(仅供参考)第二讲张量矩阵
张量 向量 矩阵 高阶
张量向量矩阵高阶全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：张量、向量和矩阵是线性代数中重要的概念，它们在数学和物理学中发挥着核心作用。
随着研究的深入，高阶张量的概念也逐渐被引入到了我们的视野中。
本文将从这些概念的基础开始，逐步深入探讨它们的定义、性质以及在现实世界中的应用。
首先我们来介绍一下向量。
在几何学和物理学中，向量是指有大小和方向的量。
向量通常用箭头表示，箭头的长度代表了向量的大小，箭头的方向代表了向量的方向。
向量可以在空间中任意位置起点，但是只要有确定的大小和方向，就称为同一向量。
在数学中，我们通常用坐标表示一个向量，如向量v = (x, y, z)。
向量具有加法和数乘运算，可以进行向量的相加、数乘、内积和外积等运算。
接下来是矩阵。
矩阵是一个按行和列排列的数表，其中的元素可以是实数或者复数。
矩阵可以看作是向量的延伸，是一种用来表示线性关系的数学工具。
矩阵可以进行加法、数乘、矩阵乘法等运算，可以表示线性方程组、转换矩阵等。
矩阵在计算机图形学、量子力学、统计学等领域有广泛的应用。
然后是张量。
张量是描述多维线性关系的数学概念，它将向量和矩阵的概念进行了推广。
张量可以看作是多维数组，可以有任意多个维度和任意多个分量。
张量在相对论、电磁学、连续介质力学等领域有重要的应用，尤其是在描述物质的力学性质方面。
最后是高阶张量。
高阶张量是指具有超过二维的张量，即三维、四维、五维等张量。
高阶张量可以更加复杂地描述物理系统中的线性关系，如弹性体的应力张量、电磁力场的场张量等。
高阶张量的性质和运算更加复杂，但是在解决一些复杂的问题和建立精确的模型时有着重要的作用。
第二篇示例：张量、向量、矩阵是数学中非常重要的概念，它们在各个领域都有着广泛的应用。
在这些基本概念的基础上，我们还可以推广到更高阶的对象，比如高阶张量。
本文将逐步介绍这些概念，并探讨它们在现实生活和科学领域中的应用。
让我们从向量开始讲起。
在数学中，向量是一个有大小和方向的量。
2.1二阶张量的矩阵
二阶张量的转置， 2.1.2 二阶张量的转置， 对称、 对称、反对称张量及其所对应的矩阵
T = T
T
( ) g g = (T )
T i j ij
T j i
g gj = T
i
( )
j
T i j
gi g = T
j
( ) gg
T ij i
j
= T ji g g = T g g j = T gi g = T gi g j
定义
显然
2.1.4
( ) det (T ) = det (T )
T det (T ) = det τ 3
T
二阶张量的代数运算与矩阵的代数运算
（1）张量的相等、相加、标量与张量相乘等代数运算均与 张量的相等、相加、 矩阵运算一一对应。 矩阵运算一一对应。 （2）二阶张量的迹 trT ：
trT = Ti i
张量分析 及连续介质力学
第2章
二 阶 张 量
2.1 二阶张量的矩阵
2.1.1 二阶张量的四种分量所对应的矩阵
三维空间中的二阶张量T 三维空间中的二阶张量
T 11 T12 T13 τ 1 = T21 T22 T23 = Tij T31 T32 T33
[ ]
T 1 T 2 T 3 1 1 1 1 2 3 τ 2 = T 2 T 2 T 2 = T i j T 31 T 32 T 33 T 11 T 12 T 13 τ 4 = T 21 T 22 T 23 = T ij T 31 T 32 T 33
[ ] [ ]
T 11 T 12 T 13 2 2 2 τ 3 = T 1 T 2 T 3 = T i j T 31 T 3 2 T 3 3
[ ]
《张量基础知识》课件
线性变换是指一个向量到另一个向量的映射，保持向量的加法和数乘运算。
3 奇异值分解(SVD)
奇异值分解是将矩阵分解为三个矩阵乘积的形式，被广泛应用于数据降维和信号处理。
总结
1 张量的概述
2 张量的运算和应用
张量是一种多维数组，用于表示和处理多 维数据。
《张量基础知识》PPT课 件
# 张量基础知识
什么是张量？
1 张量的定义
张量是一种多维数组， 用于表示和处理多维数 据。它具有多个轴和形 状，可以存储和计算多 维数据。
2 张量的基本特征
张量具有数据类型、维 度和形状。它可以是标 量、向量、矩阵或更高 维度的数组。
3 张量的分类
张量根据维度和形状的 不同可以分为标量、向 量、矩阵和高阶张量。
2 张量的象性
3 张量的幺模性
张量的象性描述了张量 在基向量变换下的行为。 张量的象性可以用来研 究线性变换和坐标变换。
张量的幺模性表示张量 在坐标变换中的不变性。 幺模张量在物理和拓扑 学中具有重要应用。
张量的相关概念
1 秩(rank)
秩是张量的非零元素的个数。秩为0的张量是标量，秩为1的张量是向量。
张量具有丰富的运算和广泛的应用，涵盖 物理学、数学和机器学习等领域。
3 张量的性质和相关概念的介绍
4 知识点总结
张量具有特定的性质和相关概念，如对称 性、象性和幺模性。
总结张量基础知识的关键概念和要点。
Q&A
1 相关问题解答
回答听众提出的与张量基础知识相关的问题。
2 课程结束
感谢听众参与本次张量基础知识课程， 张量乘法
张量加法是对应位置元素的相加操作。两 个形状相同的张量可以直接相加。
数学张量分析PPT课件
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右散度表示为： diva a
diva a
ei i a je j
ij
