第九章 第5节 多项式的因式分解(5)(精编文档).doc
沪教版(上海)七年级上册数学 第九章 第五节 因式分解(含解析)
第五节 因式分解一、单选题1．（2020·上海浦东新区初一期末）下列各多项式中，能用平方差公式分解因式有是（ ） A ．﹣x 2+16 B ．x 2+9 C ．﹣x 2﹣4 D ．x 2﹣2y【答案】A 【解析】−x 2＋16＝（4＋x ）（4−x ），而B 、C 、D 都不能用平方差公式分解因式，故选：A ． 2．（2020·上海市静安区实验中学初三专题练习）下列各式可以用完全平方公式分解因式的是（ ） A ．296y y -+ B ．2144m m -+C ．2224a ab b -+D ．222x xy y --【答案】A 【解析】A 、22(963)y y y =--+，故A 正确；B 、221142(2)42m m m -+=+，故B 错误； C 、22244(2)a ab b a b -+=-，故C 错误；D 、2222()x xy y x y -+=-，故D 错误； 故选择：A.3．（2020·上海市卢湾中学初一期末）将下列多项式分解因式，结果中不含因式1x -的是（ ） A ．2x x +B ．21x -C ．221x x -+D ．(2)(2)x xx【答案】A 【解析】2(1)x x x x +=+,A 项正确；()()2111x x x -=+-，B 项错误；()22211x x x -+=-，C 项错误；(2)(2)21x xx xx，D 项错误.故答案选A4．（2020·上海闵行初一期末）下列多项式能用公式法分解因式的有（ ）①221x x -- ①214xx -+ ①22a b -- ①22a b -+ ①2244x xy y -+A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】①221x x --不能用公式法因式分解；②原式＝2112x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ①22a b --不能用公式法因式分解； ④原式＝（b -a ）（b+a ）， ⑤原式＝()22x y - 故选：C ．5．（2020·上海杨浦复旦二附中初一月考）下列式子从左到右的变形是因式分解的是① ① A ．①x ①2①①x –2①①x 2①4 B ．.x 2①4①3x ①①x ①2①①x –2①①3x C ．x 2①3x ①4①①x ①4①①x ①1① D ．x 2①2x ①3①①x ①1①2①4 【答案】C【解析】试题分析：A 、是整式的乘法，不是因式分解；B 、右边不是因式的积的形式，不是因式分解；C 、把多项式化成因式的积的形式，是因式分解；D 、右边不是因式的积的形式，不是因式分解．故选C ．6．（2020·湖南邵阳初三一模）把8a 3①8a 2+2a 进行因式分解，结果正确的是（ ① A ．2a ①4a 2①4a +1① B ．8a 2①a ①1① C ．2a ①2a ①1①2 D ．2a ①2a +1①2【答案】C 【解析】 8a 3①8a 2+2a =2a(4a 2①4a+1) =2a(2a①1)2①①①C.7．（2020·广西兴宾初一期中）对多项式2()2a b a b +--进行因式分解的结果是（ ）A ．(22)()a b a b ++B ．2242a ab b a b ++--C ．)()21(2a b a b ++-D ．())21(2a b a b +++【答案】C 【解析】原式=()()()()()()2=212212a b a b b a b a b a a b -+++-=++-⎡⎤⎣⎦+． 故选：C ．8．（2020·甘肃平川区四中初二期末）多项式：①16x 2﹣8x ；②（x ﹣1）2﹣4（x ﹣1）+4；③（x+1）4﹣4x （x+1）2+4x 2；④﹣4x 2﹣1+4x 分解因式后，结果中含有相同因式的是（ ） A ．①和② B ．③和④C ．①和④D ．②和③【答案】C 【解析】①16x 2−8x ＝8x （2x−1）；②（x−1）2−4（x−1）＋4＝（x−1−2）2＝（x−3）2；③（x ＋1）4−4x （x ＋1）2＋4x 2＝[（x ＋1）2−2x]2＝（x 2＋1）2； ④−4x 2−1＋4x ＝−（2x−1）2； ∴结果中含有相同因式的是①和④； 故选：C ．9．（2020·湖南湘潭电机子弟中学初二月考）因式分解x 2+mx ①12①①x +p ①①x +q ），其中m ①p ①q 都为整数，则这样的m 的最大值是（ ） A ．1 B ．4C ．11D ．12【答案】C 【解析】①(x①p)(x①q)= x 2①①p+q①x+pq= x 2①mx①12①p+q=m①pq=-12.①pq=1×①-12①=①-1①×12=①-2①×6=2×①-6①=①-3①×4=3×①-4①=-12①m=-11或11或4或-4或1或-1.∴m的最大值为11.故选C.10．（2020·扬州市江都区第三中学初一期中）已知a①b①c是三角形的三边，那么代数式a2-2ab+b2-c2的值① ①A．大于零B．等于零C．小于零D．不能确定【答案】C【解析】a2-2ab+b2-c2=①a-b①2-c2=①a+c-b①[a-①b+c①]①①a①b①c是三角形的三边．①a+c-b①0①a-①b+c①①0①①a2-2ab+b2-c2①0①故选C①11．（2020·安徽蚌埠初一期末）已知a=2012x+2011①b=2012x+2012①c=2012x+2013，那么a2+b2+c2—ab①bc①ca 的值等于( )A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】a2+b2+c2①ab①bc①ac①a2①ab+b2①bc+c2①ac①a ①a ①b ①+b ①b ①c ①+c ①c ①a ①当a ①2012x +2011①b ①2012x +2012①c ①2012x +2013时①a -b =①1①b ①c =①1①c ①a =2①原式＝（2012x +2011①×①①1①+①2012x +2012①×①①1①+①2012x +2013①×2 ①①2012x ①2011①2012x ①2012+2012x ×2+2013×2 ①3① 故选D①12．（2020·全国初二课时练习）①2017重庆市兼善中学八年级上学期联考①在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解法”产生的密码方便记忆，如：对于多项式44x y -，因式分解的结果是()()()22x y x y x y -++，若取9x =① 9y =时，则各个因式的值为()0x y -=① ()18x y +=①()22162xy +=，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式32x xy -，取20x①10y =时，用上述方法产生的密码不可能．．．