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在此我们感谢杨运涛的付出！

Unit 1

罗素悖论的提出是基于这样的一个事例：设想有这

样一群理发师，他们只给不给自己理发的人理发。假设

其中一个理发师符合上述的条件，不给自己理发；然而

按照要求，他必须要给自己理发。但是在这个集合中没

有人会给自己理发。（如果这样的话，这个理发师必定是

给别人理发还要给自己理发）

1901 年，伯特兰·罗素悖论的发现打击了他其中的一

个数学家同事。在 19 世纪后期，弗雷格尝试发展一个基

本原理以便数学上能使用符号逻辑。他确立了形式表达

式（如：x =2）和数学特性（如偶数）之间的联系。按照

弗雷格理论的发展，我们能自由的用一个特性去定义更

多更深远的特性。

1903 年，发表在《数学原理》上的罗素悖论从根本上

揭示了弗雷格这种集合系统的局限性。就现在而言，这

种类型的集合系统能很好的用俗称集的结构式来描述。

例如，我们可以用 x 代表整数，通过 n 来表示并且 n 大于3 小于 7，来表示 4，5,6 这样一个集合。这种集合的书写形势就是：x={n：n 是整数，3

3

要求的空间。但是，罗素（和策梅洛一起）发现 x={a：a

不再 a 中}导致一个矛盾，就像对一群理发师的描述一样。

x 它本身是在x 的集合中吗？否定的答案导致了矛盾的出

现。

当罗素发现了悖论，弗雷格立即就发现悖论对他的

理论有致命的打击。尽管这样，他还不能解决这个问题,

并且上世纪有很多的尝试，去解决这个问题（但没有成

功）。

罗素自己对这个悖论的回答促进了类型理论的形

成。他解释说，悖论的问题在于我们混淆了数集和数集

的集合。所以，罗素介绍了对象的分级系统：数、数集、

数集的集合等等。这个系统为形式化数学的形成奠定了

基础，至今它还应用于哲学研究和计算机科学分支。

策梅洛对于罗素悖论的解决方法用新的公理：对于

任意公式 A （x）和任意集合 b，都会有一个集合满足 y={x：x 既在 b 中又满足 A （x）}取代了以前的公理：对于任意公式 A （x），都会有一个集合满足 y={x：x 满足 A （x）}。究竟是什么样的努力使数学逻辑基础得以发展？现

在数学家认识到这个领域可以用所谓的策梅洛-弗兰克

尔集合论来定义。形式化的语言包含符号，例如 e 表示“其中一个数”，=表示等于，□代表集合中没有任何元素。

那么可以写下一个公式 B （x）：如果如果 y e x，而 y 是空4

集。在集的结构式中我们可以这样书写：y={x：x=□}，或

者更简单 y={□}。罗素悖论就成这样：y={x：x 不在 x 中}，

那么 y 是否在 y 中!

Unit2

暗能量是用来命名一种未能给出解释的,与万有引力

的作用相反，以一种极快的速度将各个星系拉开的力

量。

暗能量与反重力有些相似。万有引力在局部的水平

上把事物聚集到一起，然而，暗能量以一种更宏大的规

模把事物拉开。

它的存在并未被证明，但是暗能量是很多科学家在

解释宇宙正在不断加速膨胀时的这一令人费解的观察时

的最佳猜想。专家始终还是不知道是什么在驱动这种力

量，但是对于想更多的了解暗能量的这种需求始终是宇

宙学家的首要任务。

暗能量如何被发现的故事是科学领域由令人惊讶的

预言而演变而来的一个经典案例。

在 20 世纪 90 年代中叶，天文学家开始测算宇宙膨胀

的速度。

因为万有引力使质量集中，大多数的专家希望发现万有

引力能够减慢宇宙气球般膨胀的速度，或者停留在大约

5

相同的速率上。

“这个数据并没有显示出我们所期待的结果。很多人

发出了紧张的笑声”，堪培拉的澳洲国立大学的 Brian Schmidt

说——他独自领导了一个小组在约翰·霍普金斯大学的

天体物理学家 Adam Riess 的帮助下于 1998 年发现了暗能量。这些证据是建立在对明亮的正在爆炸的恒星——被称作

超新星——常被天文学家用于追踪距离的标杆——的测

量的基础上的。

通过往更深层次的观察，科学家能够回顾从前，因为这

些发自超新星的光要数十亿年才能被肉眼看到。

科学家观察了处于不同距离的很多超新星去确定它们到

底正在以多快的速度远离我们。

他们测量出观察对象的红移，或者说是由于多普勒效

应导致它们发出的光发生的改变，多普勒效应是当物体

靠近我们或者远离我们运动时发生波的压缩或膨胀所产

生的一种效应。

一种类比是救护车的汽笛声会改变音高——当它朝

你行驶，然后通过你身边接着朝另一个方向去了的时候

——他的声波首先是压缩的，接着伸长

这些测量给了天文学家一个关于宇宙在不同历史点的膨

胀速度的图景。

研究人员还发现宇宙如今正在以前所未有的速度在膨

6

胀。

“一开始我们不情愿相信我们的结果，”加州大学伯克

利分校的劳伦斯伯克利实验室的天体物理学家 Saul Perlmutter 说，他领导的一个竞争性的小组发现了和 Schmidt