a j xi
ai xi
iai
a1 a2 a3 x1 x2 x3
显然 diva diva
今后对于矢量场的左散度和右散度不加区别
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张量的散度
关于二阶张量场 T T的P左散度定义为：
间点的位置。两者由下列坐标变换联系起来：
xi xi xi' i, i ' 1,2,3
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若 xi'是的线性函数，则 x i' 也是一个斜角坐标，而且坐标变换为：
xi
Ai i'
x i'
x i
x i'
xi'
这里
Ai i'
为变换系数，它是常数。
若 x i不是 xi' 的线性函数，则 xi' 称为曲线坐标。
标量的梯度：
标量函数：
f f (r)
则梯度为：
f gradf eii f
展开后有：
原式 1 f e1 2 f e2 3 f e3
f i f j f k x y z
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矢量的梯度： 左梯度
grad a a (i ei )(a j ej ) (eii )(a j e j )
a ai gi ai gi
由 eijk 的定义可知，下列混合积等式成立：
gig jgk gi g j gk gig jgk eijk gig jgk gi g j gk gig jgk eijk
这两个量定义为爱丁顿(Eddington)张量并分别记为 和ijk 。ijk 由此定义可知
第2章 二阶张量
111
222
333
N为正（非负）张量 ⇔ N > (≥)0 i
（2）N非负，存在唯一的非负对称张量M，使 M 2 = N
（3）任意非对称张量可以 构造非负张量：
1 ）X = T ⋅T T，Y = T T ⋅T为非负张量，若T可逆，则X、Y为正张量
2）X 、Y 为对称张量
3）X 、Y 为不同的张量，但有相同的主分量
定理：[T ⋅ u, T ⋅ v, T ⋅ w] = det T [u, v, w]
正则与退化 det T ≠ 0 的二阶张量－正则二阶张量；否则为退化的二阶张量。
（1）T为正则 ⇔ (i = 1, 2, 3) u(i)性无关，则T ⋅ u(i)也线性无关。
（2）正则T是单射的：u ≠ v ⇒ T ⋅ u ≠ T ⋅ v （3）正则T是满射的：∀u所作的线性变换T ⋅ u = v，必存在唯一的
≠
−Ω j、Ω • j
•i
i
≠
−Ω •i）Ω ⋅ u j
=
−u ⋅ Ω
（5）行列式的值：
， ， 定义：det T
=
Ti •j
T ij
= g T•j i
=
Ti •j
g = g 2 T ij
g= G ij
( ) ( ) ( ) 、 TT ij
=T ij
T T ij = T ij 、
T 、 = T T i j
l, m, n均顺序和均逆序的排列有6种，i, j, k同样也有六种，组合共有36种，
除去重复的只有6种，所以要乘1 / 6]
[T ⋅ a, b, c] = [a,T ⋅ b, c] = [a, b,T ⋅ c] = η1(T )[a, b, c]
流体力学 第二讲
5. ε— δ 恒等式 εi jk εimn = δ jm δkn − δ jn δkm 证法一： en × (e j × ek ) = εmpi enp · εi q e j ekq = εmpi δnp · εi q δ j δkq = εmni εi jk = (en · ek )e j − (en · e j )ek = δkn δ jm − δ jn δkm 证法二： em × en = εipq δmp δnq = εimn ek × (em × en ) = ε j i δk εimn = εi jk εimn 例：证明 div(a × b) = b · rota − a · rotb
a的模 a2 = a · a = ai ai = a2 i 3. 置换符号 εi jk 0 εi jk = 1 −1 a × b = εi jk a j bk , a11 det A = a21 a31 a12 a22 a32
i, j, k 中有两个以上指标相同 i, j, k 为偶排列，如 123，231，312 i, j, k 为奇排列，如 132，213，321
∂x ∂q 1 ∂x ∂q 2 ∂x ∂q 3
2
+
∂y ∂q 1 ∂y ∂q 2 ∂y ∂q 3
2
+
∂z ∂q 1 ∂z ∂q 2 ∂z ∂q 3
2
H2 =
2
+
2
+
2
H3 =
2
+
2
+
2
据此可求得柱坐标系、球坐标系的拉梅系数如下 orθz : orθλ : H1 = 1, H2 = r, H3 = 1 H1 = 1, H2 = r, H3 = r sin θ
第2章 张量分析(清华大学张量分析,你值得拥有)
( Nij ij )a j 0 det( Nij ij ) 0
利用指标升降关系 a为非0矢量 利用主不变量
N ( ) 3 J1N 2 J 2 J3N 0
二阶张量的标准形: 张量最简单的形式
非对称二阶张量
•
请研究以下领域的同学关注。 1、应变梯度理论，偶应力理论 2、电流场，电磁流变（有旋场）
x
x
椭圆曲线的坐标变换
正交变换可使椭圆曲线的方程由以下一般形式
ax bxy cy d 0
任意二阶张量将一线性相关的矢量集映射为线性相 关的矢量集：
(i)u(i) 0
i 1
l
l l 0 T (i)u(i) (i)(T u(i)) i 1 i 1
