2019-2020学年安徽省合肥市六校联考高一上学期期末考试数学试卷及答案
(9份试卷汇总)2019-2020学年合肥市数学高一(上)期末质量检测模拟试题
2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．已知||4a =r ，||2b =r ，()()3b a b a a b +⋅-=⋅v v vv v v ，则向量a r 与向量b r 的夹角等于( )A ．3π B ．23π C ．34π D ．56π 2．如图，OAB V 是边长为2的正三角形，记OAB V 位于直线(02)x t t =<≤左侧的图形的面积为()f t ，则函数()y f t =的图象可能为( )A. B.C. D.3．若从集合{}2,1,2A =-中随机取一个数a ，从集合{}1,1,3B =-中随机取一个数b ，则直线0ax y b -+=一定．．经过第四象限的概率为( ) A ．29B ．13C ．49D ．59412sin(2)cos(2)ππ+-⋅-( ) A.sin 2cos2+ B.cos2sin 2- C.sin 2cos2-D.cos2sin 2±-5．实数20.2a =，2log b =，0.22c =的大小关系正确的是( ) A ．a c b <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．b c a <<6．设函数()sin(2)6f x x π=+的图象为C ，则下列结论正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．图象C 关于直线6x π=对称C ．图象C 可由函数()sin 2g x x =的图象向左平移3π个单位长度得到 D ．函数()f x 在区间(,)122ππ-上是增函数7．若直线1l ：60x ay ++=与2l ：()2320a x y a -++=平行，则1l 与2l 间的距离为( ) A.2B.823C.3D.8338．已知0a >且1a ≠，函数()()()2360(0)x a x a x f x a x ⎧-+-≤=⎨>⎩，满足对任意实数()1212,x x x x ≠，都有()()()12120x x f x f x ⎡⎤-->⎣⎦成立，则实数a 的取值范围是（ ）A.()2,3B.(]2,3C.72,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D.72,3⎛⎤ ⎥⎝⎦9．已知函数()()2log x(x 0)x f x 3x 0>⎧=≤⎨⎩，那么1f f 4⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值为( )A.9B.19C.9-D.19- 10．是一个平面，是两条直线，是一个点，若，，且，，则的位置关系不可能是( ) A ．垂直 B ．相交C ．异面D ．平行11．如果函数在区间上是增函数，而函数在区间上是减函数，那么称函数是区间上的“缓增函数”，区间叫做“缓增区间”，若函是区间上的“缓增函数”，则其“缓增区间”为 A ． B ．C ．D ．12．的定义域为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30°，若SAB V 的面积为8，则该圆锥的体积为__________．14．设定义域为R 的函数，若关于x 的函数，若关于x 的函数有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是______． 15．已知(0,)απ∈且3cos()65πα-=．求cos α=_________. 16．已知实数x ，y 满足不等式组2202x y y y x+-≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，则1y x +的最大值为_______.三、解答题17．如图，在直三棱柱中，，，分别为，，的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.18．已知()f x 在x ∈R 是恒有22[()]()f f x x x f x x x -+=-+.（1）若(2)3f =，求(1)f ；（2）设有且仅有一个实数0x ，使得00()f x x =，求函数()f x 的解析式. 19．已知0a >，0b >，直线1x ya b+=经过点()12，． （1）求ab 的最小值； （2）求2+a b 的最小值． 20．已知函数21()cos 4sin 22sin 2sin 2f x x x x x =+-，x ∈R ． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和最大值； （Ⅱ）将函数()y f x =的图象向左平移8π个单位长度，得到()y g x =图象．若对任意[]12,0,x x t ∈，当12x x <时，都有1212()()()()f x f x g x g x -<-成立，求实数t 的最大值．21．已知二次函数()21(0)f x ax bx a =++>，若()10f -=，且对任意实数x 均有()0f x ≥成立，设()()g x f x kx =-()1当[]2,2x ∈-时，()g x 为单调函数，求实数k 的范围； ()2当[]1,2x ∈时，()0g x <恒成立，求实数k 的范围．22．已知中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若．（Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若，求周长的最大值．【参考答案】***一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A D C B B B D B D DC13．8π 14．．15334- 16．2 三、解答题17．（1）略； （2）略.18．（1）(1)1f =（2）2()1f x x x =-+19．（1）8（2）920．（Ⅰ）函数()f x 的最小正周期为π，最大值是22（Ⅱ）π821．（1）{|2k k ≤-，或6}k ≥；（2）92k k ⎧⎫⎨⎬⎩⎭22．(1)；(2)面积的最大值为．2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．已知函数()222xf x m x m =⋅++-，若存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则实数m 的取值范围为（ ）A.(]2(01]-∞-⋃，，B.[)(]2001-⋃，， C.[)[)201-⋃+∞，， D.(][)21-∞-⋃+∞，， 2．已知函数y=f （x ）定义域是[-2，3]，则y=f （2x-1）的定义域是（ ） A ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,4-C ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]5,5-3．已知点()1,2A 在直线10(0,0)ax by a b +-=>>上，若存在满足该条件的,a b 使得不等式2128m m a b+≤+成立，则实数m 的取值范围是（） A ．(,1][9,)-∞-⋃+∞ B ．(,9][1,)-∞-⋃+∞ C ．[]1,9- D ．[]9,1-4．若函数的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍个图象沿轴向左平移个单位，沿y 轴向下平移1个单位，得到函数的图象则是（ ） A ． B ． C ．D ．5．在ABC ∆中，若2sin sin cos 2AB C = ，则ABC ∆是（ ） A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形D.等腰直角三角形6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取4%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A ．400，40B ．200，10C ．400，80D ．200，207．若2log 3a =，4log 7b =，40.7c =，则实数,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．c b a >>8．若从集合{}2,1,2A =-中随机取一个数a ，从集合{}1,1,3B =-中随机取一个数b ，则直线0ax y b -+=一定．．经过第四象限的概率为( ) A ．29B ．13C ．49D ．599．若函数()()3sin 0f x x ωω=>能够在某个长度为3的闭区间上至少三次出现最大值3，且在,1110ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则整数ω的值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．710．若x A ∈，则1A x ∈，就称A 是伙伴关系集合，集合11,0,,2,32M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( ) A.1B.3C.7D.3111．一个盒子内装有红球、白球、黑球三种球，其数量分别为321，，，从中任取两球，则互斥而不对立的两个事件为( )A.至少有一个白球；都是白球B.至少有一个白球；至少有一个红球C.恰有一个白球；一个白球一个黑球D.至少有一个白球；红球、黑球各一个12．将函数()3sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上的所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变，再将所得图象向右平移()0m m >个单位后得到的图象关于原点对称，则m 的最小值是（ ） A.6πB.3π C.23π D.56π 二、填空题13．函数y=1-sin 2x-2sinx 的值域是______ ．14．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4＜0恒成立，则m 的取值范围是______． 15．数，定义函数，给出下列命题：①；②函数是偶函数；③当时，若，则有成立；④当时，函数有个零点.其中正确命题的个数为_________.16．已知直线:360l x y +-=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，则||CD =_______.三、解答题17．已知数列{}n a 中，12a =，()124,2n n a a n n N n *--+=∈≥.(1)求数列{}n a 的通项公式: (2)设121n n b a =-，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T .18．某民营企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润y 与投资x 成正比，其关系如图甲，B 产品的利润y 与投资x 的算术平方根成正比，其关系如图乙(注：利润与投资单位为万元).()1分别将A ，B 两种产品的利润y 表示为投资x 的函数关系式；()2该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A ，B 两种产品的生产.问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少万元？19．已知圆M ：x 2+(y-1)2=16外有一点A(4，-2)，过点A 作直线l 。
2019-2020学年安徽省合肥市六校高一上学期期末考试数学试卷
安徽省合肥市六校2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷(考试时间：100分钟 满分：120分)命题学校一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一个正确答案，请把正确答案涂在 答题卡上）1. 已知集合}1|{},2,1,0,1{2≤=-=x x Q P ，则=Q P （ ）A. }2,1,0{B. }1,0,1{- C .}1,0{ D. }1,1{-2.=（ ）A. B.CD.3. 已知2.023.02,2.0log ,2.0===p n m ，则 （ ）A.p n m >> B. m n p >> C . p m n >> D. n m p >>4 .已知则 （ ）A.B.C .D.5 函数2)(-+=x e x f x的零点所在的一个区间是 （ ） A. )1,2(-- B. )0,1(- C . )1,0( D. )2,1( 6. 下列各式中正确的是 （ ）A.B.C.D.7. 函数的图象大致是 ( )8. 若函数是偶函数，则的值不可能是 （ ）A.B.C.D.9. 将函数图象上每一点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象，再将图象向左平移个单位长度，得到图象，则图象的一个对称中心是 （ ）A. B.C. D.10. 已知函数),3(log )(22a ax x x f +-=对于任意的2≥x ，当0>∆x 时，恒有)()(x f x x f >∆+，则实数a 的取值范围是（ ）A. )4,4[-B. ]4,(-∞C .]4,4(- D.),4[+∞二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11.幂函数的图像经过点)81,2(，则满足27)(-=x f 的x 的值为12.函数(a的最小正周期为2,则13. 已知函数1sin )(++=x b ax x f ，若,7)5(=f 则=-)5(f14.已知，则15. 将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个.若每个涨价1元，则日销售量减少10个，为获得最大利润，则此商品当日销售价应定为每个 元.三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）16.已知函数.110,11,11)(≥<<⎪⎩⎪⎨⎧--=x x xx x f （1）指出函数)(x f 在区间),1[),1,0(+∞上的单调性（不必证明）； （2）当b a <<0，且)()(b f a f =时，求ba 11+的值； 17.已知函数的部分图象如图所示,图象与x 轴两个交点的横坐标分别为和.(1) 求、、的值. (2) 求使成立的x 取值的集合.18.若函数122)(12-⋅-=+x xa x f 在区间]1,0[上的最小值为1-，求实数a 的值.19.已知函数.(1)求f(x)的最小正周期与单调减区间.(2)20.已知函数)01,()(>>>∈-=b a R k kb a x f xx ，是否存在这样的a 、b 、k ，满足下面三个条件：①不等式0)(>x f 的解集是),0(+∞； ②函数)(x f 在),1[+∞上的最小值等于1；③2)2(f.若存在，求出a、b、k的值；若不存在，请说明理由.数学答案一、选择题二、填空题11. -13 12． 32+ ; 13. 5- ; 14. ; 15. 14.三、解答题16.解：（1）)(x f 在)1,0(上为减函数，在),1[+∞上是增函数. … …5分 (2)由b a <<0，且)()(b f a f =，知b a <<<10，则bb f a a f 11)(,11)(-=-=，b a 1111-=-∴，.211=+∴ba … …10分 17.解：(1)又,又,(2)18.解：设则原函数可化为,2t x=2()21,[1,2]g t t at t =--∈，.3分 (1)当2≥a 时，,143)2()(min -=-==a g t g 解得1=a ，舍去..5分(2)当21<<a 时，,11)()(2min -=--==a a g t g 解得0=a ，舍去..7分 (3)当1≤a 时，,12)1()(min -=-==a g t g 解得21=a ，舍去.10.分19.解：(1)单调减区间为(2),8分20.解：由,0>-xxkb a 得. … …2分(1)当0≤k 时，则R x ∈;显然不符合题意 … …3分 (2)当0>k 时，k x ba log >，而0)(>x f 的解集是),0(+∞，故.1,0log ==k k ba … …5分)01()(>>>-=b a b a x f x x 是增函数， … …7分因为函数)(x f 在),1[+∞上的最小值等于1，故1)1(=-=b a f ，又2)2(=f ，故222=-b a ，解得.21,23==b a … …9分 故存在21,23==b a ，1=k 同时满足题设条件. … …10分。
安徽省合肥市六校2019_2020学年高一数学上学期期末考试试题
安徽省合肥市六校2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题(考试时间：100分钟 满分：120分)命题学校一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一个正确答案，请把正确答案涂在 答题卡上）1. 已知集合}1|{},2,1,0,1{2≤=-=x x Q P ，则=Q P I （ ） A. }2,1,0{ B. }1,0,1{- C.}1,0{ D. }1,1{-2.=（ ）A. B. C D.3. 已知2.023.02,2.0log ,2.0===p n m ，则 （ ）A. p n m >>B. m n p >>C. p m n >>D. n m p >>4 .已知则 （ ）A.B.C.D.5 函数2)(-+=x e x f x 的零点所在的一个区间是 （ ） A. )1,2(-- B. )0,1(- C. )1,0( D. )2,1( 6. 下列各式中正确的是 （ ） A.B.C.D.7. 函数的图象大致是 ( )8. 若函数是偶函数，则的值不可能是 （ ） A.B.C.D.9. 将函数图象上每一点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象，再将图象向左平移个单位长度，得到图象，则图象的一个对称中心是 （ ） A.B .C.D.10. 已知函数),3(log )(22a ax x x f +-=对于任意的2≥x ，当0>∆x 时，恒有)()(x f x x f >∆+，则实数a 的取值范围是（ ）A. )4,4[-B. ]4,(-∞C.]4,4(-D.),4[+∞二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11.幂函数的图像经过点)81,2(，则满足27)(-=x f 的x 的值为 12.函数(a的最小正周期为2,则13. 已知函数1sin )(++=x b ax x f ，若,7)5(=f 则=-)5(f 14.已知，则15. 将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个.若每个涨价1元，则日销售量减少10个，为获得最大利润，则此商品当日销售价应定为每个 元.三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）16.已知函数.110,11,11)(≥<<⎪⎩⎪⎨⎧--=x x xx x f（1）指出函数)(x f 在区间),1[),1,0(+∞上的单调性（不必证明）； （2）当b a <<0，且)()(b f a f =时，求ba 11+的值； 17.已知函数的部分图象如图所示,图象与x 轴两个交点的横坐标分别为和.(1) 求、、的值. (2) 求使成立的x 取值的集合.18.若函数122)(12-⋅-=+x xa x f 在区间]1,0[上的最小值为1-，求实数a 的值.19.已知函数.(1)求f(x)的最小正周期与单调减区间.(2)20.已知函数)01,()(>>>∈-=baRkkbaxf xx，是否存在这样的a、b、k，满足下面三个条件：①不等式)(>xf的解集是),0(+∞；②函数)(xf在),1[+∞上的最小值等于1；③2)2(=f.若存在，求出a、b、k的值；若不存在，请说明理由.数学答案一、选择题二、填空题11.-13 12．32+ ; 13. 5- ; 14. ; 15. 14.三、解答题16.解：（1）)(xf在)1,0(上为减函数，在),1[+∞上是增函数. ……5分(2)由ba<<0，且)()(bfaf=，知ba<<<10，则bbfaaf11)(,11)(-=-=，ba1111-=-∴，.211=+∴ba……10分17.解：(1)又,又,(2)18.解：设则原函数可化为,2tx=2()21,[1,2]g t t at t=--∈，.3分Λ(1)当2≥a时，,143)2()(min-=-==agtg解得1=a，舍去..5分Λ(2)当21<<a时，,11)()(2min-=--==aagtg解得0=a，舍去..7分Λ(3)当1≤a时，,12)1()(min-=-==agtg解得21=a，舍去.10.L分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 B B D D C C A C A C19.解：(1)单调减区间为(2),8分20.解：由,0>-xxkb a 得. … …2分(1)当0≤k 时，则R x ∈;显然不符合题意 … …3分 (2)当0>k 时，k x ba log >，而0)(>x f 的解集是),0(+∞，故.1,0log ==k k ba … …5分)01()(>>>-=b a b a x f x x 是增函数， … …7分因为函数)(x f 在),1[+∞上的最小值等于1，故1)1(=-=b a f ，又2)2(=f ，故222=-b a ，解得.21,23==b a … …9分 故存在21,23==b a ，1=k 同时满足题设条件. … …10分。
安徽省合肥市2019-2020学年高一数学上学期“金汤白泥乐槐”六校联考试题(含答案)
安徽合肥市2019～2020学年高一上学期“金汤白泥乐槐”六校联考数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N = ( )A ．}{43x x -<<B ．}42{x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<2.已知集合，{A x y ==，若，则实数的取值范围为（） A. B. C. D.3.下列四个图形中，不是．．以x 为自变量的函数的图象是（ ）A. B. C. D.4. 函数的定义域是（ ）A. [ -2,2)B.C.D.5．已知函数, 则 的值为（ ）A ．13B ．﹣13C ．7D ．﹣76．函数1()()0()x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数， 则下列结论错误的是( )A ．()f x 是偶函数B ．()f x 的值域是{0,1}C ．方程(())()f f x f x =的解只有1x =D ．方程(())f f x x =的解只有1x =7.函数 的图象是（ ）A. B. C. D.8.下列函数是偶函数且在区间(,0)-∞上为增函数的是（ ）7)3(,3)(35=--+-=f cx bx ax x f )3(f 111)(+-=x x f.A 2y x = .B 1y x =.C y x = .D 2y x =- 9．已知 , 则 （ ） A ．x 2+8x+7 B ．x 2+6x C ．x 2+2x ﹣3 D ．x 2+6x ﹣1010．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系 (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃ 的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )A ．16小时B ．20小时C ．24小时D ．28小时 11．已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数，且f (x )在(－∞，0)上是减函数，f (2)＝0，g (x )＝f (x ＋2)，则不等式xg (x )≤0的解集是( )A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B ．[－4，－2]∪[0，＋∞)C ．(－∞，－4]∪[－2，＋∞)D ．(－∞，－4]∪[0，＋∞)12. 对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a －b ≤1，b ，a －b ＞1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x ∈R.若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )． A ．(－∞，－2]∪ B ．(－∞，－2]∪ C. ∪ D. ∪二、填空题：(本大题4小题，每小题3分，共12分)13. 已知则f[f （3）]=__________. 14. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则时，__________． 15.已知f (x )是奇函数，g (x )＝ ，若g (2)＝3，则g (－2)＝________. 16.给出下列命题：①函数()212+-=x y 在[]0,3上的值域为[]63，；②函数3x y =，(]1,1-∈x 是奇函数；③函数xx f 1)(=在R 上是减函数；其中正确的个数为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）．已知集合，， （1）求，（2）求.54)1(2-+=-x x x f =+)1(x f b kx e y +=)23,1(-)43,1(--)41,1(-),41(∞+)43,1(--),41(∞+)()(2x f x f +B A18．（12分）已知 (x ∈R, 且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R)． (1)求f (2)，g (2)的值；(2)求f (g (2))的值；(3)求f (a －1)，g (a ＋1)的值．19.(12分)已知函数f (x )的定义域是满足x ≠0的一切实数，对定义域内的任意x 1，x 2都有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，且当x >1时，f (x )>0.求证：(1)f (x )是偶函数；(2)f (x )在(0，＋∞)上是增函数．20．（12分）已知 为定义在 上的奇函数，且 时， . (1)求时，函数 的解析式； (2)写出函数的单调区间（不需证明）.21.（12分） 庐江中心城某一消费品专卖店，已知该消费品的进价为每件元，该店每月销售量（百件）与销售单价（元/件）之间的关系用下图的一折线表示，职工每人每月工资为元，该店还应交付的其它费用为每月元.（Ⅰ）把表示为的函数； （Ⅱ）当销售价为每件元时，该店正好收支平衡（即利润为零），求该店的职工人数； （Ⅲ）若该店只有名职工，问销售单价定为多少元时，该专卖店可获得最大月利润?（利润收入支出）()11f x x=+()f x R 0x ≥()22f x x x =-+0x <()f x ()f x22.（12分）已知函数 (1)判断函数的奇偶性；(2)证明：f (x )在定义域内是增函数；(3)求f (x )的值域．()10101010x xx x f x ---=+六校联盟高一数学第一次联考答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．CCCBB CBDAC CB二、填空题：(本大题4小题，每小题3分，共12分)13. 10 14.15. -116. 0三．解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.解：(1)由，可得， 所以， 又因为所以； （2）由可得或， 由可得. 所以. 18.解：(1)∵f (x )＝，∴f (2)＝＝； 又∵g (x )＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6.(2)f (g (2))＝f (6)＝＝.(3)f (a －1)＝＝；g (a ＋1)＝(a ＋1)2＋2＝a 2＋2a ＋3.19.证明 (1)令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.令x 1＝x 2＝－1，得f (1)＝2f (－1)，∴f (－1)＝0，令x 1＝－1，x 2＝x ，得f (－x )＝f (－1·x )＝f (－1)＋f (x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(2)设x 2>x 1>0，则f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1·x 2x 1－f (x 1)＝f (x 1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1－f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1. ∵x 2>x 1>0，∴x 2x 1>1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1>0，即f (x 2)－f (x 1)>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数． 20.解析：（1）任取0x <，则0x ->， ()()()2222f x x x x x ∴-=--+-=--， 又()f x 为奇函数， ()()22f x f x x x ∴=--=+，所以0x <时，函数()22f x x x =+；(2) ()f x 的单调递增区间是[-1,1]；单调递减区间是][(,1,1,)-∞-+∞. 21.解：（1）. …………………4分当时，， 所以时，取最大值15000元； 当时，， 所以时，取最大值15000元； 故当时，取最大值15000元， 即销售单价定为元时，该专卖店月利润最大.22.解 (1)∵f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝10－x －10x10x ＋10－x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(2)证法一：f (x )＝10x －10－x 10x ＋10－x ＝102x－1102x ＋1＝1－2102x ＋1，令x 2>x 1，则f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2102x 2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2102x 1＋1＝2×102x 2－102x 1102x 2＋1102x 1＋1.∵x 2>x 1，∴102x 2－102x 1>0，又102x 2＋1>0,102x1＋1>0，f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)，∴函数f (x )在定义域内是增函数．证法二：f (x )＝10x －10－x10x ＋10－x ＝1－2102x ＋1.∵y 1＝10x为增函数，∴y 2＝102x ＋1为增函数，y 3＝2102x ＋1为减函数，y 4＝－2102x ＋1为增函数，f (x )＝1－2102x ＋1为增函数．∴f (x )＝10x －10－x10x ＋10－x 在定义域内是增函数．(3)令y ＝f (x )，由y ＝10x －10－x10x ＋10－x ，解得102x ＝1＋y1－y ，∵102x >0，∴－1<y <1，即函数f (x )的值域是(－1,1)．。
