《函数与它的表示法》第二课时教案
5.1函数与它的表示法(第2课时)教案
特色课堂学案5．1 函数与它的表示法（第2课时）一、学习目标：1、进一步加深理解函数的概念．会根据简单的函数解析式和问题情境确定自变量的取值范围．2、能利用函数知识解决有关的实际问题。
二、重点与难点：重点是确定函数关系式中自变量的取值范围；难点是确定实际问题情境中自变量的取值范围。
三、温故知新1、表示函数有哪几种方法？2、你会用图像法表示函数y=2x-1吗？需要经历哪几个步骤？3、对于函数y=x, y=3x+1 y=x2，当x 取一个值时，y 的对应值是唯一的吗？四、教与学过程：（一）、情境导入：列车以90千米/小时的速度从A 地开往B 地（2）写出y 与x 之间的函数关系式；（3）x 可以取全体实数吗？（二）、探究新知：1、问题导读：（1）、在上一节课的三个问题中，自变量可以取值的范围是什么？（2）、对于自变量在它可以取值的范围内每取一个确定的值，另一个变量是否都有唯一确定的值与它对应？（3）、由此你对函数有了哪些进一步的认识？与同伴交流。
（4）、完成下列问题：在同一个__________中，有两个______x ，y ．如果对于变量x 在可以取值的范围内每取一个_________的值，变量y 都有一个_______的值与它对应，那么就说______是______的函数．2、合作交流：【例1】求下列函数中自变量x 可以取值的范围：①23-=x y ； ②121+=x y ； ③1-=x y ； ④xx y 53-=． 【尝试练习一】求下列函数中自变量x 可以取值的范围:(1) 213-=x y ；（2）、121-=x y ；（3）、x y 26-=；（4）、13+=x x y ． 【例2】一根蜡烛长20cm ，每小时燃掉5cm ．①、写出蜡烛剩余的长度y （cm ）与点燃时间x （h ）之间的函数解析式；②、求自变量x 可以取值的范围；③、蜡烛点燃2h 后还剩多长？【尝试练习二】油箱中有油300L,油从管道中匀速流出,1小时流完.写出油箱中剩余的油量Q(L)与油流出时间t(s)之间的函数解析式,并指出自变量t 可以取值的范围.3、归纳总结：（1）、确定解析式中自变量的取值范围，主要考虑以下几种情况：解析式为整式，自变量的取值范围是全体实数； 解析式为分式，要考虑分母不能为零；解析式为二次根式，要考虑被开方数应为非负数。
函数与它的表示法 优课教案
函数与它的表示法【课时安排】3课时【第一课时】【教学目标】1．通过实例，让学生进一步了解函数的概念和函数的三种表示方法：解析法、列表法、图像法。
2．能够恰当地运用函数的三种表示方法解决一些实际问题，初步培养将实际问题转化为数学问题的能力。
【教学重难点】1．重点就是函数的三种表示方法。
2．难点是用适当的函数表示法刻画实际问题中变量之间的关系。
【教学过程】（一）情境导入气温随着时间的变化而变化；在匀速运动中，路程随着时间的变化而变化。
你还记得气温和时间、路程和速度这两个变量之间是什么关系吗？你还记得什么是函数吗？在现实生活中，函数关系是处处存在的。
你知道表示函数关系的方法通常有哪几种吗？利用媒体手段，向学生展示七下教材中气温随时间的变化而变化的曲线图及一辆匀速行驶的汽车，让学生体会数学研究的对象来源于生活，很多数学研究的内容都能在生活找到模型，学会用数学眼光看待、解释生活中的某些现象。
（二）探究新知1．问题导读用来表达函数关系的数学式子叫做________或________。
用数学式子表示函数的方法叫做________。
用表格表示函数关系的方法，叫做________。
用图象表示函数关系的方法，叫做________。
2．合作交流（1）你能分别举出用三种方法表示函数的例子吗？（2）你认为用解析法。
列表法和图像法表示函数关系各有哪些优点和不足？（3）用描点法画函数图象时用到了函数关系的哪几种表示方法？3．精讲点拨（1）思考：在每个问题中，哪是自变量；谁是谁的函数；当自变量的值确定后是否都相应地确定一个函数值；函数关系是用什么方式表示的。
（2）用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
用数学式子表示函数的方法叫做解析法。
用表格表示函数关系的方法，叫做列表法。
用图象表示函数关系的方法，叫做图像法。
（3）两个变量之间的函数关系，可以有不同的表示方法，上面的三种方法在解决具体问题时，都有着广泛的应用。
《函数的表示方法》教案
第2课时函数的表示方法1．了解函数的三种不同的表示方法并在实际情境中，会根据不同的需要，选择函数恰当的表示方法；(重点)2．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．(难点)一、情境导入问题：(1)某人上班由于担心迟到所以一开始就跑，等跑累了再走完余下的路程，可以把此人距单位的距离看成是关于出发时间的函数，想一想我们用怎样的方法才能更好的表示这一函数呢？(2)生活中我们经常遇到银行利率、列车时刻、国民生产总值等问题，想一想，这些问题在实际生活中又是如何表示的？二、合作探究探究点一：函数的表示方法【类型一】用列表法表示函数关系有一根弹簧原长10厘米，挂重物后(不超过50克)，它的长度会改变，请根据下面表格中的一些数据回答下列问多少克？(2)当所挂重物为x克时，用h厘米表示总长度，请写出此时弹簧的总长度的函数表达式．(3)当弹簧的总长度为25厘米时，求此时所挂重物的质量为多少克．解析：(1)根据挂重物每克伸长0.5厘米，要伸长5厘米，可得答案；(2)根据挂重物与弹簧伸长的关系，可得函数解析式；(3)根据函数值，可得所挂重物质量．解：(1)5÷0.5×1＝10(克)，答：要想使弹簧伸长5厘米，应挂重物10克；(2)函数的表达式：h＝10＋0.5x(0≤x≤50)；(3)当h＝25时，25＝10＋0.5x，x＝30，答：当弹簧的总长度为25厘米时，此时所挂重物的质量为30克．方法总结：列表法的优点是不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值，简洁明了．列表法在实际生产和生活中也有广泛应用．如成绩表、银行的利率表等．【类型二】用图象法表示函数关系如图描述了一辆汽车在某一直路上的行驶过程，汽车离出发地的距离s(千米)和行驶时间t(小时)之间的关系，请根据图象回答下列问题：(1)汽车共行驶的路程是多少？(2)汽车在行驶途中停留了多长时(3)汽车在每个行驶过程中的速度分(4)汽车到达离出发地最远的地方后返回，则返回用了多长时间？解析：根据图象解答即可．解：(1)由纵坐标看出汽车最远行驶路程是120千米，往返共行驶的路程是120×2＝240(千米)；(2)由横坐标看出2－1.5＝0.5(小时)，故汽车在行驶途中停留了0.5小时；(3)由纵坐标看出汽车到达B点时的路程是80千米，由横坐标看出到达B点所用的时间是1.5小时，由此算出平均速度80÷1.5＝1603(千米/时)；由纵坐标看出汽车从B到C没动，此时速度为0千米/时；由横坐标看出汽车从C到D用时3－2＝1(小时)，从纵坐标看出行驶了120－80＝40(千米)，故此时的平均速度为40÷1＝40(千米/时)；由纵坐标看出汽车返回的路程是120千米，由横坐标看出用时4.5－3＝1.5(小时)，由此算出平均速度120÷1.5＝80(千米/时)；(4)由横坐标看出4.5－3＝1.5小时，返回用了1.5小时．方法总结：图象法的优点是直观形象地表示自变量与相应的函数值变化的趋势，有利于我们通过图象来研究函数的性质．图象法在生产和生活中有许多应用，如企业生产图，股票指数走势图等．【类型三】用解析式法表示函数关系一辆汽车油箱内有油48升，从某地出发，每行1千米，耗油0.6升，如果设剩余油量为y(升)，行驶路程为x(千米)．(1)写出y与x的关系式；(2)这辆汽车行驶35千米时，剩油多少升？汽车剩油12升时，行驶了多千米？(3)这辆车在中途不加油的情况下最远能行驶多少千米？