是（ ① A ．201030 B ．201010C ．301020D ．203010【答案】B 【解析】x 3-xy 2=x①x 2-y 2①=x①x+y①①x -y①① 当x=20①y=10时，x=20①x+y=30①x -y=10① 组成密码的数字应包括20①30①10① 所以组成的密码不可能是201010① 故选B①二、填空题13．（2020·温州市南浦实验中学初三二模）因式分解：249m -=________．【答案】()()2323m m +- 【解析】249m -=()()2323m m +-．故答案为：()()2323m m +-14．（2020·广东高州初二期末）如果2x Ax B ++因式分解的结果为()()35x x -+，则A B +=_______． 【答案】-13 【解析】()()22=531521535x x x x x x x ++--+--=∴A=2，B=-15 ∴A+B=-13 故答案为：-13．15．（2020·东北师大附中明珠学校初三其他）把多项式因式分解22a b ab b -+的结果是__________．【答案】2(1)b a -【解析】()()2222211a b ab b b a a b a -+=-+=-．故答案为: ()21b a -．16．（2020·上海市静安区实验中学初三专题练习）分解因式：3244a a a -+=__________．【答案】2(2)a a -； 【解析】3244a a a -+=a(a 2-4a+4)=a(a -2)2.故答案是：a(a -2)2.17．（2020·陕西西安初二期末）多项式2ax a -与多项式2242x x -+的公因式分别是______.【答案】x-1 【解析】多项式2ax a -＝a (x ＋1)(x －1) 2x 2－4x ＋2＝2(x －1)2所以两个多项式的公因式是x －118．（2020·山东东明初三一模）已知a ﹣b ＝5，ab ＝1，则a 2b ﹣ab 2的值为_____． 【答案】5 【解析】∵a ﹣b ＝5，ab ＝1,∴a 2b ﹣ab 2＝ab （a ﹣b ）＝5×1＝5; 故答案为：5．19．（2020·杭州市文澜中学初一期中）若多项式429n n k ++可化为()2a b +的形式，则单项式k 可以是__________．【答案】36n 或36n -或814或636n①当4n 和29n 作为平方项，k 作为乘积项，则多项式429n n k ++可化为：()223±n n ，即42224329(3)69++=±=±+n n k n n n n n ，∴36=±k n ；②当4n 和k 作为平方项，29n 作为乘积项，则多项式429n n k ++可化为：(22+n，即4222429(++=+=++nn k n n k ，∴229=n ，解得：814=k ； ③当29n 和k 作为平方项，4n 作为乘积项，则多项式429n n k ++可化为：(23n ，即42229(39++=+=++nn k n n k ，∴4=n ，解得：636=n k ；故答案为：36n 或36n -或814或636n ．20．（2020·全国初一课时练习）通过计算几何图形的面积，可表示一些代数恒等式，如图所示，我们可以得到恒等式：2232a ab b ++=______．【答案】()()2a b a b ++．由面积可得：()()22a 3ab 2b a 2b a b ++=++．故答案为()()a 2b a b ++．21．（2020·黑龙江龙凤初一期末）2222111111......112319992000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=_______． 【答案】20014000【解析】2222111111......112319992000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=111111111111......111122331999199920002000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+-+ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=1341998200019992001 (223319991999200022000)⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=1200122000⨯=2001400022．（2020·全国初一课时练习）若a, b, c 满足2223331,2,3a b c a b c a b c ++=++=++=，则444a b c ++=________【答案】146【解析】因为1,a b c ++=所以()21a b c ++= ，即22221ab c ab ac bc因为2222a b c ++=所以12ab ac bc =-++ 因为()()2222a b c a b c++++=所以3332ab c ab abbc b c ac a c因为3331,3a b c a b c ++=++=所以31112ab c bc a ac b即332abbaacabc13322abc16abc因为()()3333a b c a b c++++=即4442222223ab c ab a b ac a c bc b c4442222223a b c ab c ac b bc a 44423a b c abbcacabc abc4441136a b c444146a b c故答案为：146三、解答题23．（2020·江苏高港初一期中）因式分解 ①-2x 2+8；②3222x x y xy -+；③222(4)16x x +-．【答案】①()()222x x -+-；②2()x x y -；③22(2)(2)x x +-【解析】 分析：①首先提取公因式2-，再利用平方差公式进行二次分解； ②首先提取公因式x ，再利用完全平方公式进行二次分解； ③先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式进行二次分解． ①228x -+()224x =--()()222x x =-+-；②3222x x y xy -+22(2)x x xy y =-+ 2()x x y =-；③222(4)16x x +-22(44)(44)x x x x =+++- 22(2)(2)x x =+-．24．