安徽省合肥市六校2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题
2019-2020学年度第一学期合肥市六校联考高一年级期末教学质量检测数学试卷（满分：150分 考试时间：120分钟）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.每小题4个选项中，只有1个选项符合 题目要求.）1.已知集合{}|22A x x =-≤<，{}2|230B x x x =--≤，则A B =：A.[1,1]-B.[2,1]--C.[1,2)D.[1,2)-2.设函数()()()2111x x f x x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则[(4)]f f -的值为： A.16 B.15 C.5- D.15-3.已知角α的终边上一点P 的坐标为22(sin,cos )33P ππ，则sin α的值为： A.12-B.12C.2D.2-4.在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB ： A.3144AB AC + B.1344AB AC -C.3144AB AC -D.1344AB AC + 5.已知，0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则：A.a b c <<B.a c b <<C.c a b <<D.b c a <<6.已知1sin()33πα+=，则5cos()6πα+=： A.13B.3C.13-D.3-7.函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间是：A.1(,0)4-B.13(,)24C.1(0,)4D.11(,)428.已知非零向量,a b 满足||2||a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为： A.3πB.6π C.56π D.23π 9.幂函数223()(1)m m f x m m x +-=--在(0,)+∞时是减函数,则实数m 的值为：A.2B.21-或C.1-D.-21或10.设函数()cos()3f x x π=+，则下列结论错误的是：A.()f x 的一个周期为2-πB.()f x 在上(,)2ππ单调递减C.()y f x =的图像关于直线83x π=对称 D.()f x π+的一个零点为6x π= 11.已知,0a b >，且1,1a b ≠≠，若log 1a b > ，则有：A.(1)()0b b a -->B.(1)()0a a b -->C.(1)()0b b a --<D.(1)(1)0a b --< 12.函数2sin ()cos x xf x x x+=+在[,]ππ-的图像大致为： A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中的横线上.） 13.23log 9log 4⋅= . 14.已知1tan 3α=-，tan()1αβ+=，则tan β= . 15.函数sin 3y x x =图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移 个单位长 度得到. 16.若函数2(21)1,0()(2),0m x m x f x x m x x -+->⎧=⎨-+-≤⎩在R 上为单调递增函数，则实数m 的取值范围 为 .三、解答题（本大题共6小题，满分70分,解答题应写出文字说明及演算步骤.） 17.（本题满分10分）已知集合{}|3A x a x a =≤≤+，{}=|-15RB x x ≤≤.（1）若=A B φ，求实数a 的取值范围；（2）若=A B A ，求实数a 的取值范围.18.（本题满分12分） 已知2sin()cos(2)tan()()tan()sin()f παπααπαπαπα---+=+--.（1）化简()f α；（2）若α是第四象限角，且33cos()25πα-=，求()f α的值.19.（本题满分12分）已知函数1()(01)1x xa f x a a a -=>≠+且 . （1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）若01a <<，判断函数()f x 在R 上的单调性，并证明.20.（本题满分12分）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，12()log (1)f x x =-+.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若(1)1f a -<-，求实数a 的取值范围.21.（本题满分12分）已知向量413(cos ,sin ),(cos ,sin ),||13a b a b ααββ==-=. （1）求cos()αβ-的值； （2）若0,022ππαβ<<-<<，且4sin 5β=-，求sin α的值.22.（本题满分12分） 已知函数2()sin(2)sin(2)2cos 1,33f x x x x x R ππ=++-+-∈.（1）求函数()f x 的单调递减区间； （2）若函数()21y f x a =-+在[0,]2π上有两个零点，求实数a 的取值范围.2019-2020学年度第一学期合肥市六校联考 高一年级期末教学质量检测数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中的横线上．）13. 4 14. 2 15. 3π16. [1,2]三、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答题应写出文字说明及演算步骤.） 17. 解： （1）由{}=|-15RB x x ≤≤得：{}|15B x x x =<->或. ......2分若=A B φ，则有：-135a a ≥⎧⎨+≤⎩，故12a -≤≤. ......6分（2）若=AB A ，则有A B ⊆，结合数轴得：315a a +<->或，45a a <->即或.......10分18. 解： （1）2sin cos (tan )()2cos tan sin f ααααααα-==-. ......6分（2）33cos()sin 25παα-=-=，所以3sin 5α=-，又α是第四象限角， 故4cos 5α=.即8()5f α=-. ......12分 19.解：（1）函数的定义域为R ， 11()()11x xxxa a f x f x a a-----===-++.有()()f x f x -=-,所以()f x 是奇函数. ......6分（2）设1212(,R)x x x x <∈，1212121212112()11(1)(1()-())x x x x x x x x a a a a a a a a f x f x ----==++++. 当01a <<时，12x xa a >，有12()()f x f x >，所以()f x 在R 上是减函数；......12分20.解：（1）当0x >时，0x -<，故12log (()1)f x x -=+，又()f x 是偶函数，所以0x >时，12()()log (1)f x f x x ==+-.综上，1212log (1),0()log (1),0x x f x x x -+≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩. ......6分（2）由()f x 为偶函数得：()(||)f x f x =.又()f x 在[0,)+∞为减函数，且(1)1f =-， 故有(|1|)(1)f a f -<，即|1|1a ->，解得20a a ><或.故所求实数a 的取值范围为：(,0)(2+)-∞∞，. ......12分21.解：（1）(cos cos ,sin sin )a b αβαβ-=--， 222||(cos cos )(sin sin )a b αβαβ-==-+-22co )3s 16(1αβ-==-，所以5os(13c )βα-= . ......6分 （2）由-02πβ<<，及4sin 5β=-，得：3cos 5β=. 由0,022ππαβ<<-<< 得： 0αβπ<-<，所以12()13sin βα-=.故sin =sin[)]ααββ-+=（ 1235416()sin )cos cos )si 131565n 53αββαββ-+-⨯=+⨯-=（（. ......12分22.解：（1）()sin 2coscos 2sinsin 2coscos 2sincos 23333f x x x x x x ππππ=++-+sin 2cos2x x =+)4x π=+. 3222()242k x k k Z πππππ+≤+≤+∈令，得： 5()88k x k k Z ππππ+≤≤+∈. 故函数()f x 的单调递减区间为：5,]()88k k k Z ππππ++∈[ . ......6分 （2）函数()21y f x a =-+在[0,]2π上有两个零点，等价于方程()21f x a =-在[0,]2π有 两个不等的实根，即函数()f x 在[0,]2π上的图像与直线21y a =-有两个不同的交点.作出函数()f x 在[0,]2π上的图像，由121a ≤-<112a ≤<.......12分。
2019-2020学年高一数学上学期期末考试联考试题(含解析)
2019-2020学年高一数学上学期期末考试联考试题（含解析）注意事项：1. 本试卷满分150分，考试时间120分钟.2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等信息填写在答题卡指定位置上.3. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】根据并集定义求解．【详解】由题意．故选：D．【点睛】本题考查集合的并集运算，属于基础题．2.直线的倾斜角是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求斜率，即倾斜角的正切值，易得．【详解】，可知，即，故选B【点睛】一般直线方程求倾斜角将直线转换为斜截式直线方程易得斜率，然后再根据直线的斜率等于倾斜角的正切值易得倾斜角，属于简单题目．3.下列函数中，与函数是同一函数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】判断函数解析式和定义域是否与函数相同，即可求解.【详解】选项A，，所以不正确；选项B，但定义域为，而函数的定义域为，所以不正确；选项C，，定义域为，所以正确；选项D，，但定义域为，所以不正确.故选:C.【点睛】本题考查对函数定义的理解，判断两个函数是否相同，不仅要解析式相同，而且定义域也要一样，属于基础题.4.函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由对数真数大于0可得．【详解】由题意，，即定义域为．故选：D．【点睛】本题考查对数型复合函数的定义域，即求使对数式有意义的自变量的取值范围．5.若集合，集合，则集合与的关系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先确定集合中的元素，然后根据子集定义判断．【详解】由题意，，显然集合中的元素都属于，所以．故选：B．【点睛】本题考查集合的包含关系，根据子集定义判断．6.以点为圆心，且经过点圆的方程为( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】通过圆心设圆标准方程，代入点即可．【详解】设圆的方程为：，又经过点，所以，即，所以圆的方程：．故选B【点睛】此题考查圆的标准方程，记住标准方程的一般设法，代入数据即可求解，属于简单题目．7.已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】用集合的运算表示出阴影部分后可得结论．【详解】阴影部分为，由题意，故选：B．【点睛】本题考查集合的混合运算，考查Venn图，掌握集合运算的定义是解题关键．8.函数的图象是（）A. B. C.D.【答案】A【解析】【分析】确定函数的奇偶性与单调性，用排除法确定正确结论．【详解】，是偶函数，可排除C，D，又时，是增函数，排除B．故选：A．【点睛】本题考查由解析式选函数图象问题，可由解析式研究函数的性质，如奇偶性，单调性，对称性等等，研究函数值的变化规律，特殊的函数值等等用排除法确定正确选项．9.经过圆上一点的切线方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由过切点的半径与切线垂直求出切线斜率，可得切线方程．【详解】由题意圆心，，所以切线斜率为，切线方程，即．故选：D．【点睛】本题考查求圆的切线方程，关键是求出切线斜率．这可利用切线性质：切线与过切点的半径垂直．10.如图，两条直线与的图象可能是（）A. B. C.D.【答案】A【解析】【分析】显然，考虑直线的斜率，同时分和进行讨论．【详解】直线过原点，直线的斜率为1，排除B、D，直线的横截是，若，A不合题意，C也不合题意，若，C不合题，A符合题意．故选：A．【点睛】本题考查直线方程，由方程选择可能图象，从直线的特征研究，直线的斜率，直线的纵截距和横截距等等．11.设偶函数的定义域为，当时是增函数，则，，的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由偶函数把函数值的自变量转化到同一单调区间上，然后由单调性得出结论．【详解】因为是偶函数，所以，又，且在上是增函数，所以，即．故选：B．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，属于基础题．12.曲线y＝1＋与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是( )A. (，＋∞)B. (，]C. (0，)D. (，]【答案】D【解析】【分析】根据直线的点斜式方程可得直线经过点，曲线表示以圆心半径为2的圆的上半圆，由此作出图形，求出半圆切线的斜率和直线与半圆相交时斜率的最小值，数形结合可得结果.【详解】根据题意画出图形，如图所示：由题意可得：直线过A(2,4)，B(－2，－1)，又曲线y＝1＋图象为以(0,1)为圆心，2为半径的半圆，当直线与半圆相切，C为切点时，圆心到直线的距离d＝r＝2，由解得：k＝；当直线过B点时，直线的斜率为＝，则直线与半圆有两个不同的交点时，实数k的取值范围为(，]，故答案为(，]．故选D.【点睛】本题主要考查圆的方程与性质，直线与圆的位置关系，考查了数形结合思想的应用，属于中档题. 数形结合就是把抽象数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数的零点是______.【答案】【解析】【分析】解方程得出．【详解】由得，所以函数的零点是．故答案为：．【点睛】本题考查函数零点概念，掌握零点定义是解题关键．14.以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是______.【答案】【解析】【分析】求出圆心到切线的距离即为圆半径，可得方程．【详解】由题意圆的半径为，所求圆的方程为．故答案为：．【点睛】本题考查圆的方程，解题关键是求出圆的半径，根据是圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于圆的半径．15.如果直线的纵截距为正，且与两坐标轴围成的三角形的面积为8，则______.【答案】8【解析】【分析】先求出横、纵截距，由纵截距为正得出的范围，由三角形面积可求得．【详解】直线与轴的交点是，与轴交点是，由题意，，又，所以（－8舍去）．故答案为：8．【点睛】本题考查直线方程，由直线方程求出它与坐标轴的交点即可求解．16.已知圆的方程为，对于圆有下列判断：①圆关于直线对称；②圆关于直线对称；③圆的圆心在轴上，且过原点；④圆的圆心在轴上，且过原点.其中叙述正确的判断是______.（写出所有正确判断的序号）【答案】②【解析】【分析】配方求出圆心坐标和圆的半径，然后判断．【详解】圆的标准方程是，圆心为，半径为，显然原点坐标适合圆的方程，因此原点一定在圆上，圆心在直线上，因此圆关于直线对称，圆心不可能在直线和坐标轴上，否则，此时不合题意．故答案为：②．【点睛】本题考查圆的标准方程，利用配方法易求得圆心坐标和半径．要注意所有过圆心的直线都是圆的对称轴．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（1）已知幂函数的图象经过点，求函数的解析式；（2）计算：.【答案】（1）；（2）33．【解析】【分析】（1）设，代入已知点坐标计算；（2）由幂的运算法则和对数运算法则计算．【详解】（1）设，因为的图象经过点，所以，，所以；（2）．【点睛】本题考查幂函数的解析式，考查幂的运算法则和对数运算法则，属于基础题．18.已知两条直线：，：.（1）若，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）1；（2）．【解析】【分析】（1）由求解，同时要检验是否重合；（2）由求解．【详解】（1）由于，所以，解得或，时两直线方程分别为，，两直线平行，时，两直线方程分别为，，即，两直线重合，不合题意，舍去．所以；（2）若，则，．【点睛】本题考查两直线平行与垂直的条件．在由两直线平行求参数时要进行检验，排除重合的情形．19.已知圆：，直线过点.（1）判断点与圆的位置关系；（2）当直线与圆相切时，求直线的方程；（3）当直线的倾斜角为时，求直线被圆所截得的弦长.【答案】（1）圆外；（2）和；（3）．【解析】【分析】（1）把点坐标代入圆的方程可判断；（2）讨论斜率不存在的直线是否为切线，斜率存在时设切线方程为，由圆心到切线距离等于半径求出，得切线方程．（3）写出直线方程，求得圆心到直线的距离，由勾股定理计算弦长．【详解】（1）因为，所以点在圆外．（2）过与轴垂直的直线是圆的切线，过与轴不垂直的直线设方程为，即，，所以，解得，切线方程为，即．所以所求切线方程为和；（3）由题意直线方程为，即，圆心到直线的距离为，又所以弦长为．【点睛】本题考查点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系．过圆上的点的圆的切线只有一条，过圆外一点的圆的切线有两条，可分类讨论，分斜率存在和不存在两类．在求直线与圆相交弦长时，一般用几何方法求解，即求出圆心到直线的距离，由勾股定理计算．20.已知直线：，点到直线的距离为.（1）若直线过原点，求直线的方程；（2）若直线不过原点，且两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.【答案】（1）和；（2）和．【解析】【分析】（1）设直线方程为，由点到直线距离公式求得参数；（2）设直线方程为，再由点到直线距离公式求得参数；【详解】（1）直线过原点，设直线方程为，即，由题意，整理得，解得，所以直线方程为和；（2）直线不过原点且截距相等，设其方程为，即，由题意，解得或，所以直线方程为和．【点睛】本题考查求直线方程，掌握直线方程的各种形式是解题关键．21.已知圆：和圆：，点，分别在圆和圆上.（1）求圆的圆心坐标和半径；（2）求的最大值.【答案】（1），半径为；（2）．【解析】【分析】（1）圆方程配方后化为标准方程，可得圆心坐标和半径；（2）求出圆心距，圆心距加上两个半径即为的最大值．【详解】（1）圆标准方程是，圆心为，半径为，（2）圆的标准方程是，圆心为，半径为．由（1），所以．【点睛】本题考查圆的一般方程，考查两圆位置关系问题．圆的一般方程配方后成标准方程可得圆心坐标和半径，两圆上的点间距离的最值可由圆心距离与半径运算求得．22.某支上市股票在30天内每股的交易价格（单位：元）与时间（单位：天）组成有序数对，点落在如图所示的两条线段上.该股票在30天内（包括30天）的日交易量（单位：万股）与时间（单位：天）的部分数据如下表所示：第天4（万股）36（Ⅰ）根据所提供的图象，写出该种股票每股的交易价格与时间所满足的函数解析式；（Ⅱ）根据表中数据确定日交易量与时间的一次函数解析式；（Ⅲ）若用（万元）表示该股票日交易额，请写出关于时间的函数解析式，并求出在这30天中，第几天的日交易额最大，最大值是多少？【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）第15天交易额最大，最大值为125万元．【解析】【分析】（Ⅰ）由一次函数解析式可得与时间所满足的函数解析式；（Ⅱ）设，代入已知数据可得；（Ⅲ）由可得，再根据分段函数性质分段求得最大值，然后比较即得．【详解】（Ⅰ）当时，设，则，解得，当时，设，则，解得所以．（Ⅱ）设，由题意，解得，所以．（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）得即，当时，，时，，当时，，它在上是减函数，所以．综上，第15天交易额最大，最大值为125万元．【点睛】本题考查函数模型应用，解题时只要根据所给函数模型求出函数解析式，然后由解析式求得最大值．只是要注意分段函数必须分段计算最大值，然后比较可得．2019-2020学年高一数学上学期期末考试联考试题（含解析）注意事项：1. 本试卷满分150分，考试时间120分钟.2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等信息填写在答题卡指定位置上.3. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】根据并集定义求解．【详解】由题意．故选：D．【点睛】本题考查集合的并集运算，属于基础题．2.直线的倾斜角是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求斜率，即倾斜角的正切值，易得．【详解】，可知，即，故选B【点睛】一般直线方程求倾斜角将直线转换为斜截式直线方程易得斜率，然后再根据直线的斜率等于倾斜角的正切值易得倾斜角，属于简单题目．3.下列函数中，与函数是同一函数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】判断函数解析式和定义域是否与函数相同，即可求解.【详解】选项A，，所以不正确；选项B，但定义域为，而函数的定义域为，所以不正确；选项C，，定义域为，所以正确；选项D，，但定义域为，所以不正确.故选:C.【点睛】本题考查对函数定义的理解，判断两个函数是否相同，不仅要解析式相同，而且定义域也要一样，属于基础题.4.函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由对数真数大于0可得．【详解】由题意，，即定义域为．故选：D．【点睛】本题考查对数型复合函数的定义域，即求使对数式有意义的自变量的取值范围．5.若集合，集合，则集合与的关系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先确定集合中的元素，然后根据子集定义判断．【详解】由题意，，显然集合中的元素都属于，所以．故选：B．【点睛】本题考查集合的包含关系，根据子集定义判断．6.以点为圆心，且经过点圆的方程为( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】通过圆心设圆标准方程，代入点即可．【详解】设圆的方程为：，又经过点，所以，即，所以圆的方程：．故选B【点睛】此题考查圆的标准方程，记住标准方程的一般设法，代入数据即可求解，属于简单题目．7.已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】用集合的运算表示出阴影部分后可得结论．【详解】阴影部分为，由题意，故选：B．【点睛】本题考查集合的混合运算，考查Venn图，掌握集合运算的定义是解题关键．8.函数的图象是（）A. B. C.D.【答案】A【解析】【分析】确定函数的奇偶性与单调性，用排除法确定正确结论．【详解】，是偶函数，可排除C，D，又时，是增函数，排除B．故选：A．【点睛】本题考查由解析式选函数图象问题，可由解析式研究函数的性质，如奇偶性，单调性，对称性等等，研究函数值的变化规律，特殊的函数值等等用排除法确定正确选项．9.经过圆上一点的切线方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由过切点的半径与切线垂直求出切线斜率，可得切线方程．【详解】由题意圆心，，所以切线斜率为，切线方程，即．故选：D．【点睛】本题考查求圆的切线方程，关键是求出切线斜率．这可利用切线性质：切线与过切点的半径垂直．10.如图，两条直线与的图象可能是（）A. B. C.D.【答案】A【解析】【分析】显然，考虑直线的斜率，同时分和进行讨论．【详解】直线过原点，直线的斜率为1，排除B、D，直线的横截是，若，A不合题意，C也不合题意，若，C不合题，A符合题意．故选：A．【点睛】本题考查直线方程，由方程选择可能图象，从直线的特征研究，直线的斜率，直线的纵截距和横截距等等．11.设偶函数的定义域为，当时是增函数，则，，的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由偶函数把函数值的自变量转化到同一单调区间上，然后由单调性得出结论．【详解】因为是偶函数，所以，又，且在上是增函数，所以，即．故选：B．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，属于基础题．12.曲线y＝1＋与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是( )A. (，＋∞)B. (，]C. (0，)D. (，]【答案】D【解析】【分析】根据直线的点斜式方程可得直线经过点，曲线表示以圆心半径为2的圆的上半圆，由此作出图形，求出半圆切线的斜率和直线与半圆相交时斜率的最小值，数形结合可得结果.