解析：(1)根据总油量减去用油量等于剩余油量，可得函数解析式；(2)根据自变量，可得相应的函数值，根据函数值，可得相应自变量的值；(3)令y＝0，求出x即可．解：(1)y＝－0.6x＋48；(2)当x＝35时，y＝48－0.6×35＝27，∴这辆车行驶35千米时，剩油27升；当y＝12时，48－0.6x＝12，解得x＝60，∴汽车剩油12升时，行驶了60千米；(3)令y＝0，－0.6x＋48＝0，解得x＝80，即这辆车在中途不加油的情况下最远能行驶80km.方法总结：解析式法有两个优点：一是简明、精确地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值．探究点二：函数表示方法的综合运用【类型一】分段函数及其表示为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市将出台新的居民用电收费标准：(1)若每户居民每月用电量不超过100度，则按0.50元/度计算；(2)若每户居民每月用电量超过100度，则超过部分按0.80元/度计算(未超过部分仍按每度电0.50元计算)．现假设某户居民某月用电量是x(单位：度)，电费为y(单位：元)，则y与x的函数关系用图象表示正确的是()解析：根据题意，当0≤x≤100时，y＝0.5x；当x＞100时，y＝100×0.5＋0.8(x－100)＝50＋0.8x－80＝0.8x－30，所以，y与x的函数关系为y＝⎩⎨⎧0.5x（0≤x≤100），0.8x－30（x>100）.纵观各选项，只有C选项图形符合．故选C.方法总结：根据图象读取信息时，要把握住以下三个方面：①横、纵轴的意义，以及横、纵轴分别表示的量；②要求关于某个具体点，向横、纵轴作垂线来求得该点的坐标；③在实际问题中，要注意图象与x轴、y轴交点坐标代表的具体意义．【类型二】函数与图形面积的综合运用如图①所示，矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，y关于x的函数图象如图②所示．(1)求矩形ABCD的面积；(2)求点M、点N的坐标；(3)如果△ABP的面积为矩形ABCD面积的15，求满足条件的x 的值．解析：(1)点P 从点B 运动到点C 的过程中，运动路程为4时，面积发生了变化且面积达到最大，说明BC 的长为4；当点P 在CD 上运动时，△ABP 的面积保持不变，就是矩形ABCD 面积的一半，并且运动路程由4到9，说明CD 的长为5.然后求出矩形的面积；(2)利用(1)中所求可得当点P 运动到点C 时，△ABP 的面积为10，进而得出M 点坐标，利用AD ，BC ，CD 的长得出N 点坐标；(3)分点P 在BC 、CD 、AD 上时，分别求出点P 到AB 的距离，然后根据三角形的面积公式列式即可求出y 关于x 的函数关系式，进而求出x 即可．解：(1)结合图形可知，P 点在BC 上，△ABP 的面积为y 增大，当x 在4～9之间，△ABP 的面积不变，得出BC ＝4，CD ＝5，∴矩形ABCD 的面积为4×5＝20；(2)由(1)得当点P 运动到点C 时，△ABP 的面积为10，则点M 的纵坐标为10，故点M 坐标为(4，10)．∵BC ＝AD ＝4，CD ＝5，∴NO ＝13，故点N 的坐标为(13，0)；(3)当△ABP 的面积为矩形ABCD 面积的15，则△ABP 的面积为20×15＝4.①点P 在BC 上时，0≤x ≤4，点P到AB 的距离为PB 的长度x ，y ＝12AB ·PB ＝12×5x ＝5x 2，令5x2＝4，解得x ＝1.6；②点P 在CD 上时，4≤x ≤9，点P到AB 的距离为BC 的长度4，y ＝12AB ·PB＝12×5×4＝10(不合题意，舍去)；③点P 在AD 上时，9≤x ≤13时，点P 到AB 的距离为P A 的长度13－x ，y ＝12AB ·P A ＝12×5×(13－x )＝52(13－x )，令52(13－x )＝4，解得x ＝11.4，综上所述，满足条件的x 的值为1.6或11.4.方法总结：函数图象与图形面积是运用数形结合思想的典型问题，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义．三、板书设计1．函数的三种表示方法 (1)列表法； (2)图象法； (3)解析式法．2．函数表示方法的综合运用函数表示法这节课的难点在于针对不同的问题如何选择这三种方法进行表示．针对这个问题，可通过引导学生对例子比较来解决．这样学生通过对不同例子的比较就能很好的区分这三种方法的特点，并能选择合适的方法．这节课的另一个目标是让学生了解分段函数，通过两个例子的介绍，能理解分段函数并按要求进行求值．。
人教版数学八年级下册19.1.2《函数的表示方法》(第2课时)教案
人教版数学八年级下册19.1.2《函数的表示方法》（第2课时）教案一. 教材分析《函数的表示方法》是中学数学中重要的概念之一，对于八年级的学生来说，这是一个新的知识领域。
本节课的内容包括函数的定义、函数的表示方法以及函数的性质。
通过本节课的学习，学生可以掌握函数的基本概念，了解函数的表示方法，并能够运用函数的性质解决实际问题。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于一些基本的数学概念和运算规则有了初步的了解。
但是，学生在学习新的知识时，往往还存在一定的困难，需要教师的耐心引导和讲解。
此外，学生对于实际问题的解决能力还有待提高，需要通过大量的练习来加强。
三. 教学目标1.了解函数的定义和表示方法。
2.掌握函数的性质，并能够运用函数的性质解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.函数的定义和表示方法。
2.函数的性质的理解和运用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过提出问题，引导学生思考和探索，从而掌握函数的基本概念和性质。
同时，通过案例分析和小组合作，培养学生的实际问题解决能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和练习题。
2.准备教学PPT，包括函数的定义、表示方法和性质等内容。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出问题，引导学生思考函数的定义和表示方法。
例如，什么是函数？函数如何表示？2.呈现（15分钟）通过PPT展示函数的定义和表示方法。
详细解释函数的定义，以及如何用图像、表格和解析式来表示函数。
3.操练（15分钟）让学生通过练习题来巩固函数的定义和表示方法。
可以选择一些简单的练习题，让学生独立完成，然后进行讲解和解析。
4.巩固（10分钟）通过一些实际问题来巩固函数的性质。
例如，给定一个函数的图像，让学生判断函数的性质。
5.拓展（10分钟）让学生通过小组合作，解决一些复杂的实际问题。
例如，给定一个实际问题，让学生运用函数的性质来解决。
3.1.2函数表示法(第二课时)教学设计
3.1.2函数的表示法（第2课时）(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第三章)深圳市坪山高级中学钟南林一、教学目标1.明确函数的三种表示方法.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.二、教学重难点1.函数的三种表示方法，分段函数的概念.2.如何根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象．三、教学过程1.复习导入1.1函数三种表示方法定义及优缺点1.2分段函数的定义及特点(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．【设计意图】在上节课的基础上进一步掌握比较函数三种不同表示方法的优缺点，为本节课在具体情境中选取何种函数的表示方法作铺垫，同时对分段函数的特点进一步深化，为在具体实例中应用分段函数做好准备。