（2020·江苏射阳初一期中）因式分解 （1）2126ab c ab -（2）269a a -+- （3）2464x -【答案】（1）()621ab bc -；（2）()23a --；（3）()()444x x +-【解析】 分析：（1）直接提取公因式即可求解； （2）根据完全平方公式即可求解； （3）先提取4,再根据平方差公式即可求解．()1解：原式()621ab bc =- ()2解：原式()269a a =--+()23a =--()3解：原式()2416x =-=4(x+4)(x -4)．25．（2020·山东定陶初一期末）分解因式（1）2425x - （2）22363ax axy ay -+（3）()()222ma m a -+- （4）()()251101a a ---【答案】（1）()()2525x x +-；（2）()23-a x y ；（3）()()21m a m -- ；（4）()()511a a -+ 【解析】 分析：（1）原式根据平方差公式分解；（2）原式先提取公因式，再利用完全平方公式分解； （3）原式利用提公因式法分解； （4）原式利用提公因式法分解． 解：（1）2425x -=()()2525x x +-；（2）22363ax axy ay -+=()2232a x xy y-+=()23-a x y ； （3）()()222ma m a -+-=()()222ma m a ---=()()21m a m --；（4）()()251101a a --- =()()251101a a -+-=()()5112a a --+ =()()511a a -+．26．（2020·广西江州初一期中）已知x -y=-2，xy=12，求代数式x 3y -2x 2 y 2+xy 3的值. 【答案】xy （x -y ）2，2 【解析】 分析：首先根据x -y=2，xy=12，应用完全平方公式，求出（x -y ）2的值是多少；然后根据因式分解的方法，求出x 3y -2x 2 y 2+xy 3的值是多少即可． 解：∵x -y=-2，xy=12， ∴（x -y ）2=（-2）2=4， ∴x 3y -2x 2 y 2+xy 3 =xy （x 2-2xy +y 2） = xy （x -y ）2 =12×4 =227．（2020·广西来宾初一期末）已知矩形的长为a ，宽为b ，它的周长为24，面积为32．求22a b ab +的值． 【答案】384 【解析】解：由题意可得：2()24a b +=，32ab =，则12a b +=，故22()a b ab ab a b +=+ 3212=⨯384=．28．（2020·全国初二课时练习）已知下列单项式：①4m 2，②9b 2a ，③6a 2b ，④4n 2，⑤-4n 2，⑥-12ab ，⑦-8mn ，⑧a 3．请在以上单项式中选取三个．．组成一个能够先用提公因式法，再用公式法因式分解的多项式并将这个多项式分解因式． 【答案】见解析 【解析】 4m 2+4n 2-8mn =4（m 2+n 2-2mn ） =4（m -n ）229．（2020·全国初二课时练习）某同学碰到这么一道题“分解因式x 2+2x ﹣3”，不会做，去问老师，老师说：“能否变成平方差的形式？在原式加上1，再减去1，这样原式化为（x 2+2x+1）﹣4，…”，老师话没讲完，此同学就恍然大悟，他马上就做好了此题．请你仔细领会该同学的做法，将a 2﹣2ab ﹣3b 2分解因式． 【答案】（a+b ）（a ﹣3b ） 【解析】 分析：根据老师所说的话，可知需要利用平方差公式，故仿照x 2+2x ﹣3的分解方法，应该凑个完全平方，然后再整体利用平方差公式分解，最后将括号内的同类项合并即可．解：a2﹣2ab﹣3b2＝a2﹣2ab+b2﹣4b2＝（a﹣b）2﹣4b2＝（a﹣b+2b）（a﹣b﹣2b）＝（a+b）（a﹣3b）．30．（2020·全国初二课时练习）请仔细阅读下面某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程，然后回答问题：解：令x2﹣4x+2＝y，则：原式＝y（y+4）+4（第一步）＝y2+4y+4（第二步）＝（y+2）2（第三步）＝（x2﹣4x+4）2（第四步）（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的；A．提取公因式B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）另外一名同学发现第四步因式分解的结果不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果；（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．【答案】（1）C；（2）（x﹣2）4；（3）（x﹣1）4【解析】分析：（1）根据完全平方公式即可求解；（2）根据完全平方公式即可求解；（3）设x2﹣2x＝y，根据因式分解的方法即可求解．解：（1）运用了C，两数和的完全平方公式；故答案为：C；（2）x2﹣4x+4还可以分解，分解不彻底；（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4．故答案为：（x﹣2）4．（3）设x2﹣2x＝y．（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1，＝y（y+2）+1，＝y2+2y+1，＝（y+1）2，＝（x2﹣2x+1）2，＝（x﹣1）4．31．（2020·江苏相城初一期末）如图1示．用两块a×b型长方形和a×a型、b×b型正方形硬纸片拼成一个新的正方形．（1）用两种不同的方法计算图1中正方形的面积；（2）如图2示，用若干块a×b型长方形和a×a型、b×b型正方形硬纸片拼成一个新的长方形，试由图形推出2a2+3ab+b2因式分解的结果；（3）请你用拼图等方法推出3a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图．【答案】（1）222a ab b ++；（a +b ）2 （2）()()2a b a b ++ （3）见解析 【解析】 分析：（1）从整体和部分两个方面进行计算即可； （2）根据计算图2面积的不同计算方法可得答案；（3）利用图形面积法，可以拼成长为（3a +2b ），宽为（a +b ）的长方形． 解：（1）从整体上看，图1是边长（a +b ）的正方形，其面积为（a +b ）2， 各个部分的面积之和：a 2+2ab +b 2；（2）根据计算图2面积的不同计算方法可得，2a 2+3ab +b 2＝（a +b ）（2a +b ）； （3）3a 2+5ab +2b 2＝（a +b ）（3a +2b ），32．