =4sin 14,则 ( )A.c >b >aB.b >a >cC.a >b >cD.a >c >b 答案 A 二、填空题13.(2017江苏,10,5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x 吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x 的值是 . 答案 3014.(2022江西新余月考,13)设0<m <12,若2m +21−2m ≥k 恒成立,则k 的最大值为 . 答案 6+4√215.(2022豫北名校联盟期中联考,15)在平面直角坐标系xOy 中,已知平面区域A ={(x ,y )|x +y ≤1,且x ≥0,y ≥0},则平面区域B ={(x +y ,x -y )|(x ,y )∈A }的面积为 . 答案 116. (2022河南名校联盟11月月考,16)已知a >0,b ≠0,且a +|b |=3,则9a +b+3|b|的最小值为 . 答案 3+2√3。
高中数学基本不等式训练题(含答案)
高中数学基本不等式训练题(含答案)高中数学基本不等式训练题(含答案)1．若xy＞0，则对 xy＋yx说法正确的是()A．有最大值－2 B．有最小值2C．无最大值和最小值 D．无法确定答案：B2．设x，y满足x＋y＝40且x，y都是正整数，则xy的最大值是()A．400 B．100C．40 D．20答案：A3．已知x2，则当x＝____时，x＋4x有最小值____．答案：2 44．已知f(x)＝12x＋4x.(1)当x＞0时，求f(x)的最小值；(2)当x＜0 时，求f(x)的最大值．解：(1)∵x＞0，12x，4x＞0.12x＋4x212x4x＝83.当且仅当12x＝4x，即x＝3时取最小值83，当x＞0时，f(x)的最小值为83.(2)∵x＜0，－x＞0.则－f(x)＝12－x＋(－4x)212－x－4x＝83，当且仅当12－x＝－4x时，即x＝－3时取等号．A．①② B．②③C．③④ D．①④解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑．①∵a，b(0，＋)，ba，ab(0，＋)，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确；②虽然x，y(0，＋)，但当x(0,1)时，lgx是负数，y(0,1)时，lgy是负数，②的推导过程是错误的；③∵aR，不符合基本不等式的条件，4a＋a24aa＝4是错误的；④由xy＜0得xy，yx均为负数，但在推导过程中将全体xy ＋yx提出负号后，(－xy)均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确．5．已知a＞0，b＞0，则1a＋1b＋2ab的最小值是()A．2 B．22C．4 D．5解析：选C.∵1a＋1b＋2ab2ab＋2ab222＝4.当且仅当a＝bab ＝1时，等号成立，即a＝b＝1时，不等式取得最小值4. 6．已知x、y均为正数，xy＝8x＋2y，则xy有()A．最大值64 B．最大值164C．最小值64 D．最小值164解析：选C.∵x、y均为正数，xy＝8x＋2y28x2y＝8xy，当且仅当8x＝2y时等号成立．xy64.二、填空题7．函数y＝x＋1x＋1(x0)的最小值为________．答案：18．若x＞0，y＞0，且x＋4y＝1，则xy有最________值，其值为________．解析：1＝x＋4y4y＝4xy，xy116.答案：大1169．(2019年高考山东卷)已知x，yR＋，且满足x3＋y4＝1，则xy的最大值为________．解析：∵x＞0，y＞0且1＝x3＋y42xy12，xy3.当且仅当x3＝y4时取等号．答案：3三、解答题10．(1)设x＞－1，求函数y＝x＋4x＋1＋6的最小值；(2)求函数y＝x2＋8x－1(x＞1)的最值．解：(1)∵x＞－1，x＋1＞0.y＝x＋4x＋1＋6＝x＋1＋4x＋1＋52 x＋14x＋1＋5＝9，当且仅当x＋1＝4x＋1，即x＝1时，取等号．x＝1时，函数的最小值是9.(2)y＝x2＋8x－1＝x2－1＋9x－1＝(x＋1)＋9x－1＝(x－1)＋9x－1＋2.∵x＞1，x－1＞0.(x－1)＋9x－1＋22x－19x－1＋2＝8.当且仅当x－1＝9x－1，即x＝4时等号成立，y有最小值8.11．已知a，b，c(0，＋)，且a＋b＋c＝1，求证：(1a－1)(1b －1)(1c－1)8.证明：∵a，b，c(0，＋)，a＋b＋c＝1，1a－1＝1－aa＝b＋ca＝ba＋ca2bca，同理1b－12acb，1c－12abc，以上三个不等式两边分别相乘得(1a－1)(1b－1)(1c－1)8.当且仅当a＝b＝c时取等号．12．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计)．问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低．解：设污水处理池的长为x米，则宽为200x米．总造价f(x)＝400(2x＋2200x)＋100200x＋60200＝800(x＋225x)＋120191600x225x＋12019＝36000(元)当且仅当x＝225x(x＞0)，即x＝15时等号成立．。
