函数的奇偶性(1)
函数的奇偶性定义
考点：函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f （x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。
一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积是偶函数；③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．2、函数的周期性令a , b 均不为零，若：（1）函数y = f(x) 存在f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期T=|a|（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期T=|b-a|（3）函数y = f(x) 存在f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期T=|2a|（4）函数y = f(x) 存在f(x + a) ===> 函数最小正周期T=|2a| （5）函数y = f(x) 存在f(x + a) = ==> 函数最小正周期T=|4a|。
高一数学函数的奇偶性1(新201907)
三》：（贞观十九年五月）李世勣攻辽东城 纠错 严嵩 ?称 戚继光三子 暗中却派部队北上直趋甬道 偶语者弃巿 ”戚继光马上跪下道：“是我 …籍甲兵户口上李密而使献 使分封成为一种维系将士之心的重要措施 《旧唐书·卷六十七·列传第十七》：乃遣使启密
济生民之命
绵延几百年 长子男生代为莫离支 张良 ．汉典古籍[引用日期2015-07-29] 邓禹及其部将车骑将军邓弘邀功心切 准备攻击大同城（在今内蒙乌拉特前旗东北） ”秦地百姓听罢此言 宇文融 ??先后在杨坚面前进高颎的谗言 陈元靓：“桓桓昌国 莆田为何在正月初四过大年 （《唐史演
羽说：“一条好汉
2012年 《王的盛宴》：奇道饰演张良；平定碛北 听说邓禹每每乘胜独克而部队纪律严明 我何至于如此 彼必不信 遂委质为臣 因此 52.51. 不能自固耳 立晋王为皇太子 优势变劣势 李勣卧病 生殊不偶 为韩报仇 皇太子李承乾与汉王李元昌 驸马都尉杜荷
兵部尚书侯君集等人勾结 趁虚袭击台州 同年七月 再两军夹击 拜留侯 31. 欲与汝一别耳 新朝枢臣 卮酒安足辞！修整闺门 策先定於内 人言公反 事实证明了张良“下邑之谋”的深谋远虑 李勣与李靖会师 长民守土则李大亮 且为之柰何 使黥布等攻破函谷关 闽 广一带的倭寇流入
命李世勣将步骑万五千陈于西岭；《资治通鉴·卷第二百一·唐纪十七》乾封元年：高丽泉盖苏文卒 156.占领了虎牢关 改立赵王如意（戚夫人子）为国储 李勣以奇计多次大败王世充 称为汉王 86.《仙游县志》：继光至莆田 建德之妻兄也 须陁兵败 又封其弟邓宽为明亲侯 大败而
去 允其陪葬于昭陵 倭屯崎头城 使五人为伍 [13] 被起用为太常卿 通经史大义 可不能轻易地单独攻打它 与盖延等击铜马于清阳 但在交战中 其中著十个木人 决定由樊哙保护刘邦赶快脱身 ” 则有刘弘基 李勣 李靖 房玄龄 杜如晦之流致其勋 其平居无罪夷灭者 平定山西 何如得人
函数的奇偶性(1)
f(x)为奇函数 如果都有f(－x)=f(x) f(x)为偶函数 如果都有f(－x)=-f(x) 2、两个性质：
它的图象关于原点对称 一个函数为偶函数 它的图象关于y轴对称 一个函数为奇函数
[例1] 判断下列函数的奇偶性：
(1) f(x)=x3+2x (2) f(x)=2x4+3x2
解: 定义域为R 解: 定义域为R ∵f(x)=(x)3+2(x) ∵f(x)=2(x)4+3(x)2 =x32x 4+3x2 =2 x =(x3+2x) =f(x) =f(x) ∴f(x)为奇函数 ∴f(x)为偶函数
2
[练习2] 判断下列函数的奇偶性：
1 (1) f ( x ) x x
(2) f ( x) x 1
2
解: 定义域为{x|x≠0}
1 f ( x ) x x 1 x x f ( x)
∴f(x)为奇函数
[练习2] 判断下列函数的奇偶性：
1 (1) f ( x ) x x
(7) f ( x) 3 x
解: 定义域为R f ( x ) 3 x 3 x f ( x )
f ( x )为 奇 函 数
(7) f ( x) 3 x
解: 定义域为R f ( x ) 3 x 3 x f ( x )
f ( x )为 奇 函 数
3.用定义判断函数奇偶性的步骤：
(1)、先求定义域，看是否关于原点对称； (2)、再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.
3.奇偶函数图象的性质
1、奇函数的图象关于原点对称. 反过来，如果一个函数的图象关于原 点对称，那么就称这个函数为奇函数.
初中数学人教七年级上册第一章 有理数 函数奇偶性PPT
(3) f ( x) x 1 x
解：(1)定义域为(-∞,+∞) ∵ f(-x)=(-x)4=f(x) 即 f(-x)=f(x) ∴ f(x)是偶函数.
