初中数学代数最值问题常用解决方法

初中数学代数最值问题常用解决方法

最值问题，也就是最大值和最小值问题。它是初中数学竞赛中的常见问题。这类问题出现的试题，内容丰富，知识点多，涉及面广，解法灵活多样，而且具有一定的难度。

一. 配方法

例1. （2005年全国初中数学联赛武汉CASIO杯选拔赛）

可取得的最小值为_________。

解：原式

由此可知，当时，有最小值。

二. 设参数法

例2. （《中等数学》奥林匹克训练题）已知实数满足。则

的最大值为________。

解：设，易知

由，得

从而，

由此可知，是关于t的方程的两个实根。

于是，有

解得。故的最大值为2。

例3. （2004年全国初中联赛武汉选拔赛）若，则

可取得的最小值为（）

A. 3

B.

C.

D. 6

解：设，则

从而可知，当时，取得最小值。故选（B）。

三. 选主元法

例4. （2004年全国初中数学竞赛）实数满足

。则z的最大值是________。

解：由得。

代入消去y并整理成以为主元的二次方程

，由x为实数，则判别式。

即，

整理得

解得。

所以，z的最大值是。

四. 夹逼法

例5. （2003年北京市初二数学竞赛复赛）是非负实数，并且满足

。设，记为m的最小值，y为m 的最大值。则__________。

解：由得

解得

由是非负实数，得

从而，解得。

又，

故

于是，

因此，

五. 构造方程法

例6. （2000年山东省初中数学竞赛）已知矩形A的边长为a和b，如果总有另一矩形B使得矩形B与矩形A的周长之比与面积之比都等于k，试求k的最小值。解：设矩形B的边长为x和y，由题设可得。

从而x和y可以看作是关于t的一元二次方程的两个实数根，则

因为，

所以，

解得

所以k的最小值是

四. 由某字母所取的最值确定代数式的最值

例7. （2006年全国初中数学竞赛）已知为整数，且

。若，则的最大值为_________。

解：由得，代入得。

而由和可知的整数。

所以，当时，取得最大值，为。

七. 借助几何图形法

例8. （2004年四川省初中数学联赛）函数的最小值是________。

解：显然，若，则。因而，当取最小值时，必然有。如图1，作线段AB=4，，且AC=1，BD=2。对于AB上的任一点O，令OA=x，则

。

那么，问题转化为在AB上求一点O，使OC+OD最小。

图1

设点C关于AB的对称点为E，则DE与AB的交点即为点O，此时，

。作EF

比较法

例9. （2002年全国初中数学竞赛）某项工程，如果有甲、乙两队承包天完成，需付180000元；由乙、丙两队承包天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包天完成，需付160000元。现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队承包费用最少

解：设甲、乙、丙单独承包各需天完成，则

解得

又设甲、乙、丙单独工作一天，各需付元，则

解得

于是，由甲队单独承包，费用是（元）；由乙队单独承包，费用是（元）；而丙队不能在一周内完成，经过比较得知，乙队承包费用最少。