2.探究典例例1 下表是某校高一（1）班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表问题1：上表反映了几个函数关系？这些函数的自变量是什么？定义域是什么？【预设的答案】4个；测试序号；{1，2，3，4，5，6}【设计意图】让学生体会列表法不单单是表示一个函数，让学生体会列表法表示多个函数，进一步理解函数的定义.问题2：上述4个函数能用解析法表示吗？能用图象法表示吗？【预设的答案】用解析法并不能很好的表示出对应的解析式，可以类似例题4用图像法表示。
【设计意图】在问题1的基础上继续追问，让学生进一步深化函数三种表示方法的优缺点.问题3：若分析、比较每位同学的成绩变化情况，用哪种表示法为宜？【预设的答案】表格上并不能很好的看出每位同学的成绩变化情况，用图像法较好【设计意图】让学生体会用表格区分三位同学的成绩变化并不直观，引导学生用图像法分别表示出三个同学的成绩和班级平均分对应的函数图像，让学生体会在实际需要中选择恰当的方法表示函数是需要给予关注的.问题4：试根据图象对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析？【预设的答案】王伟同学的数学成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀；张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大；赵磊同学的数学成绩低于班级平均水平，但他的成绩呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提升.【活动预设】让学生动手将每个同学的成绩与测试序号之间的函数关系分别用图像（均为6个离散的点）表示出来，学生分组讨论，能从图像上得出哪些结论，每组派代表进行发言，.【设计意图】让学生动手做出每位同学成绩对应的散点图，让学生进一步理解函数定义域与值域的对应关系，并体会如何能更好的表示出每位同学成绩变化情况。
函数和它的表示法教案湘教版
1.教学重点
本节课的核心内容是函数的表示法。具体包括：函数的定义、函数的图像表示法、函数的解析式表示法以及函数的列表表示法。
（1）函数的定义：理解函数的概念，掌握函数的数学表达式，了解函数的输入输出关系。
（2）函数的图像表示法：通过绘制函数图像，直观地了解函数的性质，掌握函数图像的基本特点。
知识点梳理
本节课的知识点主要包括函数的定义、函数的图像表示法、函数的解析式表示法和函数的列表表示法。
1.函数的定义：理解函数的概念，掌握函数的数学表达式，了解函数的输入输出关系。
2.函数图像的绘制：掌握绘制函数图像的方法，能够准确地绘制出常见函数的图像。
3.函数的解析式表示法：掌握不同类型函数的解析式表示方法，能够熟练地写出常见函数的解析式。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调函数的表示方法和函数图像这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
三、实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与函数相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示函数的基本原理。
函数和它的表示法教案湘教版
科目
授课时间节次
--年—月—日（星期——）第—节
指导教师
授课班级、授课课时
授课题目
（包括教材及章节名称）
函数和它的表示法教案湘教版
教学内容分析
本节课的主要教学内容是函数的表示法。具体包括：函数的定义、函数的图像表示法、函数的解析式表示法以及函数的列表表示法。
教学内容与学生已有知识的联系：学生在之前的学习中已经掌握了实数和函数的基本概念，对数学函数有一定的认识。在此基础上，本节课将进一步引导学生深入学习函数的表示方法，帮助学生建立起函数的基本概念框架，为后续的函数学习打下基础。
15.2函数的表示法(第二课时)教案
教案: 15．2函数的表示法(第二课时)一、教学目标：1、学生理解运用图象法表示函数关系 2、能通过函数的图象，读取正确信息 3、培养学生数形结合与识图的能力二、教学重点：读取函数图象上的信息三、教学难点：运用图象判断是否存在函数关系 四、教学过程： 课前预习：（培养学生独立探究的能力）小明向一个水池蓄水，水池蓄满为16立方米，他先把水池蓄满，玩水玩了三个小时后他又把水排掉，这个过程如图所示，观察这个图形，你能从中获得什么信息？（1） 填写下表：（2） 对于每一时刻是否都有唯一确定的水量和它对应？_______，水量是否是时间的函数?______.（3） 他用了_____小时蓄满水，用了______小时排完水。
二：课上探究基本学习内容 （三）图象法图象法：用画图象表现一个函数关系的方法 例1：如图，一水库现蓄水a 立方米，从开闸放水起，每小时放水b 立方米，同时从上游每小时流入水库2b 立方米，那么到水库蓄满水为止，水库蓄水量y （立方米）是开闸时间t （时）的函数，其图像只能是图中的（ ）加强学生解决实际问题的能力；例2：例2、某汽车行驶的路程s （km ）与时间t （min ）的函数关系图如下，观察图形，说出你得到的信息：（学生随意发挥，只要是对的就表扬、鼓励）S t(D)(C)(B)1、 描述汽车行驶的过程； 2、 汽车途中休息的时间（如何理解图象中的“休息”）； 3、 全程的总路程、总时间、平均速度； 练习:书P17,T4(4) P31,T5(培养学生探究能力)例3、如图，小明、小强两人进行百米赛跑，小明比小强跑的快，如果两人同时跑，小明肯定赢，现在小明让小强先跑若干米，图中的射线a 、b 分别表示小明追的路程与小强跑的路程与时间的关系，根据图象判断：小明的速度比小强的速度每秒快（ ）米．(加强学生对图象的理解，培养“读图”能力；)要求：先明确两轴表示的量的意义，再体会变化过程小结：思考计论三种表示方法的区别和各自优势。
湘教版八年级下册数学教案：4.1函数和它的表示法
八年级（下册）数学教案第四章第1课时
应用：
教材P111 例1 （列简单函数关系式）。
学法：P61探究一补例：例1 （函数定义及求函数值）
注意：分析自变量的取值范围。
练习：教材P112“练习”T1、T2。
小结归纳1、函数的有关概念。
2、“一一对应”的关系。
3、自变量和函数值范围确定。
4、数学应用的思想。
作业布置必做：教材习题4.1A组P116 T1；T2；T5；P117 B组T6。
选做：学法P61 “课堂探究”（一）；P62“课堂达标”。
板书设计
反思回顾
八年级（下册）数学教案
第四章第2课时
课题函数和它的表示法（2）课时安排2课时
教学目标1、了解函数的三种表示方法（图像法、列表法、解析法）；了解各自优缺点。
2、进一步理解函数的概念，能够选择适当的方法表示函数。
3、能根据函数解析式，求相应的函数值。
变量与函数
课件
展示
1、概念
2、一一对应
3、自变量取值
应用：
例1
补例
学生
板演
小结归纳1、函数的三种表示法。
2、优缺点及适用范围。
3、注意图像法的分析。
作业布置必做：教材习题4.1A组P116 T3；T4；P117 B组T7。
选做：学法P61 “课堂探究”（二）；P62“课后提升”。
板书设计反思回顾
函数表示法
课件
展示
1、表示法
2、优缺点
3、注意事项
应用：
例2
补例
学生
板演。
高中数学《函数的表示法》(第2课时)教学设计