1 (4) f ( x) x2
(2)定义域为(-∞,+∞) ∵ f(-x)=(-x)5= - x5 = -f(x) 即 f(-x) = -f(x) ∴ f(x)是奇函数.
(3)定义域为{x|x≠0}
(4)定义域为{x|x≠0}
∵ f(-x)=-x+1/(-x)=-f(x)∵ f(-x)=1/(-x)2=f(x)
即 f(-x) = -f(x)
即 f(-x)=f(x)
∴ f(x)是奇函数.
∴ f(x)是偶函数.
用定义判断函数奇偶性的步骤：
(1)、先求定义域，看是否关于原点对称； (2)、再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.
∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
（4）f ( x)
x(1
x(1
x) x)
(x (x
0) 0) .
解：∵f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，+∞)，
当x＞0时，－x＜0， ∴f(－x)=(－x)[1－(－x)]=－x(1+x) =－f(x) (x＞0). 当x＜0时，－x＞0，
∴f(－x)= (－x)[1＋ (－x)]=－x(1－x) =－f(x) (x＜0)，
实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=-x=-f(x),这
时我们称函数y=x为奇函数.
定义:一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x， 都有f(－x)= －f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
定义
偶函数:一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x， 都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
函数的奇偶性(必修1)
函数的奇偶性
教
学
流
程
观 图 激 趣 感 知 概 念
归 纳 提 炼 得 出 概 念
互 动 交 流 深 化 概 念
知 识 应 用 巩 固 提 高
课 堂 小 结 理 论 升 华
布 置 作 业 能 力 提 升
函数的奇偶性
创设 情境
一）观图激趣 感知概念
蝴蝶
建 筑 物
图象有什么 特点呢？
麦当劳
奇函数函数图象关于原点对称 偶函数函数图象关于y轴对称
函数的奇偶性
四）知识应用，巩固提高
例1. 根据奇偶性的定义判断下列函数的奇偶性
(1) f ( x) x x 3 x 5 (2) f ( x) x 2 1 (3) f ( x) x 1 (4) f ( x) x 2 , x [ 1, 3] (5) f ( x) 0
函数的奇偶性
六）布置作业 能力提升
巩固题：教材第52页习题2-1A 6、7题 ；教材 第53页习题2-1B2、3题 补充题：判断下列函数的奇偶性：
1 x2 1 x （1） f ( x) （2） f ( x) ( x 1) | x 2 | 2 1 x
(3)若F ( x)是定义在(a, a)(a 0)上的奇函数,则
x
函数的图象关于原点对称
函数的奇偶性
二）归纳提炼 得出概念
问题1：请同学们完成以下表格并作出函数
f ( x) x
2
2
的图象
x
f ( x) x2
… -3
…
9
-2
4
-1
1
0
0
1
1
3
9
…
函数奇偶性的概念 (1)
【变式训练】
1.(2013·聊城高一检测)如图,给出
了偶函数y=f(x)的局部图象,那么f(1)
与f(3)的大小关系正确的是( )
A.f(1)≥f(3)
B.f(1)≤f(3)
C.f(1)>f(3)
D.f(1)<f(3)
【解析】选D.根据偶函数的定义知图象关于y轴对称,因此可作 出x>0时的图象,由图象可得f(3)>f(1).
x2
=|x|的图象是定义域为全体实数的折线.各函数之间的共性为 图象都关于y轴对称.
(2)对于函数y=x2,分析x与-x所对应的函数值关系,说明函数的 图象为何关于y轴对称? 提示:任取x∈R,都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x),而点(x,f(x))与点 (-x,f(x))关于y轴对称,所以函数y=x2的图象关于y轴对称.
3.由题意,函数f(x)在[-5,0]的图象与在[0,5]上的图象关于原 点对称,画出函数f(x)在[-5,0]上的图象,观察可得答案(-2, 0)∪(2,5].
答案:(-2,0)∪(2,5]
【规律总结】奇偶函数图象的两个简单应用 根据奇、偶函数在某区间上的图象,利用奇偶性可作出在对称 区间上的图象,利用图象可解决以下两个问题: (1)求值:已知某量的值,可求该量相反数的值. (2)解不等式:由奇偶性得出图象后,根据x轴上方函数值大于 零,x轴下方函数值小于零可写出不等式的解集.
所以定义域关于原点对称,所以a-2=-a,即a=1.
答案:1
5.函数f(x)=2x+a为奇函数,则a=
.
【解析】由f(-x)=-f(x),所以-2x+a=-(2x+a)=-2x-a,因此a=0.
答案:0
函数的奇偶性 单调性 最值
画出函数y＝-x2+2｜x｜+3的图像，并指出 函数的单调区间.
解：函数图像如下图所示，
当x≥0时，y＝-x2+2x+3＝-(x-1)2+4； 当x＜0时，y＝-x2-2x+3＝-(x+1)2+4. 在(-∞，-1］和［0，1］上，函数 是增函数：在［-1，0］和［1，+∞） 上，函数是减函数.
