初中数学代数最值问题常用解决方法

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代数最值问题的常用解法

代数最值问题的常用解法
代数最值问题在数学中是一个常见的问题，它涉及到寻找代数表达式的最大值或最小值。

解决这类问题通常需要一些技巧和策略，下面是一些常用的方法：
1.配方法：对于形如 ax^2 + bx + c 的二次函数，如果
a > 0，则函数有最小值，该最小值为 (4ac - b^2) / 4a；如
果 a < 0，则函数有最大值，该最大值为 (4ac - b^2) /
4a。

这种方法的关键是将原式转化为完全平方的形式。

2.不等式法：利用基本不等式（如AM-GM不等式）来找
到代数表达式的上界或下界。

这种方法适用于处理含有平方和或平方差的不等式。

3.换元法：通过引入新的变量来简化代数表达式。

这通
常用于处理复杂的代数表达式或无理函数的最值问题。

4.导数法：对于一些难以直接分析的函数，求导后可以
通过分析导数的正负来判断函数的单调性，从而找到极值点。

5.参数方程法：对于含有参数的代数表达式，可以通过
参数的变化来找到最值。

这种方法常用于处理三角函数的最值问题。

6.数形结合法：将代数问题转化为几何问题，通过分析
图形来找到最值。

这种方法在处理一些涉及距离、面积或体积的最值问题时非常有效。

7.构造法：通过构造新的函数或表达式来找到最值。

这
需要一定的创造性思维和对数学知识的深入理解。

以上方法并非互斥，有时需要结合使用。

解决代数最值问题时，关键是理解问题的本质，选择合适的方法，并灵活运用数学知识。

2022年中考数学压轴题讲义利用代数求解最值问题

利用代数求解最值问题1、问题提出：（1）如图1，点B 、C 在O 上且BC=2，过点O 作OE ⊥BC ，交BC 于点A ，交O 于点E ，连接BE 、CE ，若∠CBE =30°,则线段AE 的长度为_____________问题探究：（2）如图2，在ABC 中，BC=2，∠BAC=45°，求边AC 长度的最大值: 问题解决：（3）如图3，某城市拟在河流m 、n 所夹半岛区城建一个湿地公园，公园的周长由亲水廊桥AB 、AD 、CD 和绿化带BC 四部分构成，其中B 、C 两定点间的距离为2000米，根据规划要求，A 、D 两点间的距离为600米，A 、D 两点到直线BC 的距离相等，AD 的中点E 到BC 的距离比点A 到BC 的距离多1003米。

若修建时需保证∠B 与∠C 的和为120度，请判断这个湿地公园的周长是否存在最大值？若存在，请求出最大值，若不存在，请说明理由. (结果保留π)图1 图2 图32、问题探究：（1）如图1，平行四边形ABCD ，∠ABC ＝60°，AB ＝3，BC ＝5，M 、N 分别为AD 、DC 上的点，且DM +DN ＝4，则四边形BMDN 的面积最大值是．（2）如图2，∠ACB ＝90°，且AC +BC ＝4，连接AB ，则△ABC 的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由．问题解决EDC AO E C BBAB Cmn（3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC交BD于O，已知∠AOB＝120°，且AC+BD＝10，则△AOD与△BOC的周长之和是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出最小值．3、如图，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB∥CD．AB＝5，AD＝6，∠A＝60°，在AD边上确定一点E，使得∠BEC＝60°，则AE＝（）A．4−√6B．6﹣2√3C．5−√13D．3√324、【问题提出】（1）如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°，若AP=2，PC=2DP，则BC=____________（2）如图2，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AB=10，AD=13，点E在线段BC上且BE=6，连接DE，作DE⊥EF，交AB于点F，则四边形ADEF的面积为___________【问题解决】（3）某精密仪器厂接到生产一种特殊四边形金属部件的任务，部件要求：如图3，四边形ABCD中，AB=4厘米，点C到AB的距离为5厘米，∠C=90°，且BC=2CD，在满足要求和保证质量的前提下，仪器厂希望造价最低，已知这种金属材料每平方厘米造价50元，请问一个这种四边形金属部件的造价最低是多少元？图1 图2 图35、如图，已知30MAN ∠=，点P 为MAN ∠内部一点，PEF 为等边三角形，点F 落在AM 上，点E 落在AN 上，过点P 做PC AN ⊥于点C ，PD AM ⊥于点D ，设PC 的长为x ，PEF 的面积为y ，若43AC =y 与x 之间的函数关系式；6、如图，等腰Rt △DEF 的三个顶点分别在等边△ABC 的三条边上，∠EDF=90°，已知AB=3√3+3，则△DEF 面积的最小值是_____________C DCB A D CFM NAP EFCABED7、问题提出（1）如图1，已知三角形ABC ，请在BC 边上确定一点D ，使得AD 的值最小．问题探究（2）如图2，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，点P 是AC 边上一动点，分别过点A ，点C 作线段BP 所在直线的垂线，垂足为点D ，E ，若AB ＝5，BC ＝6，求线段BP 的取值范围，并求AD +CE 的最大值．问题解决（3）如图3，正方形ABCD 是一块蔬菜种植基地，边长为3千米，四个顶点处都建有一个蔬菜采购点，根据运输需要，经过顶点A 处和BC 边的两个三等分点E 、F 之间的某点P 建设一条向外运输的快速通道，其余三个采购点都修建垂直于快速通道的蔬菜输送轨道，分别为BB ′、CC ′、DD ′．若你是此次项目设计的负责人，要使三条运输轨道的距离之和（BB ′+CC ′+DD ′）最小，你能不能按照要求进行规划，请通过计算说明．8、（1）问题初探：在直角三角形中，两直角边的长度之和是10，当两直角边分别是_____，_______时，直角三角形的面积最大；（2）问题解决：如图，在一个t R EFG 的内部作一个矩形ABCD ，其中点A 和点D 分别在两直角边上，BC 在斜边上，EF=30cm ，FG=40cm ，矩形面积最大是多少？（3）问题拓展：如图，矩形ABCD 中，AB=20cm ，BC=30cm ，点E 是AD 边上的动点（点E 与A,D 两点不重合），连接BE 、CE ，点F 是BC 边上的动点，过F 作FG ∥CE 交BE 于点G ，求三角形EFG 面积的最大值。

初中数学最值问题解题策略与技巧

初中数学最值问题解题策略与技巧【摘要】本文将探讨初中数学最值问题的解题策略与技巧。

文章将介绍最值概念并探讨其在数学问题中的应用。

接着，将详细讲解求解最值问题的基本步骤，并总结常见类型最值问题的解题技巧。

还将介绍如何利用代数方法和图像法解决最值问题。

结论部分将总结初中数学最值问题解题策略，强调练习对掌握解题技巧的重要性，并提出培养数学思维、提高解题能力的建议。

通过本文的学习，读者将更好地掌握解决最值问题的方法，提升数学学习成绩和解题能力。

【关键词】初中数学、最值问题、解题策略、技巧、概念、基本步骤、常见类型、代数方法、图像法、总结、练习、数学思维、解题能力。

1. 引言1.1 初中数学最值问题解题策略与技巧初中数学最值问题是学生在学习数学时经常遇到的难题之一，解题的策略与技巧对于学生的数学能力提高至关重要。

掌握解决最值问题的方法，不仅能够提高学生的解题速度，还可以锻炼学生的数学思维和逻辑推理能力。

最值概念在数学中是指在一组数中的最大值和最小值。

解决最值问题首先要对这一概念有清晰的理解，并能灵活运用到解题过程中。

而求解最值问题的基本步骤包括确定问题类型、建立数学模型、分析问题求解方式、检验答案的正确性等。

在解题过程中，常见类型最值问题的解题技巧包括利用函数最值性质、利用代数方法求解等。

学生可以通过掌握这些技巧来提高解题效率。

利用图像法也是解决最值问题的重要方法之一，通过绘制函数图像或几何图形来找到最值点。

初中数学最值问题解题策略与技巧的掌握需要不断的练习和实践。

只有通过大量的练习，才能真正掌握解题方法并提高解题能力，培养学生的数学思维，让他们在面对各种复杂的最值问题时能够游刃有余、灵活应对。

最终，希望学生们能通过解决最值问题，提高数学解题能力，为将来的学习和发展打下坚实基础。

2. 正文2.1 最值概念理解与应用最值概念在数学中是指一组数中的最大值和最小值。

在解决最值问题时，首先需要理解最值的概念并掌握其应用方法。

七年级下册最值问题。

全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：七年级下册最值问题是初中数学中的重要概念，通过这一概念的学习，可以帮助学生更好地理解和应用数学知识。