函数的表示法（第2课时）教学设计一、内容和内容解析1.内容实际问题中的函数表示.2.内容解析数学教育的终极目标是让学生：会用数学的眼光观察世界、会用数学的思维思考世界、会用数学的语言表达世界.其中“会用数学的语言表达世界”体现的是数学的应用价值，即利用数学模型解决实际问题.通过第1课时的学习，学生已基本掌握了函数的三种表示法及其特点，并且初步体会了在具体的问题（分段函数）中如何选择适当的表示法解决数学问题.那么，如何选择适当的表示法解决实际问题呢？通过本节课的学习，学生应有所体会.在本节课中不仅可以进一步研究函数本身，将实际问题数学化，应用函数解决实际问题，而且可以加深对函数概念的理解，学会比较选择最优解法.例7是关于数学成绩的问题，贴近学生生活，体现了列表法向图象法的转化，通过对三名同学成绩的简单分析，学生可进一步体会图象法的直观性，可提倡学生用科学的方法看待自身成绩.例8是2019年国家热点问题——个税的新计算方式.函数以列表法给出，可通过对条件的分析，转化成解析法和图象法，体现了分段函数的应用价值.基于以上分析，确定本节课的教学重点：选择恰当的方法表示具体问题中的函数关系.二、目标和目标解析1.目标选择恰当的方法表示具体问题中的函数关系.2.目标解析达成上述目标的标志是：学生会正确选择合适的表示法解决教科书例7、例8所示的问题，结合例7，例8的学习，初步体会建立函数模型解决实际问题的过程，发展数学建模素养。
三、教学问题诊断分析经过义务教育阶段的数学学习，学生对具体数学知识和问题的求解比较熟悉，而解决带有情境的实际问题的能力相对欠缺，于是新版教材专门对前版教材结构进行了调整，搭建了两个与学生密切相关、应用性很强的实际问题情境，对其进行合理分析，培养学生选择恰当的方法表示具体问题中的函数关系的能力.对于例7，可能有的同学觉得表3.1-4包含了三名同学的6次成绩数据，已经很直观了，教师可进行相应解释：列表法虽然具有“不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值”的优点，但是不利于发现每位同学的成绩变化情况，以及与班级平均分的关系，换句话说仍然不够直观.学生一般可自然想到更加直观的表示方式——图象法.但是当学生们在同一直角坐标系中画出了三位同学6次成绩及班级6次平均分共24个散点时，问题随之而来——无法区分每个散点数据属于哪个学生，其直观性更是无从谈起.于是教师可进行相应引导：为了更容易看出一个同学的学习情况，我们将表示每位同学成绩的函数图象（离散的点）用虚线连接.在此基础上，可进一步引导学生对三名同学的数学学习情况进行分析.对于例8，学生首先面对的问题就是对题目的理解.带有情境的实际问题往往篇幅略长，因此需要给学生充足的时间读懂题目，明确研究对象，理清题中变量间的关系，是解决问题的前提和保障.之后就需要依据题目建立适当的数学模型，解决问题.本题是分段函数模型，每一段都是一次函数，相对简单，但要注意分段时自变量取值的原则——不重不漏.四、教学支持条件分析本节课的教学重点是选择恰当的方法表示具体问题中的函数关系.可借助图形计算器、几何画板、Geogebra等技术工具做出函数图象，用图象法表示函数，对问题进行直观分析.五、教学过程设计引导语：对于一个具体的问题，如果涉及函数，你会选择恰当的方法表示问题中的函数关系吗？这节课我们通过两个实例来做相关研究.（一）实际问题问题1：表3.1-4是某校高一（1）班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表.你能直接通过表3.1-4对这三位同学在高一学年的数学学习情况做一个分析吗？师生活动：教师给出问题后让学生先简单独立思考并尝试写出结论，大部分同学无法直接通过表3.1-4所给数据分析这三位同学在高一学年的数学学习情况.如有个别同学提出可以，教师可提醒：表3.1-4不太容易分析每位同学的成绩变化情况，不够直观，因而会制约结论的形成.追问：你选择哪种表示法分析这三位同学在高一学年的数学学习情况？为什么？学生会首先想到图象法.教师让学生在同一直角坐标系中画出与表3.1-4所对应的函数图象，并让学生尝试利用图象得出结论.面对毫无规律的24个散点，学生基本没有头绪.此时教师可做适当引导：为了更容易看出一个同学的学习情况，我们将表示每位同学成绩的函数图象（离散的点）用虚线连接.并用多媒体展示教科书第70页图3.1-6，然后让学生分组讨论，分享自己眼中的结论.最后教师找几位学生代表回答与补充，得出结论.设计意图：问题1是架设学生熟悉的数学成绩情境，引导学生直接通过列表法无法直观的看出学生成绩的变化情况，不要直接利用表格做出一些并不准确的结论，而应另寻他法；追问是为了启发学生主动选择更加直观的图象法解决问题，培养从列表法转到图象法表示函数的能力.正确合理地做出图象，问题就解决了一半.问题2：（教科书第71页练习1）下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事.（1）我离开家不久,发现自己把作业本忘在家里了,于是返回家里找到了作业本再上学；（2）我骑着车离开家后一路匀速行驶,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽搁了一些时间；（3）我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进.师生活动：教师可在多媒体上展示问题，让学生独立完成，然后找学生回答.对于选项C，可给出参考：我从家出发后，发现时间还早，于是慢慢放缓了脚步.设计意图：培养学生将实际情境转化成数学图象的能力，训练思维与表达能力.问题3：依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）.2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为个税税额=应纳税所得额×税率-速算扣除数. ①应纳税所得额的计算公式为应纳税所得额=综合所得收入额-基本减除费用-专项扣除-专项附加扣除-依法确定的其他扣除. ②其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60 000元.税率与速算扣除数见表3.1-5.（1）设全年应纳税所得额为应缴纳个税税额为你能求出y=f（t）并画出图象吗？（2）小王全年综合所得收入额为189 600元，假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是52 800元，依法确定其他扣除是4 560元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？师生活动：给学生充足的时间阅读题目，理清计算应缴纳个税税额的计算步骤.之后可将教科书第71页前三行用PPT展示，帮助学生了解解题脉络.（1）教师用PPT展示个税计算公式及表3.1-5，给学生适当时间阅读思考.之后可进行如下追问.追问：由表3.1-5第二列，你认为y=f（t）是什么函数？学生基本都可回答出是分段函数.教师可板书y=f（t）的前两段，带领学生感受求解析式的过程，后几段可让学生自己完成，注意提示最后写成分段函数的规范形式（大括号、范围不重不漏），并让学生自己画出相应图象，之后可利用多媒体将学生代表的图象放到屏幕上展示，最终确定正确结果.（2）利用之前明确的计算步骤，结合第（1）问的解析式，让学生自己解决剩余问题.设计意图：帮助学生读懂题目，提高学生的数学阅读能力，以及将实际问题数学化的能力；引导学生将表3.1-5的函数表示方式转化成解析式的方式，建立多元表示之间的联系。
湘教版八上2.1《函数和它的表示法》(第二课时)word教案
③函数的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数≥0．
(2)对于反映实际问题的函数关系，应使实际问题有意义．
2.求函数值的方法：跟求代数式的值的方法一样就是把所给出的自变量的值代入函数解析式中，即可求出相应的函数值．
学生问老师
【目标3 10分钟】
学习反思【目标5分钟】Fra bibliotek教师导学学生练习