（2020·常德市淮阳中学初一期中）观察下列式子的因式分解做法： ①x 2-1=(x -1)(x+1)； ①x 3﹣1 =x 3﹣x+x ﹣1 =x （x 2﹣1）+x ﹣1=x（x﹣1）（x+1）+（x﹣1）=（x﹣1）[x（x+1）+1]=（x﹣1）（x2+x+1）；①x4﹣1=x4﹣x+x﹣1=x（x3﹣1）+x﹣1=x（x﹣1）（x2+x+1）+（x﹣1）=（x﹣1）[x（x2+x+1）+1]=（x﹣1）（x3+x2+x+1）；…（1）模仿以上做法，尝试对x5﹣1进行因式分解；（2）观察以上结果，猜想x n﹣1= ；（n为正整数，直接写结果，不用验证）（3）根据以上结论，试求45+44+43+42+4+1的值．【答案】（1）（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）（2）（x﹣1）（x n﹣1+x n﹣2+…+x2+x+1）（3）6431【解析】分析：（1）类比上面的作法，逐步提取公因式分解因式即可；（2）由分解的规律直接得出答案即可；（3）把式子乘4﹣1，再把计算结果乘13即可．解：（1）x5﹣1=x5﹣x+x﹣1=x（x4﹣1）+x﹣1=x（x﹣1）（x3+x2+x+1）+（x﹣1）=（x﹣1）[x（x3+x2+x+1）+1]=（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）；（2）x n﹣1=x n﹣x+x﹣1=x（x n-1﹣1）+x﹣1=x（x﹣1）（x n-2+x n-3+…+x+1）+（x﹣1）=（x﹣1）[x（x n-2+x n-3+…+x+1）+1]=（x﹣1）（x n﹣1+x n﹣2+…+x2+x+1）；（3）45+44+43+42+4+1=13×（4﹣1）（45+44+43+42+4+1）=13×（46﹣1）=6431．。
多项式的因式分解
多项式的因式分解在分式运算，解方程会和各种恒等变换中，都要经常用到因式分解，因而，因式分解是一项重要的基本技能训练。
定义：1、不可约多项式（既约多项式）因式分解2、高代已证明的几个结论：高等代数虽然以从理论上讨论了有关因式分解的相关结论，但并未提供一个确定的普遍适用的方法。
事实上，因式分解必须根据所给多项式的结构特点采用相应的具体方法在初中代数里介绍了①提公因式法②公式法③分组分解法④十字相乘法一、因式分解的一般方法例1、322-+44a c a bc ab c222(44)(2)ac a ab b ac a b =-+=-例2222944a b bc c-+-229(2)(32)(32)a b c a b c a b c =--=+--+常用的六个乘法公式2223323333223()()333x y x y x y x y z x y z xyz x x y xy y -=±=-=++=++-=±+±=二、待定系数法分解因式例32232576x xy y x y +++++222232()(2)()(2)32()(2)522736x xy y x y x y x y m x y n x xy y m n x m n y m n m n m m n n m n ++=++∴=++++=++++++++=⎧=⎧⎪+=∴⎨⎨=⎩⎪=⎩∴= 令原式比较系数得:原式（x+y+2)(x+2y+3)例4、已知：2223614x xy y x y p--+-+能分解成两个一项式之积，求常数P并分解因式。
解22222223()(3)23()(3)65314152361455)(31) x xy y x y x yx xy y m n x n m y m nm n mn m nm n p px xy y x y x y x y --=+-=--+++-++==⎧⎧⎪⎪-=-=⎨⎨⎪⎪==⎩⎩∴--+-+=++-+令原式=（x+y+m)(x-3y+n)比较系数得解得（三、用因式定理和综合除法分解因式（1）因式定理：对于多项式()f x。
《多项式的因式分解——用完全平方公式因式分解》的课件
牛刀小试：
1.填空：
(1)a2+6a+9=a2+2·_a_·_3_+_3_2=_(_a_+_3_)_2 (2)a2+_4_a_b_+4b2=a2+2·a__2·b _(_2+b_)__(_a2+=_2_b_)___2 (3)9a2+_6_a_b_+_b_2=(3__a+b)2 (4)a2-8a+1_6_=(a-_4_)2
=(2+b+c)2
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课堂小结：
这节课你学到了什么？
课堂作业：
课本P87 习题9.5的第5、6两题
拓展题： 1.若多项式x2-(k-1)x+16是完全平方式,求k值. 2.已知(a+b)2=7,(a-b)2=3.求a2+b2、ab的值. 3.已知x2+y2+2x-6y+10=0,求x+y.
可(1以)多用项完式全的平项方数公是式多因少式？分解的多项式的特点： ((12))三两项个；平方项的符号相同吗？第三项的符号呢？ ((23))两第个三平项方与项两的个符平号方相项同的，底第数三是项什符么号关可系正？可负； (3)第三项等于两个平方项底数的积的两倍。
分解的结果：
两个平方项底数的和(或差)的平方
2.下列各式中，哪些能用完全平方公式因式分解？ 哪些不能？
(1)m2+mn+n2; × (2)x2-2xy-y2; × (3)x4-4x2+4y2; × (4)4a2-20a+25; √ (5)x2+8x+4; × (6)36a2+12ab+b2.√
例题解析：
多项式的因式分解
多项式的因式分解
1多项式的因式分解
多项式的因式分解是数学的一种运算方法，可以用来将一个多项式分解为有关联的因式的乘积，从而方便进行运算。
这种运算方法是数学奥秘，令人深思。
因式分解是数学计算里常见的一种运算，不但要求学生学会考试，也是相当重要的一种运算方法。
多项式的因式分解，它是把一个多项式拆分成由单个项组成的乘积形式。
比如，如果有一个多项式是2x^3-4x^2+6，那么它可以被分解成2x^2(x-2)+6的形式。
主要由称为因式的单个项组成的乘积得到的，其中，每个因式只包含一个变量。
多项式因式分解前，应先了解多项式是什么？它是由多个多项式项组成的，每个项都可以看成是一个常量除以变量的一次幂函数的乘积形式；也就是说，3x^2+2y+1就是3x^2的乘积，2y的乘积，以及1的乘积形式。
多项式的因式分解要求先获取多项式的系数，比如多项式2x^3-4x^2+6，它的系数分别是2，-4，和6，然后根据这些系数去分解多项式，把它分解成多个因式的乘积的形式，2x^3-4x^2+6可以这样分解：2x^2(x-2)+6。
多项式因式分解是数学计算当中一种技巧性的操作，但同时又是非常重要的，因它可以帮助我们理解多项式究竟是什么，而且它也是定积分，微积分和微机操作当中很多技巧的关键。
总之，多项式的因式分解既是一门学问，也是一门技巧，是数学计算必不可少的重要内容。
学会使用多项式的因式分解，能够帮助我们更方便的进行计算，也是便于理解的的重要技巧和数学的一部分。
