第六章 二自由度系统的振动

k2 u1 f1 u f k 2 k3 2 2
二自由度微分方程组特点：
1、形式上与单自由度系统受迫振动微分方程相同。但M，K，C不 是常数，而是矩阵。
2、通常K，C矩阵不是对角阵，说明系统运动是关联的。这种运 动的关联称为耦合，是二自由度区别于单自由度的基本特征
引入坐标变换：
u q
(t ) Ku(t ) 0 代入到：Mu
其中：u为物理坐标，q为模态坐标，Φ为固有振型矩阵。 得到： 两边左乘 T 其中：
T M M q T K Kq
(t ) Kq(t ) 0 Mq
(t ) T Kq(t ) 0 T Mq
def
s2
def
12 k12 2 22 k11 2 m1
定义向量
s1 1 21 1
s2 2 22 1
分别为第一、二阶固有振动的振型，简称固有振型。反映了 二自由度系统作固有振动时的形态。 无阻尼系统的固有频率和固有振型称为系统的固有模态，因 此固有振型向量也称为模态向量。
0 0 Mn
M r rT M r Kr rT K r
第r阶模态质量
第r阶模态刚度 ( r 1n)
由于Mq、Kq是对角阵，所以系统方程已是独立的n个标量 函数qr(t)的微分方程。
r (t ) Kr qr (t ) 0 Mrq (r 1,2,, n)
6.2 无阻尼多自由度系统自由振动
6.2.1 二自由度无阻尼系统固有振动
m 0 M 1 0 m2
微分方程组：
(t ) Ku(t ) 0 Mu
(0) u 0 u(0) u0 , u
u1 k1
u2
k k K 11 12 k21 k22
模态坐标下的质量矩阵
均为对角阵 模态坐标下的刚度矩阵
6.2 无阻尼二自由度系统自由振动
系统方程变成：
M1 0 Mq 0 0 M2 0
(t ) K q q(t ) 0 M qq
K1 0 Kq 0 0 K2 0 0 0 Kn
1 2 n
为固有振型矩阵，为所有模态向量组成。
6.2 无阻尼二自由度系统自由振动
固有振动的初始条件
无阻尼系统的固有振动仅是可能存在的运动形式。要使 系统真正产生固有振动，还应满足一定的运动初始条件。 系统产生第 r 阶固有振动的运动初始条件为：
u(0) r sin r (0) rr cos r u
def
1 u(t ) sin( t ) sin( t ) 2
6.2 无阻尼多自由度系统自由振动
将解的形式代入到方程组得到： sin( t )( K 2 M ) 0
( K 2 M ) 0 要使方程任意时刻成立，必须： k11 m1 2 1 0 为两个未知数的齐 k12 即 2 k k m 21 22 2 2 0 次线性方程组。
6.1.1分别以牛顿定律和拉格朗日方 程为基础导出振动方程
6.1 建立系统微分方程组
矩阵形式：
m 0 1 u1 c1 c2 0 m c 2 2 u 2 c2 u1 k1 k2 c 2 c3 k2 u 2
第六章：二自由度系统的振动
在实际工程中，仅用一个独立坐标常常难以正 确描述系统的运动。本章介绍二自由度系统的动力 学问题。
最简单的多自由度系统是二自由度系统。然而 自由度由一增加到二，会产生质的变化，带来一系 列新的物理概念。而二自由度和三自由度以及更高 自由度的区别，仅仅在数量上和系统的复杂程度上。 因此二自由度系统是本章的重要基础部分。
6.1 建立系统微分方程组
写成矩阵形式：
m 0 1 u1 c1 c2 0 m c 2 2 u 2 c2 u1 k1 k2 c 2 c3 k2 u 2
节点：在系统振动中始终不动的点。
6.2 无阻尼二自由度系统自由振动
二自由度系统的运动解耦 由于二自由度系统的运动微分方程是耦合的，因此 需要把耦合的方程在一个新的坐标空间内解耦。 由于在N自由度无阻尼系统总有N个线性无关的固有 振型φr，因此可以把它作为基底来张成系统运动空
间。
6.2 无阻尼多自由度系统自由振动
r = 1,2
即初始位移的幅值组成的向量和初始速度的幅值组成的向 量都是某阶固有振型，则该振动就是该阶固有振动。
6.2 无阻尼二自由度系统自由振动
6.2.2 二自由度系统自由振动
