初高中数学衔接资料整理教材
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a, a 0.
绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．
两个数的差的绝对值的几何意义： a b 表示在数轴上，数 a 和数b 之间的距
离． 例 1 解不等式： x 1 x 3 ＞4．
解法一：由 x 1 0 ，得 x 1；由 x 3 0，得 x 3 ；
①若 x 1，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ，
= (x2 1)(x4 x2 1)
= x6 1． 解法二：原式=(x 1)(x2 x 1)(x 1)(x2 x 1)
= (x3 1)(x3 1)
= x6 1． 例 2 已知a b c 4 ， ab bc ac 4 ，求 a2 b2 c2 的值．
解： a2 b2 c2 (a b c)2 2(ab bc ac) 8 ．
2 完全平方公式
(a b)2 a2 2ab b2 ．
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
1 立方和公式
(a b)(a2 ab b2 ) a3 b3 ；
2 立方差公式
(a b)(a2 ab b2 ) a3 b3 ；
3 三数和平方公式
(a b c)2 a2 b2 c2 2(ab bc ac) ；
以，不等式
‘
由|AB|＝2，可知 点 P 在点 C(坐标为 0)的左侧、或点 P在点 D(坐标为 4)的右侧．
x＜0，或 x＞4．
练 习1
．填空：
（1）若 x 5，则 x=
；若 x 4 ，则 x=
.
（2）如果 a b 5 ，且 a 1，则 b＝
；若 1 c 2 ，则 c＝
.
２
2．选择题：
（
）
（A） m2
（B） 1 m2
4
３
（C）1 m2
3
（D） 1 m2
16
（ 2 ） 不 论 a ， b 为 何 实 数 ， a2 b2 2a 4b 8 的 值
（
）
（A）总是正数
（B）总是负数
（C）可以是零
（D）可以是正数也可以是负
数
1.1.3．二次根式
1. 一元二次方程 1. 根的判别式
2.1.2 2．2 2.2.1 2.2.2
根与系数的关系（韦达定理） 二次函数
二次函数 y＝ax2＋bx＋c的图像和性质
二次函数的三种表示方式
2.2.3 二次函数的简单应用
3. 方程与不等式
1. 二元二次方程组解法
2.
一元二次不等式解法
3．1 相似形
3.1.1．平行线分线段成比例定理
4.
初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高
中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区 间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本
题型与常用方法。
5. 二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理 ）
在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在 高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却 未安排专门的讲授。 6. 图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对 其 图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须 掌握。 7. 含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高 中 这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。
练 习1
．填空：
（1） 1 a2 1 b2 ( b1 1 a) （
9 4 23
（2）(4m
)2 16m2 4m (
）； )；
（3）(a 2b c)2 a2 4b2 c2 (
)．
2．选择题：
（ 1 ） 若 x2 1 mx k 是 一 个 完 全 平 方 式 ， 则 k 等 于
2
初高中数学衔接教材
现有初高中数学知识存在以下“脱节” 1. 立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。
2. 因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为 “1”
的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许
多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。
3. 二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是 高 中函数、不等式常用的解题技巧。
4 两数和立方公式
(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 ；
5 两数差立方公式
(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 ．
对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．
例 1 计算：(x 1)(x 1)(x2 x 1)(x 2 x 1) ．
解法一：原式= (x2 1) (x2 1)2 x2
即 2x 4 ＞4，解得 x＜0， 又 x＜1，
∴x＜0；
②若1 x 2 ，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ，
即 1＞4，
∴不存在满足条件的 x；
③若 x 3 ，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ，
即 2x 4 ＞4， 解得 x＞4． 又 x≥3，\点 B之间的距离|PB|，即|PB|＝|x－3|． 所
3.1.2 相似形
2. 三角形
1. 三角形的“四心”
2.