【详解】根据题意画出图形，如图所示：由题意可得：直线过A(2,4)，B(－2，－1)，又曲线y＝1＋图象为以(0,1)为圆心，2为半径的半圆，当直线与半圆相切，C为切点时，圆心到直线的距离d＝r＝2，由解得：k＝；当直线过B点时，直线的斜率为＝，则直线与半圆有两个不同的交点时，实数k的取值范围为(，]，故答案为(，]．故选D.【点睛】本题主要考查圆的方程与性质，直线与圆的位置关系，考查了数形结合思想的应用，属于中档题. 数形结合就是把抽象数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数的零点是______.【答案】【解析】【分析】解方程得出．【详解】由得，所以函数的零点是．故答案为：．【点睛】本题考查函数零点概念，掌握零点定义是解题关键．14.以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是______.【答案】【解析】【分析】求出圆心到切线的距离即为圆半径，可得方程．【详解】由题意圆的半径为，所求圆的方程为．故答案为：．【点睛】本题考查圆的方程，解题关键是求出圆的半径，根据是圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于圆的半径．15.如果直线的纵截距为正，且与两坐标轴围成的三角形的面积为8，则______.【答案】8【解析】【分析】先求出横、纵截距，由纵截距为正得出的范围，由三角形面积可求得．【详解】直线与轴的交点是，与轴交点是，由题意，，又，所以（－8舍去）．故答案为：8．【点睛】本题考查直线方程，由直线方程求出它与坐标轴的交点即可求解．16.已知圆的方程为，对于圆有下列判断：①圆关于直线对称；②圆关于直线对称；③圆的圆心在轴上，且过原点；④圆的圆心在轴上，且过原点.其中叙述正确的判断是______.（写出所有正确判断的序号）【答案】②【解析】【分析】配方求出圆心坐标和圆的半径，然后判断．【详解】圆的标准方程是，圆心为，半径为，显然原点坐标适合圆的方程，因此原点一定在圆上，圆心在直线上，因此圆关于直线对称，圆心不可能在直线和坐标轴上，否则，此时不合题意．故答案为：②．【点睛】本题考查圆的标准方程，利用配方法易求得圆心坐标和半径．要注意所有过圆心的直线都是圆的对称轴．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（1）已知幂函数的图象经过点，求函数的解析式；（2）计算：.【答案】（1）；（2）33．【解析】【分析】（1）设，代入已知点坐标计算；（2）由幂的运算法则和对数运算法则计算．【详解】（1）设，因为的图象经过点，所以，，所以；（2）．【点睛】本题考查幂函数的解析式，考查幂的运算法则和对数运算法则，属于基础题．18.已知两条直线：，：.（1）若，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）1；（2）．【解析】【分析】（1）由求解，同时要检验是否重合；（2）由求解．【详解】（1）由于，所以，解得或，时两直线方程分别为，，两直线平行，时，两直线方程分别为，，即，两直线重合，不合题意，舍去．所以；（2）若，则，．【点睛】本题考查两直线平行与垂直的条件．在由两直线平行求参数时要进行检验，排除重合的情形．19.已知圆：，直线过点.（1）判断点与圆的位置关系；（2）当直线与圆相切时，求直线的方程；（3）当直线的倾斜角为时，求直线被圆所截得的弦长.【答案】（1）圆外；（2）和；（3）．【解析】【分析】（1）把点坐标代入圆的方程可判断；（2）讨论斜率不存在的直线是否为切线，斜率存在时设切线方程为，由圆心到切线距离等于半径求出，得切线方程．（3）写出直线方程，求得圆心到直线的距离，由勾股定理计算弦长．【详解】（1）因为，所以点在圆外．（2）过与轴垂直的直线是圆的切线，过与轴不垂直的直线设方程为，即，，所以，解得，切线方程为，即．所以所求切线方程为和；（3）由题意直线方程为，即，圆心到直线的距离为，又所以弦长为．【点睛】本题考查点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系．过圆上的点的圆的切线只有一条，过圆外一点的圆的切线有两条，可分类讨论，分斜率存在和不存在两类．在求直线与圆相交弦长时，一般用几何方法求解，即求出圆心到直线的距离，由勾股定理计算．20.已知直线：，点到直线的距离为.（1）若直线过原点，求直线的方程；（2）若直线不过原点，且两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.【答案】（1）和；（2）和．【解析】【分析】（1）设直线方程为，由点到直线距离公式求得参数；（2）设直线方程为，再由点到直线距离公式求得参数；【详解】（1）直线过原点，设直线方程为，即，由题意，整理得，解得，所以直线方程为和；（2）直线不过原点且截距相等，设其方程为，即，由题意，解得或，所以直线方程为和．【点睛】本题考查求直线方程，掌握直线方程的各种形式是解题关键．21.已知圆：和圆：，点，分别在圆和圆上.（1）求圆的圆心坐标和半径；（2）求的最大值.【答案】（1），半径为；（2）．【解析】【分析】（1）圆方程配方后化为标准方程，可得圆心坐标和半径；（2）求出圆心距，圆心距加上两个半径即为的最大值．【详解】（1）圆标准方程是，圆心为，半径为，（2）圆的标准方程是，圆心为，半径为．由（1），所以．【点睛】本题考查圆的一般方程，考查两圆位置关系问题．圆的一般方程配方后成标准方程可得圆心坐标和半径，两圆上的点间距离的最值可由圆心距离与半径运算求得．22.某支上市股票在30天内每股的交易价格（单位：元）与时间（单位：天）组成有序数对，点落在如图所示的两条线段上.该股票在30天内（包括30天）的日交易量（单位：万股）与时间（单位：天）的部分数据如下表所示：第天4（万36股）（Ⅰ）根据所提供的图象，写出该种股票每股的交易价格与时间所满足的函数解析式；（Ⅱ）根据表中数据确定日交易量与时间的一次函数解析式；（Ⅲ）若用（万元）表示该股票日交易额，请写出关于时间的函数解析式，并求出在这30天中，第几天的日交易额最大，最大值是多少？【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）第15天交易额最大，最大值为125万元．【解析】【分析】（Ⅰ）由一次函数解析式可得与时间所满足的函数解析式；（Ⅱ）设，代入已知数据可得；（Ⅲ）由可得，再根据分段函数性质分段求得最大值，然后比较即得．【详解】（Ⅰ）当时，设，则，解得，当时，设，则，解得所以．（Ⅱ）设，由题意，解得，所以．（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）得即，当时，，时，，当时，，它在上是减函数，所以．综上，第15天交易额最大，最大值为125万元．【点睛】本题考查函数模型应用，解题时只要根据所给函数模型求出函数解析式，然后由解析式求得最大值．只是要注意分段函数必须分段计算最大值，然后比较可得．。
安徽省合肥一中2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
安徽省合肥一中2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={−1,1，2，4，6}，B={x|x2+2x−8≤0}，则A∩B=()A. {−1,1}B. {−1,1，2}C. {−1,1，2，4}D. {−1,1，2，4，6}2.函数f(x)=√2x2−3x−2log2(x−1)的定义域是()A. (−12,2) B. (−∞,−12]∪[2,+∞)C. (2,+∞)D. [1,+∞)3.已知角a的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1,a)，B(2,b)，且cos2a=23，则=A. 15B. √55C. 2√55D. 14.《九章算术》是我国古代数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思说：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4.在此问题中，扇形的面积是()A. 415B. 158C. 100D. 1205.若θ∈[π4,π2]，sin2θ=3√78，则cosθ=()A. 34B. √78C. √74D. −346.函数f(x)=x1−2x −x2()A. 是偶函数，在(−∞,0)上是增函数B. 是偶函数，在(−∞,0)上是减函数C. 是奇函数，在(−∞,0)上是增函数D. 是奇函数，在(−∞,0)上是减函数7.要得到函数y=sin(2x−π3)的图象，应该把函数y=sin2x的图象()A. 向左平移π3B. 向右平移π3C. 向左平移π6D. 向右平移π68. 函数f(x)=x(e −x −e x )4x 2−1的部分图象大致是( )A.B.C.D.9. 函数y =b +asinx(a <0)的最大值为−1，最小值为−5，则y =tan(3a +b)x 的最小正周期为( )A. 2π9B. π9C. π3D. 2π310. 已知函数f(x)={3x −x 2,x <0ln(x +1),x ≥0，若|f(x)|≥ax ，则 a 取值范围是( )A. [−3,0]B. (−∞,1]C. (−∞,0]D. {−3,1}11. 已知函数f(x)(x ∈R)满足f(x)=f(2−x)，若函数y =|x 2−2x −3|与y =f(x)图象的交点为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，…(x m ,y m )，则∑x i m i=1=( )A. 0B. mC. 2mD. 4m12. 关于函数f(x)=√3cos(2x +π6)，x ∈R ，下列结论中正确的个数是( )①若f(x 1)=f(x 2)，则x 1−x 2必是π的整数倍； ②函数f(x)的图象关于直线x =5π12对称； ③函数f(x)在区间[0,π2]上的值域为[−32,32]； ④函数f(x)的解析式可写为f(x)=√3sin(2x +2π3)．A. 4B. 3C. 2D. 1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)=ln(√1+x 2+x)+x 3+3，则f(m)=1，则f(−m)=__________．14. 已知sin(π−α)=35，α∈(π2,π)，则tanα=______． 15. 若cosα=13，则sin (α+π3)−12sinα=____ . 16. 若函数f(x)=x 3−(12)x−2，零点x 0∈(n,n +1)(n ∈Z)，则n =__________．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 已知α∈(−π2,0)，sinα=−√55．(Ⅰ)求cos(π6−α)的值； (Ⅱ)求sin(π4+2α)的值． 18. 设函数．(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在[0,π]上的单调递增区间．19. 设函数y =f(x)是定义在R 上的函数，对任意实数x ，有f(1−x)=x 2−3x +3．(1)求函数y=f(x)的解析式；(2)若函数g(x)=f(x)−(1+2m)x+1(m∈R)在上的最小值为−2，求m的值．20.启东市政府拟在蝶湖建一个旅游观光项目，设计方案如下：如图所示的圆O是圆形湖的边界，沿线段AB，BC，CD，DA建一个观景长廊，其中A，B，C，D是观景长廊的四个出入口且都在圆O上，已知：BC=12百米，AB=8百米，在湖中P处和湖边D处各建一个观景亭，且它们关于直线AC对称，在湖面建一条观景桥APC.观景亭的大小、观景长廊、观景桥的宽度均忽略不计，设∠ABC=α．(1)若观景长廊AD=4百米，CD=AB，求由观景长廊所围成的四边形ABCD内的湖面面积；(2)当时，求三角形区域ADC内的湖面面积的最大值；(3)若CD=8百米且规划建亭点P在三角形ABC区域内(不包括边界)，试判断四边形ABCP内湖面面积是否有最大值？若有，求出最大值，并写出此时α的值；若没有，请说明理由．21.定义：对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x，满足f(−x)=−f(x)，则称f(x)为“局部奇函数”．(1)已知二次函数f(x)=ax2+2x−4a(a∈R)，试判断f(x)是否为“局部奇函数”？并说明理由；(2)若f(x)=2x+m是定义在区间[−1,1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围;(3)若f(x)=4x−m⋅2x+1+m2−3为定义域R上的“局部奇函数”,求实数m的取值范围。
2019-2020学年安徽省合肥一中,八中、六中高一上学期期末联考数学试题(含答案解析)
2019-2020学年安徽省合肥一中，八中、六中高一上学期期末联考数学试题一、单选题1．设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B =( ) A ．{}1,3- B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5【答案】C【解析】∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C2．函数()f x =的定义域为（ ）A ．1(0,)2B ．(2,)+∞C ．1(0,)(2,)2+∞UD ．1(0,][2,)2+∞U 【答案】C【解析】由题意得220(log )10x x >⎧⎨->⎩，0,1202x x x 或>⎧⎪⎨><<⎪⎩所以x ∈()10,2,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭，选C.3．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线3y x =上，则cos2θ=（ ）A ．45-B ．35-C ．35D ．45【答案】A【解析】根据题意可求出cos θ，利用二倍角公式求出cos2θ 【详解】解：当θ的终边在第一象限时，取直线3y x =上的点(1,3)，则r =，故cos10θ==，同理：当θ的终边在第三象限时，cos 10θ=-，所以224cos 22cos 12(15θθ=-=-=-. 故选：A. 【点睛】本题考查了三角函数的定义、二倍角公式，解题的关键是画出图形，准确使用定义和倍角公式.4．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》[三三]“今有宛田，下周六步，径四步问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长6步，其所在圆的直径是4步，问这块田的面积是（ ）平方步？ A ．12 B ．9C ．6D ．3【答案】C【解析】根据扇形面积公式，求出扇形面积. 【详解】解：因为弧长为6步，所在圆的直径为4步， 所以12662S =⨯⨯=（平方步）. 故选：C. 【点睛】本题考查了扇形的面积公式，解题的关键是熟记扇形面积公式.5．若0,4πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，sin 28θ=，则sin θ=（ ）A ．35B ．4C ．45D ．34【答案】B【解析】根据sin 2θ，先求出cos2θ，利用二倍角公式可以解出结果. 【详解】 解：[0,]4πθ∈Q2[0,]2πθ∴∈故1cos 28θ===又2cos 212sin θθ=- 即2112sin 8θ=- 由[0,]4πθ∈，解得：sin θ=. 故选：B. 【点睛】本题考查了同角三角函数关系、倍角公式等知识，解题的关键是灵活运用三角变换中的公式.6．已知函数()144xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （ ） A ．是奇函数，且在R 上是增函数 B ．是偶函数，且在R 上是增函数 C ．是奇函数，且在R 上是减函数 D ．是偶函数，且在R 上是减函数【答案】C【解析】利用函数的单调性、奇偶性定义等方法判断函数的性质. 【详解】解：函数()144xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为R ， 因为()1144()()44xx x x f x f x --⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭， 所以()144xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为奇函数；因为14xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上为减函数，4xy =-在R 上的减函数，所以()144xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在R 上的减函数， 综上：函数()144xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为奇函数，在R 上是减函数.故选：C. 【点睛】本题考查了函数的单调性与奇偶性的研究，解决问题的关键是熟练运用函数性质的定义.7．要得到函数4sin 33y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，只需要将函数4sin3y x =的图像（ ）A ．向左平移9π个单位 B ．向右平移9π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向右平移3π个单位 【答案】B【解析】先将函数4sin 33y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭转化为4sin(3())9y x π=-，然后根据平移的规则即可得出答案. 【详解】解：函数4sin 33y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭等价于4sin(3())9y x π=-，故只需要将4sin3y x =向右平移9π即可得到. 故选：B. 【点睛】本题考查了三角函数图象平移的规则，解题的关键是理清函数图象左右平移时，是自变量的平移.8．函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( ) A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴Q 为奇函数，舍去A, 1(1)0f e e -=->∴Q 舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x---+---++=='∴>'>Q ， 所以舍去C ；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．9．设函数()2cos cos f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期（ ）A ．与b 有关，但与c 无关B ．与b 有关，且与c 有关C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关【答案】A【解析】根据三角恒等变换化简()1cos 2cos 2xb xc f x +=++，对b ，c 分类讨论即可得解. 【详解】由于()21cos 2cos cos cos 2xx b x c b x c f x +=++=++. 当0b =时，()f x 的最小正周期为π； 当0b ≠时，()f x 的最小正周期2π；c 的变化会引起()f x 的图象的上下平移，不会影响其最小正周期.故选：A.【点睛】此题考查函数周期的辨析，关键在于弄清参数对函数的影响.10．已知函数 ()()2x 3x,x 0f x ln x 1,x 0⎧-+<⎪=⎨+≥⎪⎩，若 ()f x ax ≥∣∣，则 a 取值范围是()n nA ．(],0∞-B ．(],1∞- C ．[]3,0-D ．[]3,1-【答案】C【解析】当0x <时，230x x -+<，()23f x x x ax =-≥，所以3a x ≥-恒成立，所以3a ≥-；当0x ≥时，()ln(1)f x x ax =+≥恒成立，则在同一坐标系中由函数ln(1)(0)y x x =+≥与(0)y ax x =≥的图象可知0a ≤， 综上，30a -≤≤，故选C ．点睛：本题主要考查了分段函数的解析式和不等式的恒成立问题的求解，其中解答中涉及到分段函数的解析式，二次函数的性质和对数函数的单调性的应用，解答中牢记恒成立问题的求解和函数的基本性质是解答问题的关键，试题有一定的难度，属于中档试题. 11．已知函数()f x （x ∈R ）满足()()4f x f x -=-，若函数21x y x+=与()y f x =图像的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y ，则()1miii x y =+=∑（ ）A ．0B ．mC ．2mD ．4m【答案】C【解析】函数()f x （x ∈R ）满足()()4f x f x -=-，得到()y f x =是关于点(0,2)对称，函数21x y x+=经过化简也可以得到关于(0,2)对称，由此可知两个函数的交点就关于(0,2)对称，根据点的对称性，就可以得到()1miii x y =+∑的值.【详解】解：因为函数()f x （x ∈R ）满足()()4f x f x -=-，即函数()f x （x ∈R ）满足()()22f x f x -+=，所以()y f x =是关于点(0,2)对称，函数21x y x +=等价于12y x =+， 所以函数21x y x +=也关于点(0,2)对称，所以函数21x y x+=与()y f x =图像的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y 也关于点(0,2)对称，故交点()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y 成对出现，且每一对点都关于(0,2)对称， 故()12121()()0422mi i m m i mx y x x x y y y m =+=+++++++=+⨯=∑LL . 故选：C. 【点睛】本题考查了抽象函数对称性的综合应用，在解决抽象函数的问题时，和具体函数研究的方法相同，也是从奇偶性（对称性）、单调性、周期性等性质着手研究，然后可根据性质作出大致的草图进行研究.12．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 是偶函数 ②()f x 的最大值为2 ③()f x 在[],ππ-有4个零点 ④()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②④ B ．②③④C ．①③④D ．①②③【答案】A【解析】函数的奇偶性可根据定义判断，最值、零点、单调性等可将函数去绝对值进行分析. 【详解】解：()sin |||sin |f x x x =+的定义域为R ，因为()sin sin()sin sin ()f x x x x x f x -=-+-=+=， 故()f x 为偶函数，结论①正确，当*[2,(21)],x k k k N ππ∈+∈，()sin sin 2sin f x x x x =+=当*((21),(22)],x k k k N ππ∈++∈，()sin sin 0f x x x =-=故当0x ≥时，()**2sin ,[2,(21)],0,((21),(22)],x x k k k N f x x k k k N ππππ⎧∈+∈=⎨∈++∈⎩根据函数为偶函数，作出大致图象，如图所示故函数的最大值为2，结论②正确，根据图象可得，()f x 在[],ππ-有3个零点，故结论③错误，由图象可以看出，()f x 在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，结论④正确.故选：A. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性、三角函数的图象与性质，考查学生的推理论证能力和运算求解能力等.二、填空题13．已知函数()()2ln 1422f x x x =++，则()1lg 5lg 5f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭______.【答案】4【解析】先研究函数())2ln 1422f x x x =++的性质，然后利用对称性求解.【详解】 解：令)2()ln 142g x x x =+函数)2()ln142g x x x =+的定义域为R ，()))1222()ln142ln142ln142()g x x x x xx x g x --=+=+=-+=-，所以函数()2()ln142g x x x =+为奇函数，故()()()()()1lg 5lg lg 5lg 5lg 52lg 525f f f f g g ⎛⎫+=+-=++-+ ⎪⎝⎭()()lg5lg544g g =-+=.故答案为：4. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性，研究函数问题常见的方法是从函数的性质、图象等角度研究.14．已知()()()()sin 5cos 8tan 3sin cos 22f αππααπαππαα----=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中α是第三象限角，且31cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()f α=______.【答案】12-【解析】先利用诱导公式对函数()()()()sin 5cos 8tan 3sin cos 22f αππααπαππαα----=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭进行化简，再求解出31cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，进而求解出()f α的值. 【详解】解：()()()()sin 5cos 8tan 3sin cos 22f αππααπαππαα----=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()()[sin ]cos [tan ][cos ]sin ααααα--=-tan α=-，由31cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭化简得1sin 5α=-， 因为α是第三象限角，所以cos 5α===-，故tan 12α==，所以()12f α=-.故答案为：. 【点睛】本题考查了三角函数诱导公式、同角三角函数的关系等知识点，熟练运用公式是解决本题的关键.15．若04πα<<，04πβ-<<，1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos 433πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 3βα⎛⎫+= ⎪⎝⎭______.【答案】9【解析】由于()()3443βππβαα+=+--，利用两角和差公式可求出cos 3βα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 【详解】 解：因为04πα<<， 所以442πππα<+<，所以sin 43πα⎛⎫+==⎪⎝⎭，同理可得：sin 43πβ⎛⎫-=⎪⎝⎭故cos cos[()()]3443βππβαα⎛⎫+=+-- ⎪⎝⎭ cos()cos()sin()sin()443443ππβππβαα=+-++-1··33339=+=.故答案为：9. 【点睛】本题考查了两角和差公式的知识，解决问题的关键是整体思想的意识，还要关注角的范围的确定.16．设函数()f x （x ∈R ）满足()()f x f x -=，()()2f x f x =-，且当[]0,1x ∈时，()3f x x =.又函数()()cosg x x x π=，则函数()()()h x g x f x =-在13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的零点个数为______. 【答案】6【解析】根据题意，解出()f x 在13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的函数表达式，将零点问题转化为方程问题，结合函数图象进行求解. 