正则与退化的二阶张量
•
3D空间中任意二阶张量T将任意矢量组u，v，w映射 为另一矢量组，满足：
N S
1 p
S S1e1e1 S2e2e2 S3e3e3
Si N i
1 p
几种特殊的二阶张量
正张量的对数
N N1e1e1 N2e2e2 N3e3e3
ln N ln N1 e1e1 ln N2 e2e2 ln N3 e3e3
Nij N ji Ni j Nij Nij N ji N ij N ji
N 1 NT 1
( ) , ( ) , ( ) ,
N T 1 N 2 N T 3 N 3 N T 2 N 4
NT 4
N T ( 4 )
反对称张量与其转置张量分量及二者所对应的矩阵
二阶张量的行列式
(仅供参考)第二讲张量矩阵
p 的分量从旧坐标换成新坐标
pk = Tkl ql
旧坐标系中p、q的关系
ql = a jl q' j q 的分量从新坐标换成旧坐标
那么： p'i = aikTkl a jl q' j
有：
T 'ij = aik a Tjl kl
同理可证： Tij = akialjT 'kl
x'i x' j = aik a jl xk xl xi x j = akialj x'k x'l
3×6
⎤ ⎥
⎢⎢σ ⎢σ
2 3
⎥ ⎥ ⎥
⎥ ⎥⎦
⎢⎢σ ⎢σ ⎣⎢σ
4 5 6
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
或者 Di = diνσν
14
第二讲 晶体物理常数的张量矩阵
二、晶体物理常数的张量性质及其矩阵表示法
例4.
∆bij = γ ijk Ek 矢量(3x1)
对称二阶张量（3x3) 三阶张量(9x3)
∆bij ：相对介电抗渗张量的增量 γ ijk ：电光系数张量
和一个并矢，是一个三阶张量
11 第二讲 晶体物理常数的张量矩阵
二、晶体物理常数的张量性质及其矩阵表示法
简化矩阵表示：
并矢中 E j Ek互换位置不影响结果，后 6 项两两相同
χ11 χ12 χ13 χ14
⎡ P1 ⎤
⎡ χ111 χ122 χ133 χ123
⎢⎢P2
⎥ ⎥
=
εo
⎢⎢ χ 211
χ 222
张量是个物理量，在直角坐标系中用若干分量来 表示；
联系两个矢量的是一个二阶张量，二阶张量有9个
分量，可以表示成3×3的矩阵；
第二章-张量基础
5
例 2. 张量。
ai 和 bi 是两个任意矢量， ij ai b j 是标量。证明 ij 是一个二阶
证：由于 是一个标量，即坐标变换时的不变量，故
ij ai b j ij (ii ai )( jj b j ) ii jjij aib j ij aib j
为一个二阶张量。事实上
(2.21)
Cij Aij Bij ii jj Aij ii jj Bij
ii jj ( Aij Bij ) ii jj Cij
式(2.21)也可以写成 C Cij ei e j A B ( Aij Bij )ei e j 。 张量的线性组合满足加法交换律 A B B A 、结合律
T21e2 e1 T22e 2 e 2 T23e2 e3
T31e3 e1 T32e3 e 2 T33e3 e3
二阶的基张量有 9 个。需要指出的是，若 i j ，则 ei
e j e j ei 。
3
张量的第二种定义 在某一坐标系中，某一个量 T 可表示成 T Ti1i2 in ei1 ei2 ein 的形式， 则就称 T 是一个 n 阶张量。 可以证明，该定义和（2.19）式的定义是等价的：
(c)
Cij ii jj Cij ii jj Aijkl Bkl ii jj k k l l Aijkl Bk l
(b)-(c)得: ( Aijk l ii jj k k l l Aijkl ) Bk l 0 由于 Bk l 是任意的，从上式可得: Aij k l 上式表明， Aijkl 为一个四阶张量。
T Ti1i2 in ei1 ei2 ein Ti1i2 in i1i1 ei1 i2 i2 ei2 in in ein i1i1 i2 i2 in in Ti1i2 in ei1 ei2 ein Ti1i2 in ei1 ei2 ein
第2章 张量分析(6.8)
第2章 张量分析§2.1矢量空间、基、基矢1．线性矢量空间设有n 个矢量,1,2,,i i n =a ，它们构成一个集合R ，其中每个矢量i a 称为R 的一个元素。
如()i j i j +≠a a 唯一地确定R 的另一个元素，及i k a （k 为标量）也给定R 内唯一确定的元素，则称R 为线性（矢量）空间。
R 中的零元素记为O ，且具有i ⋅=O a O .2．空间的维数设i α为m 个标量，若能选取i α，使得10mi ii =α=∑a且i α不合为零，则称此m 个矢量线性相关，否则，称为线性无关。
例1 位于同一平面内的两个矢量1a 和2a （如图）是线性无关的，即11220α+α≠a a 若1α和2α为任意值，且不全为零。
例2 位于同一平面内的三个矢量1a ，2a ，3a 是线性相关的，则恒可找到1α,2α,3α（不全为零）使1122330α+α+α=a a a 如图： 21133''=α+αa a a集合R 内线性无关元素的最大个数称为集合或空间的维数。
设R 的维数为n ，则记为n R ，欧氏空间为3R 。
3．空间的基和基元素n R 中任意n 个线性无关元素的全体称为n R 的一个基。
基的每个元素称为基元素，由于n R 的n 确良基元素是线性无关的。
于是n R 内任一个元素r 可表示成基元素的线性组合。