几种特殊的三角形
3. 圆
3.3.1 直线与圆，圆与圆的位置关系
１
Βιβλιοθήκη Baidu
3.3.2 点的轨迹
1.1 数与式的运算
1.１.1．绝对值
绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相 反 数，零的绝对值仍是零．即
a, a 0, | a| 0, a 0,
下
列
叙
述
正
确
的
是
（）
（A）若 a b ，则 a b
（B）若 a b ，则 a b
（C）若 a b ，则 a b
（D）若 a b ，则 a b
3．化简：|x－5|－|2x－13|（x＞5）．
1.1.2. 乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
1 平方差公式
(a b)(a b) a 2 b2 ；
8. 几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定 理 ，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。
另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知 识的讲授。
目
录
1. 数与式的运算 1. 绝对值 2. 乘法公式 3.二次根式
1.1.４ 分式
1．2 分解因式
绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．
两个数的差的绝对值的几何意义： a b 表示在数轴上，数 a 和数b 之间的距
离． 例 1 解不等式： x 1 x 3 ＞4．
解法一：由 x 1 0 ，得 x 1；由 x 3 0，得 x 3 ；
①若 x 1，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ，
= (x2 1)(x4 x2 1)
= x6 1． 解法二：原式=(x 1)(x2 x 1)(x 1)(x2 x 1)
= (x3 1)(x3 1)
= x6 1． 例 2 已知a b c 4 ， ab bc ac 4 ，求 a2 b2 c2 的值．
解： a2 b2 c2 (a b c)2 2(ab bc ac) 8 ．
2 完全平方公式
(a b)2 a2 2ab b2 ．
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
1 立方和公式
(a b)(a2 ab b2 ) a3 b3 ；
2 立方差公式
(a b)(a2 ab b2 ) a3 b3 ；
3 三数和平方公式
(a b c)2 a2 b2 c2 2(ab bc ac) ；
以，不等式
‘
由|AB|＝2，可知 点 P 在点 C(坐标为 0)的左侧、或点 P在点 D(坐标为 4)的右侧．
x＜0，或 x＞4．
练 习1
．填空：
（1）若 x 5，则 x=
；若 x 4 ，则 x=
.
（2）如果 a b 5 ，且 a 1，则 b＝
；若 1 c 2 ，则 c＝
.
２
2．选择题：
（
）
（A） m2
（B） 1 m2
4
３
（C）1 m2
3
（D） 1 m2
16
（ 2 ） 不 论 a ， b 为 何 实 数 ， a2 b2 2a 4b 8 的 值
（
）
（A）总是正数
（B）总是负数
（C）可以是零
（D）可以是正数也可以是负
数
1.1.3．二次根式
1. 一元二次方程 1. 根的判别式
2.1.2 2．2 2.2.1 2.2.2
根与系数的关系（韦达定理） 二次函数
二次函数 y＝ax2＋bx＋c的图像和性质
二次函数的三种表示方式
2.2.3 二次函数的简单应用
3. 方程与不等式
1. 二元二次方程组解法
2.
一元二次不等式解法
3．1 相似形
3.1.1．平行线分线段成比例定理
4.
初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高
中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区 间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本
题型与常用方法。
5. 二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理 ）
在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在 高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却 未安排专门的讲授。 6. 图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对 其 图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须 掌握。 7. 含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高 中 这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。
练 习1
．填空：
（1） 1 a2 1 b2 ( b1 1 a) （
9 4 23
（2）(4m
)2 16m2 4m (
）； )；
（3）(a 2b c)2 a2 4b2 c2 (
)．
2．选择题：
（ 1 ） 若 x2 1 mx k 是 一 个 完 全 平 方 式 ， 则 k 等 于
2
初高中数学衔接教材
现有初高中数学知识存在以下“脱节” 1. 立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。
2. 因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为 “1”
的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许
多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。
3. 二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是 高 中函数、不等式常用的解题技巧。
4 两数和立方公式
(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 ；
5 两数差立方公式
(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 ．
对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．
例 1 计算：(x 1)(x 1)(x2 x 1)(x 2 x 1) ．
解法一：原式= (x2 1) (x2 1)2 x2
即 2x 4 ＞4，解得 x＜0， 又 x＜1，
∴x＜0；
②若1 x 2 ，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ，
即 1＞4，
∴不存在满足条件的 x；
③若 x 3 ，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ，
即 2x 4 ＞4， 解得 x＞4． 又 x≥3，\点 B之间的距离|PB|，即|PB|＝|x－3|． 所
3.1.2 相似形
2. 三角形
1. 三角形的“四心”
2.
几种特殊的三角形
3. 圆
3.3.1 直线与圆，圆与圆的位置关系
１
Βιβλιοθήκη Baidu
3.3.2 点的轨迹
1.1 数与式的运算
1.１.1．绝对值
绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相 反 数，零的绝对值仍是零．即
a, a 0, | a| 0, a 0,
下
列
叙
述
正
确
的
是
（）
（A）若 a b ，则 a b
（B）若 a b ，则 a b
（C）若 a b ，则 a b
（D）若 a b ，则 a b
3．化简：|x－5|－|2x－13|（x＞5）．
1.1.2. 乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
1 平方差公式
(a b)(a b) a 2 b2 ；
8. 几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定 理 ，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。
另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知 识的讲授。
目
录
1. 数与式的运算 1. 绝对值 2. 乘法公式 3.二次根式
1.1.４ 分式
1．2 分解因式