最值问题指的是在一组数据中找到最大值和最小值，并求出它们的具体数值。

在日常生活中，最值问题也是非常常见的，比如求一组数据中的最高温度和最低温度，或者求一堆数中的最大值和最小值等等。

在七年级下册的数学课程中，最值问题通常是以实际案例为背景展开讨论的。

通过解决这些案例，学生可以更好地理解最值问题的概念，并掌握解题的方法。

最值问题的解决一般分为两步，首先是找出一组数据中的最大值和最小值，然后是求出它们的具体数值。

在实际操作中，学生需要通过比较不同数的大小，从而找到最值。

除了直接比较数值大小外，还可以通过化简、提取公因式等方法来简化问题，更快地找到最值。

最值问题的学习不仅可以提高学生的数学分析和解决问题的能力，还可以培养他们的逻辑思维和数学素养。

在解决最值问题的过程中，学生需要反复比较和分析数据，培养了他们的观察力和思考能力。

通过实际案例的讨论，学生可以更好地理解数学知识与实际生活的联系，增强他们的数学应用能力。

七年级下册最值问题还可以帮助学生培养合作精神和团队意识。

在解决最值问题的过程中，学生可以进行小组讨论和合作，共同探讨问题的解决方法，促进了他们与同学之间的交流与合作。

通过互相学习、互相启发，学生可以更好地理解数学知识，提高解题的效率和准确度。

最值问题的学习还可以促进学生主动学习的能力。

通过解决最值问题，学生需要自主思考、积极探索，培养了他们的自主学习意识。

在解决问题的过程中，学生可以提出自己的见解和想法，不断尝试和总结，从而提高了他们的学习兴趣和学习主动性。

七年级下册最值问题是一个涵盖面广、实用性强的数学概念，通过这一概念的学习，学生可以在数学知识上取得更好的掌握与运用。

最值问题的解决不仅可以提高学生的数学分析和解决问题的能力，还可以培养他们的逻辑思维和团队合作精神。

初中数学中求函数极值的常用解法举例

初中数学中求函数极值的常用解法举例罗江县函数极值是指函数的最大值或最小值，此类问题在初中数学中比较常见。

它涉及的知识面广，综合性强，有着极为丰富的内涵，解法也颇具有技巧性。

解答这类问题需要根据具体的特点，采取不同的方法。

现举例介绍这类问题的常用解法，供大家参考。

一、配方法：配方法是初中数学中解题常用的方法，它是将已知代数式（等式）通过配方，变形成若干个完全平方式的形式，结合完全平方的非负性质，解决问题。

例1 ：若 x , y 为实数，求 A=5 x 2 + 5 y 2 − 8 xy + 2 x +2y +5 的最小值。

分析与解：A=（4x 2 − 8 xy + 4 y 2）+（x 2 + 2 x + 1）+（ y 2+ 2 y + 1 ）+ 3 = ( 2x − 2 y ) 2 + ( x + 1) 2 + ( y + 1) 2 +3显然，当 x = −1，y = − 1 时，A 有最小值3。

二、消元法：消元法是把代数式（等式）中的几个元素转化为以某一元素为主元的函数，再结合已知条件，经过运算，使问题简化，便于求解。

例2 ：若 2x + y + z = 40，3x+ y －z = 30 ，且x 、y 、 z 均为非负数，求 A = 5x + 3 y + 2z 的极值。

分析与解：由 2x + y + z = 40及3x + y − z = 30，得 x=2z －10，y=60－5z,又由 x ≥0，y ≥0得2z －10 ≥ 0， 60－5z ≥ 0,解得 5≤z ≤12，把 x=2z －10，y=60－5z 代入 A=5x+3y+2z得A=−3z+130，显然 A 是关于 z 的一次函数，且 A 随 z 增大而减小，所以当 z=5 时，A 的最大值为115，当 z=12时，A 的最小值为94。

三、数形结合法: 数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。

中考数学点对点-最值问题(解析版)

中考数学最值问题专题知识点概述在中学数学题中，最值题是常见题型，围绕最大（小）值所出的数学题是各种各样，就其解法，主要分为几何最值和代数最值两大部分。

一、解决几何最值问题的要领（1）两点之间线段最短；（2）直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；（3）三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）。

二、解决代数最值问题的方法要领1.二次函数的最值公式二次函数y ax bx c =++2（a 、b 、c 为常数且a ≠0）其性质中有 ①若a >0当x b a=-2时，y 有最小值。

y ac b a min =-442； ②若a <0当x b a=-2时，y 有最大值。

y ac b a max =-442。

2.一次函数的增减性.一次函数y kx b k =+≠()0的自变量x 的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大（小）值；但当m x n ≤≤时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大（小）值。

3. 判别式法.根据题意构造一个关于未知数x 的一元二次方程；再根据x 是实数，推得∆≥0，进而求出y 的取值范围，并由此得出y 的最值。

4.构造函数法.“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解往往离不开函数。

5. 利用非负数的性质.在实数范围内，显然有a b k k 22++≥，当且仅当a b ==0时，等号成立，即a b k 22++的最小值为k 。

6. 零点区间讨论法.用“零点区间讨论法”消去函数y 中绝对值符号，然后求出y 在各个区间上的最大值，再加以比较，从中确定出整个定义域上的最大值。

7. 利用不等式与判别式求解.在不等式x a ≤中，x a =是最大值，在不等式x b ≥中，x b =是最小值。

8. “夹逼法”求最值.在解某些数学问题时，通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为“夹逼法”。

