信号与系统习题课

知识 点1、已知 12)(+=s s s F ，则=+)0(f -2；若系统函数21()21H s s s =++，则系统的冲激响应h(t)=()t te u t -。

2、设某因果离散系统的系统函数为az zz H +=)(，要使系统稳定，则a 应满足1〈a 。

3、 周期信号频谱的定义、特点。

按照时间函数取值的连续性与离散性可将信号划分为连续信号和离散信号。

连续时间系统与离散时间系统的定义。

根据系统数学模型的差异，可将系统分为连续时间系统与离散时间系统。

两种系统分别对应什么数学模型。

信号)1()()(--=t t t f δδ的单边拉普拉斯变换为s e --1。

单边指数序列()(),01n x n a u n a =<<的z 变换为z z a -、收敛域为z a >。

11s +的拉氏逆变换为()t e u t - )cos()(wt t f =的拉氏变换为22w s s +。

拉氏变换ss e s-+的原函数为()(1)t u t δ+-。

如序列()()f n u n 的z 变换为11z z +-，则()1f 的值为2。

若)(t f 及dtt df )(可以进行拉氏变换，且↔)(t f F(s)，则)(lim )0()(0s sF f t f im l s t ∞→+→==。

4、 冲激函数)(t δ的傅里叶变换为1；信号at e -（0>=t ）的傅里叶变换为ωj a +1；符号函数)sgn(t 的傅里叶变换为ωj 2。

5、 由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体称为系统。

6、 会序列延时的基本运算。

例如序列延时x(n-m)是指原序列x(n)逐项依次右移m 位后给出的一个新序列。

7、 压缩、扩展、反褶、移位的理解。

如若1>a ，则信号波形)(at f 是将)(t f 波形进行压缩。

8、 零输入响应是指没有外加激励信号的作用，只有起始状态（或起始时刻系统储能）所产生的响应。

阶跃响应是指系统在阶跃信号的激励下产生的)零状态响应。

9、 差分方程式的阶数等于未知序列变量序号的最高与最低值之差，会利用概念判断阶数。

10、 对于任意给定的有界序列x(n)，使z 变换定义式级数收敛之所有z 值的集合，称为z 变换的 收敛域（或ROC ）；右边序列的收敛半径为R 的圆外部分。

11、 根据傅里叶变换的对称性可得，矩形脉冲的频谱为Sa 函数，那么Sa 形脉冲的频谱必然为矩形函数。

12、 系统响应可以分为瞬态响应和稳态相应，理解瞬态响应和稳态相应的概念。

13、 ()()u t u t *=)(t tu 、0()*cos n n δω'=00sin n ωω-、[]=t t u dtdcos )(δ(t)—sintU(t)。

=+*)45cos()( t t ωδ)45cos( +t ω，=--+*)]1()1([)cos(t t t δδω)1cos()1cos(--+w ω。

)sin(t e t ωα-是连续信号。

14、 冲激函数)(t δ的傅里叶变换为1；信号at e -（0>=t ）的傅里叶变换为ωj a +1；符号函数)sgn(t 的傅里叶变换为ωj 2。

15、 延迟时间0t 个单位的单位阶跃函数)(0t t u -的拉普拉斯变换式为se st 0-。

16、 抽样信号的性质，理解抽样定理。

例如信号f(t)的最高频率为4kHz ，则f(2t)的奈奎斯特抽样速率为16kHz 。

时域抽样定理说明，一个频谱受限的信号()f t ，如果频谱只占据~m m f f -的范围，则信号()f t 可以用等间隔的抽样值唯一表示，而抽样间隔T 必须满足的条件，同样频域抽样定理的条件也要掌握。

应用冲激信号的抽样特性，函数dt t t u t t )2()(00--⎰+∞∞-δ(00>t )的值为1。

17、 卷积的性质，会用性质做基本的正确判断。

记住用图解的方法计算卷积的步骤。

19. 连续时间系统的单位冲激响应是：系统函数H(s)的拉氏反变换，系统单位阶跃响应的导数，单位阶跃响应与()t δ'的卷积积分。

连续LTI 系统的冲激响应模式取决于系统的特征根，与零点无关。

20.会判断一个系统是否为因果系统。

会简单的计算，如：有一因果线性时不变系统，其频率响应11)(+=ωωj j H ，对于某一输入x(t) 输入为3()t e u t -所得输出信号的傅里叶变换为)3)(1(1)(++=ωωωj j j Y 。

21、连续时间系统的单位阶跃响应的性质：系统函数H(s)的拉氏反变换的积分即()th d ττ-∞⎰，是系统单位冲激响应的微分。

22、 离散时间信号的周期性判定，会周期计算。

周期矩形信号的主要能量集中在第一个零点内，这段频率范围称为频带宽度B ，它只与脉冲的宽度有关，并且是反比的关系。

系统函数()H s 的极点分布和与原函数：极点如果是位于s 平面的虚轴上的共轭极点，则冲激响应为等幅振荡；极点如果是位于s 平面的左半平面上的共轭极点，则冲激响应为衰减振荡；极点如果是位于s 平面的右半平面上的共轭极点，则冲激响应为增幅振荡；若H (s )的全部极点位于s 平面的左半平面（不包括虚轴），则可满足lim ()0t h t →∞=，系统是稳定的。