学生问教材
【目标1 10分钟】
探究归纳
(1)在上面问题中所出现的各个函数中，自变量的取值有限制吗？如果有，写出它的取值范围．
(2)在上面问题1中，当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是多少？当纵向的加数为6时，横向的加数是多少？
分析问题1，观察加法表涂黑的格子的横向的加数的数值范围．
你还有问题吗？
老师问学生【目标5 15分钟】
1.分别写出下列各问题中的函数关系式，并指出式中的自变量与函数以及自变量的取值范围：
(1)一个正方形的边长为3 cm，它的各边长减少x cm后，得到的新正方形周长为y cm．求y和x间的关系式；
(2)寄一封重量在20克以内的市内平信，需邮资0.60元，求寄n封这样的信所需邮资y（元）与n间的函数关系式；
杨林中学“两段四问”教学案八年级数学
课题：2.1函数和它的表示法第二课时
八年级数学组
一课时
学
习
目
标
A类
1.会根据实际问题构建数学模型并列出函数解析式；
B类
2.掌握根据函数自变量的值求对应的函数值，或是根据函数值求对应自变量的值；
C类
3.会在简单的情况下根据实际对自变量的限制求出自变量取值范围；
4.使学生在探索、归纳求函数自变量取值范围的过程中，增强数学建模意识；联系求代数式的值的知识，探索求函数值的方法．
《函数的概念及其表示第二课时》示范公开课教学设计【高中数学人教版】
《函数的概念及其表示（第二课时）》教学设计◆教学目标1．能求简单函数的定义域，会求函数值，提升学生的数学运算素养．2．在理解函数概念的基础上，理解相同函数的含义，掌握相同函数的判定步骤，提升学生的数学抽象素养．3．了解区间的含义，能进行区间、不等式与数轴表示的相互转化，提升学生的直观想象素养．◆教学重难点◆教学重点：在理解函数概念的基础上，理解相同函数的含义，掌握相同函数的判定步骤．教学难点：体会函数记号的含义．◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、复习引入问题1：在上一小节里，我们重新学习了函数的概念，请你默写这个概念．师生活动：学生可能并不能逐字逐句默写，但是只要抓住它的三个要素就予以肯定．预设的答案：对于数集A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．设计意图：通过默写为本节课的学习奠定基础．引语：函数是本章乃至整个高中数学的核心内容，概念就是它的基石，稳定的基石是搭建知识大厦的前提，我们这节课继续深入研究函数的概念．（板书：函数的概念）二、新知探究1．研读课本，理解区间的概念（1）求函数f (x )的定义域； （2）求f (－3)，f (23)的值；（3）当a ＞0时，求f (a )，f (a －1)的值．师生活动：学生独立完成，老师挑选有代表性的解答进行投影点评，最后用PPT 演示教师点拨：在同时研究两个或多个函数时，常用不同符号表示不同的函数，除用符号f (x )外，还常用g (x )、F (x )、G (x )等符号来表示．设计意图：通过例1的学习，让学生对函数的定义域、对应关系、以及符号“y ＝f (x )”有具体的感受，能更透彻的理解，并且在求解定义域过程中，熟悉区间的使用．例2 下列函数中哪个与函数y ＝x 是同一个函数？ （1）y ＝(x )2； （2）u ＝3v 3； （3）y ＝x 2；（4）m ＝n 2n．师生活动：老师先引导学生思考同一个函数的含义，然后让学生尝试判断，在判断中发现问题：正确化简解析式，定义域优先原则的应用以及函数记号的理解等，老师应该给予及时的解答与帮助．预设的答案：解：（1）y ＝(x )2＝x （x ∈[0，＋∞)），它与函数y ＝x （x ∈R ）虽然对应关系相同，但是定义域不相同，所以这个函数与函数y ＝x （x ∈R ）不是同一个函数．（2）u ＝3v 3＝v （v ∈R ），它与函数y ＝x （x ∈R ）不仅对应关系相同，而且定义域也相同，所以这个函数与函数y ＝x （x ∈R ）是同一个函数．（3）y ＝x2＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x <0，x ，x ≥0，，它与函数y ＝x （x ∈R ）虽然定义域都是实数集R ，但是当x ＜0时，它的对应关系与y ＝x （x ∈R ）不相同，所以这个函数与函数y ＝x （x ∈R ）不是同一个函数．（4）m ＝n 2n＝n （n ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)），它与函数y ＝x （x ∈R ）的对应关系相同但定义域不相同，所以这个函数与函数y ＝x （x ∈R ）不是同一个函数．追问1：两个函数相等的含义是什么？（函数的三要素都相等．值域是由定义域和对应关系决定的，所以只要两个函数的定义域和对应关系一致，这两个函数就相等．）追问2：你能总结判断两个函数是否相同的步骤吗？（先求函数的定义域，如果定义域不相同，则不是相同函数，结束判断；如果相等，则判断对应关系是否相同，定义域和对应关系均相等才能得出相等的结论．高中阶段对应关系一般都是以解析式的形式给出，我们一般需要先考虑化简解析式再判断，若解析式也相等，则是相同函数，若否，则不是相同函数．）追问3：你如何理解函数u ＝3v 3的对应关系？（因为u ＝＝v （v ∈R ），所以对于R 中的任一实数v ，通过对应关系u ＝v ，在R 中都有唯一的一个实数u 与之对应，因为u ＝v ，所以就是任一实数与它本身的对应．）追问4：你能结合函数的图象验证你的判断吗？（能．老师PPT 投影图象，让学生论述．比如在（1）中，y ＝(x )2的图象为一条射线，对应定义域为[0，＋∞)，对比y ＝x 的图象，缺少第三象限的部分．）yx–1–2–3123456–1–2–3–4123456O（1）y ＝(x )2y x–1–2–3–41234–1–2–3–41234O（2）u ＝3v 3v u教师点拨：对于同一个自变量，对应的函数值相同，就是对应关系一致，这与用什么符号表示无关，再比如：y ＝x 2(x ∈R )，y ＝u 2(u ∈R )是同一个函数．设计意图：通过判断函数是否相同来认识函数的整体性，进一步加深对函数概念的理解．借助信息技术从图象角度体会函数的三要素，提高学生解析式与图象表示间的转化能力．三、归纳小结，布置作业问题3：请同学们回顾本节课的内容，回答下列问题： （1）区间是表示什么的符号？（2）在判断两个函数是否相同时，我们需要注意什么？师生活动：学生先独立思考，再由学生代表回答，其他学生依次补充，老师最后总结．预设的答案：（1）区间是用于表示连续数集的符号；（2）定义域相同是函数相等的先决条件，需要优先判断；对应关系相等与否不在于解析式用什么字母符号表示，而在于同一自变量对应的函数值是否相等．设计意图：引导学生对关键内容进行小结，进一步加深对函数概念的理解． 四、目标检测设计 1．求下列函数的定义域：（1）f (x )＝14x ＋7； （2）f (x )＝1－x ＋x ＋3－1．设计意图：考查函数定义域的求解． 2．已知函数f (x )＝3x 3＋2x ，（1）求f （2），f (－2)，f （2）＋f (－2)的值； （2）求f (a )，f (－a )，f (a )＋f (－a )的值．yx–1–2–3123456–1–2–3–4–512345O（3）y ＝x 2 yx–1–2–3–41234–1–2–3–41234O（4）m ＝n 2nm n。
5.1.2函数与它的表示法第二课时课件
一、旧知回顾： 1.说出画函数图像的一般步骤 2.函数关系有哪些表示方法？ 3.指出下列代数式中字母可以表示的实数的范围 1 2x2＋7
同学们, 再见!
函数定义 在同一个变化过程中,有两个变量x,y. 如果 对于变量x在可以取值的范围内每取 一个确定 值,变量y都有一个惟一确定的值与它对应,那么 就说y是x的函数.
