复变函数第三讲解析函数的充要条件初等函数
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Cauchy-Riemann方程
u v v u x y x y
上述条件满足时,有
f ' ( z ) u iv u iu v iu v iv x x x y y y y x
定理2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要 条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且 满足Cauchy-Riemann方程
一. 解析函数的充要条件
设函 w 数 f ( z ) u ( x ,y ) iv ( x ,y ) 在点 z x iy 可 , 则 导
f(z z) f(z) z
[ u ( x x , y y ) iv ( x x , y y )] [ u ( x , y ) iv ( x , y )] x i y
(2)∵ f (z)=ex(cosy +isiny) 则 u=excosy, v= exsiny
u u u v x x e cosy e siny x y x y v v v u x x e siny e cosy x y x y
u v x x f ' ( z ) i e cos y ie sin y f ( z ) x x
Leabharlann Baidu
2
x y w u ( x ,y ) iv ( x ,y ) 2 2 i 2 2 x y x y dw 在 z x iy 0 处解析， . 并求 dz
证明 由于在z≠0处，u(x,y)及v(x,y)都是可微函数， 且满足C-R条件：
2 2 u v y x u v 2 xy 2 , 2 22 2 2 x y (x y ) y x (x y )
1 u v v u i i y y y y
f ' ( z ) 存在 u v v u i i x x y y u v x y
定义 方程
u x v x
记忆
v u x y
u y v y
x 2 ( 1 ) w z ; ( 2 ) f ( z ) e (co y i sin y ) ； s ( 3 ) w | z | .
解 (1) 设z=x+iy w=x-iy u=x, v= -y 则
u u 1 0 u v x y v v 0 1 x y x y 故 w z在 全 平 面 不 可 导 ，析 不。 解
u v 1 u v iii) 求导数： f' ( z ) i x x i y y
前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼 成的, 但是求复变函数的导数时要注意, 并不是两个 实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的.
二. 举例
例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：
u v v u x y x y
由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切 的联系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可 以求出导数来.
利用该定理可以判断那些函数是不可导的.
使用时: i) 判别 u(x, y)，v (x, y) 偏导数的连续性， ii) 验证C-R条件.
第三讲 解析函数的充要条件 初等函数
§2.2 解析函数的充要条件
1. 解析函数的充要条件
2. 举例
如果复变函数 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定 义域 D内处处可导，则函数 w = f (z) 在 D内解析。 问题 如何判断函数的解析性呢？
本节从函数 u (x , y) 及 v (x , y) 的可导性，探求 函数w = f (z) 的可导性，从而给出判别函数解析的 一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。
u v v u x y x y
称为Cauchy-Riemann方程(简称C-R方程).
定理1 设 f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在 D 内有定义， 则 f (z)在点 z = x+iy ∈D处可导的充要条件
是u(x, y) 和 v(x, y) 在点 (x, y ) 可微, 且满足
若沿平行于实轴的方式 z z z ( y0 )
f(z z)f(z) f(z)lim z 0 z [u (x x ,y )iv (x x ,y )] [u (x ,y )iv (x ,y )] lim x 0 x u (x x ,y )u (x ,y ) v (x x ,y )v (x ,y ) lim i lim x 0 x 0 x x
u v i x x
若沿平行于虚轴的方式 z z z ( x0 )
f (z z) f (z) f (z)lim z 0 z [u (x , y y)iv (x , y y)] [u (x , y)iv (x , y)] lim y 0 i y u (x , y y)u (x , y) v(x , y y)v(x , y) lim i lim y 0 y 0 i y i y
故 f (z) ex (cosy i siny)在全平面可导，解析
(3) 设z=x+iy w=x2+y2 u= x2+y2 , v=0 则
u u v v 2 x 2 y 0 0 x y x y
仅在点z = 0处满足C-R条件，故
w z 仅在 z 0处可导，但处处不解析 。
u v v u x y x y
上述条件满足时,有
f ' ( z ) u iv u iu v iu v iv x x x y y y y x
定理2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要 条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且 满足Cauchy-Riemann方程
一. 解析函数的充要条件
设函 w 数 f ( z ) u ( x ,y ) iv ( x ,y ) 在点 z x iy 可 , 则 导
f(z z) f(z) z
[ u ( x x , y y ) iv ( x x , y y )] [ u ( x , y ) iv ( x , y )] x i y
(2)∵ f (z)=ex(cosy +isiny) 则 u=excosy, v= exsiny
u u u v x x e cosy e siny x y x y v v v u x x e siny e cosy x y x y
u v x x f ' ( z ) i e cos y ie sin y f ( z ) x x
Leabharlann Baidu
2
x y w u ( x ,y ) iv ( x ,y ) 2 2 i 2 2 x y x y dw 在 z x iy 0 处解析， . 并求 dz
证明 由于在z≠0处，u(x,y)及v(x,y)都是可微函数， 且满足C-R条件：
2 2 u v y x u v 2 xy 2 , 2 22 2 2 x y (x y ) y x (x y )
1 u v v u i i y y y y
f ' ( z ) 存在 u v v u i i x x y y u v x y
定义 方程
u x v x
记忆
v u x y
u y v y
x 2 ( 1 ) w z ; ( 2 ) f ( z ) e (co y i sin y ) ； s ( 3 ) w | z | .
解 (1) 设z=x+iy w=x-iy u=x, v= -y 则
u u 1 0 u v x y v v 0 1 x y x y 故 w z在 全 平 面 不 可 导 ，析 不。 解
u v 1 u v iii) 求导数： f' ( z ) i x x i y y
前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼 成的, 但是求复变函数的导数时要注意, 并不是两个 实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的.
二. 举例
例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：
u v v u x y x y
由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切 的联系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可 以求出导数来.
利用该定理可以判断那些函数是不可导的.
使用时: i) 判别 u(x, y)，v (x, y) 偏导数的连续性， ii) 验证C-R条件.
第三讲 解析函数的充要条件 初等函数
§2.2 解析函数的充要条件
1. 解析函数的充要条件
2. 举例
如果复变函数 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定 义域 D内处处可导，则函数 w = f (z) 在 D内解析。 问题 如何判断函数的解析性呢？
本节从函数 u (x , y) 及 v (x , y) 的可导性，探求 函数w = f (z) 的可导性，从而给出判别函数解析的 一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。
u v v u x y x y
称为Cauchy-Riemann方程(简称C-R方程).
定理1 设 f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在 D 内有定义， 则 f (z)在点 z = x+iy ∈D处可导的充要条件
是u(x, y) 和 v(x, y) 在点 (x, y ) 可微, 且满足
若沿平行于实轴的方式 z z z ( y0 )
f(z z)f(z) f(z)lim z 0 z [u (x x ,y )iv (x x ,y )] [u (x ,y )iv (x ,y )] lim x 0 x u (x x ,y )u (x ,y ) v (x x ,y )v (x ,y ) lim i lim x 0 x 0 x x
u v i x x
若沿平行于虚轴的方式 z z z ( x0 )
f (z z) f (z) f (z)lim z 0 z [u (x , y y)iv (x , y y)] [u (x , y)iv (x , y)] lim y 0 i y u (x , y y)u (x , y) v(x , y y)v(x , y) lim i lim y 0 y 0 i y i y
故 f (z) ex (cosy i siny)在全平面可导，解析
(3) 设z=x+iy w=x2+y2 u= x2+y2 , v=0 则
u u v v 2 x 2 y 0 0 x y x y
仅在点z = 0处满足C-R条件，故
w z 仅在 z 0处可导，但处处不解析 。