初中最值问题的常用解法

初中最值问题的常用解法(重庆北碚西南师范大学附属中学　400700)　张珍俊最值问题是一个古老而又崭新的课题,它渗透到代数、几何、三角、不等式等各个学科领域,随着数学内容的不断深化,解最值问题的方法也愈加丰富.这类题不仅涉及面广,而且蕴涵着丰富的数学思想和方法.本文介绍一些常见的方法.1　配方法将代数式配成平方和的形式,利用平方是非负数这一特点而求其最值,但应注意能否同时取得最值.例1　求实数x,y的值,使得(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2达到最小值.分析:对于多元函数,可选定其中一个作为主元来进行配方.解:原式=5x2+6x y+3y2-30x-20y+46=5x2+(6y-30)x+3y2-20y+46=5[x2+6y-305x+(3y-155)2]-(3y-155)2+3y2-20y+46=5(x+35y-3)2+65(y-56)2+16当x+35y-3=0y-56=0即x=52,y=56时原式有最小值1 6 .例2　设x∈R+,求函数y=x2-x+1 x的最小值.解:原式=(x-1)2+(x-1x)2+ 1当x=1x=1x即x=1时有最小值1. 2　消元法对于多元函数,可选择其中一个作为主元,设法消去另外的变量,从而转化为一元函数.消元法是解决多元函数的一个重要方法,但应注意自变量取值范围.例3　已知x、y、z为实数,且x+2y-z =6,x-y+2z=3,求S=x2+y2+z2的最小值.分析:在S中有三个变量,可通过消元法消去两个变量.解:由已知可得y=5一x,z=4-x,则S=x2+(5-x)2+(4-x)2=3(x-3)2+14.故当x=3时S有最小值14.例4　若a、c、d是整数,b是正整数,且满足a+b=c,b+c=d,c+d=a,求a+b+ c+d的最大值.分析:由于b是正整数,可考虑以b为主元,设法消去a、c、d.解:由已知得c-a=b,d-c=b,c+ d-a=0解得a=-3b,c=-2b,d=-b故a+b+c+d=-5b≤-5,故b=1时,a+b+c+d有最大值- 5.3　构造法有些最值题目的已知条件与未知条件之间的关系比较隐蔽,需要通过构造搭建桥梁,使问题解决的途径明朗化,具体说来,构造的方法有数数联想构造,有形形联想构造,还有数形联想构造等.例5　设x、y是实数,且x2+x y+y2= 3,求x2-x y+y2的最值.解:设x2-x y+y2=m,又x2+x y+y2=3解得x+y=±9-m2,x y=3-m2则x,y是方程t2±9-m2t+3-m2=0的两个实根.从而有Δ=(±9-m2)2-43-m2≥解得m≥1,又9-m2≥0,即m≤9,则1≤m≤9.故m的最小值为1,最大值为9.例6　设a、b、c、d、e是实数,且a+b+ c+d+e=8,a2+b2+c2+d2+e2=16,求e的最大值.解:由已知得a+b+c+d-8-e,得a2+b2+c2+d2=16-e2令f(x)=4x2-2(a+b+c+d)x+ (a2+b2+c2+d2)==(x-a)2+(x-b)2+(x-c)2+ (x-d)2≥0另一方面,二次项系数为4,有Δ≤0解得0≤e≤165,所以e的最大值为165.例7　求函数y=x2-4x+8+ x2+2x+2的最小值.解:原式=(x-2)2+22+ (x+1)2+ 1.它表示点A(x,0)到点B(2,2),C(-1,1)的距离之和,原题转化为在x轴上找一点A到点B、C距离之和最小,由几何知识可得,应先求出点B关于x轴的对称点B′,,则最小值为B′C,又B′(2,—2),所以B′C= (2+1)2+(-2-1)2=32,故所求最小值为3 2.4　数形结合法所谓数形结合就是根据问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数含义,又揭示其几何意义,使数量关系和空间形式巧妙和谐地结合起来,并充分利用这种“结合”,寻找解题思路,使问题得到解决.图1例8　当a取遍0到5的所有实数值时,求满足3b=a(3a-8)的整数b的个数.分析:由3b=a(3a-8),有b=a2-83a.这是一个二次函数,其图象是一条抛物线,当a取遍0到5的所有实数时,求整数b的个数就是求b的最大值与最小值之间的整数的个数.解:先作出b=a2-83a的图象(注意0≤a≤5).由图象知,在0≤a≤5时,b的最小值为-(-83)24=-169,b的最大值为f(5)= 353.在-169与353之间共有13个整数.故整数b 的个数为13.例9　在满足x+2y≤3,x≥0,y≥0的条件下,求2x+y能达到的最大值.图2解:如图2,作出直线x+2y=3,满足不等式x≥0,y≥0,x+2y≤3约束的点集是图中直线与x,y轴所围成的区域△ABO(包括边界).要求s=2x+y的最大值,把s=2x+y变形为y=-2x+s,其相应的图象是斜率为-2的平行直线束.欲求s 的最大值,转化为求平行线通过△ABO时截距的最大值,显然,当直线y=-2x+s通过A(3,0)时,截距s最大,此时s= 6.5　局部调整法(变量取整数)有些最值问题它的自变量取整数,变量呈现一定的离散状况,且不少题目中变量也不止一个,解决这类问题,普通方法不一定适合,这时可考虑局部调整法,让我们从熟悉的例题谈起.例10　已知若干个正整数之和为1976,求其乘积的最大值.解:设n个正整数x1,x2,…,x n之和为1976,即x1+x2++…+x n=1976这里的n是一个变量,这是因为题目中要求的和为1976的正整数的个数是不确定的,我们的目标是追求乘积的最大值,而不拘泥于正整数的个数n.首先,关注一个大于4的正整数,如果x1,x2,…,x n中有一个大于4,比如x j >4,把x j拆成一个2与一个x j-2的和,x j= 2+(x j+2)两个加数的乘积2(x j-2)=2x j-4=x j+*x j-4)> x j所以,第一步调整是把x1,x2,…,x n中所有大于4的数x j,通过分拆成2与x j-2,全部换成不大于4的正整数.当然,不能让拆出的数中出现1,因为这时乘积不会变大,还要注意到,如果拆出的数恰巧出现4,由于4=2+2=2×2,所以把4换成2+2时,不会使乘积变小.因此,第二步调整是把x i中所有的4全部换成2×2.经过两步调整,乘积将会变大,而且是把1976拆成若干个2与3的和.下面的注意力就放在2和3的调整上由于2+2+2=3×2,但2×2×2< 3×3这说明,在对1976的分拆中多出现3比多出现2好于是,第三步调整是把1976的分拆中,每3个2换成两个3,即让分拆中多出现 3.因为1976=658×3+2,所以经过这三步调整把1976分成658个3与1个2之和.这时乘积最大,最大值为2×3658.这道题的解题过程是一组正整数的和等于1976第一次调整大于4的数拆成2,3,4若干个2,3,4的和等于1976第二次调整4拆成2+2若干个2,3的和等于1976第三次调整3个2拆成2个3658个3与1个2的和等于1976乘积最大值2×3658.例11　已知x1,x2,…,x67是正整数,并且它们的和等于110,求x21+x22+…+x267的最大值和最小值.解:(1)设x1≤x2≤…≤x66≤x67首先,把x2,x3,…,x66冻结,只研究x1和x67,由于(x1-1)2+(x67+1)2=x21+x267+2+ 2(x67-x1)>x21+x267.这表明,如果把最小数x1减少1,而把最大数x67增加1,(这时67个正整数的和不变),它们的平方和就增大,为此我们进行这样的调整.每次把x1减少1,把减少的1加到x67上,直到x1=1为止,从而对x1调整结束.这样调整的结果是,67个正整数的和为110不变,而平方和在调整后比调整前大.再把x2解冻,对x2调整,仍然是每次把x2减少1,把x67加上1,直到x2=1为止,结束对x2的调整.如此对x3,x4,…,x66一步一步地调整下去,直到把(x1,x2,…,x66,x67)调整到(1,1,…,1,44)这时,由于1+1+…+1+44=66×1+44=110并且每调整一次,平方和就增大一次,所以,所求x 21+x 22+…+x 267的最大值为12+…+1266个+442=2002(2)求最小值若|x j -x i |≥2时,不妨设x j >x i ,则由(x j -1)2+(x i +1)2-x 2j -x 2i =2(x i -x j )+2≤-2<0知,当|x j -x i |≥2时,将大数减1,小数加1,它们的平方和减少了,因此,要使x 21+x22+…+x 267最小,这67个数中任意两个数的差的绝对值不超过1,又由于这67个数的和为110,所以只有取43个2和24个1,使x 21+x 22+…+x 267最小,最小值为43×22+24×12=196.6　排序法对于某些轮换对称式可考虑此法.例12　设x 1,x 2,x 3,x 4,x 5均为自然数,且x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=x 1x 2x 3x 4x 5,试求x 5的最大值.解:不妨设x 1≤x 2≤x 3≤x 4≤x 5.因为x 1+x 2+x 4+x 4+x 5=x 1x 2x 3 x 4x 5所以1=1x 2x 3x 4x 5+1x 1x 3x 4x 5+1x 1x 2x 4x 5+1x 1x 2x 3x 5+1x 1x 2x 3x 4≤1x 4x 5+1x 4x 5+1x 4x 5+1x 5+1x 4=3+x 4+x 5x 4x 5于是,x 4x 5≤3+x 4+x 5从而,(x 4-1)(x 5-1)≤4若x 4=1,则x 1=x 2=x 3=x 4=1,由已知得4+x 5=x 5,矛盾.所以x 4≥2,则x 5-1≤(x 4-1)(x 5-1)≤4,x 5≤5当x 5=5时,存在x 1=x 2=x 3=1,x 4=2使等式成立.因而,x 5的最大值为 5.例13　设a ,b ,c ,a +b -c ,a +c -b ,b +c -a ,a +b +c 是7个两两不同的质数,且a ,b ,c 中有两数之和是800,设d 是这7个质数中最大数与最小数的差,求d 的最大可能值.(2001年中国数学奥林匹克竞赛题)解:不妨设a <b <c ,于是,这7个数中a 十b -c 最小,而a +b +c 最大,从而有d =(a +b +c )-(a +b -c )=2c ,问题转化为求c 的最大可能值.因为a +b -c >0,所以c <a +b <a +c <b +c 又因为a +b ,a +c ,b +c 中有一个数为800,所以c <800由于799=17×47和798都不是质数,而797为质数,故有c ≤797,d ≤1594另一方面,当a +b =800时,注意到a =5,b =795,a =7,b =793=13×61,a =11,b =789=3×263都不全是质数,从而不能满足题中要求.而a =13,b =787都是质数,这时a +b -c =3,a +c -b =23也都是质数,容易验:b +c -a =1571和a +b +c =1597也都是质数,综上可知,d 的最大可能值为1594.7　几何意义例14　设x 是实数,且f (x )=|x +1|+|x +2|+…+|x +5|,求f (x )的最小值.解:由绝对值几何意义,在数轴上画出-1、-2、-3、-4、-5对应的点分列为A 、B 、C 、D 、E ,设x 对应的点为P (如图3),则f (x )=|P A |+|PB |+|PC |+|P D |+|P E |.由几何意义,当P 在线段AE 上时|P A |+|P E |最小.图3同理,当P 在线段B D 上时|P B |+|P D |最小.向量方法在平面几何中的应用(重庆市第八中学　400030)　桂本祥平面向量具有较强的工具性作用,向量方法不仅可以用来解决不等式、三角、复数、物理、测量等某些问题,还可以简洁明快地解决平面几何许多常见证明(平行、垂直、共线、相切、角相等)与求值(距离、角、比值等)问题.用向量法解决平面几何问题的一般途径是:问题条件翻译向量关系式向量运算其它向量关系式翻译问题结论向量法应用于平面几何中时,它是数学中的数与形完美结合,能使平面几何许多问题代数化,程序化,从而得到更有效的解决.1　利用两个非零向量a、b共线的充要条件a =λb(其中λ是实数),解决与“平行或共线”有关的问题. 例1　如图1,一直线割△O AB的三边O A、AB、BO所在直线分别交于点R、S、T,求证:ORR AASSBB TTO=- 1.分析:点A、S、T分OR,AB,TR,BO的比为λ,m,n,u设OR=a,OB=b为基底向量,此定理是著名的梅涅劳斯定理,其逆定理也成立.证明:设OR=a,OB=b,O A=λa,O T= u b,A S=m AB,TS=n TR由O A+A S=OS=OB+B S=O T+ T S,所以λa+m(b-λa)=u b+n(a-u b)即λ(1-m)a+m b=u(1-n)b+n a,因为a,b不共线,所以λ(1-m)=nu(1-n)=m解得m=u(1-λ)1-λu 故ORR AASSBB TTO=-11-λm1-m1-uu=- 1. 当P与C点重合时,|PC|最小.故当P与C重合时,f(x)最小,易得最小值为6.推广到一般:设a1<a2<a3<…<a n,求f(x)=|x-a1|+|x-a2|+…+|x-a n|的最小值.答案:当n为偶数且a n2≤x≤a n2+1时f(x)有最小值a n+12+1+…+a n-(a1+a2+…+a n-12).8　归纳法指由特殊情形结论的形式,归纳出一般情况的结论形式,这种方法有助于培养对新问题的探索能力的提高.例15　已知正数a1,a2,…,a n;b1,b2,…,b n 满足a21+a22+…+a2n=b21+b22+…+b2n= 1,求F=min{a1b1,a2b2,a nb n}的最大值.解:易知,当所有的字母都相等时,F的值为1.下面证明:对于任意正数a1,a2,…,a n;b1, b2,…,b n均有F≤1若不然,则F>1,故a1b1>1a2b2>1,…,a nb n>1即有a21>b21,a22>b22,a2n>b2n于是a21+a22+…+a2n>b21+b22+…+ b2n,与题设矛盾,故F的最大值为 1.。