结论:
三、自我检测（自测题体现一定的基础，又 有一定的思维含量，只有“细心才对，思 考才会”） 1.写出函数 自变量的取值范围 2. 已知等腰三角形的周长为12cm，若底边长 为y cm，一腰长为x cm. 写出y与x的函数关系式；
求自变量x的取值范围；
四、预习反思 —请你将预习中未能解决的问题和疑惑写下 来，待课堂上与老师和同学探究解决。
（一）问题探究 1求出下列函数中自变量的取值范围，由代数 式的特点总结自变量的取值范围 （1） y＝3x－1； （2）y＝2x2＋7；
• 2．用边长为1的等边三角形拼成图形，如图所示,用Y 表示拼成的图形的周长，用n表示其中等边三角形的数 目，显然拼成的图形的周长y是n的函数。 （1）填写下表
• 1．对于代数式2x+1，它的值是随x的改变而 改变，对于x的每一个值，代数式2x+1也有 唯一的值与它对应，所以代数式2x+1的值是 x的函数。设y=2x+1，即y是2x+1的函数。 这里的x可以的取值范围是 • 2.张老师到商店买了x千克白菜和一个袋子， 每千克白菜2元，每个袋子1元，张老师花了 y元，显然y是x的函数，写出它的关系式为 。函数中x可以取值的范围是 。 • 3．求下列函数的自变量可以取值的范围
最新人教版高一数学必修1第一章《函数及其表示》教案（第2课时）
最新人教版高一数学必修1第一章《函数及其表示》教案（第2课时）预览说明:预览图片所展示的格式为文档的源格式展示,下载源文件没有水印,内容可编辑和复制课后训练整体设计教学分析课本从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法：解析法，图象法，列表法．函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念．特别是在信息技术环境下，可以使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现，使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法．因此，在研究函数时，要充分发挥图象的直观作用．在研究图象时，又要注意代数刻画以求思考和表述的精确性．课本将映射作为函数的一种推广，这与传统的处理方式有了逻辑顺序上的变化．这样处理，主要是想较好地衔接初中的学习，让学生将更多的精力集中理解函数的概念，同时，也体现了从特殊到一般的思维过程．三维目标1．了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、解析法)，会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数，树立应用数形结合的思想．2．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用，提高应用函数解决实际问题的能力，增加学习数学的兴趣．3．会用描点法画一些简单函数的图象，培养学生应用函数的图象解决问题的能力．4．了解映射的概念及表示方法，会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射，感受对应关系在刻画函数和映射概念中的作用，提高对数学高度抽象性和广泛应用性的进一步认识．重点难点教学重点：函数的三种表示方法，分段函数和映射的概念．教学难点：分段函数的表示及其图象，映射概念的理解．课时安排3课时教学过程第1课时作者：张新军导入新课思路1.语言是沟通人与人之间的联系的，同样的祝福又有着不同的表示方法．例如，简体中文中的“生日快乐！”用繁体中文为：生日快樂！英文为：Happy Birthday！法文是Bon Anniversaire！德文是Alles Gute Zum Geburtstag！印度尼西亚文是Selamat Ulang Tahun！……那么对于函数，又有什么不同的表示方法呢？引出课题：函数的表示法．思路2.我们前面已经学习了函数的定义，函数的定义域的求法，函数值的求法，两个函数是否相同的判定方法，那么函数的表示方法常用的有哪些呢？这节课我们就来研究这个问题(板书课题)．推进新课新知探究提出问题初中学过的三种表示法：解析法、图象法和列表法各是怎样表示函数的？讨论结果：(1)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的函数关系，这种表示方法叫做解析法，这个数学表达式叫做函数的解析式．(2)图象法：以自变量x的取值为横坐标，对应的函数值y为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各个点，这些点构成了函数的图象，这种用图象表示两个变量之间函数关系的方法叫做图象法．(3)列表法：列一个两行多列的表格，第一行是自变量的取值，第二行是对应的函数值，这种用表格来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做列表法．应用示例例1某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元，试用三种表示法表示函数y＝f(x)．活动：学生思考函数的表示法的规定．注意本例的设问，此处“y ＝f(x)”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表．本题的定义域是有限集，且仅有5个元素．解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}，用解析法可将函数y＝f(x)表示为y＝5x，x∈{1,2,3,4,5}．图1点评：本题主要考查函数的三种表示法．解析法的特点是：简明、全面地概括了变量间的关系，可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质，还有利于我们求函数的值域；图象法的特点是：直观、形象地表示自变量变化时相应的函数值变化的趋势，有利于我们通过图象来研究函数的某些性质，图象法在生产和生活中有许多应用，如企业生产图、股市走势图等；列表法的特点是：不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值，列表法在实际生产和生活中也有广泛的应用，如银行利率表、列车时刻表等等．但是并不是所有的函数都能用解析法表示，只有函数值随自变量的变化发生有规律的变化时，这样的函数才可能有解析式，否则写不出解析式，也就不能用解析法表示．例如：张丹的年龄n(n∈N*)每取一个值，那么他的身高y(单位：cm)总有唯一确定的值与之对应，因此身高y是年龄n的函数y＝f(n)，但是这个函数的解析式不存在，函数y ＝f(n)不能用解析法来表示．注意：①函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等；②解析法：必须注明函数的定义域，否则使函数解析式有意义的自变量的取值范围是函数的定义域；③图象法：根据实际情境来决定是否连线；④列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征.图2＋b＋c<0c<3b＋bx＋c的性质，易知活动：学生思考做学情分析，具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？本题利用表格给出了四个函数，它们分别表示王伟、张城、赵磊的考试成绩及各次考试的班级平均分．由于表格区分三位同学的成绩高低不直观，故采用图象法来表示．做学情分析，具体要分析学习成绩是否稳定，成绩变化趋势．解：把“成绩”y看成“测试序号”x的函数，用图象法表示函数y＝f(x)，如图3所示．图3由图3可看到：王伟同学的数学成绩始终高于班级平均分，学习情况比较稳定而且成绩优秀；张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均分水平上下波动，而且波动幅度较大；赵磊同学的数学学习成绩呈上升趋势，表明他的数学成绩稳步提高．点评：本题主要考查根据实际情境需要选择恰当的函数表示法的能力，以及应用函数解决实际问题的能力．通过本题可见，图象法比列表法和解析法更能直观反映函数值的变化趋势．注意：本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样便于研究成绩的变图4的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深图5 图6要求由水瓶的形状识别容积V 和高度h 的函数关系，突出了对思维能力的考查．观察图象，根据图象的特点发现：取水深h ＝H 2，注水量V ′>V 02，即水深为一半时，实际注水量大于水瓶总水量的一半．课本本节练习2,3.【补充练习】1．等腰三角形的周长是20，底边长y 是一腰长x 的函数，则( )A ．y ＝10－x (0<="">B ．y ＝10－x (0<10)<="" p="">C ．y ＝20－2x (5≤x ≤10)D ．y ＝20－2x (5<10)<="" p="">解析：根据等腰三角形的周长列出函数解析式．∵2x＋y＝20，∴y＝20－2x.则20－2x>0.∴x<10.由构成三角形的条件(两边之和大于第三边)可知2x>20－2x，得x>5，∴函数的定义域为{x|5<x<10}．< p="">∴y＝20－2x(5<x<10)．< p="">答案：D2．定义在R上的函数y＝f(x)的值域为[a，b]，则y＝f(x＋1)的值域为()A．[a，b] B．[a＋1，b＋1]C．