高中数学不等式练习题(附答案)
高中数学不等式练习题(附答案) 高中数学不等式练题一．选择题（共16小题）1.若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（）A。
a+log2（a+b）＜2aB。
log2（a+b）＜a+bC。
a+log2（a+b）＜a+bD。
log2（a+b）＜a+b＜2a2.设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（）A。
2x＜3y＜5zB。
5z＜2x＜3yC。
3y＜5z＜2xD。
XXX＜2x＜5z3.若x＋2y＝k，且k＜5，则x＋2y的最大值为（）A。
1B。
3C。
5D。
94.设x＋y＝1，且z＝2x＋y，则z的最小值是（）A。
﹣15B。
﹣9C。
1D。
95.已知x＋2y＝3，且z＝x＋2y，则z的最大值是（）A。
3B。
4C。
5D。
66.设x＋y＝1，且z＝x＋y，则z的最大值为（）A。
1B。
2C。
3D。
47.设x＋y＝2，且x﹣y＜3，则z＝x﹣y的取值范围是（）A。
[﹣3，3]B。
[﹣3，2]C。
[2，3]D。
[3，+∞)8.已知变量x，y满足约束条件x＋y＜1，则z＝x﹣y的最小值为（）A。
﹣3B。
﹣1C。
1D。
39.若变量x，y满足约束条件x＋y＜1，则目标函数z＝﹣2x＋y的最大值为（）A。
1B。
﹣1C。
﹣2D。
﹣310.若a，b∈R，且ab＞0，则a＋b＋2/（1/a+1/b）的最小值是（）A。
1B。
2C。
3D。
411.已知0＜c＜1，a＞b＞1，下列不等式成立的是（）A。
ca＞cbB。
ac＜bcC。
loga c＞logb cD。
logb c＞loga c的最小值是（）12.已知x＞0，y＞0，lg2x＋lg8y＝lg2，则xy的最小值是（）A。
2B。
4C。
8D。
1613.设a＞2，b＞2，且a＋b＝3，则a2＋b2的最小值是（）A。
6B。
8C。
9D。
1014.已知x，y∈R，x2＋y2＋xy＝315，则x2＋y2﹣xy的最小值是（）A。
35B。
105C。
140D。
21015.设正实数x，y满足x＞1，y＞1，不等式（x＋1/y）（y＋1/x）≥XXX成立，则m的最小值为（）A。
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一．选择题
1．已知直线ax+by=1经过点（1，2），则2a+4b的最小值为（）
A．B．2C．4 D．4
2．已知x，y都是正数，且xy=1，则的最小值为（）
A．6 B．5 C．4 D．3
3．若a，b都是正数，则的最小值为（）
A．7 B．8 C．9 D．10
4．下列关于不等式的结论中正确的是（）
A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2
C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则＞
5．若m、n是任意实数，且m＞n，则（）
A．m2＞n2B．C．lg（m﹣n）＞0 D．
6．若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则+的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．12
8．已知不等式的解集为{x|a＜x＜b}，点A（a，b）在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则的最小值为（）A．B．8 C．9 D．12
9．若m+n=1（mn＞0），则+的最小值为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知x+3y=2，则3x+27y的最小值为（）
A． B．4 C． D．6
11．若x＜0，则x+的最大值是（）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
12．已知a，b，c，是正实数，且a+b+c=1，则的最小值为（）
A．3 B．6 C．9 D．12
二．填空题
1．已知正数x，y满足x+y=1，则的最小值为．
2．已知a＞0，b＞0，且a+b=2，则的最小值为．
3．已知x＞1，则函数的最小值为．
4．设2＜x＜5，则函数的最大值是．
5．函数f（x）=1+log a x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣2=0上，其中mn＞0，则的最小值为．
6．已知x＞1，则函数y=2x+的最小值为．
7．已知x+2y=4（x，y∈R+），则的最小值为．
三．解答题
1．设a＞b，b＞0，且a+b=2．
（1）求a•b的最大值；（2）求最小值．
2．已知x＞0，y＞0，且=1，求：
（1）xy的最小值；（2）x+y的最小值．
3．已知a＞0，b＞0，且a+b=2．
（1）求+的最小值及其取得最小值时a，b的值；（2）求证：a2+b2≥2．
4.设0＜x＜，求函数y=4x（3﹣2x）的最大值．
5.（1）已知x＞2，求的最小值；
（2）已知，求y=3x（1﹣2x）的最大值．
6.（1）解不等式：x2﹣3x﹣4≤0
（2）当x＞1时，求x+的最小值．。