初中数学代数最值问题

初中数学代数最值问题
在初中数学中，最值问题是一个非常重要的概念，尤其是在代数中。

最值问题主要是探究一个函数的最大值或最小值，并且通过运算来求得最值。

最值问题的求解方法有很多，其中比较常见的是函数图像法和代数法。

函数图像法主要是通过画出函数图像来找出最值，而代数法则是通过解方程来找出最值。

在具体的求解过程中，要根据问题中的条件和要求来选择合适的方法进行求解。

在代数中，最值问题主要涉及到函数的极值和最值。

函数的极值分为极大值和极小值，而最值则分为最大值和最小值。

一般来说，求极值和最值需要通过求导数的方法来进行，具体的求解过程需要根据不同的函数类型来选择不同的求导方法。

综上所述，初中数学代数最值问题涉及到的知识点非常广泛，需要同学们掌握一定的代数基础和求解方法。

只有通过不断的练习和学习，才能够在最值问题中游刃有余，轻松解决各种问题。

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研究论文：初中数学最值问题解题策略与技巧

数学论文初中数学最值问题解题策略与技巧最值问题是近年来中考数学热点之一，代数与几何问题中都有涉及，考查知识点丰富，形式多样，综合性强，是学生易错疑难点之一。

本文主要从代数与几何两个方面就具体例题对常见最值问题的解题策略与技巧给以简单的整合.其中，代数中最值求解主要运用配方、均值不等式、分类讨论、数形结合、函数增减性等方法，将陌生复杂的问题化为简单的熟悉的问题；几何最值问题又分为平面几何与立体几何最值，平面几何主要在三角形、四边形、圆中最值居多，复杂多变，通常利用轴对称变换、平移变换的性质，将复杂的几何问题转化为简单几何模型求解，立体几何最值主要通过化归思想，将立体图形沿侧棱展开成平面图形，再依据平面几何最值性质求解.一、代数中最值常见解题策略与技巧1、配方法主要依据完全平方项的非负性，利用恒等变形，将原代数式分组配成完全平方项与实数项和的形式即可求解最值问题.例1：设x，y为实数，代数式2x2+y2-2xy+2x+4 的最小值为_______.析：该代数式只需将 x2与y2-2xy 组合成完全平方，x2与2x+1组合成完全平方即可.2、分类讨论法含绝对值的函数最值通常含有不确定因素，对于这类问题一般需要依据绝对值零点意义对其分类讨论，再结合函数单调性求解最值.例2.求│x-1│+│x-2│的最小值.分析：此题只需要找到绝对值零点1，2，然后分段讨论利用函数单调性求解即可.3、数形结合法对于一些有明显几何意义或与几何图形相关联的题，我们采用数形结合的思想往往会起到事半功倍的效果.比如例2的式子可以看成是数轴上的x到1的距离与x到2的距离的和，只有当x在1与2之间时，它们的和最小.这样就少了像例2那样繁琐的讨论，反而显得明朗化、清晰化、简单化.这种解法对于像这样的式子" │x-1│+│x-2│+...+│x-10│求最小值"就显得更为直观简单，x取值只要在5与6之间即可.但此种方法常用于一次项系数为1的，对于那些系数不为1的（系数为整数或有理数），我们通常通过提取公因数将它的系数转化为1，再利用常规的做法即可.如对于下面的变式：变式1：求│2x-1│+│2x-2│的最小值.变式2：求│x-2│+│2x+7│的最小值.分析：对于变式1，一次项系数为2，故须提取整数2将原式变形为2（│x-│+│x-1│），再依据系数为1的绝对值函数最值法求解；对于变式2，一次项系数即含整数又含分数，故可将分数先转化为整数，再将整数转化为系数为1的绝对值函数.再者，如下面的例3可以化归为平面坐标系中"一动点到两定点的距离和最小的几何问题"，简单明了.例3：求 y=+的最小值4、均值不等式法形如a2+b2≥2ab（a，b∈R）的均值不等式，一方面可以应用有明显不等式形式的代数式、分式中，如求（x2++4）的最小值，一方面在几何面积最值求解中也有应用，如2011陕西中考填空题第16题，在构造辅助线平移线段中出现直角三角形，且直角边未知，斜边已知时，这时我们可以利用勾股定理表示三边关系，此时出现两个未知量平方和的关系，要求两个未知量积的最值即可用均值不等式.5、函数模型函数模型一方面在实际的应用题型中应用广泛，主要是一些盈利、分配、用料最省等问题，解决这类题先要分清题中已知量与未知量，将实际问题转化为代数问题，找准等量关系，列出函数关系式，再利用函数的相关性质求解.另一方面它在几何面积最值中也有应用，通常是先通过构造，利用相似或解直角三角形将图形面积用二次函数表示，再在实际变量限制范围内利用函数单调性取最值即可.二、几何最值问题解题策略与技巧几何最值问题，主要以简单的几何模型为依托，通过化归思想，化繁为简，化动为定，结合轴对称变换、平移变换，巧用特定图形的性质来解决.1、平面几何中最值问题平面几何最值，最简单的模型是"两条线段差最大，和最小"问题，其特点是"一定直线-两定点-一动点"，在解决三角形、四边形、圆中线段、周长、面积最值问题时，可利用图形本身的性质以及几何变换将其转化为简单的几何模型求解即可.特别的在圆中会用到"过圆内一点的弦中，垂直于该点所在直径的弦最短"求最小值。