设(1,2,,)i i n =a 为n R 的任选的基，则有：10ni ii ='α≠∑a，i α'为任意的不全为零的标量但总可选取00≠α及i α不全等于零，使得010ni i i =α=α=∑r a或者2a1a21x2x3xi i x =r e110()nnii i i i i ==α=-=ξα∑∑r a a①i αα,00≠ 不全等于零，所以i ξ不全等于零，且为有限值。
② n R 内有无限个基，但只有一个基是独立的，因为n R 内至少只有n 个元素是线性无关的。
《二阶张量的矩阵》课件
06 二阶张量的实例分析
实例一：弹性力学中的应力张量
弹性力学中的应 力张量定义
应力张量的基本 性质
弹性力学中的应 力张量应用
实例分析：某具 体弹性力学问题 中的应力张量
实例二：流体力学中的应力张量
应力张量的定义与性质 流体力学中的应力张量表示 应力张量在流体力学中的应用 实例分析：某流体力学问题的应力张量分析
电磁学：二阶张量用于描述电磁场 的应力-能量张量
添加标题
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流体力学：二阶张量用于描述流体 的应力场
相对论力学：二阶张量用于描述相 对论力学中的应力-能量张量
在工程中的应用
结构分析：利用二阶张量矩阵对结构进行力学分析，包括应力、应变、刚度等
弹性力学：二阶张量矩阵在弹性力学中的应用，如弹性问题的求解、弹性本构关系的 建立等
注意事项：在计算过程中需要注意各个分量的符号和顺序，以确保结果 的正确性
应用范围：适用于所有类型的二阶张量计算，是一种通用的计算方法
间接计算法
定义：通过已知 的一阶张量计算 二阶张量的方法
计算步骤：先计算 一阶张量的偏导数， 再利用高斯公式计 算二阶张量
适用范围：适用 于具有对称性的 一阶张量
注意事项：需要 保证计算精度和 稳定性
二阶张量的矩阵
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目录 /目录
01
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04
二阶张量的应 用
02
二阶张量的定 义
05
二阶张量的计 算方法
03
二阶张量的矩 阵表示
06
二阶张量的实 例分析
弹塑性力学课件
任晓丹 第二讲：张量分析基础
矩阵的标量函数
aij bij = A : B
张量概述 张量的运算和性质 张量分析初步
矩阵
矩阵的向量函数 y1 = f1 (B) y2 = f2 (B) y3 = f3 (B)
线性函数
∑ 1 y1 = ∑i,j aij bij y2 = i,j a2 bij ∑ ij 3 y3 = i,j aij bij
标量
标量 x, y, x1 , y1 , ...... 标量函数 y = f(x), y1 = g(x1 ), ...... 线性标量函数 (线性变换) f(x1 + x2 ) = f(x1 ) + f(x2 )
线性函数的表示 f(x1 + x2 ) = f(x1 ) + f(x2 ) ⇐⇒ y = ax
张量概述 张量的运算和性质 张量分析初步
Why？
弹塑性力学的三要素：非线性、多维、基础。 张量是适用于多维函数、方程以及微分系统 等的表示工具。 张量的本质是（多维、一般）线性变换。
任晓丹
第二讲：张量分析基础
张量概述 张量的运算和性质 张量分析初步
What？
任晓丹
第二讲：张量分析基础
张量概述 张量的运算和性质 张量分析初步
任晓丹 第二讲：张量分析基础
张量概述 张量的运算和性质 张量分析初步
向量
向量 x = [x1 , x2 , x3 ]T , y = [y1 , y2 , y3 ]T
向量的标量函数 y = f(x) = f(x1 , x2 , x3 )
线性函数 f(x1 + x2 ) = f(x1 ) + f(x2 ) ⇐⇒ y = a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 =
2第02章张量分析(第01讲)
①实体记法： U 3
∑ ②分解式记法：U = u1e1 + u2e2 + u3e3 = uiei
③分量记法 ui
i =1
二阶张量的记法：
2.2 矢量
2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5
矢量代数 标量积 矢量积 三重积 标量场和矢量场
2.2.1 矢量代数
矢量既有大小又有方向，在坐标系中通 常用箭头表示。
哈密顿算子
式中
∇=(∂ , ∂ , ∂ )
∂x ∂y ∂z
拉普拉斯算子
Δ = ∇⋅∇ = ∂2 + ∂2 + ∂2
∂x2 ∂y2 ∂z2
• 矢量的散度：
∇ ⋅V = ∂v1 + ∂v2 + ∂v3 ∂x ∂y ∂z
• 矢量的旋度：
e1
e2
∇ ×V = curlV = ∂ / ∂x ∂ / ∂y
v1
U ×V = −(V ×U ) U × (V ×W) ≠ (U ×V) ×W • 一个矢量与其自身的矢量积为零矢量。
• 应用：力F作用于位置矢量为r的点A，则力 F绕原点的力矩为：
M =r×F
2.2.4 三重积
• 三重标量积：
u1 u2 u3 U ⋅ (V ×W) = v1 v2 v3 = (U ×V) ⋅W
∂f ∂l
= lim
ρ →0
f ( x + Δx, y + Δy, z + Δz) − ρ
f ( x, y, z) ,
（ 其中 ρ = (Δx)2 + (Δy)2 + (Δz)2 ）
设方向 L 的方向角为α , β , γ .