【详解】 解：当1,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，10,2x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦， 故()33()()f x f x x x =-=-=-； 当31,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，12,12x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦， 故()3(2)(2)f x f x x =-=-.函数()()()h x g x f x =-的零点即为方程()()g x f x =的根， 故接下来研究方程()()g x f x =解的情况. 当1,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时， 方程()()g x f x =即为()3cos x x x π=-， 化简得()3cos x x x π-=-，显然0x =是一个根，当0x ≠时，方程()3cos x x x π-=-等价于()2cos x x π=，在1[,0)2x ∈-内，作出函数()cos y x π=与2y x =的图象，如图所示，可得有一个交点，故当1,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()()()h x g x f x =-有两个零点； 当(0,1]x ∈时，方程()()g x f x =即为()3cos x x x π=，化简得()2cos x x π=，在(0,1]x ∈内，作出函数()cos y x π=与2y x =的图象，如图所示，可得有3个交点，故当(0,1]x ∈时，函数()()()h x g x f x =-有3个零点； 当3(1,]2x ∈时，方程()()g x f x =即为()3cos (2)x x x π=-，化简得()3(2)cos x x xπ-=，在3(1,]2x ∈内，作出函数()cos y x π=与3(2)x y x-=的图象，如图所示，可得有一个交点，故当3(1,]2x ∈时，函数()()()h x g x f x =-有1个零点； 综上：函数()()()h x g x f x =-有6个零点. 故答案为：6. 【点睛】本题考查了函数的性质与图像、函数零点等知识，考查了转化与化归、数形结合等思想方法，属于函数综合应用问题，难度大.三、解答题 17．已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，5sin α.（1）求sin 6απ⎛⎫+⎪⎝⎭的值； （2）求5cos 23πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 【答案】（11525-；（2）34310+ 【解析】（1）利用两角和差公式求解； （2）利用二倍角公式、两角和差公式求解. 【详解】解：（1）因为,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，5sin α=，所以225cos 1sin αα=--， 所以sin sin cos cos sin 666πππααα⎛⎫+=+⎪⎝⎭125351525·(?252510=-+=，即sin 610πα⎛⎫+=⎪⎝⎭； （2）223cos 212sin 155αα=-=-=，4sin 22sin cos 2?·555ααα-===-， 555cos 2cos cos 2sin sin 2333πππααα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭134(()255=⨯+⨯-=即53cos 2310πα+⎛⎫-=⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了两角和差公式、二倍角公式、同角三角函数关系等知识，熟练运用公式是解题的关键.18．已知函数22()sin cos cos f x x x x x =-+ （1）求()3f π的值；（2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间．【答案】（1）2；（2）最小正周期为π，单调递增区间为,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，()k ∈Z ．【解析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的值．（2）直接利用函数的关系式，求出函数的周期和单调区间． 【详解】解：（1）22()sin cos cos f x x x x x Q =-+，cos22x x =-，2sin(2)6x π=-，即()2sin(2)6f x x π=-则2()2sin()2336f πππ=-=，（2）由（1）知()2sin(2)6f x x π=-()f x ∴的最小正周期为22T ππ==， 令：222262k x k πππππ-+-+剟，()k ∈Z ，得：63k x k ππππ-+剟，()k ∈Z ，所以函数的递增区间为：,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，()k ∈Z ． 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数单调性的应用，周期性的应用，属于中档题．19．若函数()y f x =是周期为2的偶函数，当[]1,2x ∈时，()3f x x =-+.在()y f x =的图象上有两点A 、B ，它们的纵坐标相等，横坐标都在区间[]1,3上. （1）求当[]2,3x ∈时()f x 的解析式；（2）定点C 的坐标为()0,3，求ABC ∆面积的最大值. 【答案】（1）当[]2,3x ∈时，()1f x x =-；（2）1【解析】（1）利用函数的奇偶性与周期性，求解()f x 在[]2,3x ∈上的解析式； （2）设出A 、B 两点的纵坐标，根据题意，构建出ABC ∆的面积函数，运用函数性质求解最值. 【详解】解：（1）当[]2,3x ∈时 则[]3,2x -∈--， 故[]41,2x -∈，根据函数为偶函数且周期为2得，所以()()(4)(4)31f x f x f x x x =-=-=--+=-， 即[]2,3x ∈时，()1f x x =-；（2）设A 在3y x =-+上，B 在1y x =-上， 且A 、B 两点的纵坐标为(12)m m <≤， 则3A x m =-，1B x m =+，3122A B x x m m m -=---=-， 21(22)(3)432ABC S m m m m ∆=--=-+-，12m <≤ 当2m =时，ABC S ∆最大，最大值为1. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性、周期性等性质，考查函数解析式的求解，考查二次函数的图象与性质，考查学生的综合应用能力.20．如图，一个半圆和长方形组成的木块，长方形的边CD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，2AB =，1AD =，现要将此木块锯出一个等腰三角形EFG ，其底边EF AB ⊥，点E 在半圆上.（1）设6EOC π∠=，求三角形木块EFG 面积；（2）设EOC θ∠=，试用θ表示三角形木块EFG 的面积S ，并求S 的最大值. 【答案】（1）EFG 63S 8∆+=；（2）1sin cos sin cos 2S θθθθ+++=,EFG ∆的面积最大值为324+ 【解析】（1）构造垂线，将EF 、GH 的长度进行转化，EF 的长度即为EM MF +的值，GH 的长度即为DO OM +的值，从而求解出EFG S ∆；（2）根据第（1）问的转化方法，同理可以得出EFG S ∆的表达式，然后将sin cos θθ+看成整体进行换元，进而将面积函数转化为熟悉的二次函数，从而求解出最值. 【详解】解：（1）过点G 作GH EF ⊥交EF 于点H ，设EF 交CD 于点M ，所以311?cos16GH DM DO OM π==+=+=+, 311?sin62EF EM MF π=+=+=， 所以11323633222EFG S EF GH ∆++=⨯⨯=⨯=； （2）因为半圆和长方形组成的铁皮具有对称性， 所以可只分析[0,]2πθ∈时的情况，11?cos 1cos GH DM DO OM θθ==+=+=+， 11?sin 1sin EF EM MF θθ=+=+=+，所以11(1cos )(1sin )22EFG S EF GH θθ∆=⨯⨯=⨯+⨯+ 1sin cos sin cos 2θθθθ+++=，令sin cos t θθ+=，[0,]2πθ∈，故21sin cos 2t θθ-=，sin cos 2)4t πθθθ=+=+，[0,]2πθ∈Q3[,]444πππθ∴+∈，2sin()42πθ∴+∈， 2]t ∴∈，221121224EFGt t t t S ∆-++++==，函数2214t t y ++=在单调递增，所以当t =时，EFG ∆的面积最大，最大值为34+. 【点睛】本题考查了三角函数在实际问题中的应用，考查了三角函数的值域问题，三角函数中sin cos θθ±与sin cos θθg的联系等等，考查了学生综合应用能力. 21．对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x ，满足()()2f x f x -=-，则称“局部中心函数”.（1）已知二次函数()2241f x ax x a =+-+（a R ∈），试判断()f x 是否为“局部中心函数”，并说明理由； （2）若()12423xx f x m m +=-⋅+-是定义域为R 上的“局部中心函数”，求实数m 的取值范围.【答案】(1) ()f x 为“局部中心函数”，理由详见解题过程；（2）1m -≤≤ 【解析】（1）判断()f x 是否为“局部中心函数”，即判断方程()()2f x f x -=-是否有解，若有解，则说明()f x 是“局部中心函数”，否则说明()f x 不是“局部中心函数”； （2）条件()12423xx f x m m +=-⋅+-是定义域为R 上的“局部中心函数”可转化为方程()()2f x f x -=-有解，再利用整体思路得出结果. 【详解】解：（1）由题意，()2241f x ax x a =+-+（a R ∈），所以()2241f x ax x a -=--+，()2222241124f x ax x a ax x a -=--+-=--+，当()()2f x f x -=-时，22241124ax x a ax x a --+=--+解得：2(4)0a x -=， 由于a R ∈，所以2x =±， 所以()f x 为“局部中心函数”.（2）因为()12423xx f x m m +=-⋅+-是定义域为R 上的“局部中心函数”，所以方程()()2f x f x -=-有解，即12124232423x x x x m m m m --++-⋅+-=-+⋅-+在R 上有解， 整理得：2442(22)280xxx x m m --+-⋅++-=，令22x x t -+=，[2,)t ∈+∞，故题意转化为2222100t m t m -⋅+-=在[2,)t ∈+∞上有解， 设函数22()2210g t t m t m =-⋅+-，当(2)0g ≤时，2222100t m t m -⋅+-=在[2,)t ∈+∞上有解， 即2442100m m -+-≤， 解得：13m -≤≤； 当(2)0g >时，则需要满足(2)002g m >⎧⎪∆≥⎨⎪>⎩才能使2222100t m t m -⋅+-=在[2,)t ∈+∞上有解，解得：3m <≤综上：1m -≤≤【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、指数函数的图象与性质，考查了整体换元的思想方法，还考查了学生理解新定义的能力. 22．已知a R ∈，函数()21log f x a x ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）当9a =时，解不等式()0f x >；（2）若关于x 的方程()()2log 3240f x a x a --+-=⎡⎤⎣⎦的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围；（3）设0a >，若对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.【答案】（1）不等式的解集为：{|0x x >或1}8x <-；（2）312a <≤或2a =或3a =；（3）23a ≥. 【解析】（1）利用对数函数的单调性，求解对数不等式；（2）将对数方程转化为整式方程，根据解集只有一个元素以及真数要大于0进行分情况讨论求解；（3）先求出最大值与最小值的差，进而转化为恒成立问题进行求解，分离变量构建新函数，求解最值，从而得出结果. 【详解】解：（1）当9a =时，21log 90x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭即为191x +>，故18x>-， 等价于(81)0x x +>， 解得：0x >或18x <-，所以不等式的解集为：{|0x x >或1}8x <-. （2）方程()()2log 3240f x a x a --+-=⎡⎤⎣⎦ 即为()221log ()log 3240a a x a x⎡⎤+--+-=⎣⎦， 等价于当()3240a x a -+->时，方程()1324a a x a x+=-+-①有一解， ①式化简为：(1)((3)1)0x a x +--=②，当3a =时，方程②的解为1x =-，满足条件()3240a x a -+->，故成立； 当2a =时，方程②的解为1x =-，满足条件()3240a x a -+->，故成立； 当3a ≠且2a ≠时，方程②的解为1x =-或13x a =-， 若1x =-是方程①的解，则10a ->，即1a >， 若13x a =-是方程①的解，则230a ->，即32a >， 要使方程①有且只有一解，故312a <≤. 综上：方程()()2log 3240f x a x a --+-=⎡⎤⎣⎦的解集中恰好有一个元素时，a 的取值范围为312a <≤或2a =或3a =. （3）因为函数()f x 在区间[,1]t t +上单调递减， 所以对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1， 可转化为()(1)1f t f t -+≤对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 即2211log log 11a a t t ⎛⎫⎛⎫+-+≤ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 因为0a >， 所以等价于112()1a a t t +≤++对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 分离变量得到：121a t t ≥-+对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 令12()1g t t t =-+，1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 121()1(1)t g t t t t t -=-=++， 当1t =时，()0g t =， 当1[,1)2t ∈时，令1t m -=，1(0,]2m ∈，2121()21(1)(2)323m m g t t t m m m m m m=-===+---++-， 因为当1(0,]2m ∈时，函数2y m m=+单调递减， 故当12m =时，min 29()2m m +=， 故max 2()3g t =， 所以23a ≥. 【点睛】本题考查了对数不等式、对数函数、二次方程、二次不等式等知识，考查了常见函数的单调最值等性质，还考查了分类讨论、分离变量等思想方法.。
2019-2020学年安徽省合肥市六校高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年安徽省合肥市六校高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.每小题4个选项中，只有1个选项符合题目要求.）1. 已知集合A ＝{x|−2≤x <2}，B ＝{x|x 2−2x −3≤0}，则A ∩B ＝（ ） A.[−1, 1] B.[−2, −1] C.[1, 2) D.[−1, 2)2. 设函数f(x)={x 2(x <1)x −1(x ≥1) ，则f[f(−4)]的值为（ ）A.15B.16C.−5D.−153. 已知角α的终边上一点P 的坐标为(sin2π3, cos2π3)，则sin α的值为（ ）A.12B.−12C.√32D.−√324. 在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →=( ) A.34AB →−14AC →B.14AB →−34AC →C.34AB →+14AC →D.14AB →+34AC →5. 已知a =log 20.2，b =20.2，c =0.20.3，则( ) A.a <b <c B.a <c <b C.c <a <b D.b <c <a6. 已知sin (π3+α)=13，则cos (5π6+α)＝（ ）A.13 B.−13C.2√23D.−2√237. 函数f(x)=e x +4x −3的零点所在的大致区间是( ) A.(−14, 0) B.(0, 14)C.(14, 12)D.(12, 34)8. 已知非零向量a →,b →满足|a →|=2|b →|，且(a →−b →)⊥b →，则a →与b →的夹角为（ ）A.π3B.π6C.5π6D.2π39. 幂函数f(x)=(m 2−m −1)x m 2+m−3在(0, +∞)时是减函数，则实数m 的值为（ ）A.2或−1B.−1C.2D.−2或110. 设函数f(x)=cos (x +π3)，则下列结论错误的是（ ）A.f(x)的一个周期为−2πB.f(x)在上(π2,π)单调递减C.y ＝f(x)的图象关于直线x =8π3对称D.f(x +π)的一个零点为x =π611. 已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则（ ） A.(a −1)(b −1)<0 B.(a −1)(a −b)>0 C.(b −1)(b −a)<0 D.(b −1)(b −a)>012. 函数f(x)=sin x+xcos x+x 2在[−π, π]的图象大致为( )A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中的横线上.）计算 (log 29)⋅(log 34)＝________．已知tan α=−13，tan (α+β)＝1，则tan β＝________．函数y ＝sin x −√3cos x 的图象可由函数y ＝2sin x 的图象至少向右平移________π3 个单位长度得到．若函数f(x)={(2b −1)x +b −1,(x >0)−x 2+(2−b)x,(x ≤0) 在(−∞, +∞)上为增函数，实数b 的取值范围是________．三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答题应写出文字说明及演算步骤.）已知集合A ＝{x|a ≤x ≤a +3}，∁R B ＝{x|−1≤x ≤5}． （1）若A ∩B ＝⌀，求实数a 的取值范围；（2）若A ∩B ＝A ，求实数a 的取值范围．已知f(α)=2sin (π−α)cos (2π−α)tan (−α+π)tan (π+α)sin (−π−α)．（1）化简f(α)；（2）若α是第四象限角，且cos (3π2−α)=35，求f(α)的值．已知函数f(x)=a x −1a x +1(a >0且a ≠1)． （1）判断函数f(x)的奇偶性；（2）若0<a <1，判断函数f(x)在R 上的单调性，并证明．已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且x ≤0时，f(x)=log 12(−x +1)．(1)求f(x)的解析式；(2)若f(a −1)<−1，求实数a 的取值范围．已知向量a →=(cos α, sin α)，b →=(cos β, sin β)，|a →−b →|=4√1313． （1）求cos (α−β)的值；（2）若0<α<π2，−π2<β<0，且sin β=−45，求sin α的值．已知函数f(x)=sin (2x +π3)+sin (2x −π3)+2cos 2x −1，x ∈R ． （1）求函数f(x)的单调递减区间；（2）若函数y ＝f(x)−2a +1在[0,π2]上有两个零点，求实数a 的取值范围．参考答案与试题解析2019-2020学年安徽省合肥市六校高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.每小题4个选项中，只有1个选项符合题目要求.）1.【答案】D【考点】交集及其运算【解析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】∵集合A＝{x|−2≤x<2}，B＝{x|x2−2x−3≤0}＝{x|−1≤x≤3}，∴A∩B＝{x|−1≤x<2}＝[−1, 2)．2.【答案】A【考点】函数的求值求函数的值【解析】由于−4<1，将−4代入第一段的解析式求出f(−4)＝16；由于16>1，将16代入第二段上解析式求出f[f(−4)]的值．【解答】∵f(−4)＝16∴f[f(−4)]＝f(16)＝16−1＝153.【答案】B【考点】任意角的三角函数【解析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值．【解答】∵角α终边上一点P的坐标是(sin2π3, cos2π3)，∴x＝sin2π3，y＝cos2π3，r＝|OP|＝1，∴sinα＝cos2π3=−12．4.【答案】A【考点】向量加减混合运算及其几何意义【解析】运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量．【解答】解：在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，EB→=AB→−AE→=AB→−12AD→=AB→−12×12(AB→+AC→)=34AB→−14AC→.故选A.5.【答案】B【考点】指数式、对数式的综合比较【解析】由指数函数和对数函数的单调性易得log20.2<0，20.2>1，0<0.20.3<1，从而得出a，b，c的大小关系．【解答】解：a=log20.2<log21=0，b=20.2>20=1，∵0<0.20.3<0.20=1，∴c=0.20.3∈(0, 1)，∴a<c<b.故选B.6.【答案】B【考点】运用诱导公式化简求值【解析】利用诱导公式可得cos(5π6+α)＝cos[π2+(π3+α)]＝−sin(π3+α)，利用条件求得结果．【解答】cos(5π6+α)＝cos[π2+(π3+α)]＝−sin(π3+α)=−13，7.【答案】C【考点】函数零点的判定定理【解析】确定f(0)=1−3=−2<0，f(12)=√e−1>0，f(14)=√e4−2=√e4−√164<0，f(1)=e+4−3=e+1>0，根据零点存在定理，可得结论． 【解答】解：∵ 函数f(x)=e x +4x −3在R 上是增函数， 求解：f(0)=1−3=−2<0， f(12)=√e −1>0，f(14)=√e 4−2=√e 4−√164<0， f(1)=e +4−3=e +1>0， ∴ 根据零点存在定理，可得函数f(x)=e x +4x −3的零点所在的大致区间是(14, 12).故选C ． 8.【答案】 A【考点】平面向量数量积坐标表示的应用 【解析】由题意，计算cos θ的值，从而求得a →与b →的夹角θ的值． 【解答】非零向量a →,b →满足|a →|=2|b →|， 且(a →−b →)⊥b →，则(a →−b →)⋅b →=0， 即a →⋅b →=b →2=|b →|2； 所以cos θ=a →⋅b→|a →|×|b →|=|b →|22|b →|×|b →|=12，又θ∈[0, π]，所以a →与b →的夹角为θ=π3． 9. 【答案】 B【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用 【解析】由题意利用幂函数的定义和性质可得{m 2−m −1=1m 2+m −3<0，由此解得m 的值．【解答】解：由于幂函数f(x)=(m 2−m −1)x m2+m−3在(0, +∞)时是减函数，故有{m 2−m −1=1m 2+m −3<0，解得m =−1. 故选B ． 10.【答案】 B【考点】命题的真假判断与应用 【解析】由余弦型函数的图象与性质逐一分析四个选项得答案． 【解答】∵ f(x)=cos (x +π3)，∴ T =2π2=π，则−2π是f(x)的一个周期，故A 正确；由x ∈(π2,π)，得x +π3∈(5π6, 4π3)，可知函数f(x)=cos (x +π3)在(π2,π)上先减后增，故B 错误；由f(8π3)＝cos (8π3+π3)＝cos 3π＝−1，可知y ＝f(x)的图象关于直线x =8π3对称，故C 正确；当x =π6时，f(x +π)＝f(π6+π3+π)＝cos3π2=0，∴ f(x +π)的一个零点为x =π6，故D 正确．∴ 错误的结论是B ， 11. 【答案】 D【考点】不等式的基本性质 【解析】根据对数的运算性质，结合a >1或0<a <1进行判断即可． 【解答】若a >1，则由log a b >1得log a b >log a a ，即b >a >1，此时b −a >0，b >1，即(b −1)(b −a)>0，若0<a <1，则由log a b >1得log a b >log a a ，即b <a <1，此时b −a <0，b <1，即(b −1)(b −a)>0， 综上(b −1)(b −a)>0， 12.【答案】 D【考点】函数图象的作法 函数的图象【解析】由f(x)的解析式知f(x)为奇函数可排除A ，然后计算f(π)，判断正负即可排除B ，C ． 【解答】解：∵ f(x)=sin x+xcos x+x 2，x ∈[−π, π]， ∴ f(−x)=−sin x−xcos (−x)+x =−sin x+xcos x+x =−f(x)， ∴ f(x)为[−π, π]上的奇函数，因此排除A ；又f(π)=sinπ+πcosπ+π2=π−1+π2>0，因此排除B，C.故选D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中的横线上.）【答案】4【考点】对数的运算性质【解析】把真数写成幂的形式，然后运用对数式的性质化简计算．【解答】解；(log29)⋅(log34)＝(21og23)⋅(21og32)=4lg3lg2×lg2lg3=4．【答案】2【考点】两角和与差的三角函数【解析】由题意利用两角差的正切公式，求得tanβ的值．【解答】∵已知tanα=−13，tan(α+β)＝1，则tanβ＝tan[(α+β)−α]=tan(α+β)−tanα1+tan(α+β)tanα=2，【答案】π3【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】令f(x)＝2sin x，则f(x−φ)＝2in(x−φ)，依题意可得2sin(x−φ)＝2sin(x−π3)，由−φ＝2kπ−π3(k∈Z)，可得答案．【解答】∵y＝sin x−√3cos x＝2sin(x−π3)，令f(x)＝2sin x，则f(x−φ)＝2in(x−φ)(φ>0)，依题意可得2sin(x−φ)＝2sin(x−π3)，故−φ＝2kπ−π3(k∈Z)，即φ＝−2kπ+π3(k∈Z)，当k＝0时，正数φmin=π3，【答案】[1, 2]【考点】二次函数的图象二次函数的性质【解析】由题意可得{2b−1>0b−1≥02−b2≥0，解此不等式组求得实数b的取值范围．【解答】∵函数f(x)={(2b−1)x+b−1,(x>0)−x2+(2−b)x,(x≤0)在(−∞, +∞)上为增函数，∴{2b−1>0b−1≥02−b2≥0，解得1≤b≤2，故实数b的取值范围是[1, 2]，三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答题应写出文字说明及演算步骤.）【答案】∵集合A＝{x|a≤x≤a+3}，∁R B＝{x|−1≤x≤5}．∴B＝{x|x<−1或x>5}，若A∩B＝⌀，则有：{a≥−1a+3≤5，解得−1≤a≤2，∴实数a的取值范围是[−1, 2]．集合A＝{x|a≤x≤a+3}，B＝{x|x<−1或x>5}，若A∩B＝A，则有A⊆B，∴a+3<−1或a>5，即a<−4或a>5．