H(s)的极点都是系统的固有频率；H(s)零、极点相消时，某些固有频率将丢失。

双边序列的z 变换，可以看作右边序列和左边序列的z 变换的叠加，两个级数的收敛域的重叠部分是双边序列的收敛域，通常是环形的。

23、记住偶谐函数，奇谐函数包括哪些项。

周期为T 的脉冲信号()f t ，其傅里叶级数的系数为n F ，对应单脉冲信号的傅里叶变换为0()F ω，则n F 和0()F ω有101()n n F F Tωωω==。

24、离散时间系统的框图如下图所示，相应的差分方程为()(1)()y n ay n x n --=。

计算练习1、已知某LTI 系统的冲激响应21()()()2t h t t e u t δ-=+，其零状态响应2()[1(31)]()t y t t e u t -=++，请用拉氏变换的方法求系统的输入信号。

解：对h(t)和y(t)取拉氏变换114()222(2)s H s s s +=+=++ 22113(21)(4)()()()2(2)(2)s s Y s F s H s s s s s s ++=++==+++则()2(21)13()()(2)2Y s s F s H s s s s s +===+++ 所以2()(13)()t f t e u t -=+2、某LTI 系统，输入信号3()2()t e t e u t -=，在该输入下的响应为r(t),即()[()]r t H e t =，又已知2[()]3()()t dH e t r t e u t dt -=-+，试求该系统的单位冲激响应h(t)。

解：因为[()]()()()d d dH e t e t h t r t dt dt dt=*=所以 22()()()3()()3()()()t t r t e t h t r t e u t e t h t e u t --''=*=-+=-*+ ①又因为3()2()t e t e u t -=，所以有33()6()2()t t e t e u t e t δ--'=-+ ②232()3()()()6()()()t t t r t e t h t e u t e u t h t e u t ---'=-*+=-*+③ 将①式代入②式中，得33()()()[6()2()]()t t r t e t h t e u t e t h t δ--''=*=-+* 36()()2()()t e u t h t t h t δ-=-*+* ④因为③式=④式，从而得21()()2t h t e u t -=3.利用傅里叶变换的性质求信号)2t ()2t (2sin )t (f 1-π-π=的傅里叶变换。

解：)]2(2[2)2(2)2(2sin 2)2()2(2sin )(-=--⨯=--=t Sa t t t t t f πππππ下面先求抽样函数2)2(t Sa π的傅里叶变换 由 )2()(ωτττSa t g ↔和傅里叶变换的对称性，得)(2)2(ωπτττ-↔g t Sa =)(2ωπτg令πτ22=则 2)()2(4ωππg t Sa ↔ωπωπj e g t Sa 24)()]2(2[2-↔-4、求下列函数的拉普拉斯逆变换： （1）534s + （2）21(3)s s +解：（1）因为55()4343F s s s ==++， 所以43()5t f t e -=（2）因为211()()33s F s s s =-⨯+所以1()[1)]3f t =-5、（不求出逆变换，分别求下列函数的逆变换的初值和终值。

（1）)5)(2(6+++s s s （2）)2()1(32+++s s s 解： （1）(0)lim ()s f sF s ->∞+=(6)lim1(2)(5)s s s s s ->∞+==++()lim ()s f sF s ->∞=0(6)lim0(2)(5)s s s s s ->+==++（2）（(0)lim ()s f sF s +->∞=2(3)lim0(1)(2)s s s s s ->∞+==++()lim ()s f sF s ->∞=20(3)lim0(1)(2)s s s s s ->+==++6、已知傅立叶变换对：()()f t F ω↔，利用傅立叶变换的性质确定下列信号的傅立叶变换(1) )2()2(t f t -- (2) )52(-t f 解：（1）)2(21)]2([w F t f F -=- )2()2(2)]2()2[(w F dw w dF j t f t F ---=-- （2）)2(21)]2([wF t f F =wj e w F t f F 25)2(21)]25(2([-=-⨯7、如下图所示一线性离散系统，试求该系统的单位样值响应。

()(5y n y -则单位样值()()()()()516221h n h n h n δn δn --+-=-+-上式的右边是单位样值信号()n δ的加权与移位，故先令()1h n 满足方程()()()()1115162h n h n h n δn --+-=其特征根为122,3γγ==，则 ()()()11223n nh n D D u n =+ 利用一组边界条件()()110110h h =⎧⎪⎨-=⎪⎩ 解得122,3D D =-=则()()()12233n n h n u n =-⋅+⋅根据系统的线性与移位特性，得()()()1121h n h n h n =-+-即()()()()()()()11112122233222331nnn n h n h n h n u n u n --=-+-=--⨯+⨯+--⨯+⨯-或 由此可知()02h =-，故系统的单位样值响应()h n 还可写为() 2 0325 3 1n nn h n n -=⎧=⎨⨯-⨯≥⎩8、给定系统微分方程)(3)()(2)(3)(22t e t e dt dt r t r dt d t r dtd +=++，若激励信号)()(t u te =，起始状态2)0(=-r ，4)0('=-r ，求出它的完全响应。