当函数在此点可微时，那么函数在该点沿任意方
(仅供参考)张量分析提纲及部分习题答案
第一章 矢量和张量1.1 矢量及其代数运算公式（1） 试给矢量下个定义；（2） （1.1.13）Schwartz 不等式，即三角不等式。
在某空间中，定义了距离，则两边之和大于第三边。
（3） 试证明（1.1.22）；并回顾矩阵理论中，如C AB =，则()()()det det det C A B =的证明方法；1.2 斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量（4） 矢量的数学表示方法：基矢量及分量；为使用方便，如算内积，引入对偶的逆变基矢量及相应分量。
（5） 1ijij g g -⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦（1.2.23b ）；指标升降关系（1.2.29）。
1.3 曲线坐标系（6） 自然基矢量（1.3.8），一般称协变基。
（7） （1.2.11）；逆变基矢量是坐标面的梯度。
（8） 坐标i x 一般是不存在的。
例：()123I II x x x y x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，则()()32I II I x x y x x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，()12223II II IIx xx x ∂⎧==-⎪⎪∂⎨∂⎪==⎪∂⎩r g i j r g j ， ()()()()221112112421222214669I II I I I II II I III I II I II I II II I II II dx g dx g dx x dx x x dx Pdx Q dx dx g dx g dx x x dx x dx P dx Q dx ⎧⎡⎤=+=+-=+⎪⎢⎥⎣⎦⎨⎪=+=-+=+⎩。
当i iII IP Q x x ∂∂=∂∂时，坐标(),I II x x 才可能存在。
即向量场(),P Q 无旋时，其在两点间的路径积分与路径无关，积出的值就是坐标。
本例中，i iII I P Q x x∂∂≠∂∂，故相应的“协变坐标”不存在。
（正因为如此，坐标也没有逆变、协变之说。
）（9） 有点类似曲面第一基本型（1.3.12）。
张量与矩阵的n模积证明
张量与矩阵的n模积证明【原创实用版】目录1.张量与矩阵的概念简介2.张量与矩阵的 n 模积定义3.张量与矩阵的 n 模积证明方法4.结论与意义正文1.张量与矩阵的概念简介在数学中，张量和矩阵是线性代数的重要概念。
张量是多维数组的推广，可以用来表示空间中的物理量，如速度、加速度等。
矩阵则是一种特殊的张量，具有特定的排列方式，广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。
2.张量与矩阵的 n 模积定义在张量分析中，一个重要的运算是张量的 n 模积。
给定一个 n 阶张量 A 和一个 n 阶矩阵 B，它们的 n 模积定义为：A *B = A × B^T其中，A × B^T 表示矩阵乘法，B^T 表示矩阵 B 的转置。
3.张量与矩阵的 n 模积证明方法为了证明张量与矩阵的 n 模积，我们需要引入一些相关的概念和定理。
首先，张量的 n 模积满足结合律，即：A * (B * C) = (A * B) * C此外，张量的 n 模积还满足分配律，即：A * (B + C) = A * B + A * C接下来，我们通过坐标运算来证明张量与矩阵的 n 模积。
假设张量 A 的坐标表示为 a_ij，矩阵 B 的坐标表示为 b_ij，那么张量与矩阵的 n 模积可以表示为：A *B = a_ij * b_ik * δ_kj其中，δ_kj 是克罗内克（Kronecker）符号，当 k=j 时，δ_kj=1，否则为 0。
通过坐标运算，我们可以得出张量与矩阵的 n 模积的具体形式。