多项式的因式分解
多项式的因式分解多项式是代数学中非常重要的概念，因为它们能够帮助我们简化复杂的数学问题。
因式分解是将一个多项式表示为多个因子乘积的过程。
在本文中，我们将深入探讨多项式的因式分解方法和技巧。
一、一次多项式的因式分解一次多项式是一个次数为1的多项式，它可以表示为ax + b的形式，其中a和b是任意实数。
一次多项式的因式分解非常简单，我们只需要将它的因式写在一起即可。
例如，2x + 4可以分解为2(x + 2)。
二、二次多项式的因式分解二次多项式是一个次数为2的多项式，它可以表示为ax^2 + bx + c的形式，其中a、b和c是任意实数。
我们可以使用多种方法来分解二次多项式。
方法一：公式法对于一般的二次多项式ax^2 + bx + c，我们可以使用二次方程的解法来找到因子。
根据求根公式，我们有下面的公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)这个公式可以帮助我们找到二次多项式的根。
一旦我们找到了根，我们可以使用因式定理来进行因式分解。
例如，对于多项式x^2 - 5x + 6，我们可以使用因式定理得到以下因式分解：x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)方法二：配方法对于一般的二次多项式ax^2 + bx + c，我们可以使用配方法来进行因式分解。
配方法的思想是将二次多项式转化为两个一次多项式的乘积。
具体步骤如下：1. 将二次多项式写成完全平方的形式，即将二次项的系数一半并且平方，如将ax^2 + bx + c写成a(x + b/2a)^2 +（c - b^2/4a）。
2. 化简完全平方形式的二次多项式。
3. 通过因式定理将完全平方形式的二次多项式分解为两个一次多项式的乘积。
方法三：公式法和配方法的结合在一些特殊情况下，我们可以同时使用公式法和配方法来进行因式分解。
这种方法通常适用于二次多项式的系数较为复杂的情况。
我们可以先使用公式法求得一个因子，然后再使用配方法对剩余部分进行分解。
第五节因式分解定理
如果 f (x) 还有另一个分解式 f (x) = q1(x) q2(x) … qt(x) , 其中 qi(x) ( i = 1 , 2 , … , t ) 都是不可约多项式, 于是 f (x) = p1(x) p2(x) … ps(x) = q1(x) q2(x) … qt(x) . (1) 我们对 s 作归纳法. 当 s = 1 ， f (x) 是不可约 多项式，由定义必有 s=t=1, 且 f (x) = p1(x) = q1(x) .
外就没有了. 反过来，具有这个性质的次数 1 的 多项式一定是不可约的. 由此可知，不可约多项式 p(x) 与任一多项式 f (x) 之间只可能有两种关系，或 者 p(x) | f (x) 或者 ( p(x) , f (x) ) = 1 . 事实上，如果 ( p(x) , f (x) ) = d(x) ，那么 d(x) 或者是 1 或者是 cp(x) (c 0) . 当 d(x) = cp(x) 时，就有 p(x) | f (x) . 不可约多项式有下述的重要性质.
2. 性质
定理 5 如果 p(x) 是不可约多项式，那么对于
任意的两个多项式 f (x) , g(x) ，由 p(x) | f (x) g(x) 一 定推出 p(x) | f (x) 或者 p(x) | g(x) .
证明 如果 p(x) | f (x) ，那么结论已经成立.
如果 p(x) | f (x) ，那么由以上的说明可知 ( p(x) , f (x) ) = 1 . 于是由 即得 p(x) | g(x) .
(2) , (3) , (4) 合起来就是所要证的结论.
证毕
应该指出，因式分解定理虽然在理论上有其基 本重要性，但是它并没有给出一个具体的分解多项 式的方法. 实际上，对于一般的情形，普遍可行的 分解多项式的方法是不存在的. 在多项式 f (x) 的分解中，可以把每一个不可约 因式的首项系数提出来，使它们成为首项系数为 1 的多项式，再把相同的不可约因式合并. 于是 f (x) 的分解式为
最新苏科版数学七年级下册 9.5 多项式的因式分解课件
1、下列多项式是否可以用平方差公式因式分解？
(1) 4x2-y
(2) 4x2-(-y)2
(3) -4x2-y2
(4) -4x2+y2
(5) (a+3)2-4
(6) a2-b+32
(1)不可以，其中没有两个平方项；
(2)可以，
(3)不可以，其中两个平方项的符号相同；
(4)可以，
(5)可以，
(6)不可以，其中有三个项。
提公因式法
方
法
步骤：一找公因式；二提公因式
注意点：1.公因式要找准；
2.不要漏项，尤其是因数1；
3.首项有“-”提负号，要注意变号。
其它方法（未完待续…
）
9.5多项式的因式分解（2）
——平方差公式
苏科版七年级下册 数学
1.计算：① (x-5)(x+5)
=
② (2x-y)(2x+y)
=
③ (-2a+3b)(2a+3b)=
公式中的a和b
表示多项式
★平方差公式中字母a、b可以表示单项式，
也可以表示多项式。
把多项式49(a-b)2-16(a+b)2因式分解.
解：49(a-b)2-16(a+b)2
=[7(a-b)]2-[4(a+b)]2
=[7(a-b)+4(a+b)][7(a-b)-4(a+b)]
=(7a-7b+4a+4b) (7a-7b-4a-4b)
.
找出下列多项式各项的式：ab
(2)
3x2－6x3
公因式：3x2
(3)
9abc－6a2b2＋12abc2 公因式：3ab
七年级数学下册 9.5 多项式的因式分解课件 (新版)苏科版
9.5 多项式的因式分解(yīn shì fēn jiě)（4） 例2 把下列(xiàliè)各式分解 因式． （1）a4－16； （2）81x4－72x2y2＋16y4．
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9.5 多项式的因式分解(yīn shì fēn jiě)（4）
例3 分解(fēnjiě)因式： （1）（a2＋b2）2－4a2b2； （2）（x2－2x）2＋2（x2－2x）＋1．
完全平方公式：
a2±2ab＋b2＝（a±b）2
说明：
公式中a、b可以是具体的数，也可以是任意的
单项式和多项式.
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9.5 多项式的因式分解(yīn shì fēn jiě)（4）
例1 把下列(xiàliè)各式分解 因式． （1）18a2－50； （2）2x2y－8xy＋8y； （3）a2（x－y）－b2（x－y） ．
用公式法来分解因式，你编的三项式是
，分解因
式的结果是
.