[a－1，b－1] D．无法确定解析：将函数y＝f(x)的图象向左平移一个单位得函数y＝f(x＋1)的图象，由于定义域均是R，则这两个函数图象上点的纵坐标的取值范围相同，所以y＝f(x＋1)的值域也是[a，b]．答案：A3．函数f(x)＝11＋x2(x∈R)的值域是() A．(0,1) B．(0,1] C．[0,1) D．[0,1]解析：(观察法)定义域是R，由于x2≥0，则1＋x2≥1，从而0<1 1＋x2≤1.答案：B拓展提升问题：变换法画函数的图象都有哪些？解答：变换法画函数的图象有三类：1．平移变换：(1)将函数y＝f(x)的图象向左平移a(a>0)个单位得函数y＝f(x＋a)的图象；(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移a(a>0)个单位得函数y＝f(x－a)的图象；(3)将函数y＝f(x)的图象向上平移b(b>0)个单位得函数y＝f(x)＋b的图象；(4)将函数y＝f(x)的图象向下平移b(b>0)个单位得函数y＝f(x)－b的图象．简记为“左加(＋)右减(－)，上加(＋)下减(－)”．2．对称变换：(1)函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)的图象关于直线x＝0即y轴对称；(2)函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于直线y＝0即x轴对称；(3)函数y＝f(x)与函数y＝－f(－x)的图象关于原点对称．3．翻折变换：(1)函数y＝|f(x)|的图象可以将函数y＝f(x)的图象位于x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方，去掉原x轴下方部分，并保留y＝f(x)的x 轴上方部分即可得到．(2)函数y＝f(|x|)的图象可以将函数y＝f(x)的图象位于y轴右边部分翻折到y轴左边替代原y轴左边部分并保留y＝f(x)在y轴右边部分图象即可得到．函数的图象是对函数关系的一种直观、形象的表示，可以直观地显示出函数的变化状况及其特性，它是研究函数性质时的重要参考，也是运用数形结合思想研究和运用函数性质的基础．另一方面，函数的一些特性又能指导作图，函数与图象是同一事物的两个方面，是函数的不同表现形式．函数的图象可以比喻成人的相片，观察函数的图象可以解决研究其性质，当然，也可以由函数的性质确定函数图象的特点．借助函数的图象来解决函数问题，函数的图象问题是高考的热点之一，应引起重视．课堂小结本节课学习了：函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数．作业课本习题1.2A组7,8,9.设计感想本节教学设计容量较大，尽量借助于信息技术来完成．本节的设计重点是函数的三种表示方法，提出了表示法的应用，特别是用图象法求函数的值域，并对求函数值域的方法进行了总结以满足高考的要求．</x<10)．<></x<10}．<>。
湘教版九年级上册教案 2 函数和它的表示法
函数的表示法（二）课标要求：了解映射的概念,并能根据映射的概念判别出哪些对应关系是映射．教学内容：映射的概念及其判别．教学过程：一、复习准备：1. 举例初中已经学习过的一些对应，或者日常生活中的一些对应实例：对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应；对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应；对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；2. 讨论：函数存在怎样的对应？其对应有何特点？3. 导入：函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，即映射.二.1. 教学映射概念：①先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系，并用图示意{1,4,9}A=, {3,2,1,1,2,3}B=---，对应法则：开平方；{3,2,1,1,2,3}A=---，{1,4,9}B=，对应法则：平方；{30,45,60} A=︒︒︒,1{1,}222B=, 对应法则：求正弦；②定义映射：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A 中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应:f A B→为从集合A到集合B的一个映射．记作“:f A B→”关键: A中任意，B中唯一；对应法则f.③分析上面的例子是否映射？举例日常生活中的映射实例？④ 讨论：映射的一些对应情况？（一对一；多对一） 一对多是映射吗？→ 举例一一映射的实例 （一对一）2.教学例题：① 例1. 探究从集合A 到集合B 一些对应法则，哪些是映射？(1) A={P | P 是数轴上的点}，B=R ；(2) A={三角形}，B={圆}；(3) A={ P | P 是平面直角体系中的点}， {(,)|,}B x y x R y R =∈∈；（ 师生探究从A 到B 对应关系 → 辨别是否映射？一一映射？ → 小结：A 中任意，B 中唯一） ② 讨论：如果是从B 到A 呢？③ 练习：判断下列两个对应是否是集合A 到集合B 的映射？A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则:21f x x →+；*,{0,1}A N B ==，对应法则:2f x x →除以得的余数；A N =，{0,1,2}B =，:3f x x →被除所得的余数； 设111{1,2,3,4},{1,,,}234X Y ==:f x x →取倒数；{|2,},A x x x N B N =>∈=，:f x x →小于的最大质数3. 小结：映射概念.三、巩固练习：1. 练习：课本P26 第4题；2.课堂作业：课本P28 第10题.――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 教学后记：1. 映射概念新教材要求低，不要求一一映射．2. 新教材对分段函数要求高，可将分段函数与映射做一节课上，绝对值函数的图象独立一节课，再三种表示法一节，本节内容分三节课来上刚好．。
函数的表示法(第二课时)教案
1.2.2 函数的表示法(第二课时)一、教材分析：二、学习目标：①通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用,提高应用函数解决实际问题的能力,增加学习数学的兴趣;②会用描点法画一些简单函数的图象,培养学生应用函数的图象解决问题的能力.三、教学重点：函数的三种表示方法，映射的概念．四、教学难点：分段函数的概念，分段函数的表示及其图象．五、课时安排：1课时六、教学过程1、 （一）、自主导学（课堂导入）一、设计问题,创设情境问题1:当x>1时,f (x )=x+1;当x ≤1时,f (x )=-x ,请写出函数f (x )的解析式.{)1,(1)1,()(>+≤-=x x x x x f 函数2、自主探索,尝试解决 问题2:问题1中的函数的解析式有什么特点?函数f (x )是分段函数,在定义域的不同部分,其解析式不同.3、信息交流,揭示规律问题3:函数f (x )=是一个函数还是两个函数?函数f (x )是一个函数.分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数.问题4:分段函数是一个函数,那它的定义域和值域是什么?分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.问题5:同学们能否举出生活中用分段函数描述的实际问题?（二）、合作学习【例1】画出函数y=|x|的图象.解法一：由绝对值的概念,我们有y=⎩⎨⎧<≥0.x x,-0,x x, 所以,函数y=|x|的图象如图所示.解法二：画函数y=x 的图象,将其位于x 轴下方的部分对称到x 轴上方,与函数y=x 的图象位于x 轴上方的部分合起来得函数y=|x|的图象如图1-2-2-10所示.归纳总结：带有绝对值问题的处理方法…………………………去掉绝对值符号．【例2】已知函数y=,)0(,4)40(,2)4(,2)(2⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤<->+-=x x x x x x x x f(1试计算)f {f [f (5)]}的值;(2)画出函数的图象.分析:本题主要考查分段函数及其图象.f(x)是分段函数,要求f{f ［f(5)］},需要确定f ［f(5)］的取值范围,为此又需确定f(5)的取值范围,然后根据所在定义域代入相应的解析式,逐步求解.画出函数在各段上的图象,再合起来就是分段函数的图象.解:(1)∵5>4,∴f (5)=-5+2=-3.∵-3<0,∴f [f (5)]=f (-3)=-3+4=1.∵0<1<4,∴f {f [f (5)]}=f (1)=12-2×1=-1,即f {f [f (5)]}=-1.(2)图象如下图所示:【例3】某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定:(1)乘坐汽车5千米以内(含5千米),票价2元;(2)5千米以上,每增加5千米,票价增加1元(不足5千米按5千米计算).