接下来，我们需要证明这种运算具有封闭性，即张量与矩阵的 n 模积仍然是一个张量。
为了证明这一点，我们需要证明张量与矩阵的 n 模积满足张量运算的封闭性。
具体来说，我们需要证明：A *B *C = (A * B) * C通过一系列的坐标运算，我们可以得出：A *B *C = a_ij * b_ik * c_jl * δ_km * δ_ln= (a_il * b_mk * c_jl) * δ_km * δ_ln= (A * C) * (B * C)因此，张量与矩阵的 n 模积满足封闭性，证明了张量与矩阵的 n 模积仍然是一个张量。
M-矩阵(张量)最小特征值估计及其相关问题研究
M-矩阵(张量)最小特征值估计及其相关问题研究1.引言M-矩阵(张量)最小特征值估计及其相关问题是数值线性代数和数值计算中的重要研究方向。
M-矩阵是一类特殊的稀疏矩阵，具有广泛的应用背景，如有限元方法、图像处理、机器学习等。
M-矩阵的最小特征值估计是求解线性方程组和特征值问题中的关键步骤，对于提高算法效率、减少计算量具有重要意义。
2.M-矩阵及其性质2.1 M-矩阵定义M-矩阵是指一类具有特殊形式的稀疏实对称正定矩阵。
对于一个n×n的实对称正定矩阵A，如果存在一个正实数p，使得A中每个元素a_ij(i≠j)满足|a_ij|≤p*min(a_ii,a_jj)，则称A为一个M-matrix。
2.2 M-矩阵性质M-矩阵具有许多重要性质。
首先，M-矩阵的主对角元素都是非负的，即a_ii≥0，对于所有的i。
其次，M-矩阵的非主对角元素满足a_ij≤0，对于所有的i≠j。
第三，M-矩阵是正定的，即对于所有的x≠0，x^T A x>0。
最后，M-矩阵是可被分解的，即存在正定矩阵D和上三角矩阵U，使得A=D-U。
3.M-矩阵最小特征值估计方法3.1幂迭代法幂迭代法是最简单且最常用的M-矩阵最小特征值估计方法之一。
它的基本思想是通过迭代得到一个向量序列，使得向量序列的极限向量为M-矩阵的最小特征值对应的特征向量。
幂迭代法通过不断迭代计算A与一个初始向量之间的乘积，使得初始向量逐渐趋近于M-矩阵A的最小特征值对应的特征向量。
3.2反幂迭代法反幂迭代法是一种用于估计M-矩阵逆矩阵最大特征值的方法，通过将幂迭代法应用于矩阵的逆来实现。
反幂迭代法的基本思想是通过迭代计算矩阵逆与一个初始向量之间的乘积，使得初始向量逐渐趋近于M-矩阵逆矩阵的最大特征值对应的特征向量。
3.3 Rayleigh商迭代法Rayleigh商迭代法是一种基于Rayleigh商的特征值估计方法。
Rayleigh商是一个用于估计对称矩阵特征值和特征向量近似值的重要工具。
第2章-张量分析(清华大学张量分析-你值得拥有)PPT课件
• 负整数次幂
G T 0 T 1(1) T 1 T 1 T T 1
T 2 T 1 T 1
T m T 1 T 1 T 1 T 1
几种特殊的二阶张量
➢ 正张量：N>0的对称二阶张量
uN u 0
➢ 非负张量：N≥0的对称二阶张量 u N u 0
对称二阶张量总可以化为：
N N1e1e1 N2e2e2 N3e3e3
能量密度。而大变形情况会出现高度非线性，则不能 用加法分解，而要用乘法分解。
• 最简单的坐标变换
y y
x cos sin x
y
sin
cos
y
x
• 椭圆曲线的坐标变换
x
正交变换可使椭圆曲线的方程由以下一般形式
ax2 bxy cy2 d 0
变换为最简形式，即两主轴坐标系下形式。
x a
2
y b
2
1
几种特殊的二阶张量
➢ 正交张量Q
• 正交张量的定义和性质
可证： Q e3 e3
Q e1 cos e1 sin e2 Q e2 cos e2 sin e1
e1, e2 整体绕轴向旋转一个角度
几种特殊的二阶张量
• 正交张量对应的正交变换的特性
① 保内积性质 ② 保长度性质 ③ 保角度性质
(Q u) (Q v) u v
(Q u) (Q u) u u
l i
Tii
J2
1 2!
T T ij l
lm i
m j
1 2
(TiiTll
TliTil )
J3
1 3!
