高数第十一章(1)对弧长的曲线积分

1 2
(由
组成)
( l 为曲线弧 的长度)
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上 f ( x, y, z ) ( x, y, z ) , 则 (5). 若在


f ( x, y , z ) d s ( x, y , z ) d s

特别的，有



f ( x, y, z ) d s | f ( x, y, z ) | d s.
第十一章 曲线积分与曲面积分
积分学 定积分二重积分三重积分 曲线积分 曲面积分
积分域 区间域 平面域 空间域 曲线域
曲线积分 曲面积分 对弧长的曲线积分
曲面域
对坐标的曲线积分
对面积的曲面积分
对坐标的曲面积分
第一节 对弧长的曲线积分
第十一章
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法
lim
记作
k 1
都存在, 则称此极限为函数
在曲线
上对弧长的曲线积分, 或第一类曲线积分.
称为被积函数， 称为积分弧段 . 曲线形构件的质量 M ( x, y, z ) ds

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Mk sk M k 1

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如果 L 是 xoy 面上的曲线弧 ,则定义对弧长的曲线积
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sin R2
R
o

R x
例6. 计算曲线积分 线
其中为螺旋
的一段弧.
解:

( x 2 y 2 z 2 ) ds
a k
2
2
0
2
[a 2 k 2 t 2 ] d t
2 a 2 k 2 (3a 2 4 2 k 2 ) 3
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8. 设函数
在空间曲线 上连续, 若 关于xoy
上 面对称, 记 1为位于xoy面上方的部分. 在
(1) f ( x , y, z ) f ( x, y, z ), 则


f ( x , y , z ) d s 2 f ( x, y , z ) d s
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一、对弧长的曲线积分的概念与性质
1.引例: 曲线形构件的质量 假设曲线形细长构件在空间所占 弧段为AB , 其线密度为
B
Mk ( k ,k , k ) s k M k 1
为计算此构件的质量, 采用
n
“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
可得
M

A
k 1
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3. 性质 （k 为常数)
(2)
(3)
f ( x, y, z) g ( x, y, z) d s f ( x, y , z ) d s g ( x, y , z ) d s f ( x, y, z) ds f ( x, y, z ) ds f ( x, y, z ) ds
分为
f ( k , k )sk L f ( x, y) ds lim 0 k 1
如果 L 是闭曲线 , 则记为 f ( x, y ) ds . L 思考: (1) 若在 L 上 f (x, y)≡1, 问 d s 表示什么?
L
n
(2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds 0 , 但定积分中 dx 可能为负.

ds

( 2 sin )
2
( 2 sin ) d 2d
2
9 2 I 2 d 18 2 0
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说明：对于第一类曲线积分,仍有三个以下经常使用 的公式:（只对空间曲线进行描述,平面曲线类似） (1)若对于曲线 ,作 x
y 后表示方式不变,则

(6). 若在 上 m f ( x, y, z ) M , 则
m l f ( x, y , z ) d s M l
(7).(第一类曲线积分的中值定理)
在曲线 上连续, l 为 的弧长, 则存在 ( , , ) ,使得


f ( x, y, z ) d s f ( , , ) l
L
x R cos L: y R sin
o
( )
L R x



R 2 sin 2 ( R sin ) 2 ( R cos ) 2 d
3
sin 2 d 2R 4 2 0 R 3 ( sin cos )
推广: 设空间曲线弧的参数方程为

则

: x (t ), y (t ) , z (t ) ( t ) f ( x, y , z ) d s

f ( (t ) , (t ), (t ) ) 2 (t ) 2 (t ) 2 (t ) d t
0 k 1
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因此
说明:
(1) sk 0, t k 0, 因此积分限必须满足 !
(2) 注意到
ds (d x) 2 (d y ) 2 (t ) (t ) d t
因此上述计算公式相当于“换元法”.
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y
2
1
(2) f ( x , y, z ) f ( x, y, z ), 则


f ( x, y , z ) d s 0
当曲线关于 yoz 面对称, 函数关于变量 x 有奇偶性；
或者,曲线关于 zox 面对称, 函数关于变量 y 有奇偶性时,
仍有类似结果.
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利用对称性 , 得
4
)
o
x
4