∴实数a的取值范围是(−∞, −4)∪(5, +∞)．【考点】交集及其运算【解析】（1）先求出B＝{x|x<−1或x>5}，再由A∩B＝⌀，得{a≥−1a+3≤5，由此能求出实数a的取值范围．（2）若A∩B＝A，则有A⊆B，从而a+3<−1或a>5，由此能求出实数a的取值范围．【解答】∵集合A＝{x|a≤x≤a+3}，∁R B＝{x|−1≤x≤5}．∴B＝{x|x<−1或x>5}，若A∩B＝⌀，则有：{a≥−1a+3≤5，解得−1≤a≤2，∴实数a的取值范围是[−1, 2]．集合A＝{x|a≤x≤a+3}，B＝{x|x<−1或x>5}，若A∩B＝A，则有A⊆B，∴a+3<−1或a>5，即a<−4或a>5．∴实数a的取值范围是(−∞, −4)∪(5, +∞)．【答案】f(α)=2sinαcosα(−tanα)tanαsinα=−2cosα．cos (3π2−α)=−sin α=35，所以sin α=−35， 又α是第四象限角， 故cos α=45．即f(α)=−85．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值 运用诱导公式化简求值【解析】（1）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简即可得解．（2）利用诱导公式可求sin α=−35，利用同角三角函数基本关系式可求cos α=45，即可计算得解．【解答】 f(α)=2sin αcos α(−tan α)tan αsin α=−2cos α．cos (3π2−α)=−sin α=35， 所以sin α=−35，又α是第四象限角， 故cos α=45． 即f(α)=−85．【答案】函数的定义域为R ，f(−x)=a −x −1a +1=1−a x1+a =−f(x)． 有f(−x)＝−f(x)，所以f(x) 是奇函数； 设x 1<x 2(x 1, x 2∈R)，f(x 1)−f(x 2)=a x 1−1a x 1+1−a x 2−1a x 2+1=2(a x 1−a x 2)(a x 1+1)(a x 2+1)．当0<a <1时，a x 1>a x 2，有f(x 1)>f(x 2)，所以f(x) 在R 上是减函数． 【考点】函数单调性的性质与判断 函数奇偶性的性质与判断 奇偶性与单调性的综合【解析】（1）因为定义域为R ，化简求出f(−x)＝−f(x)可得为奇函数； （2）由判断函数单调性的定义可得出函数为减函数． 【解答】函数的定义域为R ，f(−x)=a −x −1a −x +1=1−a x 1+a x=−f(x)．有f(−x)＝−f(x)，所以f(x) 是奇函数； 设x 1<x 2(x 1, x 2∈R)，f(x 1)−f(x 2)=a x 1−1a x 1+1−a x 2−1a x 2+1=2(a x 1−a x 2)(a x 1+1)(a x 2+1)．当0<a <1时，a x 1>a x 2，有f(x 1)>f(x 2)，所以f(x) 在R 上是减函数． 【答案】解：(1)令x >0，则−x <0， f(−x)=log 12(x +1)=f(x)，∴ x >0时，f(x)=log 12(x +1)，则f(x)={log 12(x +1)(x >0),log 12(−x +1)(x ≤0).(2)∵ f(x)=log 12(−x +1)在(−∞, 0]上为增函数，∴ f(x)在(0, +∞)上为减函数， ∵ f(a −1)<−1=f(1)， ∴ |a −1|>1， ∴ a >2或a <0．【考点】对数函数的单调性与特殊点 函数解析式的求解及常用方法【解析】（1）根据函数奇偶性的性质即可求函数f(x)的解析式；（2）若f(a −1)<−1，将不等式进行转化即可求实数a 的取值范围 【解答】解：(1)令x >0，则−x <0，f(−x)=log 12(x +1)=f(x)，∴ x >0时，f(x)=log 12(x +1)，则f(x)={log 12(x +1)(x >0),log 12(−x +1)(x ≤0).(2)∵ f(x)=log 12(−x +1)在(−∞, 0]上为增函数，∴ f(x)在(0, +∞)上为减函数， ∵ f(a −1)<−1=f(1)， ∴ |a −1|>1， ∴ a >2或a <0． 【答案】∵ a →=(cos α, sin α)，b →=(cos β, sin β)，| ∴ a →−b →=(cos α−cos β, sin α−sin β )．∴ |a →−b →|2＝(cos α−cos β)2+(sin α−sin β )2＝2−2cos (α−β)=1613， ∴ cos (α−β)=513．∵ 0<α<π2，−π2<β<0，且sin β=−45， ∴ cos β=35，且0<α−β<π．又∵ cos (α−β)=513，∴ sin (α−β)=1213，∴ sin α＝sin (α−β+β)＝sin (α−β)cos β+cos (α−β)⋅sin β=1213×35+513×(−45)=1665．【考点】两角和与差的三角函数 【解析】（1）利用向量模的计算方法，结合差角的余弦公式，即可求cos (α−β)的值； （2）利用sin α＝sin (α−β+β)＝sin (α−β)cos β+cos (α−β)⋅sin β，可得结论． 【解答】∵ a →=(cos α, sin α)，b →=(cos β, sin β)，| ∴ a →−b →=(cos α−cos β, sin α−sin β )．∴ |a →−b →|2＝(cos α−cos β)2+(sin α−sin β )2＝2−2cos (α−β)=1613， ∴ cos (α−β)=513．∵ 0<α<π2，−π2<β<0，且sin β=−45， ∴ cos β=35，且0<α−β<π．又∵ cos (α−β)=513，∴ sin (α−β)=1213，∴ sin α＝sin (α−β+β)＝sin (α−β)cos β+cos (α−β)⋅sin β=1213×35+513×(−45)=1665．【答案】函数f(x)=sin (2x +π3)+sin (2x −π3)+2cos 2x −1＝sin 2x cos π3+cos 2x sin π3+sin 2x cos π3−cos 2x sin π3+cos 2x ＝sin 2x +cos 2x =√2sin (2x +π4)．令2kπ+π2≤2x +π4≤2kπ+3π2(k ∈Z)，得：kπ+π8≤x ≤kπ+5π8(k ∈Z)．故函数f(x)的单调递减区间为：[kπ+π8,kπ+5π8](k ∈Z)．函数y ＝f(x)−2a +1在[0,π2]上有两个零点，等价于方程f(x)＝2a −1在[0,π2]有 两个不等的实根，即函数f(x)在[0,π2]上的图象与直线y ＝2a −1有两个不同的交点． 作出函数f(x)在[0,π2]上的图象，由1≤2a −1<√2得：1≤a <√2+12．【考点】函数与方程的综合运用 两角和与差的三角函数 【解析】（1）利用两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简函数f(x)=√2sin (2x +π4)．通过正弦函数的单调性求解函数的单调减区间即可．（2）函数y ＝f(x)−2a +1在[0,π2]上有两个零点，等价于函数f(x)在[0,π2]上的图象与直线y ＝2a −1有两个不同的交点．作出函数f(x)在[0,π2]上的图象，列出不等式求解即可． 【解答】函数f(x)=sin (2x +π3)+sin (2x −π3)+2cos 2x −1＝sin 2x cos π3+cos 2x sin π3+sin 2x cos π3−cos 2x sin π3+cos 2x ＝sin 2x +cos 2x =√2sin (2x +π4)．令2kπ+π2≤2x +π4≤2kπ+3π2(k ∈Z)，得：kπ+π8≤x≤kπ+5π8(k∈Z)．故函数f(x)的单调递减区间为：[kπ+π8,kπ+5π8](k∈Z)．函数y＝f(x)−2a+1在[0,π2]上有两个零点，等价于方程f(x)＝2a−1在[0,π2]有两个不等的实根，即函数f(x)在[0,π2]上的图象与直线y＝2a−1有两个不同的交点．作出函数f(x)在[0,π2]上的图象，由1≤2a−1<√2得：1≤a<√2+12．。
2019-2020学年安徽省合肥市金汤白泥乐槐六校高一上学期联考数学试题Word版含解析
2019-2020学年安徽省合肥市金汤白泥乐槐六校高一上学期联考数学试题一、单选题1．已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂= A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<【答案】C 【解析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【详解】 由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则 {}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．2．已知集合{A x y ==，{}|1B x a x a =+≤≤， 若A B=A ，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(][),32,-∞-+∞ B ．[]1,2- C ．[]2,1-D ．[)2,+∞ 【答案】C【解析】试题分析：{}{||22A x y x x ===-≤≤，又因为A B A ⋃=即B A ⊆，所以12{2a a +≤≥-，解之得21a -≤≤，故选C. 【考点】1.集合的表示；2.集合的运算.3．下列四个图形中，不是．．以x 为自变量的函数的图象是( )． A ． B ． C ．D ．【答案】C【解析】试题分析：图形C 中有“一对多”情形，故选C.【考点】本题考查函数定义。
4．函数()f x =） A.[)2,2-B.[)()2,22,-⋃+∞C.[)2,-+∞D.()2,+∞ 【答案】B【解析】根据函数解析式的特点得到不等式（组），然后解不等式（组）可得函数的定义域．【详解】要使函数有意义，则有2020x x +≥⎧⎨-≠⎩， 解得2x ≥-且2x ≠，所以函数的定义域为[)()2,22,-⋃+∞．故选B ．【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出关于变量的不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．5．已知函数()533f x ax bx cx =-+-，()37f -=，则()3f 的值为（ ） A ．13B ．13-C ．7D ．7-【答案】B 【解析】试题解析：设()53()3g x f x ax bx cx =+=-+，函数为奇函数 ∴()()()(3)(3)33330313g g f f f +-=++-+=⇒=-【考点】本题考查函数性质点评：解决本题的关键是利用函数奇偶性解题6．函数()()()10x f x x ⎧⎪=⎨⎪⎩为有理数为无理数，则下列结论错误的是( )A.()f x 是偶函数B.()f x 的值域是{}0,1C.方程()()()f f x f x =的解只有1x =D.方程()()f f x x =的解只有1x =【答案】C【解析】根据相关知识对给出的四个选项分别进行分析、判断后可得结论．【详解】对于A ，当x 为有理数时，有()()1f x f x -==；当x 为无理数时，有()()0f x f x -==，所以函数为偶函数，所以A 正确．对于B ，由题意得函数的值域为{}0,1，所以B 正确．对于C ，若x 为有理数，则方程f (f (x ))=f (1)=1=f (x )恒成立；若x 为无理数，则方程f (f (x ))=f (0)=1≠f (x )，此时无满足条件的x ，故方程f (f (x ))=f (x )的解为任意有理数，所以C 不正确．对于D ，若x 为有理数，则方程f (f (x ))=f (1)=1，此时x =1；若x 为无理数，则方程f (f (x ))=f (0)=1，此时无满足条件的x ，故方程f (f (x ))=x 的解为x =1，所以D 正确． 故选C ．【点睛】解得本题的关键是正确理解函数()f x 的定义，同时结合给出的条件分别进行判断，考查理解和运用的能力，属于基础题．7．函数()111f x x=+-的图象是（ ） A. B. C.D.【答案】B【解析】利用图像的平移变换即可得到结果.【详解】函数()111111f x x x =+=-+--， 把函数1y x =-的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位，即可得到函数()f x 的图象，故选：B【点睛】本题考查函数图像的识别，考查函数的图象变换知识，属于基础题.8．下列函数是偶函数且在区间上为增函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】试题分析：和均是奇函数，是偶函数，但在上是减函数；二次函数是偶函数，且在上是增函数，∴正确选项D ．【考点】（1）函数奇偶性的判断；（2）函数单调性判断．9．已知()2145f x x x -=+-，则()1f x +=（ ） A.287x x ++B.26x x +C.223x x +-D.2610x x +-【答案】A 【解析】由已知中f （x ﹣1）=x 2+4x ﹣5，我们利用凑配法可以求出f （x ）的解析式，进而再由代入法可以求出f （x+1）的解析式。
安徽省合肥市六校2020-2021学年高一上学期期末教学质量检测数学试题及答案
2020-2021学年度第一学期合肥市六校联考高一年级 期末教学质量检测数学学科试卷（满分：150分 考试时间：120分钟）注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡上，并且用2B 铅笔把对应的准考证号涂黑。
2.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡收回。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.每小题只有1个选项符合要求.） 1．已知集合{}2,1,0,1,2--=U ，2{0,}A x x x x U =->∈，则A C U 等于：A.{}0,1,2B.{2,1,2}--C.{0,1}D.{2,1,1}--2．已知命题3:2,80p x x ∀<-<，那么p ⌝是：A.32,80x x ∃≥-≥ B.32,80x x ∀≤-> C.32,80x x ∀>->D.32,80x x ∃<-≥3．已知函数()2,01,02xx x f x x ⎧≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-> ⎪⎪⎝⎭⎩，则()()2f f ＝： A.﹣4 B.12- C.12 D.﹣84．函数()()2ln 1f x x x=+-的零点所在的区间是：A.(0,1)B.(1,2)C.(2,)eD.(3,4)5．已知0.10.9a =，121log 3b =，21log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系是：A ．c<b<aB ．a<b<cC ．c<a<bD ．b<c<a6．已知()x f 是R 上的奇函数且(4)()f x f x +=，当(0,2)x ∈时，2()2f x x =，(2023)f =：A.-2B.2C.-98D.987．设奇函数()f x 对任意的1x ，()212(,0)x x x ∈-∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，且(2020)0f =，则()()0f x f x x-->的解集为：A.(,0)(2020,)-∞+∞B.(,2020)(0,2020)-∞C.(,2020)(2020,)-∞-+∞D.(2020,0)(0,2020)-8.函数()sin x xy e ex -=+的部分图象大致为：A ．B ．C ．D ．9.关于()3sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭有以下命题：①若()()120f x f x ==，则12()x x k k Z π-=∈；②()f x 图象与()3cos 24g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象相同；③()f x 在区间73,88ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦是减函数；④()f x 图象关于点,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称.其中正确的命题序号是：A.②③④B.①④C.①②③D.②③10.已知函数94(1)1y x x x =-+>-+，当x a =时，y 取得最小值b ，则a b +等于： A.－3B.2C.3D.811.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+其中(0,2)ϕπ∈，若()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对于一切x ∈R 恒成立，则()f x 的单调递增区间是：A.,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦B.,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ C.2,()63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ZD.,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦12.已知幂函数()()22421mm f x m x -+=-在()0,∞+上单调递增，函数()2xg x t =-，任意[)11,6x ∈时，总存在[)21,6x ∈使得()()12f x g x =，则t 的取值范围是：A.281<<tB.128≤≥t t 或C.128<>t t 或D.281≤≤t二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中的横线上.） 13.等式2230x x -++<的解集是____________________． 14.知等腰三角形底角正弦值为45，则顶角的余弦值是_________． 15.326m n ==，则11m n +=______． 16.函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=π342cos x y 的图象向左平移()0>ϕϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值为___________．三、解答题（本大题共6小题，满分70分,解答题应写出文字说明及演算步骤.） 17．（本题满分10分）已知集合{|13}A x x =<<，集合{|21}B x m x m =<<-． （1）当1m =-时，求A B ；（2）若A B A = ，求实数m 的取值范围．18．（本题满分12分） 已知5cos sin 2αα+=，(,)42αππ∈．（1）求tan2α；（2）若15tan()πβ-=-，求tan(2)αβ+．19．（本题满分12分）已知函数()()为常数a R a x a x x f ,cos 2sin 2∈+=,且4π是函数()x f y = 的零点． （1）求a 的值，并求函数()x f 的最小正周期；（2）若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，求函数()x f 的值域．20．（本题满分12分）已知函数()11x af x e =++为奇函数． （1）求a 的值，并用函数单调性的定义证明函数()f x 在R 上是增函数；（2）求不等式()()2230f t f t +-≤的解集．21．（本题满分12分）函数()()⎪⎭⎫⎝⎛<>>+=2,0,0sin πϕωϕωA x A x f 的部分图象如图所示：（1）求A ，ω，φ的值；（2）求图中a ，b 的值及函数()x f 的递增区间； （3）若[]πα,0∈，且()2=αf ，求α的值．22．（本题满分12分）2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响，为降低疫情影响，某厂家拟尽快加大力度促进生产．已知该厂家生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产x 千件，需另投入成本为()C x ，当年产量不足80千件时，21()202C x x x =+(万元).当年产量不小于80千件时，10000()51600C x x x=+-(万元)．每件商品售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（1）写出年利润()L x (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？2020-2021学年度第一学期合肥市六校联考 高一年级期末教学质量检测数学学科参考答案二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中的横线上．） 13. {}|13x x x <->或 14.257 15. 1 16. 6π三、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答题应写出文字说明及演算步骤.）17. 解：（1）1m =-时，{|22}B x x ，且{|13}A x x =<<， .......2分 {|23}A B x x ∴⋃=-<<； ...................................5分 （2）A B A =，A B ∴⊆ .................................7分∴2113m m ⎧⎨-⎩，解得2m -，∴实数m 的取值范围为{|2}m m. ...............................10分18. （1） cos sin 2αα+=，∴225cos sin 2sin 1sin 24αααα++=+=，即1sin 24α=. ................2分 ,42⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππα，∴2,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴cos24α=-， .................4分 故sin 2tan 2cos2ααα==分（2） tan()5πβ-=-，所以tan 5β=， ....................8分∴tan 2tan tan(2)1tan 2tan 155αβαβαβ++===-分19.（1）由于4π是函数y ＝f （x ）的零点，即x 4π=是方程f （x ）＝0的解 从而f （4π）＝sin 2π+acos 24π=0则112+a ＝0，解得a ＝﹣2． ...........................................2分∴ f （x ）＝sin2x ﹣2cos 2x ＝sin2x ﹣cos2x ﹣1则f （x）=（2x 4π-）﹣1∴函数f （x ）的最小正周期为π． ......................................6分（2）由x ∈[0，2π]，得2x 4π-∈[4π-，34π] 则sin （2x 4π-）∈[2-，1] .....................................9分 则﹣1≤（2x 4π-）≤﹣2≤（2x 4π-）﹣1≤ 1 ∴值域为[12,2--]． ..................................12分20.（1）由已知()()f x f x -=- ∴1111x x a a e e -⎛⎫+=-+ ⎪++⎝⎭∴22011x x x ae aa e e ++=+=++ 解得2a =- ........................................2分∴2()11x f x e -=++. 证明：12,x x R ∀∈，且12x x <则()()()()()211212122221111x x x x x x e e f x f x e e e e -----=-=++++ ∵12x x <∴12x x e e <，∴210x x e e ->，又110x e +>，210x e +> ∴()()()()()2112122011x x x x e e f x f x ee ---=<++∴()()12f x f x <故函数()f x 在R 上是增函数. .....................6分（2）∵()2(23)0f tf t +-≤ ∴()2(23)f t f t ≤--而()f x 为奇函数， ∴()2(32)f t f t ≤-∵()f x 为R 上单调递增函数 ∴223t t ≤-+ .......................10分 ∴2230t t +-≤ ∴31t -≤≤∴原不等式的解集为[]3,1-. ...........................12分21. （1）由图象知A=2 ....................................1分 34T =512π-（-3π）=912π，得T=π，得ω=2， ....................................2分又f （-3π）=2sin[2×（-3π）+φ]=-2，得sin （-23π+φ）=-1，即-23π+φ=-2π+2kπ即ω=6π+2kπ，k ∈Z∵|φ|＜2π， ∴当k=0时，φ=6π，即A=2，ω=2，φ=6π； ....................................4分（2）a=-3π-4T =-3π-4π=-712π....................................5分b=f （0）=2sin 6π=2×12=1 ....................................6分∵f(x)=2sin （2x+6π） ∴由2kπ-2π≤2x+6π≤2kπ+2π，k ∈Z ，得kπ-3π≤x≤kπ+6π，k ∈Z即函数f(x)的递增区间为[kπ-3π，kπ+6π]，k ∈Z (8)分（3）∵f （α）=2sin （2α+6π），即sin （2α+6π）=2 ∵α∈[0，π] ∴2α+6π∈[6π，136π]∴2α+6π=4π或34π∴α=24π或α=724π. ..........................12分22.解：（1）因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.051000x ⨯万元， 依题意得： 当080x <<时2211()(0.051000)(20)2003020022L x x x x x x =⨯-+-=-+-当80x ≥时1000010000()(0.051000)(51600)200400()L x x x x x x=⨯-+--=-+所以2130200,0802()10000400(),80x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩........................6分（2）当080x <<时，21()(30)2502L x x =--+此时，当30x =时，即()(30)250L x L ≤=万元. ....................8分当80x ≥时，10000()400()400400200200L x x x =-+≤-=-=， 此时10000,100x x x==，即()(100)200L x L ≤=万元， 由于250200>，所以当年产量为30千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为250万元. .........................12分。
安徽省合肥市庐江县2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题(含答案解析)