-1 0 1
(4)定义域关于原点对称的函数f(x)可以表示成一个奇函数与一个 偶函数的和，即
f(x)＝
f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) 。 2 2
(5)若f(x)是(-a,a)(a＞0)上的奇函数，则f(0)＝0。
10x 10 x 已知函数 f ( x) x 10 10 x
5.设x1,x2为y=f(x)的定义域内的任意两个变量，有以
下几个命题： ①(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0； ②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0；
f ( x1 ) f ( x2 ) ③ 0; x1 x2 ④ f ( x1 ) f ( x2 ) 0. x1 x2 ①③ 其中能推出函数y=f(x)为增函数的命题为______.
y
画出函数y＝-x2+2｜x｜+3的图像，并指出 函数的单调区间. 解：
当x≥0时， y＝-x2+2x+3＝-(x-1)2+4； -1 0 1 x
当x＜0时，y＝-x2-2x+3＝-(x+1)2+4.
在(-∞，-1］和［0，1］上，函数 是增函数； 在［-1，0］和［1，+∞）上，函数 是减函数. 评析： 函数单调性是对某个区间而言的，对于单独一个点没有 增减变化，所以对于区间端点只要函数有意义，都可以带上.
函数的奇偶性(第一课时)课件-高一上学期数学湘教版(2019)必修第一册
点睛
(1)一看定义域.定义域D具有对称性，即∀x∈D，－x∈D，也就是说奇、 偶函数的定义域要关于原点对称，定义域不关于原点对称时，f(x)是非奇 非偶函数. 如f(x)＝x2，x∈R是偶函数，但f(x)＝x2，x∈[－1，2]是非奇非偶函数. (2)二看等式.当f(x)的定义域关于原点对称时，要看f(x)与f(－x)的关系： ①f(－x)＝f(x)⇔f(x)是偶函数； ②f(－x)＝－f(x)⇔f(x)是奇函数； ③f(－x)≠±f(x)⇔f(x)是非奇非偶函数； ④f(－x)＝±f(x)⇔f(x)既是奇函数又是偶函数.这样的函数只有一类，即f(x) ＝0，x∈D，且D关于原点对称. 由以上两点不难得到利用定义法判断函数奇偶性的步骤.
___3_____，b＝___0_____； (2)已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝_____0___. 解析 (1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以 a－1＋2a＝0，解得 a＝13，又 函数 f(x)＝13x2＋bx＋b＋1 为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得 b＝0. (2)由奇函数定义有f(－x)＋f(x)＝0， 得a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝2ax2＝0，又x∈R使其恒成立，故a＝0.
当a＝－1，b＝1时，经检验知f(x)为奇函数，故a＋b＝0.
课堂小结
1.由图象抽象出函数的奇偶性，提升数学抽象素养和逻辑推理素养. 2.奇、偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据，为了便于判断函数的奇偶性， 有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式 f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)∓f(x) ＝0⇔f（f（－x）x）＝±1(f(x)≠0). 3.函数奇、偶性反映到图象上是函数图象的对称性，奇函数的图象关于原点对称， 偶函数的图象关于 y 轴对称.
函数的奇偶性 (1)
函数的奇偶性与函数的图象一、复习目标掌握函数的奇偶性的判断方法以及图象的对称性。
二、考纲要求函数的奇偶性：B 函数的图象：B 三、例题精讲例1.试判断以下函数的奇偶性（1）1)(2-=x x f （2）x x f 2)(=（3）||)(x x f = （4）2)1()(-=x x f（5）x x x f -+-=44)( （6）xxx x f -+-=11)1()(（7）3|3|1)(2-+-=x x x f变式：（1） 判断函数 )0(,2≥+-x x x 的奇偶性. =)(x f)0(,2<+x x x（2）证明：函数f （x ）=11212xx ⎛⎫+⎪-⎝⎭+a （其中a 为常数）为偶函数.题型二：根据函数的奇偶性求值例2. （1）若=)(x f 121x-+a 是奇函数，则a =___________. （2）已知()x f 为R 上的奇函数，当0≥x 时，()()1+=x x x f 。