2．选做题：
（1）已知2x＋y＝b，x－3y＝1，
求14y（x－3y）2－4（3y－x）3的值．
（2）已知a＋b＝5，ab＝3，
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初中 七年级（下册） (chūzhōn
g)数学
9.5 多项式的因式分解(yīn shì fēn jiě)（4）
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9.5 多项式的因式分解(yīn shì fēn jiě)（4）
【情境(qíngjìng)一】 ab ＋
ac
＋
ad
＝
a
因 提公因 （b＋c＋d）
式 式法
单项式 乘多项 式
整 式
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9.5 多项式的因式分解(yīn shì fēn jiě)（4 ）
多项式的因式分解
多项式的因式分解在数学的广袤天地中，多项式的因式分解就像是一把神奇的钥匙，能够帮助我们打开解决许多问题的大门。
那么，什么是多项式的因式分解呢？简单来说，就是把一个多项式表示成几个整式乘积的形式。
让我们从最基本的单项式开始说起。
单项式就像是数学世界里的“独行侠”，它由数字和字母的积组成。
比如 3x 、－5y²等。
而多项式呢，则是由几个单项式相加组成的。
比如 2x ＋ 3y 、 4x² 5x ＋ 6 等。
为什么要进行多项式的因式分解呢？这就好比我们在整理房间时，把杂乱的东西分类整理好，会让我们更清楚地看到事物的本质和规律。
在数学中，通过因式分解，我们可以简化计算、求解方程、证明等式等等。
比如说，在计算时，如果我们能先对多项式进行因式分解，往往可以让计算变得更加简便。
举个例子，如果要计算（x ＋ 3)（x 3) ，我们可以先将其看作是两个多项式的乘积，然后利用平方差公式 a² b²＝（a ＋ b)（a b) ，就可以很容易地得出结果为 x² 9 。
再比如，在求解方程 x² 4x ＝ 0 时，我们可以先把方程左边的多项式 x² 4x 进行因式分解，得到 x(x 4) ＝ 0 。
那么要使这个等式成立，要么 x ＝ 0 ，要么 x 4 ＝ 0 ，即 x ＝ 4 。
这样，我们就轻松地求出了方程的解。
接下来，让我们看看常见的因式分解方法。
首先是提公因式法。
这就像是从一堆水果中先把相同的水果挑出来。
比如对于多项式 6x ＋ 9 ，我们可以发现 6 和 9 都有公因数 3 ，将其提出来就得到 3(2x ＋ 3) 。
然后是公式法。
这就像是我们手中已经有了一些固定的“模板”，只要多项式符合这些“模板”，就可以直接进行因式分解。
比如平方差公式 a² b²＝（a ＋ b)（a b) ，完全平方公式（a ± b)²＝ a² ± 2ab ＋ b²。
多项式的因式分解
多项式的因式分解多项式是数学中常见的一种表达式形式，它由各种代数符号组成，可以包含常数、变量和各种运算符号。
在代数学中，因式分解是将多项式表示为更简洁形式的一种方法。
在本文中，我们将探讨多项式的因式分解原理和方法。
一、多项式的基本概念首先，我们需要了解多项式的基本概念。
一个多项式由若干项组成，每一项包括一个系数和一个幂指数的乘积。
例如，下面就是一个多项式的示例：P(x) = 3x^2 + 2x - 1在这个多项式中，3、2和-1是系数，x^2、x和1是幂指数的乘积。
二、因式分解的原理因式分解是将多项式表示为若干个乘积的形式，每个乘积是一个因式。
通过因式分解，我们可以揭示多项式的结构和性质，使得求解多项式的根变得更加容易。
基本的因式分解原理可以总结为以下几点：1. 公因式提取：如果多项式的每一项都有一个公共的因子，那么可以将这个公因式提取出来，得到一个乘积形式。
例如，对于多项式P(x) = 3x^2 + 6x，我们可以发现每一项都可以被3和x整除，因此可以进行公因式提取，得到P(x) = 3x(x + 2)。
2. 平方差公式：平方差公式是一种特殊的因式分解形式，它可以将一个平方差表示为两个因式的乘积。
平方差公式的表达式为a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)。
例如，对于多项式P(x) = x^2 - 4，我们可以使用平方差公式进行因式分解，得到P(x) = (x + 2)(x - 2)。
3. 二次因式分解：对于二次多项式，可以使用配方法或求根公式将其进行因式分解。
例如，对于多项式P(x)=x^2+5x+6，我们可以使用配方法或求根公式得到因式分解形式P(x) = (x + 2)(x + 3)。
三、因式分解的方法基于上述的因式分解原理，我们可以总结出多种因式分解的方法。
下面我们介绍几种常见的方法：1. 公因式提取法：通过找出多项式的公共因子，将其提取出来得到一个乘积形式。
例如，对于多项式P(x) = 4x^3 + 8x^2，可以发现每一项都能被4x 整除，因此可以进行公因式提取，得到P(x) = 4x(x^2 + 2)。
9-5多项式的因式分解(第3课时)(课件)-七年级数学下册同步精品课件(苏科版)
例题讲解
例2.把下列各式分解因式.