安徽省合肥市庐江县2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题（含答案解析）高考真题高考模拟高中联考期中试卷期末考试月考试卷学业水平同步练习安徽省合肥市庐江县2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题（含答案解析）1 若集合，且，则集合B可能是( )A. B. RC. D.【答案解析】 C【分析】通过集合，且，说明集合是集合的子集，对照选项即可求出结果．【详解】解：因为集合集合，且，所以集合是集合的子集，当集合时，，不满足题意，当集合时，，不满足题意，当集合，满足题意，当集合时，，不满足题意，故选：．【点睛】本题考查集合的基本运算，集合的包含关系判断及应用，属于基础题．2 函数的定义域是( )A. B.C. D.【答案解析】 D【分析】可看出，要使得有意义，则需满足，解出的范围即可．【详解】解：要使有意义，则，解得，的定义域为．故选：．【点睛】本题考查了函数定义域的定义及求法，对数函数的定义域，考查了计算能力，属于基础题．3 三个数之间的大小关系是（）A. B.C. D.【答案解析】 B,，故选B.4 函数的图象（）A. 关于点（－，0）对称B. 关于原点对称C. 关于y轴对称D. 关于直线x=对称【答案解析】 A【详解】关于点（－，0）对称，选A.5 函数f(x)＝lgx－的零点所在的区间是( )A. (0,1)B. (1,10)C. (10,100)D. (100，＋∞)【答案解析】 B函数f（x）的定义域为（0，+∞），且函数f（x）单调递增，∵，∴在（1，10）内函数f（x）存在零点，故选B点睛：函数零点个数（方程根的个数）的判断方法：①结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；②利用函数图像交点个数判断方程根的个数或函数零点个数．6 已知扇形的周长为8cm，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为（）A. 4cm2B. 6 cm2C. 8 cm2D. 16 cm2【答案解析】 A【分析】利用弧长公式、扇形的面积计算公式即可得出．【详解】设此扇形半径为r，扇形弧长为l=2r则2r+2r＝8，r=2，∴扇形的面积为r=故选A【点睛】本题考查了弧长公式、扇形的面积计算公式，属于基础题．7 已知，则( )A. B. C. D.【答案解析】 C【分析】由条件利用诱导公式求得，再利用二倍角的余弦公式求得的值．【详解】解：故选：【点睛】本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．8 已知函数在闭区间有最大值3，最小值2，则m的取值范围为( )A. [0,1]B. (1,2)C.(1,2]D. [1,2]【答案解析】 D【分析】作出函数图象，数形结合即可得解.【详解】解：，作出函数的图象，如图所示，当时，取得最小值，，且因为函数在闭区间上有最大值，最小值，则实数的取值范围是．故选：．【点睛】本题考查二次函数的值域问题，其中要特别注意它的对称性及图象的应用，属于中档题．9 曲线，曲线，下列说法正确的是（）A. 将C1上所有点横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移个单位，得到C2B. 将C1上所有点横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移个单位，得到C2C. 将C1上所有点横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移个单位，得到C2D. 将C1上所有点横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移个单位，得到C2【答案解析】 B由于，故首先横坐标缩小到原来得到，再向左平移个单位得到.故选.10 如图，函数f(x)的图象为折线，则不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案解析】 C试题分析：如下图所示，画出的函数图象，从而可知交点，∴不等式的解集为，故选C．考点：1．对数函数的图象；2．函数与不等式；3．数形结合的数学思想．11 函数，则f(x)是( )A. 奇函数，且在(0,+∞)上单调递减B. 奇函数，且在(0,+∞)上单调递增C. 偶函数，且在(0,+∞)上单调递减D. 偶函数，且在(0,+∞)上单调递增【答案解析】 D,所以为偶函数,设,则在单调递增,在单调递增,所以在单调递增,故选B12 已知函数f(x)是R上的奇函数，且当时，，若函数f(x)恰有三个零点，则实数a的取值范围是( )A.(0,1)B. (－1,0)C.(－1,1)D. (－∞,1)【答案解析】 A【分析】根据函数为上的奇函数，则，且函数的图象关于原点对称，由函数有三个零点，则只需研究函数在时的零点，求出参数的取值范围.【详解】因为为上的奇函数，则，且函数的图象关于原点对称.因为函数恰有三个零点，且当时，，故当时，函数有1个零点，则函数图象如图所示：，解得，故故选：【点睛】本题考查函数的零点，考查数形结合思想，属于基础题.13 已知函数，实数a、b满足不等式，则下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D.【答案解析】 C由题意得，故函数为奇函数．又，故函数在R上单调递减．∵，∴，∴，∴．选C．14 函数（且）图象所过的定点坐标是______.【答案解析】【分析】令指数为，即可求出函数恒过的定点.【详解】解：因（且）令解得，则故函数恒过点故答案为：【点睛】本题考查指数型函数过定点问题，属于基础题.15 ，则__________．【答案解析】，，故原式.16 已知，则的值是______.【答案解析】 1【分析】首先利用同角三角函数的基本关系求出，再利用平方关系将化成齐次式，最后代入求值.【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，属于基础题.17 已知幂函数，若，则a的取值范围是______.【答案解析】【分析】由幂函数在上单调递增可得，从而解得．【详解】解：幂函数在上单调递增，又，，，即故答案为：．【点睛】本题考查了幂函数的性质的应用，属于基础题．18 已知函数，若，则a的取值范围是______. 【答案解析】 (3,5)【分析】由函数的单调性求解．【详解】易知函数是定义域内的单调递减函数，根据题意可得解得据此可得a的取值范围是.故答案为：．【点睛】本题考查幂函数的单调性，属于基础题．19 已知集合．（1）求；（2）若，求实数a的取值范围．【答案解析】（1）；（2）【分析】（1）首先求得，由此求得的值.（2），由于，故，解得.【详解】解：，（1）；（2）∵，∴，∵，∴，∴．20 计算【答案解析】（1）.（2）44.【详解】试题分析：（1）底数相同的对数先加减运算，根号化为分数指数.（2）根号化为分数指数，再用积的乘方运算.试题解析：考点：1.对数运算，指数运算.2.分数指数，零指数等运算.21 已知函数的零点是－3和2(1)求函数f(x)的解析式.(2)当函数f(x)的定义域是[0,1]时求函数f(x)的值域.【答案解析】（1）（2）【详解】（1） ,（2）因为开口向下，对称轴 ,在单调递减，所以所以函数的值域为22 已知函数，．（1）求f(x)的最小正周期；（2）求f(x)在上的最小值和最大值．【答案解析】（1）;（2）最小值和最大值．试题分析：（1）由已知利用两角和与差的三角函数公式及倍角公式将的解析式化为一个复合角的三角函数式，再利用正弦型函数的最小正周期计算公式，即可求得函数的最小正周期；（2）由（1）得函数，分析它在闭区间上的单调性，可知函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，由此即可求得函数在闭区间上的最大值和最小值．也可以利用整体思想求函数在闭区间上的最大值和最小值．由已知，有的最小正周期．（2）∵在区间上是减函数，在区间上是增函数，，，∴函数在闭区间上的最大值为，最小值为．考点：1．两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式；2．三角函数的周期性和单调性．23 某房地产开发商为吸引更多消费者购房，决定在一块闲置的扇形空地中修建一个花园．如图，已知扇形的圆心角，半径为200米，现欲修建的花园为平行四边形，其中M，H分别在OA，OB上，N在上．设，平行四边形的面积为S.（1）将S表示为关于的函数；（2）求S的最大值及相应的值．【答案解析】（1），（2）当时，S取得最大值平方【分析】（1）分别过作于，过作于，利用三角函数，求出和长度，即可求出关于的函数.（2）利用二倍角和辅助角公式化简函数解析式，通过的范围求出的最大值及相应的值.【详解】（1）如图，过作于，过作于，∵，∴，，∴，∴，（2），∵，∴，∴当，即时，取得最大值，且最大值为平方米. 【点睛】本题第一问考查三角函数在解决实际问题的应用.第二问考查三角函数的化简，最值问题，考查学生的计算能力和转化思想的应用，属于中档题.24 已知.(1)求函数f(x)的定义域；(2)求证：f(x)为偶函数；(3)指出方程的实数根个数，并说明理由.【答案解析】 (1)；(2)证明见解析；(3)两个，理由见解析.【分析】（1）根据对数函数的真数大于，列出不等式组求出的取值范围即可；（2）根据奇偶性的定义即可证明函数是定义域上的偶函数．（3）将方程变形为，即，设（），再根据零点存在性定理即可判断.【详解】解：（1），解得，即函数的定义域为；（2）证明：∵对定义域中的任意，都有∴函数为偶函数；（3）方程有两个实数根，理由如下：易知方程的根在内，方程可同解变形为，即设（）.当时，为增函数，且，则在内，函数有唯一零点，方程有唯一实根，又因为偶函数，在内，函数也有唯一零点，方程有唯一实根，所以原方程有两个实数根.【点睛】本题考查函数的定义域和奇偶性的应用问题，函数的零点，函数方程思想，属于基础题．25 已知函数f(x)对任意实数x，y都满足，且，，当时，.(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)判断函数f(x)在(－∞,0)上的单调性，并给出证明；(3)若，求实数a的取值范围.【答案解析】 (1)为奇函数；(2)在上单调递减，证明见解析；(3) .【分析】（1）令，代入抽象函数表达式即可证明函数的奇偶性；（2）先证明当时，，再利用已知和单调函数的定义，证明函数在上的单调性，根据函数的奇偶性，即可得到函数在上的单调性；（3）先利用赋值法求得再利用函数的单调性解不等式即可【详解】解：（1）令，则.∵，∴∴函数为奇函数；(2)函数在上单调递减.证明如下：由函数为奇函数得当时，，，所以当时，，设，则，∴，于是，所以函数在上单调递减.∵函数为奇函数，∴函数在上单调递减.(3)∵，且，∴又∵函数为奇函数，∴∵，∴，函数在上单调递减.又当时，.∴，即，故的取值范围为.【点睛】本题考查了抽象函数表达式的意义和运用，函数奇偶性的定义和判断方法，函数单调性定义及其证明，利用函数的单调性解不等式的方法。
合肥市六校2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷及答案
A.
B.
C. 5
D. 2
3
6
6
3
9.幂函数 f (x) (m2 m 1)xm2m3 在 (0, ) 时是减函数,则实数 m 的值为：
A. 2
B. 2或 1
C. 1
D. -2或1
10.设函数 f (x) cos(x ) ，则下列结论错误的是： 3
A. f (x) 的一个周期为 2
B.
f
(x)
, sin
),|
a
b
|
4
13 .
13
（1）求 cos( ) 的值；
（2）若 0 , 0 ，且 sin 4 ，求 sin 的值.
22
5
22.（本题满分 12 分）
已知函数 f (x) sin(2x ) sin(2x ) 2 cos2 x 1, x R .
，则 cos(5
)
：
3
3
6
A. 1
B. 2 2
C. 1
3
3
3
7.函数 f (x) ex 4x 3 的零点所在的区间是：
D. 2 2 3
A. ( 1 , 0)
B. (1 , 3)
C. (0, 1 )
D. (1 , 1)
4
24
4
42
8.已知非零向量 a, b 满足 | a | 2 | b | ，且 (a b) b ，则 a 与 b 的夹角为：
12.函数
f
(x)
sin x x cos x x2
在[ , ] 的图像大致为：
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，把答案填在题中的横线上.）
2019-2020学年安徽省合肥市六校高一上学期期末联考数学试题(解析版)
2019-2020学年安徽省合肥市六校高一上学期期末联考数学试题一、单选题1．已知集合{}|22A x x =-≤<，{}2|230B x x x =--≤，则A B =I （ ）A ．[1,1]-B ．[2,1]--C ．[1,2)D ．[1,2)-【答案】D【解析】解一元二次不等式求得集合B ，由此求得A B I . 【详解】由()()223310x x x x --=-+≤，解得13x -≤≤，所以[]1,3B =-，所以[)1,2A B =-I .故选：D 【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.2．设函数()()()2111x x f x x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则[(4)]f f -的值为（ ） A ．16 B ．15 C ．5- D ．15-【答案】B【解析】根据分段函数解析式，求得[(4)]f f -的值. 【详解】依题意()()()[]24416,41616115f f f f -=-=-==-=⎡⎤⎣⎦. 故选：B 【点睛】本小题主要考查根据分段函数解析式求函数值，属于基础题.3．已知角α的终边上一点P 的坐标为2233sin cos ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则sin α的值为（ ）A ．12B ．1-2C D ． 【答案】B【解析】由任意角的三角函数定义先求得该点到原点的距离，再由sin α的定义求得． 【详解】解：角α的终边上一点P 的坐标为3,21⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 它到原点的距离为r =1，由任意角的三角函数定义知：1sin 2y r α==-， 故选B ． 【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．4．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u rA ．3144AB AC -u u ur u u u rB ．1344AB AC -u u ur u u u rC ．3144AB AC +u u ur u u u rD ．1344AB AC +u u ur u u u r【答案】A【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BE BA BC =+u u u v u u u v u u u v，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+u u u v u u u v u u u v，之后将其合并，得到3144BE BA AC =+u u u v u u u v u u u v ，下一步应用相反向量，求得3144EB AB AC =-u u u v u u u v u u u v，从而求得结果.详解：根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v1113124444BA BA AC BA AC u uu v u u u v u u u v u u u v u u u v =++=+， 所以3144EB AB AC =-u u u v u u u v u u u v，故选A.点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.5．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】B【解析】运用中间量0比较,a c ，运用中间量1比较,b c 【详解】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题． 6．已知1sin()33πα+=，则5cos()6πα+=（ ） A ．13 B ．13-C．3D．3-【答案】B【解析】51cos sin 62333cos ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选B7．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果. 【详解】因为函数()43xf x e x =+-在R 上连续单调递增，且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内，故选C. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.8．已知非零向量a r ，b r 满足2a b =r r ，且()a b b -⊥r r r ，则a r 与b r的夹角为( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】根据题意，建立a r 与b r的关系，即可得到夹角. 【详解】因为()a b b -⊥r r r ，所以()=0a b b -⋅r r r ，则2=0a b b ⋅-r r r ，则222cos =0b θb -r r ，所以1cos =2θ，所以夹角为π3故选B.【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，难度较小.9．幂函数()()2231m m f x m m x+-=--在()0,+∞时是减函数，则实数m 的值为()A ．2或1-B ．1-C ．2D ．2-或1【答案】B【解析】由题意得2211130m m m m m ⎧--=⇒=-⎨+-<⎩，选B. 点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间[,]a b 上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围. 10．设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是A ．f(x)的一个周期为−2πB ．y=f(x)的图像关于直线x=83π对称 C ．f(x+π)的一个零点为x=6π D ．f(x)在(2π,π)单调递减 【答案】D【解析】f (x )的最小正周期为2π，易知A 正确； f 8π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 8ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos3π＝－1，为f (x )的最小值，故B 正确；∵f (x ＋π)＝cos ππ3x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝－cos π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴f ππ6⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos ππ63⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos 2π＝0，故C 正确； 由于f 2π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 2ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cosπ＝－1，为f (x )的最小值，故f (x )在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，故D 错误． 故选D.11．已知a ，b ＞0，且a≠1，b≠1.若log >1a b ，则 A ．(1)(1)0a b --< B ．(1)()0a a b --> C ．D ．(1)()0b b a --> 【答案】D【解析】试题分析：log log 1a a b a >=，当1a >时，1b a >>，10,010,0a b a b a b ∴->->->-<，，(1)(1)0,(1)()0,(1)()0.a b a a b b b a ∴-->----当01a <<时，01b a ∴<<<，10,010,0,a b a b a b ∴-<-<--，(1)(1)0,(1)()0,(1)()0.a b a a b b b a ∴-->----观察各选项可知选D.【考点】对数函数的性质.【易错点睛】在解不等式log 1a b >时，一定要注意对a 分为1a >和01a <<两种情况进行讨论，否则很容易出现错误．12．函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[—π，π]的图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案． 【详解】 由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．又221422()1,2()2f πππππ++==>2()01f πππ=>-+．故选D ． 【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．二、填空题13．23log 9log 4⨯= . 【答案】4【解析】试题分析：原式lg 9lg 42lg 32lg 24lg 2lg 3lg 2lg 3=⨯=⨯=，答案：4. 【考点】1.对数运算；2.对数的换底公式. 14．已知1tan 3α=-，tan()1αβ+=，则tan β=_______. 【答案】2【解析】利用两角和的正切公式列方程，解方程求得tan β的值. 【详解】由1tan 3α=-，tan()1αβ+=得()1tan tan tan 3tan 111tan tan 1tan 3βαβαβαββ-+++===-⋅+，解得tan 2β=. 故答案为：2 【点睛】本小题主要考查两角和的正切公式的运用，考查运算求解能力，属于基础题.15．函数sin y x x =的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移________个单位长度得到． 【答案】3π【解析】试题分析：因为sin 2sin()3y x x x π==-，所以函数sin y x x =的的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移3π个单位长度得到．【考点】三角函数图像的平移变换、两角差的正弦公式【误区警示】在进行三角函数图像变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言，即图像变换要看“变量”变化多少，而不是“角”变化多少．16．若函数()()()2211,02,0b x b x f x x b x x ⎧-+->⎪=⎨-+-≤⎪⎩在R 上为增函数，则实数b 的取值范围为________. 【答案】12b ≤≤【解析】()f x 在R 为增函数；∴()()22102 022101020b b b b b ->⎧⎪-⎪≥⎨⎪-⋅+-≥-+-⋅⎪⎩，解得12b ≤≤；∴实数b 的取值范围是[]1,2，故答案为[]1,2.三、解答题 17．已知集合{}|3A x a x a =≤≤+，{}=|-15R B x x ≤≤ð.（1）若=A B φ⋂，求实数a 的取值范围；（2）若=A B A I ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）12a -≤≤（2）4a <-或5a >【解析】（1）首先求得B ，根据=A B φ⋂列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围. （2）根据A B A =I ，得到A B ⊆，由此列不等式，解不等式求得a 的取值范围. 【详解】（1）由{}=|15R B x x -≤≤ð得：{}|15B x x x =<->或. 若=A B φ⋂，则有：-135a a ≥⎧⎨+≤⎩，故12a -≤≤.（2）若=A B A I ，则有A B ⊆，故：31a +<-或5a >，即4a <-或5a >. 【点睛】本小题主要考查交集、补集的概念和运算，考查根据交集的结果求参数的取值范围，属于基础题. 18．已知2sin()cos(2)tan()()tan()sin()f παπααπαπαπα---+=+--.（1）化简()f α；（2）若α是第四象限角，且33cos()25πα-=，求()f α的值. 【答案】（1）()2cos f αα=-（2）8()5f α=-【解析】（1）利用诱导公式化简求得()fα.（2）利用诱导公式求得sin α的值，根据同角三角函数的基本关系式求得cos α的值，进而求得()f α的值.【详解】（1）2sin cos (tan )()2cos tan sin f ααααααα-==-.（2）33cos()sin 25παα-=-=，所以3sin 5α=-，又α是第四象限角， 故4cos 5α=.即8()5f α=-.【点睛】本小题主要考查诱导公式，同角三角函数的基本关系式的运用，考查运算求解能力，属于基础题.19．已知函数1()1x x a f x a -=+（0a >且1a ≠） .（1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）若01a <<，判断函数()f x 在R 上的单调性，并证明. 【答案】（1）奇函数.见解析（2）减函数；见解析【解析】（1）先求得()f x 的定义域，然后利用()()f x f x -=-，证得()f x 为奇函数.（2）利用单调性的定义，计算()()120f x f x ->，由此证得()f x 在R 上递减. 【详解】（1）函数的定义域为R ， 11()()11x x x xa a f x f x a a-----===-++.有()()f x f x -=-,所以()f x 是奇函数.（2）设1212(,R)x x x x <∈，1212121212112()11(1)(1()-())x x x x x x x x a a a a a a a a f x f x ----==++++， 当01a <<时，12x x a a >，有()()120f x f x ->，即12()()f x f x >，所以()f x 在R 上是减函数； 【点睛】本小题主要考查函数奇偶性的判断，考查利用单调性的定义证明函数的单调性，属于基础题.20．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，12()log (1)f x x =-+（1）求函数()f x 的解析式；（2）若(1)1f a -<-，求实数a 的取值范围。
2019-2020学年安徽省合肥市高一上学期期末数学试题及答案解析