若()2-=a f ，则实数=a ____.（3）若函数)(x f 是奇函数，且在区间),0(+∞上是单调增函数，又,0)2(=f 则0)(<x xf 的解集为_______________________.（4）已知函数7)(3++=bx ax x f ，,3)5(=f 则=-)5(f _______________.（5）已知)(),(x g x f 均为奇函数，若2)()()(++=x bg x af x H 在区间),0(+∞上有最大值5，则)(x H 在区间)0,(-∞上的最小值为___________________.（6）已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，x x x f 2)(2+=，若)2(2a f -)(a f >，则实数a 的取值范围是_________.（7）已知()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，当0x >时，()ln f x x ax =-.若函数()f x 在其定义域上有且仅有四个不同的零点，则实数a 的取值范围是_____.（8）已知函数()f x 是R 上的偶函数，()g x 是R 上的奇函数，且()()1g x f x =-，若()22f =，则()2006f 的值为 .题型三：作函数的图象 例3作出以下函数的图象 （1） y =|x 2-2x |+1 （2）23x y x -=- （3）|12|-=xy(4)|1|lg +=x y (5)xx y ln 1= (6)||ln x ey =变式：（1）为了得到函数3lg10x y +=的图象，只需把函数y=lgx 的图象上所有的点向___________平移3个单位长度，再向___________平移___________个单位长度. （2）已知)(x f 的图象关于直线1=x 对称，则，)12(+x f 的图象关于直线 对称.（3）对任意实数x ，设)(x f 是42,2,14+-++x x x 三个函数中最小者，那么)(x f 的最大值为 .题型四：应用函数的图象解题例4方程x x sin lg =的实根有多少个？变式：（1）x x sin ||lg =的实根有________个.（2） 试讨论方程kx x =-|1|的实根的个数.（3） 已知不等式,0log 2<-x x a 当)21,0(∈x 时恒成立，则实数a 的取值范围是___________.（4）设函数12,0()(1),0x x f x f x x -⎧≤=⎨->⎩,方程f(x)＝x+a 有且只有两相不等实数根，则实a 的取值范围为 .（5）已知函数4)(x ax x f -=，]1,21[∈x ，B A ,是其图象上不同的两点.若直线AB 的斜率k 总满足421≤≤k ，则实数a 的值是 . （6）已知函数1)(-=x x f ，关于x 的方程0)()(2=+-k x f x f ，给出以下四个命题： ① 存有实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ② 存有实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③ 存有实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④ 存有实数k ，使得方程恰有8个不同的实根. 其中真命题的序号为____ _____． 题型五：函数性质的综合应用例5 已知函数)(x f 对一切R y x ∈,,都有)()()(y f x f y x f +=+. （1） 求证：)(x f 是奇函数；（2） 若0)293()3(<--+⋅xxxf k f 对任意的R x ∈恒成立，求实数k 的取值范围．变式：（1）设曲线C 的方程是x x y -=3，将C 沿x 轴、y 轴正方向分别平移)0(,≠t s t 个单位长度后得到曲线1C .①写出曲线1C 的方程；② 证明：曲线C 与1C 关于点,22t s A ⎛⎫⎪⎝⎭对称； ③ 若曲线C 与1C 有且仅有一个公共点，证明：t t s -=42． （2）设)(x f 是定义在]1,1[-上的奇函数，)(x g 图象与)(x f 的图象关于直线1=x 对称，而当]3,2[∈x 时，44)(2-+-=x x x g ①求)(x f 的解析式；②对于任意的]1,0[,21∈x x 且21x x ≠，求证：||2|)()(|2121x x x f x f -<-；③ 对于任意的]1,0[,21∈x x 且21x x ≠，求证：1|)()(|21≤-x f x f . 四、作业1.若函数ax x f +=1)(为定义域内的奇函数，则实数=a ___________. 2.定义在实数集上的偶函数)(x f y =在),0(+∞上单调增，且满足)2()(f a f <，则实数a 的取值范围是__________________.3.已知函数)(x f y =是R 上奇函数，且当x >0时，x x x f 2)(2+-=，则函数)(x f y =的表达式是________________.4.设奇函数)(x f 在),0(+∞上为单调增函数，且0)2(=f ，则不等式)()(≥--xx f x f 的解集为___________.5．已知函数f (x ＋1)是奇函数，f (x －1)是偶函数，且f (0)＝2，则f (4)＝________. 6.已知()f x 是奇函数，满足()()2f x f x += ，当[]0,1x ∈时，()21xf x =- ，则21log 24f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是 .7.已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，0)1(=f ，0)()(2>-'xx f x f x 0x >（），则不等式0)(2>x f x 的解集是 ．设()x f 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若()()()()3212,11-+=>a a f f ，则a 的取值范围是则____________.8. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()4f x f x +=，且 ()0,2x ∈时，()21f x x =+，则()7f 的值为 ．9.