中考数学最值问题总结

中考数学最值问题总结中考数学中最值问题是一个重要的考点，通常涉及到二次函数、一次函数、不等式等问题。

以下是一些常见的最值问题及解决方法：1. 二次函数最值问题二次函数的最值问题是最常见的最值问题之一。

解决这类问题的一般步骤是：首先确定自变量的取值范围，然后利用二次函数的顶点式或开口方向来求最值。

如果二次函数的开口向上，那么在顶点处取得最小值（当x<0时），在x轴上取得最大值（当x>0时）。

如果二次函数的开口向下，那么在顶点处取得最大值（当x<0时），在x轴上取得最小值（当x>0时）。

2. 一次函数最值问题一次函数的最值问题通常涉及到一次函数的单调性和自变量的取值范围。

如果一次函数是递增的，那么在自变量取值范围内的最大值是当x取最大值时的函数值，最小值是当x取最小值时的函数值。

如果一次函数是递减的，那么在自变量取值范围内的最大值是当x取最小值时的函数值，最小值是当x取最大值时的函数值。

3. 不等式最值问题不等式的最值问题通常涉及到不等式的性质和不等式的取值范围。

解决这类问题的一般步骤是：首先确定不等式的取值范围，然后利用不等式的性质来求最值。

如果是不等式左边是一个定值，右边是一个变量的形式，那么当变量取最大或最小值时，不等式取得最值。

如果是不等式两边都是变量，那么需要利用不等式的性质来求解。

4. 代数式的最值问题代数式的最值问题通常涉及到代数式的化简和代数式中字母的取值范围。

解决这类问题的一般步骤是：首先将代数式进行化简，然后根据代数式中字母的取值范围来确定最值。

如果代数式中包含有二次项，那么可以利用配方法将其化简为顶点式或开口方向式来求解最值。

如果代数式中包含有绝对值，那么需要先去掉绝对值符号再化简求解最值。

解决中考数学最值问题需要掌握各种知识点和方法，包括二次函数、一次函数、不等式、代数式等，同时需要注意自变量的取值范围和函数的单调性等问题。

初中圆的最值问题三种解法

在初中数学中，圆的最值问题可以通过三种不同的解法来求解。

以下是三种常见的解法：
1. 几何解法：
首先，确定问题中圆的相关条件，例如圆的半径或圆心坐标等。

然后，利用几何性质和定理来分析问题。

对于圆的最值问题，常常使用切线和切线长度来解决。

通过找到与切线相关的角度和长度关系，可以求得圆的最大值或最小值。

2. 代数解法：
这种方法使用代数方程和函数来解决圆的最值问题。

首先，将圆的方程转化为合适的形式，例如标准方程或一般方程。

然后，利用代数的方法，对方程进行求导或化简，找到函数的最值点。

最后，将最值点带入原始问题中，求得圆的最大值或最小值。

3. 组合解法：
这种方法结合了几何和代数的思想。

首先，利用几何性质和定理来确定问题中的几何关系。

然后，将几何关系转化为代数方程或函数。

接下来，通过代数的方法求解方程或函数的最值点。

最后，将最值点代入几何关系中，求得圆的最大值或最小值。

中考数学最值问题几何代数方法全梳理

专题一单线段最值之单动点型例题．如图，矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点P 是矩形ABCD 内一动点，且∆∆=PAB PCD S S ，则PC PD +的最小值为_____．【解析】ABCD 为矩形，AB DC ∴=又=PABPCDSS∴点P 到AB 的距离与到CD 的距离相等，即点P 线段AD 垂直平分线MN 上，连接AC ，交MN 与点P ，此时PC PD +的值最小，且PC PD AC +=====巩固1．如图，等腰Rt △ABC 中，斜边AB 的长为2，O 为AB 的中点，P 为AC 边上的动点，OQ ⊥OP 交BC 于点Q ，M 为PQ 的中点，当点P 从点A 运动到点C 时，点M 所经过的路线长为（）ABC ．1D ．2【解析】连接OC ，作PE ⊥AB 于E ，MH ⊥AB 于H ，QF ⊥AB 于F ，如图， ∵△ACB 为到等腰直角三角形，∴AC =BC=2AB，∠A =∠B =45°， ∵O 为AB 的中点，∴OC ⊥AB ，OC 平分∠ACB ，OC =OA =OB =1，∴∠OCB =45°， ∵∠POQ =90°，∠COA =90°，∴∠AOP =∠COQ ，在Rt △AOP 和△COQ 中，A OCQ AO COAOP COQ ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴Rt △AOP ≌△COQ ，∴AP =CQ ，易得△APE 和△BFQ 都为等腰直角三角形， ∴PE2AP=2CQ ，QF=2BQ ， ∴PE +QF=2，CQ +BQ，=2BC=2∵M 点为PQ 的中点，∴MH 为梯形PEFQ 的中位线， ∴MH =12，PE +QF ，=12，即点M 到AB 的距离为12，而CO =1，∴点M 的运动路线为△ABC 的中位线， ∴当点P 从点A 运动到点C 时，点M 所经过的路线长=12AB =1，选C ，巩固2．如图，在平面内，线段AB=6，P为线段AB上的动点，三角形纸片CDE的边CD所在的直线与线段AB垂直相交于点P，且满足PC=P A．若点P沿AB方向从点A运动到点B，则点E运动的路径长为______，【解析】如图，由题意可知点C运动的路径为线段AC′，点E运动的路径为EE′，由平移的性质可知AC′=EE′，在Rt，ABC′中，易知AB=BC′=6，∠ABC′=90°，，EE′=AC巩固3．如图，等边三角形ABC的边长为4，点D是直线AB上一点．将线段CD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连结BE．（1）若点D在AB边上（不与A，B重合）请依题意补全图并证明AD=BE；（2）连接AE，当AE的长最小时，求CD的长．【解析】（1）补全图形如图1所示，AD=BE，理由如下：∵∵ABC是等边三角形，∵AB=BC=AC，∠A=∠B=60°，由旋转的性质得：∠ACB=∠DCE=60°，CD=CE，∵∠ACD=∠BCE，∵∵ACD≌∵BCE（S A S），∵AD=BE．（2）如图2，过点A作AF⊥EB交EB延长线于点F．∵∵ACD≌∵BCE，∵∠CBE=∠A=60°，∵点E的运动轨迹是直线BE，根据垂线段最短可知：当点E与F重合时，AE的值最小，此时CD=CE=CF，∵∠ACB=∠CBE=60°，∵AC∥EF，又∵AF⊥BE，∵AF⊥AC，在Rt∵ACF中，∵CF∵CD=CF=.例题．如图，点D 在半圆O 上，半径5OB =，4=AD ，点C 在弧BD 上移动，连接AC ，作DHAC ⊥，垂足为H ，连接BH ，点C 在移动的过程中，BH 的最小值是______．【解析】如图，设AD 的中点为点E ，则114222EA ED AD ===⨯= 由题意得，点H 的运动轨迹在以点E 为圆心，EA 为半径的圆上由点与圆的位置关系得：连接BE ，与圆E 交于点H ，此时BH 取得最小值，2EH = 连接BDAB 为半圆O 的直径，90ADB ∴∠=︒BD ∴===BE ∴===2BH BE EH ∴=-=巩固1．如图，长方形ABCD中，AB=6，BC=4，在长方形的内部以CD边为斜边任意作Rt∵CDE，连接AE，则线段AE长的最小值是_____．【解析】如图，点E'在以点F为圆心，DF为半径的圆上运动，当A,E,F三点共线时，AE值最小，DF=12×6=3，在长方形ABCD中，AD=BC=4，由勾股定理得：AF．∵EF=12CD=12×6=3，∵AE=AF﹣EF=5﹣3=2，即线段AE长的最小值是2．巩固2．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将ΔEBF沿EF所在直线折叠得到ΔEB' F，连接B' D，则B' D的最小值是_____．【解析】如图所示点B'在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当D 、B '、E 共线时，B 'D 的值最小，根据折叠的性质，，EBF ≌，EB 'F ，，∠B =∠EB 'F ，EB '=EB ．，E 是AB 边的中点，AB =4，，AE =EB '=2．，AD =6，，DE ==，，B 'D 2．巩固3．如图，Rt ABC △中，AB BC ⊥，6AB =，4BC =，P 是ABC △内部的一个动点，且满足90PAB PBA ︒∠+∠=，则线段CP 长的最小值为________.【解析】∵∠P AB +∠PBA =90°，∵∠APB =90° ∵点P 在以AB 为直径的弧上（P 在∵ABC 内）设以AB 为直径的圆心为点O ，如图接OC ，交∵O 于点P ，此时的PC 最短 ∵AB =6，∵OB =3 ∵BC =4∵5OC === ∵PC =5-3=2巩固4．如图，在Rt ABC ∆中，90︒∠=C ，4AC =，3BC =，点O 是AB 的三等分点，半圆O 与AC 相切，M ，N 分别是BC 与半圆弧上的动点，则MN 的最小值和最大值之和是（）A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】如图，设∵O 与AC 相切于点D ，连接OD ，作OP BC ⊥垂足为P 交∵O 于F ，此时垂线段OP 最短，PF 最小值为OP OF -，∵4AC =，3BC =，∵5AB = ∵90OPB ︒∠=，∵OP AC ∥ ∵点O 是AB 的三等分点， ∵210533OB =⨯=，23OP OB AC AB ==，∵83OP =， ∵∵O 与AC 相切于点D ， ∵OD AC ⊥，∵OD BC ∥，∵13OD OA BC AB ==，∵1OD =， ∵MN 最小值为85133OP OF -=-=，如图，当N 在AB 边上时，M 与B 重合时，MN 经过圆心，经过圆心的弦最长， MN 最大值1013133=+=，513+=633, ∵MN 长的最大值与最小值的和是6．选B ．巩固5．如下图所示，在矩形纸片ABCD 中，2AB =，3AD =，点E 是AB 的中点，点F 是AD 边上的一个动点，将AEF 沿EF 所在直线翻折，得到'A EF △，则'A C 的长的最小值是( )A ．2B ．3C 1D 1【解析】以点E 为圆心，AE 长度为半径作圆，连接CE ，当点'A 在线段CE 上时，A'C 的长取最小值，如图所示，根据折叠可知：112A'E AE AB ===．在Rt BCE △中，112BE AB ==，3BC =，90B ∠=，CE ∴，A'C ∴的最小值1CE A'E =-=．选D ．巩固6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝2√3，△ADC与△ABC关于AC对称，点E、F分别是边DC、BC上的任意一点，且DE＝CF，BE、DF相交于点P，则CP的最小值为( )A．1B．√3C．3D．22【解析】连接AD，因为∠ACB＝30°，所以∠BCD＝60°，因为CB＝CD，所以∵CBD是等边三角形，所以BD＝DC.因为DE＝CF，∠EDB＝∠FCD＝60°，所以∵EDB≌∵FCD，所以∠EBD＝∠FDC，因为∠FDC＋∠BDF＝60°，所以∠EBD＋∠BDF＝60°，所以∠BPD＝120°，所以点P在以A为圆心，AD为半径的弧BD上，直角∵ABC中，∠ACB＝30°，BC＝2√3，所以AB＝2，AC＝4，所以AP＝2.当点A，P，C在一条直线上时，CP有最小值，CP的最小值是AC－AP＝4－2＝2，选D.巩固7．如图，在∵O中，直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，连接AC，点E 在AB上，且AE=CE．