如果某条线路的总里程为20千米,请根据题意,写出票价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象.分析：学生讨论交流题目的条件,弄清题意.本例是一个实际问题,有具体的实际意义,根据实际情况公共汽车到站才能停车,所以行车里程只能取整数值.由于里程在不同的范围内,票价有不同的计算方法,故此函数是分段函数.解：设里程为x 千米时,票价为y 元,根据题意得x∈(0,20］.由空调汽车票价制定的规定,可得到以下函数解析式:y=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤<≤<≤<.2015,5,1510,4,105,3,50,2x x x x根据这个函数解析式,可画出函数图象,如上图所示.点评:本题主要考查分段函数的实际应用,以及应用函数解决问题的能力.生活中有很多可以用分段函数描述的实际问题,如出租车的计费、个人所得税纳税额等.在列出其解析式时,要充分考虑实际问题的规定,根据规定来求得解析式.注意:①本例具有实际背景,所以解题时应考虑其实际意义;②分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况.归纳总结分段函数：①研究分段函数的性质时，应根据“先分后合”的原则，尤其是在作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象．②分段函数是一个函数．③定义域是各段自变量求值的并集，写定义域时区间端点需不重不漏．④值域是各段函数值的并集．⑤最大值是各段最大值的最大者，最小值是各段最小值的最小者，求最值时先分段求，再比较．⑥求分段函数的函数值时，关键是看自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式．⑷映射的概念①．我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种对应就叫映射（板书课题）．②．先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系：（ⅰ）开平方；（ⅱ）求正弦；（ⅲ）求平方；（ⅳ）乘以2．归纳引出映射概念：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A 中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．记作“f：A→B”说明：（1）这两个集合有先后顺序，A到B的映射与B到A的映射是截然不同的，其中f表示具体的对应法则，可以用多种形式表述．（2）“都有唯一”是什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思．（三）、当堂检测1．下列哪些对应是从集合A 到集合B 的映射？（1）A={|P P 是数轴上的点}，B=R ，对应关系f ：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2）A={|P P 是平面直角坐标中的点}，}{(,)|,,B x y x R y R =∈∈对应关系f ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；（3）A={三角形}，B={|},x x 是圆对应关系f ：每一个三角形都对应它的内切圆；（4）A={|x x 是新华中学的班级}，}{|,B x x =是新华中学的学生对应关系f ：每一个班级都对应班里的学生．解：⑴⑵⑶中的对应f ： A →B 是从集合A 到集合B 的一个映射，⑷中的对应f ： A →B 不是从集合A 到集合B 的一个映射．2、.函数f(x)=|x-1|的图象是( )图1-2-2-18分析:方法一:函数的解析式化为y=⎩⎨⎧<-≥-.1,1,1,1x x x x 画出此分段函数的图象,故选B.方法二:将函数f(x)=x-1位于x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方,与f(x)=x-1位于x 轴上方部分合起来,即可得到函数f(x)=|x-1|的图象,故选B.方法三:由f(-1)=2,知图象过点(-1,2),排除A 、C 、D,故选B.答案：B3、.某客运公司确定客票价格的方法是:如果行程不超过100千米,票价是每千米0.5元,如果超过100千米,超过部分按每千米0.4元定价,则客运票价y (元)与行程千米数x (千米)之间的函数关系式是 ⎩⎨⎧>+≤=)100(,104.0)100(,5.0x x x x y . 3、分析:根据行程是否大于100千米来求出解析式.答案:⎩⎨⎧>+≤=)100(,104.0)100(,5.0x x x x y（四）、课堂小结本节课我们学了哪些内容,请同学们进行回顾和总结.（对学生的回答进行点评和归纳）1、本节课系统地归纳了映射的概念，并进一步学习了求函数解析式的方法以及画分段函数的图象;求分段函数的解析式和分段函数的实际应用；2、理解函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数，注意分段函数的表示方法及其图象的画法．七．课外作业课本P25习题1.2 B组第3,4题.八、教学反思：。
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5.1函数与它的表示法(2)
教材分析：
本节内容是在上节课的基础上引导学生进一步认识函数的概念和自变量的取值范围，为
今后学习反比例函数和二次函数的性质做好知识准备，对学生函数性质接受有很重要的作用，因此本节内容在教材中有着承上启下的作用．
教学设想：
本节课主要采用小组探究式、师生合作的学习方式，让学生通过观察和动手操作得到
结论．通过问题引导学生对函数的概念进行再认识，紧接着探究函数的取值范围，在探究过
程中采用小组合作交流，教师适时点拨的形式，鼓励学生大胆发言，培养学生思维的全面性．教学目标：
知识与技能：1、通过对实例的探究，进一步了解函数的概念.
2、会根据具体情境写出函数的解析式并确定自变量的取值范围.
过程与方法：经历探索确定函数自变量范围的方法，培养学生操作、归纳、推理能力，让学生接触并解决一些现实生活中的问题，逐步培养学生的应用能力．
情感态度和价值观:通过真实的、贴近学生生活的素材和适当的问题情境，激发学生学习数
学的热情和兴趣，操作活动中，培养学生的合作精神．
教学重难点：
重点：确定函数解析式及自变量的取值范围.
难点：确定自变量的取值范围.
课前准备
教具准备 PPT课件
课时安排：2课时
教学过程：
情景导入：
这节课我们进一步研究上一节课的三个例子，思考下列问题：
(1)在这些问题中，自变量可以取值的范围分别是什么?
(2)对于自变量在它可以取值的范围内每取一个值,另一个变量是否都有唯一确定的值与
它对应?
(3)由此你对函数有了哪些进一步的认识?
【设计意图】：
通过师生相互交流可以帮助学生建立学习信心,为解决后来的问题降低了难度．
合作探究一：函数的定义
回忆七年级学的函数概念：在同一变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每—个值，y都有唯一的值与之对应，我们就把y叫做x的函数，其中x叫做自变量.
【设计意图】：
引导学生重温函数的定义，促进学生提升以往的认识，为进一步学好函数概念打好基础．
函数定义:
在同一个变化过程中,有两个变量x 、y ．如果对于变量x 在可以取值的范围内每取一个
确定的值，变量y 都有一个唯一确定的值与它对应，那么就说y 是x 的函数．
例题讲解:
例1 求下列函数中自变量x 可以取值的范围:
（1）y =3x -2 （2）y =
(3)y = (4)y = 解:(1)当x 取任意实数时，3x -2都有意义， 所以，自变量x 可以取值的范围是全体实数 (2)函数有意义的条件是分式的分母2x +1≠ 1
2-,所以，自变量x 可以取值的范围是
x ≠12
- 的实数． (3)函数有意义的条件是被开方式x －1≥0,即 x ≥1.所以，自变量x 可以取值的范围是x ≥1
(4)函数有意义的条件是分式分母中的被开方式3-5x >0,即35x ＜所以，自变量x 可以取值的
范围是35
x ＜
当堂检测：
1．求下列函数中自变量x 可以取值的范围: (1)y= (2)y=
(3)y= (4)y=
2．等腰三角形ABC 的周长为10cm,底边BC 长为y (cm),腰AB 长为x （cm ）
(1)写出y 与x 之间的函数解析式; y =10-2x
(2)指出自变量x 可以取值的范围. 2.5＜x ＜5
3．油箱中有油300L,油从管道中匀速流出,1小时流完. 写出油箱中剩余的油量Q(L)与油流
出时间t(s)之间的函数解,析式,并指出自变量t 可以取值的范围.
函数解析式：Q =300-5tt 的取值范围: 0≤t ≤60
4．一根蜡烛长20cm,每小时燃掉5cm.
(1)写出蜡烛剩余的长度y （cm ）与燃烧时间x （h ）之间的函数解析式. y =20-5x
(2)求自变量x 可以取值的范围; 0≤x ≤4
121+x 1-x x x 53-21
3-x 121+x x 26-131+x
(3)蜡烛点燃2h后还剩多长? 10cm
课堂小结:
本节课学习了确定函数自变量可以取值的范围时,必须使函数解析式有意义.在解决实际问题时,还要使实际问题有意义.
作业:
课本P.9第2题
板书设计:
5.1函数与它的表示法(2)
函数的定义
自变量的取值范围分类
例1。