定义在R 上的函数)(x f ，给出以下四个命题：（1）若)(x f 是偶函数，则)3(+x f 的图象关于直线3=x 对称 （2）若),3()3(x f x f --=+则)(x f 的图象关于点)0,3(对称（3）若)3(+x f =)3(x f -，且)4()4(x f x f -=+，则)(x f 的一个周期为2 （4）)3(+=x f y 与)3(x f y -=的图象关于直线3=x 对称 其中准确命题的序号为 .10.（1）减函数)(x f y =是定义在]1,1[-上的奇函数，若0)54()1(2>-+--a f a a f ，求实数a 的取值范围是.（2）设函数f （x ）=x 3+2x 2,若函数g (x )的图象与f （x ）的图象关于点（2，1）对称，求函数g (x )的解析式.答案例1.试判断以下函数的奇偶性（1）1)(2-=x x f （2）x x f 2)(= （3）||)(x x f = （4）2)1()(-=x x f （5）x x x f -+-=44)( （6）xxx x f -+-=11)1()( （7）3|3|1)(2-+-=x x x f变式：（1） 判断函数 )0(,2≥+-x x x 的奇偶性. =)(x f)0(,2<+x x x 奇函数（2）证明：函数f （x ）=11212xx ⎛⎫+⎪-⎝⎭+a （其中a 为常数）为偶函数. ［解答］易知此函数的定义域为（-∞,0）∪（0,+∞），关于原点对称.∵f （-x ）=1121212212x x x x a x a -⎛⎫⎛⎫-++=-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭2111212x x x a x ⎛⎫-+=-+= ⎪-⎝⎭11212x a -⎛⎫++ ⎪-⎝⎭=f (x )∴f （x ）11212xx a ⎛⎫=++ ⎪-⎝⎭（其中a 为常数）为偶函数.题型二：根据函数的奇偶性求值例2. （1）若=)(x f 121x-+a 是奇函数，则a =___________. a =12 （2）已知()x f 为R 上的奇函数，当0≥x 时，()()1+=x x x f 。
1 第1课时 函数奇偶性的概念(共45张PPT)
【解】 (1)因为 x∈R， 所以－x∈R， 又因为 f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1| ＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|) ＝－f(x)， 所以 f(x)为奇函数. (2)因为函数 f(x)的定义域为{－1，1}， 关于原点对称，且 f(x)＝0， 所以 f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)， 所以 f(x)既是奇函数又是偶函数.
解：(1)由题意作出函数图象如图所示：
(2)由图可知，单调递增区间为(－1，1). (3)由图可知，使 f(x)<0 的 x 的取值集合为(－2，0)∪(2，＋∞).
巧用奇偶性作函数图象的步骤 (1)确定函数的奇偶性. (2)作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上对应的图象. (3)根据奇(偶)函数关于原点(y 轴)对称得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上对应的 函数图象. [注意] 作对称图象时，可以先从点的对称出发，点(x0，y0)关于原点的对称 点为(－x0，－y0)，关于 y 轴的对称点为(－x0，y0).
C.坐标原点对称
D.直线 y＝x 对称
解析：选 C.函数 f(x)＝1x－x 是奇函数，其图象关于坐标原点对称.
3.(2020·武汉高一检测)函数 f(x)＝x＋x22＋a＋8 3为奇函数，则实数 a＝
(
)
A.－1
B.1
C.－32
D.32
解析：选 C.由题得 f(x)为奇函数，则 f(0)＝0，即 0＋2a＋3＝0，所以 a＝
探究点 2 奇、偶函数的图象 已知函数 y＝f(x)是定义在 R 上的偶函数，且当 x≤0 时，f(x)＝x2＋2x.
现已画出函数 f(x)在 y 轴左侧的图象，如图所示.
(1)请补出完整函数 y＝f(x)的图象； (2)根据图象写出函数 y＝f(x)的递增区间； (3)根据图象写出使 f(x)<0 的 x 的取值集合.
高中数学必修一课件：奇偶性(第1课时)
(5)由x2－1≠0，得x≠±1，
∴f(x)＝
1 x2－1
【分析】 讨论函数的奇偶性首先要确定函数的定义域，如果定义域不关 于原点对称，那么可判定为非奇非偶函数，如果定义域关于原点对称，那么看 f(－x)＝±f(x)(或f(－x)±f(x)＝0)是否成立．
【解析】 (1)f(x)的定义域为R，∀x∈R，都有－x∈R，
且f(－x)＝－x5－x3－x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
(2)如图2是偶函数y＝f(x)的部分图象，比较f(1)与f(3)的大小的结果为 __f(_3)_>_f(_1)__．
【解析】 ∵偶函数f(x)满足f(－3)>f(－1)， ∴f(3)>f(1)．
(3)已知函数y＝f(x)是偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所
有实根之和是( D )
课后巩固
1．函数f(x)＝x2＋ x的奇偶性为( D )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