（1）求证：AC2=AE•AB；（2）过点B作∵O的切线交EC的延长线于点P，试判断PB与PE是否相等，并说明理由；（3）设∵O半径为4，点N为OC中点，点Q在∵O上，求线段PQ的最小值．【解析】（1）如图1，连接BC，∵CD为∵O的直径，AB⊥CD，∵，∵∠A=∠ABC，∵EC=AE，∵∠A=∠ACE，∵∠ABC=∠ACE，∵∠A=∠A，∵∵AEC∵∵ACB，∵，∵AC2=AE•AB；（2）PB=PE，理由是：如图2，连接OB，∵PB为∵O的切线，∵OB⊥PB，∵∠OBP=90°，∵∠PBN+∠OBN=90°，∵∠OBN+∠COB=90°，∵∠PBN=∠COB，∵∠PEB=∠A+∠ACE=2∠A，∠COB=2∠A，∵∠PEB=∠COB，∵∠PEB=∠PBN，∵PB=PE；（3）如图3，∵N为OC的中点，∵ON=OC=OB，Rt∵OBN中，∠OBN=30°，∵∠COB=60°，∵OC=OB，∵∵OCB为等边三角形，∵Q为∵O任意一点，连接PQ、OQ，因为OQ为半径，是定值4，则PQ+OQ的值最小时，PQ最小，当P、Q、O三点共线时，PQ最小，∵Q为OP与∵O的交点时，PQ最小，∠A=∠COB=30°，∵∠PEB=2∠A=60°，∠ABP=90°﹣30°=60°，∵∵PBE是等边三角形，Rt∵OBN中，BN==，∵AB=2BN=，设AE=x，则CE=x，EN=﹣x，Rt∵CNE中，，x=，∵BE=PB==，Rt∵OPB中，OP===，∵PQ=﹣4=．则线段PQ的最小值是．巩固8．如图，过抛物线上一点A作轴的平行线，交抛物线于另一点B，交轴于点C，已知点A的横坐标为．（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；（2）在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D；①连结BD，求BD的最小值；②当点D落在抛物线的对称轴上，且在轴上方时，求直线PD的函数表达式．【解析】（1）由题意A（﹣2，5），对称轴x=﹣=4，∵A、B关于对称轴对称，∵B（10，5）．（2）①如图1中，图1由题意点D在以O为圆心OC为半径的圆上，∵当O、D、B共线时，BD的最小值=OB﹣OD=．②如图2中，图2当点D在对称轴上时，在Rt∵ODE中，OD=OC=5，OE=4，∵DE==3，∵点D的坐标为（4，3）．设PC=PD=x，在Rt∵PDK中，x2=（4﹣x）2+22，∵x=，∵P（，5），∵直线PD的解析式为y=﹣x+．技法1：借助直角三角形斜边上的中线例题1．如图，在∵ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A 在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是（）A．6B．C．D．【解析】如图，取CA的中点D，连接OD、BD，则OD=CD=AC=×4=2，由勾股定理得，BD==2，当O、D、B三点共线时点B到原点的距离最大，所以，点B到原点的最大距离是2+2．技法2：借助三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边例题2．如图，已知等边三角形ABC 边长为A 、B 分别在平面直角坐标系的x 轴负半轴、轴的正半轴上滑动，点C 在第四象限，连接OC ，则线段OC 长的最小值是（）A 1B ．3C ．3D 【解析】如图所示：过点C 作CE ⊥AB 于点E ，连接OE ，∵∵ABC 是等边三角形，∵CE =AC ×si n 60°=3=，AE =BE ， ∵∠AOB =90°，∵EO 12=AB = ∵EC -OE ≥OC ，∵当点C ，O ，E 在一条直线上，此时OC 最短，故OC 的最小值为：OC ＝CE ﹣EO ＝3B ．巩固1．如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON 上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=4，BC=2.运动过程中点D到点O的最大距离是______．【解析】如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，∵OD≤OE+DE，∵当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，此时，∵AB=4，BC=2，∵OE=AE=12AB=2，DE=∵OD的最大值为，巩固2．如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒，6AB =，以线段AB 为边向外作等边ABD △，点E 是线段AB 的中点，连结CE 并延长交线段AD 于点F . (1)求证：四边形BCFD 为平行四边形； (2)求平行四边形BCFD 的面积；(3)如图，分别作射线CM ，CN ，如图中ABD △的两个顶点A ，B 分别在射线CN ，CM 上滑动，在这个变化的过程中，求出线段CD 的最大长度.【解析】(1)在ABC △中，90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒，60ABC ∠∴=︒，在等边ABD △中，60BAD ∠=︒，60BAD ABC ∠∠∴==︒，E 为AB 的中点， AE BE ∴=，又AEF BEC ∠∠=，AEF BEC ∴△≌△，在ABC △中，90ACB ∠=︒，E 为AB 的中点，12CE AB ∴=，12BE AB =， CE AE ∴=，30EAC ECA ∠∠∴==︒，60BCE EBC ∠∠∴==︒，又AEF BEC △≌△，60AFE BCE ∠∠∴==︒，又60D ∠=︒，60AFE D ∠∠∴==︒，FC BD ∴∥，又60BAD ABC ∠∠==︒，AD BC ∴∥，即FD BC ∥， ∴四边形BCFD 是平行四边形；(2)在Rt ABC △中，30BAC ∠=︒，6AB=，132BC AB ∴==，∵AC ===S 3BCFD ∴==平行四边形(3)取AB 的中点G ，连结CG ，DG ，CDCD CG DG ≤+，CD ∴的最大长度3CG DG =+=+巩固3．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，将ABC ∆绕顶点C 逆时针旋转得到'',A B C M ∆是BC 的中点，N 是''A B 的中点，连接MN ，若4,60BC ABC =∠=︒，则线段MN 的最大值为（）A ．4B ．8C ．D ．6【解析】连接CN ，∵将ABC ∆绕顶点C 逆时针旋转得到''A B C ∆，∵''=90A CB ACB ∠=∠︒，''460'B C BC A B C ABC ==∠=∠=︒，， ∵'30A ∠=︒，''8A B =， ∵N 是''A B 的中点，∵1''42CN A B ==， ∵在△CMN 中，MN ＜CM +CN ，当且仅当M ，C ，N 三点共线时，MN =CM +CN =6， ∵线段MN 的最大值为6．选D ．技法3：借助构建全等图形例题3．如图，在∵ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝5，点P 是AC 上的动点，连接BP ，以BP 为边作等边∵BPQ ，连接CQ ，则点P 在运动过程中，线段CQ 长度的最小值是______．【解析】如图，取AB 的中点E ，连接CE ，PE ．∵∠ACB =90°，∠A =30°，∵∠CBE =60°， ∵BE =AE ，∵CE =BE =AE ， ∵∵BCE 是等边三角形，∵BC =BE ， ∵∠PBQ =∠CBE =60°， ∵∠QBC =∠PBE ， ∵QB =PB ，CB =EB ， ∵∵QBC ≌∵PBE （S A S ）， ∵QC =PE ，∵当EP ⊥AC 时，QC 的值最小，在Rt ∵AEP 中，∵AE =52，∠A =30°， ∵PE =12AE =54， ∵CQ 的最小值为54．巩固4．如图，边长为12的等边三角形ABC 中，M 是高CH 所在直线上的一个动点，连结MB ，将线段BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连结HN ．则在点M 运动过程中，线段HN 长度的最小值是（）A ．6B ．3C ．2D ．1．5【解析】如图，取BC 的中点G ，连接M G ，∵旋转角为60°，∵∠MBH +∠HBN =60°，又∵∠MBH +∠MBC =∠ABC =60°，∵∠HBN =∠G BM ， ∵CH 是等边∵ABC 的对称轴，∵HB =12AB ，∵HB =B G ，又∵MB 旋转到BN ，∵BM =BN ，在∵MB G 和∵NBH 中，BG BH MBG NBH MB NB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵∵MB G ≌∵NBH （S A S ），∵M G=NH ，根据垂线段最短，当M G ⊥CH 时，M G 最短，即HN 最短，此时∠BCH =12×60°=30°，C G=12AB =12×12=6，∵M G=12C G=12×6=3，∵HN =3；选B ．技法4：借助中位线例题4．如图，在等腰直角∆ABC 中，斜边AB 的长度为 8，以AC 为直径作圆，点P 为半圆上的动点，连接BP ，取BP 的中点M ，则CM 的最小值为（）A ．B ．CD ．【解析】连接AP 、CP ，分别取AB 、BC 的中点E 、F ，连接EF 、EM 和FM ，，EM 、FM 和EF 分别是，ABP 、，CBP 和，ABC 的中位线，EM ∥AP ，FM ∥CP ，EF ∥AC ，EF =12AC ，，∠EFC =180°－∠ACB =90° ，AC 为直径，，∠APC =90°，即AP ⊥CP ，，EM ⊥MF ，即∠EMF =90° ，点M 的运动轨迹为以EF 为直径的半圆上取EF 的中点O ，连接OC ，点O 即为半圆的圆心当O 、M 、C 共线时，CM 最小，如图所示，CM 最小为CM 1的长，，等腰直角∆ABC 中，斜边 AB 的长度为 8，，AC =BC =2AB =，EF =12AC =FC =12BC =，OM 1=OF =12EF根据勾股定理可得OC =，CM 1=OC －OM 1即CM ，选C ．巩固5．如图，抛物线2119y x =-与x 轴交于A B ，两点，D 是以点()0,4C 为圆心，1为半径的圆上的动点，E 是线段AD 的中点，连接,OE BD ，则线段OE 的最小值是（）A ．2B ．2C ．52D ．3【解析】∵2119y x =-， ∵当0y =时，21019x =-，解得：=3x ±，∵A 点与B 点坐标分别为：(3-，0)，(3，0)，即：AO =BO =3， ∵O 点为AB 的中点，又∵圆心C 坐标为(0，4)， ∵OC =4，∵BC 长度5=，∵O 点为AB 的中点，E 点为AD 的中点， ∵OE 为∵ABD 的中位线，即：OE =12BD ， ∵D 点是圆上的动点，由图可知，BD 最小值即为BC 长减去圆的半径， ∵BD 的最小值为4， ∵OE =12BD =2，即OE 的最小值为2，选A .专题二单线段最值之双动点型技法1借助等量代换实现转化例题1．如图，ABC ∆中，90B ︒∠=，4AB =，3BC =，点D 是AC 上的任意一点，过点D 作DE AB ⊥于点E ，DFBC ⊥于点F ，连接EF ，则EF 的最小值是_________．【解析】连接BD90,B DE AB DF BC ︒∠=⊥⊥，∴四边形BEDF 是矩形。