T T ijk l
lmn i
Tm n
j k
det(T )
【南航研究生课程】[张量分析]第 2 章 二阶张量
![【南航研究生课程】[张量分析]第 2 章 二阶张量](https://img.taocdn.com/s3/m/d4503a0aa216147917112883.png)
第2章 二阶张量研究定义在空间一个固定点（张量的元素是实常数，i g 也是常数）上的二阶张量随坐标系转动的不同形式，不涉及与另一个张量的关系，也不涉及张量运动。
2.1 二阶张量与矩阵的对应分量同一坐标系：j i ijj i i ij ij i j i ij T T T T g g g g g g g g T ====∙∙ 另一坐标系：j i j i j i i i j i j i j i j i T T T T ''''''''∙'''∙'''''====g g g g g g g g● 对应不同坐标的分量不同：,,,jj i i iji j iji j i i jj T T T T T T T T ''''∙∙''''∙∙≠≠≠≠● 对应不同并矢的分也不同：iji i j i ij T T T T ≠≠≠∙∙● 指标满足升降：mm mniji mj im iim nj T T g g T g T g ∙∙===转置()()()()jiijTTijTiTjTj i i j ijijTT TT ∙∙====T g g g g g g g gi jj ii j jiji ij ji i j T T T T ∙∙====g g g g g g g g 分量指标互换 jijii jijij i j ii j i T T T T ∙∙====g g g g g g g g 并矢指标交换一般情况混变分量的转置≠系数矩阵的转置对称 T=N Nji ij N N =、ji ij N N =、i j i j N N ∙∙=、j i j i N N ∙∙=N u u N ⋅=⋅反对称 T=-ΩΩij ji ΩΩ=-、ijjiΩΩ=-、i i jjΩΩ∙∙=-、jj i iΩΩ∙∙=-，Ωu u Ω⋅-=⋅行列式的值 定义：i jT∙=T det ， iji jjiij T g g T T g T 2===∙∙， ij g G =ji ij T T =、jiijTT =、jj iiT T ∙∙=、i iT tr ∙=T ，()i iiiS T tr ∙∙+=+S T ，()S T S T ⋅⋅=⋅tr ，():Ttr ⋅=T ST S二阶张量与矢量的点积—矢量线性变换=⋅w T u ， ii jjw T u ∙=⋅，⋅≠⋅T u u T2.2 正则与退化的二阶张量定理：任意二阶张量将一个线性相关的矢量集映射为线性相关的矢量集 【设矢量集()i u 线性相关，则存在不全为零的实数()i α使：1()()I i i i α==∑u 0,()11()()()()I Ii i i i i i αα===⋅=⋅∑∑0T u T u , 所以()i ⋅T u 也线性相关】定理：[][],,det ,,⋅⋅⋅=T u T v T w T u v w[det T 为两个平行六面体的体积比，三维空间中3个矢量是否线性相关取决与它们的混合积是否为零] 正则与退化det 0≠T 正则二阶张量；否则为退化的二阶张量(1) T 为正则⇔()i u (i =1,2,3) 性无关，则()i ⋅T u 也线性无关。
弹塑性力学课件
任晓丹
第二讲：张量分析基础
张量概述 张量的运算和性质 张量分析初步
I admire the elegance of your method of computation; it must be nice to ride through these fields upon the horse of true mathematics while the like of us have to make our way laboriously on foot. Albert Einstein
可以证明坐标转换矩阵具有正交性：βik βjk = βki βkj = δij 。
任晓丹 第二讲：张量分析基础
张量概述 张量的运算和性质 张量分析初步
坐标变换
将向量看作 1 阶张量
u∗ j = ui βij
2 阶张量 T 的坐标分量满足 T∗ ij = βik βjl Tkl n 阶张量 R 满足下述坐标转换方程 R∗ i1 ······in = βi1 j1 · · · · · · βin jn Rj1 ······jn 而上述方程，在很多教科书中当作 n 阶张量的定义。
张量概述 张量的运算和性质 张量分析初步
Why？
弹塑性力学的三要素：非线性、多维、基础。 张量是适用于多维函数、方程以及微分系统 等的表示工具。 张量的本质是（多维、一般）线性变换。
任晓丹
第二讲：张量分析基础
张量概述 张量的运算和性质 张量分析初步
What？
任晓丹
第二讲：张量分析基础
张量概述 张量的运算和性质 张量分析初步
任晓丹 第二讲：张量分析基础
张量概述 张量的运算和性质 张量分析初步
张量的并乘（张量积）
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7 第二讲 晶体物理常数的张量矩阵
二、晶体物理常数的张量性质及其矩阵表示法
例1. P 和 E 的关系
在各向同性介质中， P 和 E 同向
E
P = εoχE
P
线性关系， χ：比例常数，极化率或极化系数
在各向异性介质中，P 和 E 一般不同向
若 P = P1i + P2 j + P3k E = E1i + E2 j + E3k
第二讲 晶体物理常数的张量矩阵