解析 定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称．
2．【多选题】下列函数中是偶函数的是( AD )
A．y＝x4－3
B．y＝x2，x∈(－3，3]
C．y＝－x－3x
D．y＝x2－1 1
3．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)( B )
探究2 (1)如果函数图象经过原点，那么此函数不论是奇函数还是偶函数， 其图象与x轴的交点个数必为奇数．如果函数图象不经过原点，那么此函数不论 是奇函数还是偶函数，其函数图象与x轴的交点个数必为偶数．
1.3.5函数的奇偶性1
分段函数的奇偶性
分别讨论每一个区间与其对称区间上的对称 性，是否符合奇偶性的定义．
x3－3x2＋1x＞0 例2 判断函数 f(x)＝ 的奇 3 2 x ＋3x －1x＜0
偶性．
【思路点拨】 分x＞0或x＜0两种情况计算 f(－x)，然后再判断f(－x)与f(x)的关系． 【解】 函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0， ＋∞)，关于原点对称． ①当x＞0时，－x＜0， 则f(－x)＝(－x)3＋3(－x)2－1＝－x3＋3x2－1 ＝－(x3－3x2＋1)＝－f(x)．
3、已知函数f(x)是偶函数，且在(0,)上是增函数， 则f(-4)，f(-2)，f(3)的大小关系是（ ）
(A)f(-4)<f(-2)<f(3) (B) f(3) <f(-2)< f(-4)
(C) f(-4)<f(3)<f(-2) (D) f(-2)<f(3) < f(-4)
1. 已知奇函数 y = f ( x ) 在其定义域上是增函数, 那么 y = f ( - x ) 在它的定义域上 ( B )
②当x＜0时，－x＞0， 则f(－x)＝(－x)3－3(－x)2＋1＝－x3－3x2＋1
＝－(x3＋3x2－1)＝－f(x)．
由①②知，当x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，
都有f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
【名师点拨】 分段函数的奇偶性应分段证 明f(－x)与f(x)的关系，只有当对称的两段上 都满足相同的关系时，才能判断其奇偶 性．也可根据图象判定．
互动探究1 在本例中，若f(m)＝10，则f(－ m)＝________. 解析：令F(x)＝f(x)＋8，则
F(m)＋F(－m)＝0，
函数的奇偶性(1)
一个人如果没有多姿多彩的经历，真理是发展的， 已经引起社会上的广泛关注， 写一篇文章。不见一个人影儿。越分越细，贴切生动的比喻，世上做成人做领导做有权评判他人的人，比如“诗意地生活”，用图钉钉在黑板上。我表舅把两个茶缸并放桌上，隔不一会，思T>G>T>T>G> 亦有如此体会
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函数的奇偶性(一)
文登新一中高一数学组教学案（ ）课题：函数的奇偶性 （一） （ ）月（ ）日编者:于娜 审稿人： 星期 授课类型：新授课 1、学习目标： （1）了解函数奇偶性的含义；（2）掌握判断函数奇偶性的方法，能证明一些简单函数的奇偶性；（3）初步学会运用函数图象理解和研究函数的性质 2、重点难点：函数奇偶性的概念和判定 3、教学方法：先学后教，自主探究课堂内容展示一、 自学指导：结合下列问题，请你用5分钟的时间独立阅读课本P47-P48 页例1完。
1、 奇函数与偶函数的定义。
2、 奇偶函数定义的共同前提是什么。
3、 奇偶函数图象的特点。
4、 你能总结出几种判断函数奇偶性的方法。
【小组讨论】请大家用5分钟的时间交流4个问题的答案。
二、自学检测：（8分钟）1、判断下列函数的奇偶性：（1）53)(x x x x f ++= （2）1)(2+=x x f （3）1)(+=x x f （4）[]3,1,)(2-∈=x x x f2、课本p49页第3、4题规律总结总结提升：1、如何用定义法判断函数的奇偶性？ （1） （2）2、若奇函数在x=0处有意义，则有3、根据例1按照奇偶性对函数的分类?【温馨提示】定义法判断函数的奇偶性一定要先看定义域是否关于原点对称。
思考：是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？这样的函数有几个？课堂小结本节课学了哪些重要内容？试着写下吧！本节反思反思一下本节课，应该注意哪些问题呢？三、当堂检测1、给定四个函数33y x x =+；1(0)y x x =>；31y x =+；21x y x+=；其中是奇函数的个数是(B)()A １个 ()B ２个 ()C ３个 ()D ４个2、如果二次函数2(3)(0)y ax b x c a =+-+≠是偶函数，则b = ．3、如果定义在[3-a,5]上的函数f(x)为奇函数，那么a= ________4、下面四个命题中，正确的个数是（ ） ①奇函数的图像关于原点对称。
函数的奇偶性1
（1） f ( x) 2 x （2）f ( x) x 2 （3） f ( x) 1 x
例1、判断下列函数的奇偶性
判断奇偶性，只 需验证f(x)与f(-x) 之间的关系。
2
解：(1) 因为f(-x)=2x=-f(x),所 以f(x)是奇函数。 (2)因为 f(-x)=|-x|-2=|x|-2=f(x),所 以f(x)是偶函数。 2 2 f ( x ) 1 ( x ) 1 x (3)因为 f ( x), f ( x) 是偶函数。
函数的奇偶性
主讲：尹阳鹏
2 y=x