如果系统不满足产生固有振动的初始条件，则自由振动将 不再是任一阶固有振动。而是这两种固有振动的线性组合。 即
u(t ) 1u1 (t ) 2u2 (t ) 11 sin( 1t 1 ) 22 sin( 2t 2 )
要使方程组有非零解，则它 的系数行列式必须为零，即
k11 m1 2 det k21
2 2
k12 0 2 k22 m2
行列式展开得到：
2 k11 k22 2 k11k22 k12 ( ) ( ) 0 m1 m2 m1m2
可看作是关于ω2的二次方程，解得一对根为：
1 1
k1 m1
u1
k2 m2
u2
k3
1 k1 k2 m1 0 u 0 m u k 2 2 2
固有振型为： 1 1 要求对系统进行解耦。
u1 q1 u 2 q2
其中，常数α1、 α2、θ1、 θ2由初始条件决定。
6.2 无阻尼多自由度系统自由振动
例题: 设如图系统物理参数为： m1=m2=m；k1=k2=k3=k；系统运动 的初始条件为：
1 0 (0) u (0) , u 0 0
u1 k1 m1 k2 m2
m1
k2
m2
k3
由于单自由度无阻尼系统自由振动是简谐振动，所以可以设 想二自由度无阻尼系统也有类似的作简谐振动的自由振动。 由于系统有两个自有度，它们的各自运动未必有相同 的幅值，所以方程解的形式为： 频率、相位相同， 但振幅不同。 1 其中， u(t)为解的二维向量，φ表示振幅的二维向量。 2
对三个以上自由度系统，可以用同样的方法得到微分方程组。 简写为
(t ) Cu (t ) Ku(t ) f (t ) Mu
阻尼 矩阵
加速度向量
质量 矩阵
刚度 矩阵
速度向量 位移向量 激励向量
6.1 建立系统微分方程组
6.1.1分别以牛顿定律和拉格朗日方程为基础导出振动方程
6.1 建立系统微分方程组
2 m1k22 m2k11 1 m1k22 m2k11 4(k11k22 k12 ) ( ) 2m1m2 2 m1m2 m1m2 2 1, 2
6.2 无阻尼多自由度系统自由振动
将两个根代回到系统的齐次线性方程组得到非零解为： 1 11 2 12 21 22 因此，二自由度无阻尼系统可能产生的振动为：
u r (t ) r sin( r t r ) 1r sin( r t r ) （r =1,2） 2r 每个根对应一种振动
说明，二自由度无阻尼系统的自由振动响应是由两种不同频
率ω1、 ω2的简谐振动的合成。（ ω1 < ω2 ）
分别将ω1和ω2称为系统的第一阶固有频率和第二阶固有频 率，各阶固有频率所对应的振动分别称为系统的第一阶固
u2
k3
确定系统固有振动及自由振动，并作出振型图。
1
1
固有振动
0.5 0 -0.5
0.5 0 -0.5
固有振动
自由振动
-1 0 0.5 1
-1 0 0.5
自由振动
1
1 1 1 1
6.2 无阻尼二自由度系统自由振动
振 型 图：
一阶：
1
1 1
节点
二阶：
1 2 1
k1u1 1 c1u
k2 (u1 u2 ) 1 u 2 ) c2 (u
k2 (u1 u2 )
u2 f2 m2
k3u2 2 c3u
2 (c2 c3 )u 2 c2u 1 k2u1 (k2 k3 )u2 f 2 c (u m2u 2 1 u2 )
6.2 无阻尼多自由度系统自由振动
6.2.1坐标的选择与方程耦合
1 l2
J ml J ml1l2
2 2
k 0 x J ml1l2 x1 1 1 0 0 k x 0 2 J ml1 2 2 x2
线性方程组
特征矩阵
r r2
1r （r =1,2） 2 r
特征值（特征根）
与特征值对应的特征向量
6.2 无阻尼多自由度系统自由振动
将固有频率ω代入系统线性方程，得到系统作第一、二阶
固有振动时两质量块振幅之比，分别为：
k12 s1 11 21 k11 12m1
1 c2u 2 m1u 1 f1 (k1 k2 )u1 k2u2 (c1 c2 )u 1 (c1 c2 )u 1 c2u 2 (k1 k2 )u1 k2u2 f1 m1u
2 c2u 1 m2u 2 f 2 k2u1 (k2 k3 )u2 (c2 c3 )u
6.2 无阻尼二自由度系统自由振动