(理想流体动力学5-8)

3. 涡 束
涡管内充满着作旋转运动的流体称为涡束，微元涡管 里的涡束称为微元涡束。
表征速度场和旋涡场的常用概念
速 速度
度
场v
流 流线的微分方程 流管 流束 过流
线
dx dy dz
vx vy vz
断面
旋 旋转角 涡 涡线的微分方程 涡管 涡束 涡管
涡 场
速度
线
dx dy dz
x y z
断面
二、涡通量和速度环量
球坐标系(R,θ,β)与直角坐标系(x,y,z)的转 换关系：
x=Rsinθcosβ y=Rsinθsinβ z=Rcosθ
2、空间点源（点汇） 建立球坐标系(R,θ,β) ，在坐标原点处放置一个 空间点源（点汇），流量为q，则速度分量为：
q
vR 4R2
v 0 v 0
由于球坐标系下势函数Φ的梯度公式为：
vr vz
b
dr dz
b
有
rb
4
l (z )q( )d
0
3
[rb 2 (z )2 ]2
{v
1
4
l 0
(z [r 2
)q( (z
)d
3
)2 ]2
}
drb dz
同样，利用数值解法求近似解。
当源（汇）强度q(ζ)确定后，就可以得到势函 数、流函数，继而计算出任意轴对称的零攻角 绕流场的速度分布和压强分布。
第五节 空间势流
一、空间势流的势函数 二、轴对称流动的流函数 三、几个基本轴对称流动的流函数 四、圆球绕流 五、轴对称体绕流
一、空间势流的势函数
势函数Φ与速度之间的关系式为：
vx x
vy y
vz z
将上述等式代入不可压缩流体的连续性方程：
v x v y v z 0 x y z
得到势函数的拉普拉斯边界方条程件：：
证明：
先证明微元封闭曲线的斯托克斯定理。
d vABxdx vBCydy
vCDxdx vDAydy
证明： 通过回转面的流量为
B
Q A v n2rdl
B
2 A (vr nr vz nz )rdl
因为
nr
dz dl
vr rz
nz
dr dl
vz
rr
所以
Q 2 B (1 dr 1 dz)rdl A r r dl r z dl B 2 A d
2 ( B A )
三、几个基本轴对称流动的流函数
l 0
子的强度或偶极矩
q
偶极子的势函数为：
11
lim lim
l 0
q1 1
4 ( R1 R2 )
l 0
ql 4
R1 R2
l
q
q
1
M
4
d( ) R dl
M
4R 2
dR dl
M cos 4R 2
二、轴对称流动的流函数 轴对称流动：指流体在过某空间固定轴的所 有平面上的运动情况完全相同的流动。 因此，只需要研究其中一个平面上的流动就 可以知道整个空间内流体的运动情况。 常见的轴对称流动有：圆管流动、沿轴向流 经回转体的流动、水轮机叶轮内的流动。
M sin2 4R
四、圆球绕流
奇点法：通过将简单势流如均匀流、点源 （汇）、偶极子等进行叠加来处理较复杂的势 流问题的方法。
均
偶
1 2
v
R
2
- M sin2 4R
零流线方程为：
1 2
v R2
-
M
4R
0
0,
球面方程 R 3 M
2v
球面的半径 a 3 M
2v
偶极子的强度 M 2a 3v
vz
v R cos
柱坐标系(r,θ,z)与直角坐标系(x,y,z)的转 换关系：
x=rcosθ y=rsinθ z=z
/ / / / / / / / / / / / / / / / / //http ://// / / / / / // / / / / / / / / /
第六节 理想流体的旋涡运动
如流体微团的旋转角速度ω≠0，则是有旋运动， 也称为旋涡运动。 理想流体的流动可以是有势的，也可以是有旋的。 但粘性流体的流动一般是有旋的。 第六-八节讲述理想不可压缩流体的旋涡运动，涉 及的基本概念及定理有：涡线、涡管和涡束；涡 通量和速度环量；斯托克斯定理；汤姆逊定理； 亥姆霍兹定理；毕奥-沙伐尔公式；卡门涡街。
2
整个OA段的源（汇）在P点处的势函数和流函数分别为
1
1
4
l 0
q( )d
r 2 z 2
1
1
4
l
0
q( )z d r 2 z 2