晶体结构及其对称性（简介） 晶体物理常数的张量性质及其矩
阵表示法 张量元素的坐标变换及其简化
研究晶体物理性质的数学工具
（习题1.1）
1
晶体结构：
一、晶体结构及其对称性（简介）
晶体：原子按一定规则周期性重复排列
点阵：重复排列的原子用“点”表示
晶胞：周期重复的最小基本（结构）单位
二、晶体物理常数的张量性质及其矩阵表示法
分量表达式
Pi = ε o χijk E j Ek
i, j, k = 1, 2, 3 j, k 从 1-3求和
• 两个相同或不相同的矢量并列，EE ，不是相
乘，也不是点积，这两个矢量分别经过χ(2)与 P
发生关系，称作“并矢”；
• 极化系数χ(2)有 3 × 9 = 27个分量，联系一个向量
一、晶体结构及其对称性（简介）
对晶体实行某种适当的操作，晶体保持不变
恒等操作（E）：绕任何轴旋转0或2π 角度 n次旋转（Cn）：绕某轴转n次后回到原位
如：某晶体，绕某周转120°后与原来重合，可转三 次，该轴称为3次旋转轴，n=3， n可取1，2，3，4，6
中心反演（I）：绕某个中心点，把坐标为r的
α = β = 90o γ = 120o
三斜
a≠b≠c
α ≠β ≠γ
布喇菲点阵
第二讲 晶体物理常数的张量矩阵
立方
a=b=c
α = β = γ = 90o
正交（斜方）
a≠b≠c
α = β = γ = 90o
正方
a=b≠c
α = β = γ = 90o
单斜
a≠b≠c
α = γ = 90o ≠ β
3
晶体的对称性：
简化表示法 分量表示法
P = εoχE Pi = ε o χij E j
P1 = εo (χ11E1 + χ12E2 + χ13E3 ) P2 = εo (χ21E1 + χ22E2 + χ23E3 ) P3 = εo (χ31E1 + χ32E2 + χ33E3 )
i （自由脚标）= 1，2，3； j （哑脚标）= 1，2，3
哑脚标表示对它的全部可能值求和，但省去求和号不写
9 第二讲 晶体物理常数的张量矩阵
二、晶体物理常数的张量性质及其矩阵表示法
例2. 强光情况下P和E的关系
( ) P = εo χ (1) E + χ (2) EE + χ (3) EEE + LL
其中第二项
P1 = χ 111 E1 E1 + χ 122 E 2 E 2 + χ 133 E 3 E 3 + χ 123 E 2 E 3 + χ 132 E 3 E 2
5 第二讲 晶体物理常数的张量矩阵
晶体结构及其对称性（简介） 晶体物理常数的张量性质及其矩
阵表示法 张量元素的坐标变换及其简化
6 第二讲 晶体物理常数的张量矩阵
物理量
二、晶体物理常数的张量性质及其矩阵表示法
标量：温度（T），质量（m）； 只有大小，没有方向
矢量：电场强度（E），电极化矢量（P）； 有大小，有方向
点换到-r上
镜象反演（σ）：以某个面为对称面
n次旋转反演（Sn）：进行 n 次旋转后，绕旋
转轴的某个点再进行中心反演
4 第二讲 晶体物理常数的张量矩阵
点群
一、晶体结构及其对称性（简介）
一种晶体可以有多种对称操作，这些对称操作的集 合称为“群”；
各种点阵（晶体）拥有不同的对称性，因此，各种 晶体可以用“点群”来表示；
P 和 E 的关系由9个 χ常数，或一个物理量 χ 的9个分
量来决定，这9个分量有规则地排列成一个3x3的矩阵
⇒ 二阶张量，称为极化系数张量
矩阵表示法
⎡ P1 ⎤ ⎡ χ11
⎢ ⎢
P2
⎥ ⎥
=
ε
o
⎢⎢χ
21
χ12 χ 22
χ13 ⎤⎡ E1 ⎤
χ
23
⎥ ⎥
⎢⎢E2
⎥ ⎥
⎢⎣P3 ⎥⎦ ⎢⎣χ31 χ32 χ33 ⎥⎦⎣⎢E3 ⎥⎦
和一个并矢，是一个三阶张量
11 第二讲 晶体物理常数的张量矩阵
二、晶体物理常数的张量性质及其矩阵表示法
简化矩阵表示：
并矢中 E j Ek互换位置不影响结果，后 6 项两两相同
χ11 χ12 χ13 χ14
⎡ P1 ⎤
⎡ χ111 χ122 χ133 χ123
⎢⎢P2
⎥ ⎥
=
εo
⎢⎢ χ 211
χ 222
+ χ 113 E1 E 3 + χ 131 E 3 E1 + χ 112 E1 E 2 + χ 121 E 2 E1
每式9项
P2 = χ 211 E1 E1 + χ 222 E 2 E 2 + L L
P3 = χ 311 E1 E1 + χ 322 E 2 E 2 + L L
10 第二讲 晶体物理常数的张量矩阵
布喇菲点阵：根据空间对称性，可以有14 种点阵，称布喇菲点阵，或称 14 种晶胞
14 种晶胞分为 7 个晶系：三斜、单斜、正交
（斜方）、正方（四角）、立方、三角、六角
布喇菲点阵P.5, 图1.1
2 第二讲 晶体物理常数的张量矩阵
三角
a=b=c
α =β =γ
≠ 90o < 120o
六角
a=b≠c
有 P1 = εo (χ11E1 + χ12E2 + χ13E3 )
E
P2 = εo (χ21E1 + χ22E2 + χ23E3 )
P
P3 = εo (χ31E1 + χ32E2 + χ33E3 )
E 的每一个分量对 P 的每一个分量都有贡献 8 第二讲 晶体物理常数的张量矩阵
二、晶体物理常数的张量性质及其矩阵表示法
χ 233
χ 223
⎢⎣P3 ⎥⎦
⎢⎣χ311 χ322 χ333 χ323
“点群”是晶体结构对称类型的一种标志方法，例：
KDP晶体（KH2PO4）
四角晶系，4 2 m点群 4 [001] 4次旋转反演轴
2 [010]或[100] 2次旋转轴
m [110] 对称面
砷化镓晶体（ GaAs ）
立方晶系，4 3 m点群 4 [100] 4次旋转反演轴
3 [111] 3次旋转轴
m