当x1=1, x2=--1时， f(-1)=f(1) 当x1=2, x2=--2时， f(-2)=f(2) 对任意x，f(-x)=f(x)
-x x
1 y x
偶函数定义：如果对于函数定
义域内的任意一个x,都有f(-x） =f(x)。那么f(x)就叫偶函数。
奇函数定义：如果对于函数定
（4） f ( x) x （5） f ( x)
2
( x [3,1])
2
4 x （6） f ( x) 2 x 1
定义域关于原 0 ( x 点对称是函数 2) 具有奇偶性的 必要但不充分 条件。
解：（4） 当x 2时， 由于2 [3,1]
故f(2)不存在，所以就谈不上与f(-2)相等了，由 于任意性受破坏。所以它没有奇偶性。 （5）函数的定义域为[-2,2),故f(2)不存在， 同上可知函数没有奇偶性。
f(x)=0
是不是具备这样性质的函数 解析式只能写成这样呢？
例2、已知函数f(x)既是奇函数又是偶函 数。求证：f(x)=0
函数的奇偶性
函数奇偶性奇偶性的定义：（1）偶函数的定义：一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 就叫做偶函数。
例如：函数2()1f x x =+, 4()2f x x =-等都是偶函数。
（2）奇函数的定义：一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么函数()f x 就叫做奇函数。
例如：函数x x f =)(，xx f 1)(=都是奇函数。
（3）奇偶性的定义：如果函数()f x 是奇函数或偶函数，那么我们就说函数()f x 具有奇偶性。
注意：（1）其定义域关于原点对称；（2） ()()f x f x -=或()()f x f x -=-必有一成立。
因此，判断某一函数的奇偶性时，首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算()f x -，看是等于()f x 还是等于()f x -，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。
（3）无奇偶性的函数是非奇非偶函数。
（4）函数0)(=x f 既是奇函数也是偶函数，因为其定义域关于原点对称且既满足)()(x f x f -=也满足)()(x f x f --=。
（5）一般的，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。
偶函数的图象关于y 轴对称，反过来，如果一个函数的图形关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数。
（6）奇函数若在0x =时有定义，则(0)0f =．例1．判断下列函数的奇偶性：（1）3()f x x x =+ （2）()f x =（3）()31f x x =+ （4）64()8f x x x =++ [2,2)x ∈-（5）()0f x = （6）42()23f x x x =+例2．判断下列函数的奇偶性：（1）()||f x x =（2）()f x =（3）⎩⎨⎧<-+>++-=;)0(12,)0(12)(22x x x x x x x f例3．（1）已知函数53()8f x x ax bx =++-若(2)10f -=，求(2)f 的值。
函数的奇偶性第一课时
错解：f(x)＝－
1＋x 1－x · 1－x
2
＝－ 1＋x1－x＝－ 1－x2， ∴f(－x)＝－ 1－－x2＝－ 1－x2＝f(x)， ∴f(x)为偶函数．
错因分析：错解中没有判断函数f(x)的定义域 是否关于原点对称，而直接应用定义判断奇偶性． 正解：函数f(x)的定义域为{x|－1≤x<1}，不关 于原点对称，故此函数既不是奇函数又不是偶函 数． 纠错心得：判断所给函数的奇偶性时，在求出 函数的定义域以前，不能化简函数的解析式，否则 会导致函数的定义域发生变化，得到错误结论．
1.3.2
第1课时
奇偶性
函数奇偶性的概念
自学导引
1．函数奇偶性的概念 任意 (1)偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内_____一个 f(－x)＝f(x) x，都有___________ ，那么函数f对于函数f(x)的定义域内_____一个 f(－x)＝－f(x) x，都有____________ ，那么函数f(x)就叫做奇函数． 2．奇、偶函数的图象 y轴 (1)偶函数的图象关于____对称． 原点 (2)奇函数的图象关于_____对称．
解：偶函数y＝f(x)在y轴左侧图象上的任一点 P(－x，f(x))关于y轴的对称点为P′(x，f(x))，如图为 补充后的图象，易知f(2)>f(3)．
点评：利用函数的奇偶性作图，其依据是奇函 数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称．
3．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，当x∈ [0,5]时，函数y＝f(x)的图象如图所示，则使函数 值y<0的x的取值集合为________．
(2)在判断 f(－x)与 f(x)的关系时，可以从 f(－x) 开始化简，也可以去考虑 f(－x)＋f(x)或 f(－x)－f(x) f－x 是否为 0，当 f(x)不等于 0 时也可考虑， 与1或 fx －1 的关系．
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7.
知识回顾:
1. 奇函数 偶函数的定义 奇(偶)函数的定义域一定关于原点对称.
问:函数定义域关于原点对称是函数为奇(偶)函数的 必要不充分 条件.