初中最值问题的方法归纳

初中最值问题的方法归纳
初中最值问题涉及的知识点较多，包括代数、几何、函数等。

以下是一些常用的方法来解决最值问题：
1.配方法：通过配方将二次函数转化为顶点式，从而得到最值。

2.判别式法：通过判断一元二次方程的判别式来判断其解的情况，从而得到最值。

3.均值不等式法：利用均值不等式求出代数式的最值。

4.图形法：利用几何图形的性质来求解最值。

5.函数法：利用函数的单调性、奇偶性等性质来求解最值。

6.导数法：利用导数来求解函数的最值。

7.这些方法并不是孤立的，很多时候需要综合运用多种方法来解决最值问题。

同时，还需
要注意以下几点：
8.审清题目，明确要求什么最值；
9.分析问题中给出的条件和结论，找出之间的联系；
10.选择合适的数学工具和方法，如代数式、方程、不等式、函数等；
11.转化问题，将最值问题转化为其他问题来解决；
12.验证结论是否正确，是否符合实际情况。

13.总之，解决初中最值问题需要综合运用多种知识和方法，需要不断尝试和积累经验。

同
时，也要注意培养自己的数学思维和解决问题的能力。

初二数学最值问题例题

初二数学最值问题例题
（原创实用版）
目录
1.初二数学最值问题的概念
2.最值问题的例题分析
3.解决最值问题的方法
4.总结与建议
正文
【一、初二数学最值问题的概念】
初二数学最值问题是指在一定条件下，求解数学问题中的最大值或最小值。

这类问题涉及到的知识点较多，如代数、几何、函数等，对于培养学生的逻辑思维能力和数学应用能力具有重要意义。

【二、最值问题的例题分析】
例题：已知函数 y=2x+3，求 y 的最小值。

解：将函数 y=2x+3 表示为 y-3=2x 的形式，可以看出，当 x 取最小值时，y 取得最小值。

因为 x 可以取任意实数，所以 y 没有最小值。

【三、解决最值问题的方法】
解决最值问题通常有以下几种方法：
1.利用数学公式直接求解；
2.利用函数的性质，如函数的单调性、凹凸性等求解；
3.利用数学方法，如代换法、消元法、参数法等求解。

【四、总结与建议】
初二数学最值问题对于学生来说是一个挑战，需要学生具备扎实的数
学基本功和灵活的思维能力。

在解决这类问题时，学生应首先理解题目的意思，然后根据题目条件选择合适的解题方法。

初中最值问题辅助线做法

初中最值问题辅助线做法初中数学中的最值问题常常涉及到几何和代数知识，而解决这些问题通常需要使用辅助线来化简问题或找到最优解。

下面将结合具体例子，介绍几种常见的辅助线做法。

1.连接两点在一些最值问题中，两点之间距离最短是一个常见的问题。

为了解决这个问题，我们可以将这两点连接起来，并证明这条线段是最短的。

例如，在三角形ABC中，D是BC上一点，E是AC上一点，求AD+DE+BE的最小值。

通过构造辅助线，将AD延长至F，使得DF=DE，再连接CF，可以证明CF是AD、DE、BE的最短路径。

1.做垂线在一些最值问题中，我们需要找到一个点到直线的最短距离。

为了解决这个问题，我们可以做这条直线的垂线，并证明垂线段是最短的。

例如，在直角坐标系中，求点A(0,0)到直线x+y=1的最短距离。

通过构造辅助线，做直线OA的垂线BC，可以证明BC是点A到直线x+y=1的最短路径。

1.平行移动在一些最值问题中，我们需要找到一个图形在另一个图形上的最短路径。

为了解决这个问题，我们可以将这个图形平行移动到另一个图形上，并证明平行移动的距离是最短的。

例如，在直角坐标系中，求点A(0,0)到点B(1,1)的最短路径。

通过构造辅助线，将线段AB平行移动到x轴上，可以证明平行移动的距离是最短的。

1.利用三角形在一些最值问题中，我们需要利用三角形三边关系来解决最值问题。

为了解决这个问题，我们可以构造一个三角形，并利用三角形三边关系来证明这个三角形是最优解。

例如，在直角坐标系中，求点A(0,0)、点B(2,0)、点C(1,1)之间的最短距离。

通过构造辅助线，可以构造一个以AB、AC为腰的等腰三角形ABC，并利用三角形三边关系证明这个三角形是最优解。

1.做对称点在一些最值问题中，我们需要找到一个点到某条直线的最短距离。

为了解决这个问题，我们可以做这个点的对称点，并证明对称点与原点的连线是最短的。

例如，在直角坐标系中，求点A(1,1)到直线y=x的最短距离。

初中数学拔高九年级专题10 最优化(最值问题方法)(含答案)