2019-2020学年安徽省合肥市高一上学期期末数学试题及答案解析一、单选题1．已知集合{}3M x x =<，{N x y ==，则RMN =（ ）A ．{}23x x ≤≤B ．{}23x x <≤C ．{}23x x <<D ．{}23x x ≤<【答案】C【解析】先求得集合N,再由集合补集与交集的运算即可求解. 【详解】集合{N xy ==,求解得{}2N x x =≤则由补集运算可得{}2RN x x =>由交集运算可知{}{}{}3223RM N x x x x x x ⋂=<⋂>=<<故选:C 【点睛】本题考查了集合的补集与交集的简单运算,属于基础题. 2．sin1290︒=（ ）A ．B ．12-C ．12D 【答案】B【解析】将1290先化为0~360的角,再结合诱导公式即可求得三角函数值.【详解】 因为12903360210=⨯+则()sin1290sin 3360210sin 210=⨯+=由诱导公式可知()sin 210sin 18030=+1sin 302=-=-故选:B 【点睛】本题考查了任意角三角函数值的求法和诱导公式的简单应用,属于基础题.3．已知12,e e 是两个不共线向量，且1263a e e =-，12b ke e =+.若向量a 与b 共线，则实数k 的值为（ ） A ．2- B ．1-C ．13 D ．43【答案】A【解析】根据平面向量共线基本定理,设λa b ,即可解方程组求得k 的值. 【详解】根据平面向量共线基本定理,若向量a 与b 共线 则满足λa b即()211263k ee e e λ-=+所以满足63k λλ=⎧⎨-=⎩,解得32k λ=-⎧⎨=-⎩故选:A 【点睛】本题考查了平面向量共线基本定理的简单应用,属于基础题.4．计算：61log 022log lg 25lg 469.8+++=（ ）A ．1B ．4C ．5D ．7【答案】C【解析】由对数的运算性质,结合零次幂的值,即可求得算式的值. 【详解】根据对数运算及指数幂运算,化简可得61log 022log lg 25lg 469.8+++322211log 2lg 5lg 2122=++++ ()312lg5lg 2122=++++ 312122=+++ 5=故选:C 【点睛】本题考查了对数的运算性质及化简求值,属于基础题.5．设21log a e =，11e b e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，ln 2c =，则（ ）A ．b a c >>B ．c b a >>C ．b c a >>D ．c a b >>【答案】C【解析】根据对指数函数与对数函数的图像与性质,判断出,,a b c 的范围,即可比较大小. 【详解】由指数函数与对数函数的图像与性质可知21log 0a e=< 1111eeb e e -⎛⎫= ⎪=⎭>⎝0ln21c <=<所以b c a >> 故选:C 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的图像与性质,利用中间值法比较大小,属于基础题.6．下列函数既是偶函数又在区间(0,)+∞上是减函数的是（ ） A ．()|1|f x x =+ B ．()1f x x x =+ C ．()f x =D ．()4f x x -=【答案】D【解析】根据函数解析式,结合偶函数性质及函数的单调性,即可判断选项. 【详解】对于A,函数()|1|f x x =+不是偶函数,所以A 错误;对于B,函数()1f x x x =+为奇函数,不是偶函数,所以B 错误; 对于C,()f x =,但在区间(0,)+∞上是增函数,所以C 错误; 对于D,()441f x x x -==为偶函数,且在区间(0,)+∞上是减函数,所以D 正确. 综上可知,正确的为D故选:D 【点睛】本题考查由函数解析式判断函数奇偶性及单调性,属于基础题.7．下列区间，包含函数()12ln 3x f x x =--零点的是（ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)【答案】C【解析】由函数单调性,结合零点存在定理,即可判断函数零点所在区间. 【详解】根据函数解析式可知()12ln 3x f x x =--在()0,∞+上为单调递增函数且()152ln101331f =--=-< ()127ln 2ln 202362f =--=-<()12ln 3ln 310333f =--=->由零点存在定理可知,零点位于(2,3)内 故选:C 【点睛】本题考查了函数零点存在定理的应用.在判断函数零点所在区间时,需先判断函数的单调性,才能说明函数零点的唯一性,属于基础题.8．已知向量(2,1)a =-，(3,2)b =-，(1,1)c =，则向量c 可用向量,a b 表示为（） A ．26a b +B ．53a b +C ．42a b -D ．5a b -【答案】B【解析】根据平面向量基本定理,设c a b λμ=+.代入坐标,由坐标运算即可求得参数. 【详解】根据平面向量基本定理,可设c a b λμ=+ 代入可得()()()1,12,13,2λμ=-+-即12312λμλμ=-⎧⎨=-+⎩,解得53λμ=⎧⎨=⎩所以53c a b =+ 故选:B 【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用,向量坐标运算及数乘运算的应用,属于基础题.9．在ABC ∆中，2AD DB =，若P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+，则m =（ ）A ．14 B ．13C ．12D ．23【答案】A【解析】根据平面向量共线基本定理,可设DP DC λ=,结合向量的加法与减法运算,化简后由12AP mAC AB =+,即可求得参数,m λ的值. 【详解】因为P 为CD 上一点,设DP DC λ=因为2AD DB = 所以23AD AB =则由向量的加法与减法运算可得AP AD DP =+AD DC λ=+()AD AC ADλ=+-()1AD AC λλ=-+ ()213AB AC λλ=-+ 因为12AP mAC AB =+所以()12123m λλ⎧=-⎪⎨⎪=⎩,解得1414m λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故选:A 【点睛】本题考查了平面向量共线定理的应用,平面向量基本定理的应用,向量的加法与减法的线性运算,属于基础题. 10．已知偶函数()log ||a f x b x =-（0a >且1a ≠）在(,0)-∞上单调递减，则()f b a -与()21f a +的大小关系是（）A ．()()21f b a f a >+- B ．()()21f b a f a <+-C ．()()21f b a f a =+-D ．无法确定【答案】B【解析】根据偶函数性质,可求得b ,结合函数的单调性即可求得a 的取值范围.通过比较21a +与a -的大小关系,即可比较大小.因为()log ||a f x b x =-为偶函数 所以()()f x f x =-,即log ||log ||a a x b x b -=-- 所以||||x b x b -=--对()(),00,x ∈-∞+∞恒成立 解得0b = 即()log ||a f x x =因为偶函数()log ||a f x x =（0a >且1a ≠）在(,0)-∞上单调递减,则()log ||a f x x =在()0,∞+上单调递增 所以由对数函数的图像与性质可知1a > 而211a a +>-> 所以()()()21f a f a f a +>-=-故选:B 【点睛】本题考查了由偶函数的性质求参数,根据函数单调性比较抽象函数的大小关系,综合性较强,属于中档题.11．已知函数sin()y A x ωϕ=+（0A >，0>ω，||ϕπ<）的部分图象如图所示，若将函数sin()y A x ωϕ=+的图象向右平移(0)αα>个单位后，得到一个偶函数的图象，则α的取值可能为（ ）A ．6πB ．3πC ．116πD ．1712π【解析】根据部分函数图像,先求得函数解析式.结合函数平移变化,求得平移后的解析式,由平移后为偶函数并对比选项即可求解. 【详解】由函数图像可知,A =而741234T πππ=-=,所以T π=由周期公式可得22Tπω==所以)y x ϕ=+将最低点坐标7,12π⎛ ⎝代入解析式可知7212πϕ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭ 则7322,122k k Z ππϕπ⨯+=+∈ 所以2,3k k Z πϕπ=+∈因为||ϕπ<所以当0k =时,3πϕ=则解析式为23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 将解析式向右平移α单位后,可得()22233y x x ππαα⎡⎤⎛⎫=-+=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭因为平移后的函数为偶函数,则202,32k k Z ππαπ⨯-+=+∈解得6,12212k k k Z ππππα+=--=-∈ 对比四个选项,当3k =-时, 1712πα=故选:D 【点睛】本题考查了根据部分图像求函数解析式,由函数的性质求得参数,属于中档题.12．已知函数()sin()f x x ϕθ=++的图象关于直线x π=对称，其中0ϕπ<<，02θπ-<<，且tan 2θ=-，则sin 2ϕ的值为（ ）A ．34B ．14C ．35D ．45-【答案】D【解析】根据函数对称轴,求得θ的表达式.由tan 2θ=-结合诱导公式即可得cos 2sin ϕϕ=-.根据同角三角函数关系式及正弦二倍角公式,即可求解. 【详解】因为函数()sin()f x x ϕθ=++的图象关于直线x π=对称 所以由正弦函数的图像与性质可知,2k k Z ππϕθπ++=+∈ 则,2k k Z πθϕπ=--+∈所以tan tan tan 222k ππθϕπϕ⎛⎫⎛⎫=--+=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 由诱导公式化简可得tan 22πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭根据同角三角函数关系中的商数关系式可得sin 22cos 2πϕπϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭由诱导公式化简可得cos 2sin ϕϕ=-,即cos 2sin ϕϕ=-由同角三角函数关系式中的平方关系式22sin cos 1ϕϕ+=,代入可得()22sin 2sin 1ϕϕ+-=,解得21sin 5ϕ=因为0ϕπ<<,所以sin 0ϕ>,则sin ϕ=而由cos 2sin ϕϕ=-,可得cos ϕ=由正弦二倍角公式可知sin 22sin cos ϕϕϕ=425⎛==- ⎝⎭故选:D 【点睛】本题考查了正弦函数的图像与性质的应用,同角三角函数关系式的化简求值,正弦二倍角公式的应用,属于中档题.二、填空题13．已知1sin 3α=，则sin cos 22αα+=__________．【答案】3±【解析】24sin cos 1223sin ααα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭,所以sin cos 22αα+=±14．设函数()()142,1,log 21,1,x xx f x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩若()12f x =，则x =________. 【答案】0或2log 3【解析】根据分段函数解析式,分段即可求得自变量的值. 【详解】当1x <时,()12x f x -=.若()12f x =,即1212x -=,解得0x =,符合题意当1x ≥时,()()4log 21x f x =-. 若()12f x =,即()41log 221x =-,所以212x -=则23x =,解得2log 3x =,符合题意 综上可知,若()12f x =时,0x =或2log 3x = 故答案为: 0或2log 3 【点睛】本题考查了分段函数的求值,属于基础题. 15．已知,a b 是单位向量，且夹角为60°，3c=，则1122a c b c ⎛⎫⎛⎫-⋅- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的取值范围是________. 【答案】111,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】根据平面向量数量积,先求得a b ⋅及a b +.由平面向量数量积的运算律,计算1122a c b c ⎛⎫⎛⎫-⋅- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,设c 与a b +的夹角为θ,即可由平面向量数量积的运算求得取值范围. 【详解】因为,a b 是单位向量,且夹角为60° 则()2222a b a ba ab b+=+=+⋅+=设c 与a b +的夹角为θ（0180θ≤≤）,由平面向量数量积的运算律化简可得1122a c b c ⎛⎫⎛⎫-⋅- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 2111224a b a c b c c =⋅-⋅-⋅+()21111cos6024c a b =⨯⨯-⋅++⨯113cos 224c a b θ=-⋅++ 5142θ=- 53cos 42θ=- 当0θ=,即cos 1θ=时取得最小值为531424-=-当180θ=,即cos 1θ=-时取得最大值为5311424+=所以取值范围为111,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故答案为:111,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算,向量的夹角及模的求法,属于中档题. 16．已知函数()211x x xf -=-的图象与直线2y kx =+恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________. 【答案】(4,1)(1,0)--⋃-【解析】根据函数解析式,分类讨论即可确定解析式.画出函数图像,由直线所过定点,结合图像即可求得k 的取值范围. 【详解】 函数()211x x xf -=-定义域为{}1x x ≠当1x ≤-时,()2111x x x f x -==---当11x -<<时,()2111x x xf x -==+-当1x <时,()2111x x xf x -==---画出函数图像如下图所示:直线2y kx =+过定点()0,2由图像可知,当10k -<<时,与1x ≤-和11x -<<两部分图像各有一个交点;当41-<<-k 时,与11x -<<和1x <两部分图像各有一个交点. 综上可知,当()()4,11,0k ∈--⋃-时与函数有两个交点 故答案为:()()4,11,0--⋃- 【点睛】本题考查了分段函数解析式及图像画法,直线过定点及交点个数的求法,属于中档题.三、解答题 17．已知角920α=-︒.（Ⅰ）把角α写成2k πβ+（02,k Z βπ≤<∈）的形式，并确定角α所在的象限；（Ⅱ）若角γ与α的终边相同，且(4,3)γππ∈--，求角γ.【答案】（Ⅰ）α=8(3)29ππ-⨯+，第二象限角；（Ⅱ）289πγ=-【解析】（Ⅰ）根据任意角的转化,即可把角α写成2k πβ+的形式.进而根据β的值确定α所在的象限;（Ⅱ）根据γ与α的终边相同且(4,3)γππ∈--,即可确定γ的值. 【详解】 （Ⅰ）9203360160-︒=-⨯︒+︒,81609π︒=,920α∴=-︒=8(3)29ππ-⨯+.角α与89π终边相同,∴角α是第二象限角.（Ⅱ）角γ与α的终边相同,∴设82()9k k Z πγπ=+∈. (4,3)γππ∈--,由84239k ππππ-<+<-,可得2235918k -<<-. 又k Z ∈,2k ∴=-. 828499ππγπ∴=-+=-.【点睛】本题考查了角度与弧度的转化,任意角转为()0,2π的角,根据角判断所在象限,属于基础题. 18．已知集合A 为函数()2log (1)f x x =-+的定义域，集合B 为函数()2233x x g x -=-的值域.（Ⅰ）求AB ；（Ⅱ）若{|112}C x a x a =-<<-，且()C A B ⊆，求实数a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）{}|10B x x A -<=≤；（Ⅱ）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（Ⅰ）根据对数性质及二次根式有意义条件,先求得集合A,由指数的图像与性质,求得集合B,即可由集合交集的运算求得AB .（Ⅱ）讨论C =∅与C ≠∅两种情况.根据集合的包含关系,即可求得a 的取值范围. 【详解】 （Ⅰ）由函数()f x 的定义域需满足10,10,x x ->⎧⎨+>⎩解得11x -<<,所以{}|11A x x =-<<. 设22t x x =-,则22(,1]t x x =-∈-∞, 所以3(0,3]t ∈, 所以{}|30}B y y =-<≤. 所以{}|10B x x A-<=≤.（Ⅱ）由于()C AB ⊆,若C =∅,则需112a a -≥-,解得23a ≥； 若C ≠∅,则需2,311,120,a a a ⎧<⎪⎪-≥-⎨⎪-≤⎪⎩解得1223a ≤<.综上,实数a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查了函数定义域的求法,指数函数值域的求法,由集合的包含关系求参数,属于基础题. 19．已知函数()21log 1x x xf -=+. （Ⅰ）设()11x x x h -=+，用定义证明：函数()h x 在(1,)-+∞上是增函数；（Ⅱ）若函数()()2xg x f x m =++，且()g x 在区间(3,5)上有零点，求实数m 的取值范围.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）2log 3337m -<<- 【解析】（Ⅰ）任取12,(1,)x x ∈-+∞,且12xx <,代入解析式可求得()()21h x h x -,变形后即可判断函数的单调性.（Ⅱ）先判断出函数()f x 与()g x 的单调性,即可根据零点存在定理求得m 的取值范围. 【详解】（Ⅰ）证明:由题意得()11211x x x x h x -+-==++211x=-+. 任取12,(1,)x x ∈-+∞,且12xx <,则()()212211h x h x x ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭1211x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭122211x x =-++()()()2112211x x x x -=++.因为12,(1,)x x ∈-+∞,且12xx <,所以210x x ->,110x +>,210x +>, 所以()()210h x h x ->,所以函数()h x 在(1,)-+∞上是增函数. （Ⅱ）由题意()f x 的定义域为(,1)(1,)-∞-+∞.由（Ⅰ）知,()f x 在(1,)+∞上单调递增,所以()()2xg x f x m =++在(3,5)上单调递增.因为()g x 在区间(3,5)上有零点,所以3252231(3)log 270,3151(5)log 2log 3330,51g m m g m m -⎧=++=+<⎪⎪+⎨-⎪=++=-++>⎪+⎩所以2log 3337m -<<-. 【点睛】本题考查了利用定义判断函数的单调性,由函数单调性及零点取值范围判断参数的取值情况,属于基础题.20．已知角θ满足1tan 42πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求下列各式的值：（Ⅰ）sin sin 21cos cos 2θθθθ+++；（Ⅱ）cos2sin 2θθ+. 【答案】（Ⅰ）-3；（Ⅱ）75-【解析】（Ⅰ）根据正切和角公式,展开化简可求得tan θ的值.将原式根据正弦与余弦的二倍角公式展开即可变形为sin (12cos )cos (12cos )θθθθ++,即可求解. （Ⅱ）将原式变形为齐次式,222222cos sin 2sin cos cos sin cos sin θθθθθθθθ-+++,即可变形求解. 【详解】由题意知1tan tan 41tan πθθθ+⎛⎫+= ⎪-⎝⎭12=-,得tan 3θ=-. （Ⅰ）由正弦与余弦的二倍角公式变形可得sin sin 21cos cos 2θθθθ+++ 2sin 2sin cos cos 2cos θθθθθ+=+sin (12cos )cos (12cos )θθθθ+=+ tan θ=3=-.（Ⅱ）由正弦与余弦的二倍角公式变形可得cos2sin 2θθ+2222cos sin cos sin θθθθ-=++222sin cos cos sin θθθθ+2221tan 2tan 1tan 1tan θθθθ-=+++192(3)1919-⨯-=+++75=- 【点睛】本题考查了三角函数式的化简求值,正弦与余弦二倍角公式的用法,属于基础题.21．某公司的电子新产品未上市时，原定每件售价100元，经过市场调研发现，该电子新产品市场潜力很大，该公司决定从第一周开始销售时，该电子产品每件售价比原定售价每周涨价4元，5周后开始保持120元的价格平稳销售，10周后由于市场竞争日益激烈，每周降价2元，直到15周结束，该产品不再销售.（Ⅰ）求售价()f t （单位：元）与周次t （*t N ∈）之间的函数关系式；（Ⅱ）若此电子产品的单件成本()h t （单位：元）与周次()21(7)1008h t t --+=之间的关系式为[1,15]t ∈，()f x ，*t N ∈，试问：此电子产品第几周的单件销售利润（销售利润=售价-成本）最大？ 【答案】（Ⅰ）()1004,[1,5],120,[6,10],1402,[11,15],t t f t t t t +∈⎧⎪=∈⎨⎪-∈⎩()*t N ∈；（Ⅱ）第10周【解析】（Ⅰ）根据题意,结合分段情况即可求得解析式. （Ⅱ）根据售价解析式及成本解析式,先表示出利润的函数解析式.结合二次函数性质即可求得最大值及对应的时间. 【详解】（Ⅰ）当[1,5]t ∈时,()1004f t t =+； 当[6,10]t ∈时,()120f t =；当[11,15]t ∈时,()1202(10)f t t =--1402t =-. 所以()1004,[1,5],120,[6,10],1402,[11,15],t t f t t t t +∈⎧⎪=∈⎨⎪-∈⎩()*t N ∈.（Ⅱ）由于单件电子产品的销售利润=售价-成本,即单件销售利润()()()g t f t h t =-, 所以,当[1,5]t ∈时,()211004(7)1008t t g t =++--21949848t t =++21(9)48t =+-. 此时()g t 单调递增,所以当5t =时,()g t 取得最大值1648.当[6,10]t ∈时,()21120(7)1008g t t =+--21(7)208t =-+.当10t =时,()g t 取得最大值1698. 当[11,15]t ∈时,()211402(7)1008t t g t =-+--2115369848t t =-+21(15)188t =-+. 当11t =时,()g t 取得最大值20.综上,该电子产品第10周时单件销售利润最大.【点睛】本题考查了分段函数在实际问题中的应用,利润问题的最值求法,二次函数的性质应用,属于基础题.22．已知函数()22cos sin 26x x f x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期以及()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（Ⅱ）若()085f x =，0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求0cos2x 的值.【答案】（Ⅰ）π，最大值为2，最小值为12；（Ⅱ【解析】（Ⅰ）由余弦的降幂公式,结合正弦的差角公式及辅助角公式化简三角函数式,即可求得最小正周期.结合正弦函数的图像与性质即可求得在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.（Ⅱ）由（Ⅰ）将0x 代入即可求得03sin 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭.根据0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦及同角三角函数关系式求得0cos 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭.即可由配凑法及余弦的差角公式求得0cos2x . 【详解】（Ⅰ）由余弦的降幂公式,结合正弦的差角公式及辅助角公式化简可得()22cos sin 26x x f x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭1cos 222x x =++1cos 22x -112cos 222x x =++ 1sin 26x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==. 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦, 1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦, 所以函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2,最小值为12. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知()001sin 26f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 因为()085f x =,所以03sin 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 由0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,得0272,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.从而0cos 26x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭45=-. 所以00cos 2cos 266x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 0cos 2cos 66x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0sin 2sin 66x ππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了三角函数式的化简,余弦降幂公式及正余弦的差角公式应用,正弦函数的图像与性质的用法,属于中档题.。
安徽省合肥市第六中学2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题(含答案)
=（）
A． − 4 5
B． − 3 5
3
C．
5
4
D．
5
4．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》[三三] “今有宛田，
下周六步，径四步问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长 6 步，其
所在圆的直径是 4 步，问这块田的面积是( )平方步？
A. 12
B. 9
C. 6
D. 3
5．若������������
∈
[0,
���4���������]，������������������������������������2������������
=
3√7，则
8
������������������������������������
=（
）
3
A．
5
7
B．
4
4
C．
5
3
D．
4
6．已知函数������������(������������)
1
A．向左平移������������ 个单位
9
B．向右平移������������ 个单位
9
π
C．向左平移 个单位
3
π
2019-2020学年安徽省XX高一上学期期末数学试题及答案