4
4 a 2 cos
0
r 2 ( ) r 2 ( ) d
0
d
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例4. 计算半径为 R ,中心角为 的圆弧 L 对于它的对 称轴的转动惯量I (设线密度 = 1). 解: 建立坐标系如图, 则
y
I y 2 ds
3 2 R sin
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例5. 有一半圆弧 其线密度 求它对原点处单位质量质点的引力. y ds 解: d Fx k cos ( x, y ) R2
d Fy k
ds
2k 2k sin cos Fx cos d R R 0 0 2k 2k cos sin Fy sin d R 0 R 0 故所求引力为 F 4k , 2k R R
平面曲线的情形： 8＇设函数 在曲线 L 上连续, L关于x 轴对称, 记 L1为L 位于 x 轴上方的部分, 在 L 上
(1) f ( x , y) f ( x, y), 则

L
f ( x , y ) d s 2 f ( x, y ) d s
L1Leabharlann (2) f ( x , y) f ( x, y), 则
2
o
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ds d y dx x x
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如果曲线 L 的方程为
b
则有
f ( x, ( x) ) 1 2 ( x) d x a
如果方程为极坐标形式: L : r r ( ) ( ), 则
f (r ( ) cos , r ( ) sin ) r 2 ( ) r 2 ( ) d
例7. 计算
其中为球面 x 2 y 2
与平面 x z 1 的交线 . z2 9 2
1 ( x 1 ) 2 1 y 2 1 解: : 2 2 4 , 化为参数方程 x z 1 x 2 cos 1 2 0 2 : y 2 sin z1 2 cos 2 则
o
y0 a x
4
注：逐段光滑的曲线求曲线积分时要注意利用性质3.
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例3. 计算
其中L为双纽线
(x2 y2 ) 2 a2 (x2 y2 ) ( a 0 )
解: 在极坐标系下 它在第一象限部分为
y
(0

4 r cos
L1 : r a cos 2
2 (t ) 2 (t ) d t
) 2 ( k ) t k , 2 ( k
lim f [ ( k ) , ( k ) ]
0 k 1
n
n
注意 2 (t ) 2 (t ) 连续
lim f [ ( k ) , ( k ) ]
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2.定义 设 是空间中一条有限长的光滑曲线, 义在 上的一个有界函数, 若通过对 的任意分割 和对 局部的任意取点, 下列“乘积和式极限”
n
( k ,k , k )
f ( x, y , z ) d s f ( k ,k , k )sk 0


f [ (t ) , (t )] 2 (t ) 2 (t ) d t
lim f ( k , k )sk
0 k 1
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*证: 根据定义
n
设各分点对应参数为 点 ( k ,k )对应参数为
s k
则
tk
t k 1
0 0 1
1
y
B(1,1)
y x2 L
1 (1 4x 2 ) 12 1 ( 5 5 1) 12
3
2
1
0
o
1x
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例2. 设 C 是由极坐标系下曲线 r a, 0 及 4 所围区域的边界, 求
y
yx ra

解: 分段积分
ds (d x) 2 (d y ) 2
(3)代入,转化为定积分,注意上限要大于下限.
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例1. 计算
其中 L 是抛物线
上点 O (0,0)
与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解: L : y x 2 ( 0 x 1 )
x x 1 4 x 2 dx



f ( x, y , z ) d s f ( y , x , z ) d s
z (或 y z ) 后表示方式
同样地, 若对于曲线 ,作 x 不变,则仍有类似的结论. (2)作坐标平移或旋转((x, y, z)
(u, v, w)),则


f ( x, y, z ) d s f (u, v, w) d s .

L
f ( x, y ) d s 0
当曲线关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍 有类似结果.
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二、对弧长的曲线积分的计算法
基本思路: 求曲线积分 定理:
转化
计算定积分
是定义在光滑曲线弧 且
上的连续函数, 则曲线积分
L
f ( x, y ) d s
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例8. 计算
其中为球面 所截的圆周.
被平面
解: 由对称性可知
2
x
2
ds y ds z ds
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注意:
(1) 对于第一类曲线积分，应注意函数是定义在
曲线上的，因此其自变量要满足曲线方程式。以
后我们常利用曲线方程式来对被积函数进行变形,
以此来简化计算。 (2) 可以证明,只要函数在曲线上连续,其第一类曲线 积分就存在。（P187 定理）
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说明: 第一类曲线积分计算时应遵循以下步骤
(1)注意利用对称性、曲线方程、性质和形心公式； (2)选取合适的曲线表示形式,抓住弧长微元.
直角坐标系 平面曲线 极坐标系 参数化方程 空间曲线 （参数化方程） d s (d x) (d y) (d z )
2 2 2

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(3)对于一些能知道形心和弧长的特殊曲线 ,可利 用以下形心公式：
x


x ds l
,
y


y ds l
,
z


z ds l
l d s为的弧长
来求曲线积分


x d s , y d s, z d s.

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