(3)6xy-x2-9y2
变号
解：原式＝-(x2-6xy+9y2) ＝-[x2-2∙x∙3y+(3y)2] ＝-(x-3y)2
----先提负号 ----再写成完全平方式的形式 ----最后分解
新知巩固
练一练：
3.把下列各式分解因式:
(2) －a2－10a－25
第九章 · 整式乘法与因式分解
9.5 多项式的因式分解
第3课时 用完全平方公式分解因式
学习目标
1．进一步理解完全平方公式的形式和特征，会 运用完全平方公式分解因式；
2．通过对比乘法公式和公式法因式分解的联系， 进一步发展逆向思维．
知识回顾 我们已经学过哪些分解因式的方法？
提公因式法： ab+ac+ad = a (b+c+d) 平方差公式法：a2－b2 = (a+b)(a－b)
(1)a2－18a+81
(2)4a2+9b2+12ab
加法交换律
解：原式＝a2－2·a·9＋92 ＝(a－9)2
原式＝4a2+12ab+9b2 ＝(2a)2+2·2a·3b＋(3b)2 ＝(2a+3b)2
例题讲解
例2.把下列各式分解因式. (1)25a4+10a2＋1
整体思想
解：原式＝(5a2)2+2·5a2·1＋12 ----先写成完全平方式的形式
a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2
(x)2
(5)2
+2(x)(5) (x+5)2
多项式的因式分解
多项式的因式分解多项式是代数学中一个重要的概念，它是由不同项多个数的乘积组成的代数表达式。
在代数运算中，我们常常需要对多项式进行因式分解，以便更好地进行计算和理解。
一、什么是因式分解因式分解是将一个多项式表示成若干个乘积的形式。
它相当于将一个复杂的代数表达式简化为简单的乘积形式。
因式分解的目的是找出多项式的因子，将其展开为乘积形式，使得我们可以更方便地进行计算。
因式分解在数学中有着广泛的应用，不仅能够帮助我们解决问题，还能够揭示多项式的性质和规律。
二、多项式的因式分解方法下面我们将介绍几种常见的多项式因式分解的方法。
1. 公因式提取法公因式提取法是最常见的一种因式分解方法。
它适用于多项式中存在公因子的情况。
具体步骤如下：（1）将多项式的各项按照公因式进行分组；（2）提取出每组中的公因式，并将其放到括号外面；（3）将每一组中提取出的公因式与其余部分相乘。
例如，对于多项式3x^2 + 6x，我们可以按照公因式3x进行分组，然后进行公因式提取。
即可写为3x(x + 2)。
2. 平方差公式和差方和公式平方差公式和差方和公式是因式分解中常用的方法之一。
当多项式具有较特殊的形式时，我们可以利用这两个公式进行因式分解。
具体形式如下：（1）平方差公式：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)（2）差方和公式：a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab通过运用这两个公式，我们可以将一些特殊形式的多项式进行因式分解。
例如，对于多项式x^2 - 4，我们可以使用平方差公式将其因式分解为(x + 2)(x - 2)。
3. 三项式的因式分解当多项式包含三个项时，我们可以通过试除法来进行因式分解。
试除法的具体步骤如下：（1）将多项式中最高次项的系数约去；（2）找出多项式中可能的因子，并依次进行试除；（3）如果试除得到的余式为0，则找到了一个因子，可以将其提取出来作为一项；（4）重复上述步骤，直到多项式不能再进一步因式分解为止。
多项式的因式分解
多项式的因式分解在数学的广阔天地中，多项式的因式分解就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们解开许多复杂问题的谜团。
它不仅是代数学习中的重要内容，更是解决实际问题的有力工具。
首先，咱们来聊聊什么是多项式的因式分解。
简单说，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。
比如说，对于多项式 x² 4，我们可以将其分解为（x ＋ 2)（x 2)，这就是一个典型的因式分解。
那为什么要进行因式分解呢？这可有着不少的好处。
一方面，它能让我们更清晰地看到多项式的结构和特点，从而更好地理解和处理相关的数学问题。
另一方面，在解方程的时候，因式分解往往能起到事半功倍的效果。
比如，当我们遇到方程（x ＋ 2)（x 2) ＝ 0 时，很容易就能得出 x ＝－2 或者 x ＝ 2 这两个解。
接下来，咱们看看常见的因式分解方法。
提公因式法是最基础也最常用的一种方法。
如果多项式的各项有公因式，那就把这个公因式提出来。
比如多项式 6x ＋ 9，公因式是 3，分解后就是 3(2x ＋ 3)。
公式法也很重要。
这里面包括平方差公式 a² b²＝（a ＋ b)（a b)，和完全平方公式（a ± b)²＝ a² ± 2ab ＋ b²。
就像前面提到的 x² 4 ，用平方差公式就能轻松分解。
分组分解法在处理一些复杂的多项式时非常有用。
我们把多项式的项进行合理分组，然后再分别进行因式分解。
比如对于多项式 ax ＋ ay ＋ bx ＋ by ，可以先将前两项和后两项分别分组，得到 a(x ＋ y) ＋ b(x ＋ y) ，然后再提公因式（x ＋ y) ，最终分解为（a ＋ b)（x ＋ y) 。
十字相乘法对于二次三项式的分解特别有效。
以 x²＋ 5x ＋ 6 为例，我们要找到两个数，它们的和是 5，积是 6，这两个数就是 2 和 3 ，所以分解结果就是（x ＋ 2)（x ＋ 3) 。
多项式的因式分解5多项式的因式分解
9.5多项式的因式分解一、教学目标1.进一步熟悉提公因式法、平方差公式、完全平方公式分解因式^2.学生能根据不同题目的特点选择较合理的分解因式的方法^3.知道因式分解的方法步骤：有公因式先提公因式，以及因式分解最终结果的要求：必须分解到多项式的每个因式不能再分解为止^4.通过综合运用提公因式法、运用公式法分解因式，使学生具有基本的因式分解能力二、教学重点、难点知道因式分解的步骤和因式分解的结果的要求，能综合运用提公因式法，运用公式法分解因式.学情分析：1、学生可以单独运用几种方法进行因式分解，5、容易混淆公式，对公式运用的还不够熟练。
6、易将因式分解和乘法计算相混淆。
7、畏难情绪较大。