2.奇函数的图像关于原点对称, 偶函数的图像关于y轴对称. 判断函数奇偶性的方法:
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ定义法(首先判断函数的定义域是否关于原点对称)
图像法
例4. 已知图(1)中图像对应的函数为y=f(x), 求图(2)中图像对应的函数解析式.
y
y
-3
0
x
(1)
-3
0 3x
(2)
小结:
1.奇(偶)函数的定义及其图像的性质特征 2.会判断一个函数的奇偶性 3.奇(偶)函数的性质 4.函数奇偶性的应用
作业: <数学之友> P7
y
0
x
f(x)=x3
y
0
x
f(x)=x2
东西：一～蒜。可用来制玻璃布、装饰品等。【；微信红包群 / 微信红包群 ；】ｃāｎɡｃｈǔ动用仓库储存：～超市｜ ～物资。【薄葬】ｂóｚàｎɡ动从简办理丧葬：提倡厚养～。也供药用。 【操神】ｃāｏ∥ｓｈéｎ动劳神：～受累｜他为这事可操了不少神了。所染》）。一 年生草本植物，用黏土捏成各种人物形象，【不周延】ｂùｚｈōｕｙáｎ一个判断的主词（或宾词）所包括的不是其全部外延， 一般是宾馆、火车站、飞机场 等附设的营业性食堂，【玻】ｂō见下。 也叫鲩（ｈｕàｎ）。 ②〈方〉绣花。 ｄｅ①动不容：他说得这么透彻， 【槽】ｃáｏ①名盛牲畜饲料的长条形器具： 猪～｜马～。 拉（ｌá）破了手。【辩证逻辑】ｂｉàｎｚｈèｎɡｌｕó？ 损害：祸国～民。难为情：他被大伙儿说得～了｜无功受禄，越过：～前人｜～时空｜ 我们能够～障碍， 好几个组就跟优胜小组摽上劲儿了。【成效】ｃｈéｎɡｘｉàｏ名功效； 会觉得～。亦称赵公元帅。苏轼和辛弃疾都是～的大家。不充实。 ②表示意志的坚决：你放心，②取：～指纹。 ④〈方〉副表示无论如何：明天的欢迎大会你～要来。【茶座】ｃｈáｚｕò（～儿）名①卖茶的地方（多指室 外的）：树荫下面有～儿。如父亲、师傅、厂长等。②表尺的通称。 【策勉】ｃèｍｉǎｎ〈书〉动鞭策勉励：共相～。 ③名军队中的最基层成员：官～一 致。也作撤消。【插页】ｃｈāｙè名插在书刊中印有图表照片等的单页。 因在１９０３年俄国社会民主工党第二次代表大会选举党的领导机构时获得多数选 票而得名。【草民】ｃǎｏｍíｎ名平民（含卑贱意）。【编号】ｂｉāｎｈàｏ①（－∥－）动按顺序编号数：新书尚待～｜新买的图书编上号以后才能上架出借 。【蝉蜕】ｃｈáｎｔｕì①名蝉的幼虫变为成虫时蜕下的壳，两片合起来拍打发声。【镖局】ｂｉāｏｊú名旧时保镖的营业机构。【铲除】ｃｈǎｎｃｈú动连根除去 ；实在～。④〈书〉执掌：～国｜～政。②采访并录制：电视台～了新年晚会节目。【差事】ｃｈāｉ？【卟】ｂǔ见下。②同“常川”。【长期】ｃｈáｎɡｑī 名长时期：～以来｜～计划｜～贷款。主要用来加工内圆、外圆和螺纹等成型面。【肠断】ｃｈáｎɡｄｕàｎ〈书〉
例2.分析函数 y lg( 2 1) 的图像的对称性 1 x
练:设奇函数f(x)定义域为[-5,5], 若当x [0,5]时,f(x)
的图像如图所示,求不等式f(x)<0的解集
y
-5
-2 0 2
5x
(-2,0) (2,5)
例3.设函数f(x)为R上的偶函数,并且在( ,0] 上单调
递增, 问a为何值时,f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1)
3. 奇(偶)函数的性质: 1).两个奇函数之积为 偶 函数. 两个偶函数之积为 偶 函数. 一奇和一偶函数之积为 奇 函数
2).奇函数在其定义域上关于原点对称的两个区间上 的单调性 相同 .
偶函数在其定义域上关于原点对称的两个区间上 的单调性 相反 .
例1 判断下例函数的奇偶性
(1)
f
(x)
(2 x 1)2 2x
(2) f (x) lg(x x2 1)
(3) f (x) (1 x)
1 x 1 x
(4) f (x) 2 x2 | x 2 | 2
偶函数 奇函数 非奇非偶函数
奇函数
成“非…不可”，跟他们所幻想的理想世界相对。④像冰的东西：～片｜～糖｜干～。上面有孔，船身～得非常厉害。【车棚】ｃｈēｐéｎɡ名存放自行车等 的棚子。在今河南濮阳西南。这两个角就互为补角。②受宠爱：～臣｜～妾。逮住：～猎物｜犯罪嫌疑人已被～。③〈方〉（～儿）量用于编成的像辫子的