专题10 最优化阅读与思考数学问题中常见的一类问题是：求某个变量的最大值或最小值；在现实生活中，我们经常碰到一些带有“最”字的问题，如投入最少、效益最大、材料最省、利润最高、路程最短等，这类问题我们称之为最值问题，解最值问题的常见方法有：1．配方法由非负数性质得()02≥±b a ．2．不等分析法通过解不等式（组），在约束条件下求最值． 3．运用函数性质对二次函数()02≠++=a c bx ax y ，若自变量为任意实数值，则取值情况为：（1）当0>a ，a b x 2-=时，a b ac y 442-=最小值；（2）当0<a ，a b x 2-=时，ab ac y 442-=最大值；4．构造二次方程利用二次方程有解的条件，由判别式0≥∆确定变量的取值范围，进而确定变量的最值．例题与求解【例1】当x 变化时，分式12156322++++x x x x 的最小值是．（全国初中数学联赛试题）解题思路：因分式中分子、分母的次数相等，故可将原分式用整式、真分式的形式表示，通过配方确定最小值．【例2】已知1≤y ，且12=+y x ，则223162y x x ++的最小值为（）A.719 B. 3 C. 727 D. 13 （太原市竞赛试题）解题思路：待求式求表示为关于x (或y )的二次函数，用二次函数的性质求出最小值，需注意的是变量x 、y 的隐含限制．【例3】()21322+-=x x f ，在b x a ≤≤的范围内最小值2a ，最大值2b ，求实数对(a ，b ). 解题思路:本题通过讨论a ，b 与对称轴0=x 的关系得出结论．【例4】（1）已知211-+-=x x y 的最大值为a ，最小值b ，求22b a +的值．（“《数学周报》杯”竞赛试题）（2）求使()168422+-++x x 取得最小值的实数x 的值．（全国初中数学联赛试题）（3）求使2016414129492222+-+++-++y y y xy x x 取得最小值时x ，y 的值．（“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛试题）解题思路：解与二次根式相关的最值问题，除了利用函数增减性、配方法等基本方法外，还有下列常用方法：平方法、判别式法、运用根式的几何意义构造图形等．【例5】如图，城市A 处位于一条铁路线上，而附近的一小镇B 需从A 市购进大量生活、生产用品，如果铁路运费是公路运费的一半，问：该如何从B 修筑一条公路到铁路边，使从A 到B 的运费最低？（河南省竞赛试题）解题思路：设铁路与公路的交点为C ，AC ＝x 千米，BC ＝y 千米，AD ＝n 千米，BD ＝m 千米，又设铁路每千米的运费为a 元，则从A 到B 的运费()ay m y n a S 222+--=，通过有理化，将式子整理为关于y 的方程．【例6】（1）设r x ，1+r x ，…，k x （r k >），为k －r ＋1个互不相同的正整数，且x r ＋x r ＋1＋…＋x k ＝2003，求k 的最大可能值．（香港中学竞赛试题）（2）a ，b ，c 为正整数，且432c b a =+，求c 的最小值．（全国初中数学联赛试题）解题思路：对于(1)，因r ＝1，对k －r ＋1＝ k －1＋1＝k 个正整数x 1，x 2，…，x k ，不妨设x 1＜x 2＜…＜x k ＝2013，可见，只有当各项x 1，x 2，…，x k 的值愈小时，才能使k 愈大（项数愈多），通过放缩求k 的最大值；对于（2），从()()222b a c a c =+-入手．能力训练A 级1．已知三个非负数a ，b ，c ，满足3a ＋2b ＋c ＝5和2a ＋b －3c ＝1，若m ＝3a ＋b －7c ，则m 的最小值为___________，最大值为．2．多项式p ＝2x 2－4xy ＋5y 2－12y ＋13的最小值为．3．已知x ，y ，z 为实数，且x ＋2y －z ＝6，x －y ＋2z ＝3，那么x 2＋y 2＋z 2的最小值为．（“希望杯”邀请赛试题）4．若实数a ，b ，c ，满足a 2＋b 2＋c 2＝9，则代数式(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2的最大值为 ( )（全国初中数学联赛试题）5．已知两点A (3，2)与B (1，－1)，点P 在y 轴上且使PA ＋PB 最短，则P 的坐标是（）A.(0，21-) B.(0，0) C.(0，611) D.(0，41-)（盐城市中考试题）6．正实数x ，y 满足1=xy ，那么44411y x +的最小值为（） A.21 B. 85 C. 1 D. 45E. 2（黄冈市竞赛试题）。

初中数学代数最值问题常用解决方法

初中数学代数最值问题常用解决方法最值问题，也就是最大值和最小值问题。

它是初中数学竞赛中的常见问题。

这类问题出现的试题，内容丰富，知识点多，涉及面广，解法灵活多样，而且具有一定的难度。

一. 配方法例1. （2005年全国初中数学联赛武汉CASIO杯选拔赛）可取得的最小值为_________。

解：原式由此可知，当时，有最小值。

二. 设参数法例2. （《中等数学》奥林匹克训练题）已知实数满足。

则的最大值为________。

解：设，易知由，得从而，由此可知，是关于t的方程的两个实根。

于是，有解得。

故的最大值为2。

例3. （2004年全国初中联赛武汉选拔赛）若，则可取得的最小值为（）A. 3B.C.D. 6解：设，则从而可知，当时，取得最小值。

故选（B）。

三. 选主元法例4. （2004年全国初中数学竞赛）实数满足。

则z的最大值是________。

解：由得。

代入消去y并整理成以为主元的二次方程，由x为实数，则判别式。

即，整理得解得。

所以，z的最大值是。

四. 夹逼法例5. （2003年北京市初二数学竞赛复赛）是非负实数，并且满足。

设，记为m的最小值，y为m的最大值。

则__________。

解：由得解得由是非负实数，得从而，解得。

又，故于是，因此，五. 构造方程法例6. （2000年山东省初中数学竞赛）已知矩形A的边长为a和b，如果总有另一矩形B使得矩形B与矩形A的周长之比与面积之比都等于k，试求k的最小值。

解：设矩形B的边长为x和y，由题设可得。

从而x和y可以看作是关于t的一元二次方程的两个实数根，则因为，所以，解得所以k的最小值是四. 由某字母所取的最值确定代数式的最值例7. （2006年全国初中数学竞赛）已知为整数，且。

若，则的最大值为_________。

解：由得，代入得。

而由和可知的整数。

所以，当时，取得最大值，为。

七. 借助几何图形法例8. （2004年四川省初中数学联赛）函数的最小值是________。

浅谈初中代数式最值的求解技巧

浅谈初中代数式最值的求解技巧作者：曾立萱来源：《新教育时代·教师版》2018年第33期摘要：在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题。

求某个量或者几个量和、差、积、商的最大值或最小值，是数学中的常见类型。

解决最值问题的方法灵活多样，常有穷举法、利用函数性质、配方法、根的判别式法与韦达定理法、运用基本不等式法、换元法等。

关键词：最值穷举函数模型根的判别式在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如花费最低，面积最小，产值最高，获利最大等。

近年来各地中考题中最值问题更是频频出现，问题背景新颖，常出现的最值问题有应用题、几何动态、函数最值等。

在初中数学竞赛中整式、分式、二次根式、函数、多元方程等形式也常求某个变量或特殊结构代数式的值。

最值问题构题精妙，牵涉的知识点多，解题方法灵活多变。

下面就本人在初中阶段的教学谈谈较常见的最值问题的求解方法，以便大家举一反三。

一、直接代入计算，穷举获取法。

例1：已知点A（1，a），B（-2，b），C（0，c）都在函数的图像上，求的最大值。

分析：将三个点代入函数解析式，易知，所以的最大值是3二、建立函数模型求最值：利用函数图像的增减性。

初中阶段的重点函数是一次函数与二次函数，利用函数的单调性来解决应用性问题的最值，要注意先引入变量，列出函数关系式，尤其要注意求出自变量的取值范围及区间范围对最值的影响。

在例1中可知一次函数中0，所以由一次函数图像的性质知随着的增大而减小，又因为，所以，所以的最大值是，再求出。

2018年福建中考数学第23题重点考查了二次函数的区间最值。

五、用放缩法求代数式的最值这种方法在在高中数学中用得较多，这里就不再举例说明。

从以上分析论述可知：最值问题的解决并不是绝对孤立不变，有时可以一题多解；有时需要多种方法一起使用才能灵活解决问题。

解题时，要仔细观测代数式的结构特点，以便选择合理的解题方法，做到快速解题。

同时要说明最值在什么情况下可以达到，以养成严谨思维的习惯。

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