三、教具、学具投影仪，条件较好的用实物投影仪或多媒体演示四、教学过程(一)设置情境把下列各式因式分解1、4x2-8x2y32、9x2-6x+13、4x2-25y2(二)整理知识结构图贽公因式法：关键是确定公因式因式分解《运用公式法f平方差公式：a2-b2=(a+b)(a—b)〔完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2I(三)探索综合使用提公因式法、运用公式法分解因式的方法步骤：1.先提取公因式后利用公式例1把下列各式分解因式(1)18a2—50(2)2x2y—8xy+8y(3)a2(x—y)—b2(x—y)2、练习：练一练1.3、例2把下列各式分解因式(1)a 4-16(2)81x 4-72x 2y 2+16y 44、练习：练一练2.(四)、小结学生通过例题的学习及练习自己总结在综合运用提公因式法和运用公式法分解因式时 要注意的问题和解题步骤，(1)如果多项式各项有公因式，应先提公因式，再进一步分解^(2)分解因式必须分解到每个多项式的因式都不能再分解为止^(3)因式分解的结果必须是几个整式的积的形式^即：“一提”、“二套”、“三查”特别强调“三查”，检查多项式的每一个因式是否还能继 续分解因式，还可以用整式乘法检查因式分解的结果是否正确^(五)当堂检测1、辨析分解因式a 4-8a 2+16a 4-8a 2+16=(a 2—4)2=(a+2)2(a —2)2=(a 2+2a+4)(a2-2a+4)这种解法对吗？如果不对，指出错误原因.说明：本题考查学生因式分解与整式乘法的意义，头路” 2 .选择题：多项式①16x5-x ②(x-1)2-4(x —1)+4 1+4x 分解因式后，结果含有相同因式的是()A 、①②B 、③④C 、①④D3.填空:请写出一个三项式，使它能先提公因式，再运用公式法来分解因式，你编的三项式 是,分解因式的结果是.本题设计说明：学生不仅要学会课本上的例题和习题，而且要懂得借助课本内容的思想 方法去编拟习题，这是创新教育的一种表现形式^4.把下列各式分解因式(1)3ax 2—3ay 4(2)—2xy —x 2—y 2(3)3ax 2+6axy+3ay 2错因是混淆了二者的区别，走了“回 ③(x+1)4—4x(x+1)2+4x 2④一4x 2— 、②③(4)x4—81(5)(x2—2y)2-(1—2y)2 (6)x4—2x2+1(7)x4—8x2y2+16y4六、作业：补充习题。
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多项式的因式分解（5）——分组分解
一、选择题：
1．下列多项式中，不能用分组分解法继续分解的是
【】
A．5x＋mx＋5y＋my B．5x＋mx＋3y＋my C．5x－mx＋5y－my D．5x－mx＋10y－2my
2. 分解因式后结果是（a＋2）（b－3）的是
【】
A．－6＋2b－3a＋ab B．－6－2b＋3a＋ab C．ab－3b＋2a－6 D．ab－2a＋3b－6
3. a2＋ab－ac－bc分解因式的结果为
【】
A．（a－b）（a－c）B．（a－b）（a＋c）C．（a＋b）（a－c）
D．（a＋b）（a＋c）
4. 把多项式2ab－a2－b2＋1分解因式，正确的分组方法是
【】
A．1＋（2ab－a2－b2）B．（2ab－b2）－（a2－1）C．（2ab－a2）－（b2－1）D．（2ab＋1）－(a2＋b2) 二、解答题:
5．把下列各式因式分解：
（1）xy－x－y+1 （2）x2－x－9y2－3y(3) 7x2－3y+xy－21x
(4) x2－y2－z2－2yz
（5）x2－6ax－9b2－18ab（6）a2－b2－4a+4b(7) 1－4a2+4ab－b2（8）a2－3a－ab+3b
（9）a2－1+b2－2ab（10）x2－2xy+y2－x+y（11）x2+2xy+y2－4x－4y－4
（12）913222---b b a （13）x 3＋3x 2－4x －12 （14）ax 2－bx 2＋bx
－ax ＋a －b
（15）3266922-+-+-y x y xy x
（16）()165)45(22+++++x x x x
6．已知：43=+y x ，41=-y x ，求22-33y y x x --的值.
7．已知ab b a b a 412222=+++，求a 、b 的值.
四、拓展题：
8．已知：a、b、c为△ABC三边，求证：0
(2
)
4
2<
2
2
2
2
b
a
a
c
-
-
+b
【答案详解】
一、选择题
1．B
解答：根据系数特征可以判断B无法用分组分解法因式分解.
2．A
解答：用多项式乘法法则计算（a＋2）（b－3）=ab+2b－3a－6，故选A. 3．C
解答：分组分解法：原式=（a2＋ab）－（ac+bc）=a（a+b）－c（a+b）=（a+b）(a－c)
4．A
解答：根据平方项的符号特征来进行分组.
二、解答题
原式=2221(44)1(2)(12)(12)a ab b a b a b a b --+=--=+--+
（8）解答：根据系数成比例的特征分组：
解法二：原式=（ ax 2－ax ＋a ）－（bx 2－bx +b ）=a （x 2－x +1）－b （x 2－x +1）=（x 2－x +1）（a －b ）
（15）解答：三、二、一分，部分分解后用十字相乘法：
原式=（9x 2－6xy +y 2）－（6x －2y ）－3=（3x －y ）2－2（3x －y ）－3=（3x －y +1）(3x －y －3)
（16）解答：将（x 2+5x ）看作一个整体，化简后在分解：
原式=（x 2+5x ）2+10（x 2+5x ）+25= （x 2+5x +5）2
6．解答：原式=（x 2－y 2）－(3x +3y )=（x +y （x －y ））－3（x +y ）=（x +y ）（x －y －3） 由已知得：43
=+y x ，41=-y x ，故原式=16
333-4143-=⨯）（ 7．解答：由已知得：04-12222=+++ab b a b a ，
所以0)2-()122222=+++-ab b a ab b a （，
即0)()122=-+-b a ab （，
因为0)(,0)1(22≥-≥-b a ab ，
所以001=-=-b a ab 且，
解之得：1,1==b a 或者1,1-=-=b a
四、拓展题
8．解答：)2)(2(4)(222222222222ab c b a ab c b a b a c b a --++-+=--+ ))()()((c b a c b a c b a c b a --+--+++=
a 、
b 、
c 为△ABC 三边， 所以a 、b 、c 都大于0，且a +b >c ，a +c >b ， b +c >a ， 所以0>++c b a ，0>-+c b a ，0>+-c b a ，0<--c b a ， 故而04)(222222<--+b a c b a .。