2019-2020学年安徽省XX 高一上学期期末数学试题及答案一、单选题1．若集合{}0A x x =<，且B A ⊆，则集合B 可能是( ) A ．{}1x x >- B ．RC ．{}2,3--D ．{}3,1,0,1--【答案】C【解析】通过集合{}0A x x =<，且B A ⊆，说明集合B 是集合A 的子集，对照选项即可求出结果．【详解】解：因为集合集合{}0A x x =<，且B A ⊆，所以集合B 是集合A 的子集，当集合{}1B x x =>-时，1A ∉，不满足题意， 当集合B R =时，1A ∉，不满足题意， 当集合{}2,3B =--，满足题意，当集合{}3,1,0,1B -=-时，1A ∉，不满足题意， 故选：C ． 【点睛】本题考查集合的基本运算，集合的包含关系判断及应用，属于基础题． 2．函数()()1f x x =+的定义域是( )A ．(],1-∞-B ．()1,+∞C ．()()1,11,-+∞D ．()1,1-【答案】D【解析】可看出，要使得()f x 有意义，则需满足1010x x +>⎧⎨->⎩，解出x 的范围即可． 【详解】 解：要使()f x 有意义，则1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<， ()f x ∴的定义域为()1,1-．故选：D ． 【点睛】本题考查了函数定义域的定义及求法，对数函数的定义域，考查了计算能力，属于基础题．3．三个数20.420.4,log 0.4,2a b c ===之间的大小关系是（ ） A ．a c b << B ．b a c << C ．a b c << D ．b c a <<【答案】B 【解析】20.4200.41,log 0.40,21<<,01,0,1,a b c b a c ∴<<∴<<，故选B.4．函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ）A ．关于点（－6π，0）对称B ．关于原点对称C ．关于y 轴对称 D ．关于直线x=6π对称【答案】A【解析】【详解】,06x y π=-=∴关于点（－6π，0）对称，选A.5．函数f (x )＝lg x －1x 的零点所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,10) C ．(10,100) D ．(100，＋∞) 【答案】B【解析】函数f （x ）的定义域为（0，+∞），且函数f （x ）单调递增， ∵()()1f 110f 101010=-=-，， ∴在（1，10）内函数f （x ）存在零点， 故选B点睛：函数零点个数（方程根的个数）的判断方法：①结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；②利用函数图像交点个数判断方程根的个数或函数零点个数．6．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为（ ） A ．24cm B ．26cm C ．28cm D ．216cm【答案】A【解析】利用弧长公式、扇形的面积计算公式即可得出． 【详解】设此扇形半径为r ，扇形弧长为l=2r 则2r +2r ＝8，r=2，∴扇形的面积为12l r=224r cm =故选A【点睛】本题考查了弧长公式、扇形的面积计算公式，属于基础题． 7．已知()1cos 3πα+=，则cos2=α( )A ．79 B ．89- C ．79-D ．9【答案】C【解析】由条件利用诱导公式求得cos α，再利用二倍角的余弦公式求得cos2α的值． 【详解】 解：()1cos 3πα+= 1cos 3α∴=-2217cos 22cos 12139αα⎛⎫∴=-=⨯--=- ⎪⎝⎭故选：C 【点睛】本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．8．已知函数223y x x =-+在闭区间[]0,m 有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为( ) A ．[]0,1 B ．()1,2 C ．(]1,2D ．[]1,2【答案】D【解析】作出函数图象，数形结合即可得解. 【详解】 解：()223y f x x x ==-+()()212f x x ∴=-+，作出函数()f x 的图象，如图所示，当1x =时，()f x 取得最小值，()()min 12f x f ==，且()()023f f == 因为函数2()23=-+f x x x 在闭区间[]0,m 上有最大值3，最小值2，则实数m 的取值范围是[]1,2． 故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的值域问题，其中要特别注意它的对称性及图象的应用，属于中档题．9．曲线1:sin C y x =，曲线2:cos 2C y x =，下列说法正确的是 （ ）A ．将1C 上所有点横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移4π个单位，得到2C B ．将1C 上所有点横坐标缩小到原来的12，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移4π个单位，得到2CC ．将1C 上所有点横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移2π个单位，得到2CD ．将1C 上所有点横坐标缩小到原来的12，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移2π个单位，得到2C 【答案】B【解析】由于πsin cos 2y x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，故首先横坐标缩小到原来12得到πcos 22x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再向左平移π4个单位得到cos2x .故选B . 10．如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x ≥+的解集是（）A ．{}|10x x -<≤B ．{}|11x x -≤≤C ．{}|11x x -<≤D ．{}|12x x -<≤【答案】C【解析】试题分析：如下图所示，画出2()log (1)g x x =+的函数图象，从而可知交点(1,1)D ，∴不等式()()f x g x ≥的解集为(1,1]-，故选C ．【考点】1．对数函数的图象；2．函数与不等式；3．数形结合的数学思想． 11．函数()()ln2x x x e e f x --=，则()f x 是( )A ．奇函数，且在()0,∞+上单调递减B ．奇函数，且在()0,∞+上单调递增C ．偶函数，且在()0,∞+上单调递减D ．偶函数，且在()0,∞+上单调递增【答案】D 【解析】()()ln ln 22x x x x e e e e f x f x --++-===,所以()ln2x xe ef x -+=为偶函数,设()2x xe e u x -+=,则'()2x xe e u x --=在()0+∞，单调递增, '()'(0)02x xe e u x u --∴=>=()2x xe e u x -+∴=在()0+∞，单调递增, 所以()ln2x xe ef x -+=在()0+∞，单调递增,故选B 12．已知函数()f x 是R 上的奇函数，且当0x <时，()2x f x a =-，若函数()f x 恰有三个零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．0,1B ．1,0C ．()1,1-D ．(),1-∞【答案】A【解析】根据函数为R 上的奇函数，则()00f =，且函数的图象关于原点对称，由函数有三个零点，则只需研究函数在0x <时的零点，求出参数a 的取值范围.因为()f x 为R 上的奇函数，则()()f x f x -=-，且函数的图象关于原点对称.()00f ∴=因为函数()f x 恰有三个零点，且当0x <时，()2xf x a =-，故当0x <时，()2xf x a =-函数有1个零点，则函数图象如图所示：021=011a ∴<-<，解得01a <<，故()0,1a ∈故选：A 【点睛】本题考查函数的零点，考查数形结合思想，属于基础题. 13．已知函数()1212xxf x -=+，实数a ，b 满足不等式()()2430f a b f b ++->，则下列不等式恒成立的是（）A ．2b a -<B ．22a b +>C ．2b a ->D ．22a b +<【解析】由题意得122112()()122121x x xxx x f x f x ------===-=-+++，故函数()f x 为奇函数．又21(21)22()1121212x x x x xf x -+-=-=-=-++++，故函数()f x 在R 上单调递减．∵()()2430f a b f b ++->， ∴()()()24334f a b f b f b +>--=-， ∴234a b b +<-， ∴2b a ->．选C ．二、填空题 14．函数()20192019x f x a -=+（0a >且1a ≠）图象所过的定点坐标是______. 【答案】()2019,2020【解析】令指数为0，即可求出函数恒过的定点. 【详解】 解：因为()20192019x f x a-=+（0a >且1a ≠）令20190x -=解得2019x =，则()0201920192020f a =+=故函数恒过点()2019,2020 故答案为：()2019,2020 【点睛】本题考查指数型函数过定点问题，属于基础题.15．()()4log 1,01,0x x f x x x ⎧+≥=⎨-<⎩，则()()11f f -+=__________． 【答案】52【解析】()()1112f -=--=，()411log 22f ==，故原式52=. 16．已知sin 2cos 0αα-=，则23sin cos cos ααα-的值是______. 【答案】1【解析】首先利用同角三角函数的基本关系求出tan α，再利用平方关系将23sin cos cos ααα-化成齐次式，最后代入求值. 【详解】 解：sin 2cos 0αα-=sin tan 2cos ααα∴== 22223sin cos cos 3sin cos cos sin cos αααααααα-∴-=+23tan 1tan 1αα-=+ 232121⨯-=+ 1=故答案为：1 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，属于基础题. 17．已知幂函数()12f x x =，若()()1102f a f a +<-，则a 的取值范围是______. 【答案】[)1,3-【解析】由幂函数12()f x x =在[)0,+∞上单调递增可得01102a a +<-，从而解得．【详解】解：幂函数12()f x x =在[)0,+∞上单调递增， 又(1)(102)f a f a +<-，01102a a ∴+<-， 13a ∴-<，即[)1,3a ∈-故答案为：[)1,3-． 【点睛】本题考查了幂函数的性质的应用，属于基础题． 18．已知函数12()(0)f x x x -=>，若(1)(102)f a f a +<-，则a 的取值范围是______. 【答案】(3,5) 【解析】由函数12()(0)f x x x -=>的单调性求解．【详解】 易知函数12()(0)f x xx -=>是定义域内的单调递减函数，根据题意可得10,1020,1102,a a a a +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩解得1,5,3.a a a >-⎧⎪<⎨⎪>⎩据此可得a 的取值范围是35a <<.故答案为：(3,5)． 【点睛】本题考查幂函数的单调性，属于基础题．三、解答题 19．已知集合{}{}{}|2318,|215,|1A x x B x x C x x a x a =≤-≤=-<=≤≥+或．（1）求,A B A B ；（2）若()R C C A ⊆，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{}{}|13,|3A B x x A B x x ⋂=≤<⋃=≤；（2）[]1,2a ∈ 【解析】（1）首先求得[]()1,3,,3A B ==-∞，由此求得,A B A B⋂⋃的值.（2）(),1R C C a a =+，由于()[],11,3a a +⊆，故113a a ≥⎧⎨+≤⎩，解得[]1,2a ∈. 【详解】解：{}{}|13,|3A x x B x x =≤≤=<， （1）{}{}|13,|3A B x x A B x x ⋂=≤<⋃=≤；（2）∵{}|1C x x a x a =≤≥+或，∴{}|1R C C x a x a =<<+，∵()R C C A ⊆，∴113a a ≥⎧⎨+≤⎩，∴[]1,2a ∈．20．计算221(1).log 24lg log lg 2log 32+--32601(8)9⎛⎫--- ⎪⎝⎭－ 【答案】（1）32.（2）44.【解析】【详解】试题分析：（1）底数相同的对数先加减运算，根号化为分数指数.（2）根号化为分数指数，再用积的乘方运算. 试题解析：223222321(1).log 24lg log lg 2log 321(log 24log 3)(lg lg 2)log 32333log 8lg13222+--=-++-=+-=-=32601(-8)9⎛⎫--⎪⎝⎭－ 11362322(32()3)1--=⨯--9827144=⨯--=【考点】1.对数运算，指数运算.2.分数指数，零指数等运算.21．已知函数2()(8)f x ax b x a ab=+---的零点是-3和2(1)求函数()f x的解析式.(2)当函数()f x的定义域是0,1时求函数()f x的值域.【答案】（1）2()3318f x x x=--+（2）[12,18]【解析】【详解】（1）832,323,5b a aba ba a----+=--⨯=∴=-=,()23318f x x x=--+（2）因为()23318f x x x=--+开口向下，对称轴12x=-,在[]0,1单调递减，所以()()max min0,18,1,12x f x x f x====当当所以函数()f x的值域为[12,18]【点睛】本题将函数的零点、解析式、最大小值等有关知识与性质有机整合在一起，旨在考查函数的表示、零点、最大小值等基础知识及综合运用．求解时先依据函数零点与方程的根之间的关系，求出函数解析式中的参数的值；解答第二问时，借助二次函数的图像和性质，运用数形结合的数学思想求出最大小值从而使得问题获解．22．已知函数()2cos sin3f x x x xπ⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭x R∈．（Ⅰ）求()f x的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值．【答案】（Ⅰ）π;（Ⅱ）最小值12-和最大值14． 【解析】试题分析：（1）由已知利用两角和与差的三角函数公式及倍角公式将()f x 的解析式化为一个复合角的三角函数式，再利用正弦型函数()sin y A x B ωϕ=++的最小正周期计算公式2T πω=，即可求得函数()f x 的最小正周期；（2）由（1）得函数，分析它在闭区间上的单调性，可知函数()f x 在区间上是减函数，在区间上是增函数，由此即可求得函数()f x 在闭区间上的最大值和最小值．也可以利用整体思想求函数()f x 在闭区间上的最大值和最小值．由已知，有()f x 的最小正周期．（2）∵()f x 在区间上是减函数，在区间上是增函数，，，∴函数()f x 在闭区间上的最大值为，最小值为．【考点】1．两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式；2．三角函数的周期性和单调性．23．某房地产开发商为吸引更多消费者购房，决定在一块闲置的扇形空地中修建一个花园．如图，已知扇形AOB 的圆心角4AOB π∠=，半径为200米，现欲修建的花园为平行四边形OMNH ，其中M ，H 分别在OA ，OB 上，N 在AB 上．设MON θ∠=，平行四边形OMNH 的面积为S .（1）将S 表示为关于θ的函数； （2）求S 的最大值及相应的θ值．【答案】（1）()40000cos sin sin S θθθ=-，0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（2）当8θπ=时，S 取得最大值()2000021平方【解析】（1）分别过N 作NP OA ⊥于P ，过H 作HE OA ⊥于E ，利用三角函数，求出HN 和NP 长度，即可求出S 关于θ的函数.（2）利用二倍角和辅助角公式化简函数解析式，通过θ的范围求出S 的最大值及相应的θ值. 【详解】 （1）如图，过N 作NP OA ⊥于P ，过H 作HE OA ⊥于E ， ∵4AOB π∠=，∴200sin OE EH NP θ===，200cos OP θ=， ∴()200cos sin HN EP OP OE θθ==-=-，∴()40000cos sin sin S HN NP θθθ=⋅=-，0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（2）()211cos 240000cos sin sin 40000sin 222S θθθθθ-⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭()20000sin 2cos 21200002214πθθθ⎡⎤⎛⎫=+-=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎦，∵0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴32,444θπππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， ∴当242θππ+=，即8θπ=时，S 取得最大值，且最大值为)2000021平方米.【点睛】本题第一问考查三角函数在解决实际问题的应用.第二问考查三角函数的化简，最值问题，考查学生的计算能力和转化思想的应用，属于中档题. 24．已知()()()22log 2log 2f x x x =-++.(1)求函数()f x 的定义域； (2)求证：()f x 为偶函数；(3)指出方程()f x x =的实数根个数，并说明理由.【答案】(1)()2,2-；(2)证明见解析；(3)两个，理由见解析. 【解析】（1）根据对数函数的真数大于0，列出不等式组求出x 的取值范围即可；（2）根据奇偶性的定义即可证明函数()f x 是定义域上的偶函数．（3）将方程()f x x =变形为()22log 4x x -=，即242x x -=，设()242xg x x =--（22x -≤≤），再根据零点存在性定理即可判断. 【详解】 解：（1）()()()22log 2log 2f x x x =-++2020x x ->⎧∴⎨+>⎩，解得22x -<<，即函数()f x 的定义域为()2,2-； （2）证明：∵对定义域()2,2-中的任意x ， 都有()()()()22log 2log 2f x x x f x -=++-=∴函数()f x 为偶函数；（3）方程()f x x =有两个实数根， 理由如下：易知方程()f x x =的根在()2,2-内，方程()f x x =可同解变形为()22log 4x x -=，即242x x -=设()242xg x x =--（22x -≤≤）.当[]2,0x ∈-时，()g x 为增函数，且()()20120g g -⋅=-<， 则在()2,0-内，函数()g x 有唯一零点，方程()f x x =有唯一实根，又因为偶函数，在()0,2内，函数()g x 也有唯一零点，方程()f x x =有唯一实根，所以原方程有两个实数根. 【点睛】本题考查函数的定义域和奇偶性的应用问题，函数的零点，函数方程思想，属于基础题．25．已知函数()f x 对任意实数x ，y 都满足()()()f xy f x f y =，且()11f -=-，()1279f =，当1x >时，()()0,1f x ∈. (1)判断函数()f x 的奇偶性；(2)判断函数()f x 在(),0-∞上的单调性，并给出证明； (3)若()1f a +≤a 的取值范围.【答案】(1)()f x 为奇函数；(2)()f x 在(),0-∞上单调递减，证明见解析；(3)[)4,1--.【解析】（1）令1y =-，代入抽象函数表达式即可证明函数的奇偶性；（2）先证明当0x >时，()0f x >，再利用已知和单调函数的定义，证明函数()f x 在()0,∞+上的单调性，根据函数的奇偶性，即可得到函数()f x 在(),0-∞上的单调性； （3）先利用赋值法求得()3f -=再利用函数的单调性解不等式即可 【详解】解：（1）令1y =-，则()()()1f x f x f -=-. ∵()11f -=-，∴()()f x f x -=-∴函数()f x 为奇函数； (2)函数()f x 在(),0-∞上单调递减. 证明如下：由函数()f x 为奇函数得()()111f f =--=当()0,1x ∈时，11x >，()10,1f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()111f x f x =>⎛⎫ ⎪⎝⎭所以当0x >时，()0f x >， 设120x x <<，则211x x >，∴2101x f x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭， 于是()()()22211111x x f x f x f f x f x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递减.∵函数()f x 为奇函数，∴函数()f x 在(),0-∞上单调递减. (3)∵()1279f =，且()()()()327393f f f f ==⎡⎤⎣⎦，∴()3f =又∵函数()f x 为奇函数，∴()3f -=∵()1f a +≤∴()()13f a f +≤-，函数()f x 在(),0-∞上单调递减.又当0x ≥时，()0f x ≥. ∴310a -≤+<，即41a -≤<-， 故a 的取值范围为[)4,1--. 【点睛】本题考查了抽象函数表达式的意义和运用，函数奇偶性的定义和判断方法，函数单调性定义及其证明，利用函数的单调性解不等式的方法。
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2019-2020学年安徽省合肥市六校联考高一上学期期末考试数学试卷及答案一、单选题1．已知集合{}|22A x x =-≤<，{}2|230B x x x =--≤，则A B = （）A ．[1,1]-B ．[2,1]--C ．[1,2)D ．[1,2)-2．设函数()()()2111x x f x x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则[(4)]f f -的值为（）A ．16B ．15C ．5-D ．15-3．已知角α的终边上一点P 的坐标为2233sincos ππ⎛⎫⎪⎝⎭，，则sin α的值为（）A ．12B ．1-2C ．2D ．3-24．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC-B ．1344AB AC-C ．3144AB AC+D ．1344AB AC+5．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．a b c <<B ．a c b<<C ．c a b<<D ．b c a<<6．已知1sin()33πα+=，则5cos()6πα+=（）A ．13B ．13-C ．3D ．3-7．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（）A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭8．已知非零向量a ，b 满足2a b = ，且()a b b -⊥ ，则a 与b的夹角为()A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π69．幂函数()()2231m m f x m m x+-=--在()0,+∞时是减函数，则实数m 的值为()A ．2或1-B ．1-C ．2D ．2-或110．设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是A ．f(x)的一个周期为−2πB ．y=f(x)的图像关于直线x=83π对称C ．f(x+π)的一个零点为x=6πD ．f(x)在(2π,π)单调递减11．已知a ，b ＞0，且a≠1，b≠1.若log >1a b ，则A ．(1)(1)0a b --<B ．(1)()0a a b -->C ．D ．(1)()0b b a -->12．函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[—π，π]的图像大致为A ．B ．C ．D ．二、填空题13．23log 9log 4⨯=.14．已知1tan 3α=-，tan()1αβ+=，则tan β=_______.15．函数sin y x x =-的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移________个单位长度得到．16．若函数()()()2211,02,0b x b x f x x b x x ⎧-+->⎪=⎨-+-≤⎪⎩在R 上为增函数，则实数b 的取值范围为________.三、解答题17．已知集合{}|3A x a x a =≤≤+，{}=|-15R B x x ≤≤ð.（1）若=A B φ⋂，求实数a 的取值范围；（2）若=A B A ，求实数a 的取值范围.18．已知2sin()cos(2)tan()()tan()sin()f παπααπαπαπα---+=+--.（1）化简()f α；（2）若α是第四象限角，且33cos()25πα-=，求()f α的值.19．已知函数1()1x x a f x a -=+（0a >且1a ≠）.（1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）若01a <<，判断函数()f x 在R 上的单调性，并证明.20．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，12()log (1)f x x =-+（1）求函数()f x 的解析式；（2）若(1)1f a -<-，求实数a 的取值范围。
21．已知向量(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b ββ= ，41313a b -=.（Ⅰ）求cos()αβ-的值；（Ⅱ）若02πα<<，02πβ-<<，且4sin 5β=-，求sin α的值.22．已知函数2()sin(2sin(22cos 1,33f x x x x x R ππ=++-+-∈.（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若函数()21y f x a =-+在[0,]2π上有两个零点，求实数a 的取值范围.数学试题参考答案1-10DBBAB BCBBD11-12DD13．4；14．2；15．3π；16．12b ≤≤17．（1）由{}=|15R B x x -≤≤ð得：{}|15B x x x =<->或.若=A B φ⋂，则有：-135a a ≥⎧⎨+≤⎩，故12a -≤≤.（2）若=A B A ，则有A B ⊆，故：31a +<-或5a >，即4a <-或5a >.18．（1）2sin cos (tan )()2cos tan sin f ααααααα-==-.（2）33cos()sin 25παα-=-=，所以3sin 5α=-，又α是第四象限角，故4cos 5α=.即8()5f α=-.19．（1）函数的定义域为R ，11()()11x xx xa a f x f x a a-----===-++.有()()f x f x -=-,所以()f x 是奇函数.（2）设1212(,R)x x x x <∈，1212121212112()11(1)(1()-())x x x x x x x x a a a a a a a a f x f x ----==++++，当01a <<时，12x x a a >，有()()120f x f x ->，即12()()f x f x >，所以()f x 在R 上是减函数；20．（1）由题意，令0x >，则0x -<，因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以12()()log (1)f x f x x =-=+，即当0x >时，12()log (1)=+f x x ，所以函数()f x 的解析式为1212log (1),0()log (1),0x x f x x x +>⎧⎪=⎨-+⎪⎩ ．（2）由内层函数1=-+u x 在(,0]-∞上单调递减，外层函数12log y u =在(0,)+∞上单调递减，根据复合函数的单调性，可得12()log (1)f x x =-+在(,0]-∞上单调递增，又()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，又由(1)1f a -<-，可得(1)(1)f a f -<或(1)(1)f a f -<-，即11a -<-或11a ->，解得0a <或2a >．即实数a 的取值范围0a <或2a >．21．根据题意，由于向量413(cos ,sin ),(cos ,sin ),.13a b a b ααββ==-= ，那么可知2165·=cos(),=1+1-2·=,cos()131313a b a b a b a b αβαβ--=-∴-=,（）（2）根据题意，由于0,022ππαβ<<-<<且4sin 5β=-，那么16sin sin[()]sin()cos cos()sin 65ααββαββαββ=-+=-+-=22．（1）()sin 2cos cos 2sin sin 2cos cos 2sin cos 23333f x x x x x xππππ=++-+sin 2cos 2x x =+)4x π=+.3222()242k x k k Z πππππ+≤+≤+∈令，得：5()88k x k k Z ππππ+≤≤+∈.故函数()f x 的单调递减区间为5,]()88k k k Z ππππ++∈[（2）函数()21y f x a =-+在[0,2π上有两个零点，等价于方程()21f x a =-在[0,2π有两个不等的实根，即函数()f x 在[0,]2π上的图像与直线21y a =-有两个不同的交点.作出函数()f x 在[0,]2π上的图像，由121a ≤-<得：2112a +≤<.。