均匀流在P点处的势函数和流函数分别为
2 vz
2
1 2
v
r
2
势流叠加后的流场的势函数和流函数分别为
1
2
v z
1
4
l 0
q( )d r2 (z )2
q>0，表示源 q<0，表示汇 建立柱坐标系(r,θ,z)，流动参数与无关。 在对称轴的OA段上连续布置源（汇），设单位长度 上的源（汇）强度为q(ζ)，则微元段dζ的强度为
dq q( )d
微元段dζ的源（汇）在P点处的势函数和流函数分别为
d1 4
q( )d
r 2 z 2
d1
q( )d z 4 r 2 z
R
eR
1 R
e
1
R sin
e
得到
对应方向的单位矢量
vR R
v
1 R
因此
q
R 4R2
v
1
R sin
q 4R
3、空间偶极子
依据势流叠加原理，P点处的势函数为
q q q ( 1 1 ) 4R1 4R2 4 R1 R2
满足下面关系式才能构成偶极子流，即
lim ql M M为常数，称为偶极
①式对R积分，得到
v R2 sin2 f ( )
2
将上式对θ求导，得到
v R2 sin cos
f '( )
与②式比较，得到 f '( )， 0即
f ( ) C
令 f ( ) ，0最终空间均匀流的势函数为
v R2 sin2
2
2、空间点源（点汇）
设速在度坐矢标量原为点v有一点源，强度为q。空间点P (R,θ,β)的
程为：
(R2 sinv R ) (R sinv ) 0
R
定义流函数Ψ (R, θ)，满足
R
R
sinv
R2
s inv R
v
1
R sin
R
vR
1
R2 sin
3、流函数的性质
1）等流函数线就是流线；
2）在通过包含对称轴线的流动平面上，任意两点 的流函数值之差的2π倍，等于通过这两点间的任 意连线的回转面的流量。
1、柱坐标系(r, θ, z)的流函数Ψ (r, z)
柱坐标系中，不可压缩流体轴对称流动的连续性方
程为：
(rv r ) (rv z ) 0
r
z
定义流函数Ψ (r, z)，满足
r rvz
z
rvr
vz rr
vr
rz
2、球坐标系(R,θ,β)的流函数Ψ (R,θ)
球坐标系中，不可压缩流体轴对称流动的连续性方
圆球绕流的表面速度的最大值 圆柱绕流的表面速度的最大值
v
max
3 2 v
v max 2v
球面压强分布，由伯努利方程求出
p v2
p
v2
2 2
压强系数
Cp
p p
1 2
v
2
1
v v
2
1 9 sin2
4
压强对称分布，因此球面所受的合力为零。
五、轴对称体（回转体）绕流 依然采用奇点法分析，需要寻找适当的基本势流， 使之与均匀流叠加后的势函数和流函数能满足物面 和无穷远处的边界条件。
量沿闭曲线的线积分，即为沿该闭曲线的速度环
量。
l v dl
v dl v cosdl
vxdx vydy vzdz
第七节 理想流体旋涡运动 的基本定理
一、斯托克斯定理 该定理将速度场和旋涡场之间联系起来。 斯托克斯（Stokes）定理: 沿封闭曲线的速度环量 等于该封闭曲线内所有涡通量的和。
1 2
1 2
v
r
2
1
4
l q( )(z )d 0 r2 (z )2
现需要确定q(ζ)使得上述函数满足物面和无穷远 处的两个边界条件。其中，由于无穷远处源（汇） 的速度为零，自动满足无穷远处边界条件，而要 满足物面边界条件，需进行计算。
方法1：
物面上的流函数值等于零，即 ( )b 0
求解方程
1、均匀流
有一速度为v∞的空间均匀流，取z轴为流动方向，在 球坐标系(R,θ,β)中为一轴对称流动，流动参数与β无关。
v R v cos
v v sin
R
R sinv
v R sin2
R2
sinv R
v R2
sin
cos
R
R sinv
v R sin2
①
R 2 sinv R v R 2 sin cos ②
因此，流函数为
1 2
v
R
2
[1
-
a
3
]sin2
R
势函数为
均
偶
v Rcos
M
4R 2
cos
v R[1
1 2
a 3 ]cos